自己整合障壁関数のソースを表示

'''【じこせいごうしょうへきかんすう (self-concordant barrier function)】'''

以下の条件を満たす開凸領域 <math>F\subseteq \mathbf{R}^n \,</math> 上の実数値関数 <math>g \,</math>.

<ol>
<li> 任意の <math>\bar{x}\in\partial F \,</math> に収束する<math>F \,</math> の任意の点列 <math>\{ x^k \} \,</math> に対し,<math>k\rightarrow \infty \,</math> で <math>g(x^k)\rightarrow\infty \,</math> となる.</li>
<li> 任意の <math>x\in F \,</math> において, 任意の方向 <math>h\in \mathbf{R}^n \,</math> に対して, 次が成り立つ.</li>
</ol>


<center>
<math>
\begin{array}{l}
 \displaystyle{\left|\sum_{i,j,k}\frac{\partial^3 g}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k}(x)
 h_i h_j h_k \right| \leq } \\
\ \ \ \ \ \displaystyle{2 \left|\sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)
 h_i h_j \right|^{3/2},} \\[1.4em]
 \displaystyle{\left(
   \sum_{i} \frac{\partial g}{\partial x_i}(x) h_i
 \right)^2
  \leq \nu \sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j.}
\end{array}
\,</math>
</center>