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'''【もんてかるろほう (Monte Carlo method) 】'''

　システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる. 

　[[モンテカルロ法]]の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を <math>\theta \,</math>とし, これは既知の分布関数 <math>F(y) \,</math>を持つ確率変数 <math>Y \,</math>の関数 <math>g(Y) \,</math>の平均値に等しいものとすれば, 


<center>
<math>
\theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) =
\int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \, 
</math>
</center>


と書ける. ただし, <math>h(u)=g(F^{-1}(u)) \,</math>である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 <math>U_1, U_2, \cdots, U_N \,</math>を発生し, 算術平均


<center>
<math>
A_1(N) = \sum_{i=1}^N h(U_i)/N \, 
</math>
</center>



を<math>\theta \,</math>の推定値とすることが考えられる. <math>A_1(N) \,</math>は<math>\theta \,</math>の不偏推定量であり, 分散は

<center>
<math>
V(A_1(N)) = \frac{\sigma^2}N, \ \ \ \ \ 
\sigma^2 = \int_0^1 h^2(x) \mathrm{d}x-\theta^2 \, 
</math>
</center>


となる. したがって, 推定量 <math>A_1(N) \,</math>に含まれる誤差の標準偏差は <math>\sigma/\sqrt N \,</math>であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 <math>N \,</math>を10倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, [[分散減少法]]と総称されている. ただし, これらは <math>1/\sqrt N \,</math>というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である. 

［[[重点サンプリング]]］

　積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(<math>h(x) \,</math>の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数<math>w(x) \,</math>に従う乱数<math>X_1,\cdots, \ \ X_N \,</math>を発生し, 


<center>
<math>
A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \, 
</math>
</center>


で<math>\theta \,</math>を推定する. <math>w(x) \,</math>が<math>\left| h(x) \right| \,</math>に比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する. 
 

［[[制御変量法]]］

　<math>\theta \,</math>に対するひとつの不偏推定量を<math>Y \,</math>とする. <math>Y \,</math>と相関があって平均値<math>\zeta \,</math>が既知の確率変数<math>Z \,</math>のことを, <math>Y \,</math>の制御変量という. <math>\alpha \,</math>を定数として


<center>
<math>
Y_\alpha = Y-\alpha(Z-\zeta) \, 
</math>
</center>


と定義すれば, <math>Y_\alpha \,</math>も<math>\theta \,</math>の不偏推定量となり, その分散は<math>\alpha^* = \mathrm{Cov}(Y, Z)/V(Z) \,</math>のとき最小となり, 最小値は


<center>
<math>
V(Y_{\alpha^*})=(1-\rho^2)V(Y) \, 
</math>
</center>


である. ここで<math>\rho \,</math>は<math>Y \,</math>と<math>Z \,</math>の相関係数であるから, <math>Y \,</math>と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である. 

　定積分の例では, <math>h(u) \,</math>に近い関数<math>h_0(u) \,</math>で, その積分の値<math>\zeta \,</math>が正確に計算できるものを選び, 


<center>
<math>
Y_\alpha = h(u)-\alpha(h_0(u)-\zeta) \, 
</math>
</center>


に対して単純な一様サンプリングを適用する. 

［[[負相関変量法]]］

　<math>\theta \,</math>の不偏推定量<math>Y \,</math>と平均値が同じで負の相関を持つ変量<math>Z \,</math>を利用して, <math>W=(Y+Z)/2 \,</math>を<math>\theta \,</math>の推定量とする. この分散は, <math>Y \,</math>に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もし<math>h(u) \,</math>が単調な関数ならば, <math>Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U) \,</math>とするとよい. 

［[[共通乱数法]]］

　二つの特性値<math>\theta,\phi \,</math>をそれぞれ確率変数<math>X,Y \,</math>に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, <math>\theta=E[X], \phi=E[Y] \,</math>とする. 


<center>
<math>
V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2 \mathrm{Cov}(X,Y) \, 
</math>
</center>


であるから, <math>{\mathrm{Cov}}(X,Y) \,</math>が大きいほど推定の精度が良くなる. <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>の分布関数をそれぞれ<math>F,G \,</math>とし, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>を逆関数法で作るものとする. このとき, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列<math>\{U\} \,</math>を使って, <math>X=F^{-1}(U), Y=G^{-1}(U) \,</math>とすれば, <math>\mathrm{Cov}(X,Y) \,</math>が最大となる. これが共通乱数法の原理である. 



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'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『確率的方法とシミュレーション』(岩波講座 応用数学), 岩波書店, 1994. 

[2] G. S. Fishman, ''Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications'', Springer, 1996.

[3] A. M. Law and W. D. Kelton, ''Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed.'', McGraw-Hill, 1991.