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2026-04-08T07:20:14Z
利用者の投稿記録
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《モンテカルロ法》
2010-08-02T08:07:34Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【もんてかるろほう (Monte Carlo method) 】'''<br />
<br />
システムの特性値などを推定するために, 適当なモデルと乱数を使って実験し, 大数の法則や中心極限定理などを利用して推測を行う方法のこと. システムに確率的な変動が内在する場合だけでなく, 確定的な問題を解くためにも使われる. <br />
<br />
[[モンテカルロ法]]の原理を簡単な例で示そう. 推定したい特性値を <math>\theta \,</math>とし, これは既知の分布関数 <math>F(y) \,</math>を持つ確率変数 <math>Y \,</math>の関数 <math>g(Y) \,</math>の平均値に等しいものとすれば, <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\theta = E[g(Y)]=\int_{-\infty}^\infty g(y)\mathrm{d}F(y) =<br />
\int_0^1 h(u) \mathrm{d}u, \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
と書ける. ただし, <math>h(u)=g(F^{-1}(u)) \,</math>である. そこで, 区間[0,1]上の一様乱数 <math>U_1, U_2, \cdots, U_N \,</math>を発生し, 算術平均<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
A_1(N) = \sum_{i=1}^N h(U_i)/N \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
<br />
を<math>\theta \,</math>の推定値とすることが考えられる. <math>A_1(N) \,</math>は<math>\theta \,</math>の不偏推定量であり, 分散は<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
V(A_1(N)) = \frac{\sigma^2}N, \ \ \ \ \ <br />
\sigma^2 = \int_0^1 h^2(x) \mathrm{d}x-\theta^2 \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
となる. したがって, 推定量 <math>A_1(N) \,</math>に含まれる誤差の標準偏差は <math>\sigma/\sqrt N \,</math>であり, 精度を十進で1桁上げるためには, サンプル数 <math>N \,</math>を100倍に増やさなければならない. このように, モンテカルロ法の収束は遅いので, これを改善するための方法が種々提案されており, [[分散減少法]]と総称されている. ただし, これらは <math>1/\sqrt N \,</math>というオーダーを改善するものではなく, 比例係数を小さくするための工夫である. <br />
<br />
［[[重点サンプリング]]］<br />
<br />
積分区間から一様にサンプルをとるのではなく, 重要と考えられる部分(<math>h(x) \,</math>の絶対値が大きい部分)により多くの重みをおく密度関数<math>w(x) \,</math>に従う乱数<math>X_1,\cdots, \ \ X_N \,</math>を発生し, <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
A_2(N) = \frac 1 N \sum_{i=1}^N \frac{h(X_i)}{w(X_i)} \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で<math>\theta \,</math>を推定する. <math>w(x) \,</math>が<math>\left| h(x) \right| \,</math>に比例するように選べれば分散は最小となるので, なるべくそれに近くなるように工夫する. <br />
<br />
<br />
［[[制御変量法]]］<br />
<br />
<math>\theta \,</math>に対するひとつの不偏推定量を<math>Y \,</math>とする. <math>Y \,</math>と相関があって平均値<math>\zeta \,</math>が既知の確率変数<math>Z \,</math>のことを, <math>Y \,</math>の制御変量という. <math>\alpha \,</math>を定数として<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
Y_\alpha = Y-\alpha(Z-\zeta) \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
と定義すれば, <math>Y_\alpha \,</math>も<math>\theta \,</math>の不偏推定量となり, その分散は<math>\alpha^* = \mathrm{Cov}(Y, Z)/V(Z) \,</math>のとき最小となり, 最小値は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
V(Y_{\alpha^*})=(1-\rho^2)V(Y) \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
である. ここで<math>\rho \,</math>は<math>Y \,</math>と<math>Z \,</math>の相関係数であるから, <math>Y \,</math>と相関の強い制御変量を選ぶほど効果的である. <br />
<br />
定積分の例では, <math>h(u) \,</math>に近い関数<math>h_0(u) \,</math>で, その積分の値<math>\zeta \,</math>が正確に計算できるものを選び, <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
Y_\alpha = h(u)-\alpha(h_0(u)-\zeta) \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
に対して単純な一様サンプリングを適用する. <br />
<br />
［[[負相関変量法]]］<br />
<br />
<math>\theta \,</math>の不偏推定量<math>Y \,</math>と平均値が同じで負の相関を持つ変量<math>Z \,</math>を利用して, <math>W=(Y+Z)/2 \,</math>を<math>\theta \,</math>の推定量とする. この分散は, <math>Y \,</math>に対して2回独立にサンプルをとって平均する場合の分散より小さくなる. 定積分の例では, もし<math>h(u) \,</math>が単調な関数ならば, <math>Y=h(U),\;\;\;Z=h(1-U) \,</math>とするとよい. <br />
<br />
［[[共通乱数法]]］<br />
<br />
