多次元正規分布のソースを表示

'''【たじげんせいきぶんぷ (multivariate normal distribution)】'''

代表的な多次元分布. 平均ベクトルを <math>\mathbf{\mu} =(\mathrm{E}(X_1), \ldots, \mathrm{E}(X_n)) \,</math>, (分散)共分散行列を <math>\mathbf{\Sigma}=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{i,j=1,\ldots,n} \,</math> とすると, <math>n \,</math> 次の多次元正規分布の確率密度関数は <math>\mathbf{x}=(x_1,\cdots,x_n) \,</math> として

<math>
f(\mathbf{x})= 
\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{n/2} \sqrt{|\mathbf{\Sigma}|}} \mathrm{exp}
  \left[ - \frac{1}{2} 
    (\mathbf{x}-\mathbf{\mu}) \mathbf{\Sigma}^{-1}
    (\mathbf{x}-\mathbf{\mu})^{\top} \right] }
\,</math>

で与えられる. ただし, <math>\mathbf{x}^{\top} \,</math> はベクトル <math>\mathbf{x} \,</math> の転置, <math>|\mathbf{\Sigma}| \,</math> は行列式を表す. 統計学における多変量解析などで中心的な役割を果たす.