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バスモデル

2008-04-04T02:30:56Z

Tetsuyatominaga:

'''【ばすもでる (Bass model)】'''

=== 概要 ===

バス (F.M. Bass) によって提案された新製品, 特に耐久消費財の拡散過程を模擬するモデルをバスモデルと呼ぶ. バスモデルは, 「時点<math>t \, </math>までの未購入者が耐久消費財を期間 <math>(t, t+{\Delta}t) \, </math> に購入する確率は, 他人にまどわされない購入意欲(innovation効果)と既購入者数<math>x_{t}\,</math> が増えてくると乗り遅れまいとする気持ち(imitation効果) との和で表現される」モデル<math>\{ (\mbox{d}x_{t} / \mbox{d}t)/(m- x_{t})=a+bx_t/m,\;\; m: \, </math> 総需要<math>\} \, </math>であり, 新製品拡散モデルとして利用されている.

=== 詳説 ===

　F. M. Bassによって提案された新製品, 特に耐久消費財の拡散過程を模擬するモデルを[[バスモデル|Bassモデル]]と呼ぶ. F. M. Bassは, 「時点<math>{\it t}\, </math>までの未購入者が耐久消費財を期間 <math>(t, \; t+\Delta t)\, </math> に購入する確率<math>h(t)\Delta t\, </math>は他人にまどわされない購入意欲(innovation効果)と既購入者数<math>x_t\, </math>がふえてくると乗り遅れまいとする気持ち(imitation効果) との和で表現される」と考え, 以下のようなモデルを提案した [1].

　<math>{\it m}\, </math>を総需要とする. 時点<math>{\it t}\, </math>までに購入している人の割合を
　

<center>
<math>
F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau) \mathrm{d} \tau =x_{t}/m
\, </math>
</center>

とし, <math>{\it t}\, </math> まで未購入の条件付確率密度関数を

<center>
<math>\begin{array}{cl}
h(t)=f(t)/ \{ 1-F(t) \} = a+{\frac{b}{m}}x_{t} & (1)\\
\\
\lim_{t \rightarrow \infty}x_{t}=m & (2)\\
\\
m \cdot f(t)=\frac{{\mbox{d}}x_{t}}{{\mbox{d}}t} & (3)\\
\end{array}\, </math>
</center>

とモデル化して, <math>{\it a}\, </math>は innovation効果, <math>(b\cdot x_t/m)\, </math>

はimitation効果を表わすものとしている. 式(1)は式(2), (3)を使うと

<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}x_{t}/\mathrm{d}t}{m-x_t}=
a+{\frac{b}{m}}x_{t}
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

あるいは

<center>
<math>\begin{array}{cl}
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=
(m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t}) & (5)\\
\\
p_{1}=a, q_{1}=b/m
\end{array}\, </math>
</center>

と表現できる. これを解くと

<center>
<math>
x_{t}=m[1-c_{0}\exp \{-(a+b)t\}]/[\frac{b}{a} c_{0}\exp \{-(a+b)t\}+1]
\, </math>
</center>

ただし, <math>x_0\, </math>：時点0での既購入者数

<center>
<math>
c_{0}=(m- x_{0})/(m+{\frac{b}{a}} x_{0})
\, </math>
</center>

である(<math>x_{0}=0\, </math>,すなわち<math>c_{0}=1\, </math>を標準モデルとすることもある). 式 (5)で <math>p_{1}=0\, </math> のとき

<center>
<math>
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=x_{t}(mq_{1}-q_{1} x_{t})
\, </math>
</center>

となり, Bassモデルはロジスティックモデルを包含していると言える.

<math>f(t)\, </math> または <math>{\mbox{d}}x_{t}/{\mbox{d}}t\, </math> は

<center>
<math>
t^{*}=-\frac{1}{a+b}\log \frac{a}{bc_{0}};b>a
\, </math>
</center>

で最大となり, そのときの<math>x_{t^{*}}\, </math>は　

<center>
<math>
x_{t^{*}}=m(b-a)/(2b)
\, </math>
</center>

である.

　本モデルの拡張版として

　1. <math>{\it m}\, </math>が時点とともに変化するモデルあるいは価格の関数となるモデル

　2. 式(4)の右辺が, 時点<math>{\it t}\, </math>や広告費などの商品に対する情報に関連する量の関数となるモデル

　3. 式(5)の右辺に価格<math>{\it P}({\it t})\, </math>のペナルティを課して

<center>
<math>
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=(m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t})
{\exp \{-k \cdot P(t)\}}
\, </math>
</center>

とするモデル

　4. 企業間の競合を考慮したモデル

などが考えられている. しかし, Bass自身はモデルを複雑化することには批判的 [2]である.

　Bassモデルのパラメタについては, 微分を単位期間当たりの増分としてとらえ, 式(5)の右辺を展開して定数項および<math>x_t\, </math>, <math>x_{t}^{2}\, </math>の係数を最小自乗法により推定する方法が [1] では提案された. これについては係数推定の不安定さがあり, 最尤法なども提案されているが, Bassモデルを適用したい局面はデータ数にあまり期待できない時点であり, 最大需要<math>{\it m}\, </math>を別途推定したり, 類似サービスのパラメタを参考にすることなどが必要である.

----
'''参考文献'''

[1] F. M. Bass, "A New Product Growth Model for Consumer Durables," ''Management Science'', '''15''' (1969), 215-227.

[2] F. M. Bass, "The Adoption of a Marketing Model : Comments and Observations," in ''Innovation Diffusion Models of New Product Acceptance'', V. Mahajan and Y. Wind, eds., Ballinger, 1986.

[3] V. Mahajan, E. Muller and F. M. Bass,in ''Marketing'', J. Eliashberg and G. L. Lilien, eds., Elsevier Science Publishers, 1993. 森村英典, 岡太彬訓, 木島正明, 守口剛監訳, 『マーケティングハンドブック』, 第8章, 朝倉書店, 1997.

[[category:予測|ばすもでる]]

ARIMAモデル

2008-04-04T02:30:06Z

Tetsuyatominaga:

'''【ありまもでる／えいあーるあいえむえいもでる (ARIMA (autoregressive integrated moving average) model)】'''

=== 概要 ===

<math>y_{t} \,</math> を非定常過程とし,<math>\varepsilon_{t} \,</math> を<math>\mbox{E}(\varepsilon_{t})=0 \,</math>,<math>\mbox{V}(\varepsilon_{t})=\sigma^{2} \,</math>,<math>\mbox{E}(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})=0 \,</math> <math>(t \ne s) \,</math>のホワイトノイズとする.<math>L \,</math> をラグ演算子 <math>L^{i}y_{t}=y_{t-i} \,</math>,<math>L^{i}\varepsilon_{t}=\varepsilon_{t-i} \,</math>(<math>i=1,2,\cdots \,</math>),<math>\phi(L) \,</math>, <math>\theta(L) \,</math> を <math>\textstyle \phi(L) \equiv 1-\sum_{i=1}^{p}\phi_{i}L^{i} \,</math>,<math>\textstyle \theta(L) \equiv 1+\sum_{i=1}^{p} \theta_{i}L^{i} \,</math>とする.<math>d \,</math> を自然数として, <math>y_{t} \,</math> の <math>d \,</math> 階階差 <math>(1-L)^{d}y_{t} \,</math> が定常な<math>\mbox{ARMA}(p,q) \,</math> モデルで表現できるとき, モデル <math>\phi(L)(1-L)^{d}y_{t} =\theta(L)\varepsilon_{t} \,</math>を次数 <math>(p,d,q) \,</math> の自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデルと呼び, <math>\mbox{ARIMA}(p,d,q) \,</math> モデルと略記する.

=== 詳説 ===

　t を時点を表わす添字 (整数) とし, <math>x_{t}\, </math> を <math>\mbox{E}(x_{t})=0\, </math> の[[弱定常過程]],<math>\varepsilon_{t}\, </math> を<math>\mbox{E}(\varepsilon_{t})=0\, </math>,<math>\mbox{V}(\varepsilon_{t})=\sigma^{2}\, </math>,<math>\mbox{E}(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})=0 (t \ne s)\, </math>を満たすホワイトノイズ (white noise) とする.また, <math>L\, </math> を時間を後退させる作用をもつラグ演算子 (lag operator)<math>L^{i}x_{t}=x_{t-i}\, </math>, <math>L^{i}\varepsilon_{t}=\varepsilon_{t-i}\, </math>(<math>i=1,2,\cdots\, </math>)とし, <math>\phi(L)\, </math>, <math>\theta(L)\, </math> を <math>\textstyle \phi(L)=1-\sum_{i=1}^{p}\phi_{i}L^{i}\, </math>,<math>\textstyle \theta(L)=1+\sum_{i=1}^{q} \theta_{i}L^{i}\, </math> で定義される多項式ラグ演算子とする.(ただし, 多項式 <math>\phi(z)=0\, </math>, <math>\theta(z)=0\, </math> には共通根はないものとする.)<math>\phi_{i}\, </math> (<math>i=1,2,\cdots,p\, </math>), <math>\theta_{i}\, </math> (<math>i=1,2,\cdots,q\, </math>) はパラメータ (一定) である.

　弱定常過程 <math>x_{t}\, </math> の確率的変動が <math>\phi(L)x_{t} =\theta(L)\varepsilon_{t}\, </math>(すなわち,<math>x_{t}=\phi_{1}x_{t-1}+\cdots+\phi_{p}x_{t-p}+\varepsilon_{t}+\theta_{1}\varepsilon_{t-1}+\cdots+\theta_{q}\varepsilon_{t-q}\, </math>)で表わされるとき, このモデルを次数 <math>(p,q)\, </math> の自己回帰移動平均モデル(autoregressive moving average model) と呼び, <math>ARMA(p,q)\, </math> モデルと略記する.<math>ARMA(p,q)\, </math> モデルが条件「<math>\phi(z)=0\, </math> の根はすべて単位円 <math>|z|=1\, </math> 外にある」を満たせば, これを <math>MA(\infty)\, </math> モデル :<math>x_{t}=\psi(L)\varepsilon_{t}\, </math> として表現出来る.(ただし <math>\textstyle \psi(z)=\theta(z)/\phi(z)=\sum_{i=0}^{\infty}\psi_{i}z^{i}\, </math>,<math>\psi_{0}=1\, </math>, <math>\textstyle \sum_{i=0}^{\infty}|\psi_{i}|<\infty\, </math>.)また逆に条件 (反転可能性の条件 (invertibility condition) )「<math>\theta(z)=0\, </math> の根はすべて単位円 <math>|z|=1\, </math> 外にある」を満たせば, これを <math>AR(\infty)\, </math> モデル :<math>\pi(L)x_{t}=\varepsilon_{t}\, </math> として表現出来る.(ただし <math>\textstyle \pi(z)=\phi(z)/\theta(z)=\sum_{i=0}^{\infty}\pi_{i}z^{i}\, </math>, <math>\pi_{0}=1\, </math>, \<math>sum_{i=0}^{\infty}|\pi_{i}|<\infty\, </math>.)

　AR なる用語は <math>x_{t}\, </math> を自身の過去の値に回帰することに由来しており, [[ARモデル]]は理解しやすい構造を持っている.一方, [[MAモデル]]は過程の理論的性質を調べる上で重要である.また <math>ARMA(p,q)\, </math> モデルは <math>AR(p)\, </math> モデルと <math>MA(q)\, </math> モデルを混合したモデルであり, これらのモデルを単独で使用した場合に比べてより少ないパラメータで定常過程の種々の性質を表現出来る点に特徴がある.

　次に<math> d\, </math> を自然数として, 次数 <math>d\, </math> の階差演算子 (difference operator)<math>(1-L)^{d}\, </math> を<math>\textstyle (1-L)^{d}=\sum_{i=0}^{d} {}_{d}C_{i}(-1)^{i}L^{i}\, </math>(<math>d=1,2,\cdots\, </math>) と定義する.非定常過程 <math>y_{t}\, </math> の <math>d\, </math> 階階差 <math>x_{t}=(1-L)^{d}y_{t}\, </math> が弱定常となるとき,<math>y_{t}\, </math> は階差次数 <math>d\, </math> の和分モデル (integrated model) に従うと言い,このモデルを <math>I(d)\, </math> モデルと略記する.中でも <math>x_{t}=(1-L)^{d}y_{t}\, </math> が特に <math>ARMA(p,q)\, </math> モデルに従い,<math>\phi(L)(1-L)^{d}y_{t} = \theta(L)\varepsilon_{t}\, </math>と表わせるとき, このモデルを次数 <math>(p,d,q)\, </math> の[[自己回帰和分移動平均モデル]] (autoregressive integrated moving average model) と呼び,<math>ARIMA(p,d,q)\, </math> モデルと略記する.特に <math>ARIMA(p,0,q)\, </math> モデルが <math>ARMA(p,q)\, </math> モデルに他ならない.また <math>ARIMA(0,1,0)\, </math> モデルは[[ランダムウォーク]]モデル (randomwalk model) となる.

　Box and Jenkins [2] が従来の研究成果をふまえて, [[ARIMAモデル]]の 1) 同定 (identification), 2) 推定 (estimation), 3) 診断 (diagnostic checking), 4) [[予測]]と制御 (forecasting and control)に関する統計的分析法を体系的に提示して以来, ARIMA モデルは[[時系列解析]]に不可欠なパラメトリックモデルとして重要な役割を果たしている.

　特に 1) モデルの同定に関しては, 多くの時系列において階差次数 <math>d\, </math> が高々 1 (ないし 2) であることが経験的に知られている.また AR 次数 <math>p\, </math>, MA 次数 <math>q\, </math> については, [[自己相関関数]]と偏自己相関関数の特徴をもとにこれらを決定する方法 [2] 以外に, AIC (Akaike's information criterion) 最小化法が用いられることも多い.また, 季節変動を含む経済時系列解析に有効なモデルとして, 周期 <math>s\, </math> (例えば4 半期データ, 月次データに応じて <math>s=4, 12\, </math> 等) の季節変動を取り扱う季節的ARIMA モデル(seasonal ARIMA model) があげられる [2]. 2) パラメータの推定に関しては最尤法をはじめとした各種の非線形推定法が提案されており, 3) モデルの診断についても, 残差系列がホワイトノイズに従うか否かを残差系列の自己相関関数にもとづき検定する方法をはじめとして幾つかの統計的仮説検定法が提案されている [1], [3], [6]. 4) 予測や制御に関しては, 例えば (単純) [[指数平滑法|指数平滑化法]]が <math>ARIMA(0,1,1)\, </math> モデルの予測に最適な方法であることが明らかにされており,さらに ARIMA モデルの状態空間表現 (state space representation) や[[カルマンフィルター]] (Kalmanfilter)との関連性が明らかにされている.また ARIMA モデルは各種の需要予測や[[経済予測]]に有効なモデルであることが知られている.

　ARIMA モデルは様々な方向に拡張されている. 例えば金融時系列解析の分野における分散変動を考慮した[[ARCHモデル|ARCH, GARCH]], EGARCH (exponential GARCH), IGARCH (integrated GARCH) モデルや,階差次数 <math>d\, </math> を実数に拡張した ARFIMA モデル (AR fractionally integratedMA model) はその一例である [3], [5].また, [[計量経済モデル]]との関連では,AR(I)MA モデルを多変量化した VAR(I)MA モデル (vector AR(I)MA model),外生変数 (exogenous variables) を取り入れた AR(I)MAX モデル(AR(I)MA model with exogenous variables) 等の構築や, これらをもとにしたグレンジャー因果関係 (Granger causality) の検証がなされており,さらにランダムウォークモデルとの関連で階差次数 <math>d=1\, </math> の統計的仮説検定を取り扱う単位根検定 (unit root test) や, 複数の和分モデルの一次結合が定常モデルに従う共和分モデル (cointegrated model) の構築等がなされている [4], [5], [7].

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'''参考文献'''

[1] T. W. Anderson, ''The Statistical Analysis of Time Series'', John Wiley, 1971.

[2] G. E. P. Box and G. M. Jenkins, ''Time Series Analysis : Forecasting and Control'', Holden-Day, 1970. (rev. ed., Holden-Day, 1976. 3rd ed. by G. E. P. Box, G. M. Jenkins and G. C. Reinsel, Prentice-Hall, 1994.)

[3] P. J. Brockwell and R. A. Davis, ''Time Series : Theory and Methods (2nd ed.),'' Springer-Verlag, 1991.

[4] W. A. Fuller, ''Introduction to Statistical Time Series (2nd ed.)'', John Wiley, 1996.

[5] J. D. Hamilton, ''Time Series Analysis'', Princeton University Press, 1994.

[6] E. J. Hannan, ''Multiple Time Series'', John Wiley, 1970.

[7] G. C. Reinsel, ''Elements of Multivariate Time Series Analysis (2nd ed.)'', Springer-Verlag, 1997.

[[category:予測|じこかいきわぶんいどうへいきん（ありま）もでる]]

ブラウン運動

2008-04-04T02:28:58Z

Tetsuyatominaga:

'''【ぶらうんうんどう (Brownian motion)】'''

=== 概要 ===

次の性質を満たす実数値連続確率過程 <math>\{B(t)\}_{t\ge0}</math>. <br>
(1) 重ならない区間における <math>\{B(t)\}_{t\ge 0}</math> の増分は互いに独立. <br>
(2) <math>B(s+t)-B(s)\,</math> は平均0, 分散<math>\sigma^2 t\,</math> の正規分布にしたがう. <br>
(3) <math>B(0)=0\,</math> かつ <math>B(t)\,</math> は <math>t=0\,</math> で連続. <br>
拡散係数 <math>\sigma^2=1\,</math> のときを標準ブラウン運動, <math>B_d(t) = \mu\,t + B(t)</math> をドリフトをもつブラウン運動と呼び, <math>\mu\,</math> をドリフト係数と呼ぶ.

=== 詳説 ===

　[[ランダムウォーク|ランダム・ウォーク]] (random walk) とその連続化であるブラウン運動は, でたらめな動きを表現する最も基本的な[[確率過程]]で, 幅広い応用がある.

'''ランダム・ウォーク'''　<math>\{X_n\}_{n=1}^\infty\, </math> を互いに独立で同一の分布に従う確率変数の列とするとき,

<center>
<math>S_0=s~</math>(定数), <math> \ \qquad S_n = s + \sum_{i=1}^n X_i</math>　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって定義される確率過程<math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> をランダム・ウォークと呼ぶ. 特に, ある <math>d>0\, </math> およびすべての <math>n\, </math> に対して, <math>\mathrm{P}(X_n=d)=p, \mathrm{P}(X_n=-d)=q=1-p\, </math> であるとき, <math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> は (1次元の) 単純ランダム・ウォークであるといい, さらに <math>p=q=1/2\, </math> のとき, 単純ランダム・ウォークは対称であるという. また, 「壁」によって動きが止められたり, 動く範囲が制限されるランダム・ウォークを考えることもできる. <math>X_n\, </math> の独立性より, ランダム・ウォークは[[マルコフ過程]]となる.

　初期値<math>s=0\, </math> のランダム・ウォークにおいて, <math>n\, </math>ステップ後の位置の[[期待値]]と[[分散]]は, それぞれ <math>\mathrm{E}(S_n)=n\,\mathrm{E}(X_1)\, </math>, <math>\mathrm{V}(S_n)=n\,\mathrm{V}(X_1)\, </math> となり, 時間の経過に比例する. 分散が時間の経過に比例することから, ランダム・ウォークは時間が経つにつれて次第に拡散していくことが分かる.

　<math>d=1\, </math>, <math>0<p<1\, </math> として得られる単純ランダム・ウォーク <math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> は, 整数を[[状態空間]]とする周期2の[[既約]]な[[マルコフ連鎖]]である. このマルコフ連鎖は <math>p\ne1/2\, </math> のとき一時的であり, <math>p=q=1/2\, </math> ならば零再帰的となる. たとえば <math>p>1/2\, </math> ならば <math>S_n\, </math> はだんだん大きくなっていく傾向があり, 正の方へドリフトする. このため出発点に戻ることは保証できなくなり一時的となるのである.

　2次元の対称な単純ランダム・ウォーク(2次元格子点空間上の4つの隣接点にそれぞれ確率<math>1/4\, </math> で推移する) は零再帰的, 3次元以上の単純ランダム・ウォークはすべて一時的であることも知られている [1].

'''単純ランダム・ウォークからブラウン運動へ'''　<math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> を初期値<math>s=0\, </math> の対称な単純ランダム・ウォークとする. このランダム・ウォークが1ステップ進むのに <math>T\, </math> だけ時間がかかるとして, <math>T\, </math> と <math>d\, </math> を同時に0に近づけることを考える. <math>t=n\,T\, </math> に対して, 時刻<math>t\, </math> にランダム・ウォークが <math>x\, </math> にいる確率を <math>v(x,t)\, </math> と表すと, <math>v(x,t)\, </math> は差分方程式 <math>v(x,t+T) = \{ v(x-d,t) + v(x+d,t) \}/2\, </math> を満たすので,

<center>
<math>
\frac{v(x,t+T) - v(x,t)}{T}
= \frac{1}{2}\ \frac{d^2}{T}\
\frac{v(x+d,t) - 2\,v(x,t) + v(x-d,t)}{d^2}
</math>
</center>

が得られる. <math>d^2/T=\sigma^2\, </math>(定数) を保ったまま <math>T\to0 (d\to0)\, </math> とすれば

<center><math>
\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}
= \frac{\sigma^2}{2}\ \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}
</math>　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

を得る. 式 (2) は[[拡散方程式]] (diffusion equation) と呼ばれ, その解は初期条件<math>v(0,0)=1\, </math>, <math>v(x,0)=0 (x\ne0)\, </math> のもとで, [[正規分布]] <math>N(0,\sigma^2\,t)\, </math> の[[密度関数]]となる. より一般的には, 初期値が0の (必ずしも対称でない) 単純ランダム・ウォークにおいて, <math>d^2/T=\sigma^2\, </math>, <math>(p-q)/d=\mu/\sigma^2\, </math> を保ったまま <math>T\to0\, </math> とすると, 時刻<math>t\, </math> での位置が正規分布<math>N(\mu\,t,\sigma^2\,t)\, </math> に従う確率過程が得られる [1].

'''ブラウン運動'''　イギリスの植物学者ブラウン (R. Brown) は, 水面に浮く花粉中の微粒子が極めて不規則な動きをすることを見いだした. アインシュタイン (A. Einstein) は, この運動が拡散方程式 (2) によって特徴づけられることを示し, その後ウィナー (N. Wiener) らによって確率過程としての基盤が築かれた. この確率過程を[[ブラウン運動]] (Brownian motion) または[[ウィーナー過程]] (Wiener process) と呼ぶ.

　(1次元の) ブラウン運動<math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> は次の性質を満たす実数値確率過程である:

:1. [[独立増分過程]]である.

:2. 任意の <math>s\, </math>, <math>t>0\, </math> に対して <math>B(s+t)-B(s)\, </math> は正規分布<math>N(0,\sigma^2\,t)\, </math> に従う.

:3. <math>B(0)=0\, </math> かつ <math>B(t)\, </math> は <math>t=0\, </math> で連続.

1. より, 時刻 <math>s\, </math> 以降の <math>\{B(t)\}_{t\ge s}\, </math> の振る舞いは <math>s\, </math> までの履歴には依存しないため, ブラウン運動はマルコフ過程である. さらに, ブラウン運動が[[強マルコフ性]]を持つこと, 標本路が連続となることも知られている [2].

　<math>\sigma^2\, </math> を拡散係数と呼び, 特に <math>\sigma^2=1\, </math> のブラウン運動を標準ブラウン運動と呼ぶ. また, <math>B_d(t) = \mu\,t + B(t)\, </math> によって定まる <math>\{B_d(t)\}_{t\ge0}\, </math> をドリフトを持つブラウン運動と呼び, <math>\mu\, </math> をドリフト係数と呼ぶ.

'''鏡像原理''' ドリフトのないブラウン運動 <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> に対して <math>\tau_a\, </math> を <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> が初めて <math>a\, </math> を横切る時刻とすると, <math>\tau_a\, </math> は[[停止時]] (stopping time) となる. <math>t\ge\tau_a\, </math> において <math>\{B(t)\}_{t\ge\tau_a}\, </math> と <math>a\, </math> に関して対称な標本路を持つ確率過程<math>\{\bar{B}(t)\}_{t\ge0}\, </math> を

<center>
<math>
\bar{B}(t) = \left\{\begin{array}{ll}
B(t), &\quad t<\tau_a, \\
2\,a - B(t), &\quad t\ge\tau_a,
\end{array}\right.
</math>
</center>

で定める. <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> が強マルコフ性を持つことと, <math>\{B(t)\}\, </math> と <math>\{\bar{B}(t)\}\, </math> の対称性から, <math>\{B(t)\}\, </math> と <math>\{\bar{B}(t)\}\, </math> は同じ確率法則に従うことがわかる. 一般にこのような性質を[[鏡像原理]] (reflection principle) と呼び, 初到達時間の分布などを求める際に利用される.

'''拡散過程''' ドリフト係数や拡散係数が位置<math>x\, </math> や時刻<math>t\, </math> に依存した値<math>\mu(x,t)\, </math>, <math>\sigma^2(x,t)\, </math> をとるように一般化して得られる確率過程<math>\{D(t)\}_{t\ge0}\, </math> を[[拡散過程]] (diffusion process) と呼び, <math>\mu(x,t)\, </math> と <math>\sigma^2(x,t)\, </math> を, それぞれドリフト関数, 拡散関数と呼ぶ. 拡散過程は強マルコフ性を持ち, その標本路は連続である. 逆に, 連続な標本路を持つマルコフ過程は拡散過程となることが知られている.

　ブラウン運動や拡散過程の標本路は, 連続であるがいたるところで微分不可能という性質を持っている. このため拡散過程の解析においては, [[確率積分]]や[[確率微分方程式]]といった通常の微分や積分とは異なる概念が必要となる [3, 4].

----
'''参考文献'''

[1] W. Feller,　''An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 2nd Ed.'', John Wiley & Sons, 1957. 河田龍夫監訳, 『確率論とその応用 I』, 紀伊国屋書店, 1960 (上巻), 1961 (下巻).

[2] K. Itô and H. P. McKean, ''Diffusion Processes and Their Sample Paths'', Second Printing, Springer-Verlag, 1996.

[3] 木島正明, 『ファイナンス工学入門第I部ランダムウォークとブラウン運動』, 日科技連, 1994.

[4] 渡辺信三, 『確率微分方程式』, 産業図書, 1975.

[[category:確率と確率過程|らんだむ・うぉーくとぶらうんうんどう]]

ランダムウォーク

2008-04-04T02:27:52Z

Tetsuyatominaga:

'''【らんだむうぉーく (random walk)】'''

=== 概要 ===

<math>\{X_n\}_{n=1}^\infty\,</math> を互いに独立で同一の分布にしたがう確率変数の列とするとき,

<center>
<math>S_0=s~(</math>定数<math>), \qquad
S_n = s + \sum_{i=1}^n X_i</math>
</center>

によって定義されるマルコフ連鎖. すべての <math>n\,</math> に対して <math>\mathrm{P}(X_n=d)=p\,</math>, <math>\mathrm{P}(X_n=-d)=q=1-p\,</math> であるときを単純ランダムウォークといい, さらに <math>p=q=1/2\,</math> のとき, 単純ランダムウォークは対称であるという. 壁によって動きを遮られたり, 動く範囲が制限されるランダムウォークを考えることもできる.

=== 詳説 ===

　[[ランダムウォーク|ランダム・ウォーク]] (random walk) とその連続化であるブラウン運動は, でたらめな動きを表現する最も基本的な[[確率過程]]で, 幅広い応用がある.

'''ランダム・ウォーク'''　<math>\{X_n\}_{n=1}^\infty\, </math> を互いに独立で同一の分布に従う確率変数の列とするとき,

<center>
<math>S_0=s~</math>(定数), <math> \ \qquad S_n = s + \sum_{i=1}^n X_i</math>　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって定義される確率過程<math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> をランダム・ウォークと呼ぶ. 特に, ある <math>d>0\, </math> およびすべての <math>n\, </math> に対して, <math>\mathrm{P}(X_n=d)=p, \mathrm{P}(X_n=-d)=q=1-p\, </math> であるとき, <math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> は (1次元の) 単純ランダム・ウォークであるといい, さらに <math>p=q=1/2\, </math> のとき, 単純ランダム・ウォークは対称であるという. また, 「壁」によって動きが止められたり, 動く範囲が制限されるランダム・ウォークを考えることもできる. <math>X_n\, </math> の独立性より, ランダム・ウォークは[[マルコフ過程]]となる.

　初期値<math>s=0\, </math> のランダム・ウォークにおいて, <math>n\, </math>ステップ後の位置の[[期待値]]と[[分散]]は, それぞれ <math>\mathrm{E}(S_n)=n\,\mathrm{E}(X_1)\, </math>, <math>\mathrm{V}(S_n)=n\,\mathrm{V}(X_1)\, </math> となり, 時間の経過に比例する. 分散が時間の経過に比例することから, ランダム・ウォークは時間が経つにつれて次第に拡散していくことが分かる.

　<math>d=1\, </math>, <math>0<p<1\, </math> として得られる単純ランダム・ウォーク <math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> は, 整数を[[状態空間]]とする周期2の[[既約]]な[[マルコフ連鎖]]である. このマルコフ連鎖は <math>p\ne1/2\, </math> のとき一時的であり, <math>p=q=1/2\, </math> ならば零再帰的となる. たとえば <math>p>1/2\, </math> ならば <math>S_n\, </math> はだんだん大きくなっていく傾向があり, 正の方へドリフトする. このため出発点に戻ることは保証できなくなり一時的となるのである.

　2次元の対称な単純ランダム・ウォーク(2次元格子点空間上の4つの隣接点にそれぞれ確率<math>1/4\, </math> で推移する) は零再帰的, 3次元以上の単純ランダム・ウォークはすべて一時的であることも知られている [1].

'''単純ランダム・ウォークからブラウン運動へ'''　<math>\{S_n\}_{n=0}^\infty\, </math> を初期値<math>s=0\, </math> の対称な単純ランダム・ウォークとする. このランダム・ウォークが1ステップ進むのに <math>T\, </math> だけ時間がかかるとして, <math>T\, </math> と <math>d\, </math> を同時に0に近づけることを考える. <math>t=n\,T\, </math> に対して, 時刻<math>t\, </math> にランダム・ウォークが <math>x\, </math> にいる確率を <math>v(x,t)\, </math> と表すと, <math>v(x,t)\, </math> は差分方程式 <math>v(x,t+T) = \{ v(x-d,t) + v(x+d,t) \}/2\, </math> を満たすので,

<center>
<math>
\frac{v(x,t+T) - v(x,t)}{T}
= \frac{1}{2}\ \frac{d^2}{T}\
\frac{v(x+d,t) - 2\,v(x,t) + v(x-d,t)}{d^2}
</math>
</center>

が得られる. <math>d^2/T=\sigma^2\, </math>(定数) を保ったまま <math>T\to0 (d\to0)\, </math> とすれば

<center><math>
\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}
= \frac{\sigma^2}{2}\ \frac{\partial^2 v(x,t)}{\partial x^2}
</math>　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

を得る. 式 (2) は[[拡散方程式]] (diffusion equation) と呼ばれ, その解は初期条件<math>v(0,0)=1\, </math>, <math>v(x,0)=0 (x\ne0)\, </math> のもとで, [[正規分布]] <math>N(0,\sigma^2\,t)\, </math> の[[密度関数]]となる. より一般的には, 初期値が0の (必ずしも対称でない) 単純ランダム・ウォークにおいて, <math>d^2/T=\sigma^2\, </math>, <math>(p-q)/d=\mu/\sigma^2\, </math> を保ったまま <math>T\to0\, </math> とすると, 時刻<math>t\, </math> での位置が正規分布<math>N(\mu\,t,\sigma^2\,t)\, </math> に従う確率過程が得られる [1].

'''ブラウン運動'''　イギリスの植物学者ブラウン (R. Brown) は, 水面に浮く花粉中の微粒子が極めて不規則な動きをすることを見いだした. アインシュタイン (A. Einstein) は, この運動が拡散方程式 (2) によって特徴づけられることを示し, その後ウィナー (N. Wiener) らによって確率過程としての基盤が築かれた. この確率過程を[[ブラウン運動]] (Brownian motion) または[[ウィーナー過程]] (Wiener process) と呼ぶ.

　(1次元の) ブラウン運動<math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> は次の性質を満たす実数値確率過程である:

:1. [[独立増分過程]]である.

:2. 任意の <math>s\, </math>, <math>t>0\, </math> に対して <math>B(s+t)-B(s)\, </math> は正規分布<math>N(0,\sigma^2\,t)\, </math> に従う.

:3. <math>B(0)=0\, </math> かつ <math>B(t)\, </math> は <math>t=0\, </math> で連続.

1. より, 時刻 <math>s\, </math> 以降の <math>\{B(t)\}_{t\ge s}\, </math> の振る舞いは <math>s\, </math> までの履歴には依存しないため, ブラウン運動はマルコフ過程である. さらに, ブラウン運動が[[強マルコフ性]]を持つこと, 標本路が連続となることも知られている [2].

　<math>\sigma^2\, </math> を拡散係数と呼び, 特に <math>\sigma^2=1\, </math> のブラウン運動を標準ブラウン運動と呼ぶ. また, <math>B_d(t) = \mu\,t + B(t)\, </math> によって定まる <math>\{B_d(t)\}_{t\ge0}\, </math> をドリフトを持つブラウン運動と呼び, <math>\mu\, </math> をドリフト係数と呼ぶ.

'''鏡像原理''' ドリフトのないブラウン運動 <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> に対して <math>\tau_a\, </math> を <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> が初めて <math>a\, </math> を横切る時刻とすると, <math>\tau_a\, </math> は[[停止時]] (stopping time) となる. <math>t\ge\tau_a\, </math> において <math>\{B(t)\}_{t\ge\tau_a}\, </math> と <math>a\, </math> に関して対称な標本路を持つ確率過程<math>\{\bar{B}(t)\}_{t\ge0}\, </math> を

<center>
<math>
\bar{B}(t) = \left\{\begin{array}{ll}
B(t), &\quad t<\tau_a, \\
2\,a - B(t), &\quad t\ge\tau_a,
\end{array}\right.
</math>
</center>

で定める. <math>\{B(t)\}_{t\ge0}\, </math> が強マルコフ性を持つことと, <math>\{B(t)\}\, </math> と <math>\{\bar{B}(t)\}\, </math> の対称性から, <math>\{B(t)\}\, </math> と <math>\{\bar{B}(t)\}\, </math> は同じ確率法則に従うことがわかる. 一般にこのような性質を[[鏡像原理]] (reflection principle) と呼び, 初到達時間の分布などを求める際に利用される.

'''拡散過程''' ドリフト係数や拡散係数が位置<math>x\, </math> や時刻<math>t\, </math> に依存した値<math>\mu(x,t)\, </math>, <math>\sigma^2(x,t)\, </math> をとるように一般化して得られる確率過程<math>\{D(t)\}_{t\ge0}\, </math> を[[拡散過程]] (diffusion process) と呼び, <math>\mu(x,t)\, </math> と <math>\sigma^2(x,t)\, </math> を, それぞれドリフト関数, 拡散関数と呼ぶ. 拡散過程は強マルコフ性を持ち, その標本路は連続である. 逆に, 連続な標本路を持つマルコフ過程は拡散過程となることが知られている.

　ブラウン運動や拡散過程の標本路は, 連続であるがいたるところで微分不可能という性質を持っている. このため拡散過程の解析においては, [[確率積分]]や[[確率微分方程式]]といった通常の微分や積分とは異なる概念が必要となる [3, 4].

----
'''参考文献'''

[1] W. Feller,　''An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, 2nd Ed.'', John Wiley & Sons, 1957. 河田龍夫監訳, 『確率論とその応用 I』, 紀伊国屋書店, 1960 (上巻), 1961 (下巻).

[2] K. Itô and H. P. McKean, ''Diffusion Processes and Their Sample Paths'', Second Printing, Springer-Verlag, 1996.

[3] 木島正明, 『ファイナンス工学入門第I部ランダムウォークとブラウン運動』, 日科技連, 1994.

[4] 渡辺信三, 『確率微分方程式』, 産業図書, 1975.

[[category:確率と確率過程|らんだむ・うぉーくとぶらうんうんどう]]

出生死滅過程

2008-04-04T02:26:33Z

Tetsuyatominaga:

'''【しゅっしょうしめつかてい (birth and death process)】'''

=== 概要 ===

状態空間 <math>\{0, 1, ...\}\,</math> 上の連続時間マルコフ連鎖 <math>\{X(t)\}\,</math> で, 推移速度行列 <math>Q = (q_{ij})\,</math> が次で与えられる確率過程.

<table align="center">
<tr>
<td rowspan="5"><math> q_{ij}=
\left\{
\begin{array}{l}\\\\\\\\\\\\\end{array} \right. </math> </td>
<td><math>\lambda_i,\,</math></td><td><math>i \geq 0\,</math> かつ <math>j=i+1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\mu_i,\,</math></td><td><math>i \geq 1\,</math> かつ <math>j=i-1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>-\lambda_0,\,</math></td><td><math>i=j=0\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>-(\lambda_i+\mu_i),\,</math></td><td><math>i\ge 1\,</math> かつ <math>j=i\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>0,\,</math></td><td>その他</td>
</tr>
</table>

=== 詳説 ===

　[[ポアソン過程]] (Poisson process) は, ランダムに生起する事象を表す基本的な[[確率過程]]で, 客の到着や故障の発生, 個体の出生など様々な現象のモデル化に使われる. 一方, [[出生死滅過程]]は個体の出生だけでなくランダムな死滅も考慮した確率過程で, [[待ち行列モデル|待ち行列理論]]をはじめ広く利用されている.

'''ポアソン過程'''　事象の生起時点列を <math>0 \le T_1 \le T_2 \le ...\, </math> とし, <math>N(t)\, </math> を区間 <math>[0, t]\, </math> における事象の生起数, <math>N(u,v) = N(v) - N(u)\, </math> を区間 <math>(u, v]\, </math> での生起数とする. このような確率過程<math>\{N(t), t\ge 0\}\, </math> は一般に計数過程と呼ばれる. 計数過程 <math>\{N(t)\}\, </math> がポアソン過程であるとは, 正の実数 <math>\lambda\, </math> が存在して任意の <math>t\ge 0\, </math> および <math>h>0\, </math> に対して

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
&\mathrm{P}(N(t,t+h) = 1 \ | \ T_1,...,T_{N(t)}) = \lambda h + o(h), & \qquad (1)\\
\\
&\mathrm{P}(N(t,t+h) \geq 2 \ | \ T_1,...,T_{N(t)}) = o(h). & \qquad (2)
\end{array}
</math>
</center>

が成り立つことである.

　(1), (2) はランダムな事象の生起を3つの点で特徴付けている. 第1は, 微小区間 <math>(t, t+h]\, </math> に事象が生起する確率は時刻 <math>t\, </math> 以前の挙動に独立であるという点, 第2は, 微小区間に2つ以上の事象が生起する確率は無視できるという点, 第3は, 微小区間に事象の生起する確率が時刻によらない点である. 式 (1) の <math>\lambda\, </math> を強度 (intensity) または生起率と呼ぶ. これは単位時間あたりの平均生起数を表す. 強度を時間の関数 <math>\lambda(t)\, </math> に拡張したものは[[ポアソン過程|非定常ポアソン過程]]と呼ばれる. 以下はポアソン過程の性質であり, それぞれがポアソン過程の同値な定義でもある.

'''性質1'''　ポアソン過程 <math>\{N(t)\}\, </math> において,事象の生起間隔の列 <math>U_i =T_{i+1} - T_i\, </math> は互いに独立で平均 <math>1/\lambda\, </math> の
[[指数分布]]に従う.
\medskip

'''性質2'''　ポアソン過程 <math>\{N(t)\}\, </math> は[[独立増分過程]]で, 任意の <math>s<t\, </math> に対して <math>N(s,t)\, </math> は平均 <math>\lambda (t-s)\, </math> の[[ポアソン分布]]に従う.

　性質1は[[無記憶性 (指数分布の)|指数分布の無記憶性]]から自然に導かれる. また, 性質2より複数の独立なポアソン過程の重ね合わせは, それぞれの強度の和を強度に持つポアソン過程となることが分かる. また, 次の定理は確率変数の和に対する[[少数の法則]]の確率過程版である.

'''定理1'''　各 <math>k\, </math> に対して <math>\ell_k\, </math> 個の計数過程 <math>\{N_{k1}(t)\}, \cdots, \{N_{k\ell_k}(t)\}\, </math> を考え, その重ね合わせを <math>N_k(t) =N_{k1}(t)+ \cdots +N_{k\ell_k}(t)\, </math> とする. <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \ell_k=\infty\, </math> で, かつ (a) <math>\{N_{ki}(t)\}, \, i=1, \ldots , \ell_k\, </math> は互いに独立, (b) 任意の <math>u<v\, </math> に対して <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sup_{1\le i \le \ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v) \ge 1) = 0\, </math> が成り立つとすると, <math>\textstyle k\to\infty\, </math> のとき <math>\{N_k(t)\}\, </math> が[[ポアソン過程|平均測度]] <math>\{\Lambda(t)\}\, </math> の (非定常) ポアソン過程に収束するための必要十分条件は, 任意の <math>u<v\, </math> に対して, <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v)=1) =\Lambda(v) - \Lambda(u)\, </math> および <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v)>1) = 0\, </math>が成り立つことである. なお, <math>\Lambda(t)\, </math> が微分可能ならば強度は <math>\lambda(t) = \mbox{d}\Lambda(t)/\mbox{d}t\, </math> となる.

　定理1は, 実際に起こる様々な現象をポアソン過程を用いて表わすことの妥当性を示唆している. 例えば, 電話網のある回線群への接続要求 (呼) は非常に多くの電話機からかかってくる呼の重ね合わせとみなせる. この場合, 各電話機は独立に使われており (仮定 (a)), その頻度は十分小さい (仮定 (b)) と考えられるため, この回線群への呼の発生はポアソン過程としてモデル化できるであろう. この他にも, [[マルチンゲール]]によるポアソン過程の特徴付けや, 事象平均と時間平均の同等性を示す[[PASTA]] (Poisson arrivals see time averages) など, ポアソン過程には興味深い性質が多い.

'''ポアソン過程の一般化'''　ポアソン過程を特徴付ける3つの条件のうち第2の条件を緩め, 事象の生起時点列はポアソン過程であるが, 各生起時点で同時に発生する事象の数は独立で同一の分布に従う確率変数である場合, <math>N(t)\, </math> は複合ポアソン過程と呼ばれる. また, 非定常ポアソン過程の強度 <math>\lambda(t)\, </math> を確率過程に拡張したものは2重確率ポアソン過程 (doubly stochastic Poisson process) と呼ばれる. 例えば, [[マルコフ変調ポアソン過程]]は <math>\lambda(t)\, </math> が連続時間マルコフ連鎖に従う例である.

'''出生過程'''　性質1より, ポアソン過程は[[状態空間]] <math>\{0, 1, ...\}\, </math> 上の[[マルコフ連鎖|連続時間マルコフ連鎖]]であることがわかる. [[推移速度行列]]を <math>\boldsymbol{Q} =(q_{ij})\, </math> とすると, 性質1から <math>q_{i,i+1} = -q_{ii} = \lambda, \, i\ge 0\, </math> でその他の <math>\boldsymbol{Q}\, </math> の要素は全て0となる. これを一般化して, <math>i\, </math> から <math>i+1\, </math> への推移速度が <math>i\, </math> に依存して <math>\lambda_i\, </math> で定まるマルコフ連鎖を[[出生過程]] (birth process)と呼ぶ. 出生過程の推移速度行列は<math>q_{i,i+1} = -q_{ii} = \lambda_i, \, i\ge 0\, </math> で, その他の要素は0である.

'''出生死滅過程'''　出生過程では, 状態は <math>i\, </math> から <math>i+1\, </math> というように1ずつ進んでいくが, <math>i\, </math> から <math>i-1\, </math> へ戻ることも許すように一般化すると, <math>q_{i,i+1} = \lambda_i, \, q_{i+1,i} = \mu_{i+1}, \, i\ge 0\, </math> かつ <math>q_{00} =-\lambda_0, \, q_{ii} = -(\lambda_i + \mu_i), \, i\ge 1\, </math> で, その他の要素は0の推移速度行列が得られる. このような3重対角の推移速度行列に従う連続時間マルコフ連鎖を[[出生死滅過程]] (birth and death process) という. また, <math>\lambda_i\, </math>, <math>\mu_i\, </math> はそれぞれ状態 <math>i\, </math> での出生率, 死滅率と呼ばれる. 出生死滅過程では, 状態 <math>i\; (\ge 1)\, </math> に滞在する時間の長さはパラメータ <math>\lambda_i+\mu_i\, </math> の指数分布に従い, 滞在時間を終えると確率 <math>\lambda_i/(\lambda_i+\mu_i)\, </math> で状態 <math>i+1\, </math> へ, 確率 <math>\mu_i/(\lambda_i+\mu_i)\, </math> で状態 <math>i-1\, </math> へ推移する.

　出生死滅過程は隣り合う状態間でのみ[[推移]]が起きるという特徴を持つため, [[定常分布]]などの特性量が陽な形で得られる. 例えば, 応用上重要な <math>\lambda_i=\lambda\, </math>, <math>\mu_i=\mu\, </math> の出生死滅過程は, <math>\lambda < \mu\, </math> のとき[[再帰確率|正再帰的]]で, <math>\rho=\lambda/\mu\, </math> とすると状態 <math>j\, </math> にいる定常確率は <math>\pi_j = (1 - \rho)\rho^j, \; j=0,1,\ldots\, </math> という[[幾何分布]]となる. なお, <math>\lambda = \mu\, </math> のときは零再帰的, <math>\lambda > \mu\, </math> のときは一時的となり定常分布は存在しない. この例は[[待ち行列モデル M/M/1|M/M/1 待ち行列モデル]]に相当する出生死滅過程であるが, 出生死滅過程はより一般的な[[待ち行列モデル M/M/c|M/M/c 待ち行列モデル]] (M/M/<math>c\, </math> 待ち行列モデル) などのマルコフ型の待ち行列モデルや, [[機械修理工モデル|機械修理モデル]]を解析する上でも重要な確率過程となっている.