二つの特性値<math>\theta,\phi \,</math>をそれぞれ確率変数<math>X,Y \,</math>に関するモンテカルロ実験によって推定し, 比較したいものとし, <math>\theta=E[X], \phi=E[Y] \,</math>とする. <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2 \mathrm{Cov}(X,Y) \, <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
であるから, <math>{\mathrm{Cov}}(X,Y) \,</math>が大きいほど推定の精度が良くなる. <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>の分布関数をそれぞれ<math>F,G \,</math>とし, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>を逆関数法で作るものとする. このとき, <math>X \,</math>と<math>Y \,</math>用に別々の一様乱数列を使う代りに, ひとつの乱数列<math>\{U\} \,</math>を使って, <math>X=F^{-1}(U), Y=G^{-1}(U) \,</math>とすれば, <math>\mathrm{Cov}(X,Y) \,</math>が最大となる. これが共通乱数法の原理である. <br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] 伏見正則, 『確率的方法とシミュレーション』(岩波講座 応用数学), 岩波書店, 1994. <br />
<br />
[2] G. S. Fishman, ''Monte Carlo-Concepts, Algorithms, and Applications'', Springer, 1996.<br />
<br />
[3] A. M. Law and W. D. Kelton, ''Simulation Modeling and Analysis, 2nd. ed.'', McGraw-Hill, 1991.<br />
<br />
[[category:シミュレーション|もんてかるろほう]]</div>
Sakasegawa
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待ち行列モデル
2009-06-21T03:11:32Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ．単一の待ち行列モデルは，客の到着，窓口における客のサービス，サービスを待つ客が成す待ち行列，などから構成され，平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される．近年，待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され，コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている．<br />
<br />
応用分野については，次の各項目を参照のこと：待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]]，待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]]，待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]．<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
=== 混雑現象 ===<br />
われわれの身の回りには，[[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]．たとえば，通勤電車，繁華街，行楽地，イベント会場などにおける混雑，高速道路や幹線道路の渋滞， スーパーのレジや銀行の ATM における行列，病院での待ち，携帯電話の不接続，などなど．また，人間が待たされるわけではないが，商品の在庫，仕事の滞貨，注文残，考えようによっては洪水などというのもある．コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし，情報通信ネットワークでも，情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる．<br />
<br />
このような混雑現象は，需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており，次のようにいろいろな方法で処理されている．<br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は，火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している)．<br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む)．<br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる)．<br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる)．<br />
<br />
=== 混雑現象のためのモデル ===<br />
a．の追随型とb．の品質低下型は，混雑に対する対応がリアルタイムであるため，需要の変動パターンがわかれば，混雑の程度の解析は比較的容易である．これに対してc．のバッファ型とd．の拒絶型，とくにc. は，システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり，モデルによる検討が必要になることが多い．そのモデルも，需要の変動パターンによって使い分けが必要である．<br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である．むろんそれらが複合していることもある．<br />
<br />
=== 流体近似モデル ===<br />
i) のラッシュアワー型の解析は，[[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い．これは水道の水のように，サービス要求がある率でバッファに入ってきて，ある率で流れ出ていく，と考えるものである (図1)．このとき，時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>，出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると，時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は，微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される．ただしこの微分方程式を使わなくても，時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ，それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
<br />
=== 待ち行列モデル ===<br />
サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は，[[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model)，[[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1，2]．ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは，図2のように，あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し， そこである種の[[サービス]] (service) をうけ，系外に立ち去る，という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである．サービスステーションは，通常，サービスが行われる[[窓口]] (channel) と，到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る．この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす．待つことのできる客の数に制限がある場合，待合室という概念を導入することもある．このとき待合室の容量が，待つことのできる客の数の上限となる．<br />
<br />
客，窓口，待合室などは，モデルによってさまざまなものに対応する．ある種の生産システムでは，客は製品や部品であり，窓口は加工機，検査機，組立台など，そして待合室は仮置き台などである．コンピュータの性能評価では，客はジョブであり，窓口は CPU や DISK，待合室は各所のメモリである．また情報通信ネットワークの性能評価では，セルやパケットといった情報の塊が客であり，各種のスイッチ類やチャネルが窓口，バッファメモリが待合室として扱われる．<br />
<br />
=== 性能評価指標，混雑指標 ===<br />
図2のような標準的なモデルでは，[[利用率]] (traffic intensity)，<math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである．これは<br />
<br />
<center><br />
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
</center><br />
<br />
<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される．たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し，<math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは，<math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である．多くの場合，<math>\rho<1\, </math> であれば，システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい，確率論的な解析が可能となる．<br />
<br />
一般に，<math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく，1に近づくにつれて混雑がひどくなる．このような混雑を評価する指標としては，[[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間)，[[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間)，[[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数)，[[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散，または分布などが用いられる．<br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で，システムに入れる客の数に制限がある場合，[[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である．これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である．ここで "呼 (こ，よび)" という耳慣れない言葉が使われているが，これは電話をかけるときの接続要求のことで，待ち行列理論がデンマークの電話技術者[[アーラン, アグナー・K|アーラン]](A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来，電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]．<br />
<br />
<br />
=== 読書案内 ===<br />
近年，待ち行列理論の分野では，情報通信技術の発達などと歩調を合わせて，より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている．待ち行列理論関係の参考書は，日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会のホームページに「待ち行列関係書籍（和書）」としてまとめられている．[7] 中でも [5] は混雑現象全般にわたって解説されているので，初学者には参考になるだろう．[6] は初学者から専門の研究者まで幅広い読者層を想定して，待ち行列理論の基本的な項目が解説されている．英語の書籍の紹介は [3,4] にある．<br />
<br />
<br />
----<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 森村英典，大前義次，『応用待ち行列理論』，日科技連出版社，1975．ISBN 481715313X<br />
<br />
[2] 高橋幸雄，「入門講座，やさしい待ち行列(1)～(4)」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''40''' (1995)，649-654，716-721，'''41''' (1996)，35-40，100-105．https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_01_035.pdf<br />
<br />
[3] 高橋敬隆，高橋幸雄，牧本直樹，「入門講座，やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''41''' (1996)，106-107．https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_02_106.pdf<br />
<br />
[4] 高橋幸雄，「講座，待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''43''' (1998)，495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄，森村英典，『混雑と待ち』，朝倉書店，2001．ISBN: 425427517X<br />
<br />
[6] 宮沢 政清，『待ち行列の数理とその応用』，牧野書店，2006．ISBN-13: 978-4434076978<br />
<br />
[7] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会<br />
https://orsj.org/queue/<br />
[[category:確率と確率過程|まちぎょうれつ]]<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%83%AA%E3%83%88%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&diff=11188
リトルの公式
2009-05-28T09:32:37Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【りとるのこうしき (Little's formula)】'''<br />
