ポテンシャル関数 (内点法の)のソースを表示

'''【ぽてんしゃるかんすう (potential function)】'''

標準形の線形計画問題「 <math> \mbox{min. } \ c^{\top}x  \  \mbox{s.t.} \ Ax = b, \ x \geq 0\,</math> (<math>A\,</math>は<math>m \times n\,</math>行列, <math>b \in {\mathbf R}^m\,</math>, <math>c \in {\mathbf R}^n\,</math>)」 に対する内点法で用いられるポテンシャル関数は,<br>
 

<center>
<math>f(x:\rho) := (n+\rho)\ln(c^{\top}x -c^*)-\sum_{j=1}^n \ln x_j\,</math>
</center>
 

(<math>c^*\,</math>は主問題の最小値, <math>\rho\,</math>はパラメータ)で与えられる. カーマーカーが初めて導入した関数であり, 既与の<math>\rho > 0\,</math>に対して, 正領域内の許容解の点列<math>\{x^k\}\,</math>が<math>f(x^k) \rightarrow -\infty\,</math> であるとき, その集積点はすべて最適解という性質をもつ.