----
'''参考文献'''

[1] P. Brémaud, ''Point Processes and Queues'', Springer-Verlag, 1981.

[2] D. R. Cox and V. Isham, ''Point Processes'', Chapman and Hall, 1980.

[3] R. W. Wolff, ''Stochastic Modeling and the Theory of Queues'', Prentice-Hall, 1989.

[4] 宮沢政清, 『確率と確率過程』, 近代科学社, 1993.

[[category:確率と確率過程|ぽあそんかていとしゅっせいしめつかてい]]

ポアソン過程

2008-04-04T02:25:15Z

Tetsuyatominaga:

'''【ぽあそんかてい (Poisson process)】'''

=== 概要 ===

<math>\Lambda(t)\,</math> を連続な非減少実数値関数とする. 計数過程 <math>\{N(t)\}\,</math> が平均測度 <math>\{\Lambda(t)\}\,</math> をもつ
(非定常)ポアソン過程であるとは次を満たすことである. <br>

　(1) <math>\{N(t)\}\,</math> は独立増分をもつ. <br>
　(2) <math>u < v\,</math> に対し <math>N(v) - N(u)\,</math> は平均 <math>\Lambda(v) - \Lambda(u)\,</math>のポアソン分布にしたがう.

<math>\Lambda(t)\,</math> が微分可能なときは <math>\lambda(t)=\Lambda'(t)\,</math> が <math>\{N(t)\}\,</math> の強度となる. 特に, <math>\lambda(t)\,</math> が定数のときは定常ポアソン過程である.

=== 詳説 ===

　[[ポアソン過程]] (Poisson process) は, ランダムに生起する事象を表す基本的な[[確率過程]]で, 客の到着や故障の発生, 個体の出生など様々な現象のモデル化に使われる. 一方, [[出生死滅過程]]は個体の出生だけでなくランダムな死滅も考慮した確率過程で, [[待ち行列モデル|待ち行列理論]]をはじめ広く利用されている.

'''ポアソン過程'''　事象の生起時点列を <math>0 \le T_1 \le T_2 \le ...\, </math> とし, <math>N(t)\, </math> を区間 <math>[0, t]\, </math> における事象の生起数, <math>N(u,v) = N(v) - N(u)\, </math> を区間 <math>(u, v]\, </math> での生起数とする. このような確率過程<math>\{N(t), t\ge 0\}\, </math> は一般に計数過程と呼ばれる. 計数過程 <math>\{N(t)\}\, </math> がポアソン過程であるとは, 正の実数 <math>\lambda\, </math> が存在して任意の <math>t\ge 0\, </math> および <math>h>0\, </math> に対して

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
&\mathrm{P}(N(t,t+h) = 1 \ | \ T_1,...,T_{N(t)}) = \lambda h + o(h), & \qquad (1)\\
\\
&\mathrm{P}(N(t,t+h) \geq 2 \ | \ T_1,...,T_{N(t)}) = o(h). & \qquad (2)
\end{array}
</math>
</center>

が成り立つことである.

　(1), (2) はランダムな事象の生起を3つの点で特徴付けている. 第1は, 微小区間 <math>(t, t+h]\, </math> に事象が生起する確率は時刻 <math>t\, </math> 以前の挙動に独立であるという点, 第2は, 微小区間に2つ以上の事象が生起する確率は無視できるという点, 第3は, 微小区間に事象の生起する確率が時刻によらない点である. 式 (1) の <math>\lambda\, </math> を強度 (intensity) または生起率と呼ぶ. これは単位時間あたりの平均生起数を表す. 強度を時間の関数 <math>\lambda(t)\, </math> に拡張したものは[[ポアソン過程|非定常ポアソン過程]]と呼ばれる. 以下はポアソン過程の性質であり, それぞれがポアソン過程の同値な定義でもある.

'''性質1'''　ポアソン過程 <math>\{N(t)\}\, </math> において,事象の生起間隔の列 <math>U_i =T_{i+1} - T_i\, </math> は互いに独立で平均 <math>1/\lambda\, </math> の
[[指数分布]]に従う.
\medskip

'''性質2'''　ポアソン過程 <math>\{N(t)\}\, </math> は[[独立増分過程]]で, 任意の <math>s<t\, </math> に対して <math>N(s,t)\, </math> は平均 <math>\lambda (t-s)\, </math> の[[ポアソン分布]]に従う.

　性質1は[[無記憶性 (指数分布の)|指数分布の無記憶性]]から自然に導かれる. また, 性質2より複数の独立なポアソン過程の重ね合わせは, それぞれの強度の和を強度に持つポアソン過程となることが分かる. また, 次の定理は確率変数の和に対する[[少数の法則]]の確率過程版である.

'''定理1'''　各 <math>k\, </math> に対して <math>\ell_k\, </math> 個の計数過程 <math>\{N_{k1}(t)\}, \cdots, \{N_{k\ell_k}(t)\}\, </math> を考え, その重ね合わせを <math>N_k(t) =N_{k1}(t)+ \cdots +N_{k\ell_k}(t)\, </math> とする. <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \ell_k=\infty\, </math> で, かつ (a) <math>\{N_{ki}(t)\}, \, i=1, \ldots , \ell_k\, </math> は互いに独立, (b) 任意の <math>u<v\, </math> に対して <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sup_{1\le i \le \ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v) \ge 1) = 0\, </math> が成り立つとすると, <math>\textstyle k\to\infty\, </math> のとき <math>\{N_k(t)\}\, </math> が[[ポアソン過程|平均測度]] <math>\{\Lambda(t)\}\, </math> の (非定常) ポアソン過程に収束するための必要十分条件は, 任意の <math>u<v\, </math> に対して, <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v)=1) =\Lambda(v) - \Lambda(u)\, </math> および <math>\textstyle \lim_{k\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell_k} \mathrm{P}(N_{ki}(u,v)>1) = 0\, </math>が成り立つことである. なお, <math>\Lambda(t)\, </math> が微分可能ならば強度は <math>\lambda(t) = \mbox{d}\Lambda(t)/\mbox{d}t\, </math> となる.

　定理1は, 実際に起こる様々な現象をポアソン過程を用いて表わすことの妥当性を示唆している. 例えば, 電話網のある回線群への接続要求 (呼) は非常に多くの電話機からかかってくる呼の重ね合わせとみなせる. この場合, 各電話機は独立に使われており (仮定 (a)), その頻度は十分小さい (仮定 (b)) と考えられるため, この回線群への呼の発生はポアソン過程としてモデル化できるであろう. この他にも, [[マルチンゲール]]によるポアソン過程の特徴付けや, 事象平均と時間平均の同等性を示す[[PASTA]] (Poisson arrivals see time averages) など, ポアソン過程には興味深い性質が多い.

'''ポアソン過程の一般化'''　ポアソン過程を特徴付ける3つの条件のうち第2の条件を緩め, 事象の生起時点列はポアソン過程であるが, 各生起時点で同時に発生する事象の数は独立で同一の分布に従う確率変数である場合, <math>N(t)\, </math> は複合ポアソン過程と呼ばれる. また, 非定常ポアソン過程の強度 <math>\lambda(t)\, </math> を確率過程に拡張したものは2重確率ポアソン過程 (doubly stochastic Poisson process) と呼ばれる. 例えば, [[マルコフ変調ポアソン過程]]は <math>\lambda(t)\, </math> が連続時間マルコフ連鎖に従う例である.

'''出生過程'''　性質1より, ポアソン過程は[[状態空間]] <math>\{0, 1, ...\}\, </math> 上の[[マルコフ連鎖|連続時間マルコフ連鎖]]であることがわかる. [[推移速度行列]]を <math>\boldsymbol{Q} =(q_{ij})\, </math> とすると, 性質1から <math>q_{i,i+1} = -q_{ii} = \lambda, \, i\ge 0\, </math> でその他の <math>\boldsymbol{Q}\, </math> の要素は全て0となる. これを一般化して, <math>i\, </math> から <math>i+1\, </math> への推移速度が <math>i\, </math> に依存して <math>\lambda_i\, </math> で定まるマルコフ連鎖を[[出生過程]] (birth process)と呼ぶ. 出生過程の推移速度行列は<math>q_{i,i+1} = -q_{ii} = \lambda_i, \, i\ge 0\, </math> で, その他の要素は0である.

'''出生死滅過程'''　出生過程では, 状態は <math>i\, </math> から <math>i+1\, </math> というように1ずつ進んでいくが, <math>i\, </math> から <math>i-1\, </math> へ戻ることも許すように一般化すると, <math>q_{i,i+1} = \lambda_i, \, q_{i+1,i} = \mu_{i+1}, \, i\ge 0\, </math> かつ <math>q_{00} =-\lambda_0, \, q_{ii} = -(\lambda_i + \mu_i), \, i\ge 1\, </math> で, その他の要素は0の推移速度行列が得られる. このような3重対角の推移速度行列に従う連続時間マルコフ連鎖を[[出生死滅過程]] (birth and death process) という. また, <math>\lambda_i\, </math>, <math>\mu_i\, </math> はそれぞれ状態 <math>i\, </math> での出生率, 死滅率と呼ばれる. 出生死滅過程では, 状態 <math>i\; (\ge 1)\, </math> に滞在する時間の長さはパラメータ <math>\lambda_i+\mu_i\, </math> の指数分布に従い, 滞在時間を終えると確率 <math>\lambda_i/(\lambda_i+\mu_i)\, </math> で状態 <math>i+1\, </math> へ, 確率 <math>\mu_i/(\lambda_i+\mu_i)\, </math> で状態 <math>i-1\, </math> へ推移する.

　出生死滅過程は隣り合う状態間でのみ[[推移]]が起きるという特徴を持つため, [[定常分布]]などの特性量が陽な形で得られる. 例えば, 応用上重要な <math>\lambda_i=\lambda\, </math>, <math>\mu_i=\mu\, </math> の出生死滅過程は, <math>\lambda < \mu\, </math> のとき[[再帰確率|正再帰的]]で, <math>\rho=\lambda/\mu\, </math> とすると状態 <math>j\, </math> にいる定常確率は <math>\pi_j = (1 - \rho)\rho^j, \; j=0,1,\ldots\, </math> という[[幾何分布]]となる. なお, <math>\lambda = \mu\, </math> のときは零再帰的, <math>\lambda > \mu\, </math> のときは一時的となり定常分布は存在しない. この例は[[待ち行列モデル M/M/1|M/M/1 待ち行列モデル]]に相当する出生死滅過程であるが, 出生死滅過程はより一般的な[[待ち行列モデル M/M/c|M/M/c 待ち行列モデル]] (M/M/<math>c\, </math> 待ち行列モデル) などのマルコフ型の待ち行列モデルや, [[機械修理工モデル|機械修理モデル]]を解析する上でも重要な確率過程となっている.

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'''参考文献'''

[1] P. Brémaud, ''Point Processes and Queues'', Springer-Verlag, 1981.

[2] D. R. Cox and V. Isham, ''Point Processes'', Chapman and Hall, 1980.

[3] R. W. Wolff, ''Stochastic Modeling and the Theory of Queues'', Prentice-Hall, 1989.

[4] 宮沢政清, 『確率と確率過程』, 近代科学社, 1993.

[[category:確率と確率過程|ぽあそんかていとしゅっせいしめつかてい]]

ペトリネット

2008-04-04T02:07:22Z

Tetsuyatominaga:

'''【ぺとりねっと (Petri net)】'''

=== 概要 ===

ペトリネットは離散事象システムをモデル化するための有力なツールである. 離散事象システムの特徴は, 事象生起の並行性, 非同期性, および非決定性にあり, ペトリネットはこれらの特徴をもったシステムを, 条件と事象を基本としてモデル化し, 数学的解析を可能にしている.一方, ペトリネットをシミュレーションツールとしてとらえるのは最近の1つの傾向であり, 特に,大規模ペトリネットに対してはシミュレーションによる解析が威力を発揮する.

=== 詳説 ===

　[[ペトリネット]]は, 1962年C.A.Petriによって, 非同期的でかつ並列的にふるまうシステムに対して, その中の情報の流れや制御を記述し解析するために考えだされたものである. ペトリネットはいくつかの事象が並列的に発生する中で, それらの発生の順序, 頻度などにある制約が与えられているようなシステムをモデル化するために用いられてきた. 離散事象システムの特徴は, 事象生起の並行性, 非同期性, および非決定性にあり, ペトリネットはこのような特徴持ったシステムを条件(condition)と事象(event)を基本としてモデル化し, 数学的解析を可能にする. ペトリネットでは条件をプレースと呼ばれる丸印"○"で表し, 事象をトランジションと呼ばれる棒"｜"で表す. したがって, ペトリネットは有向枝をもつ2部グラフ(bipartite graph)の構造を有している.

　ペトリネットの実行はプレースに置かれたマーク(これをトークンと呼ぶ)の位置とその動きによって制御される. トークンは黒丸(<math>\bullet\, </math>)で表し, プレースの中に置く. プレースにトークンを割り当てることをマーキングという. 一般にペトリネットでは, システムの初期の状態を表すのに初期マーキングが割り当てられている. トークンの動きは発火規則に従っている. 図1にはペトリネットの要素と発火規則の適用例を示す. トークンがペトリネット内を動き回る様子, すなわち状態遷移はボードを使うゲームに似ていて, それは次のような規則に従っている.

(1)　トークンはペトリネットのトランジションを発火(firing)させることによりネット内を移動する.

(2)　トランジションを発火させるためにはトランジションが発火可能(enable)でなければならない. トランジションのすべての入力プレースにトークンがあるとき, そのトランジションは発火可能である(図1(b)).

(3)　トランジションが発火すると, その入力プレースからトークンを取り除き, 新しいトークンを生成してそれを出力プレースに置く(図1(c)).

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0111-petrinet-new.png|center|図１]]</td></tr>
<td align=center>図１</td></table></center>

　ところで, 条件が成立しているということは, すべての入力プレース内にトークンがあり, そのトランジションは発火可能の状態, すなわち事象が生起する状態になっていることを意味する. このように, トークンがペトリネット内を発火規則に従って動き回る様子は, ペトリネットの動的な性質を表している.

　さらに複雑な発火規則を定めることによっていろいろな動的な動作をモデル化することができる.

　ペトリネットによってシステムをモデル化し, そのモデルに基づいてシステムを解析しようとするとき, 一般的には, システムが支障なく所定の動作を行うために必要な基本的要件として, 次の3つが考えられる.

(1)　モデル化したペトリネットは発散しないか. すなわち, おのおののプレースのトークン数はトランジションの発火によってつねに有界であるか.

(2)　ある初期状態から目標状態へ移行する発火系列が存在するか. すなわち, マーキングのある初期状態からスタートして発火可能なトランジションを発火させ, 目標マーキングに到達できるか.

(3)　モデルがデッドロックに陥ることはないか. すなわち, トランジションが発火できないようなマーキングがあるか.

　これら3つの性質をペトリネットが有しているか否かを判定する問題は, ペトリネットの基本問題として知られている. そして, これらはそれぞれ"有界性問題", "可到達問題", "活性問題"と呼ばれている.

　ペトリネットはいろいろな分野で応用されている. トランジションが発火可能であっても一定時間その発火を遅らせることで, 発火規則に時間遅れの概念を導入することができる. このようなペトリネットは時間ペトリネット(timed Petri net)と呼ばれている. さらに, 時間ペトリネットはシステムの確率的な事象の表現と解析を行うために拡張され, トランジションが発火可能になってから発火を開始するまでの時間を連続の確率分布をもつような確率変数で定義する確率ペトリネット(stochastic Petri net)も提案されている.

　ペトリネットを線形代数的な観点から考察する方法として, ネットインバリアント(net invariant)の概念がある [1] . ペトリネットモデルを用いてシステムの性質を調べようとするとき, そのモデルの規模が大きくなった場合は, そのペトリネットモデルを数学的な手段で解析することが困難になる場合がある. そのような場合はコンピュータを用いたシミュレーションによる解析が適している [1].

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'''参考文献'''

[1] 椎塚久雄, 『実例ペトリネット』, コロナ社, 1992.

[[category:シミュレーション|ぺとりねっと]]

シミュレーションソフトウェア

2008-04-04T02:06:16Z

Tetsuyatominaga:

'''【しみゅれーしょんそふとうぇあ (simulation software)】'''

=== 概要 ===

シミュレーション専用のソフトウェアのこと. 離散型, 連続型, システムダイナミックス等, シミュレーションの型によってソフトウェアの実行メカニズムも異なる. 専用のソフトウェアを利用することによって,汎用言語でのシミュレーションに比べて大幅に開発時間や手間を省くことができる. モデル作りに際してプログラミング的作業を要するシミュレーション言語と, 用途を特定して作業を極小化し, データの提供だけで動くシミュレータに大別できる.

=== 詳説 ===

　縮小モデルによる物理的シミュレーションのようなごく一部の例外を除いて, 大半のシミュレーションはコンピュータで行う. この作業を効率よく行うために, 様々なシミュレーション専用のソフトウェアが開発されている. シミュレーションは, 基礎となるモデルの違いによって, 離散型, 連続型, システムダイナミックス, その他と大別されるが, モデルの種類が異なることによってモデルの記述はもとより, シミュレーションの実行メカニズムも変わる. 最近では離散/連続共用のシミュレーションソフトウェアも珍しくないが, これは2つのタイプの異なるエンジンを搭載した車のようなものである.

コンピュータ上でシミュレーションを行うには,

(1) CやFORTRAN等の汎用言語でシミュレーションのプログラムを組む

(2) シミュレーション専用のソフトウェアを活用する

のいずれかが考えられるが, 一般に[[シミュレーションソフトウェア]]の活用は, 汎用言語を用いる場合に比べて大幅に開発時間や手間を省くことができる. これは, シミュレーションソフトウェアではシミュレーションに必要な「共通部品」が提供されているので, モデル作成や分析の手間を省くことができるためである. ただし, 「共通部品」はシミュレーションの型(離散型, 連続型等)によって異なるために, ミュレーションの型に応じてシミュレーションソフトウェアの内部メカニズムは異なる.

　シミュレーションソフトウェアは, ユーザにどれぐらいの作業を要求するかによって, (1)[[シミュレーション言語]] (simulation language), (2)[[シミュレータ]] (simulator), に大別される. シミュレーション言語が, モデル作りにあたってプログラミング的作業を必要とするのに対して, シミュレータは用途を特定することによって, ユーザーの作業を極小化し, 基本的にデータの提供だけでシミュレーションが実行され性能評価ができるように配慮されている.

［シミュレーション言語］

　モデルを定義するために, ユーザが一定の形式で一種のプログラムを記述するシミュレーション専用ソフトウェアをシミュレーション言語と呼ぶ. データ入力だけでモデルが定義されるシミュレータに比べると, 一般に手間と時間を要するが, その分, モデル構築にあたっての柔軟性が高い. シミュレーションの種類によって, 提供される共通部品の中身が異なるが, モデル構築, シミュレーションの実行, (確率的シミュレーションの場合)乱数の発生, 結果の分析や表示等の基本機能が提供される.

［離散型シミュレーション言語］

　[[離散型シミュレーション言語]]は, モデル化の方法によって, (1) プロセス中心(process-oriented)(2) 事象中心(event-oriented)(3) アクティビティ中心(activity-oriented)の3種類に大別される. 歴史的に有名な離散型シミュレーション言語GPSSとSIMSCRIPTは, それぞれプロセス中心, 事象中心の代表的言語であるが, 最近では多くの言語に複数のモデル化機能が備えられ, それらの併用を可能にすることによって, 柔軟なモデル化ができるよう工夫されている.

　プロセス中心のモデル化は, 3つの中で一番普及している方法である. ここにプロセスとは, システムを動き回る要素の到着から退去に至る一連の振る舞いを指す. プロセス中心のモデル化では, システム中を動く要素の視点から, 要素の到着に始まりサービス, 退去に至るプロセスを, 言語が定める一定のルールで表現することによってモデルが構築されるのでシミュレーションに精通していない人でもモデルを作りやすい. GPSSやSLAMはプロセス中心の代表的シミュレーション言語である. 昨今では, モデル構築と結果の[[アニメーション (シミュレーションにおける)|アニメーション]]表示の定義が一体化したソフトウェアも少なくない.

　これに対して事象中心のモデル化では, 事象が発生した瞬間にシステムがどのように状態を変えるかを記述する一種のサブルーチンを, 事象の種類毎に用意するものである. CやFORTRAN等を用いてプログラムを自作する場合は, 事象中心のモデル化を採用することが多い. ノーベル賞を受賞したマーコビッツ(H. M. Markowitz)が開発に加わったSIMSCRIPTは事象中心のモデル化を基本とする代表的シミュレーション言語である. 一方, アクティビティ中心のモデル化は[[アクティビティ (離散型シミュレーションの)|アクティビティ]]の種類毎に, アクティビティがどのように生起するかを記述するもので, 欧州で好まれるモデル化の方法である [3].

　GPSS, SIMSCRIPT以外に, 我が国でもSLAM, SIMAN/ARENA, EXTEND等, 数多くの商用ソフトウェアが流通している. また, AIM, Micro SAINT, WITNESS, Simul8等の離散型のシミュレータも汎用性を高めるためにシミュレーション言語的機能を上級者向けに提供している場合が多く, 離散型シミュレーション言語との境界ははっきりしなくなっている.

［連続型シミュレーション言語］

　[[連続型シミュレーション言語]]にはCSSLやACSL等の商用ソフトウェアが流通している. また, システムダイナミックス(system dynamics)を対象としたDYNAMOやSTELLAも連続型シミュレーション言語の一種と考えられる.

［シミュレータ］

　一般に, データを入力するだけでモデルやアニメーションが定義される形のシミュレーション専用ソフトウェアのことをシミュレータと呼ぶ. あらゆる問題状況に適用可能な汎用シミュレータは存在しないので, 例えば, 生産シミュレータ, 通信シミュレータ, LANシミュレータ, 電話受付センターシミュレータというように, 用途を限定したシミュレータが普通である. プログラミング的作業を必要とするシミュレーション言語に比べると, シミュレーションの知識なしに短時間でモデルができる.

　生産シミュレータを中心に, シミュレーション結果のアニメーション表示が常識化している. これらのソフトウェアではモデル構築とアニメーションの定義とが一体化しており, モデルができると直ちにアニメーションでその動きが見られる場合も珍しくない. 換言すると, シミュレーション言語のようにプログラムリスト(たとえば, GPSSのブロックダイアグラムやSLAMのネットワーク図)を見てモデルの正当性を検証することができないので, アニメーションの動きからモデルが意図通りに動いていること, すなわち正当性を検証することが少なくない.

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'''参考文献'''

[1] J. Banks, J. S. Carson and B. Nelson, ''Discrete-Event Simulation (2nd ed.)'', Prentice Hall, 1996.

[2] A. M. Law and D. E. Kelton, ''Simulation Modeling and Analysis (2nd ed.)'', McGraw Hill, 1992.

[3] M. Pidd, ''Computer Simulation in Management Science (4th ed.)'', Wiley, 1998.

[[category:シミュレーション|しみゅれーしょんそふとうぇあ]]

非一様乱数

2008-04-04T02:04:48Z

Tetsuyatominaga:

'''【ひいちようらんすう (non-uniform random numbers)】'''

=== 概要 ===

一様分布以外の分布をする乱数の総称. 一様乱数に適当な変換を施して作るのがふつうである. 変換法として, 逆関数法, 棄却法, 合成法, 別名法, 一様乱数の比を利用する方法, 等の種々の分布に適用可能な方法と, 個々の分布に特有の方法が多数提案されている.

=== 詳説 ===

　一様分布以外の確率分布に従う乱数を[[非一様乱数]]という. これらの乱数は, 一様乱数に適当な変換を施して作るのがふつうである. 変換方法には, 種々の分布に対して適用可能な一般的なものと, 個々の分布の特徴を利用するものとがある. これらの方法を網羅的に扱っているのが [3]である. ここでは, 一般的な変換法を二つ紹介した後, 実用上大事な非一様乱数生成法を述べる. 以下では, (整数型の)一様乱数を正規化して得られる区間[0,1)上の(実数型の)一様乱数を<math>U, U_1, U_2\, </math>等で表し, これらは互いに独立であるものと仮定する. また, 発生させたい乱数を<math>X\, </math>とし, その分布関数を<math>F(x)\, </math>, それが連続分布ならば, その密度関数を<math>f(x)\, </math>で表す.

[逆関数法]

　<math>F(x)\, </math>の逆関数<math>F^{-1}(x)\, </math>を使って<math>X=F^{-1}(U)\, </math>とするものである. 例えば, 指数分布, ワイブル分布, ロジスティック分布(スケール・パラメータはいずれも1とする)なら, それぞれ<math>X=-\log U\, </math>, <math>X=(-\log U)^\alpha\, </math>, <math>X=\log(U/(1-U))\, </math>とすればよい. 逆関数が解析的に求まらない場合には, 近似式等を用いることになる.

[二者択一法]

　ウォーカー(A. J. Walker) [4] によって提案されたもので, 別名法(alias method)ともいう.

　取りうる値の個数<math>(n)\, </math>が有限個の離散分布に従う乱数を, <math>n\, </math>に無関係なO(1)の速度で生成できる, 簡単で効率的な方法である. ただし, 初期設定にO<math>(n)\, </math>の時間とO<math>(n)\, </math>のメモリを必要とする. 例えばポアソン分布のように, 取りうる値の個数が無限の場合には, 分布の裾を適当に打ち切って適用すればよい.

[正規分布]

　逆関数法を適用する場合には, 逆関数<math>F^{-1}(x)\, </math>が解析的には求まらないので, 例えば次の山内二郎の近似式を使う.

<center>
<math>
\begin{array}{rll}
F^{-1}(x)& = &\left\{
\begin{array}{ll}
-w, & \ \ \ \ \ 0 < x < 0.5 \\
+w, & \ \ \ \ \ 0.5 \leq x < 1.0
\end{array}\right.\\
w & = & \{ z(2.0611786-\frac{5.7262204}{z+11.640595})\}^{1/2}\\
z & = & -\log\{4x(1-x)\}
\end{array}
\, </math>
</center>

ボックス・ミュラー(Box-Muller)法は, 変換公式

<center>
<math>
X_1=\sqrt{-2\log U_1}\cos(2\pi U_2),
\, </math>
</center>

<center>
<math>
X_2=\sqrt{-2\log U_1}\sin(2\pi U_2)
\, </math>
</center>

を使って, 2個の一様乱数<math>U_1,U_2\, </math>から互いに独立な標準正規乱数<math>X_1,X_2\, </math>を作るものである.

　平均ベクトルが<math>\boldsymbol{\mu}\, </math>, 分散共分散行列が<math>V\, </math>の<math>n\, </math>次元正規乱数ベクトル<math>{\mathbf{ Y}}\, </math>を生成するためには, 互いに独立な<math>n\, </math>個の標準正規乱数からなるベクトル<math>{\mathbf{ X}}\, </math>に変換

<center>
<math>
\mathbf{Y} = \boldsymbol{\mu} + A \mathbf{X}
\, </math>
</center>

を施せばよい. ただし, ベクトルはすべて列ベクトルとし, <math>A\, </math>は<math>V=AA^\top\, </math>(<math>A^\top\, </math>は<math>A\, </math>の転置行列)を満たす下三角行列であり, コレスキー(Cholesky)分解によって求める.

[アーラン分布]

　フェイズが<math>k\, </math>(正整数)のアーラン分布の密度関数は

<center>
:<math>
f(x)=\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}(\lambda x)^{k-1}/(k-1)!
\ \ \ \ \ \ \ (x\geq 0)
\, </math>
</center>

である. これは, パラメータ(平均値の逆数)が<math>\lambda\, </math>の指数分布に従う<math>k\, </math>個の確率変数の和の分布であるから,

<center>
<math>
X=-\log(U_1\cdots U_k)/\lambda
\, </math>
</center>

とすればよい.

[ポアソン分布]

　平均値が<math>\lambda\, </math>のポアソン乱数は, 平均が<math>1/\lambda\, </math>の指数乱数との関係を利用して作ることができる. すなわち, <math>U_1U_2\cdots U_n > {\mbox{e}}^{-\lambda}\, </math>が成り立つ最大の整数<math>n\, </math>を<math>X\, </math>とすればよい. 1個のポアソン乱数を発生するのに必要な一様乱数の個数の平均値は<math>\lambda+1\, </math>であるから, <math>\lambda\, </math>が大変に大きいときには, この方法は効率が悪いので, 二者択一法を使うほうがよい.

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'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『乱数』(UP応用数学選書12), 東京大学出版会, 1989.

[2] D. E. Knuth, ''The Art of Computer Programming, Vol.2: Seminumerical Algorithms, 2nd ed.,'' Addison-Wesley, 1981. 渋谷政昭訳, 『準数値算法/乱数』, サイエンス社, 1981.

[3] L. Devroye, ''Non-Uniform Random Variate Generation'', Springer-Verlag, 1986.

[4] A. J. Walker, "An Efficient Method for Generating Discrete Random Variables with General Distributions," ''ACM Transactions on Mathematical Software'', '''3''' (1977), 253-256.

[[category:シミュレーション|ひいちようらんすう]]

一様乱数

2008-04-04T02:03:52Z

Tetsuyatominaga:

'''【いちようらんすう (uniform random numbers)】'''

=== 概要 ===

すべての値の出現確率が等しい乱数のこと. 離散型の一様乱数の場合は,とりうる値の集合としてふつう<math>\{0,1,2,\cdots,m-1\} \,</math>(<math>m-1 \,</math>は計算機で表現できる最大の自然数に近い数), あるいは, この中から等間隔に抽出した数の集合を想定する. 離散型の一様乱数を<math>m \,</math>で割ったものを近似的に区間[0,1)上の連続一様分布にしたがう乱数と見なして, 標準一様乱数という.

=== 詳説 ===

　確率変数の実現値と見なしうる数の列のことを[[乱数]] (または乱数列)(random numbersまたはrandom number sequence)という. 確率変数の従う分布として一様分布を想定する場合には, 対応する乱数のことを[[一様乱数]] (uniform random numbers)という. 例えば, サイコロを振って出る目(数)の系列は, 典型的な一様乱数である. この系列には次の2つの性質がある. 1) 系列が長ければ各数の相対出現頻度がほぼ等しい. 2) 次に出る数を確実に予測することは不可能である.

　大量の乱数を使用する実験では, サイコロを振って乱数を作るのは現実的でないので, 簡単なアルゴリズムで生成される乱数もどきの数(擬似乱数)で代用するのがふつうである. そして, これを単に乱数と呼ぶことが多い. この意味での乱数は, 上記の2) の性質は持たないが, 1) の性質は近似的に満たしているものと考えられている. このような乱数の生成法は数多く提案されているが, 現在比較的よく使われているものを以下にあげる.

［[[線形合同法]]］

　1948年頃にレーマー(Lehmer)によって提案され, その後多数の人々によって研究された方法であり, 線形漸化式

<center>
<math>
X_n=aX_{n-1}+c \ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ m) \,
</math>
</center>

を使って非負整数列<math>\{X_n\} \,</math>を生成する. ここで, <math>a \,</math>および<math>m \,</math>は正整数であり, <math>c \,</math>は非負整数である. 特に<math>c=0 \,</math>の場合には, [[乗算合同法]]と呼ぶ. パラメタの選び方に関しては多くの研究結果があるが, 現在比較的良いとされているものをいくつか表1に示す.

<center>
<table border="1">
<caption> 表１：線形合同法で使われるパラメタの例 </caption>
<tr>
<td><math>a \,</math> </td>
<td><math>c \,</math> </td>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>X_0 \,</math> </td>
<td><math>\mu_2 \,</math> </td>
<td><math>\mu_3 \,</math> </td>
<td><math>\mu_4 \,</math> </td>
<td><math>\mu_5 \,</math> </td>
<td><math>\mu_6 \,</math> </td>
<td> 周期 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,664\,525 \,</math></td>
<td><math>* \,</math></td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
<td>任意 </td>
<td>16.1 </td>
<td>10.6 </td>
<td>8.0 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,566\,083\,941 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.5 </td>
<td>5.6 </td>
<td>4.2 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>48\,828\,125 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>8.8 </td>
<td>7.4 </td>
<td>5.7 </td>
<td>4.9 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2\,100\,005\,341 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.4 </td>
<td>10.2 </td>
<td>7.7 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>397\,204\,094 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.4 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>314\,159\,369 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.2 </td>
<td>9.9 </td>
<td>7.6 </td>
<td>5.9 </td>
<td>5.1 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
</table>
<math>c \,</math>の列の <math>* \,</math>印は, 任意の奇数を使用してよいことを表す.
</center>

　線形合同法によって生成される乱数の欠点として, 多次元疎結晶構造と言われているものがある. これは, <math>k \,</math>次元超立方体内にランダムに点を配置する目的で, 点の座標を<math>(x_n, x_{n+1},\cdots, x_{n+k-1}), n=1,2,\cdots, \,</math>で定めたとすると, これらの点はすべて比較的少数の等間隔に並んだ超平面の上に規則的にのってしまい, ランダムにならないという性質である. <math>m \,</math>と超平面の枚数の上界との関係を表2に示す. また, 表1の<math>\mu_k \,</math>は, <math>k \,</math>次元の点配置を作ったとき, <math>\mu_k \,</math>ビットの精度ではほぼ一様な配置になることを意味している.

<center>
<table border="1">
<caption> 表２：超平面の枚数の上界 </caption>
<tr>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>k=3 \,</math> </td>
<td> 4 </td>
<td> 5 </td>
<td> 6 </td>
<td> 7 </td>
<td> 8 </td>
<td> 9 </td>
<td> 10 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{24} \,</math> </td>
<td>465 </td>
<td>141 </td>
<td>72 </td>
<td>47 </td>
<td>36 </td>
<td>30 </td>
<td>26 </td>
<td>23 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td><math>2\,953 \,</math> </td>
<td>566 </td>
<td>220 </td>
<td>120 </td>
<td>80 </td>
<td>60 </td>
<td>48 </td>
<td>41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{36} \,</math> </td>
<td><math>7442 \,</math> </td>
<td><math>1133 \,</math> </td>
<td>383 </td>
<td>191 </td>
<td>119 </td>
<td>85 </td>
<td>66 </td>
<td>54 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{48} \,</math> </td>
<td><math>119086 \,</math> </td>
<td><math>9065 \,</math> </td>
<td><math>2021 \,</math> </td>
<td>766 </td>
<td>391 </td>
<td>240 </td>
<td>167 </td>
<td>126 </td>
</tr>
</table>
</center>

［[[M系列法]]］

　ガロア体GF(2)上の任意の原始多項式

<center>
<math>
x^p+c_1x^{p-1}+c_2x^{p-2}+\cdots + c_p
</math>
</center>

を選び, その係数を係数とする漸化式

<center>
<math>
a_n = c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots + c_pa_{n-p}
\ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ 2)
</math>
</center>

によって生成される系列<math>\{a_n\} \,</math>を考える. この系列はM系列(M-sequence)あるいはシフトレジスタ系列, 極大多項式系列などと呼ばれ,
硬貨を投げて表が出れば1, 裏が出れば0として得られる系列と類似の性質を持つことが知られている.
表3に実用的な原始多項式の例を示す.

<center>
<table>
<caption> 表３：原始多項式の例 </caption>
<tr><td><hr></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{32}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{273}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{1279}+x^{418}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{455}+x^{437}+x^{350}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{461}+x^{307}+x^{167}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td><hr></td></tr>
</table>
</center>

　これは1ビットの系列なので, 多数ビットの系列<math>\{X_n\} \,</math>を作るためには, 漸化式

<center>
<math>
X_n = c_1X_{n-1} \oplus c_2X_{n-2} \oplus \cdots \oplus c_pX_{n-p}
</math>
</center>

を用いる. ここで, 記号<math>\oplus \,</math>は2進法でのけた上りなしの足し算(ビットごとの排他的論理和)を表す. これによって生成される系列は, トーズワース(Tausworthe)系列あるいはGFSR(Generalized Feedback Shift Register)系列と呼ばれている.

　この漸化式を使う場合の初期値の設定法については, [1] を参照するとよい. これを使って例えば32ビットの整数系列<math>\{X_n\} \,</math>を生成すると, 合同法のような多次元疎結晶構造が生じることはなく, 32ビットの精度で<math>[p/32] \,</math>次元まで一様に分布する. また, この系列の周期は<math>2^p-1 \,</math>であり, 自己相関関数の値は位相差が<math>2^p/32 \,</math>以下ならばほぼ0に等しい.

　M系列を使ったもう少し複雑な乱数生成法として, 最近提案されたメルセンヌ・ツイスター(Mersenne Twister) [3] がある. これは上記のものに比べて, 同じ記憶容量で, はるかに長い周期と高い次元の一様性を達成できるという特徴を有する. 詳細は

http://www.math.keio.ac.jp/

を参照するとよい.

----
'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『乱数』(UP応用数学選書12), 東京大学出版会, 1989.

[2] D. E. Knuth, ''The Art of Computer Programming, Vol.2: Seminumerical Algorithms, 2nd ed.,'' Addison-Wesley, 1981. 渋谷政昭訳, 『準数値算法/乱数』, サイエンス社, 1981.

[3] M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator," ''ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation'', '''8''' (1998), 3-30.

[[category:シミュレーション|いちようらんすう]]

モンテカルロ法

2008-04-04T02:02:49Z

Tetsuyatominaga:

'''【もんてかるろほう (Monte Carlo method)】'''

=== 概要 ===

乱数を使って実験する方法のこと. 第二次世界大戦中に原爆の開発に関する極秘プロジェクトを示す符丁として, フォンノイマン等がカジノで有名なモンテカルロに因んで命名したとされている.本来は, 確率的な変動を含まない問題を解くのに乱数を利用する方法のことであったが, 現在では乱数を使う実験の総称として使われることが多い.

=== 詳説 ===

　システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる.

　[[モンテカルロ法]]の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を <math>\theta \,</math>とし, これは既知の分布関数 <math>F(y) \,</math>を持つ確率変数 <math>Y \,</math>の関数 <math>g(Y) \,</math>の平均値に等しいものとすれば,

<center>
<math>
\theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) =
\int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \,
</math>
</center>

と書ける. ただし, <math>h(u)=g(F^{-1}(u)) \,</math>である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 <math>U_1, U_2, \cdots, U_N \,</math>を発生し, 算術平均

<center>
<math>
A_1(N) = \sum_{i=1}^N h(U_i)/N \,
</math>
</center>

を<math>\theta \,</math>の推定値とすることが考えられる. <math>A_1(N) \,</math>は<math>\theta \,</math>の不偏推定量であり, 分散は

<center>
<math>
V(A_1(N)) = \frac{\sigma^2}N, \ \ \ \ \
\sigma^2 = \int_0^1 h^2(x) \mathrm{d}x-\theta^2 \,
</math>
</center>

となる. したがって, 推定量 <math>A_1(N) \,</math>に含まれる誤差の標準偏差は <math>\sigma/\sqrt N \,</math>であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 <math>N \,</math>を10倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, [[分散減少法]]と総称されている. ただし, これらは <math>1/\sqrt N \,</math>というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である.

［[[重点サンプリング]]］

　積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(<math>h(x) \,</math>の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数<math>w(x) \,</math>に従う乱数<math>X_1,\cdots, \ \ X_N \,</math>を発生し,

<center>
<math>
A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \,
</math>
</center>

で<math>\theta \,</math>を推定する. <math>w(x) \,</math>が<math>\left| h(x) \right| \,</math>に比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する.

［[[制御変量法]]］

　<math>\theta \,</math>に対するひとつの不偏推定量を<math>Y \,</math>とする. <math>Y \,</math>と相関があって平均値<math>\zeta \,</math>が既知の確率変数<math>Z \,</math>のことを, <math>Y \,</math>の制御変量という. <math>\alpha \,</math>を定数として

<center>
<math>
Y_\alpha = Y-\alpha(Z-\zeta) \,
</math>
</center>

と定義すれば, <math>Y_\alpha \,</math>も<math>\theta \,</math>の不偏推定量となり, その分散は<math>\alpha^* = \mathrm{Cov}(Y, Z)/V(Z) \,</math>のとき最小となり, 最小値は

<center>
<math>
V(Y_{\alpha^*})=(1-\rho^2)V(Y) \,
</math>
</center>

である. ここで<math>\rho \,</math>は<math>Y \,</math>と<math>Z \,</math>の相関係数であるから, <math>Y \,</math>と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である.

　定積分の例では, <math>h(u) \,</math>に近い関数<math>h_0(u) \,</math>で, その積分の値<math>\zeta \,</math>が正確に計算できるものを選び,

<center>
<math>
Y_\alpha = h(u)-\alpha(h_0(u)-\zeta) \,
</math>
</center>

に対して単純な一様サンプリングを適用する.

［[[負相関変量法]]］

　<math>\theta \,</math>の不偏推定量<math>Y \,</math>と平均値が同じで負の相関を持つ変量<math>Z \,</math>を利用して, <math>W=(Y+Z)/2 \,</math>を<math>\theta \,</math>の推定量とする. この分散は, <math>Y \,</math>に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もし<math>h(u) \,</math>が単調な関数ならば, <math>Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U) \,</math>とするとよい.

［[[共通乱数法]]］

　二つの特性値<math>\theta,\phi \,</math>をそれぞれ確率変数<math>X,Y \,</math>に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, <math>\theta=E[X], \phi=E[Y] \,</math>とする.

<center>
<math>
V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2 \mathrm{Cov}(X,Y) \,
</math>
</center>

であるから, <math>{\mathrm{Cov}}(X,Y) \,</math>が大きいほど推定の精度が良くなる. <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>の分布関数をそれぞれ<math>F,G \,</math>とし, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>を逆関数法で作るものとする. このとき, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列<math>\{U\} \,</math>を使って, <math>X=F^{-1}(U), Y=G^{-1}(U) \,</math>とすれば, <math>\mathrm{Cov}(X,Y) \,</math>が最大となる. これが共通乱数法の原理である.

----
'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『確率的方法とシミュレーション』(岩波講座応用数学), 岩波書店, 1994.

[2] G. S. Fishman, ''Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications'', Springer, 1996.

[3] A. M. Law and W. D. Kelton, ''Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed.'', McGraw-Hill, 1991.

[[category:シミュレーション|もんてかるろほう]]

シミュレーション

2008-04-04T02:01:09Z

Tetsuyatominaga:

'''【しみゅれーしょん (simulation)】'''

=== 概要 ===

対象とするシステムのモデル(model)を構築し, モデルの操作によってシステムの挙動を再現しようとすること. モデルの違いによって,(1)待ち行列タイプのモデルを扱い,その混雑現象に着目して, 待ち時間やスループットに関する性能を評価する離散型シミュレーション,(2)物理システムなど微分方程式モデルで規定されるシステムの動的挙動を再現する連続型シミュレーション, (3)その他, に分類できる.多数のソフトウェアが開発・提供・利用されている.

=== 詳説 ===

　対象とするシステムそのものを扱わずに, そのモデルを構築し, モデルを操作することによってシステムの挙動を再現しようとすることをシミュレーションと呼ぶ. 模擬実験と訳されていた時期もある.

[モデルとシミュレーション]

　実際の事物やシステムの特定の側面に着目して抽象化したものを[[モデル]] (model) と呼ぶ. 実際のシステムを扱わずに, そのモデルを扱うことによって, 物理的・経済的なリスクをかけずにシステムの設計・評価・分析が可能となるので, 理工学を中心に広汎な分野でモデルが活用されている. モデルには, 実物を縮小または拡大した物理モデル, 実際の特性を物理現象に置き換えたアナログモデル, 日常用いる文章で表現した言語モデル, 図表に基づく図式モデル, 論理あるいは数式で表現された論理/数学モデル等がある.

　コンピュータの普及・機能向上に伴って, 論理/数学モデルが, システムの理解・分析・設計・運用・教育, さらには娯楽を目的として, システムの評価・予測・最適化等のために幅広く用いられている. シミュレーションはオペレーションズ・リサーチ(OR)の代表的手法の1つであり, PERT, LP(線形計画法)と合わせてORの「三種の神器」と呼ばれたこともある. PERT, LPが「どうするのが一番よいか」を探る最適化モデルであるのに対して, シミュレーションは「こうしたらどうなるか」が未知のときに, システムがいかに振る舞い, その性能指標がどの程度かを明らかにする評価のモデルである. 制御可能要因を定めたときのシステムの性能評価がシミュレーションの主目的であるが, 性能評価ができるのならば制御可能要因をどう設定したら一番よいかと考えるのが自然で, シミュレーションの背後に最適化願望が潜んでいることも少なくない.

　世の中では, 最適化を含め数理的なモデルを構築し, 種々のデータに対してモデルを操作してシステムの分析を行うことを総じてシミュレーションと理解する場合が少なくないが, ここではORの専門という立場から, より限定した意味でシミュレーションを捉える.

[代表的なシミュレーションの型]

　一口にシミュレーションといっても, モデルの違いによってそのメカニズムは千差万別である. シミュレーションの基礎となるモデルは, (1)待ち行列モデル, (2)微分/差分方程式モデル, (3)その他, に大別される.

　待ち行列モデル, あるいは離散事象(ダイナミカル)システムを扱うシミュレーションは, [[離散型シミュレーション]] (discrete-event simulation), あるいは, 離散事象(型)シミュレーションと呼ばれる. 待ち行列モデルを解析的・数値的に扱う方法論に待ち行列理論があるが, 理論の適用にあたっての数学的仮定が厳しい. これに対してシミュレーションは, 正確に定義可能な前提でさえあれば事実上なんでも取り扱いが可能であるので, 情報化や自動化が進むなかで, 大規模な通信・コンピュータシステムや生産・ロジスティクスシステムの性能評価にさかんに用いられている.

　これに対して, [[連続型シミュレーション]] (continuous simulation) は, 微分方程式あるいは差分方程式で表現されたモデルのシミュレーションを指し, 通常, 微分方程式の初期値問題を解くことに相当する. 連続型シミュレーションは微分/差分方程式で表現可能な電気, 機械等の物理的システムや経済システムのシミュレーションによく用いられる.

　乱数を使って数値実験を行ってシステムの特性値等を推定する方法にモンテカルロ法があり, 乱数を用いたシミュレーションをモンテカルロシミュレーションと呼ぶこともある. この他にも, 離散型にも連続型にも属さない多様なシミュレーションが存在する. また, 人間を意思決定者として参加させるビジネスゲーム}{ビジネスゲーム}(business game)も広い意味でのシミュレーションと考えられる.