<br />
待ち行列における関係式の中で, 最も基本的なものひとつで，任意の待ち行列システム, あるいは待ち行列システムの任意の部分システムに対して, 平衡状態における平均システム内客数 <math>L\, </math> と平衡状態における平均系内滞在時間 <math>W\, </math> とを関係づけるものである.<br />
<math>\lambda\,</math>をシステムへの到着率, <math>L\,</math>を平衡状態における平均システム内客数(時間平均), <math>W\,</math>を平衡状態における平均システム内滞在時間(客平均)としたとき，<br />
<math>W\, </math> か <math>L\, </math> のどちらか一方が存在するならば, 他方も存在し, <br />
<br />
<center><br />
<math>L = \lambda W\,</math>, <math>(1)\, </math> <br />
</center><br />
<br />
となる．この等式をリトルの公式という． <br />
<br />
<br />
この公式はシステムが平衡状態にあることを除けば, 客の到着, サービス時間, サーバ数, サービス規律等に特に何の仮定もおいていない. システムが単一ノードである必要もない. たとえばシステムとして単一窓口待ち行列の窓口部分だけを考えれば, <br />
<br />
<center><br />
<math>\mbox{P}\, </math>(窓口が塞がっている確率)<math>=\lambda \mbox{E}(S)=\rho\, </math> <br />
</center><br />
<br />
が得られる. ここで <math>\mbox{E}(S)\, </math> は平均サービス時間である．<br />
<br />
また, システムとして窓口を除いた待ち行列の部分を考えれば, (1) は平均待ち客数 <math>L_q\, </math> と平均待ち時間 <math>W_q\, </math> に対して<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
L_q = \lambda W_q \, <br />
\, </math>, <math>(2)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
となる. 通常, <math>W=W_q+\mbox{E}(S)\, </math>であり, システムへの到着率<math>\lambda\, </math>は既知であるので, (1) と (2) から, <math>L\, </math>, <math>L_q\, </math>, <math>W\, </math>, <math>W_q\, </math>の4つの特性量のうちひとつがわかれば, 他のものはこれらの関係式から求められる. これは待ち行列モデルを解析するときに大変便利である. <br />
<br />
リトルの公式は待ち行列解析のいろいろな場面で頻繁に出現し, たとえば[[ジャクソンネットワーク|閉ジャクソンネットワーク]]を解析するときに用いられる[[平均値解析法]]は, このリトルの公式を様々な形で利用することによって導かれる.<br />
<br />
[[category:待ち行列|りとるのこうしき]]<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|りとるのこうしき]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_M/M/c&diff=11187
待ち行列モデル M/M/c
2009-05-28T08:23:34Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるえむえむしー (queueing model M/M/<math>c</math>)】'''<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
ポアソン到着, 指数サービス, 窓口が <math>c\,</math> 個の待ち行列モデル. 最も基本的な待ち行列モデルの1つ. 待ち行列モデルを指して "マルコフモデル" というときは, このモデルを指していることが多い.<br />
=== 詳説 ===<br />
[[待ち行列モデル M/M/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>)は, 客の到着がパラメータ <math>\lambda\, </math> のポアソン過程に従い, サービス時間が平均 <math>1/\mu\, </math> の指数分布に従う, 窓口 <math>c\, </math> 個の最も基本的な待ち行列モデルである. 待ち行列理論が[[アーラン, アグナー・K|A. K. Erlang]]によって20世紀初頭に誕生したときに, 真っ先に研究の対象となったのがこのタイプのモデルであった. それ以来, モデルの簡潔さ, 公式のわかりやすさから, 代表的な待ち行列モデルとして, 常に待ち行列理論のよりどころとなり, また多方面で実際問題の解決に応用されてきている. 近年研究が進められている[[待ち行列ネットワーク]]でも, その中心となっているのはこの M/M/<math>c\, </math> モデルをネットワーク状につないだ[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン型ネットワーク]]とそれを拡張した[[BCMPネットワーク|BCMP型ネットワーク]]であることからも, その重要性が理解できよう. <br />
<br />
<br />
'''ポアソン到着と指数サービス''' M/M/<math>c\, </math> モデルに関連して, いくつかの用語が慣用的に用いられている. 客の到着が[[ポアソン過程]]にしたがうとき, つまり客の到着間隔が独立で同一の指数分布に従うとき, その到着の仕方を[[ポアソン到着]] (Poisson arrival) という. この場合, 到着過程のパラメータを <math>\lambda\, </math> とすると, 長さ <math>t\, </math> の時間に到着する人数は平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う. この <math>\lambda\, </math> のことを[[到着率]] (arrival rate) と呼ぶ. また, サービス時間の分布が指数分布に従うとき, サービスの仕方は[[指数サービス]] (exponential service) であるという. このとき平均サービス時間の逆数 <math>\mu\, </math> のことを[[サービス率]] (service rate) と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
'''マルコフ性''' M/M/<math>c\, </math> モデルが容易に解析できるのは, 指数分布がつぎの"無記憶性"をもつことによる. 確率変数 <math>X\, </math> がパラメータ <math>\lambda\, </math> の指数分布に従っているものとしよう. すると, 任意の <math>s, t>0\, </math> に対して<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mbox{P}\{ X>s+t\mid X>s \} = \mathrm{e}^{-\lambda t} = \mbox{P}\{ X>t \}\, <br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
