一般化ニュートン法のソースを表示

'''【いっぱんかにゅーとんほう (generalized Newton method)】'''

滑らかでないベクトル値関数 $F: \mbox{{\bf R}}^n\to \mbox{{\bf R}}^n$ に対して方程式 $F(x)=0$ を解く場合, 一般化ニュートン法が提案されている. 例えば, $F$ が局所リプシッツ(Lipschitz)連続ならば点 $x$ における $F$ の一般化ヤコビ行列の1つとして


\[
\partial F(x) := \mbox{co} \left\{ \lim_{x_i\to x,\ x_i\in D_F} 
\nabla F(x_i) \right\}\ \ 
\]
\[
\left( 
\begin{array}{l} D_F\ は F(x) が微分可能な点の集合,  \\
           \rm{co} は集合の凸包を表す \end{array}\right)
\]


が定義され, 一般化ニュートン法の反復式は次式で与えられる. 


\[
     x_{k+1} := x_k - J_k^{-1}F(x_k), \qquad 
     J_k \in \partial F(x_k)
\]