[確定的シミュレーションと確率的シミュレーション]

　シミュレーションは確率的変動を含むかどうかによって, [[確定的シミュレーション]] (deterministic simulation) と[[確率的シミュレーション]] (stochastic simulation) とに分類できる. 連続型シミュレーションが確定的シミュレーションである場合が多いのに対して, 離散型シミュレーションは確率的シミュレーションとして扱われることが多い. 離散型シミュレーションでは, 要素の到着時間間隔, サービス時間, 分岐確率, 設備の故障等に確率的な変動が含まれる場合が多い. 確率変動はコンピュータ上で擬似的な乱数(random number)を発生させることによって生成する.

　乱数を用いたシミュレーションの場合, シミュレーション結果は, 用いた乱数の値に依存する. しかも離散型シミュレーションの場合, 結果が通常の統計分析手法が想定する独立同分布の仮定を満たさないこともが多い. このため, シミュレーション結果の分析では, 実験のしかたと結果の分析方法とを合わせて考えることが必要となる. さらに, 同じ計算量で, より精度の高い結果を得るために分散減少法(variance reduction method)と呼ばれる方法があり, シミュレーションで使用する擬似乱数の再現可能性をはじめ, 乱数の使い方に工夫をこらすなどして精度の向上が図られる.

[シミュレーションの高速化と並列シミュレーション]

　シミュレーションは解析的方法に比べると腕力に頼った分析手法であり, モデルの規模が大きくなった場合, 計算量が膨大になる恐れがある. シミュレーションを効率化・高速化する工夫が, 乱数の制御を含む実験の計画や分散減少法, 事象処理アルゴリズムやデータ構造の改良, 並列シミュレーション等, 様々な形で行われている. このうち, コンピュータの並列計算機能を活用して, 高速化を図ろうとする[[並列シミュレーション]] (parallel simulation) は, 電話等の大規模な通信システムの分析で実際に使用されている.

[シミュレーションプロジェクトの進め方]

　シミュレーション技術は総合的なシステム分析技術であり, シミュレーションを用いたプロジェクトの進め方は, システム分析やオペレーションズリサーチの一般的な手順に順ずる [2]. シミュレーションを用いたモデル分析では, 以下の点が一般のシステム分析とは異なる：

(1) 実際のシステムのモデルを作る必要がある. さらに, 構築されたモデルが, 解決しようとする問題にふさわしいモデルかどうかをチェックする「妥当性の検証(validation)」が重要となる.

(2) モデルをコンピュータ上に表現し, コンピュータ上で動かす. そのために, コンピュータ上のモデルが, 作成者の意図するモデルになっているかどうかをチェックする「正当性の検証(verification)」が必要となる.

(3) 構築されたモデルをコンピュータ上で動かし実験を行うが, 乱数発生による確率的変動の生成等, シミュレーション実験に固有な点を理解し, 効率よく実験を進め, 得られるデータを適切な方法で分析する必要がある.

----
'''参考文献'''

[1] J. Banks, J. S. Carson and B. Nelson, ''Discrete-Event Simulation {2nd ed.)'', Prentice Hall, 1995.

[2] 森戸晋, 相澤りえ子, 貝原俊也, 『Visual SLAMによるシステムシミュレーション』, 共立出版, 1998.

[[category:シミュレーション|しみゅれーしょん]]

生態学モデル

2008-04-04T01:57:40Z

Tetsuyatominaga:

'''【せいたいがくもでる (mathematical ecology model)】'''

=== 概要 ===

生態学モデルは, 数理生態学(mathemetical ecology)における生物種個体群の時間変化をモデル化した数学モデルである. 代表的なモデルとして, ロジスティックモデル, ゴンペルツモデル, 捕食者/被食者モデルなどがあり, 需要予測やソフトウェア信頼度成長モデルなどに応用されている.

=== 詳説 ===

　数理生態学(Mathematical ecology) [1] における数学モデルである[[生態学モデル]]は1種の生物個体数変化を扱うモデルと複数種の個体数変化を扱うモデルに大きく分類される. まずはじめに, 1種の生物の個体数変化を記述したモデルについて述べる. 一定サイズの閉鎖された環境における個体数の成長は, 資源の不足のため制限を受け, 最終的には一定値に落ち着く. この個体数<math>N\, </math>の成長は次のようなモデルで表現される.

<center>
<math>
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} = N f(N)
\, </math>
</center>

　<math>f(N)\, </math>は個体当たりの成長率で個体数<math>N\, </math>の関数である. <math>{\mathrm {d}}f(N)/{\mathrm {d}}N\, </math>は負の値をとる. これは個体数の成長に伴い, 個体数の増加に, より大きな抑制効果が働くことを表している. <math>f(N)\, </math>を決定することにより, 様々なモデルができる. ここでは, [[ロジスティックモデル]], ゴンペルツモデルのみを紹介する. その他のモデルについては, 参考文献 [2] を参照されたい.

　ロジスティックモデルは, <math>f(N)\, </math>が

<center>
<math>
f(N)=\lambda (1-\frac{N}{k})
\, </math>
</center>

のときのモデルである. ここで, <math>k\, </math>は飽和個体数を表す. 厳密解は次のように与えられる.

<center>
<math>
N=\frac{k}{1+m \mathrm{e}^{-\lambda t}}
\, </math>
</center>

変曲点は以下のように表される.

<center>
<math>
N=\frac{k}{2}, ~~~(t=\frac{\log m}{\lambda})
\, </math>
</center>

ゴンペルツモデルは

<center>
<math>
f(N)=\lambda \log \frac{k}{N}
\, </math>
</center>

のときのモデルである. 同じくkは飽和個体数を表し, <math>\lambda\, </math>は定数である. 厳密解は次のように与えられる.

<center>
<math>
N = k \exp(-m \mathrm{e}^{-\lambda t})
\, </math>
</center>

変曲点は以下のように表される.

<center>
<math>
N=\frac{k}{\mathrm{e}}, ~~~(t=\frac{\log m}{\lambda})
\, </math>
</center>

ロジスティック, ゴンペルツともに, 需要予測 [3] をはじめとした社会現象 [4] やソフトウェア信頼度成長モデル [5] などでも用いられ需要やソフトウェア中の潜在バグ数の推定に用いられている. パラメータ推定する方法として微分方程式を差分方程式で近似して最小2乗法を用いる方法, 最尤法を用いる方法, 厳密解から非線形推定を用いて直接求める方法などがある. 微分方程式を差分方程式で近似する際, 一般的な前進差分や中心差分ではなく, 厳密解をもつ差分方程式で近似し, パラメータを求めることにより, より正確なパラメータ推定を行う方法が提案されている [6, 7].

　1920年代にLotkaとVolterraによって独立に提案された捕食者<math>N_2\, </math>, 被食者<math>N_1\, </math>の個体数の周期的な変動を表したモデル[1]が代表的な[[捕食者/被食者モデル]]である.

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
\frac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}&=&N_1(a_1- b_1N_2-c_1N_1)\\
\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}&=&N_2(-a_2+b_2N_1)
\end{array}
\, </math>
</center>

ここで, <math>a_1, a_2, b_1, b_2, c_1\geq 0\, </math>である. パラメータ<math>a_1\, </math>は, 捕食者が存在せず, 個体数増加による餌不足が生じないときの被食者の個体当たりの増加率である. この増加率は, ロジスティックモデルと同様, 被食者<math>N_1\, </math>の増加に伴い餌不足を招き, それにより<math>c_1N_1\, </math>だけ減少することになる. ここではさらに, 捕食者が存在するため, 被食者の個体当たりの増加率は, その個体数に比例した<math>b_1N_2\, </math>だけ減少することになる. 一方, 被食者がいないときの捕食者の個体数は, 個体当たり<math>a_2\, </math>の減少率に従い減少し, 最終的に捕食者は絶滅する. 被食者が存在するとき, 捕食者の個体当たりの増加率は, 被食者に比例した<math>b_2N_1\, </math>から<math>a_2\, </math>を引いたものとなる. この微分方程式は, 陽に解を得ることは出来ないが<math>c_1=0\, </math>のとき, 保存量(時間に対して一定値をとる量)を求めることができる. その保存量<math>C\, </math>は,

<center>
<math>
a_2\log N_1-b_2 N_1+a_1\log N_2-b_1N_2=C
\, </math>
</center>

となる. <math>C\, </math>は初期点に依存して決定される. 捕食者-被食者モデルも技術革新による技術の変遷の過程を表すモデル [8] などに応用されている. さらに, 2種だけでなく一般の<math>n\, </math>種へ拡張されたモデル[8] も提案されている.

----
'''参考文献'''

[1] 南雲仁一監訳, 『数理生態学』, 産業図書, 1974.

[2] 木元新作,『集団生物学概説』, 共立出版, 1993.

[3] V. Mahajan, C. H. Mason and V. Srinivasan, "An Evaluation of Estimation Procedures for New Product Diffusion Models," in ''Innovation Diffusion Models of New Product Acceptance'', V. Mahajan and Y. Wind eds.,
Ballinger Publishing, 1986.

[4] 吉田正昭, 『情報の伝播』, 共立出版, 1971.

[5] 山田茂,『ソフトウェア信頼性モデル-基礎と応用』, 日科技連, 1994.

[6] 佐藤大輔, 「可積分な差分方程式を利用したGompertz曲線モデルのパラメータ推定」, 『日本オペレーションズ・リサーチ学会1998年春季研究発表会アブストラクト集』, 78-79, 1998.

[7] 佐藤大輔, 「厳密解を持つ差分方程式によるソフトウェア信頼性モデル」, 『電子情報通信学会1999年総合大会講演論文集』, 61, 1999.

[8] R. J. Armolavicius, P. Cologrosso and N. E. Ross, "Technology Replacement Models Based on Population Dynamics," ''International Teletraffic Congrtess 12'', Italy, 5.3.A.2.1-5.3.A.2.8, 1988.

[[category:予測|せいたいがくもでる]]

非集計行動モデル

2008-04-04T01:56:39Z

Tetsuyatominaga:

'''【ひしゅうけいこうどうもでる (disaggregate demand model)】'''

=== 概要 ===

交通機関の選択行動を個人のランダム効用理論に基づき構築したモデル. これまでのモデルはゾーン毎にデータを集計して作られているため, 個人の行動メカニズムを明示的にとらえることができなかった. 非集計行動モデルは, (1) 少数のデータでよい, (2) 時間的空間的移転性が高い, (3) 交通サービス改善の便益算定が容易である, などの特徴を有している. 誤差項の分布形によってロジットモデルとプロビットモデルが誘導される.

=== 詳説 ===

　[[非集計行動モデル]]は, 1970年代初めにMcFaddenらによって開発・提案が行われた交通機関の選択行動を予測する手法である. 理想的交通人の選択行動をミクロ経済学の効用理論に基づいて記述しているため, 「個人選択モデル」とも呼ばれている. 個々人の選択データをモデル化する離散選択モデルは, すでに心理学や生物学の分野で提案されていたが, Manheim, Ben-AkivaらがMcFaddenの提案する非集計行動モデルの理論研究を積極的に行い, 交通計画における予測技術を大きく進展させた. 非集計行動モデルを用いた需要予測は交通機関の選択問題をはじめ, 観光・買物などの目的地選択, 鉄道のアクセス駅や経路の選択, 駐車場選択などに用いられてきた.

　都市圏の将来交通量を推計する4段階推定法では, ゾーン間の分布交通量が推計された後, 交通機関別の交通量を予測する. このとき用いられるデータはゾーン内で集約された性別, 年齢別, 目的別の統計値, すなわち集計データである. このため交通を行う人の属性や効用は選択行動に反映することができなく, きめの細かい交通行動の予測はできなかった. 非集計行動モデルは効用理論をベースに個人の選択行動を予測しており, 集計モデルと比べて, 1.理論的背景が明確で個人の意思決定過程を表現している, 2.モデル作成のためのデータが比較的少なくてすむ, 等の利点を有している. しかし非集計行動モデルにおいては選択した交通機関と, 選択しなかった交通機関の効用差を求めるために比較データを作成しなければならない.

　非集計行動モデルはランダム効用理論に基づき, 「個人が交通行動の基本的な意志決定単位であり, 個人はある選択状況の中から最も望ましい, すなわち効用が最大となる選択肢を選ぶように行動する」と考え, さらに効用の大きさは「確定項と誤差項」によって記述できると仮定している. 最も多用されている[[ロジットモデル]]においては, 効用関数の誤差項の確率分布としてガンベル分布を想定している. 一方, 誤差項の確率分布を正規分布と仮定すると[[プロビットモデル]]が誘導される.

　実際の交通行動において, 誤差項の分布がガンベル分布 (Gumbel distribution) であるか, 正規分布であるかの研究はほとんどなされていない. また, 離散的な行動データ (バスか, 自家用車か) を用いてロジットモデル (連続関数) のパラメータを回帰し, 将来予測のときに効用値 (連続値) を用いて, 再び離散的行動を判別しなければならない.

　ロジットモデルはモデルの意味が理解しやすく, パラメータの推定も比較的容易であり, その一般式は以下の通りである.

<center>
<math>
P_{in}=\frac{\exp(V_{in})}
{ \displaystyle{ \sum_{j=1}^{J_n} } \exp(V_{jn}) }\,
</math>
</center>

<table>
<tr>
<td valign="top" rowspan="3">ここで, </td>
<td><math>{P_{in}} \, </math></td><td> ：個人<math>n\, </math>の選択肢<math>i\, </math>の選択確率</td></tr>
<tr><td><math>V_{in} \, </math></td><td> ：個人<math>n\, </math>の選択肢<math>i\, </math>の効用確定項</td></tr>
<tr><td><math>J_n \, </math></td><td> ：個人<math>n\, </math>の選択肢数</td></tr>
</table>

　ロジットモデルのパラメータは最尤法により推定される. 非集計行動モデルに用いられるロジットモデルは, 選択肢の条件によって次のように分類される.

(1)二項ロジットモデル

　選択肢数が2の場合のロジットモデル

(2)多項ロジットモデル

　選択肢数が3以上のロジットモデル

(3)ネスティッドロジットモデル

　多項ロジットモデルのIIA特性による制約を緩和したロジットモデル.

　IIA (Independence from Irrelevant Alternatives) 特性は, 「選択確率比の文脈独立」とも呼ばれ, ロジットモデルの問題点として常に指摘されている. すなわちIIA特性とは, ある個人にとって選択肢数が3以上あるとき, ある2つの選択肢の確率比は, それ以外の選択肢から独立であることを意味する. しかし交通行動の場合には類似性の高い選択肢が含まれることが多く, 厳密にIIA特性を保つことができない. このため選択肢の類似性に応じて, 選択肢を2つのグループに分けるネスティッドロジットモデルが開発された. 選択肢集合はいくつかの部分集合に分割され, 階層構造を持つ選択ツリーが構成される.

　プロビットモデルは効用関数の誤差項に同時正規分布を仮定するため, ロジットモデルのようにIIA特性に伴う適用上の制約がなく, 個人による効用の異質性を扱うことができる, という特徴がある. しかし, 選択肢が3項以上になるとパラメータの推定が複雑になり, 操作性が極端に悪化する.

----
'''参考文献'''

[1] 土木学会, 『非集計行動モデルの理論と実際』, 丸善, 1995.

[2] 土木学会, 『第四版土木工学ハンドブック2』, 第55編「運輸交通計画」, 技報堂, 1989.

[3] 土木学会, 『土木用語大辞典』, 技報堂, 1999

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カルマンフィルター

2008-04-04T01:55:43Z

Tetsuyatominaga:

'''【かるまんふぃるたー (Kalman filter)】'''

=== 概要 ===

(1) 信号を生成するシステムのモデル, (2) 雑音の統計的性質,(3) 初期状態に関する事前情報の3つが与えられたとき, 観測データから状態ベクトルの最小2乗推定値を逐次的に生成するオンラインアルゴリズムである. カルマンフィルターの応用は航空宇宙工学, 制御工学, 通信工学, OR, 土木工学など, 非常に広範な分野にわたっている.

=== 詳説 ===

<center>
<table>
<tr>
<td align=center>[[画像:sk-0098-b-h-05-1.png]]</td>
</tr>
<td align=center>図１：状態空間モデル<br></td>
</table>
</center>



　図1に示すガウス白色雑音を受ける離散時間線形確率システムを考える.

<center>
<math>
\begin{array}{rlll}
x_{t+1} &=& Ax_t+Bw_t & \qquad (1)\\
y_t &=& Cx_t+v_t,\ t=0, 1, \cdots & \qquad (2)
\end{array}
\, </math>
</center>

ただし, <math>x_t\, </math>はn次元状態ベクトル, <math>y_t\, </math>はp次元観測ベクトル,<math>w_t\, </math>, <math>v_t\, </math>は<math>m\, </math>および<math>p\, </math>次元ガウス白色雑音ベクトルで, 平均値は0, 共分散行列は

<center>
<math>
E \{ w_t w_s^{\top} \} = Q\delta_{ts}, \ \
E \{ v_t v_s^{\top} \} = R\delta_{ts}, \ \ E\{w_tv_s^{\top}\}=0
\, </math>
</center>

であるとする. ただし, <math>Q\, </math>, <math>R\, </math>は非負定値対称行列, <math>\delta_{ts}\, </math>はクロネッカーの記号である. <math>A,\;B,\;C,\;Q,\;R\, </math>は一般に時間の関数であってもよいが,簡単のために添字<math>t\, </math>は省略している. また初期値<math>x_0\, </math>は平均値<math>\bar{x}_0\, </math>,共分散行列<math>\Sigma_0\, </math>のガウス確率ベクトルであり, 雑音とは無相関であるとする.

　カルマンフィルタは, 観測データ<math>Y_{0}^{\top}:=\{y_0, y_1, \cdots, y_t\}\, </math>に基づいて,状態<math>x_{t+m}\, </math>の最小分散推定値(すなわち<math>x_{t+m}\, </math>の条件付き期待値)

<center>
<math>
\hat{x}_{t+m|t}=E\{x_{t+m}|Y_{0}^{\top}\}, \ t=0, 1, \cdots
\, </math>
</center>

を逐次的に計算するアルゴリズムである. <math>m>0, m=0, m<0</math>にしたがってそれぞれ, 予測, 濾波, 平滑という.以下では, 状態ベクトルの予測推定値, 濾波推定値を<math>\hat{x}_{t/t-1}, \hat{x}_{t/t}</math>と表し, それぞれの推定誤差共分散行列を次のようにおく.

<center>
<math>
P_{t/t-1}=E\{[x_t-\hat{x}_{t/t-1}][x_t-\hat{x}_{t/t-1}]^{\top}\}, \quad
P_{t/t}=E\{[x_t-\hat{x}_{t/t}][x_t-\hat{x}_{t/t}]^{\top}\}
\, </math>
</center>

　1960-61年にカルマン(R. E. Kalman)とビュシー(R. S. Bucy)は式(1), (2)の状態空間モデルに対して, カルマンフィルターと呼ばれる以下のようなアルゴリズムを提案した [1, 2, 3, 4, 5, 6].

(i) フィルタ方程式

<center>
<math>
\begin{array}{rlll}
\hat{x}_{t+1/t}&=&A\hat{x}_{t/t}, \quad \hat{x}_0=\bar{x}_0 & \qquad (3)\\
\hat{x}_{t/t}&=&\hat{x}_{t/t-1}+K_t[y_t-C\hat{x}_{t/t-1}] & \qquad (4)
\end{array}
\, </math>
</center>

(ii) カルマンゲイン

<center>
<math>
K_t=P_{t/t-1}C^{\top}[CP_{t/t-1}C^{\top}+R]^{-1} \qquad (5)
\, </math>
</center>

(iii) 推定誤差共分散行列

<center>
<math>
\begin{array}{rlll}
P_{t+1/t} &=& AP_{t/t}A^{\top} + BQB^{\top} & \qquad (6)\\
P_{t/t} &=& P_{t/t-1}-P_{t/t-1}C^{\top}[CP_{t/t-1}C^{\top}+R]^{-1}CP_{t/t-1},
\quad P_{0/-1}=\Sigma_0 & \qquad (7)
\end{array}
\, </math>
</center>

<center>
<table>
<tr><td align=center>[[画像:sk-0098-b-h-05-2.png]]</td></tr>
<td align=center>図２：カルマンフィルターのブロック線図<br>
</td>
</table>
</center>



　図2にカルマンフィルタのブロック線図を示す.カルマンフィルタは観測値<math>y_t\, </math>を入力とし, 推定値<math>\hat{x}_{t/t-1}\, </math>, <math>\hat{x}_{t/t}\, </math>を逐次的に出力する線形動的システムであり,<math>\nu_t=y_t-C\hat{x}_{t/t-1}\, </math>はイノベーションと呼ばれている.

　<math>w_t,\;v_t,\;x_0\, </math>がガウス分布でない場合には, 上のアルゴリズムは状態ベクトルおよび信号の線形最小分散推定値を与えるという意味で, 最適なフィルタである.

　式(6), (7)から<math>P_{t/t}\, </math>を消去して,<math>P_t:=P_{t/t-1}\, </math>とおくと, 離散時間リッカチ方程式

<center>
<math>
P_{t+1}=A(P_{t}-P_{t}C^{\top}[CP_{t}C^{\top}+R]^{-1}CP_{t})A^{\top} + BQB^{\top} \qquad (8)
\, </math>
</center>

を得る. また上式の<math>t\to \infty\, </math>における極限を代数リッカチ方程式という. 制御理論の分野には(代数)リッカチ方程式に関する膨大な研究がある [7].

　白色雑音を受ける非線形確率システムに対しても,その線形化モデルにカルマンフィルタを適用することができるので, カルマンフィルタは航空宇宙工学の分野において飛翔体の軌道推定に威力を発揮した. また状態ベクトルだけてなく, モデルに含まれる未知パラメータを同時に推定する拡張カルマンフィルタも提案されており, カルマンフィルタの応用は時系列の推定を始めとして非常に多くの分野に見られる.

----
'''参考文献'''

[1] R. E. Kalman, "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problem," ''Transactions of American Society of Mechanical Engineers, Journal of Basic Engineering'', '''82D''' (1960), 34-45.

[2] R. E. Kalman and R. S. Bucy, "New Results in Linear Filtering and Prediction Theory," ''Transactions of American Society of Mechanical Engineers, Journal of Basic Engineering'', '''83D''' (1961), 95-108.

[3] B. D. O. Anderson and J. B. Moore, ''Optimal Filtering'', Prentice-Hall, 1979.

[4] M. S. Grewal and A. P. Andrews, ''Kalman Filtering - Theory and Practice'', Prentice-Hall, 1993.

[5] 有本卓, 『カルマンフィルター』, 産業図書, 1977.

[6] 片山徹, 『新版応用カルマンフィルタ』, 朝倉書店, 2000.

[7] S. Bittanti, A. J. Laub and J. C. Willems (Eds.), ''The Riccati Equation'', Springer, 1991.

[[category:予測|かるまんふぃるたー]]

季節調整法

2008-04-04T01:54:28Z

Tetsuyatominaga:

'''【きせつちょうせいほう (seasonal adjustment)】'''

=== 概要 ===

季節調整法とは, 時系列データ(月次データ・四半期データ)の変動を趨勢循環変動, 季節変動, 不規則変動の3成分に分解・推計し, 季節変動成分を元の系列から除去した季節調整済系列(趨勢循環・不規則変動の推計値)を求める方法をいう. 経済時系列を例にとっていうと, 季節調整は, 天候や社会慣習などの影響により毎年季節的に繰り返される変動を経済データから除去することによって, 景気の転換点等経済の基調的な動向を的確に把握するために行われる.

=== 詳説 ===

　[[季節調整法]]とは, 時系列データ(月次データ・四半期データ)の変動を趨勢循環変動, 季節変動, 不規則変動の3成分に分解し, 趨勢循環変動と不規則変動を表した季節調整済系列(以下, 「季調済系列」と略す)を推計する方法をいう [1]. 経済時系列を例にとっていうと, 季節調整は, 天候や社会慣習などの影響により毎年季節的に繰り返される変動をデータから除去することによって, 景気の転換点など経済の基調的な動向を的確に把握するために行われる.

　実際の季節調整においては, 原系列(<math>Y_t\, </math>)と, 趨勢循環変動(<math>TC_t\, </math>), 季節変動(<math>S_t\, </math>), 不規則変動(<math>I_t\, </math>)の3要素の関係は, 次の乗法型か加法型が仮定される(<math>t\, </math>は時点をあらわす).

:乗法型：<math>Y_{t}=TC_{t} \cdot S_{t} \cdot I_{t}, \, </math>　　加法型：<math>Y_{t}=TC_{t}+ S_{t}+ I_{t}\, </math>

　季節調整を上記モデルに沿って解釈すれば, 原系列<math>Y_t\, </math>から季節変動<math>S_t\, </math>を除去し, 乗法型であれば<math>TC_{t} \cdot I_{t},\, </math> 加法型であれば<math>TC_{t}+ I_{t}\, </math>を抽出推計する.

　季節調整法の伝統的な手法としては, [[移動平均法]]と呼ばれるものがあり, その代表格が, 米国商務省が開発した[[センサス局法]]X-11である. X-11の計算アルゴリズムはかなり複雑であるが, そのベースは「原系列の一年分の移動平均をとれば, 一年周期の季節変動が除去される」という単純な移動平均の発想に基づいている. X-11は世界各国の統計機関で利用されるなど実用面での重みがある一方で, 批判もまた少なくない. 批判は, パフォーマンス面からの批判と統計理論面からの批判に大別される [2][3].

　まず, パフォーマンス面からの批判としては, X-11による季節調整の不安定性の問題がある. これは, 新規データの追加により季調済系列が過去に遡って大幅に改定されることを指すが, 足元の景気の動きをみる際には, 直近部分の季調済系列が重要な判断材料となるだけに, 不安定性は重要な問題である. こうした不安定性の原因としては, 1) 時系列の末端部分では, 新規データの追加に伴い移動平均のフィルターが変化する(後方移動平均→中心移動平均), 2) 異常値や曜日変動などが原系列に混入している場合には, 移動平均によって季節変動を適切に抽出することが困難である, ことが挙げられる.
　次に, 統計理論面からの批判としては, センサス局法が, 時系列の各変動成分に対して明確な確率モデルを仮定することなく, 単に移動平均を繰り返しているに過ぎないため, 得られた季調済系列の統計理論的な性質が不明瞭であるほか, 移動平均項数の設定も恣意的であるという問題が挙げられる.

　こうしたX-11の2つの問題を背景に, 新たな季節調整法が開発されている. X-11のパフォーマンス上の問題(季節調整の不安定性など)を改善するために, センサス局によって新たに開発されたのが, X-12-ARIMAである. また, 統計理論上の問題を解決するために, 移動平均法とは全く別のアプローチから, 多くの統計学者らによって開発されてきたのが, [[モデル型調整法]]である.

　センサス局法の最新バージョンX-12-ARIMAの特徴は, 季節調整の事前処理として, REGARIMAと呼ばれる時系列モデルの情報を用いることにある [4] [5]. その開発思想は, 前記のX-11による季節調整の不安定性の原因をREGARIMAによって取り除こうというものである. つまり, X-12-ARIMAでは, REGARIMAの事前調整によって, 原系列から異常値や曜日変動等を推計・除去するとともに, 原系列の予測値を推計した上で, この予測値と実際の原系列をつなげた系列に対して移動平均を行うことにより, 系列末端部分においても後方移動平均ではなく中心移動平均を用いた季節変動の推計を可能にした.

　一方, モデル型調整法は, 現実のデータがどのような確率モデルから生成されているのかを明確に仮定することによって, 季節調整の手続きを透明にし, かつ推計される季調済系列の統計理論的な性質を明瞭にすることを目的としたものである. モデル型調整法は, 各変動成分の確率モデルの仮定次第で様々なバリエーションをとりうるが, 主な手法としては, シグナル抽出法 [6] [7] や状態空間モデルによる季節調整 [8] [9] などが挙げられる. 例えば, 状態空間モデルは, 時系列の各変動成分を確率差分方程式の形で捉えることによってモデル全体を状態空間表現で規定し, 各変動成分の形状やノイズ分布等について, 汎用性を持たせた季節調整法である. ノイズ分布に関しては, 一般的には, 正規分布(ガウス分布)を仮定することが多いが, 非ガウス分布を仮定して, 時系列の異常値や構造変化をうまく処理するような工夫も最近ではされている [10].

----
'''参考文献'''

[1] 日本オペレーションズ・リサーチ学会, 「特集季節変動のマネージメント」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 420-441.

[2] 統計数理研究所, 「特集　季節調整法」, 『統計数理』, '''45''' (1997), 167-357.

[3] 木村武, 「季節調整法の評価に関する実証分析」, 『日本統計学会誌』, '''26''' (1996), 269-286.

[4] 木村武, 「最新移動平均型季節調整法X-12-ARIMAについて」『金融研究』, '''15''' (1996), 95-150.

[5] D. F. Findley, B. C. Monsell, W. R. Bell, M. C. Otto and B. Chen, "New Capabilities and Methods of the X-12-ARIMA Seasonal Adjustment Program," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''16''' (1998), 127-177.

[6] W. R. Bell and S. C. Hillmer, "Issues Involved with the Seasonal Adjustment of Economic Time Series," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''2''' (1984), 291-320.

[7] J. P. Burman, "Seasonal Adjustment by Signal Extraction," ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series A, '''143''' (1980), 321-337.

[8] 北川源四郎, 「時系列の分解－プログラムDECOMPの紹介」, 『統計数理』, '''34''' (1986), 255-271.

[9] G. Kitagawa and W. Gersch, "A Smoothness Priors - State Space Modeling of Time Series with Trend and Seasonality," ''Journal of the American Statistical Association'', '''79''' (1984), 378-389.

[10] G. Kitagawa, "Non-Gaussian State Space Modeling of Nonstationary Time Series," ''Journal of the American Statistical Association'', '''82''' (1987), 1032-1041.

[[category:予測|きせつちょうせいほう]]

指数平滑法

2008-04-04T01:53:41Z

Tetsuyatominaga:

'''【しすうへいかつほう (exponential smoothing)】'''

=== 概要 ===

時系列データに対してウエイト付け平均を行って平滑化する方式で, 過去にさかのぼる程小さくなる指数型のウエイト付けを採用している. 時系列を逐次平滑化している基本式(定数型モデル)は,
<math>
m_{t}=ad_{t}+(1-a)m_{t-1}
\,</math>
で表わされる. ここで, <math>m_t \,</math>は<math>t \,</math>時点のウエイト付けされた平均値(推定値), <math>d_t \,</math>は<math>t \,</math>時点のデータ, <math>a \,</math>は平滑化定数(<math>0 \leq a \leq 1 \,</math>)である. また, 時系列データに傾向や季節変動がある場合の直線型傾向モデルや季節型モデルも開発されている.

=== 詳説 ===

1. 指数平滑法の基本式

　時間の変化に従って与えられるデータ群, すなわち, 時系列データ (例えば需要量系列など) を用いた予測方式の共通点は, 先行するデータ群をつぎに続くデータ群に関連づけて推定を行うことである. この方法の一つで[[指数平滑法]]の基礎となる方式が移動平均法である. いま, <math>t\, </math>時点の移動平均値を<math>m_t\, </math>, 用いられるデータ群の項数を<math>l, (t-n)\, </math>時点のデータを<math>d_{t-n}\, </math>とし, <math>d_{t-n}\, </math>の係数を<math>a_{n+1}\, </math>とすれば, <math>{\it t}\, </math>時点の移動平均値<math>m_t\, </math>は次式で表される.

<center>
<math>
m_{t}=a_{1}d_{t}+a_{2}d_{t-1}+{\cdots}+a_{l}d_{t-l+1}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

<center>
ただし, <math>
\ \sum_{n=1}^{l}a_{n}=1
\, </math>
</center>

　さて, 指数平滑法([1], [2])はこの(1)式の係数<math>a_{1} ,a_{2},\cdots ,a_{l}\, </math>に対して, 現在時点に近い程ウエイトを大きくし, 過去にさかのぼる程ウエイトを小さくしていく指数型の考え方を導入したもので, 指数型加重移動平均法とも呼ばれている. すなわち, この方式による<math>{\it t}\, </math>時点の推定値<math>m_t\, </math>は次式のように表わされる. (ただし, <math>0 \leq 1-a \leq 1\, </math>)

<center>
<math>
m_{t}=a\{d_{t}+(1-a)d_{t-1}+{\cdots}+(1-a)^{n}d_{t-n}+{\cdots}\}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

　この(2)式の重み係数<math>a, a(1-a), a(1-a)^{2}, \cdots \cdots\, </math>の総計は1となる. なお, この場合の<math>m_t\, </math>は<math>({\it t}+1)\, </math>時点の予測値として用いられる. ここで, (2)式と同様な考え方で<math>m_{t-1}\, </math>を算出すると次式が得られる.

<center>
<math>
m_{t-1}= a \{d_{t-1}+ (1-a) d_{t-2}+{\cdots}+ (1-a) ^{n-1} d_{t-n}+{\cdots}\}
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

　(3)式の両辺に<math>(1-{\it a})\, </math>を掛けて(2)式と対比すると, 次式のような指数平滑法の基本式(定数型モデル)が導出される.

<center>
<math>
m_{t}= a d_{t}+ (1-a) m_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

　この(4)式の係数<math>{\it a}\, </math>を平滑化定数と呼んでいる.

2. 平滑化定数の値

　上記の平滑化定数<math>{\it a}\, </math>は, 原則として, 0と1の間の値をとる. この中, <math>{\it a}=1\, </math>のときは<math>m_{t}=d_{t}\, </math>となり推定値は同時点のデータと等しくなる. 一方,<math> {\it a}=0\, </math>のときは<math>m_{t}=m_{t-1}\, </math>となり推定値は一時点前の先行する推定値と等しくなる. <math>{\it a}\, </math>を中間の値<math>(0<{\it a}<1)\, </math>にとった場合にはある程度ランダムな変動の影響を受けることになる. <math>{\it a}\, </math>の値を最適に決めることは難しい問題であるが, 0.5より若干小さい値をとる場合が比較的多い.

3. 傾向を考慮した場合

　時系列データに傾向がない定数型モデルの場合には, (4)式の<math>m_t\, </math>が<math>({\it t}+1)\, </math>時点の有効な予測値となるが, もし, 上昇, あるいは下降の傾向がある場合は, この値は不満足なものになる. この問題を解決するために傾向を考慮した指数平滑法(直線型傾向モデル)が提案されている. このモデルでは2番目の変数として<math>t\, </math>時点の傾向の推定値r_tを導入している. この直線型傾向モデルはR. G. Brown[3], [4] により提示されたが, いま, <math>({\it t}+1)\, </math>時点の予測値を<math>y_t\, </math>とすれば(5)～(7)式のように表わされる.

<center>
<math>
y_{t}= m_{t}+{ \frac{1-a}{a}} r_{t}
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

<center>
<math>
m_{t}= a d_{t}+ (1-a) m_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math>
</center>

<center>
<math>
r_{t}= a (y_{t}- y_{t-1})+ (1-a) r_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

　このモデルの<math>{\it k}\, </math>時点先の予測値<math>y_{t+k}\, </math>は次式のように示される.

<center>
<math>
y_{t+k}= y_{t}+ k r_{t}
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

　なお, (4)式や(5)式などで用いられている<math>m_t\, </math>や<math>r_t\, </math>の初期値は, それまでのデータにより推定される. それらの値はとくに重要な値ではないので比較的単純な近似法を用いればよい.

4. 季節変動を考慮した場合

　時系列データに季節変動がある場合には, 季節型モデルが利用される. このモデルの代表的なものはP. R. Winters [5] によって提示されているが, いま, <math>{\it t}\, </math>時点の季節変動指数値<math>S_t\, </math>, 3つの平滑化定数をそれぞれ<math>{\it a}, {\it b}, {\it c}\, </math>とすればこのモデルは(9)～(11)式のように表わされる.

<center>
<math>
y_{t}= a \frac{d_{t}}{S_{t-L}}+(1-a) (y_{t-1}+ r_{t-1})
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

<center>
<math>
S_{t}= b \frac{d_{t}}{y_{t}}+(1-b) S_{t-L}
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>
</center>

<center>
<math>
r_{t}= c (y_{t}- y_{t-1})+(1-c) r_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>
</center>

　ただし, <math>t-L\, </math>は<math>{\it t}\, </math>より1年前の時点.

このモデルの<math>{\it k}\, </math>時点先の予測値<math>y_{t+k}\, </math>は次式のように示される.

<center>
<math>
y_{t+k}= (y_{t}+k r_{t})S_{t+k-L}
\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>
</center>

5. その他の指数平滑法

　上記以外のモデルとしては, <math>y_{t-2}\, </math>までを用いた2次のモデルや定数型モデルの推定値をデータとして同じモデルを繰り返し用いる2重や3重のモデルも提案されている.

----
'''参考文献'''

[1] I. C. I Monograph, No.2, ''Short-Term Forecasting'', Imperial Chemical Industries Limited, 1964.

[2] C. C. Holt, ''Forecasting Seasonals and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages'', Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh, Pennsylvania, 1957.

[3] R. G. Brown, ''Statistical Forecasting for Inventory Control'', McGraw-Hill, 1959.

[4] R. G. Brown and R. F. Meyer, "The Fundamental Theorem of Exponential Smoothing," ''Operations Research'', '''19''' (1961), 673-685.

[5] P. R. Winters, "Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages," ''Management Science'', '''6''' (1960), 324-342.

[[category:予測|しすうへいかつほう]]

予測

2008-04-04T01:52:43Z

Tetsuyatominaga:

'''【よそく (forecasting)】'''

=== 概要 ===

対象となる事象の将来の起こり得る事態について, データ分析により事前の推測を行うこと.

=== 詳説 ===

　将来を的確に見通すことができれば, 我々は常に最も適切な行動をとることができよう. 企業, 組織の行動においては, その目的達成や持続的発展に向け, 将来を先見することにより "先んずれば人を制する" ことが求められる. 予測はこのような適切な行動をとるための方針・計画の前提となるものである.

　[[予測]]とは, 対象となる事象の将来の起こり得る事態について, データ分析により事前の推測を行うことである. 実際の仕事や行動の場面に即して考えれば, 意思決定や行動に必要となる事前の情報分析, 政策分析, 情報の獲得行動の一つとして予測が実施される. すなわち, 与えられた制約や条件のもとで, 合理的な方法により対象にどのような結果が生ずるか, また何が起きるかを事前に定量的あるいは定性的に推測することである. 一般的には対象を計量可能なモデルとして表現し予測計算が行われる.

　予測の具体例としては需要予測, 販売予測, [[経済予測]], 人口予測, 気象予測, [[技術予測]], 未来予測など対象に応じて実にさまざまであり, それぞれに予測モデルが存在する. また, モデルは予測期間の長短により短期, 中期, 長期, 超長期予測モデルなどに分類されるが対象によって各期間の長さは異なる. 例えば, 経済予測では短期とは3ヶ月～1年前後とされるが, 電力の需要予測では短期は数分～30分先の予測から1ケ月先程度までをさすことが多い.

　予測モデルの構築に際しては, 物理的に対象の構造表現が確定している場合を除き, 対象の観測データから要因間の関係や内在する傾向やパターンを見つけ, 諸量を計算できる形のモデルとして表現しなければならない. モデルの作成方法にはいろいろな手法があるが, いずれのモデルにおいてもほとんどが必要なパラメータや外生的な条件などをデータから推定する必要がある. そうした推定には統計的な手法が採用されることから, 予測は統計学的観点からみれば, 推定されたモデルをもとに, 時間的, 空間的にまだ観測されていない範囲の状態を推定するという統計的推測の一応用と見なすこともできる.

　最近では, 伝統的な統計的予測に加え, コンピュータの活用により, [[計量経済モデル]]や[[システムダイナミックスモデル]]といった大掛かりなモデル予測, さらに, 膨大なデータベースから自動的にデータ間の構造や傾向を探し出す手法としてＡＩ, ニューラルネットワーク, データマイニングなどの手法も活用されている.

　その他の予測手法として, 技術予測や未来予測においてよく用いられるブレーンストーミングや[[デルファイ法]]といった直感的方法, 将来の目標を定めそれを達成する課題を分析する関連樹木法などの手法もある.

　予測の手順は基本的には, (a) 予測対象・目的の確認, (b) データ収集, (c) モデルの構築, (d) 予測計算, (e) 予測評価とまとめ, というステップからなる. これら各ステップについて, 考慮すべきポイントや特徴等は次の通りである.

　なお, 最近ではデータ収集から, モデル化, 予測計算, そして結果の集約までの一連の作業を自動化し, さらには開発者の判断がインタラクティブに行える予測支援システムが開発されている.

(1) 予測対象・目的の確認

　予測の対象, 範囲などをまず明らかにするとともに, 予測結果を与件にして他の目的に使うのか, 結果そのものを目標とするかなど, 利用目的を明確にしておくことが大切である. また, 予測をする側, 使う側の意識の違いを認識する必要がある. 予測をする側は一般に大きな誤差の容認を求める. 一方, 使う側は当然のことながらできるだけ小さい誤差を要求するが, 例えば収入計画や設備計画など立場の違いによリ誤差だけでなく結果そのものへの要求が異なることもある. しかし完全な予測は不可能であり, はずれてもそこにリスクの考え方を導入し, 余裕をもたせることが重要である. すなわち予測作業の結果得られる代替的な結果の事前情報は, 不確定な将来の行動の選択範囲を広げかつ余裕度をもたらすものなのである. このため, 予測誤差をどの程度見込むか, その損失はどの位かなどを事前に明らかにしておくことが望ましい.

(2) データ収集

　予測の対象や目的, 範囲などが確定すれば必要なデータが収集される. 新鮮かつ信頼性の高いデータや情報が必要なことは言うまでもない. このために日常からデータベースの整備, 開発が行われている. 最近では, 現場から直接オンラインでデータが収集されデータベースに取り込まれるシステムの開発も当たり前になってきており, インターネットなどを利用して, 内部のみならず外部データベースの利用も行われている.

(3) モデルの構築

　収集したデータをもとに対象の構造を論理的, 合理的に表現したモデルを作成する. 対象の構造や収集データによりモデルの作成手法を選択し, モデルを推定する. そして推定されたモデルのあてはまりの良さのテストを繰り返し行い, 最適なモデルが作成される. この過程で必要に応じデータの再収集や手法の変更まで行うこともある.

(4) 予測計算

　作成されたモデルを用いてさまざまな制約, 条件のもとでの予測シミュレーションを実施する. この段階においてもモデルのテストや修正が行われる.

(5) 予測評価とまとめ

　予測計算結果の評価と必要な再計算を行い, 必要な決定や計画策定をとりまとめる. とくに予測計算結果をもとに前提条件, モデルの構造, 結果の図表さらにはその評価を行い, 必要な行動や政策の提示までを分かりやすくまとめることが重要である.

　予測対象によって結果の使い方や認識が異なることからまとめ方にも工夫が必要である. 例えば, 経済予測は条件付きの事前推測と認識すべきであり, 予測をする際の政策や外生的条件が多くそれら与件をどのように見込むかで予測結果は大きく異なる. 予測結果を単に政府の政策目標として評価する場合もあれば, 結果から政策や外生条件の変化や変動に対する感度などを分析し, 前提とした与件が望ましいものかを評価, 判断することも多い. したがって, 結果のまとめに際してはこれらの情報が分かるようにすることが求められる.

[[category:予測|よそく]]

多変量解析

2008-04-04T01:51:47Z

Tetsuyatominaga:

'''【たへんりょうかいせき (multivariate analysis)】'''

=== 概要 ===

解析の対象に対して, 複数の変数(特性)についての値が得られているときに, それらを用いて, 総合的に解析するのを多変量解析という. 変数の型および変数の扱い方により, 種々の解析方法がある. 主成分分析や因子分析のように, すべての変数を同じに扱う場合と, 回帰分析のように, 変数を2つのグループに分けて, 一方で他方を説明する場合がある.

=== 詳説 ===

　解析の対象 (会社, 地域, 人など) に対して, 複数の変数 (特性) についての値が得られているときに, それらを用いて, 総合的に解析するのを多変量解析という. 変数の型および変数の扱い方により, 種々の解析方法がある.

　変数の型は, 同異だけがわかる名義尺度変数 (質的変数) と差に意味がある間隔尺度変数 (量的変数) に分かれる. 会社名, 地名, 人名などは, 名義尺度変数である. 名義尺度変数は, 分類にしか使えないが, 複数の間隔尺度変数は, 重み(係数)を乗じて, 加えた関数を考えることができる.

　変数の扱い方には, すべての変数を同じに扱う場合と二つに分ける場合がある. 後者では, 第1のグループの変数の関数と第2のグループの変数の対応を求める. 第1のグループの変数を説明変数, 第2のグループの変数を目的変数という. 目的変数は, 1個であることが多い.

[解析方法の種類]

　1. すべての変数を同じに扱う場合

　すべての変数が名義尺度変数である場合は, 対象を多重に分類した分割表を解析する方法があるが, 通常は, 多変量解析の対象にしていないので, ここでは, すべての変数が間隔尺度変数であるとする.

　(1) 総合特性値を求める方法

　元の変数との関係をできるだけ失わないようにして, より少数の総合特性値をいくつか求める方法として, [[主成分分析]]や[[因子分析]]がある. 主成分分析では, 主成分といわれる元の変数の線形式を順次一つずつ求めていく. したがって, 第<math>k\, </math>(≧2)主成分には, すでに定まっている第1から第<math>(k-1)\, </math>主成分までに追加するのに最適なものが選ばれる. しかし, とりあげる総合特性値の数<math>k\, </math>が予め定まっている場合は, 第1主成分から第<math>k\, </math>主成分の1次変換であれば, どれでもよいので, 意味を考えて, よりよい<math>k\, </math>個の因子と呼ばれる総合特性値を求めるのが因子分析である.

　(2) 対象を分類する方法

　対象をいくつかのグループに分類する方法として, クラスター分析がある.

　2. 説明変数と目的変数に分かれている場合

　説明変数は, すべて間隔尺度変数であるとする. 目的変数との関係がある説明変数の関数を求める方法がいくつか考えられている.

　(1) 目的変数が名義尺度変数である場合

　目的変数によって対象をグループ分けしたとき, 同じグループ内では近い値をとり, 異なるグループでは離れた値をとる説明変数の関数が求められれば, 説明変数で目的変数を判別することができる. 目的変数を判別するために用いる説明変数の関数を判別関数という.