が成り立つ. これは, 現在の状況 (<math>X>s\, </math> ということ) がわかると, 今後の確率的挙動は過去の履歴とは無関係, ということであり, この性質を[[無記憶性 (指数分布の)|無記憶性]] (memoryless property) または[[マルコフ性]] (Markov property) と呼ぶ. M/M/<math>c\, </math> などの[[ケンドールの記号]]において, ポアソン到着と指数サービスを M で表現するのは, このマルコフ性に由来する. <br />
<br />
M/M/<math>c\, </math> モデルでは, ポアソン到着と指数サービスの仮定から, 系内人数を状態とする[[マルコフ連鎖]]を導くことができる. このマルコフ連鎖は[[出生死滅過程]]と呼ばれる特殊な型をしており, その解析は容易である. マルコフ連鎖の一般論から, 適当な条件の下でこの出生死滅過程は時間の経過とともに[[平衡状態]]に近づく. そのため M/M/<math>c\, </math> モデルでは, 平衡状態における状態確率 (これを[[定常状態確率]] (stationary state probability) とか極限状態確率と呼ぶ) を解析的に求め, それらから[[待ち確率]], [[平均待ち時間]], [[待ち時間分布]]}, 平均[[系内人数]], 系内人数分布などの混雑の尺度を計算して, 実際のシステムの性能評価に役立てている. <br />
<br />
<br />
'''M/M/1 モデル''' [[待ち行列モデル M/M/1]] (queueing model M/M/1) は, <math>c=1\, </math> の場合で, ポアソン到着, 指数サービス, 単一窓口をもつ待ち行列として定義される. 定常状態確率が存在するための必要十分条件は, <math>\rho = \lambda/\mu<1\, </math> を満たすことである. そのときシステム内に<math>k\, </math>人の客がいる定常状態確率は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_k=(1-\rho)\rho^k, \qquad k=0, 1, 2, \cdots \,<br />
\, </math> <math>(1)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, 幾何分布に従う. 窓口がサービス中である確率は <math>1-p_0=\rho\, </math> であるので, <math>\rho\, </math> を[[利用率]]と呼ぶ. これは到着した客が待たされる確率, すなわち[[待ち確率]], でもある ([[PASTA]]参照). (1) 式より, 平均系内人数は <math>L=\rho/(1-\rho)\, </math> であり, 平均待ち行列長は <math>L_q=\rho^2/(1-\rho)\, </math> である. <br />
<br />
待ち時間分布は <math>t=0\, </math> に <math>1-\rho\, </math> のマスをもち, <math>t>0\, </math> では指数分布型の密度をもつ<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
F(t)=\mbox{P}\{ \boldsymbol{W_q} \leq t \}<br />
=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & t<0 \\<br />
1-\rho \mathrm{e}^{-(\mu-\lambda)t}, \qquad & t \geq 0<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(2)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. この分布関数から, または[[リトルの公式]]から, 平均待ち時間は <math>W_q=L_q/\lambda=\rho/\mu(1-\rho)\, </math>, 平均系内滞在時間は <math>W=L/\lambda=1/\mu (1-\rho)\, </math> であることがわかる. <br />
<br />
<br />
'''M/M/<math>\boldsymbol {c}\, </math> モデル''' [[待ち行列モデル M/M/c]] は, ポアソン到着で <math>c\, </math>個 (通常は複数) の指数サービス窓口をもつモデルである. これも[[出生死滅過程]]を用いて解析できる. 客の到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 平衡状態が存在するための条件は <math>\rho=\lambda/c \mu < 1\, </math> である. 系内に <math>c\, </math> 人以上の客がいるときはすべての窓口がサービス中なので, 短い時間 <math>dt\, </math> の間にいずれかのサービスが終了する確率は <math>c \mu \, dt\, </math> であり, 系内にいる客の数が <math>k\, </math> 人 (<math>k<c\, </math>) のときは, <math>k\, </math> 個の窓口でサービスを行っているだけなので, この確率は <math>k\mu \, dt\, </math> である. そこで<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mu_k=\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
k\mu, & \qquad k=0, 1, \cdots, c-1 \\<br />
c\mu, & \qquad k=c, c+1, \cdots<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(3)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
とおけば, <math>dt\, </math> の間に一人の客が到着する確率が <math>\lambda \, dt\, </math> であることから, 平衡状態において <math>k\, </math> 人の客がいる確率は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_k=p_0 \prod_{i=1}^k \frac{\lambda}{\mu_k}, \qquad k=1, 2, \cdots<br />
\, </math> <math>(4)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. ここで <math>p_0\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が 1 となるよう<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{c^k \rho^k}{k!}<br />
+\frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)}\right]^{-1}<br />
