拡張ラグランジュ関数のソースを表示

'''【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】'''

関数 <math>f:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 <math>\bar{L}:\mathbf{R}^n\times{\mathbf{R}^m}\to [-\infty,+\infty] \,</math> のこと. 


<center>
<math>
\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mathbf{R}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}
\,</math>
</center>


ただし, <math>r \,</math> は正定数, <math>\sigma:\mathbf{R}^{m}\rightarrow\bar{\mathbf{R}} \,</math> は <math>u\neq{0} \,</math> に対して <math>0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)} \,</math> を満足する下半連続な真凸関数(例えば, <math>\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2} \,</math> など). 関数 <math>\bar{L} \,</math> を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.