　(2) 目的変数が間隔尺度変数である場合

　その値が目的変数の値とできるだけ近くなるような説明変数の関数を求める方法として, 回帰分析がある.

[変数の型の変換]

　ある特徴の有無, 質問の肯定・否定による回答などのように, 二つに分けられる名義尺度変数は, 0か1の値をとる0-1変数におきかえることで, 間隔尺度変数のように扱うことができる. 一般に, <math>k\, </math>個に分ける名義尺度変数は, <math>k\, </math>個の0-1変数に置き換えることができる.

　0-1変数だけの多変量解析として, 各種の数量化法が提案されている.

　順序だけ意味がある順序尺度変数は, 点数化によって, 間隔尺度変数にできる. たとえば, 品物に松, 竹, 梅のランクが付けられている場合, それぞれに, 3, 2, 1や5, 2, 1の数値を対応させれば, 間隔尺度変数として扱うことができる. なお, 順序尺度変数は, [[順位相関係数]]を用いて, 解析することもできる.

　比が意味を持つ比尺度変数は, その対数をとることによって, 間隔尺度変数になる.

[単位に関する注意]

　複数の変数を扱うとき, 単位に注意する必要がある. 単位がすべて同じであれば, ほとんど問題がないが, <math>x_1\, </math> の単位はm, <math>x_2\, </math> はcm, <math>x_3\, </math> はgのように, 異なるときは, 重み (係数) <math>a_1, a_2, a_3\, </math> の単位を変えることによって, 重み付きの和

:<math>a_{1}x_1+a_{2}x_2+a_{3}x_3\, </math>

が意味を持つ. このときに, 重みの2乗和

:<math>a_1^2+a_2^2+a_3^2\, </math>

を1にするといった誤りをしないように, 注意されたい.

　多変量解析では, 単位を揃えることとばらつきを揃えることを兼ねて, 初めにその変数の標準偏差で割る変数変換がよく行われる.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

[2] M. G. Kendall 著, 奥野忠一, 大橋靖雄訳, 『多変量解析』, 培風館, 1981.

[[category:統計|たへんりょうかいせき]]

数量化法

2008-04-04T01:50:58Z

Tetsuyatominaga:

'''【すうりょうかほう (quantification method)】'''

=== 概要 ===

林知己夫が提唱した記述的多次元データ解析の方法. はい, いいえで答えたり, いくつかの項目の中から選んだりするアンケートの回答のような質的特性のデータを含む場合の現象解明のための探索的データ解析の方法である. 特性の型, 扱い方と目的によって, I類からVI類までに分かれている. I類に対しては重回帰分析が対応するように, それぞれに対応する量的データに対する多変量解析手法がある.

=== 詳説 ===

　数量化法は, 林知己夫氏が提唱した記述的多次元データ解析の方法である. 現象を解明するには, データの取得計画, 具体的なデータ取得法, 現象に合わせた適切なデータ解析法の三者が均衡を保つことが重要であるという思想的枠組の中から数量化法が誕生した. いくつかの方法が提案されているが, 各方法の誕生の経緯に共通することは, いずれも具体的な現象解明のための応用実務の探索的データ解析を目指していることである.

　扱うデータの中に, ‘はい’か‘いいえ’で答えたり, いくつかの選択肢の中から選んだりするアンケートの回答のような質的変数のデータを含んでいるのが特徴である. 変数の型, 扱い方と目的によって, 数量化I類からVI類までに分かれている. はじめに, I類からIV類までが提唱されて, あとで, V類とVI類が追加された. 変数がすべて同じに扱われる場合と一つの変数だけ区別して, それを他の変数で説明する場合がある. 後者の場合, 説明に用いる変数を説明変数, それらで説明される変数を目的変数という. 目的変数を外的基準ということもあり, 外的基準がある場合/ない場合という表現を使う.

［質的変数に対応するダミー変数］

　質的変数は, アイテム, 項目と呼ばれることがあり, それがとる状態はカテゴリーと呼ばれる. アンケートの回答結果がデータである場合, 質問における対象がアイテムに当たり, 回答における選択肢がカテゴリーに当たる. たとえば, ‘この車のデザインは好きですか’という質問を‘好き’か‘嫌い’で答える場合, ‘この車のデザイン’がアイテムであり, ‘好き’と‘嫌い’がカテゴリーである.

　この質問のようにカテゴリー数が2であって, 二者択一である場合は, 0か1の値をとるダミー変数を対応させる. カテゴリー数が3以上であるか, 2であっても両方選ぶことができる場合は, カテゴリー数だけダミー変数を用意し, そのカテゴリーを選んだことを1で, 選ばなかったことを0で表す. このとき, ダミー変数の一次式における係数を定めることは, 各カテゴリーに数量を割り当てることを意味する.

［数量化I類］

　外的基準がある場合で, 説明変数がすべて質的変数であり, 目的変数が量的変数である予測型手法である. 量的データの解析における重回帰分析に対応する.

［数量化II類］

　外的基準がある場合で, 説明変数がすべて質的変数であるが, I類と異なり, 目的変数も質的変数である判別分析型手法である. 量的データの解析における判別関数を求めることに対応する.

［数量化III類］

　外的基準がない場合で, 二つのアイテムについて, カテゴリー別にそれを選んだ度数を集計して作られる2元分割表, クロス表が与えられている. このとき, 相関係数が最大になるように, 二つのアイテムの各カテゴリーに数値を割り当てて, それらの関係を解明する.

　数量化III類と同じように, 質的データの数量化を行う同等または類似の手法として, 対応分析[5] , 双対尺度法 [6] などがある.

［数量化IV類, V類, VI類］

　数量化IV類は, 分析の対象がいくつか考えられているときに, 2対象間の類似性または親近性の程度を表す数値から, 低次元空間における対象の位置を定める方法である. 多次元尺度構成法の一つと見ることもできる. その発展型として, V類, VI類がある.

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'''参考文献'''

[1] 林知己夫, 『数量化-理論と方法』, 朝倉書店, 1993.

[2] 林知己夫, 鈴木達三, 『社会調査と数量化(増補版)』, 岩波書店, 1997.

[3] 駒澤勉, 『数量化理論とデータ処理』, 朝倉書店, 1982.

[4] 大隅昇, L. ルバール他, 『記述的多変量解析法』, 日科技連出版社, 1994.

[5] J. P. Benzecri, ''Correspondence Analysis Handbook'', Marcel Dekker, 1992.

[6] S. Nishisato, ''Analysis of Categorical Data : Dual Scaling and Its Applications'', University of Toronto Press, 1980.

[[category:統計|すうりょうかほう]]

多次元尺度構成法

2008-04-04T01:50:13Z

Tetsuyatominaga:

'''【たじげんしゃくどこうせいほう (multidimensional scaling)】'''

=== 概要 ===

いくつかの対象に対して, 2対象間の距離または類似度などが与えられているとき, 多次元の空間における対象の配置を決定する方法. 各対象の座標から計算される2対象間の距離が与えられた距離にできるだけ適合するように, 配置を定める. 距離の代わりに, 複数の評定者による2対象間の選好結果, すなわち, 2対象のどちらを好むかが与えられていることもある. このときは, 対象の配置だけでなく, 評定者の理想点の位置も求められる.

=== 詳説 ===

　マーケティングにおける製品のように, 分析の対象がいくつか考えられているときに, 2対象間の距離または類似度などから, 多次元の空間における対象の配置を決定する方法を多次元尺度構成法MDSといい, 対象の配置を布置configurationという.

　対象の数を <math>n\, </math>, 対象 <math>i\, </math> と対象 <math>j\ (i,j=1,2,\ldots ,n)\, </math> の間の実測距離を <math>\delta_{ij}\, </math> とする. 類似度が得られているときは, 類似度が大きいほど距離が小さくなるように, 類似度から距離を定める. 次元の数を <math>p\, </math> とすると, 求めるものは, 対象 <math>i\ (i=1,2,\ldots ,n)\, </math> の座標 <math>\boldsymbol{x}_i=(x_{i1}, x_{i2},\ldots ,x_{ip})\, </math> である. 対象の布置は, 視覚的にわかりやすく表示する必要があるので, <math>p\, </math> には, 2, 3のような小さい値を選ぶ.

　各点の座標が定まると, <math>\boldsymbol{x}_i\, </math> と <math>\boldsymbol{x}_j\, </math> から, たとえば, ユークリッド距離により, 対象 <math>i\, </math> と対象 <math>j\, </math> の間の距離 <math>d_{ij}\, </math> を計算することができる. このとき, <math>(d_{ij})\, </math> は, <math>(\delta_{ij})\, </math> に全体的に適合
している方がよい. そこで, <math>(d_{ij})\, </math> が <math>(\delta_{ij})\, </math> に適合している程度を表す適合度を定めて, それを最小にする <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を求める.

　適合度の定義は, いくつか考えられているが, <math>d_{ij}\, </math> と <math>\delta_{ij}\, </math> の差を用いて表すものや, その差が意味を持たない場合に, <math>(\delta_{ij})\, </math> と大きさに関してほぼ同じ順序を持っている距離 <math>(d^*_{ij})\, </math> を求め, <math>(d_{ij})\, </math> と <math>(d^*_{ij})\, </math> の差を用いるものもある [3]. 適合度を最小にする <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を求めるのは, 非線形計画問題になる. <math>\delta_{ij}\, </math> が順位で与えられているときに, 相関係数の形に似た単調性係数を用いるものもある.

　次元の数が定まっていないときは, <math>p\, </math> の値を1から出発して, 1ずつ増やしていく方法もある. <math>p\, </math> が大きくなるほど, 適合度は小さくなるが, 対象の布置はわかりにくくなる. したがって, 適合度の減少分がある限度以下になれば, 終了する.

　2対象間の距離の代わりに, 複数の評定者による2対象間の選好結果が与えられていることもある. 選好結果は, 各評定者毎に, 2対象のどちらをより好むかを示す. このときは, 選考結果の集計から, 2対象の距離を計算して, 対象の布置を求めることができるだけでなく, 評定者の理想点の位置も求められる [4]. 選考判断は, 全対象に対する好みの順序で与えられることもある.

　これらの他にも, 線形計画法で分析する方法 [5] や, 対象毎に, それから近い順に他の対象を並べるときの順位を求めて, それから解析する方法 [5] など, 様々な方法が提案されている.

　また, <math>\delta_{ij}\, </math> を確率変数の実現値とみなす確率モデルを規定して, 最尤法などで <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を推定する方法もある [6] .

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'''参考文献'''

[1] 斎藤堯幸, 『多次元尺度構成法』, 朝倉書店, 1980.

[2] 高根芳雄, 『多次元尺度法』, 東京大学出版会, 1980.

[3] J. B. Kruskal, "Multidimensional Scaling by Optimizing Goodness of Fit to a Nonmetric Hypothesis," ''Psychometrika'', '''29''' (1964), 1-27.

[4] J. D. Carroll, "Individual Differences and Multidimensional Scaling," in ''Multidimensional Scaling : Theory and Applications in the Behavioral Sciences Vol. 1'', R. N. Shepard, et al. eds., New York : Seminar Press, 105-155, 1972. 岡太彬訓, 渡邊惠子訳, 『多次元尺度構成法I理論編』, 共立出版, 1976.

[5] V. Srinivasan and A. D. Shocker, "Linear Programming Techniques for Multidimensional Analysis of Preferences," ''Psychometrika'', '''38''' (1973), 337-369.

[6] 片平秀貴, 『新しい消費者分析 LOGMAPの理論と応用』, 東京大学出版会, 1991.

[[category:統計|たじげんしゃくどこうせいほう]]

判別関数

2008-04-04T01:49:26Z

Tetsuyatominaga:

'''【はんべつかんすう (discriminant function)】'''

=== 概要 ===

いくつかの変数 (特性) についての測定値が得られている対象に対して, それが属している可能性があるグループが複数考えられるときに, それらの変数の関数を用いて対象の属するグループを判別することにする. このときに用いる関数を判別関数という. その対象の測定値 (ベクトル) と各グループの中心 (平均) の距離を計算して, それが最小であるグループに属していると判別することが多い.

=== 詳説 ===

　いくつかの変数(特性)についての測定値が得られている対象に対して, それが属している可能性があるグループが複数考えられるときに, それらの変数の関数を用いて対象の属するグループを判別することにする. このときに用いる関数を判別関数という.

　いくつかの特性の値からグループを判別するから,特性が説明変数であり, グループが(質的)目的変数である.説明変数を<math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>, 目的変数を<math>y\, </math>で表す.また, <math>y\, </math>のとりうる値(グループ名)を<math>G_h(h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math>とする.すなわち, <math>r\, </math> 個のグループが考えられているとする. グループの判別には, <math>\boldsymbol{ x}(x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>を並べたベクトル)と<math>G_h(h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math>の中心(平均)の間の距離<math>D_h(\boldsymbol{ x})\, </math>を用いる. <math>G_h\, </math>における平均ベクトル <math>(x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math> の平均を並べたベクトル) を<math>\boldsymbol{m}_h\, </math>, 分散共分散行列の逆行列を <math>C_h\, </math> とする. このとき, <math>D_h(\boldsymbol{ x})\, </math> は, 次式で計算される.

<center>
<math>
D_h(\boldsymbol{x})=
(\boldsymbol{x}\boldsymbol{m}_h)^{\top}
C_h(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{m}_h)
</math>
</center>

グループが正規母集団とみなされ, 分散共分散行列がすべて等しいとき, 上の式で <math>\boldsymbol{x}\,=\,\boldsymbol{m}_k\, </math>とおいて得られる距離を, <math>G_k\, </math>と<math>G_h\, </math>の間のマハラノビス汎距離という. 平均や分散共分散行列は, 各グループに属していることがわかっている対象についての測定値より計算される. <math>D_h(\boldsymbol{x}) (h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math> の中で,<math>D_k(\boldsymbol{x})\, </math> が最小であれば, この対象は,<math>G_k\, </math>に属していると判別すればよい. また, どれにも属さないという判別が許される場合は, あらかじめ上限を設定しておいて, <math>D_k(\boldsymbol{x})\, </math> がそれを越えたときは, どれにも属さないと判別すればよい.

　<math>r=2\, </math> のときは, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})=D_1(\boldsymbol{x})-D_2(\boldsymbol{x})\, </math> を計算して, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})>0\, </math>であれば <math>G_2\, </math>に属し, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})<0\, </math>であれば <math>G_1\, </math>に属すると判別すればよい. 分散共分散行列が等しいとき, すなわち, <math>C_1=C_2=C\, </math>であるとき,

<center>
<math>
\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})
=2(\boldsymbol{m}_2-\boldsymbol{m}_1)^{\top}
C\boldsymbol{x}-(\boldsymbol{m}_2-\boldsymbol{m}_1)^{\top}
C(\boldsymbol{m}_1+\boldsymbol{m}_2)
</math>
</center>

と変形できるので, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})\, </math>は, <math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>の線形式になる. したがって, これを(<math>G_1\, </math>と<math>G_2\, </math>を判別する)線形判別関数という. <math>r\, </math>が3以上のときは, 線形判別関数は, <math>{}_r{\rm C}_2\, </math> 個できる. なお, 分散共分散行列が等しくないときは, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})\, </math> は, <math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math> の2次式になる.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

[[category:統計|はんべつかんすう]]

クラスター分析

2008-04-04T01:48:32Z

Tetsuyatominaga:

'''【くらすたーぶんせき (cluster analysis)】'''

=== 概要 ===

解析の対象すべてをいくつかの群に分けて, 何らかの基準にしたがって似ているものが同じ群に入るように分類する方法. 群をクラスターというが, クラスターの集合は, 対象すべてからなる集合の分割に当たる. クラスターの数と分割に対する評価基準が与えられているとき, 最適な分割を求めるのは, 組合せ最適化問題になる. 対象1個ずつの状態から, 選ばれた2つのクラスターを結合することを繰りかえす階層的方法が多数提案されている.

=== 詳説 ===

　現象解析の基本操作の一つである分類を行う方法に関わる探索的方法論の総称がクラスター分析である. 博物学, 考古学, 生物分類学, 計量心理学など適用分野がきわめて多岐にわたることが特徴である. 欧州圏では, 自動分類法(automatic classification)と呼称することが多い. 分類操作とは, 解析の対象すべてをいくつかの群に分けて, 何らかの基準に従って似ているものが同じ群に入っているようにすることである. 群をクラスターという.

　すべての対象の集合を<math>\Omega\, </math>とする. これの部分集合の集合<math>\Gamma=\{C_1,\ C_2,\ \ldots,\ C_p\}\, </math>が, 次の条件を満たすとき,<math>\Omega\, </math>の分割という.

(1) <math>C_1\cup C_2\cup\ldots\cup C_p=\Omega\, </math>

(2) <math>C_i\cap C_j=\phi\ (i\neq j)\, </math>

このとき, <math>C_k(k=1,\ 2,\ \ldots,\ p)\, </math>がクラスターであり,クラスター分析の目的は, 与えられた基準に従って, 最適な分割を求めることである.

[分類結果の評価]

　分類の目的によって, 分類結果, すなわち, 得られた分割<math>\Gamma\, </math>に対する評価基準が定まる. これは, 目的関数で示される. たとえば, 同じクラスターに属する対象は, お互いに類似しているほうがよいのであれば, 同じクラスターに属する2対象間の類似度の最小値を目的関数にして, それをできるだけ大きくすればよいし, 異なるクラスターに属する対象は, できるだけ類似していないほうがよければ, 異なるクラスターに属する2対象間の類似度の最大値を目的関数にして, それをできるだけ小さくすればよい.

[分類手法]

　分類方法は, いろいろ提案されているが, 大きく, 階層的分類法 (hierarchical classification) と非階層的分類法に分けられ, 階層的分類法は, さらに, 凝集型 (agglomerative type) と分枝型 (divisible type) に分けられる.

1. 非階層的分類法

　予め定めたクラスター数<math>p\, </math>に対して, 最適な分割を求める方法. 最適な分割を求めるのは, 組み合わせ最適化問題の一種であるから, 0-1変数の整数計画問題に定式化すれば, そのアルゴリズムが利用できる.

2. 階層的分類法

　クラスター数<math>p\, </math>が予め定められない場合や分類が段階的にクラスターの併合または細分によって変化することが考えられる場合には, 階層的分類が望まれる.

　(1) 凝集型階層的分類法

　対象が一つずつ分かれている状態から出発して, 最も近い二つのクラスターを併合することを繰り返して, クラスター数<math>p\, </math>を1ずつ減少させていく方法である. 予め, 二つのクラスター<math>A,\ B\, </math>間の距離<math>\delta(A,\ B)\, </math>を定めておく必要がある. 手順の概要は, 次のとおりである. ここで, 対象の数を<math>n\, </math>とし, <math>p\, </math>の最終値を<math>p_{\min}\, </math>とする.

　手順1. <math>p=n,\ \Gamma=\{\{1\}, \{2\}, \ldots, \{n\}\}\, </math> とし, すべての<math>i, \ j\, </math> に対して, <math>\delta(\{i\},\ \{j\})\, </math> を計算する.

　手順2. <math>\Gamma\, </math>に含まれるクラスターの対の中で, 距離が最小であるものを求めて, それらを結合し, <math>p\, </math> の値を1だけ小さくする. <math>p=p_{\min}\, </math> であれば, 終了する.

　手順3. 結合してできたクラスターと他のクラスターの間の距離を計算して手順2にもどる.

　クラスター間の距離の定義は, いろいろ考えられているが, 対象<math>i\, </math>と対象<math>j\, </math>の間の距離<math>d_{ij}\, </math>を予め定めておいて, それを用いて表すことが多い. 対象間距離は, 対象のいくつかの特性の測定値から計算される. 特性の単位がすべて揃っているときは, ユークリッド距離が使えるが, 一般には, 重み付きユークリッド距離を用いる. 類似度やアンケートの回答の一致の程度から, 距離を定めることもある. このときは, 類似度などが大きくなるほど, 距離が小さくなるようにする.

　対象間距離を用いるクラスター間の距離の定義の代表的なものを挙げる.

<center>
<math>
\delta(A,\ B)=\min\{d_{ij}|i\in A,\ j\in B\}\,
</math>
</center>

<center>
<math>
\delta(A,\ B)=\max\{d_{ij}|i\in A,\ j\in B\}\,
</math>
</center>

<center>
<math>
\delta(A,\ B)=\sum_{i\in A, j\in B} d_{ij}/(\mathrm{car}(A)\times \mathrm{car}(B))\,
</math>
</center>

ここで, <math>{\rm car}(S)\, </math>は, 集合<math>S\, </math>の要素数を表す. 上から順に, 最短距離, 最長距離, 群間平均距離という. 手順1で, <math>\delta(\{i\}, \{j\})\, </math>を計算しなければいけないが, 対象間距離を用いるときは, <math>\delta(\{i\}, \{j\})= d_{ij}\, </math>となる.

　凝集型方法では, クラスター間の距離の定義によって, 分類結果が異なる可能性がある. そこで, クラスター間の距離の定義に対応して, 方法に名称が付けられている. 最短距離, 最長距離, 群間平均距離を用いるときは, それぞれ最短距離法, 最長距離法, 群間平均距離法という. 最短距離法の別名としては, 最近隣法, 単連結法などがあり, 最長距離法の別名には, 最遠隣法, 完全連結法などがある. なお, 最短距離法は, 最小木問題のクラスカル法に当たる. 多くのクラスター間の距離を統一的に表わす距離が定義されていて, それを用いる凝集型方法を組み合わせ的方法(combinatorial method)と呼んでいる [6].

　凝集型方法は, ある一つの<math>p\, </math>の値に対する分割を求める場合でも, 非常に少ない計算量でよい解を求めるアルゴリズムである. 一般的には, 与えられた目的関数に対して, いつも良い分割を与えるクラスター間の距離の定義は存在しないから, 定義を変えていろいろな分割を求めて, それらの中から最も良いものを選べばよいが, 異なるクラスターに属する2対象間の距離の最小値, すなわち, 最短距離を最大にする場合は, 最短距離法で常に最適解が得られる. 結合していく過程と結合する二つのクラスター間の距離は, 樹形図 (dendrogram) で示される.

　(2) 分枝型階層的分類法

　凝集型とは逆に, 全対象を一つのクラスターにした状態から出発して, クラスターの分割を繰り返すことにより, トップダウンに階層分類を行う. 逐次二分割方式が多いが, 三つ以上に分割できる方式もある. 時間経過とともに進化して分岐してきたものの分類には適しているが, 凝集型に比べると, はるかに計算量が増える.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

[2] 大隅昇, L. ルバール他, 『記述的多変量解析法』, 日科技連出版社, 1994.

[3] M. R. Anderberg, ''Cluster Analysis for Applications'', Academic Press, 1973.

[4] T. S. Arthanari and Y. Dodge, ''Mathematical Programming in Statistics'', John-Wiley and Sons, 1981.

[5] B. Everitt, ''Cluster Analysis'', 3rd edn., Edward Arnold, 1993.

[6] G. N. Lance and W. T. Williams, "A General Theory of Classificatory Sorting Strategies 1 - Hierarchical System," ''Computer Journal'', '''9''' (1967), 373-380.

[[category:統計|くらすたーぶんせき]]

回帰分析

2008-04-04T01:47:42Z

Tetsuyatominaga:

'''【かいきぶんせき (regression analysis)】'''

=== 概要 ===

目的変数といわれる1つの変数と説明変数といわれる変数の間の関数関係を求める方法. 説明変数が1つである場合を単回帰分析, 複数である場合を重回帰分析といい, 説明変数の関数を回帰式という. その評価としては, 目的変数の値と関数の値の差の二乗和を用いることが多いが, 差の絶対値を用いることもある. 推測統計では, 回帰式を求めることは, 目的変数の期待値の推定に当たる.

=== 詳説 ===

　分析の対象に対して, 複数の間隔尺度変数についての値(長さ, 時間などのいわゆる計量値)が得られているとする. 変数は, 一つの目的変数といくつかの説明変数に分かれていて, 目的変数とできるだけ近い値をとる説明変数の関数を求めるのを回帰分析という. 説明変数が一つである場合を単回帰分析, 二つ以上である場合を重回帰分析という.

[回帰式]

　説明変数の関数を回帰式という. 説明変数を<math>x_i(i=1, 2, \cdots, m)\, </math>,目的変数を<math>y\, </math>とする. 回帰式には, 通常, 次のような線形式が用いられる.

<center>
<math>
y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \cdots + b_m x_m
\, </math>
</center>

<math>b_i(i=0, 1, 2, \cdots, m)\, </math>を回帰係数といい, これを求めるのが目的である. なお, ここでの線形式は, 値を求める係数<math>b_i\, </math>に関して線形であることを示している. したがって, 説明変数の間には, たとえば, <math>x_2=x_1^2\, </math>のように, 線形以外の関係があってもよい. 非線形回帰式 [4] が用いられることもあるが, ここでは, 線形回帰式に限ることにする.

[残差]

　分析の対象の数を<math>n\, </math>とし, <math>k\, </math>番目 (<math>k=1, 2, \cdots, n\, </math>) の対象の<math>x_i\, </math>, <math>y\, </math>の値, いわゆるデータを<math>x_{ik}\, </math>, <math>y_k\, </math>とする. 変数<math>x_i\, </math>に<math>k\, </math>番目の対象の値<math>x_{ik}\, </math>を代入したときの回帰式の値を<math>\eta_k\, </math>, すなわち,

<center>
<math>
\eta_k=b_0+b_1x_{1k}+b_2x_{2k}+\cdots+b_mx_{mk}
\, </math>
</center>

とすると,

<center>
<math>
e_k=y_k-\eta_k
\, </math>
</center>

を残差または回帰からの偏差という.

[最適な回帰式]

　回帰式の評価は, 残差の関数を用いて行われる. 代表的な評価関数を以下に挙げる.

(1) 残差平方和(偏差平方和)

<center>
<math>
\mbox{SSD} = \sum_{k=1}^{n}\eta_k^2
\, </math>
</center>

(2) 絶対偏差の和

<center>
<math>
\mbox{SAD}=\sum_{k=1}^{n}|\eta_k|
\, </math>
</center>

(3) 絶対偏差の最大値

<center>
<math>
\mbox{MAD}=\max\{|\eta_1|, |\eta_2|, \cdots, |\eta_n|\}
\, </math>
</center>

いずれの評価関数も, 小さい方がよいので, 最小にする回帰式を最適とする.

[最適な回帰式の求め方]

　SSDを最小にする回帰式(回帰係数)を求めるのを最小二乗法という.
SSDは, <math>b_i(i=0, 1, 2, \cdots, m)\, </math>に関する
凸二次関数であるから, これらで偏微分した式を0とおいて得られる連立一次方程式を解けばよい.
この連立一次方程式を正規方程式という.

　線形式の絶対値の和を最小にすることも, 線形式の絶対値の最大値を最小にする
ことも, 線形計画問題に変形できることにより, SADを最小にする回帰式も, MAD
を最小にする回帰式も, 線形計画問題を解くことによって得られる [2]. とくに, 一対比較の結果によるデータである場合は, ネットワーク計画問題に変形できる[3].

[推測統計における回帰分析]

　回帰分析は, 狭い意味では, 推測統計における解析法である. 説明変数<math>y\, </math>が確率変数<math>Y\, </math>の実現値であって, <math>Y\, </math>の期待値<math>E[Y]\, </math>が次のように説明変数の関数で表されるとする.

<center>
<math>
E[Y]=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\cdots+\beta_m x_m
\, </math>
</center>

このとき, 回帰係数を求めることは, 未知定数<math>\beta_i(i=0, 1, 2,\cdots, m)\, </math>を推定することに当たる. <math>y_k\, </math>に対応する確率変数を<math>Y_k\, </math>とする, すなわち, <math>y_k\, </math>が確率変数<math>Y_k\, </math>の実現値と考えられるとき, <math>Y_k\, </math>の分布について, 分散が一定などの前提条件をおくと, 最小二乗法は, 望ましい推定法であることが証明されている [1].

----
'''参考文献'''

[1] C. R. Rao, ''Linear Statistical Inference and Its Applications'', John Wiley & Sons, 1973.

[2] T. S. Arthanari and Y. Dodge, ''Mathematical Programming in Statistics'', John Wiley & Sons, 1981.

[3] 古林隆, 佐藤俊之, 鈴木政志, 「一対比較データのネットワーク計画法的解析」, 『日本オペレーションズ・リサーチ学会1991年度春季研究発表会アブストラクト集』, 112-113, 1991.

[4] N. R. Draper and H. Smith, ''Applied Regression Analysis'', John Wiley & Sons, 1966. 　

[[category:統計|かいきぶんせき]]

マルコフ連鎖の数値解法

2008-04-04T01:46:50Z

Tetsuyatominaga:

'''【まるこふれんさのすうちかいほう (numerical method for Markov chain)】'''

=== 概要 ===

マルコフ連鎖の定常分布や過渡的分布を数値的に計算するための方法. 定常分布の計算は線形方程式系を解く問題に帰着され, 解法として消去法や状態縮約法などの直接法, ヤコビ法, ガウス・ザイデル法, 状態縮約/非縮約法などの反復法がある. また, 構造化されたマルコフ連鎖に対しては行列幾何形式解を利用する方法も有力である. 一方, 過渡的分布に対しては, 離散時間ではべき乗法, 連続時間ではランダム化を利用する方法などがある.

=== 詳説 ===

　[[マルコフ連鎖]]をマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法|数値的]]に解析する際の中心的な対象は[[定常分布]]である. [[状態空間|有限状態空間]] <math>{\mathcal S}=\{ 1, 2, \ldots, N \}\, </math> 上の[[既約]]で非周期的な (つまり[[エルゴード的マルコフ連鎖|エルゴード的]]) マルコフ連鎖を考え, その[[推移確率行列]]を<math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math>, 定常分布を <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_1, \pi_2,\ldots,\pi_N)\, </math> とする. [[一様化]]により, 連続時間マルコフ連鎖の定常分布は, 離散時間マルコフ連鎖の定常分布として計算できるので, 以下では離散時間マルコフ連鎖に限定して考える.

　エルゴード的なマルコフ連鎖では, 定常分布は

<table align="center">
<tr>
<td width="100">(平衡方程式)　</td>
<td><math>\pi_j = \sum_{i=1}^N \pi_i p_{ij}, \quad j=1, 2, \ldots,N, \qquad
\, </math></td>
<td width="100" align="right"><math>(1)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td width="100">(正規化条件)　</td>
<td><math>\sum_{j=1}^N \pi_j = 1 \, </math></td>
<td width="100" align="right"><math>(2)\,</math></td>
</tr>
</table>

を満たす一意の解として与えられる (式(1)) の解は定数倍に関して一意でないため, 式 (2) で正規化する). したがって, 定常分布の計算は, 原理的には線形方程式系を数値的に解く問題に帰着される. 状態数 <math>N\, </math> が大きくなければ, 消去法や[[状態縮約法]]などの直接法 (反復計算を伴わない方法) でも解を求めることは可能だが, 一般にマルコフ連鎖によるモデル化はモデルが複雑になるに従って状態数が急激に増加する傾向があるため, そのような場合は計算精度などを考慮して反復法を用いることが多い.

'''ガウス・ザイデル法'''　反復法では, 反復回数 <math>k \to \infty\, </math> のときに定常分布 <math>\boldsymbol{\pi}\, </math> に収束するような近似値の列 <math>\boldsymbol{\pi}^{(k)} = (\pi_1^{(k)}, \pi_2^{(k)}, \ldots,\pi_N^{(k)})\, </math> を構成する. 例えば, ヤコビ法 (Jacobi method) では, 適当な初期分布 <math>\boldsymbol{\pi}^{(0)}\, </math> からスタートして

<center>
<math>
\pi_j^{(k)} = \sum_{i=1}^N \pi_i^{(k-1)} p_{ij}, \quad
j=1, 2, \ldots,N
</math>
</center>

によって分布列 <math>\boldsymbol{\pi}^{(k)}\, </math> を構成し, <math>\boldsymbol{\pi}^{(k-1)}\, </math> と <math>\boldsymbol{\pi}^{(k)}\, </math> が十分近くなった時点で収束したと判断する. エルゴード的なマルコフ連鎖に対しては, ヤコビ法は計算誤差を除けば必ず収束するが, 一般に大きな <math>N\, </math> に対してはあまり収束は速くない. これに対して, [[ガウス・ザイデル法]] (Gauss-Seidel method) では

<center>
<math>
\pi_j^{(k)} = \frac{ \sum_{i=1}^{j-1} \pi_i^{(k)} p_{ij}
+ \sum_{i=j+1}^{N} \pi_i^{(k-1)} p_{ij} }{1-p_{jj}},
\quad j=1, 2, \ldots,N
</math>
</center>

によって分布列を構成する. この方法では, <math>k\, </math> 回目の反復で既に更新されている値を逐次利用するため, ヤコビ反復法に比べると一般に収束が速くなることが多い. また, 推移確率行列がブロック構造を持つ場合には, ブロックごとに更新された値を利用する[[ブロックガウス・ザイデル法]] (block Gauss-Seidel method) も有効である. さらに収束を加速する手段として[[過剰緩和法]] (overrelaxation method) の利用がある. 過剰緩和法では, 緩和 (または加速) 係数を <math>\omega\, </math> として

<center>
<math>
\pi_j^{(k)} = \frac{ \omega \sum_{i=1}^{j-1} \pi_i^{(k)} p_{ij}
+ (1-\omega) \pi_j^{(k-1)} p_{jj}
+ \omega \sum_{i=j+1}^{N} \pi_i^{(k-1)} p_{ij} }{1-p_{jj}},
\quad j=1, 2, \ldots,N
</math>
</center>

によって <math>\boldsymbol{\pi}^{(k)}\, </math> を計算する. <math>\omega>1\, </math> のときには, 外挿により <math>\boldsymbol{\pi}^{(k-1)}\, </math> から <math>\boldsymbol{\pi}^{(k)}\, </math> を計算しており, 適切な <math>\omega\, </math> を選ぶことで収束を加速することが可能となる. なお, ガウス・ザイデル系の方法では, 初期分布 <math>\boldsymbol{\pi}^{(0)}\, </math> が (2) を満たしていても, 途中の計算でこの制約が満たされなくなるため, 計算の最後に (2) が満たされるよう正規化することが必要である.

'''状態縮約/非縮約法'''　一方, 複数の状態をまとめて1つの状態と見なした状態数の少ない確率過程に対して反復計算を行う方法に[[状態縮約/非縮約法]] (aggregation/disaggregation method: AD法) がある. 例えば, 状態空間を <math>L\, </math> 個の部分空間 <math>{\mathcal S}_1, \ldots, {\mathcal S}_L\, </math> に分割し, <math>{\mathcal S}_{\alpha}\, </math> には <math>d_\alpha\, </math> 個の状態 <math>(\alpha,1), \ldots, (\alpha,d_\alpha)\, </math> が含まれる場合を考え, 推移確率を <math>\boldsymbol{P}=( p_{(\alpha,i)(\beta,j)} )\, </math>, 状態 <math>(\alpha,i)\, </math> の定常確率を <math>\pi_{\alpha,i}\, </math>, 部分空間 <math>{\mathcal S}_\alpha\, </math> の定常確率を<math>\textstyle \tau_\alpha=\sum_{i=1}^{d_\alpha} \pi_{\alpha,i}\, </math> とする. いま, <math>k-1\, </math> 回の反復で近似値 <math>\pi_{\alpha,i}^{(k-1)}\, </math>, <math>\tau_\alpha^{(k-1)}\, </math> が求められているとしよう. <math>k\, </math> 回目の反復計算のうち, まず縮約フェーズでは, 部分空間 <math>{\mathcal S}_\alpha,\; \alpha = 1,\ldots,L\, </math> をそれぞれ1つの状態 <math>s_\alpha\, </math> に縮約した <math>L\, </math> 状態の確率過程を考え, それをマルコフ連鎖と見なして (特殊なケースを除いて縮約した確率過程はマルコフ連鎖とならない) 推移確率, 例えば <math>s_\alpha\, </math> から <math>s_\beta\, </math> への推移確率を<math>\textstyle q_{\alpha,\beta}^{(k)}=\sum_{i=1}^{d_\alpha} \sum_{j=1}^{d_\beta}\pi_{\alpha,i}^{(k-1)} p_{(\alpha,i)(\beta,j)} / \tau_\alpha^{(k-1)}\, </math> によって定める. このマルコフ連鎖 <math>\boldsymbol{Q}^{(k)}=(q_{\alpha,\beta}^{(k)})\, </math> の平衡方程式を解いて, 更新された定常確率 <math>\tau_\alpha^{(k)},\; \alpha=1,\ldots,L\, </math> を求める. 次に非縮約フェーズでは, 1つの着目した部分空間はそのままで他のすべての部分空間を1つの状態に縮約した確率過程を近似的にマルコフ連鎖と考える. 例えば, 部分空間 <math>{\mathcal S}_\alpha\, </math> に注目した場合には, <math>{\mathcal S}_\alpha\, </math> 内の推移確率は元のままで, <math>{\mathcal S}_\alpha\, </math> 内の状態 <math>(\alpha,i)\, </math> から縮約された状態への推移確率は <math>\textstyle \sum_{\beta \ne \alpha}\sum_{j=1}^{d_\beta} p_{(\alpha,i)(\beta,j)}\, </math>, 逆に縮約された状態から <math>(\alpha,i)\, </math> への推移確率は <math>\textstyle \sum_{\beta \ne \alpha} \sum_{j=1}^{d_\beta}\pi_{\beta,j}^{(k-1)} p_{(\beta,j)(\alpha,i)}/(1-\tau_{\alpha}^{(k)})\, </math> で与えられるマルコフ連鎖を考え, その定常分布を計算し <math>\pi_{\alpha,i}^{(k)}, \; i=1,\cdots,d_\alpha\, </math> を得る. この計算を, 注目する部分空間を <math>{\mathcal S}_1\, </math> から <math>{\mathcal S}_L\, </math> まで変えながら行えば, 更新された定常確率を求めることができる. この縮約/非縮約の手続きを, 値が収束するまで反復すればよい.

'''無限状態と過渡的分布'''　状態数が無限のマルコフ連鎖に対しては, 状態空間を適当な有限サイズで打ち切って数値計算を行うが, 打ち切るサイズによって計算時間と計算精度の間にトレードオフが生じるので注意が必要である. 構造が入っている場合 (後述) は, 上の方法を用いるにしてもその構造をうまく利用することによって, 少ない計算量で精度良い解が計算できることが多い.

　定常分布に比べると, 過渡的分布 (各時点における推移確率) の計算方法はそれほど多くないが, 離散時間マルコフ連鎖に対してはべき乗法, 連続時間マルコフ連鎖に対してはランダム化を利用する方法などが知られている.

'''構造化されたマルコフ連鎖'''　確率モデル, 特に待ち行列モデルから派生するマルコフ連鎖には, 何らかの構造を持つものが多いため, その構造を利用した数値計算法が開発されている. 代表例として, [[相の方法|相型待ち行列]]に対する[[行列幾何形式解]]を考えよう. [[到着過程]]や[[サービス時間分布|サービス過程]]}に[[マルコフ型到着過程]]や[[相型分布]]を導入することで, 広い範囲の待ち行列モデルは準出生死滅過程 (quasi-birth-and-death process) を含むGI/M/1型, あるいはM/G/1型マルコフ過程などの構造化されたマルコフ連鎖で表現することができる. このうち, GI/M/1型マルコフ連鎖は, レベル <math>n\; (=0,1,\ldots)\, </math> と相 <math>i\;(=1,\ldots,d)\, </math> の組 <math>(n,i)\, </math> によって状態が表されるマルコフ連鎖で, 1回の[[推移]]では高々1つ上のレベルまでしか推移せず, またレベル <math>n\, </math> の状態からレベル <math>m\; (m\le n+1)\, </math> の状態への推移確率 (または推移速度) がレベルの差 <math>m-n\, </math> と各状態の相によって決まる性質を持っている. レベル <math>n\, </math> の状態の定常確率ベクトルを <math>\boldsymbol{\pi}_n=(\pi_{n,1}, \ldots, \pi_{n,d})\, </math> で表すと, 行列幾何形式解より, [[公比行列]] <math>\boldsymbol{R}\, </math> を用いて

<center>
<math>
\mathbf{\pi}_n = \mathbf{\pi}_0
\mathbf{R}^n, \quad n=1,2,\ldots
</math>　　　　　<math>(3)\,</math>
</center>

と表される. <math>\boldsymbol{R}\, </math> は推移確率行列の要素を係数とする非線形行列方程式の非負最小解として与えられ, 逐次代入法などで計算することができる. また <math>\boldsymbol{\pi}_{0}\, </math> は境界条件に相当する線形方程式を解いて求められる [2]. この方法は, 本来無限次元の定常分布を有限次元のベクトルと行列で表せるという特徴を持つが, 高速化のためには <math>\boldsymbol{R}\, </math> の計算方法がポイントとなる.

　なお, M/G/1型マルコフ連鎖は行列幾何形式解を持たないが, やはりその構造を利用したさまざまな方法が考えられている [2].

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'''参考文献'''

[1] D. P. Heyman and M. J. Sobel (eds.), 伊理, 今野, 刀根監訳, 『確率モデルハンドブック』, 朝倉書店, 1995.

[2] M. F. Neuts, ''Matrix Goemtric Solutions in Stochastic Models - An Algorithmic Approach'', Johns Hopkins Univ. Press, 1981.

[3] M. F. Neuts, ''Structured Stochastic Matrices of {rm M/G/1} Type and Their Applications'', Marcel Dekker, 1989.

[4] W. J. Stewart (ed.), ''Numerical Solution of Markov Chains'', Marcel Dekker, 1991.

[5] W. K. Grassmann (ed.), ''Computational Probability'', Kluwer Academic Publishers, 2000.

[[category:確率と確率過程|まるこふれんさのすうちかいほう]]

マルコフ決定過程

2008-04-04T01:45:45Z

Tetsuyatominaga:

'''【まるこふけっていかてい (Markov decision process)】'''

=== 概要 ===

状態遷移にマルコフ性をもつ確率システムの動的最適化のための数学モデル. 1960 年にハワードの著書が出版されたことで, 広く知られるようになり, その後, 理論・応用両面で様々な研究がなされている. 最適政策を求める計算アルゴリズムに関しても, 政策反復法, 値反復法(逐次近似法), 線形計画問題として定式化し単体法を用いる解法など, かなり大規模な問題にも耐え得るアルゴリズムが開発されている.

=== 詳説 ===

　[[マルコフ決定過程]] (Markov Decision Process: MDP) は, [[待ち行列モデル|待ち行列システム]]の制御, [[在庫モデル|在庫管理]]や, [[信頼性]]システムの保全など, 確率システムの動的な最適化問題を定式化する能力に優れた数学モデルであり, 制御マルコフ過程 (controlled Markov process) とも呼ばれる. MDP は 1960 年にハワード (R. A. Howard) による名著 [3] が出版されたことにより, 広く知られるようになり, その後, 理論・応用・アルゴリズムの各面で膨大な数の多様な研究がなされてきている.

'''有限マルコフ決定過程'''　ここでは, 簡単のため, 離散時間の有限 MDP, すなわち状態数およびアクション数が有限のMDP を考える. 有限 MDP<math>\{ {X}_{t} \}\, </math> は以下の要素で構成される:

:i)　<math>S := \{ 1, 2, \cdots ,M \}\, </math>: 有限状態空間,

:ii)　<math>A(i), i \in S\, </math>: 状態 <math>i\, </math> でとり得るアクションの有限集合, <math>\textstyle A := \bigcup_{i \in S} A(i)\, </math>: 有限アクション空間,

:iii)　<math>p(j | i,a)\, </math>, <math>i \in S\, </math>; <math>a \in A(i)\, </math>: 状態 <math>i\, </math> でアクション <math>a\, </math>をとったとき, つぎの時刻で状態 <math>j\, </math> に遷移する確率,

:iv)　<math>c(i,a)\, </math>, <math>i \in S\, </math>; <math>a \in A(i)\, </math>: 状態 <math>i\, </math> でアクション <math>a\, </math> をとったときの期待即時コスト.

　各状態でとるべきアクションを規定する規則, すなわち <math>S\, </math> から <math>A\, </math> への写像 <math>f\, </math> で <math>f(i) \in A(i)\, </math>, <math>i \in S\, </math> を満たすもの, を政策という. ここでは定常政策, すなわち写像 <math>f\, </math> が時刻 <math>t\, </math> に依存しないもの, だけを考えるが, 下で述べる最適政策は非定常な政策を含む全ての政策の中で最適なものである. 定常政策の全体を <math>F\, </math> で表す.

　最適化すべき[[計画期間]]には, 有限計画期間と無限計画期間の2種類があるが, ここでは無限計画期間を考える. また, 政策の評価規範として最も多く採用され, よく研究されているのは, 下で定義される[[割引き]]コストと平均コストの 2 種類である. 以下で, <math>X_{t}, A_{t}\, </math>, <math>t = 0, 1, 2, \cdots\, </math> はそれぞれ時刻 <math>t\, </math> における状態とアクションを表す確率変数とし, <math>\mathrm{E}_{i, f}[\cdot]\, </math> は初期状態 <math>i \in S\, </math>, 政策 <math>f \in F\, </math> のもとでの期待値を表すものとする.

'''割引きコスト問題'''　割引き因子を <math>\beta \in [0,1)\, </math> とする無限計画期間上の期待総割引きコスト (<math>\beta\, </math>-割引きコスト) :

<center>
<math>
u_{\beta,f}(i)
:= \mathrm{E}_{i, f} \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t}c(X_{t},A_{t}) \right],
\quad i \in S
</math>
</center>

を, すべての初期状態 <math>i \in S\, </math> に対し, 最小化する政策 <math>f \in F\, </math> (<math>\beta\, </math>-割引き最適政策) を求めよ.

'''平均コスト問題'''　無限計画期間における長時間平均の単位時間当り期待コスト (平均コスト) :

<center>
<math>
g_{f}(i)
:= \limsup_{T \to +\infty}
\frac{1}{T+1} \mathrm{E}_{i, f} \left[ \sum_{t=0}^{T} c(X_{t}, A_{t}) \right]
</math>
</center>

:を, すべての初期状態 <math>i \in S\, </math> に対し, 最小化する政策 <math>f \in F\, </math> (平均最適政策) を求めよ.

