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'''【しんらいせい (reliability) 】'''

　部品, 機械の故障は日常茶飯事のことであり, 不可避なことである. 機械, システムなどの動作・故障特性について扱う分野が信頼性理論 [1, 2, 3] である. 本項においては[[信頼性]] (reliability)について一般的に述べる. より詳しい項目は以下で解説する. 

　信頼性用語は日本工業規格 (JIS) により定められているので, その一部を抜粋する. 


定義1　アイテム(item)とは「信頼性の対象となるシステム (系) , サブシステム, 機器, 装置, 構成品, 部品, 素子, 要素などの総称またはいずれか」である. システムとは「所定の任務を達成するために選定され, 配列され, 互いに連係して動作する一連のアイテム (ハードウェア, ソフトウェア, 人間要素) の組合せ」である. 


　これらの用語は上位アイテム (システム) から下位アイテム (要素) まで階層的な意味で適宜使用される. 

　システム (アイテム) が果たすべき仕事が任務であり, アイテム間の機能的・物理的な相互関連がインターフェースである. アイテムの周囲条件が環境である. そのとき[[信頼度]] (reliability) は次のように定義される. 


定義2　信頼度とは「アイテムが与えられた条件で規定の期間中, 要求された機能を果たす確率」である. 


アイテムが規定の機能を失うことは故障であり, 故障状態の形式による分類は故障モードであり, 例えば, 断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化などがある. 


定義3　初期故障とは「使用開始後の比較的早い時期に, 設計・製造上の欠点, 使用環境との不適合などによって起こる故障」である. 偶発故障とは「初期故障期間を過ぎ摩耗故障期間に至る以前の時期に, 偶発的に起こる故障」である. 摩耗故障とは「疲労・摩耗・老化現象などによって時間とともに故障率が大きくなる故障」である. 


　以下では, 確率変数 <math>X\, </math> は連続形であると仮定する. 非負の <math>X\, </math> はあるアイテムの故障が起こるまでの寿命時間 (lifetime) を表す確率変数とする. [[寿命分布]] (lifetime distribution) を


:<math>
F(t) = \mathrm{Pr}\{ X \le t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
\, </math>


としよう. <math>F(t)\, </math> は時刻 <math>t\, </math> までに故障する確率を表す. 確率変数 <math>X\, </math> の残存確率


:<math>
R(t) = 1 - F(t) = \mathrm{Pr}\{ X > t \} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
\, </math>


は信頼度関数とよばれる. <math>R(t)\, </math> はアイテムが時刻 <math>t\, </math> で機能している確率を表す. 確率変数 <math>X\, </math> の密度は存在すると仮定し, 


:<math>
f(t) = \frac{{\rm d} F(t)}{{\rm d}t} \ \ \ \ \ ( t \ge 0)
\, </math>


と表す. [[故障率]] (failure rate) あるいはハザード率 (hazard rate) は <math>R(t) > 0\, </math> と仮定して


:<math>
r(t) = \frac{f(t)}{R(t)} \ \ \ \ \ (t \ge 0)
\, </math>


と定義される. ここで,
 

:<math>
r(t) {\rm d}t = \Pr\{ t < X \le t + {\rm d}t | X > t\} = \frac{F(t+{\rm d}t) - F(t)}{R(t)}
\, </math>


であることに注意すれば, <math>r(t) {\rm d}t\, </math> はアイテムが時刻 <math>t\, </math> で故障していないという条件の下で, 時間区間 <math>(t, t+{\rm d}t]\, </math> で故障する条件付き確率を表す. 

　<math>F(0) = 0\, </math>  (すなわち <math>R(0) = 1\, </math>) と仮定すると


:<math>
r(t) = \frac{-\frac{{\rm d}R(t)}{{\rm d}t}}{R(t)}
\, </math>


となるから, 初期条件 <math>R(0)=1\, </math> の下でこの微分方程式を解いて


:<math>
R(t) = \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
\, </math>


となる. この <math>R(t)\, </math> を用いて, 分布および密度関数は


:<math>
F(t) = 1 - \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
\, </math>


:<math>
f(t) = r(t) \exp \left[ - \int_0^t r(x) {\rm d}x \right]
\, </math>


と書くことができる. したがって, 分布, 密度関数および信頼度はいずれも故障率 <math>r(t)\, </math> を用いて書き直すことができる. 特に, <math>\textstyle \int_0^t r(x) {\rm d}x\, </math> は累積ハザード関数あるいはハザード関数とよばれる. 

　一般に, アイテムは時間経過とともに劣化する. この劣化する概念は[[エージング]] (aging) とよばれる. エージングは故障率の増減によって定義される. 


定義4　故障率<math>r(t)\, </math>が非減少 (増加あるいは一定) 関数ならば, 寿命時間分布は, <math>\rm{IFR} \, </math> (increasing failure rate), 一定関数ならば, <math>\rm{CFR}\, </math> (constant failure rate), 非増加 (減少あるいは一定) 関数ならば, <math>\rm{DFR}\, </math> (decreasing failure rate)とよばれる. 

　一般に, [[確率順序]] (stochastic order) は次のように定義される. 

定義5　<math>X\, </math> および <math>Y\, </math> は2つの確率変数とする. あらゆる <math>-\infty < t < \infty\, </math> に対し


:<math>
\Pr\{ X > t \} \le \Pr\{ Y > t \}
\, </math>


ならば, <math>X\, </math> は <math>Y\, </math> より"確率的に小さい"  (<math>X \le_{\rm st} Y\, </math> で表す) という. あるいは, <math>X \le_{\rm st} Y\, </math> はあらゆる <math>-\infty < t < \infty\, </math> に対し, 


:<math>
\Pr \{ X \le t \} \ge \Pr\{ Y \le t \}
\, </math>


と同等である. さて, <math>t \ge 0\, </math> に対して <math>[T - t | T > t]\, </math> は <math>T > t\, </math> の条件の下での条件付き確率変数とする. <math>T\, </math> が IFR であることは, あらゆる <math>t \le t'\, </math> に対し, 


:<math>
[T - t | T > t] \ge_{\rm st} [T - t' | T > t']
\, </math>


と同等である. DFR についても不等号を反対にすればよい. このようにして, エージングのより一般的な概念を確率順序によって定義できる. 詳しくは Shaked and Shanthikumar [4] 参照. 



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'''参考文献'''

[1] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Mathematical Theory of Reliability'', SIAM, Philadelphia, PA, 1996.

[2] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Statistical Theory of Reliability and Life Testing'', To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Silver Spring, MD 20904, 1981.

[3] R. E. Barlow, ''Engineering Reliability'', SIAM, Philadelphia, PA, 1998.

[4] M. Shaked and J. G. Shanthikumar, ''Reliability and Maintainability'', in Stochastic Models, D. P. Heyman and M. J. Sobel, eds., North-Holland, 1990. (邦訳, 伊理・今野・刀根監訳, 「確率モデルハンドブック」, 朝倉書店).