一般化ニュートン法のソースを表示

'''【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】'''

滑らかでないベクトル値関数 <math>F: \mathbf{R}^n\to \mathbf{R}^n \,</math> に対して方程式 <math>F(x)=0 \,</math> を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, <math>F \,</math> が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 <math>x \,</math> における <math>F \,</math> の一般化ヤコビ行列の1つとして

<table><tr>
<td>
<math>
\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F} 
\nabla F(x_i) \right\}\ \ 
\,</math>
</td>
<td>
<math>\Bigl( \,</math> 
</td>
<td>
<table>
<tr><td><math>D_F \,</math> は <math>F(x) \,</math>が微分可能な点の集合, </td></tr>
<tr><td><math>\mathrm{co} \,</math> は集合の凸包を表す</td></tr>
</table>
</td>
<td>
<math>\Bigr) \,</math>
</td>
</tr></table>

が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる. 

<math>
     x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad 
     J_k \in \partial F(x_k)
\, </math>