　以下では, 割引きコスト問題において, よく知られている結果を概説しよう. いま最適 <math>\beta\, </math>-割引きコスト関数を

<center>
<math>
u_{\beta}^{*}(i)
:= \min_{f \in F} u_{\beta,f}(i), \quad i \in S
</math>
</center>

と定義すると, これは最適性方程式と呼ばれるつぎの関数方程式の一意的な解である:

<center>
<math>
u_{\beta}^{*}(i) = \min_{a \in A(i)} \left\{ c(i,a)
+ \beta \sum_{j \in S} p(j | i,a) u_{\beta}^{*}(j) \right\},
\quad i \in S.
</math>　　　　　<math>(1)\,</math>
</center>

各状態 <math>i \in S\, </math> に対して, 最適性方程式 (1) の右辺の <math>\min\, </math> を達成する (任意の) アクションを <math>f^{*}(i) \in A(i)\, </math> で表すと, それらで構成される政策 <math>f^{*} := (f^{*}(i); i \in S) \in F\, </math> は <math>\beta\, </math>-割引き最適政策である.

　最適性方程式 (1) の標準的な数値解法としては, a. ハワードの提案による[[政策反復アルゴリズム]] (policy iteration method), b. 値反復アルゴリズム (逐次近似アルゴリズム), c. [[線形計画]]による解法, などが挙げられる. 割引きコスト問題に対する政策反復アルゴリズムは以下の通りである.

'''[政策反復アルゴリズム]'''

'''ステップ 0 (初期化)''' :　初期政策 <math>f_{0} \in F\, </math> を与える.

'''ステップ 1 (政策評価)''' :　現在の政策 <math>f_{n} \in F\, </math> のもとでの <math>\beta\, </math>-割引きコスト関数 <math>u_{\beta,f_{n}} = (u_{\beta,f_{n}}(i); i \in S)\, </math> を, つぎの線形方程式系を解くことで計算する:

<center>
<math>
u_{\beta,f_{n}}(i) = c(i,f_{n}(i))
+ \beta \sum_{j \in S} p(j | i,f_{n}(i))
u_{\beta,f_{n}}(j), \quad i \in S.
</math>　　　　　<math>(2)\,</math>
</center>

'''ステップ 2 (政策改良)''' :　不等式

<center>
<math>
u_{\beta,f_{n}}(i) \geq c(i,f(i))
+ \beta \sum_{j \in S} p(j | i,f(i)) u_{\beta,f_{n}}(j)
</math>　　　　　<math>(3)\,</math>
</center>

を, すべての状態 <math>i \in S\, </math> に対して成立させ, なおかつ, 少なくとも 1 つの状態では狭義の不等号で成立させる政策 <math>f \in F\, </math> があれば, <math>f_{n+1} \leftarrow f\, </math>, <math>n \leftarrow n+1\, </math> としてステップ 1 へ, さもなくば停止. 停止したとき, 最終の <math>f_{n}\, </math> は <math>\beta\, </math>-割引き最適な政策である.

　通常, ステップ 2 (政策改良) では, 各状態 <math>i \in S\, </math> において式 (3) の右辺を最小化するアクションをとる政策が新しい政策 <math>f_{n+1}\, </math> として選ばれる.

　政策反復アルゴリズムは高速な解法として広く認められており, その収束に要する反復回数は, 経験的に, 問題の規模にあまり依存しない. この性質は非線形方程式系に対する数値解法であるニュートン・ラフソン法 (Newton-Raphson method) と共通のものであり, この政策反復アルゴリズムはニュートン・ラフソン法を適用することと等価であることが示されている. 政策反復アルゴリズムの弱点はステップ 1 (政策評価) において状態数だけの変数を持つ線形方程式系を解かなければならないことにある. したがって問題の規模が大きくなるにつれてその実行が負担となる. その弱点を克服するため, ステップ 1 を有限回の反復の逐次近似で代用する方法 (修正政策反復アルゴリズム) も提案されている.

　ここでは離散時間の有限 MDP の割引きコスト問題のみを概説したが, a) 他の様々な評価規範, b) 状態空間/アクション空間の一般化, c) 状態遷移の時間間隔が確率的な[[セミマルコフ過程|セミマルコフ決定過程]], についても多くの研究がなされている. 実際問題への適用の際に現れる情報の不完全性を明示的に考慮した, d) 不完全観測マルコフ決定過程, e) 遷移確率が未知パラメータを含む適応マルコフ決定過程, に関する研究も歴史が長い. また最近, 複数の評価規範を考慮し, f) すべての評価規範を[[目的関数]]として同時に最適化する多目的マルコフ決定過程, g) 一部の評価規範を制約条件に取り入れた制約付きマルコフ決定過程, なども関心を集め, 理論・応用・アルゴリズムの各面に関する活発な研究がなされている.

----
'''参考文献'''

[1] D. P. Bertsekas, ''Dynamic Programming and Optimal Control'', Vols. I, II, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, 1995.

[2] O. Hernández-Lerma and J. B. Lasserre, ''Discrete-Time Markov Control Processes, Basic Optimality Criteria'', Springer-Verlag, New York, 1995.

[3] R. A. Howard, ''Dynamic Programming and Markov Processes'', The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1960.

[4] M. L. Puterman, ''Markov Decision Processes'', John Wiley & Sons, New York, 1994.

[5] S. M. Ross, ''Introduction to Stochastic Dynamic Programming'', Academic Press, New York, 1983.

[6] P. Whittle, ''Optimization over Times: Dynamic Programming and Stochastic Control'', Vols. I, II, John Wiley & Sons, New York, 1983.

[[category:確率と確率過程|まるこふけっていかてい]]

マルコフ連鎖

2008-04-04T01:44:11Z

Tetsuyatominaga:

'''【まるこふれんさ (Markov chain)】'''

=== 概要 ===

マルコフ性をもつ離散状態空間上の確率過程. すなわち, 確率過程<math>\{ X(t) \}\,</math> が, 任意の<math>s, t\,</math>と<math>i,j\,</math>に対して
<br>
<table align = center>
<tr><td><math>\mbox{P}(X(s+t)\,</math></td> <td><math>=j|X(u), \; 0 \leq u < s, X(s)=i)\,</math></td></tr>
<tr><td></td> <td><math>= \mbox{P}(X(s+t)=j|X(s)=i)\,</math></td></tr>
</table>
を満たす場合, マルコフ連鎖と呼ぶ.

=== 詳説 ===

'''マルコフ過程'''　独立性を緩めた性質である[[マルコフ性]]を持つ確率過程のことを[[マルコフ過程]]と呼び, その中で状態が離散的なものを一般にマルコフ連鎖と呼ぶ. マルコフ連鎖は最も基本的で応用範囲の広い\[[確率過程]]の一つである.

'''離散時間マルコフ連鎖'''　離散的な[[状態空間]] <math>{\mathcal S}\, </math> 上の確率過程 <math>\{ X_n; \; n = 0,1,2,\cdots \}\, </math> が, 任意の時点 <math>n\, </math>, <math>m\, </math> と任意の状態 <math>i_0, \cdots, i_m, j \in {\mathcal S}\, </math> に対して

<center>
<math>
\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_k=i_k, k=m,m-1,\cdots,0)
=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i_m)
</math>　　　　　<math>(1)\,</math>
</center>

を満たすとき, <math>\{ X_n \}\, </math> を離散時間[[マルコフ連鎖]]と呼ぶ. (1) は, 将来の分布が現在の状態のみで定まり, 過去の状態には依存しない性質を表しており, マルコフ性と呼ばれる.賭けの問題における所持金の推移や, [[在庫モデル|在庫理論]]における各期の在庫量の変化など, マルコフ性を持つと考えられる例は多い.

　(1) の推移確率が, 時点 <math>m\, </math> に依存しない場合, マルコフ連鎖は[[斉時性|斉時的]]であるという. 斉時的な離散時間マルコフ連鎖 <math>\{ X_n \}\, </math> に対して, <math>p_{ij}(n)=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i)\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率]], <math>\boldsymbol{P}(n)=(p_{ij}(n))\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率行列]]と呼ぶ. 特に 1ステップ推移確率を <math>p_{ij}\, </math> で表し, <math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math> を推移確率行列と呼ぶ. [[チャップマン・コルモゴロフの等式]] (Chapman-Kolmogorov equation) <math>\boldsymbol{P}(m+n)=\boldsymbol{P}(m) \boldsymbol{P}(n)</math> から <math>\boldsymbol{P}(n)=\boldsymbol{P}^n</math> が成り立つので, 1 ステップ推移確率行列 <math>\boldsymbol{P}</math> が与えられれば, 任意のステップの推移確率を計算することができる.

'''既約なマルコフ連鎖と吸収的マルコフ連鎖'''　状態の組 <math>i, j\, </math> に対して, 適当な <math>n\, </math> で <math>p_{ij}(n)>0\, </math> となる場合, <math>i\, </math> から <math>j\, </math> へ到達可能であるという. 任意の状態から他のどの状態へも到達可能であるマルコフ連鎖は[[既約]]であるという. 一方, <math>p_{ii}=1\, </math> である状態 <math>i\, </math> は, 一度入ると他の状態へ推移できないため吸収状態と呼ばれる. 任意の状態から出発したとき確率1でいつかはいずれかの吸収状態に到達するマルコフ連鎖を[[吸収的マルコフ連鎖|吸収的]]という. 後述するように, 既約なマルコフ連鎖では長期間観察したときに各状態に滞在する時間の割合が主な分析対象となる. これに対し, 吸収的マルコフ連鎖では, 吸収されるまでの挙動, 例えば吸収時間の分布, 吸収までに各状態に滞在する平均ステップ数, 複数の吸収状態がある場合に各状態への吸収確率, などが分析の対象となる.

　<math>p_{ii}(n)>0\, </math> となるすべての <math>n \geq 1\, </math> の最大公約数を, 状態 <math>i\, </math> の周期と定める. 既約なマルコフ連鎖では, すべての状態は同じ周期を持つことが知られている. また, 周期 1 のマルコフ連鎖を非周期的という.

　<math>i\, </math> から <math>j\, </math> への[[初到達時間]]を <math>T_{ij}\, </math> とすると, マルコフ連鎖の各状態 (<math>i\, </math> とする) はその状態への[[再帰確率]] <math>\mathrm{P}(T_{ii}<\infty)\, </math> と平均再帰時間 <math>\mathrm{E}(T_{ii})\, </math> により以下のように分類される.

<center>
<table width="500">
<tr>
<td rowspan="3" valign="top"><math>\left\{
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\end{array}
\right.</math></td>
<td valign="bottom">一時的　　<math>\mathrm{P}(T_{ii}<\infty)<1 \, </math></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td rowspan="2">再帰的　　<math>\mathrm{P}(T_{ii}<\infty)=1\, </math></td>
<td rowspan="2"><math>\left\{
\begin{array}{ll}
\\
\\
\\
\end{array}
\right.</math> </td>
<td>零再帰的　　<math>\mathrm{E}(T_{ii}) = \infty \, </math> </td>
</tr>
<tr>
<td>正再帰的　　<math>\mathrm{E}(T_{ii}) < \infty \,</math> </td>
</tr>
</table>
</center>

なお, 既約なマルコフ連鎖ではすべての状態は同じ分類に属するので, これらはマルコフ連鎖自身の分類でもある. 特に, 既約で非周期的かつ正再帰的なマルコフ連鎖は, [[エルゴード的マルコフ連鎖]]と呼ばれる.

'''定常分布'''　<math>n \rightarrow \infty\, </math> のとき <math>p_{ij}(n)\, </math> が初期状態 <math>i\, </math> に無関係な正定数 <math>\pi_j\, </math> に収束し, 正規化条件 <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> を満たす場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を[[極限分布]]と呼ぶ. 極限分布は[[平衡方程式]] <math>\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}\boldsymbol{P}\, </math> を満たすため, この方程式と正規化条件から求めることができる. 極限分布に対して, 平衡方程式を満たす確率分布を[[定常分布]]と呼ぶ. 極限分布は定常分布であるが, 周期的なマルコフ連鎖のように定常分布は必ずしも極限分布とならない. 既約で非周期的なマルコフ連鎖に対しては, (1) 正再帰的であること, (2) 極限分布が存在すること, (3) 平衡方程式と正規化条件が一意の解を持つこと, の3条件は同値となる. 実際, エルゴード的なマルコフ連鎖では <math>\pi_j = 1/\mathrm{E}(T_{jj})\, </math> となり, 極限分布は <math>\{ X_n \}\, </math> を長時間観測したときに各状態に滞在する時間の割合に一致する. なお, 有限状態のマルコフ連鎖が既約で非周期的であれば, 必ず正再帰的となる. 一方, 状態 <math>j\, </math> が一時的もしくは零再帰的ならば, <math>\textstyle \lim_{n \rightarrow \infty} p_{ij}(n)=0\, </math> となり極限分布は存在しない.

'''連続時間マルコフ連鎖'''　離散状態空間上の連続時間確率過程 <math>\{ X(t); \; t \geq 0 \}\, </math> が, 任意の時点 <math>s\, </math>, <math>t\, </math> と状態 <math>i, j\, </math>, および履歴 <math>x(u)\, </math> に対して

<center>
<math>
\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(u)=x(u), 0 \leq u \leq s)
=\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=x(s))
</math>　　　　　<math>(2)\,</math>
</center>

を満たすとき, 連続時間マルコフ連鎖と呼ぶ. [[ポアソン過程]]や[[出生死滅過程]]などは, 代表的な連続時間マルコフ連鎖である.

　離散時間の場合と同様に, (2) が <math>s\, </math> に依存しないマルコフ連鎖を斉時的といい, 推移確率を <math>p_{ij}(t) = \mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=i)\, </math>, 推移確率行列を <math>\boldsymbol{P}(t)\, </math> で表す. 異なる状態 <math>i, j\, </math> に対して, <math>\textstyle q_{ij} = \lim_{h \downarrow 0} h^{-1} p_{ij}(h)\, </math> を状態 <math>i\, </math> から <math>j\, </math> への推移速度といい, <math>q_{ij}\, </math> を非対角要素, 対角要素を <math>\textstyle q_{ii}=-\sum_{j \neq i} q_{ij}\, </math> とする行列 <math>\boldsymbol{Q}=(q_{ij})\, </math> を[[推移速度行列]]と呼ぶ. マルコフ性から, 連続時間マルコフ連鎖が状態 <math>i\, </math> に滞在する時間はパラメータ <math>-q_{ii}\, </math> の[[指数分布]]に従う. また, <math>-q_{ij}/q_{ii}\, </math> は状態 <math>i\, </math> での滞在が終了したという条件の下で, 推移先が <math>j\, </math> である条件付き確率を与える. 推移速度行列 <math>\boldsymbol{Q}\, </math> が与えられると, 推移確率は[[コルモゴロフの後退方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{P}(t)\, </math>, あるいは[[コルモゴロフの前進方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{Q}\, </math>によって特徴付けられる. この関係から, 応用上現れる多くのマルコフ連鎖では推移確率が<math>\boldsymbol{P}(t) = \mbox{exp}( \boldsymbol{Q}t )\ (t \geq 0)\, </math>で表される.

　離散時間マルコフ連鎖と同様に, 任意の状態から他のどの状態へも推移可能な場合, このマルコフ連鎖は既約であるという. また, 状態の分類 (一時的, 零再帰的, 正再帰的) も, 各状態への再帰時間 <math>T_{ii}\, </math> の性質により離散時間マルコフ連鎖の場合と同様に定義される. 極限分布についても, 初期状態 <math>i\, </math> に無関係に <math>\textstyle \lim_{t \rightarrow \infty}p_{ij}(t) = \pi_j>0\, </math> と収束し, <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> が成り立つ場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を極限分布とよぶ. 極限分布は, 平衡方程式 <math>\boldsymbol{0} = \boldsymbol{\pi}\boldsymbol{Q}\, </math>と正規化条件 <math>\textstyle \sum_{i \in {\mathcal S}} \pi_i = 1\, </math> から求めることができる. 既約な連続時間マルコフ連鎖に対しては, 正再帰的であること, 極限分布が存在すること, 平衡方程式と正規化条件を満たす <math>\pi_j\, </math> が存在すること, の3条件は同値である.

'''マルコフ連鎖の一般化'''　マルコフ性は独立性を少し緩めた概念だが, 適用範囲は広い. 例えば, 離散時間確率過程 <math>\{ X_n \}\, </math> の将来の時点における分布が, 現在の状態 <math>X_n\, </math> と過去の <math>k\, </math> 状態 <math>X_{n-1}, \cdots, X_{n-k}\, </math> に依存する場合, <math>\{ X_n \}\, </math> 自身はマルコフ連鎖とならないが, <math>Y_n=(X_{n-k}, \cdots, X_n)\, </math> はマルコフ連鎖となる. また, 状態の推移はマルコフ連鎖に従い, 各状態の滞在時間分布が一般分布に拡張された確率過程は[[セミマルコフ過程]]と呼ばれ, マルコフ連鎖による分析が援用できる.さらに, そのままではマルコフ性を持たない確率過程に対しても, [[隠れマルコフ連鎖法]]や[[補助変数法]]を利用することでマルコフ連鎖としてモデル化できる場合が少なくない. このようなモデル化における汎用性・柔軟性は, マルコフ連鎖が広く利用される大きな理由となっている.

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'''参考文献'''

[1] K. L. Chang,　''Markov Chains with Stationary Transition Probabilities'',　Springer-Verlag, 1967.

[2] D. Freedman,　''Markov Chains'',　Springer, 1983.

[3] J. G. Kemenny and J. L. Snell,　''Finite Markov Chain'',　Van Nostrand, 1960.

[4] 森村英典, 高橋幸雄, 『マルコフ解析』, 日科技連, 1979.

[[category:確率と確率過程|まるこふれんさ]]

確率過程

2008-04-04T01:43:10Z

Tetsuyatominaga:

'''【かくりつかてい (stochastic process)】'''

=== 概要 ===

時間パラメータを含む確率変数の系列. 時間の経過とともに, 与えられた確率法則にしたがって確率変数の値が変化する. 確率法則の与え方, 時間パラメータの定め方, 確率変数が取る値の集合などの違いにより, 様々な確率過程が考えられる. 代表的な確率過程としては, マルコフ連鎖, ブラウン運動, ポアソン過程, 再生過程, マルチンゲール, 自己回帰過程などがある.

=== 詳説 ===

'''確率過程と標本路'''　確率変数がランダムな試行の結果で値の決まる変数であるのに対し, パラメータ集合 <math>{\mathcal T}\, </math> によってインデックスを付けられた確率変数の集まり <math>\{ X(t);\; t \in {\mathcal T} \}\, </math> を[[確率過程]]と呼ぶ. 一般にパラメータ集合 <math>{\mathcal T}\, </math> は時間を表すため, 確率過程は時間の経過に従ってランダムに変化する値の系列と言える. 単に[[独立性 (確率変数の)|独立]]な確率変数が並んだものも形式的には確率過程であるが, 我々が分析の対象とするのは, 異なる時点の確率変数間に何らかの相関関係がある場合である. 例えば <math>X(t)\, </math> をある場所の <math>t\, </math> 時の気温とすれば, <math>X(10)\, </math>と <math>X(12)\, </math> の間には強い相関があるであろう. <math>X(t)\, </math> を <math>t\, </math> 期の在庫量とする場合も同様である. 確率過程の分析においては, このような変数間の関連性をどのように表現し, それをもとにしてどのように確率過程の振る舞いを調べていくかが重要となる.

確率過程 <math>\{ X(t);\; t \in {\mathcal T} \}\, </math> は, 時点 <math>t\, </math> を 1 つ固定すると根元事象 (確率空間 <math>(\Omega, {\mathcal F}, \mathrm{P})\, </math> における標本空間 <math>\Omega\, </math> の要素 <math>\omega\, </math>) によって値が変わる確率変数となり, 逆に根元事象を 1 つ固定して考えると, 時間パラメータ <math>t\, </math> の関数となる. 根元事象を固定して得られる <math>t\, </math> の関数を, 確率過程の標本路 (sample path) と呼ぶ. 確率変数の値が根元事象によって異なるように, 根元事象が異なれば確率過程の標本路も違ったものとなる.

'''離散と連続'''　<math>{\mathcal T}\, </math> が可算集合である確率過程を離散時間確率過程といい, <math>{\mathcal T}\, </math> が連続的な集合の場合を連続時間確率過程という. また, 確率過程 <math>X(t)\, </math> がとる個々の値を状態, すべての状態からなる集合を[[状態空間]]と呼ぶ. 応用上は, 実数や整数, およびそれらの多次元空間が状態空間となることが多い. 時間パラメータの集合と同様に, 確率過程は状態空間の性質によって連続と離散に分類できる.

'''確率的構造の導入'''　確率過程を定めるには, その確率過程が従う確率法則を規定する必要がある. そのための方法の中で最も直接的なのは, 任意の <math>n\, </math> と任意に選んだ <math>n\, </math> 個の時点 <math>t_1, \cdots, t_n\, </math> に対して, <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> の[[多次元分布|同時分布]]を与える方法である. 例えば, どのような時点の組に対しても <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> が<math>n\, </math>次元正規分布 ([[多次元正規分布|n次元正規分布]]) に従うとき, <math>\{ X(t) \}\, </math> は[[ガウス過程]]と呼ばれる. また, どんな <math>s\, </math> に対しても <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> と時点を <math>s\, </math> ずらした <math>(X(t_1+s), \cdots, X(t_n+s))\, </math> の分布が一致する確率過程は[[定常過程|定常過程 (強)]]と呼ばれ, 時系列解析などの基礎となる.

　同時分布を定める代わりに, 確率過程の変化量の分布特性を与えることで確率過程を定めることもできる. 例えば, 重ならない区間での変化量が独立, すなわち任意に選んだ時点 <math>t_1< t_2 < \cdots < t_{2n}\, </math> に対して各時間区間での変化量 <math>X(t_{2i})-X(t_{2i-1})\ (i=1,\cdots,n)\, </math> が互いに独立である確率過程は, [[独立増分過程]]と呼ばれる. 例えば, ランダムな動きを表す確率過程である標準[[ブラウン運動]]は, 任意の時間区間 <math>[t_1, t_2]\, </math> での変化量 <math>X(t_2)-X(t_1)\, </math> が正規分布 <math>N(0, t_2-t_1)\, </math> に従う独立増分過程として特徴付けられる. また, [[再生過程]]は独立で同一の分布に従う間隔で事象が起こるとして, 時点 <math>t\, </math> までに起きた事象の数 <math>N(t)\, </math> で与えられる. <math>N(t)\, </math> はランダムな間隔で値が1ずつ増加する確率過程で, [[待ち行列モデル|待ち行列理論]]における客の到着や[[信頼度|信頼性理論]]における故障の発生を表す際によく用いられる. 特に, 事象の生起間隔が[[指数分布]]に従う再生過程は[[ポアソン過程]]と呼ばれ, [[少数の法則]]から我々の身の回りでもよく観察される.

　この他に, 隣接する複数時点の変数の関係によって確率過程を定めることも可能である. 例えば, <math>K\, </math> 次の[[自己回帰移動平均モデル|自己回帰移動平均過程]]では, <math>X(n)\, </math> は過去 <math>K\, </math> 時点の値と白色雑音 <math>\{ \epsilon(n) \}\, </math> の加重線形結合 <math>\textstyle X(n)=\sum_{i=1}^K a_i X(n-i) + \epsilon(n)\, </math> で表される. また, 離散時間[[マルコフ連鎖]]では, <math>X(n)\, </math> から <math>X(n+1)\, </math> への推移確率によって確率過程の変化の規則を定める. 例えば, 単純[[ランダムウォーク]] <math>\{ X_n \}\, </math> は, 確率 <math>p\, </math> で <math>X_{n+1}=X_n+1\, </math>, 確率 <math>1-p\, </math> で <math>X_{n+1}=X_n-1\, </math> という規則で値が変化する. さらに, 任意の <math>m\, </math> と <math>n\, </math> に対して <math>\mathrm{E}(X_{m+n} | X_1,\cdots,X_m)=X_m\, </math> が成り立つ, すなわち時点 <math>m\, </math> までの履歴が与えられた条件付きでの将来の時点における期待値が <math>m\, </math> での値に一致する確率過程は (離散時間) [[マルチンゲール]]と呼ばれる. マルチンゲールは平均が一定で, 公平な賭けのモデル化である.

'''特性量'''　確率過程を利用して何らかの現象をモデル化・分析する際には, その過程に付随する特性量を定量的に評価することが必要となる. 例えば, 広い範囲の待ち行列システムは[[マルコフ過程]]として定式化されるが, この場合はマルコフ過程の定常分布から待ち行列システムの平均待ち時間などを求めることができる. マルコフ過程に限らず, 定常状態が存在する確率過程の分析では, 時間平均の分布と定常分布を関連付ける[[エルゴード定理]]が重要な役割を果たす. 信頼性理論や[[在庫モデル|在庫理論]]においても, 長期間における平均コストが分析の主な対象となるが, これらのモデルでは取り替えや発注によって区切られた区間が1つのサイクルをなすため, 再生過程によるモデル化と[[再生定理]]による評価が主に利用される. 一方, 自己回帰過程などを利用した時系列分析では, 過去のデータからモデルのパラメータを同定し, 将来の変化を予測するため, 過去のデータに最もよく適合する時系列モデルやパラメータの選択が重要となる. また, 数理ファイナンスにおける金融派生商品の価格評価理論においては, 原資産価格や金利の変動を[[確率微分方程式]]等を用いて記述し, それをもとにマルチンゲール理論などを援用して商品の価格評価を行う. そこでは, 実際の変動により忠実でなおかつ価格評価式の計算が容易なモデルの構築がポイントとなる.

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'''参考文献'''

[1] J. L. Doob, ''Stochastic Processes'', John Wiley and Sons, 1953.

[2] S. Karlin and H. M. Taylor, ''An First Course in Stochastic Processes'', Academic Press, 1975.

[3] S. Karlin and H. M. Taylor, ''A Second Course in Stochastic Processes'', Academic Press, 1981.

[4] S. M. Ross, ''Stochastic Processes'', John Wiley, 1983.

[5] 宮沢政清, 『確率と確率過程』, 近代科学社, 1993.

[[category:確率と確率過程|かくりつかてい]]

ゲーム理論の応用

2008-04-04T01:40:53Z

Tetsuyatominaga:

'''【げーむりろんのおうよう (applications of game theory) 】'''

=== 概要 ===

　ゲーム理論の応用範囲は広く, 経済学における寡占・独占の理論, 情報経済学の諸分野をはじめ, 社会学, 政治学など, 社会科学全般にわたっている. ORでは市場ゲーム, 入札ゲーム, 投票ゲーム, 費用分担ゲーム, 仲裁ゲームなどによく応用されており, 特に, 線形生産ゲーム, ネットワークゲーム, 最小木ゲーム, 巡回セールスマンゲーム, 探索ゲームなどはORに固有のゲーム理論の応用分野であるといえよう.

=== 詳説 ===

　[[ゲーム理論]]の応用分野は経済学・社会学・政治学・生物学と多岐にわたっているが, 現在もっとも応用が進んでいるのは経済学であると言ってよい. 多くの経済現象を個人の効用最大化に還元して説明しようとする現在の経済理論の方法論は, まさに非協力ゲームと共通している. このため経済学において, 寡占・独占の理論・情報経済学・環境経済学・国際経済学など多くの分野の基礎理論が[[非協力ゲーム理論]]によって説明されている.

　社会・経済現象の描写や叙述などゲーム理論の説明的な面をゲーム理論の応用の中心と考える経済学に比して, 現実の問題をモデル化し意思決定者に対して問題解決のための有益な情報を提供することが目的であるオペレーションズリサーチでは, 「良い解を薦める」というゲーム理論の規範的な面も重視されている. したがって, 規範的な面を持つ[[協力ゲーム理論]]もORでは広く応用されている. 以下, 経済学よりもORの文献等でよく見られるゲーム理論の応用を中心として述べる.

　ゲーム理論の応用としてかなり早い時期に研究が進められたものに[[市場ゲーム]] (market game) がある. 市場ゲームとは各個人が初期財としていくつかの財を保有し, それぞれが財から得られる効用の最大化を求めて財の交換を行うという交換経済を表現した協力ゲームである. もっとも典型的な市場ゲームは細かく分けることのできる分割財の取引を扱う譲渡可能効用を持つ市場ゲームで, この時の[[特性関数 (ゲーム理論の)|特性関数]]の値は, 提携に属する各個人の利得の和が最大になるように財が配分されたときの利得の和の値である. (譲渡可能効用を持たない市場ゲームの特性関数は各提携において実現可能な財の配分の集合である. ) 効用関数における通常の仮定のもとで, このゲームには[[コア]]が存在する. 市場ゲームは財に対する価格を導入することで, 理論経済学における交換経済モデルとして表現できる. この時, 参加する個人を増加(正確には初期保有財など特性が同じである個人を2倍, 3倍, . . . と複製)させたときに, [[競争均衡]] (competitive equilibrium) の配分の集合に収束することが知られている. これを[[極限定理 (ゲームのコアの)|極限定理]] (limit theorem of core) と呼ぶ.

　市場ゲームには家などのように分割できない非分割財を扱った非分割財の交換市場ゲームや, 売り手と買い手が分かれている[[割当て市場ゲーム]] (assignment game) などがある.

　譲渡可能効用を持つ市場ゲームには[[線形生産ゲーム]] (linear production game) と呼ばれるものがある. [3] を参照. これは各プレイヤーを生産者と考え, 各提携は最大限それに属するプレイヤーの持つ財の合計まで利用できると考えて, 線形計画法の生産計画問題で得られる最適値をその提携の特性関数の値と考えた市場ゲームである. 線形生産ゲームでは全員提携に関する線形計画問題の双対問題の解がコアとなる. また線形生産ゲームでは, プレイヤーの有限の複製でコアは競争均衡の配分と一致する. 市場ゲームについて詳しくは [4] を参照.

　[[費用分担ゲーム]] (cost allocation game) は, 何人かのプレイヤーが共同事業を行う場合に, 各プレイヤーがどれだけの費用を分担すべきかを考えるゲームである. 各提携の特性関数の値を, 各提携が単独で事業を行った場合の費用と考える場合と, 各プレイヤーが単独で事業を行った場合の和と提携で行った場合との費用の差として考える場合(節約ゲーム)とがある. 水資源共同開発における費用分担, 大学内での電話料金の分担, 飛行場の滑走路補修費用の機種別分担などの問題を, 仁やシャープレイ値を用いて分析した例が知られている.

　費用分担ゲームの中でも, 各プレイヤーがネットワーク上のグラフ上の点に存在し, グラフ上に費用最小木を張る時に, 各プレイヤーがいかに費用を配分するかの費用分担ゲームは最小木ゲームと呼ばれる. また同様に巡回セールスマン問題で各プレイヤーがグラフ上の点に位置すると考えたときに, 費用をいかに分担するかというゲームは巡回セールスマンゲームと呼ばれる. これらORで良く知られている最適化手法をゲームの状況に拡大した理論は多くあり, 他にも[[探索ゲーム]]や最少費用流ゲームなどが知られている. 線形生産ゲームもその1 つである.

　[[投票ゲーム]] (voting game) は, 議案の可決・否決や候補者の当選・落選など, 「2 つの結果に対する投票」を表現した協力ゲームである. プレイヤーの提携が, 結果を左右することができる場合にその提携を勝利提携と呼び, そうでないものを敗北提携と呼ぶ. 投票ゲームは, 勝利提携に1 , 敗北提携に0 を与えるような[[提携形ゲーム]]としても表現できる. 投票ゲームにおいて投票者の持つパワーを表現する指数を[[パワー指数]]と呼ぶ. シャープレイ・シュービック指数やバンザフ指数などの指数が考えられている. [2] を参照.

　[[仲裁ゲーム]] (arbitration game) は, 報酬契約などの2 人の交渉に仲裁者が存在しているゲームである. まず仲裁者が双方からどのような要求を出させ, どの場合にどのように仲裁するかを決める. 交渉する2人は要求を提出し, 決められたルールに従って利得の受け取り, 支払いを行う. [5] を参照.

　[[入札ゲーム]] (auction game) は, 各プレイヤーが入札対象に持つ事前価値について, その確率分布の情報が事前にプレイヤー間で共有されている状況で, 自分の事後の期待利益が最大になるように入札を行うような非協力ゲームである. プレイヤーの持つ価値がプレイヤーごとに独立で, かつ各プレイヤーはリスク中立である, という仮定をおいた場合には, 最も代表的な入札方法である最高の価格を付けたプレイヤーがその価格で落札するファーストプライス競売と, 最高の価格を付けたプレイヤーが2 番目に高い価格で落札するセカンドプライス競売が, 主催者にもたらす期待利益は等価であることが知られている. これを利潤等価定理という. [1] を参照.

　このようにゲーム理論の適用例は多岐にわたっているが, 最近では, スポーツへの適用も盛んになってきている. たとえば, サッカーのペナルティー・キックにおけるキッカーとゴールキーパーの実際の行動がゲーム理論の均衡概念による理論値ときわめて類似しているという興味ある結果も報告されている [1].

　ゲーム理論の応用例については, 本稿中に挙げたもののほか, [2], [3], [4], [5], [6], [9] などを参照していただきたい.

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'''参考文献'''

[1] P. A. Chiappori, S. Levitt and T. Groseclose, "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Playe.rs are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer", ''American Economic Review'', '''92''' (2002), 1138-1151.

[2] A. Dixit and B. Nalebuff, ''Thinking Strategically'', N. W. Norton, 1991. 菅野隆, 嶋津祐一, 『戦略的思考とは何か』, TBSブリタニカ, 1991.

[3] 船木由喜彦, 『エコノミックゲームセオリー』, サイエンス社, 2001.

[4] 今井晴雄, 岡田章, 『ゲーム理論の新展開』, 勁草書房, 2002.

[5] 今井晴雄, 岡田章, 『ゲーム理論の応用』, 勁草書房, 2005.

[6] 梶井厚志, 松井彰彦, 『ミクロ経済学戦略的アプローチ』, 日本評論社, 2000.

[7] P. Milgrom and R. J. Weber, "The Theory of Auctions and Competitive Bidding", ''Econometrica'', '''50''', (1982), 1089-1122.

[8] 武藤滋夫, 小野理恵, 「投票システムのゲーム分析」, 日科技連出版社, 1998.

[9] 中山幹夫, 武藤滋夫, 船木由喜彦, 『ゲーム理論で解く』, 有斐閣, 2000.

[10] G. Owen, "On the Core of Linear Production Games", ''Mathematical Programming'', '''9''', (1975), 358-370.

[11] 鈴木光男, 武藤滋夫, 『協力ゲームの理論』, 東京大学出版会, 1985.

[12] D. -Z. Zeng, S. Nakamura and T. Ibaraki, "Double-offer Arbitration," ''Mathematical Social Sciences'', '''31''', (1996), 147-170.

[[category:ゲーム理論|げーむりろんのおうよう]]

提携形ゲーム

2008-04-04T01:38:32Z

Tetsuyatominaga:

'''【ていけいけいげーむ (game in coalitional form)】'''

=== 概要 ===

協力ゲームの表現形式の1つ. プレイヤー集合 <math>N \,</math>と特性関数 <math>v \,</math> (提携の形成により獲得可能な利得の和を表す関数)の組 <math>(N,v) \,</math>で表わされる.特性関数形ゲームとも呼ばれる. また, 特性関数の値が利得ベクトルの集合で表される場合もある(譲渡可能効用をもたないゲーム).協力により得られた成果を合理的な基準を基に各プレイヤーに分配した結果を提携形ゲームの解と呼び, コア, 安定集合, 交渉集合, カーネル, 仁, シャープレイ値などがある.

=== 詳説 ===

　[[提携形ゲーム]] (game in coalitional form) は協力ゲームの表現形式の一つであり, プレイヤー集合<math>N\, </math>と, プレイヤーが[[提携]] (coalition) を形成し共同行動をとる際に実現可能な結果を表す[[特性関数 (ゲーム理論の)|特性関数]] (characteristic function) <math>v\, </math>の組<math>(N, v)\, </math>で表わされる. このために提携形ゲームは[[特性関数形ゲーム]] (game in characteristic function form) とよばれることもある. 特性関数の値は, 提携がそのメンバーだけで実現可能な利得の総和 (実数値) で表される場合 ([[譲渡可能効用]]を持つゲーム, game with transferable utility, TU-game) と, 提携の各メンバーの実現可能な利得ベクトルの集合で表される場合 (譲渡可能効用を持たないゲーム, game without transferable utility, NTU-game) がある. 譲渡可能効用を持つゲームでは, 共同行動の利害を調整するために貨幣などの媒介物による利得の[[別払い]] (sidepayment) が必要となる. 譲渡可能効用を持たないゲームの詳細については [13] を参照.

　提携形ゲーム<math>(N, v)\, </math>における基本的な問題は, プレイヤー間の協力の結果, (1) いかなる提携が形成され, (2) 提携のメンバーの間で利得がどのように分配されるか, である. 協力に関する交渉の結果, 各プレイヤー<math>i\, </math>に最終的に分配される利得<math>x_i\, </math>から成るベクトル<math>x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)\, </math>を利得ベクトルとよび, さまざまな合理性の基準により, 結果として到達されると考えられる利得ベクトルの集合を提携形ゲームの解とよぶ.

　[[優加法性 (ゲーム理論における)|優加法性]] (superadditivity) をみたすゲームにおいてはプレイヤー全体による提携Nが形成されると考えられるので<math>v(N)\, </math>の値をどのようにプレイヤー間で分配すべきかが問題となる. このとき, ゲームの解の基本的な条件としては[[全体合理性]] (total group rationality) と[[個人合理性]] (individual rationality) の2つがあげられる. 前者は, 利得ベクトルが, プレイヤーが協力して実現できる実現可能集合において[[パレート最適]] (Pareto optimum) であることを要請し, 後者はゲームに参加して協力することの結果が, 単独で行動するよりも悪くならないことを要請している. 全体合理性をみたす利得ベクトルを[[準配分]] (preimputation) とよび, 全体合理性と個人合理性の両方をみたす利得ベクトルを[[配分]] (imputation)とよぶ.

　提携形ゲームの解で, 経済分析や費用分担問題などの応用も多く, よく知られているのは[[コア]] (core) である. コアは常に存在するとは限らないが, 存在のための必要十分条件がボンダレーヴァ (O. N. Bondareva) やシャープレイ (L. S. Shapley) によって研究されている. 特に, 市場経済をゲームとして定式化した[[市場ゲーム]]については多くの研究があり, [[競争均衡]]がコアに含まれることが知られている. また, 非分割財市場ゲームなどの種々の割当て市場ゲームや[[投票ゲーム]], [[費用分担ゲーム]]などにおいても, コアは分配案の安定性を示す重要な概念となっている.

　コアと同様に [[支配 (配分の)|支配]] (domination) 関係によって定義された解として知られているのはフォンノイマン (J. von Neumann) とモルゲンシュテルン (O. Morgenstern) によって提唱された[[安定集合]] (stable set) である [14]. 安定集合は[[フォンノイマン・モルゲンシュテルン解]] (von Neumann-Morgenstern solution) とよばれることもある. 安定集合は存在しない場合もあるし, 複数存在する場合もあるが, 存在すればコアを含む. また, コア自身が安定集合であれば, コア以外に安定集合は存在しない.

　一方, 提携構造を考慮に入れた特性関数を基に始まった一連の研究があり, それらのゲームの解としては[[交渉集合]] (bargaining set) , [[カーネル (ゲーム理論における)|カーネル]] (kernel), [[仁]] (nucleolus) がある. 交渉集合はオーマン (R. J. Aumann) とマシュラー (M. Maschler) によって異議と逆異議を用いて定義された解であり, 常に存在し, コア, カーネル, 仁を含んでいる [2]. カーネルと仁は提携のもつ利得ベクトルへの不満 (超過要求) に基づいて定義された解である. カーネルはデービス (M. Davis) とマシュラーにより導入され [4], 仁はシュマイドラー (D. Schmidler) により導入された [10]. カーネルと仁はともに常に存在し, 仁はカーネルと[[最小コア (ゲーム理論の)|最小コア]] (least core) の共通部分に含まれている. 仁は常にただ1つの配分から成り, その計算法についてもいろいろな研究がなされている. 破産問題においては, ユダヤ教の教典かつ律法書であるタルムード (Talmud) に1500年前に記述された分配方法とカーネルの与える分配が一致するという興味深い結果が知られている [3]. カーネルと仁は配分の集合を基に, 定義されているが, 準配分の集合において同等の定式化を行うと, 準カーネル, 準仁などの概念が導かれる. これらの解の性質については [1]の18章にまとめられている.

　提携形ゲームにおいて, プレイヤーがそのゲームに参加する場合のゲームの事前評価の値をゲームの値という. ゲームの値の概念の中で最もよく知られたものは[[シャープレイ値]] (Shapley value) である [11] . シャープレイ値は全体合理性, 対称性, 加法性, ナルプレイヤーのゼロ評価の４公理をみたす唯一の値 (ゲームの関数) として与えられる. シャープレイ値の応用の1つは[[投票ゲーム]]への適用である. シャープレイ・シュービック指数と呼ばれ, 各投票者の影響力を示す[[パワー指数]]の1つとして広く用いられている.

　提携形ゲームにはこのように多数の解概念が提唱されているが, それらの解概念の共通点や差異を調べるためにいろいろなゲームのクラスにおいて, 解の間の幾何学的関係が研究されている. [[凸ゲーム]] (convex game) のクラスにおいては, 交渉集合がコアおよび安定集合と一致し, シャープレイ値はコアの重心になる. また, カーネルは仁と一致することが知られている. 凸ゲームを含む広いゲームのクラスや他のゲームのクラスにおける解の関係については [5] を参照されたい.

　近年, 公理化のアプローチを多くの提携形ゲームの解概念に用い, 統一的な公理(整合性公理)で解の性質を解明しようとする研究が進んでいる. ある状況 (ゲーム) で解の与える利得分配と, プレイヤー数名が解の与える利得を持ってそのゲームから退出し, 残された状況 (縮小ゲーム) での解の与える利得分配を比較する. 整合性公理は, この両方の状況での解の与える利得分配が一致することを要請している. このとき, 残されたプレイヤーへの退出プレイヤーの協力の形態により縮小ゲームの構造が異なり, この縮小ゲームの差異を基に, コア, 準仁, 準カーネル, シャープレイ値などの整合性公理による公理化が研究されている. この分野に関しては例えば [6] を参照.

　なお, 提携形ゲーム全般の詳しい解説は [7], [8], [9], [12], [13] などを参照されたい. また, [1] のいくつかの章には, 提携形ゲームに関するトピックがテーマごとに詳細にまとめられており参考になる.

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'''参考文献'''

[1] R. J. Aumann and S. Hart, eds., ''Handbook of Game Theory Volume I, Volume II'', North-Holland, 1992, 1994.

[2] R. J. Aumann and M. Maschler, "The Bargaining Set for Cooperative Games," in ''Advances in Game Theory'', M. Dresher, L. S. Shapley and A. W. Tucker, eds., Princeton University Press, 1964.

[3] R. J. Aumann and M. Maschler, "Game Theoretic Analysis of a Bankruptcy Problem," ''Journal of Economic Theory'', '''36''' (1985), 195-213.

[4] M. Davis and M. Maschler, "The Kernel of a Cooperative Game," ''Naval Research Logistics Quarterly'', '''12''' (1965), 223-259.

[5] T. S. H. Driessen, ''Cooperative Games, Solutions and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1988.

[6] T. S. H. Driessen, "A Survey of Consistency Properties in Cooperative Game Theory," ''SIAM Review'', '''33''' (1991), 43-59.

[7] 船木由喜彦, エコノミックゲームセオリー, サイエンス社, 2001.

[8] 武藤滋夫, ゲーム理論入門, 日本経済新聞社, 2001.

[9] 岡田章, 『ゲーム理論』, 有斐閣, 1996.

[10] D. Schmeidler, "The Nucleolus of a Characteristic Function Game," ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''17''' (1969), 1163-1170.

[11] L. S. Shapley, "A Value for n-Person Games," in ''Contributions to the Theory of Games II'', H. Kuhn and A. W. Tucker, eds., Princeton University Press, 1953.

[12] 鈴木光男, 『新ゲーム理論』, 勁草書房, 1994.

[13] 鈴木光男, 武藤滋夫, 『協力ゲームの理論』, 東京大学出版会, 1985.

[14] J. von Neumann and O. Morgenstern, ''Theory of Games and Economic Behavior, 3rd ed.'', Princeton University Press, 1953.

[[category:ゲーム理論|ていけいけいげーむ]]

交渉ゲーム

2008-04-04T01:37:18Z

Tetsuyatominaga:

'''【こうしょうげーむ (bargaining game) 】'''

=== 概要 ===

交渉ゲームとは, 労使間交渉のように, 複数の当事者が協力の条件を協議する状況のゲームである. ナッシュ(J.F. Nash)は2人交渉ゲームを2人交渉問題として定式化し, 公理的方法によりナッシュ解と呼ばれる交渉解を導出した. また, 非協力ゲームによる交渉過程の分析としては, ルビンシュタイン(A. Rubinstein)の交互オファーゲームがあり, このゲームは, ナッシュ解の妥結点を部分ゲーム完全均衡として実現する. 多人数交渉ゲームの研究も進展している.

=== 詳説 ===

　交渉は, 複数の当事者が協力の条件を協議する状況であり, 各自が相互依存関係の中で意思決定をするゲームの状況である. [[交渉ゲーム]] (bargaining game) の研究は, ナッシュ (J. F. Nash)による[[2人交渉問題]]の交渉解に始まり, 近年では, ルビンシュタイン (A. Rubinstein) の[[交互オファーゲーム]]による交渉過程の分析が代表的である.

'''1　 2人交渉問題と交渉解'''　交渉の結果は, 妥結して協力するか決裂するかであり, 交渉の妥結点は交渉決裂時の状態に依存する. 2人交渉問題は, 2人のプレイヤー間の交渉を, 協力実現可能集合 <math>S\, </math> と交渉の基準点 <math>d\in S\, </math> の組 <math>(S, d)\, </math> として記述する. <math>S\, </math>は２次元実数ベクトル空間の部分集合である. 以下では, ベクトル間の不等号は要素ごとの不等号を意味する.

