拡張ラグランジュ関数のソースを表示

'''【かくちょうらぐらんじゅかんすう (augmented Lagrangian function)】'''

関数 $f:\mbox{{\bf R}}^n\times{\mbox{{\bf R}}^m}\to [-\infty,+\infty]$ に対して, ラグランジュ関数を拡張した, 次式で定義される2変数関数 $\bar{L}:\mbox{{\bf R}}^n\times{\mbox{{\bf R}}^m}\to [-\infty,+\infty]$ のこと. 

\[
% \bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mbox{{\bf R}}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{T}u\,\}
\bar{L}(x,y):=\inf_{u\in{\mbox{{\bf R}}^m}}\{\, f(x,u)+r\sigma{(u)}-y^{\top}u\,\}
\]


ただし, $r$ は正定数, $\sigma:\mbox{{\bf R}}^{m}\rightarrow\bar{\mbox{{\bf R}}}$ は $u\neq{0}$ に対して $0=\sigma{(0)}<\sigma{(u)}$ を満足する下半連続な真凸関数(例えば, $\sigma{(u)}:=1/2\|u\|^{2}$ など). 関数 $\bar{L}$ を用いると, 非凸計画問題に対して双対性のギャップを解消できる場合がある.