フェンシェルの双対性のソースを表示

'''【ふぇんしぇるのそうついせい (Fenchel duality)】'''

2つの下半連続な真凸関数 <math>k: {\mathbf R}^n\to\bar{{\mathbf R}}</math> と <math>h: {\mathbf R}^m\to\bar{{\mathbf R}}</math>, および <math>A\in{{\mathbf R}^{m\times{n}}}</math>, <math>b\in{{\mathbf R}^m}</math>, <math>c\in{{\mathbf R}^n}</math> に対して, 次の問題のペアに対して成立する双対性のこと. <br><br><center>

<table border = 0>
   <tr><td><math>\begin{array}{l}
\displaystyle{ \min_{x\in{{\mathbf R}^n}}\;\{c^{T}x+k(x)+h(b-Ax)\},} \\
\displaystyle{ \max_{y\in{{\mathbf R}^m}}\;\{b^{T}y-h^{*}(y)-k^{*}(A^{T}y-c)\} }
\end{array}</math>
</td></tr>
</table>
</center><br>


ここで, <math>{}^*</math> は共役関数を表す. 通常は, 簡略化して目的関数を凸関数 <math>f_1(x)</math> と凹関数 <math>f_2(x)</math> の差で表した主問題 <math>\min_{x}\{f_1(x)-f_2(x)\}</math> に対して, <math>\max_{y}\{f_{2}^{*}(y)-f_{1}^{*}(y)\}</math> をフェンシェルの双対問題と呼び, その双対性を指す.