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'''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】'''

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1]. 

'''SBMモデル'''


\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & & 
\min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \\
\mbox{制約:} & & 
X{\mbox{$\boldmath \lambda$}} + {\bf s}^{-} = {\bf x}_{o} \\
& & 
Y{\mbox{$\boldmath \lambda$}} - {\bf s}^{+} = {\bf y}_{o} \\
& & 
\mbox{$\boldmath \lambda$} \geq {\bf 0}, \ 
{\bf s}^{-} \geq {\bf 0}, \ 
{\bf s}^{+} \geq {\bf 0}
\end{eqnarray*}


ただし, ${\bf e}^{t} \mbox{$\boldmath \lambda$}$ の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に$\phi$を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる. 


\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & & 
\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io}\\
\mbox{制約:} & & 
\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1 \\
& & 
X{\mbox{$\boldmath \lambda$}} + {\bf s}^{-} = {\bf x}_{o} \\
& & 
Y{\mbox{$\boldmath \lambda$}} - {\bf s}^{+} = {\bf y}_{o} \\
& & 
\mbox{$\boldmath \lambda$} \geq {\bf 0}, \ 
{\bf s}^{-} \geq {\bf 0}, \ 
{\bf s}^{+} \geq {\bf 0}
\end{eqnarray*}


制約の第2式, 第3式の両辺に$\phi$ を掛けて, $\phi s_i^{-} = \alpha_i, \ \phi s_r^{+} = \beta_r, \phi \lambda_j = \gamma_j$ と置くと


\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & & 
\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io}\\
\mbox{制約:} & & 
\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1 \\
& & 
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& & 
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& & 
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ 
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ 
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ 
\phi \geq 0
\end{eqnarray*}


となり, $\alpha_i \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi$に関するLPとして解くことが出来る. 

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には


\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & & 
\max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro}\\
\mbox{制約:} & & 
\phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1 \\
& & 
\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& & 
\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& & 
\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \ 
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \ 
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \ 
\phi \geq 0
\end{eqnarray*}


である. 

　入出力$({\bf x}_o, {\bf y}_o)$ を持つDMU $O$ は $\rho$ の最適(最小)値$\rho^{*}$ が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる. 

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU $O$ に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2]. 

'''SuperSBMモデル'''


\begin{eqnarray*}
\mbox{目的:} & & 
\delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}} \\
\mbox{制約:} 
& & 
\bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& & 
\bar{y}_r \leq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j y_{rj} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& & 
\bar{x}_i \geq x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \\
& & 
0\leq \bar{y}_r \leq y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \\
& & 
\lambda_j \geq 0
\end{eqnarray*}


　超効率値$\delta^{*}$も単位不変である（測定単位の影響を受けない）. 



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'''参考文献'''

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''130''' (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.