　協力実現可能集合 <math>S\, </math> は2人が協力して実現可能な[[利得 (ゲームの)|利得]]ベクトル集合であり, 妥結点の候補を表す. 厳密には, 2人のプレイヤーの[[相関戦略]]により実現可能な[[フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数|フォンノイマン・モルゲンシュテルン期待効用]]ベクトル <math>(u_{1}, u_{2})\, </math> の集合が <math>S\, </math> である. 交渉問題では, 交渉決裂時は, 各プレイヤーは予め想定された行動を独立に実行し, 交渉の基準点 <math>d=(d_{1}, d_{2})\, </math> の利得を得るとする. 集合 <math>I(S, d)=\{u \in S|u \ge d\}\, </math> を (個人合理的) 交渉領域と呼ぶ. 通常, (1) 集合 <math>S\, </math> がコンパクト凸であり, (2) <math>x>d\, </math> なる点 <math>x \in S\, </math> が存在する, という2条件を満たす交渉問題が考察対象とされ, その集合を <math>B_{0}\, </math> とする. また, (1), (2)に加えて, 「<math>x \in S\, </math> かつ <math>x\ge y\ge d\, </math> ならば, <math>y\in S\, </math>」であり, 「交渉領域の[[パレート最適|弱パレート最適]]な境界線が水平, 垂直部分を持たない」交渉問題の集合を <math>B_{E}\, </math> とする.

　交渉問題の集合 <math>B\, </math> に属す任意の交渉問題 <math>(S, d)\, </math> に, 妥結点 <math>a\in S\, </math> を与える関数 <math>f:B \to {\mathbf{ R}}^{2}\, </math> を, (<math>B\, </math> 上の)[[交渉解]] (bargaining solution) <math>f\, </math> という. 交渉解は妥結方法を示す概念である. ナッシュは合理的妥結方法が満たすべき4つの公理を挙げて, それらを満たす交渉解を分析した.

'''公理1'''　(正アフィン変換からの独立性). 交渉問題 <math>(S, d)\, </math> と <math>(S^{\prime}, d^{\prime})\, </math> が, ある正アフィン変換 <math>y=(c_{1}x_{1}+b_{1}, c_{2}x_{2}+b_{2}), c_{1}, c_{2}>0\, </math>, により一致するとき, 交渉解が両問題に与える妥結点もその変換の下で一致する.

'''公理2'''　(パレート最適性). 交渉解は[[パレート最適]]な妥結点を与える.

'''公理3'''　(対称性). 交渉問題 <math>(S, d)\, </math> が対称的で, <math>(x, y)\in S\Leftrightarrow(y, x)\in S\, </math>, かつ, <math>d_{1}=d_{2}\, </math> ならば, 交渉解の与える妥結点 <math>(a_{1}, a_{2})\, </math> も対称的で, <math>a_{1}=a_{2}\, </math>.

'''公理4'''　(無関連な代替案からの独立性). 基準点が等しい交渉問題 <math>(S, d)\, </math> と <math>(T, d)\, </math> について, <math>T\subseteq S\, </math> かつ <math>f(S, d)\in T\, </math> ならば, <math>f(T, d)=f(S, d)\, </math>.

　公理1は利得の高低やその変化分の大小をプレイヤー間で比較する「個人間効用比較」の排除を求める公理であり, フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用が正アフィン変換の下で同値なことからも仮定される. 公理2は交渉結果の効率性を求め, 公理3は, 交渉状況が対称的ならば妥結点も対称的であることを求めている. 公理4は, 妥結点とならなかった代替案を除いて, 再び交渉し直しても妥結点は変わらないことを求める公理である. ナッシュは, 交渉問題の集合 <math>B_{0}\, </math> 上で, 公理1-4を満たす交渉解が一意に定まることを証明した. [[ナッシュ解]]と呼ばれるその交渉解 <math>f^{{\rm N}}\, </math> は, 交渉領域内で2人のプレイヤーの基準点からの利得増加分の積を最大化する点を妥結点とし, <math>f^{\rm N}(S, d)= {\rm argmax}_{u\in I(S, d)}(u_{1}-d_{1})(u_{2}-d_{2})\, </math> で与えられる [3].

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0075-a-g-07f1-mof.png|center|図1：交渉問題の妥結点]]</td></tr>
<td align=center>図1：交渉問題の妥結点</td></table></center>

　ナッシュ解の妥結点は, 公理系では仮定されないが, 個人合理的である. 図1は, ナッシュ解の妥結点と各公理の関係を示している. まず, 対称的交渉問題では, 公理2, 3から, <math>f^{{\rm N}}(S^{0}, d)=C^{\prime}\, </math>, <math>f^{{\rm N}}(S^{1}, d)=A\, </math> となる. 次に, <math>f^{{\rm N}}(S^{0}, d)=C^{\prime}\, </math> ならば, 公理1から, <math>f^{{\rm N}}(S^{3}, d)=C\, </math> となる. そして公理4から, <math>f^{{\rm N}}(S^{2}, d)=f^{{\rm N}}(S^{3}, d)=C\, </math> となる. 問題 <math>(S^{2}, d)\, </math> は問題 <math>(S^{1}, d)\, </math> よりも交渉領域が広いが, プレイヤー2の妥結点利得は減少している. よって, ナッシュ解の妥結点は単調的には推移しない.

　個人間効用比較を排除する公理1の下で, 妥結点の単調性を求めた交渉解として, [[カライ・スモルディンスキー解]] (Kalai-Smorodinsky solution, 以下<math>{\rm KS}\, </math>解と略す) がある. <math>{\rm KS}\, </math>解では, 基準点に加え, 交渉の理想点 (各プレイヤー <math>i\, </math> が交渉領域で獲得できる最大利得 <math>m_{i}={\rm max}\{u_{i}|u\in I(S, d)\}\, </math> の組 <math>M=(m_{1}, m_{2})\, </math>) が考慮される. いま, 「基準点と理想点が共に等しい問題 <math>(S, d)\, </math> と <math>(T, d)\, </math> について, <math>T\subseteq S\, </math> ならば, <math>f(S, d) \ge f(T, d)\, </math>」という条件を限定単調性の公理と呼ぶと, 交渉問題の集合 <math>B_{0}\, </math> 上で, 公理1-3, かつ, 限定単調性を満たす交渉解が一意に定まる [2]. この解が<math>{\rm KS}\, </math>解であり, 基準点と理想点を結ぶ線分と交渉領域のパレート最適な境界線との交点を妥結点とする. 以下, <math>{\rm KS}\, </math>解を <math>f^{{\rm KS}}\, </math> で表す.

　ナッシュ解と <math>{\rm KS}\, </math> 解の一意性から, 公理4と限定単調性の公理は両立しない. これは, ナッシュ解と<math>{\rm KS}\, </math>解が, 異なる観点から各々合理的な妥結方法であることを示す. 先の問題 <math>(S^{2}, d)\, </math> の理想点は <math>{\rm M}^{1}\, </math> なので, <math>f^{{\rm KS}}(S^{2}, d)=B\, </math> となる. しかし交渉領域が <math>S^{3}\, </math> に広がると, <math>f^{{\rm KS}}(S^{3}, d)=C\, </math> となり, 再びプレイヤー2の妥結点利得は減少する. これは公理1のためで, <math>f^{{\rm KS}}(S^{0}, d)=C^{\prime}\, </math> 故に, <math>f^{{\rm KS}}(S^{3}, d)=C\, </math> となるのである.

<center>表１：各交渉解とその妥結点 (図１参照)
<table width="506">
<tr>
<td colspan="4" width="506">
<hr>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="125">交渉問題</td>
<td align="center" width="125">ナッシュ解</td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm KS}\, </math>解 </td>
<td align="center" width="125">均等解</td>
</tr>
<tr>
<td colspan="4" align="center" width="506">
<hr>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="125"><math>(S^{1}, d)\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm A}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm A}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm A}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="4" align="center" width="506">
<hr>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="125"><math>(S^{2}, d)\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm C}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm B}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm B}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="4" align="center" width="506">
<hr>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" width="125"><math>(S^{3}, d)\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm C}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm C}\, </math></td>
<td align="center" width="125"><math>{\rm B}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td colspan="4" align="center" width="506">
<hr>
</td>
</tr>
</table></center>

　個人間効用比較が可能な交渉状況を考え, 公理1を要件としなければ, より強い単調性を満たす[[均等解]] (egalitarian solution) が公理化される. 条件「基準点が等しい交渉問題 <math>(S, d)\, </math> と <math>(T, d)\, </math> について, <math>T\subseteq S\, </math> ならば, <math>f(T, d)\le f(S, d)\, </math>」を単調性の公理と呼ぶと, 交渉問題の集合 <math>B_{E}\, </math> 上で, 公理2, 3, かつ, 単調性を満たす交渉解が一意に定まる. その交渉解は交渉領域内で各プレイヤーの基準点からの利得増加分を等しく最大化する点であり, 均等解と呼ばれる [2]. ただし, 考察する集合を<math>B_0\, </math>とすると, 均等解は必ずしもパレート最適ではない. 以上3つの交渉解を図1の例によって整理すると, 表1のようになる.

'''2　交互オファーゲーム'''　[[交互オファーゲーム]]は, 2人のプレイヤーが所与の価値の分配, 例えば, 分割可能な財1単位の分配について, 相手が了承するまで, 繰り返し交互に分配案を提示しあっていくゲームである.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0075-a-g-07f2-mof.png|center|図２：財分配の実現可能集合]]</td></tr>
<td align=center>図２：財分配の実現可能集合</td></table></center>

　いま, 各プレイヤー <math>i\, </math> は, <math>x\, </math> 単位の財から利得 <math>U_{i}(x)\, </math> を得て, 利得関数 <math>U_{i}\, </math> は連続狭義単調増加で凹, かつ, <math>U_{i}(0)=0\, </math> とする. すると, 2人に実現可能な利得の集合は, <math>P=\{(U_{1}(x), U_{2}(1-x))|1\ge x\ge 0\}\, </math> となり, 図2の曲線 <math>AB\, </math> のようになる.

　ゲームは次のように進行する. まず第1期に, プレイヤー1が, 分配案として, 集合 <math>P\, </math> 上の1点 <math>(u_{1}, u_{2})\, </math> をプレイヤー2に提示する. プレイヤー2が了承すれば, 分配案が実現してゲームは終了し, 却下した場合には, 第2期に入る. 以下, 次の期に入る毎にプレイヤーの役割が交代されて, 第1期と同様な手番でゲームが進行する.

　2人は共通の割引率 <math>\delta\in(0, 1)\, </math> を持つとし, プレイヤー <math>i\, </math> が, 第 <math>t\, </math> 期に利得 <math>u_{i}\, </math> を得た場合の現在利得は, <math>\delta^{t-1}u_{i}\, </math> であるとする. そして, これを交互オファーゲームの利得とする. 2人が永久に分配案を了承しない場合のゲームの利得は0とする.

　ルビンシュタインは, この交互オファーゲームの[[部分ゲーム完全均衡]]利得<math>u^*=(u_1^*, u_2^*)\, </math>は一意に定まり, <math>\delta\rightarrow 1\, </math>のとき, <math>u^*\, </math>は<math>P\, </math>の上で<math>u_1u_2\, </math>を最大にする点に収束することを証明した [1].

　この結果から, 割引率が1に収束するとき, 均衡利得 <math>u^{*}\, </math> は, 集合 <math>P\, </math> をパレート最適集合に持つ協力実現可能集合と基準点が <math>d=0\, </math> である交渉問題の, ナッシュ解の妥結点となることが分かる. つまり, 合意遅延のコストが十分小さい場合, 交互オファーゲームは, ナッシュ解の具体的交渉過程モデルの1つとなる. [[ナッシュプログラム]]参照)

　ナッシュ解のみでなく, <math>{\rm KS}\, </math>解や均等解についても, その非協力ゲームモデルを与える研究が行われている. そして, <math>n\, </math> 人交渉問題の交渉解や情報不完備な非協力交渉ゲームの研究も進んでいる [1], [2].

----
'''参考文献'''

[1] M. Osborne and A. Rubinstein, ''Bargaining and Markets'', Academic Press, 1990.

[2] W. Thomson, "Cooperative Models of Bargaining," in ''Handbook of Game Theory with Economic Applications'' ed. by R. Aumann et al, 1992, vol. 2, 1238-1284.

[3] J. Nash, "The Bargaining Problem," ''Econometrica'', '''18''' (1950), 155-162.

[[category:ゲーム理論|こうしょうげーむ]]

協力ゲーム理論

2008-04-04T01:36:09Z

Tetsuyatominaga:

'''【きょうりょくげーむりろん (cooperative game theory)】'''

=== 概要 ===

プレイヤー間で話し合いが行われ, その結果到達した合意に拘束力があるゲームを協力ゲームといい, 協力ゲームを扱う理論を協力ゲーム理論という. 協力ゲームにおいては,プレイヤー間でどのような協力関係(提携)が形成され, 提携を形成した結果得られた利得を提携のメンバーの間でどのように分けあうかが問題となる. プレイヤーが2人の場合にはナッシュ解, 3人以上の場合の安定集合, コア, 交渉集合, カーネル, 仁, シャープレイ値などの解がある.

=== 詳説 ===

1　協力ゲーム理論

　[[プレイヤー]]間で話し合いが行われ, 話し合いの結果到達した合意に拘束力がある状況を協力ゲームといい, このような状況を扱う理論を[[協力ゲーム理論]] (cooperative game theory) という. 協力ゲームは, プレイヤーの数が2人か3人以上かによって大きく状況が異なり, それぞれ別々に理論が発展してきている.

2　2人協力ゲーム

　プレイヤーが2人の場合には, 2人のプレイヤーが話し合いの結果協力して行動するかどうか, また, 協力した場合には, その結果得られる利得をどのように分配するかの交渉が問題になる. 従って, 2人協力ゲームを[[2人交渉問題]] と呼ぶこともある.

　2人協力ゲームの主たる解は, ナッシュ (J. F. Nash) によって与えられたもので, [[ナッシュ解]] ないしはナッシュ交渉解と呼ばれている. ナッシュは, 公理論的なアプローチによりナッシュ解を導いた. まず, 2人のプレイヤーが協力して実現できる [[利得 (ゲームの)|利得]]の対の全体と, 交渉が決裂したときに2人のプレイヤーが得る利得を明らかにし, これによって2人のプレイヤーの交渉の場を定めた. 前者を実現可能集合, 後者を交渉の基準点という. ついで, 交渉の妥結点が満たすべき性質を4つあげ, その4つの性質をすべて満たす解は, 交渉の場の中の唯1つの利得の対に定まり, 交渉の基準点からの2人のプレイヤーの利得の増分の積を最大にする点で与えられることを示した. これがナッシュ解である.

　ナッシュは, 1つの交渉のプロセスとして, 2人のプレイヤーがそれぞれの獲得したい利得を同時に言い合う非協力ゲームを考え, そのナッシュ均衡によってナッシュ解を達成できないかと考えた. ナッシュのこの試みは, 協力ゲームの解を非協力ゲームの均衡点として分析しようとする[[ナッシュプログラム]] の始まりであった. 後に, ルビンシュタイン(A. Rubinstein) が, 2人のプレイヤーが交互に2人の取り分を提示しあい, 提示された方がそれに同意すればゲームは終了し, 同意しなければそのプレイヤーが新たな提示を行うという[[交互オファーゲーム]]を提案し, 将来の利得がそれほど割り引かれない場合には, その[[部分ゲーム完全均衡]] としてナッシュ解が達成されることを示した.

　ナッシュ解は, 労使の賃金交渉, 商品の売り手と買い手の交渉, 2国間の交渉など, 様々な交渉の分析に用いられている.

3　多人数協力ゲーム

　3人以上の協力ゲームになると, 単に全員が協力するかどうかだけではなく, 部分的な協力関係を考える必要が生じ, 状況は2人協力ゲームに比べ複雑になる. 3人以上の協力ゲームは, 一般に<math>n\, </math>人協力ゲームと呼ばれる. <math>n\, </math>人協力ゲームにおける関心は, プレイヤー間でどのような協力関係が結ばれ, その結果得られた利得をプレイヤー間でどのように分け合うか, ないしは分け合うべきかということである.

　フォンノイマン (J. von Neumann) とモルゲンシュテルン (O. Morgenstern) は, <math>n\, </math>人協力ゲームにおいて, 協力関係を結んだプレイヤーのグループを[[提携]] と呼び, 提携それぞれに対して, それが獲得できる利得を与える関数を [[特性関数 (ゲーム理論の)|特性関数]]と呼んだ[8]. 特性関数によって表現された<math>n\, </math>人協力ゲームを[[提携形ゲーム]]ないしは特性関数形ゲームという.

　提携形ゲームでは, 特性関数の[[優加法性 (ゲーム理論における)|優加法性]]からプレイヤー全員の提携が形成されることは前提とし, 全員が協力したときに得られる利得をどのように分配すればよいかということがこれまでの主たる研究のテーマであった.

　提携形ゲームにおける最初の解は, フォンノイマンとモルゲンシュテルンによるものであり, [[安定集合]]ないしはフォンノイマン・モルゲンシュテルン解と呼ばれている. 提携形ゲームにおいては, プレイヤー間の利得分配の基準をどのように与えるかによって, これ以外にも, [[コア]], [[交渉集合]], [[カーネル (ゲーム理論における)|カーネル]], [[仁]], [[シャープレイ値]]など様々な解が提案されてきている. 安定集合, コア, 交渉集合, カーネルは一般に集合として与えられる解であり, 仁, シャープレイ値は唯1点からなる解である.

　これらの解のうち, 適用例が多いのは, どの提携にも不満を持たせない利得の分配であって, その考え方が受け入れられやすいコア, および1点からなる解である仁, シャープレイ値である. コアは, 経済学において, 市場における取引の分析など様々な分野で用いられており, 経済学における1つの重要な解概念となっている.

　仁, シャープレイ値は費用分担, 便益分配などの計画問題の解決案としてよく用いられている. よく知られた例としては, 水資源共同開発における費用分担, 大学内の電話料金の分担, 飛行場の滑走路補修費用の機種別分担などがある. また, シャープレイ値はプレイヤーの力関係を反映する解であるため, 議会における政党の影響力を評価するパワー指数としても用いられている.

4　協力ゲームの最近の発展

　協力ゲームにおける最近の理論的発展の主たるものは, 提携形成の分析であろう. これまでの提携形ゲームの研究では, プレイヤーの交渉を通してどのような提携が形成されるかという問題はほとんど分析されてこなかったが, 最近になって, ようやく提携形成の研究が盛んに行われるようになってきている. 協力ゲームの様々な解を用いるもの, 非協力ゲームからのアプローチを試みるもの, など様々なアプローチがある.

　いま1つの研究の方向は, [[戦略形ゲーム]], [[展開形ゲーム]]を用いた協力行動の分析である. これまでの協力ゲームの分析は, 提携形ゲームを用いたものがほとんどであった. しかしながら, 戦略形ゲーム, 展開形ゲームにおいてプレイヤーが共同で戦略を選択することも考えられ, これによって, 協力行動を分析することもできる. このような分析はなにも新しいものではないが, 提携形では分析し得ないプレイヤー間の協力関係を分析する方法として重要なものとなるであろう.

　以上の2つの方向の研究を進める上ではもちろんのこと, 今後, 協力ゲーム理論と[[非協力ゲーム理論]]の融合をはかることは, ゲーム理論の発展の上で非常に重要であると思われる.

5　協力ゲーム理論の文献

　協力ゲーム理論を扱った日本語の文献としては [7], また, 最近のものとしては [2], [3], [4], [5], [6] がある. 協力ゲームの解についてのこれまでの研究のサーベイは, [1] に詳しい.

----
'''参考文献'''

[1] R. J. Aumann and S. Hart, eds., ''Handbook of Game Theory Volume I, Volume II'', North-Holland, 1992, 1994.

[2] 船木由喜彦, 『エコノミックゲームセオリー』, サイエンス社, 2001.

[3] 武藤滋夫, ゲーム理論入門, 日本経済新聞社, 2001.

[4] 中山幹夫, 『はじめてのゲーム理論』, 有斐閣, 1997.

[5] 岡田章, 『ゲーム理論』, 有斐閣, 1996.

[6] 鈴木光男, 『新ゲーム理論』, 勁草書房, 1994.

[7] 鈴木光男, 武藤滋夫, 『協力ゲームの理論』, 東京大学出版会, 1985.

[8] J. von Neumann and O. Morgenstern, ''Theory of Games and Economic Behavior, 3rd ed.'', Princeton University Press, 1953.

[[category:ゲーム理論|きょうりょくげーむりろん]]

展開形ゲーム

2008-04-04T01:32:57Z

Tetsuyatominaga:

'''【てんかいけいげーむ (game in extensive form)】'''

=== 概要 ===

プレイヤーの手番の系列をグラフ理論の有向木を用いて表現するゲームのモデル. 木の分岐点はプレイヤーの手番, 枝はプレイヤーの選択肢または行動を表す. ゲームのプレイは木の初期点から始まり木の1つの終点に到達して終了する. プレイヤーの同時的な意思決定を定式化する戦略形ゲームに対して, 展開形ゲームはプレイヤーの動学的な意思決定問題を分析するために用いられる.代表的な均衡概念に部分ゲーム完全均衡, 完全均衡や逐次均衡がある.

=== 詳説 ===

　[[展開形ゲーム]] (game in extensive form) はプレイヤーの手番の系列を[[ゲームの木]] (game tree) を用いて表現するモデルである. ゲームの木 <math>K\, </math> はグラフ理論でいう有向木で, 木の分岐点はプレイヤーが選択肢を選ぶ手番, 枝は[[プレイヤー]]の選択肢あるいは行動を表す. 木の始点から終点までの経路をゲームの1つのプレイという.

　プレイヤー分割 <math>P=[P_{0}, P_{1}. \cdots, P_{n}]\, </math> は, ゲームの木 <math>K\, </math> の分岐点の全体を <math>n+1\, </math> 個の部分集合に分割する. <math>P_{i}\ (i=1, 2, \cdots, n)\, </math> はプレイヤー <math>i\, </math> の手番の集合を表す. <math>P_{0}\, </math> に含まれる手番は偶然手番とよばれ, プレイヤーの意思とは無関係な偶然機構によって枝が選択される. 天候やトランプゲームでランダムにカードを配るなどは, 偶然手番の典型的な例である. 偶然手番に対しては枝の選択を行なう確率分布 <math>p\, </math> が付与される.

　ゲームの情報分割 <math>U=[U_{0}, U_{1}, \cdots, U_{n}]\, </math> は,プレイヤー分割<math>P\, </math> の細分割である.各 <math>i=1, 2, \cdots, n\, </math> に対して <math>U_{i}=[u_{i1}, u_{i2}, \cdots, u_{im_{i}}]\, </math>はプレイヤー <math>i\, </math> の手番の集合 <math>P_{i}\, </math> を <math>m_{i}\, </math> 個の非空な部分集合に分割する. <math>U_{i}\, </math> に属する部分集合 <math>u_{ij}\ (j=1, 2, \cdots, m_{i})\, </math> をプレイヤー <math>i\, </math> の[[情報集合]] (information set) という.プレイヤーは行動を選択するとき,自分の手番がどの情報集合に属するかは知っているが,情報集合の中のどの分岐点であるかは知らない.

　ゲームの[[利得関数]] <math>h\, </math> は,ゲームの木 <math>K\, </math> の各終点 <math>z\, </math> に対してプレイヤーの[[利得 (ゲームの)|利得]]ベクトル <math>h(z)=(h_{1}(z), h_{2}(z), \cdots, h_{n}(z))\, </math> を対応させる.

　形式的には, 展開形ゲーム <math>\Gamma\, </math> は以上の5つの要素の組 <math>(K, P, p, U, h)\, </math> によって定義される. これらの5つの構成要素をゲームのルールという.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0072-a-g-04f1-mof.png|center|図１：展開形ゲーム]]</td></tr>
<td align=center>図１：展開形ゲーム</td></table></center>

　展開形ゲームの例として図1を考える.プレイヤー1と2の情報分割はそれぞれ <math>U_{1}=[u_{1}], U_{2}=[u_{21}, u_{22}]\, </math> である.図1では最初にプレイヤー1がRとLの2つの行動のうち1つを選択する. 次に, プレイヤー2はプレイヤー1の選択を知った上で, RとLのうちから1つの行動を選択する.ゲームは4つの終点をもち, 終点に付与されている利得ベクトルは上の数字がプレイヤー1の利得, 下の数字がプレイヤー2の利得を表す.

　図1のゲームのように, プレイヤーのすべての情報集合がただ1つの分岐点から成るゲームを[[完全情報ゲーム]] (game with perfect information) といい, そうでないゲームを不完全情報ゲーム (game with imperfect information) という. 完全情報ゲームでは, すべての手番においてプレイヤーはゲームの過去のプレイの経過を完全に知った上で行動を選択できる. チェスや将棋は完全情報ゲームである.

　展開形ゲームの部分木でそれ自身が展開形ゲームの構造をもつものを部分ゲームという. 図1のゲームは, 情報集合 <math>u_{21}\, </math> と <math>u_{22}\, </math> から始まる2つの部分ゲームをもつ.

　プレイヤー <math>i\, </math> の各情報集合 <math>u\in U_{1}\, </math> に対して <math>u\, </math> における選択肢の集合上の1つの確率分布 <math>b_{i}(u)\, </math> を対応させる関数 <math>b_{i}\, </math> をプレイヤー <math>i\, </math> の[[行動戦略]] (behavior strategy) という. 特に, すべての情報集合に対して1つの選択肢を確定的に対応させる行動戦略を[[純戦略]]という.

　例えば, 図1のゲームにおいて, プレイヤー1の純戦略 <math>\pi_{1}\, </math> はRとLの2通りであり, プレイヤー2の純戦略 <math>\pi_{2}\, </math> は, RR, RL, LR, LLの4通りである. ただし, 前の文字は情報集合 <math>u_{21}\, </math> でとる行動, 後の文字は情報集合 <math>u_{22}\, </math> でとる行動を表す. 図1の展開形ゲームから, プレイヤーの純戦略と利得の関係によって図2のような[[戦略形ゲーム]]を作ることができる.

<center><table width="310" border="1" cellspacing="2" cellpadding="0">
<tr>
<td width="30"><br></td>
<td>
<table width="280">
<tr>
<td align="center" width="70">LL</td>
<td align="center" width="70">LR</td>
<td align="center" width="70">RL</td>
<td align="center" width="70">RR</td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">R</td>
<td>
<table width="280">
<tr>
<td align="center" width="70">1, 1*</td>
<td align="center" width="70">1, 1*</td>
<td align="center" width="70">-2, 0</td>
<td align="center" width="70">-2, 0</td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">L</td>
<td>
<table width="280">
<tr>
<td align="center" width="70">-1, 0</td>
<td align="center" width="70">0, 1</td>
<td align="center" width="70">-1, 0</td>
<td align="center" width="70">0, 1*</td>
</tr>
</table>
</td>
</tr>
</table><br>図2：図1の展開形ゲームから作られた戦略形ゲーム</center>

　プレイヤーの行動分析のための最も基本的なゲームの解の概念は, ナッシュ (J. F. Nash) によって定義された非協力均衡点である. 一般に[[ナッシュ均衡]]と呼ばれている. 展開形ゲームの行動戦略の組 <math>b^{*}=(b_{1}^{*}, b_{2}^{*}, \cdots, b_{n}^{*})\, </math> がナッシュ均衡であるとは,すべてのプレイヤー <math>i=1, 2, \cdots, n\, </math> のすべての行動戦略 <math>b_{i}\, </math> に対して,

<center>
<math>H_{i}(b^{*}) \ge H_{i}(b^{*}/b_{i})\, </math>
</center>
　

が成り立つことである. ただし, <math>b^{*}/b_{i}\, </math> は <math>b^{*}\, </math> からプレイヤー <math>i\, </math> だけが戦略を <math>b_{i}^{*}\, </math> から <math>b_{i}\, </math> に変更してできる行動戦略の組を表し, <math>H_{i}\, </math> はプレイヤー i の期待利得関数を表す.

　完全情報ゲームのナッシュ均衡は, 最初に, 終点に一番近い分岐点で, その手番のプレイヤーの利得を最大にする最適戦略を求め, 以下順次, ゲームの木を後向きに解くことによって計算できる. 例えば, 図1のゲームで情報集合 <math>u_{21}\, </math> と <math>u_{22}\, </math> におけるプレイヤー2の最適戦略はそれぞれLとRである. このとき, 情報集合 <math>u_{1}\, </math> におけるプレイヤー1の最適戦略はRであり, 純戦略の組 (R, LR) はゲームのナッシュ均衡である. このようなナッシュ均衡の計算方法を, ゲームの後向き帰納法という. キューン (H. Kuhn) は, <math>n\, </math> 人[[完全情報ゲーム]] は純戦略の範囲で少なくとも1つのナッシュ均衡をもつことを証明した [1].

　図1のゲームは (R, LR) の他に図2の利得行列で＊をつけたナッシュ均衡をもつ. しかし, これらのナッシュ均衡は均衡プレイ上にない分岐点ではプレイヤーの最適戦略を導かないという欠点をもつ. ゼルテン (R. Selten) はナッシュ均衡のこのような欠点を解消するために, より強い均衡概念として, すべての部分ゲーム上にナッシュ均衡を導く[[部分ゲーム完全均衡]] (subgame perfect equilibrium) を定義した [3].

　ゼルテンの研究以後, 展開形ゲームの理論は大きく進展し, 現在, ゲーム的状況におけるプレイヤーの戦略的行動を解明する基礎理論としてORや経済学を始め広範囲の分野に応用されている.

　展開形ゲームについて詳しくは, [2] を参照されたい.

----
'''参考文献'''

[1] H. W. Kuhn, "Extensive Games and the Problem of Information," in H. W. Kuhn and A. Tucker(eds.), ''Contributions to the Theory of Games'', Vol. II, Annals of Mathematics Studies 28, Princeton University Press, 1953, 193-216.

[2] 岡田章, 『ゲーム理論』, 有斐閣, 1996.

[3] R. Selten, "Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games," ''International Journal of Game Theory'', '''4''' (1975), 25-55.

[[category:ゲーム理論|てんかいけいげーむ]]

非協力ゲーム理論

2008-04-04T01:30:32Z

Tetsuyatominaga:

'''【ひきょうりょくげーむりろん (noncooperative game theory)】'''

=== 概要 ===

プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.

=== 詳説 ===

　[[プレイヤー]]間で拘束的な協定をむすぶことが可能なゲームを[[協力ゲーム]], そうでないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を[[非協力ゲーム理論]] (noncooperative game theory) という. 拘束的協定とは, ゲームの外部から付与された拘束力をともなう協定であって, たとえば違反した場合にしかるべきペナルティが課せられるために従わざるをえないような協定である. それゆえ, 協力ゲームでは拘束的協定のもとでプレイヤーたちは [[提携]] を組んで行動することができるが, 非協力ゲームではプレイヤーたちは個々独立に意思決定し, 束縛されずに自由なコミュニケーションや取り決めをすることが許されている. これらのことは普通モデルに明記されないので注意が必要である.

　フォンノイマン (J. von Neumann) が1928年に[[ミニマックス定理 (ゲーム理論における)|ミニマックス定理]]を証明することによって解決した, ゲーム理論の出発点に位置する[[2人ゼロ和ゲーム]]は最もよく知られた非協力ゲームであり, 勝つか負けるかという完全な利害対立状況を記述するものである([8]). これに対して, ナッシュ (J. F. Nash) が1950年に創始した一般の非協力ゲームでは, 有名な[[囚人のジレンマ]]などにみられるように, 利害は完全に対立するとはかぎらない. そのためゼロ和という条件に縛られないので, 今日, 経済学を中心とする社会科学や生物学などに広く応用されている. 非協力ゲーム理論とは, 普通, このナッシュの理論をいう([5]).

　ナッシュはさらに, 合理的主体間の交渉や契約などの協力行動, つまり, 協力ゲームは, 一般に適切な非協力ゲームに還元して分析するべきであるという方法論上の提案をしたが, これは現在[[ナッシュプログラム]] (Nash program) として知られている([5]). 1994年のノーベル経済学賞は, あとで述べるようにこの方法論が経済分析に果たした貢献が評価されて, ナッシュ, ハルサーニ (J. C. Harsanyi) およびゼルテン (R.Selten) に対して与えられたものである.

　非協力ゲームは, <math>G=(N; S_1,\ldots ,S_n; u_1,\ldots ,u_n)\, </math> のように形式的に表現することができる. このように表現されたゲームを[[戦略形ゲーム]]という. ここに<math>N\, </math>はプレイヤーの集合, <math>S_i\, </math>はプレイヤー<math>i\, </math>の[[戦略 (ゲーム理論における)|戦略]]の集合, <math>u_i\, </math>は<math>S=S_1 \times \cdots \times S_n\, </math>上で定義されたプレイヤー<math>i\, </math>の[[フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数]]である. <math>N\, </math>とすべての<math>S_i\, </math>が有限集合であるとき, ゲーム<math>G\, </math>を有限ゲーム, そうでないとき無限ゲームという. また, <math>N=\{1,2\}, \ u_1 (s)+u_2 (s) = 0\ \mbox{ for all } s=(s_1, s_2) \in S_1 \times S_2\, \, </math> , が成り立つゲーム<math>G\, </math>が[[2人ゼロ和ゲーム]]である.

　非協力ゲームの[[ナッシュ均衡]] (Nash equilibrium) とは, 次のような[[混合戦略]]の組である. <math>\Delta S_i\, </math>でプレイヤー<math>i\, </math>の混合戦略の集合をあらわし, 混合戦略の組<math>x=(x_1, \ldots , x_n) \in \Delta S= \Delta S_1 \times\cdots \times \Delta S_n\, </math> のもとでのプレイヤー<math>i\, </math>の効用の期待値（期待効用）を<math>U_i(x)\, </math>であらわそう. このとき, 混合戦略の組<math>x^*=(x^{*}_{1}, \ldots , x^*_n ) \in \Delta S\, </math>がナッシュ均衡であるとは, すべてのプレイヤーiに対して

<center>
<math>U_i (x^*) \ge U_i (x^*_1 ,\ldots , x^*_{i-1}, x_i, x^*_{i+1},\ldots , x^*_n )\ \mbox{ for all } x_i \in \Delta S_i\, </math>
</center>

となることである. このように, ナッシュ均衡においては, 各プレイヤーの戦略は他のすべてのプレイヤーの戦略に対する最適な反応であり, 独立に行動する各プレイヤーは, 外的な拘束力がなくても, 他の戦略に切り替えることなくそこに留まることになる.

　混合戦略まで考えた有限ゲームや, 各<math>S_i\, </math> がコンパクト凸集合で, 各効用関数<math>u_i\, </math> が連続かつ<math>x_i\, </math>に関して準凹であるような無限ゲームがナッシュ均衡をもつことは, ブラウワーや角谷の不動点定理によって証明することができる. また, 2人ゼロ和ゲームのナッシュ均衡は, [[マックスミニ戦略]]と[[ミニマックス戦略]]の組であることも容易に確かめることができる. こうして, ナッシュによる均衡の存在定理は, [[ミニマックス定理 (ゲーム理論における)|ミニマックス定理]]の拡張になっていることがわかる.

　非協力ゲームの研究はその後, シャープレイ (L. S. Shapley) の[[確率ゲーム]] (stochastic game) ([7])やキューン (H. W. Kuhn)の[[展開形ゲーム]] ([4]), 無限回[[繰り返しゲーム]] (repeated game) の[[フォーク定理]] (folk theorem) ([1]), 連続時間上の動学を考える[[微分ゲーム]] (differential game) などの理論展開に続いて, ハルサーニによる[[不完備情報ゲーム]] (game with incomplete information) への拡張([2])やゼルテンの[[完全均衡]] (perfect equilibrium) ([6])などを産出した. さらに80年代に入ってからの[[逐次均衡]] (sequential equilibrium) ([3])という技術的展開も加わって, 産業組織論や情報経済学などの経済学の分野に新しい分析方法を確立し, 重要な研究領域を切り開くことになった.

　また, [[進化的安定戦略]]の名で知られる戦略は, 進化生物学においてナッシュ均衡のひとつの精緻化として生まれたものであり, 逆にこれに影響されて80年代に発展したのが[[進化ゲーム理論]]と呼ばれる非協力ゲーム理論である. 進化ゲーム理論におけるプレイヤーは, 通常のゲームにおけるように, 完全な合理性を備えた意思決定主体ではなく, むしろ思考せずにあらかじめ決められた行動のみを一定の手順でとるオートマトン, ないしアルゴリズムである. 自然界において, 特定の遺伝子が淘汰されずに優勢になっていくように, 進化ゲームでは進化的に安定なアルゴリズム（戦略）が動学的な均衡点になることが知られている. このように, 進化ゲームは合理的推論によらない均衡選択の可能性を示しており, これがきっかけとなって, 90年代以降, プレイヤーの[[限定合理性]] (bounded rationality) と, プレイヤーの[[学習 (ゲーム理論における)|学習]]による均衡選択の研究が精力的になされるようになった. この限定合理的な行動による均衡選択というアイディアの原型は, 実はナッシュ自身が彼の最初の論文の削除された章で述べていたことが知られている.

----
'''参考文献'''

[1] R. Axcelrod, ''The Evolution of Cooperation'', Basic Books, 1984.

[2] J. C. Harsanyi, "Games with Incomplete Information Played by `Bayesian' Players, parts I,II and III," ''Management Science'', '''14''' (1967-8), 159-182, 320-334, 486-502.

[3] D. M. Kreps and R. Wilson, "Sequential Equilibria," ''Econometrica'', '''50''' (1982), 863-894.

[4] H. W. Kuhn, "Extensive Games and the Problem of Information," in ''Contributions to the Theory of Games II, Annals of Mathematics Studies'', '''28''', H. W. Kuhn and A. W. Tucker, eds., Princeton University Press, 1953.

[5] J. F. Nash, Jr, ''Essays on Game Theory'', Edward Elgar, 1996

[6] R. C. Selten, "Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games," ''International Journal of Game Theory'', '''4''' (1975), 25-55.

[7] L. S. Shapley, "Stochastic Games," ''Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States''}, '''39''' (1953), 1095-1100.

[8] J. von Neumann and O. Morgenstern, ''Theory of Games and Economic Behavior. 3rd ed.,'' Princeton University Press, 1953.

[[category:ゲーム理論|ひきょうりょくげーむりろん]]

戦略形ゲーム

2008-04-04T01:29:11Z

Tetsuyatominaga:

'''【せんりゃくけいげーむ (strategic form game)】'''

=== 概要 ===

プレイヤーの集合, 各プレイヤーのとりうる戦略の集合, および, 各プレイヤーの利得関数を記述することによりゲームを表現する形式. 標準形ゲームともいう.

=== 詳説 ===
　ゲームに参加する[[プレイヤー]]の集合を<math>N\, </math>, 各プレイヤー<math>i\, </math>のとりうる[[戦略 (ゲーム理論における)|戦略]]の全体を<math>S_i\, </math>, および<math>S=S_1 \times \cdots \times S_n\, </math> 上で定義された各プレイヤー<math>i\, </math> の[[フォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数]] (von Neumann-Morgenstern utility function) を<math>u_i\, </math> とするとき,

<center>
<math>G=(N; S_1, \ldots , S_n; u_1, \ldots , u_n)\, </math>
</center>

を[[戦略形ゲーム]] (game in strategic form) または[[標準形ゲーム]] (game in normal form) という. <math>N\, </math> と<math>S_i\, </math> がすべて有限集合であるとき, <math>G\, </math> を有限ゲームという. 効用関数<math>u_i\, </math> は, また[[利得関数]] (payoff function) ともいい, その値を利得という.

　戦略形で書かれたゲームは, 特にことわらない限り[[非協力ゲーム]]である. 戦略の数が有限な2人ゲームは次のような[[利得双行列 (ゲームの)|利得双行列]] (payoff bimatrix) で表現することができるので, [[双行列ゲーム]] (bimatrix game) ということがある.

<center>

[[画像:sk-0071-a-g-03-1.png]]

</center>



　ここに, 縦の<math>1, \ldots, m\, </math>はプレイヤー1の戦略, 横の<math>1, \ldots, n\, </math>はプレイヤー2の戦略であり, <math>a_{ij}, b_{ij}\, </math> は, プレイヤー1, 2が各々戦略<math>i, \ j\, </math>をとったときの, プレイヤー1, 2の利得である. <math>a_{ij}\, </math>を成分とする行列を<math>A\, </math>, <math>b_{ij}\, </math>を成分とする行列を<math>B\, </math>と表し, 利得双行列を簡単に<math>(A, B)\, </math>と表す. すべての<math>i, \ j\, </math>について, <math>a_{ij} + b_{ij} = 0\, </math>となる場合が[[2人ゼロ和ゲーム]] (two-person zerosum game) の戦略形である. 行列<math>B\, </math>は<math>A\, </math>の符号を変えたものであり, 行列<math>A\, </math>だけでゲームを記述できるので2人ゼロ和ゲームを[[行列ゲーム]] (matrix game) ということもある.

　双行列ゲーム<math>(A, B)\, </math>において, 各プレイヤーの[[混合戦略]] (mixed strategy) を各々<math>p=(p_1, \ldots , p_m)\, </math>, <math>q=( q_1, \ldots , q_n)\, </math> とすると, 各プレイヤーの利得の期待値 (期待利得) は各々 <math>pAq^{\top}\, </math> および <math>pBq^{\top}\, </math> で与えられる. <math>q^{\top}\, </math>は<math>q\, </math>の転置ベクトルを表す. また, 混合戦略に対してもとの戦略を[[純戦略]] (pure strategy) という. [[ナッシュ均衡]] <math>(p^*, q^*)\, </math>は, [[非協力ゲーム理論]]の項で述べた定義によって,

<center>
<math>p^*Aq^{*\top} \ge pAq^{*\top}, \ p^*Bq^{*\top} \ge p^*Bq^{\top}, \ \mbox{ for all } p, \ q \, </math>
</center>

をみたす混合戦略の組である. とくに, ゼロ和ゲームでは, <math>B=-A\, </math>であるから

<center>
<math>pAq^{*\top} \le p^*Aq^{*\top} \le p^*Aq^{\top} , \ \ \mbox{ for all } p, \ q \, </math>
</center>

となり, これから[[ミニマックス定理 (ゲーム理論における)|ミニマックス定理]] (minimax theorem)　

<center>
<math>\mbox{max}_{p} \mbox{min}_{q} \ pAq^{\top} \ =\ \mbox{min}_{q}\mbox{max}_{p}\ \ pAq^{\top} \, </math>
</center>

が導かれ, さらにこの値は<math>p^*Aq^{*\top}\, </math>に等しい. 左辺の値をマックスミニ値 (maxmin value), 右辺の値をミニマックス値(minimax value), さらに, この共通の値を[[ゲームの値]] (value of a game) という. また, このときの戦略<math>p^*, \ q^*\, </math>を各々[[マックスミニ戦略]] (maxmin strategy), [[ミニマックス戦略]] (minimax strategy) という.
　次に示すのは, 左が囚人のジレンマ (prisoner's dilemma), 右が逢い引きのジレンマ (battle of the sexes) という名で知られる有名な双行列ゲームである.

<center>

[[画像:sk-0071-a-g-03-2.png]]

</center>



囚人のジレンマでは, 純戦略の組 <math>(d, \ d)\, </math>のみが, また, 逢い引きのジレンマでは, 純戦略の組 <math>(a, \ a)\, </math>および<math>(b, \ b)\, </math>と, 混合戦略の組 <math>((2/3, 1/3)\, </math>, <math>(1/3, 2/3))\, </math>がナッシュ均衡である. とくに, 囚人のジレンマのナッシュ均衡では, 戦略<math>d\, </math>は相手のすべての戦略に対する[[最適反応 (ゲーム理論における)|最適反応]] (best reply) となっている. このようなナッシュ均衡を, [[支配戦略]]均衡 (dominant strategy equilibrium) ということがある. 逢い引きのジレンマには支配戦略は存在しない. また, 逢い引きのジレンマでは, 混合戦略ナッシュ均衡における利得の組<math>(2/3, \ 2/3)\, </math>は, たとえば純粋戦略ナッシュ均衡<math>(a, \ a)\, </math>における利得の組<math>(2, \ 1)\, </math>に対して各プレイヤーについて劣っている. このとき, 利得の組<math>(2/3, \ 2/3)\, </math>は<math>(2, \ 1)\, </math>に[[パレート支配]] (Pareto dominate) されるという.

　戦略形ゲームにおいて, もし, 各プレイヤーが共通の偶然機構にもとづいて戦略を選ぶことが許されているならば, 各プレイヤーは互いに相関した行動をとることができる. このような戦略を[[相関戦略]] (correlated strategy) という. たとえば, 逢い引きのジレンマで, コインを投げて表が出たら戦略の組<math>(a, \ a)\, </math>, 裏が出たら<math>(b, \ b)\, </math>とすることに2人が合意したとしよう. つまり, 2人とも, 表が出たら<math>a\, </math>をとり, 裏が出たら<math>b\, </math>をとるという相関戦略をとるものとする. このような合意がナッシュ均衡になるとき, すなわち, 相関戦略の組がナッシュ均衡となっているとき, これを[[相関均衡]] (correlated equilibrium) という. 上に述べた相関戦略の組は相関均衡であり, 2人の期待利得はともに<math>3/2\, </math>となることが容易にわかる. また, 混合戦略均衡は互いに独立な相関戦略からなる相関均衡にほかならない. 相関均衡の正式な定義については, たとえば [3] など参照. 　

