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'''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】'''

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1]. 

'''SBMモデル'''

<table>
<tr>
<td>目的:  </td>
	<td><math>\min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約:  </td>
	<td><math>X{\mathbf{\lambda}} + {\mathbf s}^{-} = \mathbf {x}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq \mathbf{0}\, </math></td>
</tr>
</table>


ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}\, </math>の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.


<table>
<tr>
<td>目的:  </td>
	<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約:  </td>
	<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>X \mathbf{\lambda} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq {\mathbf 0}\, </math></td>
</tr>
</table>


制約の第2式, 第3式の両辺に<math>\phi\, </math> を掛けて, <math>\phi s_i^{-} = \alpha_i, \ \phi s_r^{+} = \beta_r, \phi \lambda_j = \gamma_j\, </math> と置くと


<table>
<tr>
<td>目的:  </td>
	<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約:  </td>
	<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ 
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ 
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ 
\phi \geq 0\, </math></td>
</tr>
</table>


となり, <math>\alpha_i \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi\, </math>に関するLPとして解くことが出来る. 

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には


<table>
<tr>
<td>目的:  </td>
	<td><math>\max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約:  </td>
	<td><math>\phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ 
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ 
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ 
\phi \geq 0
\, </math></td>
</tr>
</table>


である. 

　入出力<math>({\mathbf x}_o, {\mathbf y}_o)\, </math> を持つDMU <math>O\, </math> は <math>\rho\, </math> の最適(最小)値<math>\rho^{*}\, </math> が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる. 

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU <math>O\, </math> に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2]. 


'''SuperSBMモデル'''


<table>
<tr>
<td>目的:  </td>
	<td><math>\delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}}  \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約:  </td>
	<td><math>\bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\bar{y}_r \leq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j y_{rj} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\bar{x}_i \geq x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>0\leq \bar{y}_r \leq y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
	<td><math>\lambda_j \geq 0\, </math></td>
</tr>
</table>



　超効率値<math>\delta^{*}\, </math>も単位不変である（測定単位の影響を受けない）. 



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'''参考文献'''

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''130''' (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.