　以上のゲームでは, 戦略形<math>G\, </math>についての知識がすべてのプレイヤーの間で[[共有知識]] (common knowledge) であると仮定されており, これらは[[完備情報ゲーム]] (game with complete information) といわれている. 他方, 不完備情報ゲームはハルサーニ(J. C. Harsanyi) [2] の定式化によって分析できるようになった. たとえば, 利得関数<math>u_i\, </math>に関する情報が不完備な場合は, まず有限個のパラメター<math>t_{i1}, t_{i2}, \ldots, t_{ik} \in T_i\, </math>を導入し, プレイヤー<math>i\, </math>の利得関数は, そのタイプによって, 有限個の利得関数<math>u_i(\cdot|t_{i1}), u_i(\cdot| t_{i2}), \ldots, u_i(\cdot| t_{ik})\, </math> (以下, まとめて<math>u_{i}(\cdot|t_{i})\, </math>と表す. )のうちのどれか1つに定まる, と定式化し直すことにより, <math>u_{i}\, </math>に関する不完備情報を表現する. この<math>t_i \in T_i\, </math>をプレイヤー<math>i\, </math>のタイプという. 各プレイヤー<math>i\, </math>は自分はどのタイプであるかを知っているが, 他のプレイヤーのタイプは知らない. ただし, 他のすべてのプレイヤーのタイプ<math>t_{-i} = (t_1 , \ldots, t_{i-1}, t_{i+1}, \ldots , t_n )\, </math>について条件付き確率<math>p_i(t_{-i}|t_i)\, </math>によって<math>t_{-i}\, </math>を推測することができるとする. こうして, 新たな戦略形ゲーム

<center>
<math>G'= (N, S_1, \ldots , S_n;
p_1, \ldots , p_n; T_1, \ldots, T_n;
u_1(\cdot|t_1), \ldots , u_n(\cdot|t_n))\, </math>
</center>

がえられる. これを[[ベイジアンゲーム]] (Bayesian game) という. また, 関数<math>s_i : T_i \rightarrow S_i\, </math>をベイジアンゲームの戦略という. すなわち, プレイヤー<math>i\, </math>は, 自分のタイプを知ってはいるが, どのタイプであったとしてもそのもとでの行動を指定しておくことがこの場合の戦略である. するとナッシュ均衡は, すべてのプレイヤー<math>i\, </math>とタイプ<math>t_i\, </math>および<math>a_{i} \in S_{i}\, </math> について次の条件をみたす戦略の組<math>s^*=(s^*_1, \ldots , s^*_n)\, </math>である. この戦略の組を, [[ベイジアンナッシュ均衡]] (Bayesian Nash equilibrium) という.

<center>
<math>\sum_{t_{-i} \in T_{-i}} u_i(s^*(t)|t_i)p_i(t_{-i}|t_i)
\ \ge\ \sum_{t_{-i} \in T_{-i}} u_i(s^*_{-i}(t_{-i}), a_i
| t_i)p_i(t_{-i}|t_i)\, </math>
</center>

ただし, <math>s^*(t)=(s^*_{-i}(t_{-i}), s^*_i(t_i))=(s^*_1(t_1), \ldots, s^*_n(t_n))\, </math>である. ベイジアンゲームは, 80年代以降, 情報経済学や産業組織論などの新しい分野の発展に大きく貢献している. これについてはたとえば, [1] を参照.

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'''参考文献'''

[1] R. Gibbons, ''Game Theory for Applied Economists'', Princeton University Press, 1992. /福岡正夫, 須田伸一, 『経済学のためのゲーム理論入門』, 創文社, 1995.

[2] J. C. Harsanyi, "Games with Incomplete Information Played by `Bayesian' Players, parts I, II and III", ''Management Science'', '''14''' (1967-8), 159-182, 320-334, 486-502.

[3] M. J. Osborne and A. Rubinstein, ''A Course in Game Theory'', MIT Press, 1994.

[[category:ゲーム理論|せんりゃくけいげーむ]]

非協力ゲーム理論

2008-04-04T01:22:18Z

Tetsuyatominaga:

'''【ひきょうりょくげーむりろん (noncooperative game theory)】'''

=== 概要 ===

プレイヤー間で拘束的な協定を結ぶことができないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論という. 非協力ゲームでは, 提携は形成されない. 非協力ゲーム理論はナッシュ (J.F. Nash) が創始した.

=== 詳説 ===

　プレイヤー間で拘束的な協定をむすぶことが可能なゲームを協力ゲーム, そうでないゲームを非協力ゲームといい, 非協力ゲームを扱う理論を非協力ゲーム理論 (noncooperative game theory) という. 拘束的協定とは, ゲームの外部から付与された拘束力をともなう協定であって, たとえば違反した場合にしかるべきペナルティが課せられるために従わざるをえないような協定である. それゆえ, 協力ゲームでは拘束的協定のもとでプレイヤーたちは提携を組んで行動することができるが, 非協力ゲームではプレイヤーたちは個々独立に意思決定し, 束縛されずに自由なコミュニケーションや取り決めをすることが許されている. これらのことは普通モデルに明記されないので注意が必要である.

　フォンノイマン (J. von Neumann) が1928年にミニマックス定理を証明することによって解決した, ゲーム理論の出発点に位置する2人ゼロ和ゲームは最もよく知られた非協力ゲームであり, 勝つか負けるかという完全な利害対立状況を記述するものである([8]). これに対して, ナッシュ (J. F. Nash) が1950年に創始した一般の非協力ゲームでは, 有名な囚人のジレンマなどにみられるように, 利害は完全に対立するとはかぎらない. そのためゼロ和という条件に縛られないので, 今日, 経済学を中心とする社会科学や生物学などに広く応用されている. 非協力ゲーム理論とは, 普通, このナッシュの理論をいう([5]).

　ナッシュはさらに, 合理的主体間の交渉や契約などの協力行動, つまり, 協力ゲームは, 一般に適切な非協力ゲームに還元して分析するべきであるという方法論上の提案をしたが, これは現在ナッシュプログラム (Nash program) として知られている([5]). 1994年のノーベル経済学賞は, あとで述べるようにこの方法論が経済分析に果たした貢献が評価されて, ナッシュ, ハルサーニ (J. C. Harsanyi) およびゼルテン (R.Selten) に対して与えられたものである.

　非協力ゲームは, のように形式的に表現することができる. このように表現されたゲームを戦略形ゲームという. ここにはプレイヤーの集合, はプレイヤーの戦略の集合, は上で定義されたプレイヤーのフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用関数である. とすべてのが有限集合であるとき, ゲームを有限ゲーム, そうでないとき無限ゲームという. また, , が成り立つゲームが2人ゼロ和ゲームである.

　非協力ゲームのナッシュ均衡 (Nash equilibrium) とは, 次のような混合戦略の組である. でプレイヤーの混合戦略の集合をあらわし, 混合戦略の組のもとでのプレイヤーの効用の期待値（期待効用）をであらわそう. このとき, 混合戦略の組がナッシュ均衡であるとは, すべてのプレイヤーiに対して

となることである. このように, ナッシュ均衡においては, 各プレイヤーの戦略は他のすべてのプレイヤーの戦略に対する最適な反応であり, 独立に行動する各プレイヤーは, 外的な拘束力がなくても, 他の戦略に切り替えることなくそこに留まることになる.

　混合戦略まで考えた有限ゲームや, 各がコンパクト凸集合で, 各効用関数が連続かつに関して準凹であるような無限ゲームがナッシュ均衡をもつことは, ブラウワーや角谷の不動点定理によって証明することができる. また, 2人ゼロ和ゲームのナッシュ均衡は, マックスミニ戦略とミニマックス戦略の組であることも容易に確かめることができる. こうして, ナッシュによる均衡の存在定理は, ミニマックス定理の拡張になっていることがわかる.

　非協力ゲームの研究はその後, シャープレイ (L. S. Shapley) の確率ゲーム (stochastic game) ([7])やキューン (H. W. Kuhn)の展開形ゲーム ([4]), 無限回繰り返しゲーム (repeated game) のフォーク定理 (folk theorem) ([1]), 連続時間上の動学を考える微分ゲーム (differential game) などの理論展開に続いて, ハルサーニによる不完備情報ゲーム (game with incomplete information) への拡張([2])やゼルテンの完全均衡 (perfect equilibrium) ([6])などを産出した. さらに80年代に入ってからの逐次均衡 (sequential equilibrium) ([3])という技術的展開も加わって, 産業組織論や情報経済学などの経済学の分野に新しい分析方法を確立し, 重要な研究領域を切り開くことになった.

　また, 進化的安定戦略の名で知られる戦略は, 進化生物学においてナッシュ均衡のひとつの精緻化として生まれたものであり, 逆にこれに影響されて80年代に発展したのが進化ゲーム理論と呼ばれる非協力ゲーム理論である. 進化ゲーム理論におけるプレイヤーは, 通常のゲームにおけるように, 完全な合理性を備えた意思決定主体ではなく, むしろ思考せずにあらかじめ決められた行動のみを一定の手順でとるオートマトン, ないしアルゴリズムである. 自然界において, 特定の遺伝子が淘汰されずに優勢になっていくように, 進化ゲームでは進化的に安定なアルゴリズム（戦略）が動学的な均衡点になることが知られている. このように, 進化ゲームは合理的推論によらない均衡選択の可能性を示しており, これがきっかけとなって, 90年代以降, プレイヤーの限定合理性 (bounded rationality) と, プレイヤーの学習による均衡選択の研究が精力的になされるようになった. この限定合理的な行動による均衡選択というアイディアの原型は, 実はナッシュ自身が彼の最初の論文の削除された章で述べていたことが知られている.

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参考文献

[1] R. Axcelrod, The Evolution of Cooperation, Basic Books, 1984.

[2] J. C. Harsanyi, "Games with Incomplete Information Played by `Bayesian' Players, parts I,II and III," Management Science, 14 (1967-8), 159-182, 320-334, 486-502.

[3] D. M. Kreps and R. Wilson, "Sequential Equilibria," Econometrica, 50 (1982), 863-894.

[4] H. W. Kuhn, "Extensive Games and the Problem of Information," in Contributions to the Theory of Games II, Annals of Mathematics Studies, 28, H. W. Kuhn and A. W. Tucker, eds., Princeton University Press, 1953.

[5] J. F. Nash, Jr, Essays on Game Theory, Edward Elgar, 1996

[6] R. C. Selten, "Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games," International Journal of Game Theory, 4 (1975), 25-55.

[7] L. S. Shapley, "Stochastic Games," Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States}, 39 (1953), 1095-1100.

[8] J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior. 3rd ed., Princeton University Press, 1953.

"https://orsj.org/wiki/wiki/index.php/%E3%80%8A%E9%9D%9E%E5%8D%94%E5%8A%9B%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%A0%E7%90%86%E8%AB%96%E3%80%8B" より作成

ゲーム理論

2008-04-04T01:19:02Z

Tetsuyatominaga:

'''【げーむりろん (game theory)】'''

=== 概要 ===

複数の意思決定主体の存在する状況における決定理論. フォンノイマン(J. von Neumann)とモルゲンシュルン(O. Morgenstern)の大著``Theory of Games and Economic Behavior"をその出発点とする. 各決定主体が独立に意思決定を行う非協力ゲーム理論と, 各主体が話し合い, その結果得られた合意に拘束力がある状況を扱う協力ゲーム理論がある. 経済学を始めとする社会科学, ORなどの数理科学, そして生物学と, その応用分野は広い.

=== 詳説 ===

1　ゲーム理論とは

　[[ゲーム理論]] (game theory) は, 複数意思決定主体の存在する状況における決定理論であり, フォンノイマン (J. von Neumann) とモルゲンシュテルン (O. Morgenstern) による大著"Theory of Games and Economic Behavior"([17])をその出発点とする. 複数の主体が存在するから, 主体間で利害の対立がある場合もあるし, 利害を共にする場合もある. このような状況において, 各意思決定主体はどのような行動をとるか, ないしは, とるべきかを数理的に分析することがゲーム理論の目的である. ゲーム理論では, 意思決定主体を[[プレイヤー]] (player), 各プレイヤーが持つ行動の計画を[[戦略 (ゲーム理論における)|戦略]] (strategy), プレイヤーがそれぞれの戦略をとった時に, 各プレイヤーが得られるもの, ないしは, それに対する評価値を[[利得 (ゲームの)|利得]] (payoff) と呼ぶ.

　ゲーム理論は, 想定するプレイヤーの行動様式の違いによって, [[非協力ゲーム理論]], [[協力ゲーム理論]]の2つに分かれて発展してきている. 非協力ゲーム理論は, プレイヤー間の話し合いはなく各プレイヤーがそれぞれ独立に戦略を決定する状況か, ないしは, たとえ話し合いがあったとしてもその結果得られた合意に拘束力のない状況を扱う. それに対して, 協力ゲーム理論は, プレイヤー間に話し合いのあることを前提とし, 話し合いの結果得られた合意に拘束力がある状況を扱う. 非協力ゲーム理論の扱うゲームを非協力ゲーム, 協力ゲーム理論の扱うゲームを協力ゲームと呼ぶ.

2　非協力ゲーム理論

　非協力ゲームは, 各プレイヤーの戦略と利得を用いて表現する[[戦略形ゲーム]]と, プレイヤーの意思決定を時間の流れと共に[[ゲームの木]]を用いて詳しく表現する[[展開形ゲーム]]に分かれる.

　非協力ゲーム理論における主要な解は, ナッシュ (J. F. Nash) によって与えられた[[ナッシュ均衡]]である. ナッシュ均衡とは, 各プレイヤーの戦略が他のプレイヤーの戦略の組に対する[[最適反応 (ゲーム理論における)|最適反応]]戦略になっているような戦略の組である. 戦略形ゲームにおいて, もともとの戦略が有限個である場合には, それらを確率混合して用いる[[混合戦略]]まで考えれば, ナッシュ均衡は必ず少なくとも1つ存在することが知られている.

　展開形ゲームは, プレイヤーの意思決定の順序, プレイヤーが意思決定の際に持っている情報などを詳細に表現できるものである. また, 展開形ゲームを考えると, ナッシュ均衡のうちのいくつかはその合理性に問題のあることが明らかになる. そのため, [[部分ゲーム完全均衡]], [[逐次均衡]], [[完全均衡]]などのナッシュ均衡の精緻化が展開形ゲームにおいて提唱されてきている.

3　協力ゲーム理論

　協力ゲームは, プレイヤーが2人の場合と3人以上の場合では, 状況が大きく異なり, それぞれ別々に理論が発達してきている.

　2人の協力ゲームでは, プレイヤーが話し合いの結果, 協力して行動するかどうか, また, 協力した場合には, その結果得られる利得をどのように分配するかの交渉が, 問題になる. 従って, 2人の協力ゲームを[[2人交渉問題]]と呼ぶこともある. 2人協力ゲームの主たる解もナッシュによって与えられたもので, [[ナッシュ解]]ないしはナッシュ交渉解と呼ばれている.

　3人以上の協力ゲームになると, 単に全員が協力するかどうかだけでなく, 部分的な協力関係を考える必要が生じ, 分析が難しくなる. 3人以上の協力ゲームは, 一般に<math>n\, </math>人協力ゲームと呼ばれる. フォンノイマンとモルゲンシュテルンは, <math>n\, </math>人協力ゲームにおいて, 協力関係を結んだプレイヤーのグループを[[提携]]と呼び, 提携それぞれに対して, それが獲得できる利得を与える関数を[[特性関数 (ゲーム理論の)|特性関数]]と呼んだ. 特性関数による<math>n\, </math>人協力ゲームの表現を[[提携形ゲーム]]ないしは特性関数形ゲームという. 提携形ゲームにおいては, プレイヤー間の利得分配の基準をどのように与えるかによって, [[安定集合]], [[コア]], [[交渉集合]], [[カーネル (ゲーム理論における)|カーネル]], [[仁]], [[シャープレイ値]]など, 様々な解が提案されてきている.

4　ゲーム理論の応用

　ゲーム理論がこれまで最大の貢献をなした分野は経済学であろう. 最初は, 交換市場や生産市場の[[競争均衡]]のコアによる新たな特徴付けなど, 協力ゲームの応用が中心であった. ついで, 産業組織論などにおいて企業競争の非協力ゲーム理論による分析が進み, 1980年代に入って爆発的な勢いで情報経済学をはじめ, ミクロ経済学の様々な分野に非協力ゲーム理論が浸透していった. いまでは, 経済学だけでなく, 政治学, 社会学などにおいてもゲーム理論は大きな貢献をなすものとなっている. これらの貢献に基づき, 1994年にはナッシュ,ハルサーニ(J.C.Harsanyi), ゼルテン(R.Selten)の3名, 2005年にはオーマン(R.J.Aumann), シェリング(T.C.Schelling)の2名のゲーム理論研究者がノーベル経済学賞を授与されている.

　ＯＲにおいても, 第2次世界大戦の軍事研究に始まり, 企業など組織における意思決定, 社会的, 公共的意思決定など, 非協力ゲーム, 協力ゲームが用いられているところは多い. 最も多い適用例は, 費用分担, 便益分配などの計画問題に対するものであろう. また, 投票による意思決定システムの協力ゲーム, 非協力ゲームによる分析もよく行われている.

5　最近のゲーム理論の発展

　最近のゲーム理論の発展で最も重要なものは, プレイヤーの限定合理性をとりこんだ研究であろう. ナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡などその精緻化は, プレイヤーの合理性を追求した結果得られた解であったが, これらの解が, 必ずしもわれわれが現実に経験する結果を導かないことが, 様々なゲーム的状況の分析から明らかになってきた.

　そこで出てきたのが, プレイヤーは必ずしも完全には合理的ではないとする[[限定合理性]]の考え方である. 限定合理性に対する１つのアプローチが, 進化ゲーム理論と学習であり, これらの理論によって, 社会における慣習, 制度などの形成過程が明らかにされるのではないかと期待されている.

　いま1つの重要なアプローチが, 実際に人間を使った[[実験 (ゲーム理論における)|実験]]によるゲーム理論の再検証である. 様々なゲームにおける実験が行われており, われわれ人間は, ゲーム理論の解が導く行動を必ずしもとらない場合もありうることが明らかにされ, 実験結果を基に, 新たな理論の構築が模索されている.

6　ゲーム理論の文献

　ゲーム理論の最近の一般的なテキストとしては, 和書では, [3], [8], [10], [12], [15], [16], 洋書では, [2], [4], [9], [13], [14], また, ゲーム理論のさまざまな分野への応用をまとめたものとして [1], [5], [6], [7], [11]がある.

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'''参考文献'''

[1] A. Dixit and B. Nalebuff, ''Thinking Strategically'', N.W.Norton, 1991. 菅野隆, 嶋津祐一, 『戦略的思考とは何か』, TBSブリタニカ, 1991.

[2] D. Fudenberg and J. Tirole, ''Game Theory'', MIT Press, 1991.

[3] 船木由喜彦, 『エコノミックゲームセオリー』, サイエンス社, 2001.

[4] R.Gibbons, ''Game Theory for Applied Economists'', Princeton University Press, 1992. 福岡正夫, 須田伸一, 『経済学のためのゲーム理論入門』, 創文社, 1995.

[5] 今井晴雄, 岡田章, 『ゲーム理論の新展開』, 勁草書房, 2002.

[6] 今井晴雄, 岡田章, 『ゲーム理論の応用』, 勁草書房, 2005.

[7] 梶井厚志, 松井彰彦, 『ミクロ経済学戦略的アプローチ』, 日本評論社, 2000.

[8] 武藤滋夫, 『ゲーム理論入門』, 日本経済新聞社, 2001.

[9] R.B.Myerson, ''Game Theory'', Harvard University Press, 1991.

[10] 中山幹夫, 『はじめてのゲーム理論』, 有斐閣, 1997.

[11] 中山幹夫, 武藤滋夫, 船木由喜彦, 『ゲーム理論で解く』, 有斐閣, 2000.

[12] 岡田章, 『ゲーム理論』, 有斐閣, 1996.

[13] M.J.Osborne and A.Rubinstein, ''A Course in Game Theory'', MIT Press, 1994.

[14] G.Owen, ''Game Theory, 3rd ed''., Academic Press, 1996.

[15] 佐々木宏夫, 『入門ゲーム理論』, 日本評論社, 2003.

[16] 鈴木光男, 『新ゲーム理論』, 勁草書房, 1994.

[17] J.vonNeumann and O.Morgenstern, ''Theory of Games and Economic Behavior, 3rd ed.'', Princeton University Press, 1953.

[[category:ゲーム理論|げーむりろん]]

《無裁定価格理論》

2007-08-23T21:06:09Z

Tetsuyatominaga:

'''【無裁定価格理論】'''

■離散時間アプローチと連続時間アプローチ

　金融工学の無裁定価格理論は,複数個の金融商品に対して,リスク(損失の可能性)なしに確実に利益をもたらす裁定機会を排除するように,価格に整合的な関係を要求する理論である.その整合性の条件は,一定の数学的仮定のもとで,適当なリスク中立確率測度のもとで資産の相対価格がマルチンゲールに従うことが十分であると同時に,ほとんど必要であることを主張する.その結果,派生証券の価格評価が可能となる.そこでは,CTA(連続時間アプローチ:Continuous Time Approach)のもとに連続な変数(確率変数のとりうる値が実数)を想定するという枠組みをもつ.DTA(離散時間アプローチ:Discrete Time Approach)の場合,複製可能性を意識して,変数も離散的な場合を扱う場
合が多い。しかし,時間離散,空間連続の場合,無裁定価格理論は,非Markovモデルが容易に扱えるという特徴をもつ.金利の変動や信用の変化など非Markovと考えられる現象に対して,CTAは応用上制約的であるとも考えられる.

　連続時間のもとでの基礎理論を展開したBlack―Scholes(BS)は,ヨーロピアンコールなどのオプシヨンに対して,複数個の資産を用いて「自己金融取引ルール」(以下SFR:Self Financing trading Rule)のもとに最終時点のベイオフを確率1で「複製する」ことができることを示した.そこでは株価に幾何Brown運動を仮定し,伊藤確率解析のもとにペイオフを複製する偏微分方程式を導いた.このアプローチはヘッジポートフォリオの構築法を具体的に示す点で役に立つ。しかし,複製可能性の概念は無裁定性の十分条件であり,ヘッジ理論を展開するための基礎になるが,派生商品を含む金融商品のプライシングの視点からは,無裁定性の概念がより重要であろう。特に,信用リスク派生商品など不連続で,時間軸が長いものは微小時間に基づくヘッジ概念は実際的に有効でないと考えられる.複製可能性の概念は,完備性の概念と結合している。

　これに対して,Harrison and Pliska(1981)は,無裁定性と複製可能性の概念を識別し,問題を再定式化した.そしてセミマルチンゲールの数学的構造の中で,「リスク中立測度のもとでの相対価格のマルチンゲール性」が無裁定性の十分条件であることを証明した.この「マルチンゲールアプローチ」は問題の本質をとらえるものである。資産価格の一般理論としては,Delbaen and Schachemeyer(1994)による「相対価格のマルチングール性がほとんど必要であること」の結果によって完成した.

■無裁定性

　以下では無裁定性の概念を述べ,DTAでの無裁定性定理を述べる.以下CTAとDTAを並行的に扱う.時間軸を有限区間<math>[o,T]\,</math>とし,それを<math>N\,</math>等分した時間幅を<math>h\,</math>,<math>Nh=T\,</math>とする.時点はCTAでは<math>t\,</math>,DTAでは<math>n\,</math>で表す.このもとで<math>M+1\,</math>個の資産価格過程を,

<table align="center">
<tr>
<td><math> X(t)=(X_0(t),X_1(t),\ldots,X_M(t))^{\top}=(X_0(t),Y(t)^{\top})^{\top},0\le t\le T \ \ \ \mbox{(1C)}\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> X_n=(X_{0n},X_{1n},\ldots,X_{Mn})^{\top}=(X_{0n},Y'_n)^{\top},n=0,1,\ldots ,N \ \ \ \mbox{(1D)}\,</math></td>
</tr>
</table>

として表現する.ここで<math>X(t)\,</math>は<math>t\,</math>に関して連続で,<math>X(t)\,</math>[または<math>X_n\,</math>]は確率空間<math>(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{Q})\,</math>で定義されていて,フィルトレーション

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathcal{F}_t(X)=\sigma(\{X(s);s\le t\})\,</math>または<math>\mathcal{F}_n=\sigma (\{X_j;j\le n \} )\ \ \ (2)\,</math></td>
</tr>
</table>

に関して可測であるとする.すなわち<math>X\,</math>は<math>\{\mathcal{F}_t\}\,</math>[または<math>\{\mathcal{F}_n\}\,</math>]適合であるとする.

　<math>t\,</math>時点のポートフォリオとは,各資産に対する組入れ枚数を示す確率変数の組

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathbf{a}(t)=(a_0(t),a_1(t),\ldots,a_M(t))\,</math>または<math> \mathbf{a}_n=(a_{0n},a_{1n},\ldots,a_{Mn}) \ \ \ (3)\,</math></td>
</tr>
</table>

をいう.<math>a_i(t)< 0\,</math>のときは第<math>i\,</math>資産を空売りすることを意味する.市場には摩擦がなく,どの資産についても任意の量を空売り可能とする。取引ルールとは,確率過程<math>\{\mathbf{a}(t):0\le t\le T\}\,</math>[または<math>\mathbf{a}_n\,</math>]をいう。(3)のもとでのポートフォリオの価値を

<table align="center">
<tr>
<td><math> V_t(\mathbf{a})=a_o(t)X_0(t)+\cdots + a_M(t)X_M(t)=\mathbf{a}(t)\cdot X(t) \ \ \ \mbox{(4C)}\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> V_n(\mathbf{a})=\mathbf{a}_n\cdot X_n \ \ \ \mbox{(4D)}\,</math></td>
</tr>
</table>

で示す.<math>\{V_t(\mathbf{a})\}\,</math>を価値過程という.このとき<math>t-h\,</math>時点で<math>t</math>時点の価値の変化は

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta V_t(\mathbf{a})=V_t(\mathbf{a})-V_{t-h}(\mathbf{a})=\Delta \mathbf{a}(t)\cdot X(t)+ \mathbf{a}(h-t)\cdot \Delta X(t)\,</math></td>
</tr>
</table>

となる。右辺第1項は,価格変化後にポートフォリオの再構築<math>(\mathbf{a}(t-h)\to \mathbf{a}(t))\,</math>をしたと
きによる価値変化を示す.右辺第2項は,<math>t-h\,</math>時点でのポートフォリオ<math>\mathbf{a}(t-h)\,</math>のもと
での価格変化<math>(X(t-h)\to X(t))\,</math>による価値変化を示す.自己金融取引ルール(SFR)<math>\{\mathbf{a}(t)\}\,</math>
とは,再構築のときに資金の流入をもたらさない取引ルール,すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta \mathbf{a}(t) X(t)=0 </math> または <math>\Delta V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t-h)\cdot \Delta X(t) \ \ \ (5)\,</math></td>
</tr>
</table>

と同等となる.
　CTAでは<math>h\to 0\,</math>とするので,<math>\mathrm{d}\mathbf{a}(t)\,</math>や<math>\mathrm{d}X(t)\,</math>が確率積分要素として数学的に定義されなくてはならない.そのため

① <math>a_i(t)\,</math>は発展的可測(<math>F_t\otimes g_t\,</math>),<math>t\,</math>に関して2乗可積分,有界変動

② <math>X(t)\,</math>は(発展的可測,2乗可積分)伊藤過程(拡散方程式)に従う

と仮定する.ただし,<math>g_t\,</math>は<math>[0,t]\,</math>上のBorel集合族である。(5)よりSFRを,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)\,</math> または <math>\Delta V_n(\mathbf{a}_n)=\mathbf{a}_n\cdot \Delta X_n \ \ \ (6)\,</math></td>
</tr>
</table>

をみたすものとして定義する.SFRのもとでの価値プロセスは

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_t(\mathbf{a})=\int_0^t \mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)\,</math> または <math>V_n(\mathbf{a}_n)=\sum_{j=1}^n\mathbf{a}_j\cdot \Delta X_j \ \ \ (7)\,</math></td>
</tr>
</table>

となる.<math>V_t(\mathbf{a})\,</math>の値はSFRを用いて,ポートフォリオを各時点での価格変化のもとに瞬時にかつ連続的に再構築して運用したときの累積額である.

'''定義１'''　与えられた<math>M\,</math>個の資産が裁定機会を許すとは,適当なSFR<math>\{\mathbf{a}^*(t)\}\,</math>(または<math>\{\mathbf{a}_n\}\,</math>)をとると,

<table align="center">
<tr>
<td><math>Q\{V_0(\mathbf{a}^*)=0, V_T(\mathbf{a}^*)\ge 0\}=1\,</math> かつ <math>Q\{ V_T(\mathbf{a}^*> 0\}>0 \ \ \ (8)\,</math></td>
</tr>
</table>

となることをいう(<math>T=Nh\,</math>).どのようなSFRに対しても裁定機会が存在しないとき,資産は互いに無裁定であるという.

'''DTA無裁定定理'''　相対価格の過程<math>\{\tilde{X}_{in}=X_{in}/X_{0n}\}(i=1,\ldots ,M)\,</math>が<math>\mathcal{Q}\,</math>に対して適当な同値確率測度<math>\mathcal{Q}^*\,</math>のもとでマルチンゲールとなることが,<math>M+1\,</math>個の資産が互いに無裁定であるための必要十分条件である.

十分性は刈屋(1997:pp.77-80)またはKariya and Liu(2002)をみよ。必要性はElliott and Kopp(1999:p.60)をみよ.測度の一意性については後に述べる.

■伊藤過程と基本定理

　以上の基本的枠組みでCTA無裁定価格理論を展開するためには,すでに述べた確率積分や確率解析などが定義されるための数学的構造(セミマルチンゲール構造)が要求される.したがって,それが可能となるモデルの定式化から入らぎるをえない.その結果,モデルの構造に関して無裁定性,完備性が議論されることになる.この点はDTAとの違いである.典型的な状況として,まず価格過程として基準化資産としての0時点1円の第0資産に

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_0(t)}{X_0(t)}=r(t)\mathrm{d}t\,</math>,すなわち <math>X_0(t)=\exp \bigg[\int_o^tr(s)\mathrm{d}s\bigg] \ \ \ (9)\,</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する。ここで<math>\{r(s)\}\,</math>は式(10)の<math>J\,</math>個のWiener過程<math>\{W(t)\}\,</math>によるフィルトレーションに適合した確率過程であると仮定する.他の資産価格は,伊藤過程(確率微分方程式)

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=1,\ldots ,M \ \ \ (10)\,</math></td>
</tr>
</table>

に従うとする。ここで<math>J\,</math>個の<math>\{W_j(t)\}\,</math>は互いに独立なWiencr過程,<math>\mu_i(t),\psi _{ij}(t)\,</math>はドリフトとボラテイリティの確率過程で,通常はMarkov性

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)=\mu_i(t,Y(t)), \psi_{ij}(t)=\psi_{ij}(t,Y(t)) \ \ \ (11)\,</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する.このときもし(10)が解をもつならば,その解は

<table align="center">
<tr>
<td><math>X_i(t)=X_i(0)\exp\bigg\{\int_0^t\mu_i(s)\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)^2\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j(s)\bigg\}
\,</math></td>
</tr>
</table>

となる幾何過程になる(たとえばChung and Wilhams(1990:p.120)).モデル(9)(10)の定式化に注意を要する.(9)の金利の過程<math>\{r(t)\}</math>は,(10)の確率過程から独立的であることを示す.仮にそれが拡散過程

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}r(t)=\mu_0(t)\mathrm{d}t+\sigma_0(t)\mathrm{d}W_0(t) \ \ \ (12)
\,</math></td>
</tr>
</table>

に従っていたものとしても,,<math>W_0(t)\,</math>のは<math>Y(t)=(X_1(t),\ldots ,X_M(t))\,</math>に影響を与えない。もちろ
ん,<math>\mu_0(t),\sigma_0(t)\,</math>は<math>Y(t)\,</math>の関数であってもよい。したがって,<math>\{r(t)\}\,</math>は<math>\sigma\{Y(s),r(s):s\le t\}\,</math>適合である.それに対して(10)の<math>Y(t)\,</math>は,それ自身の<math>J\,</math>個のWiener過程に対して適合的である.この仮定は,金利は他の資産から影響を受けてもその逆はないという経済的な関係を設定している。金利が他の資産価格に影響を与える場合の一般形は,第0資産も含めた<math>M+1\,</math>個の資産が拡散方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=0}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=0,1,\ldots ,M \ \ \ (13)\,</math></td>
</tr>
</table>

に従う場合である。この場合,<math>J+1\,</math>個のWiener過程のもとに<math>M+1\,</math>個の資産価格が互いに影響をもって変動する.<math>M+1\,</math>個の資産価格は同時決定方程式体系となる.

　確率微分方程式の解の存在条件は,非Markovの場合も含む形で

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu(t,x,\omega)=(\mu_i(t,X,\omega)), \Psi(t,x,\omega)=(\psi_{ij}(t,X,\omega)) \ \ \ (14a)\,</math></td>
</tr>
</table>

とおくと、強Lipschitz条件として、

<table align="center">
<tr>
<td><math> \| \mu(t,x,\omega)-\mu(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.}\ \ \ \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \| \Psi(t,x,\omega)-\Psi(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.} \ \ \ (14b)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \mathrm{E}\bigg[\| Y(0) \| ^2+ \int _0^T[\| \Psi(s,0,\omega)\| ^2+\| \mu(s,0,\omega)\|^2]\mathrm{d}s\bigg]< \infty \ \ \ \,</math></td>
</tr>
</table>

となる(長井,1999).ここで行列Aに対して<math>\|A\|^2=\mbox{tr} AA^{\top}\,</math>である。なお,a.s.は「ほとんど確実に」の略である.

　この解の存在条件は,<math>\mu\,</math>や<math>\psi\,</math>がt,xに加えて<math>\omega\,</math>に依存してよいという意味では,非Markovの場合も含まれているが,上のLipschitz条件は,<math>\omega\,</math>に関する一様性を要求しているため,興味ある非Markovモデルの例を見つけるのは困難である.<math>\omega\,</math>に依存しない場合,過程(10)はMarkovとなることが示される。それを伊藤過程(拡散方程式)という.

　以下では(9),(10)のもとにCTAの無裁定条件を考察するため,伊藤過程の場合につて議論する.そして,<math>\theta_j(t)(j=1,\ldots ,J)\,</math>についての線形方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)-r(t)=\sum_{j=1}^J\psi_{ij}(t)\theta_j(t),\int _o^T \theta_j(t)^2\mathrm{d}t<\infty \mbox{ a.s.} \ \ \ (15)\,</math></td>
</tr>
</table>

を考える。これが解をもつとき<math>\theta(t)=(\theta_1(t),\ldots ,\theta_J(t))\,</math>をリスクの市場価格という.

　解は,①一意的な解をもつ,②解をもたない,③ 2つ以上の解をもつ,の3つケースに分けられる.(15)が解をもつとき(9),(10)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg\{\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)[\theta_j(t)\mathrm{r}t+\mathrm{d}W_j(t)]\bigg\} \ \ \ (16)\,</math></td>
</tr>
</table>

となる.ここでGirsanovの定理を用いて測度変換する.まず,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Lambda_T=\exp\bigg\{-\int_0^T\theta(s)\cdot \mathrm{d}W(s)-\frac{1}{2}\int_o^T\|\theta(s)\|^2 \mathrm{d}s\bigg\} \ \ \ (17)\,</math></td>
</tr>
</table>

とおいて測度<math>Q^*\,</math>と<math>Q^*\,</math>のもとでのWiener過程を

<table align="center">
<tr>
<td><math>{\mathrm{d}Q^*}/{\mathrm{d}Q}=\Lambda_T, \mathrm{d}W_i^*(t)=\theta_i(t)\mathrm(d)t+\mathrm(d)W_i(t) \ \ \ (18)\,</math></td>
</tr>
</table>

とおく.(18)を(16)に代入したものとその解は,それぞれ

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg(\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j^*(t)\bigg) \ \ \ (19)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\frac{X_i(t)}{X_0(t)}=\frac{X_i(0)}{X_0(0)}\exp\bigg\{-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}^2(s)\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j^*(s)\bigg\} \ \ \ (20)\,</math></td>
</tr>
</table>

となるので,<math>W_j^*(t)\,</math>がWiener過程であることから相対価格<math>\{X_i(t)/X_0(t)\}\,</math>の過程が<math>Q^*\,</math>のもとでマルチンゲールとなる.すなわち<math>Q^*\,</math>のもとで次式が成立する.

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{E}_t^*\bigg[\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg]=\frac{X_i(t)}{X_0(t)} \,</math></td>
</tr>
</table>

'''CTA無裁定定理''' <math>K>0\,</math>に対して,<math>V_t(\mathbf{a})\ge -K(\mbox{a.s.})\,</math>となるSFRのクラスを<math>A_K\,</math>とする.このとき,(15)に解が存在するならば,すなわち相対価格をマルチンゲールにする確率測度<math>Q^*\,</math>が存在するならば,任意の<math>\mathbf{a}\in A_K\,</math>に対して裁定機会を与えない.すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_0(\mathbf{a})=0\,</math> ならば確率１で <math>V_T(\mathbf{a})\le 0\,</math></td>
</tr>
</table>

が成立する.なお,SFRに対して<math>V_T(\mathbf{a})\ge -K\,</math>の条件を除くと,裁定機会を許すものが存在する.(Delbaen and Schachermayer, 1994).

'''系''' (15)と<math>\mathrm{E}[\Lambda_T]=1\,</math>をみたす<math>\theta(t)\,</math>が存在するとき,相対価格をマルチンゲールにする同値確率測度は存在し,価格は互いに無裁定となる.

'''定義2''' <math>F_T\,</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)\,</math>としての条件付き請求権(オプション)が,適当なSFRのもとで<math>V_T(\mathbf{a})=Z(T)\,</math>となるとき,<math>Z(T)\,</math>は複製可能という.与えられたモデルのもとで任意の<math>F_T\,</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)\,</math>が複製可能なとき,モデルは完備であるという.

　モデルが完備の場合,任意の条件付き請求権は複製可能であるから,オプションなどの条件付き請求権商品は不要,もしくは冗長ということになる.完備性に関して,(15)の解の存在性よりCTA無裁定定理によって,次の定理が成立する.

'''完備性定理''' モデル(9),(10)を仮定する.①<math>M=J\,</math>で<math>\psi(t)\,</math>がすべて<math>t\,</math>に対して確率1で正則ならば,モデルは完備であり,<math>Q\,</math>は一意的に存在,②<math>M<J\,</math>ならば不完備で,<math>Q^*\,</math>は数多く存在,③<math>M>J\,</math>ならば<math>Q^*\,</math>は存在しない.<math>Q^*\,</math>が完備なときは,任意の条件付き請求権<math>Z(T)\,</math>の<math>t\,</math>時点価格は<math>Z(t)=X_0(t)\mathrm{E}_t^*[Z(T)/X_0(T)]\,</math>で与えられる.

　この条件は,不確実性の数としてのWiener過程の数<math>J\,</math>と基準化資産<math>X_0\,</math>以外の資産数<math>M\,</math>との関係で述べられている。それは<math>r(t)\,</math>の定式化問題と関係している.実際(15)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>r_0(t)1=\Phi(t)\gamma(t),\mbox{ }\Phi(t)=[\mu(t),\Psi(t)],\mbox{ }\gamma(t)=(1,-\theta(t)^{\top})^{\top}\,</math></td>
</tr>
</table>

であるから,<math>\Phi(t)\,</math>の列ベクトル空間<math>L(\Phi(t))\,</math>(各<math>\omega\,</math>に対して)は,1のベクトル<math>1\,</math>を含まなくてはならない.このことは,<math>M\,</math>個の資産価格過程のドリフトベクトル<math>\mu (t)\,</math>とボラティリティ行列<math>\Psi \,</math>の間に一定の関係を前提にしている.

----
'''参考文献'''

[1]刈屋武昭(1997),『金融工学の基礎』,東洋経済新報社.

[2]長井英生(1999),『確率微分方程式』,共立出版.

[3]Chung,K.L.and R.J.Williams(1990),''Introduction to Stochastic Integration'', Birkhauser.

[4]Delbaen,F.and W.Schachemayer(1990),"A general version of the fundamental theorem of asset pricing,"''Mathematical Annalean,''300,463-520.

[5]Elliott,R.J and P.E.Kopp(1999),''Mathematics of Financial Markets'',Springer.

[6]Harrison,J.M. and S.R. Pliska(1981),"Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading,"''Stochastic Processes and Their Applications'',11,215-260.

[7]Karatzas,I.and S.E.Shreve(1998),''Brown Motion and Stochastic Calculus'',Springer.

[8]Kariya,T.and R.Y.Liu(2002),''Asset Pricing,''Kluwer.

[[category:ファイナンス|むさいていかかくりろん]]

《CAPM》

2007-08-23T20:56:58Z

Tetsuyatominaga:

'''【きゃっぷえむ (Capital Asset Pricing Model)】'''

　CAPMは資本資産評価モデルとよばれ,資本市場の均衡下において危険資産のリス
クプレミアムがどのように決定されるかを説明するモデルである.このモデルはSharpe
(1964),Linmer(1965),Mossin(1966)によって提案された.いずれのモデルも危険資産
の投資収益を基準に議論を行うが,Sharpe-Lintner 型 CAPMはで投資比率によってポー
トフォリオを定義し,リスクリターン平面上の無差別曲線を使って最適ポートフォリオ
を考察するのに対し,Mossin 型 CAPMでは証券の保有枚数によってポートフォリオを
定義し,投資家の効用関数から直接的に最適ポートフォリオを導出する点が異なる.本
項目ではSharpe-Lintner 型 CAPMを中心に説明を行う.

■　市場均衡

　CAPMは投資家の行動原理としてMarkoWitz(1952)のポートフォリオ選択(平均・分
散モデル)を利用している.したがって,CAPMではポートフォリオ選択の以下の仮定
を引き継ぐことになる.

①　1期間だけの投資を考える.

②　投資家は投資収益率の平均および分散のみを考え,期待効用を最大化する.

③　すべての資産は無限に分割可能である.

④　投資家はプライステーカーとして行動する.

⑤　市場に摩擦はない.(取引コストや税金は存在しない.)

さらにCAPMでは次の2つの仮定を加える.

⑥　投資収益の同時分布についての予想は,すべての投資家で一致している.

⑦　安全資産が1つ存在し,無制限に貸借可能である.

　この仮定⑥は投資家の同質的期待とよばれ,すべての投資家はリスクリターン平面上
で同じ投資機会集合と同じ効率的フロンティアをみていることを保証する.

　さて,安全資産が存在するときには効率的フロンティアの外にまで投資機会集合は拡
れ,図1が示すリスクリターン平面上ではグレーの領域になる.この投資機会集合
の左上に位置する境界は投資家にとって最も効率的な投資が行えるポートフォリオの集合
であり,これを資本市場線(Capital Market Line; CML)とよぶ.

<center>[[画像:figure1.jpg|center]]</center>

このCMLは安全資産<math>r\,</math>とそこから効率的フロンティアに引いた接点<math>M\,</math>との
組み合わせでつくられることから,次式が与えられる.

<center>
<math>\mu_P = r + \frac{\mu_M - r}{\sigma_M} \sigma_P \ \ \ (1)\,</math>
</center>

ただし、<math>\mu_P\,</math>はCML上にあるポートフォリオの期待リターン,<math>\sigma_P\,</math>
はそのリスクである.

　合理的な投資家はCML上のポートフォリオを保有する.すなわち、接点ポートフォリオ
<math>M\,</math>と安全資産の2資産のみを保有することになる.これを2資産分離とよぶ.
投資家による選好の違いはこの2資産への配分比率にのみ現れる.このように,投資家の効用とは
独立に危険資産ポートフォリオ<math>M\,</math>が決定されることをポートフォリオ選択における
分離定理とよぶ.

　次に市場の均衡を考えてみよう.市場の均衡とは,すべての資産についていかなる超過需要も
超過供給も存在しない状態である.このとき,投資家は自らが希望する危険資産ポートフォリオ
<math>M\,</math>をすでに保有しており,かつ,いかなる余剰資産も保有していない.
また市場全体について考えてみると,いかなる資産についても超過需要,超過供給が
存在しないということは,すべての危険資産はその時価総額の比率でポートフォリオ
<math>M\,</math>に含まれていることになる.したがって,市場の均衡状態においては,
ポートフォリオ<math>M\,</math>は時価総額加重の危険資産ポートフォリオに一致する.
このようなポートフォリオは,面倒な効率的フロンティアの計算や接点を求めることなしに,
直接的に市場で観測することができる.このポートフォリオ<math>M\,</math>は危険資産市場を
代表する投資化共通の最適ポートフォリオであるから,これを市場ポートフォリオとよぶ.
なお,数ある市場インデックスの中で時価総額加重インデックスが理論上優れていると
いわれるのは,この市場ポートフォリオの特性による.

　さて,市場ポートフォリオと個別資産の関係を見てみよう.資産<math>i\,</math>と市場ポートフォリオ
<math>M\,</math>とで新たにつくられる超過ポートフォリオの奇跡を描くと図2のようになる.

<center>[[画像:figure2.jpg|center]]</center>

超過ポートフォリオの軌跡とCMLが点Ｍで接することから,次の証券市場線(Security Market Line; SML)
が導かれる.

<center>
<math>\mu_i = r + \beta_i (\mu_M - r) \ \ \ (2)\,</math>
</center>

ただし,

<center>
<math>\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma^2_M} \ \ \ (3)\,</math>
</center>

である.

　式(2)は個別資産の期待リターンが安全利子率とリスクプレミアムに分解されること
を示している.また,リスクプレミアムは市場の超過収益(市場のリスクプレミアム)を
<math>\beta_i\,</math>倍したものになっており,この<math>\beta_i\,</math>がリスクプレミアムの大小を決める重要なパラメー
タとなる.式(3)は<math>\beta_i\,</math>の定義を示しているが,これは市場ポートフォリオと個別資産の
投資収益率の共分散によって<math>\beta_i\,</math>が決定される.すなわち,これはシステマティックリ
スクであり,分散投資によって除去することのできないリスクである.市場は分散不可
能なシステマティックリスクにのみリスクプレミアムを支払い,分散投資により消去可
能なアンシステマティックリスクに対してはプレミアムを支払わないのである.これが
CAPMの結論である.

　なお,SMLを図示すると図3のようになる.

<center>[[画像:figure3-1.jpg|center]]</center>

　<math>\beta = 1\,</math>の資産はシステマティックリスクの大きさが市場ポートフォリオと一致し,した
がって期待リターンも市場ポートフォリオの期待リターンに一致する.<math>\beta\,</math>が1より小さ
い資産は市場よリローリスクローリターンであり防御的銘柄,<math>\beta\,</math>が1より大きい資産は
市場よリハイリスクハイリターンで攻撃的銘柄と分類される.

■　ゼロベータCAPM

Black(1972)は安全資産が存在しない場合の均衡モデルを提案した.効率的フロンティ
アの数学的特徴から,フロンティア上にある任意のポートフォリオに対して,相関がゼ
ロ,すなわちベータがゼロとなるポートフオリオが同じ効率的フロンテイア上に必ず存在
する.したがって,市場ポートフォリオMが効率的フロンテイア上にあるならば,それ
に対するゼロベータポートフォリオZを安全資産のかわりに用いることにより,CAPM
が成立する.これをゼロベータCAPMあるいはBlackモデルとよぶ.

<center>[[画像:figure4.jpg|center]]</center>

ゼロベータCAPMでは次のような証券市場線が導かれる.

<center>
<math>\mu_i = \mu z + \beta_i (\mu_M - \mu z) \ \ \ (4)\,</math>
</center>

ただし,

<center>
<math>\beta_i = \frac{\mbox{Cov}_{i,M}}{\sigma_M^2 } \ \ \ (5)\,</math>
</center>

である.

■　CAPMの検証

　CAPMはその結論のシンプルさゆえ,古くから数多くの検証が行われてきた.その代表
的なものにBlack,Jensen and Scholes(1972), Blume and Fiend(1973), Fama and MacBeth
(1973)などがある.その実証手続きは主に以下のようなものである.

Step1 市場ポートフオリオの代理変数として適切な市場インデックスを1つ定める.

Step2 市場インデックス,個別株式,安全資産の月次収益率を収集する.

Step3 月々の投資収益率からその月の安全利子率を差し引いた超過収益率を求める.

Step4 個別株式の超過収益と市場インデックスの超過収益で単回帰(時系列回帰)し,
各株式の<math>\beta\,</math>値を計測する.

Step5 <math>\beta\,</math>の大小によリランキングされた20銘柄程度のポートフォリオを作成する.

Step6 ポートフオリオの期待収益率を<math>\beta\,</math>値で単回帰(横断回帰)することで,SMLを
検証する.

　彼らの検証結果によるとSMLの傾きはややフラットであるものの,概ねCAPMは支
持された.しかし,このような検証方法に対してRoll(1977)により大きな疑問点が提
示された.その要旨は以下のようなものである.BlackのゼロベータCAPMが示すよう
に,SMLの成立は市場ポートフォリオが効率的フロンティア上にあることと同値であ
る.しかし,これまでの検証では市場ポートフォリオの代理変数として市場インデック
スが用いられる.したがって,これまでの実証分析は分析に用いられた市場インデック
スの効率性を検証していることにほかならず,これはCAPMの検証とは無関係である.
真の市場ポートフォリオが用いられないかぎり,本当のCAPMの検証とはなりえない.
しかし,市場ポートフォリオはその性質上,投資可能なあらゆる危険資産を含まなけれ
ばならない.株式や債券のみならず実物資産や人的資本を含むすべての危険資産の構成
を巌密に調べるのは不可能である.したがって,CAPMの検証は原理的には可能だが実
質的には不可能である.

　このような批判を受けて,Ross(1976)はCAPMに代わる新しい資産評価理として
裁定価格理論(Arbitragc Pricing Theory;APT)を提案した.CAPMが単一
ファクター(市場ポートフォリオ)モデルなのに対し,APTは複数ファクターモデルである.またAPTは
市場ポートフォリオの存在を前提としないため,Rollの批判からは無縁である.

　このようなCAPMをめぐる論争の中,株式の期待投資収益率にはCAPMでは説明さ
れない有意な銘柄間格差があることが見つかつた.これをアノマリー現象とよぶ.Basu
(1977)は高い収益株価比率(EPR)をもつポートフォリオが高いリターンを示すことを発
見した.Banz(1981)は投資収益率と株式の相対時価総額(規模の尺度)の間に統計的に
有意な負の関係があり,これが<math>\beta\,</math>の説明力を上回ることを発見した. Fama and French
(1992)は株式の時価総額(規模の尺度)や株価純資産倍率(PBR)の逆数がリターンをうまく説明しており,市場インデックスに対する<math>\beta\,</math>に対して期待リターンはフラットである
ことを発見した.

　現在もCAPMの検証をめぐる問題は,市場の効率性のチェックあるいは新たなリスク
プレミアムの発見への期待と絡んでさまざまな研究が行われているが,いまだはっきり
とした結論には至っていない.しかし,CAPMの検証結果が明確でないとしても,それ
がCAPMの理論的な価値を下げるものではない.われわれが資本市場で行動する際に
CAPMが提供してくれるリスクの概念は,その検証可能性とは無関係に有用なのである.

■　連続時間モデル

　1期間モデルであるCAPMを多期間あるいは連続時間へ拡張しようとするのは自然な
流れである.このとき,1期間CAPMで導かれたリターンと<math>\beta\,</math>の線形関係が維持される
かどうかが最大の論点となる.

　Merton(1973)は資産評価モデルに初めて連続時間のフレームワークを導入した.彼の
ICAPM (Intertemporal CAPM)では連続的な資産の取引を想定し,第<math>i\,</math>資産の価格<math>P_i\,</math>が
次の伊藤過程に従うものと仮定する.

<center>
<math>\frac{\mbox{d}P_i}{P_i} = \mu_i (x) \mbox{d}t + \sigma_i (x)\mbox{d} z_i \ \ \ (6)\,</math>
</center>

ただし,<math>\mu_i\,</math>は資産<math>i\,</math>の期待収益率,<math>x\,</math>は状態変数,<math>\sigma^2_i\,</math>は
収益率の分散である.

　また,状態変数<math>x\,</math>も１次元伊藤過程

<center>
<math>\mbox{d} x = m(x) \mbox{d} t + s(x) \mbox{d}z_x \ \ \ (7)\,</math>
</center>

に従うものとする.

　次に,投資家kは時点tにおける消費<math>c_{k,t}\,</math>から効用を得るものと考え,以下のよう
な効用の時間積分の期待値を考える.

<center>
<math>\mbox{E} \Bigg[ \int_0^T u_k (c_{k,t} , x, t) \mbox{d}t \Bigg] \ \ \ (8)\,</math>
</center>

この期待効用の最大化問題を解くことにより,最適ポートフォリオ戦略<math>w_k</math>は次のよ
うに導かれる.

<center>
<math> \boldsymbol{w}_k = A_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1})]\boldsymbol{w}_T + H_k [\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x]\boldsymbol{w}_H \ \ \ (9)\,</math>
</center>

ただし,

<center>
<math> \boldsymbol{w}_T = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} (\mu -r\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} (\mu - r\boldsymbol{1}) } \ \ \ (10)\,</math>
</center>

<center>
<math> \boldsymbol{w}_H = \frac{\boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x}{\boldsymbol{1}^T \boldsymbol{V}^{-1} \boldsymbol{\sigma}_x } \ \ \ (11)\,</math>
</center>

である.ここで<math>A_k\,</math>は投資家kの相対リスク回避度(ARR),<math>\boldsymbol{V}\,</math>は資産の価格変化率の共
分散行列,<math>H_k\,</math>は投資家kの状態変数<math>x\,</math>に対する選好を表すパラメータ,<math>\boldsymbol{\sigma}_x\,</math>は各資産変
化率と状態変数<math>x\,</math>との共分散ベクトルである.式(10)が示す<math>\boldsymbol{w}_T\,</math>は効率的フロンティア
上の接点ポートフォリオであり,式(11)が示す<math>\boldsymbol{w}_H\,</math>は状態変数<math>x\,</math>との相関が最大となる
ポートフォリオである.式(9)により3資産分離定理が導かれる.すなわち,投資家は
安全資産,接点ポートフォリオ<math>\boldsymbol{w}_r\,</math>,ヘッジポートフォリオ<math>\boldsymbol{w}_H\,</math>に投資するのである.

　最後にICAPMが導く期待リターンとリスクプレミアムの関係式を示そう.

<center>
<math> \mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (12)\,</math>
</center>

ここで<math>\beta_{i,T}\,</math>は接点ポートフォリオとの<math>\beta\,</math>値,<math>\lambda_T\,</math>は接点ポートフォリオのリスクプレミアム（期待超過リターン),<math>\beta_{i,x}\,</math>は状態変数<math>x\,</math>に対するヘッジポートフォリオの<math>\beta\,</math>値,<math>\lambda_x\,</math>はヘッジポートフォリオのリスクプレミアムである.

　これまで状態変数<math>x\,</math>はスカラーであると仮定してきたが, これが<math>s\,</math>次元ベクトルであ
る場合には,

<center>
<math> \mu_i = r + \beta_{i,T} \lambda_T + \sum_{x=1}^s \beta_{i,x} \lambda_x \ \ \ (13)\,</math>
</center>

となる.このモデルはマルチベータモデルとも呼ばれる.

----
'''参考文献'''

[1] Black,F.(1972),"Capital market equilibrium with restricted borrowing," Journal of Business,45,444-455.

[2] Black,F.,M.C. Jensen and M.Scholes (1972), "The capital asset pricing model: Some empirical tests," in Jensen,M.C. ed., Studies inTheory of Capital Markets, Praeger.

[3] Blume,M.E. and I.Friend (1973),"A new look at the capital asset pricing model," Journal of Finance, 28, 19-33.

[4] Fama, E.F. and J. MacBeth (1973), "Rish return, and equilibrium: Empirical Tests:" Journal of Polititcal
Economy,81.

[5] Fama E.F. and K.R. French (1992), "The cross section of expected stock returns," Journal of Finance, 47,
427-466.

[6] Lintner, J. (1965), "Ihe valuation of risky assets and the selection of risky assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets,"Review of Economics and Statistics, 47, 13-37.

[7] Merton, R. (1973), "An intertemporal capital asset pricing model," Econometrica, 4l, 867-887.

[8] Mossin, J. (1966), "Equilibrium in a capital asset market," Econometrica, 34, 768-783.

[9] Roll, R. (1977), "A critique of the asset pricing theory's tests : Part I : On past and potential testability of the theory," Journal of Financial Economics, 4.

[10] Ross,R. (19?6), "the arbitrage theory of capital asset pricing," Journal of Economic Theory, l3.

[11] Sharpe,W.F. (1964), "Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk," Journal of Finance, 19, 425-442.

[[category:ファイナンス|きゃっぷえむ]]

《リアルオプション》

2007-08-23T19:43:01Z

Tetsuyatominaga:

'''【りあるおぷしょん (real options)】'''

　リアルオプションは,オプション価格理論を応用し,不確実性のもとでの意思決定問
題において企業が有する経営上の柔軟性をオプションになぞらえて分析する考え方,い
わば「金融」(financial)に対する「実物」(real)の世界のオプシヨンを意味する.

　たとえば,投資プロジエクトの意思決定を行おうとしている企業を考える.投資する
と,企業はそれ以降ある期間にわたつてキャッシュフロー(経費差引後)を得ることを期
待する.この期待将来キャッシュフローの割引現在価値であるプロジェクト価値は経済
情勢などの影響のため刻々と変化していく一方,投資コストは一定とする.ここでこの
企業が投資プロジェクトの実行を将来に延期する柔軟性をもっているとすると,企業はプ
ロジェクト価値が高いときに投資することで利得を大きくすることができる.プロジェ
クト価値を原資産価格,投資コストを行使価格になぞらえると,このプロジェクトを実
行することは,投資コストを支払ってプロジェクト価値を獲得するという意味で,コー
ルオプシヨンを行使して原資産を購入することと似ており,将来プロジエクトに投資で
きる機会はオプションのアナロジーとして評価できる.同様に,将来の情勢変化に応じ
て追加投資を行い業容を拡大したり,逆に設備を売却して事業を縮小あるいは撤退した
りする柔軟性も,プロジェクトに内在するオプションとみることができる.

　リアルオプションの考え方は,企業の投資意思決定問題において,NPV(Net Present
Value, 正味現在価値)法への修正としてとらえられている.NPV法においては,将来の
期待プロジェクト価値は単一のシナリオに基づくという意味で決定論的であり,企業も
当初の意思決定を維持し続ける硬直的な存在であると仮定されている.しかし現実の企
業は,予期せぬ状況の変化に応じてその方針を柔軟に見直すことで,将来の上方ポテン
シャルを伸ばし,下方リスクを避けようとする.そのような柔軟性にはリアルオプショ
ンの価値が含まれている.これを考慮に入れたリアルオブション法のもとでは,投資機
会の価値はそのNPVにリアルオプションの価値を加えたものとなり,NPVが負のプロ
ジェクトであっても,リアルオプション価値を加えた修正NPVが正であれば,適切な時
機到来を条件として採択すべき,との方針が導かれる.リアルオプションをもつ企業に
とっては,将来の不確実性は排除すべき「敵」ではなく,利用すべき「味方」となるの
である.

■　評価手法

　上記のように, リアルオプションというよび方は金融オプションとのアナロジーから
名づけられたものであり,その評価手法は基本的には金融オプションと共通である.そ
れは,市場におけるリスクの価格付けに基づく期待収益率の差という要素を除けば,従
来から企業の意思決定問題に用いられてきた動的計画法と酷似した評価式を導く.

▼　連続時間モデル

　一般的な金融オプションの評価モデルには,原資産の連続的な取引を前提とするもの
やリスク中立測度のもとでの期待値をとるものなどがあるが,それらを含め多くの場合,
市場の完備性(あらゆる資産の価値過程が他の資産で複製できること)を前提に,オプ
ション価値は保有者のリスク回避度に依存せず,無リスク金利を割引率として用いるこ
とができる.リアルオプションの評価においても,この手法は基本的に有効である.

　株式などの金融資産と違い,プロジェクトなどは一般的にあまり取引されないが,十
分な流動性を備えた原資産の市場が存在しないことは必ずしも評価上の支障にはならな
い.たとえば,一定の投資コスト<math>I\,</math>に対して,プロジェクト価値<math>V\,</math>が

<center>
<math>\mbox{d} V = \alpha V \mbox{d} t + \sigma V \mbox{d} z \ \ \ (1)\,</math>
</center>

に従って変動していくものとする.ここで<math>\alpha\,</math>および<math>\sigma\,</math>は正の定数,
<math>\mbox{d}z\,</math>は標準Brown運
動の増分とする.Dixit and Pindyck(1994)よのうにプロジェクト価値の複製資産を連続
的に取引するとの仮定をおいたり,あるいはSick(1995)のように消費CAPMなどの均
衡期待収益率モデルを用いたりすることで,プロジェクト価値<math>V\,</math>に依存するオプション
価値<math>F(V)\,</math>のみたすべき評価式を,保有者のリスク回避度に依存しない

<center>
<math>\frac{1}{2} \sigma^2 V^2 F_{VV} + F_t + (r- \delta)V F_V - r F = 0 \ \ \ (2) \,</math>
</center>

のような形で導くことができる.ここで下添字は偏微分を表し,<math>r\,</math>は無リスク金利,<math>\delta\,</math>は
プロジェクトからのキャッシュフロー率(いわゆる収益率不足分)であり,<math>F(V)\,</math>は資本
市場で決定された<math>V\,</math>のリスク調整済み総収益率<math>\mu = \alpha + \delta \,</math>に依存しない.式(2)に適切な
境界条件を付することで,解析的ないし数値的に解が得られる.

　金融オプシヨンと違い,少なからぬリアルオプションが明示的な行使時点の制限をも
たない.このような場合,式(2)は<math>F_t = 0\,</math>とおき無限満期のアメリカンオプションとし
て解くことができる.すなわち,原資産の配当率にあたる<math>\delta\,</math>があるため,満期がない場
合でもプロジェクト価値が十分高くなれば投資を行うことが最適となる.べき型の関数
形<math>F(V) = A V^{\theta} \,</math>を想定し,<math>F(0) = 0\,</math>,および投資が最適となるプロジェクト価値<math>V^{\star}\,</math>にお
いて<math>F(V^{\star}) = V^{\star} -I \,</math>および<math>F'(V^{\star} )=1 \,</math>といった条件を付して
<math>A,\theta\,</math>および<math>V^{\star}\,</math>を特定し,解
を求めることができる.

　企業がもつ投資機会は企業によって異なるため,市場の完備性を前提とするモデルに
疑間を投げかける向きもある.しかし,他社にまねできない独自の投資機会があること
は,そのキャッシュフローの複製可能性を必ずしも否定しない.すべての金融資産の価
値プロセスを複製するに十分な数の金融資産があれば,それらの適切な選択ないし組み
合わせで多くの実物資産やプロジェクトの価値も複製可能と考えるのはさほど乱暴な議
論ではない.また,多くの金融資産は何らかの意味で実物資産のキャッシュフローの一
部を切り取ったものであり,今日さらに多くの実物資産のキャッシュフローが証券化や
流動化の技術により金融資産として取引可能になってきている.

　もし,上記にもかかわらず価値の複製が不可能なプロジェクトがあり,評価に際して
リスク中立性を前提にできない場合でも,一般的な不確実性下での意思決定手法として
の動的計画法を用い,最適停止問題として解くことができる.Dixit and Pindyck(1994)
は,同じ式(1)をもととし,投資機会の価値<math>F\,</math>を,最適な投資時点<math>T\,</math>を選ぶことでその
ペイオフの現在価値を最大化する問題

<center>
<math>F(V_t) = \sup_{T}\mbox{E}_t [(V_T - I) e^{-\mu (T-t)}] , \ \ \ t \le T \ \ \ (3) \,</math>
</center>

として定式化している.ここでの<math>\mu\,</math>は,市場と関係ない任意のリスクプレミアムをもつ
この投資機会のリスク調整済み割引率であり,<math>\delta\,</math>はこの<math>\mu\,</math>と<math>V\,</math>の期待上昇率<math>\alpha\,</math>との差と
して定義される.<math>\mbox{E}[\mbox{d}F] = \mu F \mbox{d}t \,</math>であるから,この投資機会の価値は評価式

<center>
<math>\frac{1}{2} \sigma^2 V^2 F_{VV} + F_t + F_V V (\mu -\delta) - \mu F = 0 \,</math>
</center>

をみたす.これは<math>\mu\,</math>と<math>r\,</math>差を除けば式(2)と同じであり,同様に解くことができる.

▼　離散時間モデル

　投資プロジェクトのような,リアルオプションで典型的な原資産の価値は,細かくみ
てもせいぜい月単位程度でしか把握されないため,いわゆるBlack-Scholes式のような
連続時間モデルより,Copeland and Antikarov(2001)にみるような二項モデルのほうが使
い勝手がよく,うまく当てはまる例が多い.離散時間のもとで,時点<math>t\,</math>の初期値<math>V_t\,</math>から
1時点進むごとにプロジェクト価値が確率<math>\pi\,</math>でu倍に,確率<math>1-\pi\,</math>で<math>d = 1/u\,</math>倍になる格
子を描くと,時点<math>t + s\,</math>には<math>s +1 \,</math>個のノードができ,このうち上からたk番めのノードにあ
るプロジエクト価値を<math>V_{t+s,k}\,</math>とする.終端時点<math>t + T\,</math>のペイオフ
<math>F(V_{t +T , k}) = \mbox{max} \{ V_{t + T,k} - I , 0 \}\,</math>からリスク中立のもとで<math>V\,</math>が1時点後に増加する確率<math>\hat{\pi} = (1 + r -d - \delta)/(u -d)\,</math>を用
いて

<center>
<math>F(V_{t + s,k}) = \mbox{max} \Bigg\{ \frac{\hat{\pi} F(V_{t+s+1 ,k}) + (1-\hat{\pi}) F(V_{t+s+1 ,k+1})}{1+r} , V_{t +s} - I \Bigg\} \ \ \ (4)\,</math>
</center>

を時点<math>t +T - 1\,</math>から順次さかのぼっていくことで時点<math>t\,</math>での価値が得られる.

▼　不確実性のタイプ

　多くのリアルオプションは,通常の金融オプションと同様,原資産価値を確率的に上
下させる市場の不確実性に直面するが,そのほかにも,リアルオプションに関係する不
確実性の源には,技術,制度,競争などさまざまなものが考えられる.

　研究開発投資のように,多段階に分割され各段階での成否が次段階へ進めるかどうか
に影響する場合,成否の確率は市場とは無関係にその技術で決まり,将来の期待プロジェ
クト価値をその確率に応じて減らすがリスクプレミアムを増加させない.このような技
術上の不確実性は,一定時間内に失敗する確率をその期間に対応する配当率のような収
益率不足分と考えれば,原資産が配当を支払う場合と似た形でモデル化できる.

　制度の変更による投資環境の変化は連続的というよりしばしばランプサム的であり,
また市場における不確実性と直接にはリンクしていない.Dixit and Pindyck(1994)は,
投資優遇税制の導入による企業投資誘導効果の分析において,このような政策の不確実
性をPoissonジャンプとしてモデル化している.

　Trigeorgis(1996)やGrenadier(2000)にみるように,競争に起因する不確実性はより複
雑である.多数の企業が競合する産業において,他社の市場参入の平均的なペースが判
明している場合については,新規参入による自社キャッシュフローの減少を配当のよう
な原資産価値を一定割合で減らしていくパラメータとしてモデル化できる.複占や寡占
など企業数がより少なく,互いの行動の効果が相手方の意思決定に直接影響する場合に
は,こうした取り扱いは不可能であり,ゲーム理論を用いたモデル化が必要となる.

■　種類

　企業の有するさまざまな経営上の柔軟性が,リアルオプションとして評価されうる.
主なものを表に示した.

<table border>
<tr>
<td>種類</td>
<td>状況</td>
</tr>
<tr>
<td>延期オプション</td>
<td>投資プロジェクトの実施を好ましいタイミングがくるまで延期できる場合</td>
</tr>
<tr>
<td>撤退オプション</td>
<td>業況回復の見込みがないとき、設備を廃棄して操業中のプロジェクトから撤退できる場合</td>
</tr>
<tr>
<td>操業規模変更オプション</td>
<td>操業中のプロジェクトについて、好ましい状況下で規模を拡大,および/または好ましくない状況下で縮小できる場合</td>
</tr>
<tr>
<td>転換オプション</td>
<td>操業中のプロジェクトについて、市況の変化に応じ原料,製品などを転換できる場合</td>
</tr>
<tr>
<td>成長オプション</td>
<td>現在の投資が将来拡大する可能性のある市場への参入機会をもたらすオプションとなっている場合</td>
</tr>
<tr>
<td>逐次進行オプション</td>
<td>一つのプロジェクトを複数の段階的投資に分け,個々の段階を次の投資のための複合オプションとみる場合</td>
</tr>
</table>

　延期オプションは,前節で記したように,ある決まった投資プロジェクトの実施を縛
来に延期する柔軟性を意味する.投資コストに比べてプロジェクト価値が高いほど行使
した際のペイオフ（利得）も大きくなるので,コールオプションにあたる.

　一方,撤退オプションは,プロジェクト価値が低下したときにそれを売却して事業か
ら撤退する柔軟性を意味する.売却価格が行使価格にあたり,それに比べて原資産であ
るプロジェクト価値が低いほどペイオフが大きくなるので,プットオプションにあたる.

　操業規模変更オプションは,状況に応じて操業規模を拡大ないし縮小する柔軟性を意
味する.これはプロジェクトの一部についての延期(拡大の場合)ないし撤退(縮小の場
合)オプションとみることができる.

　転換オプションは,複数の燃料で稼動するボイラーや容易に組み替えられる生産ライン
のように,プロジェクトに必要な原料や作り出される製品などを,その市況に応じて
変更できる柔軟性を意味する.転換の選択肢の価値がそれぞれ確率的に変動する場合は,
複数の原資産を交換する交換オプションとしてモデル化される.

　成長オプションは,いま投資を行うことが将来拡大が期待される市場への参入機会を
もたらす場合にみられる.成長中の産業や技術進歩の著しい市場では,将来の投資機会
もまたその先の投資機会への参入の前提条件となっており,先行するオプションを行使
して後続のオプションを取得する複合オプションとみることができる.

　逐次進行オプションもまた複合オプションであるが,複数の投資機会を扱う成長オプ
ションと違い,一つのプロジェクトを複数の段階に分け,その各段階でプロジェクトを
進めるかどうかを選択する柔軟性をそれぞれリアルオプションとみる.

　実はこれらのすべてが,何らかの意思決定を将来に延期する延期オプションの一種で
あり,またTrigeorgis(1996)にみるにような,あるコスト負担のもとで操業モードを変吏
する「一般化されたリアルオプション」の特殊ケースにあたる.

■　応用分野

　リアルオプション理論が最もよく利用されるのは,投資プロジェクトの評価や意思決
定の分野であろう.不確実な環境下での大型投資プロジェクトの意思決定には,リアル
オプション分析が特に有効である.石油開発や新薬開発などのプロジェクトでは,投資
額が巨額に上るうえ失敗しても転用は困難で,初期段階の技術的な不確実性がきわめて
高く, しかもキャッシュフローを生むまでの期間が長いが,いったんうまくいけば追加
投資の機会が開かれることもある.このようなプロジェクトは複数の段階に分け,状況
をみて途中でとりやめたり拡張,縮小したりする柔軟性を保つことが重要であり,複数
のリアルオプションを含むプロジェクトとして評価することが適切である.こうした分
析では,オプション価値計算の基礎になるプロジェクト価値やその過程,関連するパラ
メータがあいまいにしかわからず,したがってリアルオプションの厳密な評価額が求め
られない場合も多いが,それでも合理的な意思決定手法に従った分析結果をもたらすた
め,NPV法などに比べてより適切な意思決定が可能となる.

　経営上の柔軟性を保有者にもたらす資産や契約なども, リアルオプションとして評価
される.土地については,開発後の不動産価値を原資産,開発コストを行使価格とした
コールオプションとして評価する研究がなされている.特許権,著作権などの知的財産
権,およびこれに類似したブランドなどの価値も,それ自体ではなくその後の投資から生
まれるキャッシュフローを価値の源泉としていることから,オプションとして評価する
ほうが適切な場合が多い.中途変更や解約,期限延長などの柔軟性をもつ契約の価値も,
同様にリアルオプションを含んだものとして評価できる.これらの柔軟性の精緻な評価
手法は,金融工学の発展とともに資産その他の証券化商品の開発など具体的な成果を生
み出しつつある.また米pl-x社では,簡便なパッケージを利用して特許権をオプション
として評価し,ITを使ってそれらを取引する市場をつくり出そうとしている.

　リアルオプションは金融オプションと違って法的な権利として確保されたものでない
場合が多いため,計算にとりかかる前にまずその対象にどのようなリアルオプション(柔
軟性)が存在するかを分析しなければならない.事業に内在するリアルオプションは,山
口(2002)にみるように,市場の状況や企業の能力などに対応して企業がとる経営戦略に
依存する.延期すればより高い利得を期待できる投資機会があっても競争相手がひしめ
いていれば延期はできないし,コアコンピタンスのない事業領域で将来の成長性に賭け
て多額の投資をすることは必ずしも賢明とはいえない.したがって,リアルオプション
は独立した資産としてではなく,企業戦略の文脈の中で論じられるべきである.
意思決定に際し企業とその経営者の利害が常に一致するとは限らず,しばしば企業(株
主)を依頼人,その経営者を代理人とした依頼人=代理人ゲームが成立する.この領城
ではMaland(1999)などを除いてリアルオプションを意識した研究がまだ少なく,今後
ストックオプションなど経営者報酬に関する諸研究と融合した発展が期待される.

----
'''参考文献'''

[1] 山口浩(2002), リアルオプションと企業経営, エコノミスト社.

[2] Copeland, T. and V.Antikarov (2001), Real Options: A Practitioner's Guide, TEXERE.

[3] Dixit,A.K. and R.S Pindyck (1994), Investment Under Uncertainty, Princeton University Press.

[4] Grenadier, S.R. ed. (2000), Game Choices: The Interaction of Real Options and Game Theory, Risk Books.

[5] Maeland,I. (1999), "Valuation of irreversible investments and agency problems," Working Paper presented at the 3rd Annual Real Option Conference.

[6] Sick,G. (1995), "Real Options," in Jarrow R.A., V.Maksimovic and W.T.Ziemba eds., Handbook in Operations Research and Management Science, Vol.9, Finance, chap.21, Elsevier.
（今井潤一訳(1997),実物オプション,in 今野浩, 古川浩一監訳, ファイナンスハンドブック, 朝倉書店）

[7] Trigeorgis,L. (1996), Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation, MIT Press.

[[Category:ファイナンス|りあるおぷしょん]]

《倒産確率の推計》

2007-08-23T19:34:25Z

Tetsuyatominaga:

'''【とうさんかくりつのすいけい (estimation of default probability)】'''

　倒産確率の推計の推定法には,大きく分けて,1)倒産・非倒産企業のデータを統計学や計量
経済学手法によって比較すること,2)信用リスクのある企業が発行する市場性のある債
券や株式などの価格からインプライドに推定する,という2つの方法がある.以下にそ
の代表的な方法を述べる.

■　統計的方法

▼　回帰モデルによる倒産確率推定

線形確率モデルの応用

　倒産企業の事後的な倒産確率を<math>1\,</math>として,非倒産企業のそれを<math>0\,</math>としよう.このよう
にして,<math>i\,</math>番目の企業の例産確率<math>(Y_i)\,</math>を縦軸に,そして倒産・非倒産に影響を与えると思
われるリスクフアクター,たとえば<math>i\,</math>番目の企業の負債比率<math>(X_i)\,</math>を横軸としてプロット
し,2変量線形回帰:<math>Y_i = a + b X_i + \epsilon_i\,</math>分析を試みる.ここで,<math>\epsilon_i\,</math>は
平均ゼロ,分散が不均一分散
する誤差項である.これから,<math>i\,</math>番目の企業の推定倒産確率<math>(\pi_i)\,</math>は,従属変数<math>(Y_i)\,</math>
の条条件付き期待値で示すことができる.なぜならば,

<center>
<math>\mbox{E}[Y_i] = \mbox{P}\{ Y_i =1 \} 1+ \mbox{P} \{ Y_i =0 \} 0 = \pi_i 1 + (1- \pi_i )0 =\pi_i\pi_i = \pi_i\,</math>
</center>

<center>
<math>\mbox{E} [Y_i] = a + b X_i\,</math>
</center>

　したがって,倒産確率の推定は,回帰係数の定数項<math>(a)\,</math>と傾き<math>(b)\,</math>の推定値が得られれ
ば容易に計算できる.倒産確率推定にあたって,複数のリスクファクターを用いる場合
は,多重線形回帰分析を用いればよい.

　この方法は理解が容易かつ簡便ではあるが,次のような問題がある.それらは,1)こ
のモデルでは誤差項が不均一分散をするため,得られた回帰係数の推定値<math>(\hat{a} , \hat{b})\,</math>の標準
誤差が過大推定になる,2)推定倒産確率<math>(\hat{\pi}_i = \mbox{E}[Y_i] = \hat{a} + \hat{b} X_i)\,</math>が<math>0\,</math>と<math>1\,</math>の間にある保証
がない.前者の問題は加重最小2乗法を適用することで解決できるが,後者の問題には,
次に述べるロジット/プロビットなどの「定性的従属変数回帰モデル」を考える必要が
ある.

定性的従属変数回帰モデルの応用

　この方法は,観測できない当該企業の信用リスク度合いを表す確率変数を考え,それ
が<math>K\,</math>個のリスクファクターの線形関数で説明できるとする.この信用リスク度合いと倒
産・非倒産を示す二項確率変数との間を結ぶ非線形のリンク関数を考える.リンク関数
としては,推定倒産確率が1と0の間にあり,かつ最尤推定を行うにあたって用いる尤
度関数の計算が容易かつその最大値が保証できるようなものがのぞましい.こうしたも
のには,ロジット関数,累積標準正規確率分布関数,Conpertz関数などがあるが,ロジッ
卜関数を用いる場合が多い.

▼　倒産「率」推定モデル

　経済全体あるいは特定の産業や地域で,一定の期間に生じた倒産件数と期首に存在し
ていた企業数との比率をもって倒産「率」とし,これをマクロあるいはセミマクロ倒産
確率の推定値と定義することができる.このマクロ倒産率を,マクロ経済やその産業に
特有の経済変数によって説明するモデルを考え,倒産率がどのように変化をするかを予
測することが可能になる.同様な考え方は,特定の金融機関の有する融資ポートフォリ
オにも適用可能であり,資産負債管理や適切な引当率の計算にあたって有効であろう.

　このような倒産率の推定モデルのもつ問題を修正し,かつ拡張するにあたっては次の
ような点が考えられる.第一に,倒産件数は倒産の規模を反映しない.零細企業と東証
１部上場企業の倒産を同列に論ずることはできないから,倒産率の計算にあたり,企業
の規模を表す,負債,売上げ,従業員数,総資産などで件数を加重することが必要にな
るかもしれない.第二に,通常の回帰モデルの適用は,誤差項が不均一分散をするので,
適切でない.この点を修正した加重最小2乗法の適用がのぞましい.これらの点を考慮
したロジット/プロビット分析による倒産確率推定についての詳しい説明は,森平(1999)
を参照のこと.

■　現物株式・債券価格評価式から得られるインプライド倒産確率

　信用リスクのある債券や株式は,その点を織り込んで市場価格が決定されているはずで
ある.つまり,市場価格は倒産確率と回収率を用いて計算された期待キャッシュフロー
をリスクを調整した割引率で現在価値に引き戻したものとなる.たとえば,残存期間<math>T=2\,</math>
年で,1年に1回のクーポンの支払いを仮定したときのこの債券の市場価格<math>V_0(T)\,</math>は,
各年の倒産確率を<math>p_t\,</math>,回収率を<math>\mu\,</math>,無リスク金利を<math>r_t\,</math>,
各年のキャッシュフロー（クーポ
ンあるいはクーポンと元本の支払い)を<math>C_t\,</math>,リスクプレミアムを<math>\alpha_t\,</math>とすれば,

<center>
<math>V_0 (2) = \frac{ \{ (p_1 \mu) + (1- p_1) \} C_1 }{(1 + r_1 + \alpha_1 )^1}
+ \frac{\{ (1-p_1) (pi_2 \mu) + (1-p_1)(1-p_2) \}}{(1 + r_2 + \alpha_2 )^2}\,</math>
</center>

となるはずである.格付けごとの倒産確率をだすためには,まずこの格付けクラスに属
する残存期間1年の割引債価格

<center>
<math>V_0(1) = \frac{\{ (p_1 \mu) + (1-p_1) \} C_1 }{(1 + r_1 + \alpha_1 )^1 }\,</math>
</center>

において,割引率,回収率の値がわかっていると仮定し,この式から,1年目の倒産確率
<math>p_1\,</math>を求める.この結果を上の2期間債券の評価式に代入し,1年後から2年後の間に
倒産する確率<math>p_2\,</math>を求めることができる.以後この手続きを繰り返すことによって,倒産
確率の期間構造<math>p_1 , p_2 , p_3 , \ldots\,</math>を推定することができる.

▼　オプションアプローチ

　上と同様なことを,派生証券価格決定モデルを用いて行うこともできる.株式市場で
株価が成立していることは,企業のバランスシートを時価で評価したときに,資産の時価
が負債の時価を上回っている,つまり債務超過状態に陥っていないことを意味している.
すわなち,現在の株式時価総額<math>(E_0)\,</math>は,将来時点<math>(T)\,</math>の不確実な企業資産価値を<math>(\tilde{A}_r)\,</math>とし,
負債価値を<math>D_T\,</math>とすれば,資産価値が負債価値を上回っている部分の期待現在価値,
つまり<math>E_0 = \mbox{PV}(\mbox{max}\{ \tilde{A}_r -D_T , 0 \} )\,</math>で表すことができる.ただし, ここで
<math>\mbox{PV}(\bullet)\,</math>は<math>(\bullet)\,</math>内の
現在価値を求めることを意味する.右辺は,企業資産を原証券とし,負債価値を行使
価格とするコールオプションのペイオフを示しているから,有名なBlack-Scholesのヨー
ロピアンコール式を用いて,

<center>
<math>E_0 = A_0 N (d_1^{\star}) - D_T e^{-r_{A^T}} N(d_2^{\star}) \ \ \ (1)\,</math>
</center>

ただし,ここで,

<center>
<math>d_1^{\star}\equiv \frac{\ln (A_0 / D_T) + (r_f + \sigma^2_A / 2) T}{\sigma_A \sqrt{T}}
, \ \ \ d_2^{\star} = d_1^{\star} - \sigma_A \sqrt{T} \ \ \ (2)\,</math>
</center>

と表すことができる.式(1)の右辺第2項の<math>N(d_2^{\star})\,</math>は,原資産(企業資産)の満期時点の価
値が行使価格(負債価値)を上回る(リスク中立世界のもとにおける)確率(インザマネー
の確率)を表している.逆に債務超過確率としての倒産確率は,<math> 1 - N(d_2^{\star})\,</math>で計算できる.
問題は,式(1),(2)において企業資産価値<math>(A_0)</math>,企業資産のポラティリティ<math>(\sigma_A^2)</math>を既知
のデータからどのようにして推計するかである.森平(2000)では,式(1)を用いて,現
在の株価と株式投資収益率のボラテイリテイとを入カデータとした繰り返し計算を用い
る方法を,森平(1997)では,現在時点では企業のパランスシートの資産側と負債側が時
価ベースで均衡していると仮定した簡便法によるパラメータ推定方法を提唱している.
いずれの方法においても,資産のポラテイリティと株式のポラテイリティとの間の関係
式,<math>\sigma_A = \sigma_E [(E_t / A_t) N (d_1 ^{\star})]\,</math>を用いる.

　ただし,こうしたモデルを実際に適用するにあたっては,種々の問題点がある.たと
えば, ①リスク中立評価,つまり倒産企業でも企業資産は金利で成長すると仮定できる
のか, ②将来時点<math>(T)\,</math>の決定, ③期限前倒産の可能性, ④債務超過が倒産を意味しない
ときの分析, ⑤金利の不確実性の影響, ⑥財務や格付けデータの利用可能性, といった
問題を解決しなければならない.しかし,上で説明した比較的単純な仮定に基づくモデ
ルは,倒産企業を予測するにあたり,より精緻なモデルと比較して比較的よい結果をも
たらしている.詳しくは,森平(1997; 2000a; 2000b)を参照のこと.

■　倒産確率の期間構造推定

　以上のいずれの方法によっても,推定できるのは将来の1時点の倒産確率,あるいは
その時点までの累積の倒産確率である.これに対し,将来キャッシュフローの期待値を
計算する場合,キャッシュフローの発生する期間に対応する倒産確率が必要になる.こ
のための方法が,統計的な生存時間分析(デュレーション,故障時間,イベントヒスト
リー分析など)の適用である.その方法としては, ①生命表の作成にみられるように過去
のデフォルト債券や倒産企業の生存時間履歴から直接求める方法, ②生存時間確率をい
くつかのリスクファクターによって説明するモデルを推定し,間接的に倒産確率の期間
構造を求めようとする方法, の2つがある.より詳しい点に関しては,森平(2000c)を
参照のこと.また最近は,債券やクレジットデリバティプの市場価格データから,倒産
確率の期間構造を推定しようとする試みもある.

----
'''参考文献'''

[1]　森平爽一郎(1997), "倒産確率推定のオブションアプローチ,"　証券アナリストジャーナル,10月.

[2]　森平爽一郎(1998), "倒産確率の推定と信用リスク管理:展望,"　ジャフィージャーナル, 日本金融証券計量工学会, 3月, 東洋経済新報社.

[3]　森平爽―郎(1999), "信用リスクの測定と管理(2):定性的従属変数モデルによる倒産確率の推定,"　証
券アナリストジャーナル, 10月.

[4]　森平爽一郎(2000), "信用リスクの測定と管理(3):オブションモデルによる倒産確率推定:基礎,"　証
券アナリストジャーナル, 38(1).

[5]　森平爽―郎(2000b), "信用リスクの測定と管理(4):オプシヨンモデルによる倒産確率推定:拡張と応用,"　証
券アナリストジャーナル, 38(3).

[6]　森平爽一郎(2000c), "信用リスクの測定と管理(5):倒産確率の期間構造推定,"　証
券アナリストジャーナル, 38(5).

[[category:ファイナンス|とうさんかくりつのすいけい]]

クープマン問題

2007-08-16T07:53:41Z

Tetsuyatominaga:

'''【くーぷまんもんだい (Koopman problem)】'''

B.O.Koopmanが1957年に最初に提起した探索努力の最適配分問題である. 探索空間全体を <math> X=(-\infty, \infty) \,</math>, 点<math> x \in X\,</math>に目標物が存在する確率密度を<math> p(x) \,</math> とする. 点<math> x\,</math>に投入する探索努力密度を<math> \varphi(x) \,</math>とするとき, ここに存在する目標物を確率<math> 1-\exp( - \varphi(x) ) \,</math>で探知できると仮定する. このとき, 探索努力総量<math> \Phi\,</math>の制約下で目標探知確率最大化の探索努力密度を求める次の問題のこと.

<center>
<math>
\max_{\{\varphi(x)\}} \int_X p(x) [ 1- \exp(- \varphi(x)) ] dx .
\,</math>
</center>

ただし, <math>\varphi(x) \geq 0, \displaystyle{\int_X \varphi(x) {\mbox{d}}x =\Phi .}\,</math>

ビジネスモデル

2007-08-14T18:29:50Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【びじねすもでる(business model) 】''' ビジネスモデルとは一般には企業において経済的利益をもたらす企業の組織機能の構造と...'

'''【びじねすもでる(business model) 】'''

ビジネスモデルとは一般には企業において経済的利益をもたらす
企業の組織機能の構造と運用メカニズムの仕組みを言う．
インターネットなど情報技術の発展に伴って一般化したビジネスモデル特許
という概念や経営などで使われる場合もこの意味が多い．
より広い解釈としては，
利益を生む仕組みにとらわれず，
企業のビジネス活動を支える情報や価値のフローであるビジネスプロセスを
支える組織機能アーキテクチャーを意味する言葉として使われる．

テキストマイニング

2007-08-14T18:28:34Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【てきすとまいにんぐ(text mining) 】''' 電子化された文書やWebページなどの膨大なテキストデータから，新たな情報を発掘しよ...'

'''【てきすとまいにんぐ(text mining) 】'''

電子化された文書やWebページなどの膨大なテキストデータから，
新たな情報を発掘しようとすることをいう．
構造化されたデータベースからのデータマイニングと異なり，
構造化されてなく非定型なテキストが対象となる．
また，情報検索が文書の発見を目指すのに対し，
テキストマイニングはパターンや相関規則（association rule）の発見，
文書分類（document classification），
トピック抽出といった新たな知識の発見を目的としている．

データマイニング

2007-08-14T18:27:46Z

Tetsuyatominaga:

'''【でーたまいにんぐ (data mining)】'''

データベースに蓄えられた多量のデータから，
機械学習（machine learning）や統計的手法（statistical method）を用いて
データの中に含まれる知識を発掘する手法を言う．
知識発見プロセスとしての，
データ獲得，選択，前処理，変換，知識発見アルゴリズムの適用，解釈，評価といった
一連のサイクルを指す．
獲得した知識に基づく意思決定が目的であり，
データ収集，発掘，評価といった人間と計算機の共同作業を伴う知識マネジメントとして捉えられる．

詳しくは[[《データマイニング》|基礎編：データマイニング]]を参照.

知識発見

2007-08-14T18:26:41Z

Tetsuyatominaga:

'''【ちしきはっけん (knowledge discovery)】'''

知識発見は，
不確かな人間の専門知識やデータに潜む知識を，
計算機で処理できる形に変換する知識獲得（knowledge acquisition）のプロセスのひとつである．
データの規則性を表す方程式や，
モデル式で示される科学的法則の発見，
また機械学習（machine learning）や統計処理によるデータに含まれる
ルールやパターンの発見などの操作手順の総称であり，
学習アルゴリズムやデータマイニングとの関連も深い．

ライフサイクルアセスメント

2007-08-14T18:25:35Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【らいふさいくるあせすめんと(life cycle assessment) 】''' 製品システムのライフサイクルを通した入力，出力，及び潜在的な環境...'

'''【らいふさいくるあせすめんと(life cycle assessment) 】'''

製品システムのライフサイクルを通した入力，出力，
及び潜在的な環境影響のまとめ並びに評価と定義され，
関連する国際規格ISO14040-43,48,49（JIS Q14040台などに対応）が作成されている．
LCAと表記される．
製品の原料採取から部品の生産，完成品の生産，使用段階，
廃棄に至る全プロセスで発生する環境負荷を定量的に把握しその影響を評価する手法として，
必要なデータベースやソフトウェア開発などが進められている．

リスクマネジメント

2007-08-14T18:24:41Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【りすくまねじめんと(risk management) 】''' リスクを管理するプロセス，体制，組織文化などを含む経営管理の要素．リスクは，...'

'''【りすくまねじめんと(risk management) 】'''

リスクを管理するプロセス，体制，組織文化などを含む経営管理の要素．
リスクは，財務では利得をもたらす場合も含むが，
一般には損失を生じる事象に関する概念．
ISO/IEC Guide73(用語規格)とJIS Q 2001(リスクマネジメント規格)があるが，
ISOでは2005年よりリスクマネジメント（のプロセス）規格作成を検討中．
経営では，リスクの把握，評価，対策，関係者への説明を含むマネジメントシステムの構築が必要になっている．

コンプライアンス

2007-08-14T18:23:52Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【こんぷらいあんす(compliance) 】''' コンプライアンスは， “従うこと”を意味する英語であるが，法令違反による信頼失墜の...'

'''【こんぷらいあんす(compliance) 】'''

コンプライアンスは，
“従うこと”を意味する英語であるが，
法令違反による信頼失墜の企業事例が続発した経緯から，
企業活動における法令違反を防ぐという意味として使われるようになり，
「法令遵守」と訳される．
また，
近年は「法令の文言のみならず，その背景にある精神まで遵守・実践していく活動」とする場合が多く，
従業員全員に企業倫理を教育し徹底させて業務プロセスに組込むことが，
企業価値向上の観点から必要であるとしている．

企業倫理

2007-08-14T18:23:12Z

Tetsuyatominaga: 新しいページ: ''''【きぎょうりんり(【英語訳必要】) 】''' 企業が，消費者や社会からの信頼に応えるために遵守するべき規範として，経営理念...'

'''【きぎょうりんり(【英語訳必要】) 】'''

企業が，
消費者や社会からの信頼に応えるために遵守するべき規範として，
経営理念や行動原理の柱の一つとして明文化されるものである．
企業は，
商品やサービスに関する知識や情報などに関して圧倒的に有利な立場にある事実を自覚し，
信頼に誠実に応えることが事業継続上必須であり，
法令遵守は当然のこととして，
その精神の実践を目途とした規範を企業倫理として策定し，
経営理念や行動原理の中に明記して，
社員全員に周知徹底することが，
重要である．