\, </math> <math>(5)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. 安定性の条件 <math>\rho<1\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が有限の値に収束するための条件となっていることに注意しよう. この <math>\rho\, </math> は各窓口がサービス中の時間の割合になっており, やはり利用率と呼ばれる. すべての窓口がふさがっている確率は, <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\Pi=\sum_{k=c}^\infty p_k = \frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)} p_0 <br />
\, </math> <math>(6)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
であり, PASTA よりこれが待ち確率でもある. 待ち時間分布は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mbox{P}\{ \boldsymbol{W_q} \leq t\} = \left\{ \begin{array}{ll}<br />
0 , & t <0 \\<br />
1 - \Pi \, \mathrm{e}^{-c \mu(1-\rho)t}, \quad & t \geq 0<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(7)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, 平均待ち時間は <math>W_q= \Pi / c \mu (1 - \rho)\, </math> である.<br />
<br />
<br />
'''M/M/<math>\boldsymbol {c/c}\, </math>モデル''' [[待ち行列モデル M/M/c/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>/<math>c\, </math>) は, ポアソン到着で, <math>c\, </math>個の指数サービス窓口があるが, 待合室が無く, 客が待つことができない待ち行列である. 客が到着したときに, 空いた窓口がある場合には直ちにサービスを受けるが, すべての窓口が塞がっている場合にはサービスを受けることなく立ち去る. このようにサービスを受けずに立ち去る客がある待ち行列モデルは損失系と呼ばれ, 電話回線などのトラフィック理論でしばしば利用される. このときサービスを受けずに立ち去る客の割合を[[呼損率]] (loss probability) という. <br />
<br />
到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 定常状態確率は (3) を用いて (4) で与えられる. ただし, 今度の場合, とりうる状態は <math>k=0, 1, 2, \ldots , c\, </math> だけであるので, <math>p_0\, </math> は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_0 = \left[\, \sum_{k=0}^{c}<br />
\frac{1}{k!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k \right]^{-1}<br />
\, </math> <math>(8)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, たとえ <math>\rho=\lambda/c \mu<1\, </math> でなくてもシステムは安定的である. PASTA の性質により, 呼損率は系内にちょうど <math>c\, </math> 人の客がいる確率<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_c=\frac{1}{c!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c p_0<br />
\, </math> <math>(9)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
と等しい. この式は[[アーランの損失式]] (Erlang's loss formula) と呼ばれ, 損失系の性能評価で最も重要な特性量のひとつである. なお, この式は M/G/<math>c\, </math>/<math>c\, </math> モデル, すなわち一般サービスのときでも成り立つことが知られている. <br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1 Theory,'' Wiley, New York, 1975. <br />
<br />
[2] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連, 1975. <br />
<br />
[3] 尾崎俊治, 『確率モデル入門』, 朝倉書店, 1996. <br />
<br />
[4] S. M. Ross, ''Stocastic Processes,'' Wiley, New York, 1980.<br />
<br />
[[category:確率と確率過程|まちぎょうれつもでるえむえむしー]]<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつもでるえむえむしー]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_M/M/c&diff=11186
待ち行列モデル M/M/c
2009-05-28T08:20:27Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるえむえむしー (queueing model M/M/<math>c</math>)】'''<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
ポアソン到着, 指数サービス, 窓口が <math>c\,</math> 個の待ち行列モデル. 最も基本的な待ち行列モデルの1つ. 待ち行列モデルを指して "マルコフモデル" というときは, このモデルを指していることが多い.<br />
=== 詳説 ===<br />
[[待ち行列モデル M/M/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>)は, 客の到着がパラメータ <math>\lambda\, </math> のポアソン過程に従い, サービス時間が平均 <math>1/\mu\, </math> の指数分布に従う, 窓口 <math>c\, </math> 個の最も基本的な待ち行列モデルである. 待ち行列理論が[[アーラン, アグナー・K|A. K. Erlang]]によって20世紀初頭に誕生したときに, 真っ先に研究の対象となったのがこのタイプのモデルであった. それ以来, モデルの簡潔さ, 公式のわかりやすさから, 代表的な待ち行列モデルとして, 常に待ち行列理論のよりどころとなり, また多方面で実際問題の解決に応用されてきている. 近年研究が進められている[[待ち行列ネットワーク]]でも, その中心となっているのはこの M/M/<math>c\, </math> モデルをネットワーク状につないだ[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン型ネットワーク]]とそれを拡張した[[BCMPネットワーク|BCMP型ネットワーク]]であることからも, その重要性が理解できよう. <br />
<br />
<br />
'''ポアソン到着と指数サービス''' M/M/<math>c\, </math> モデルに関連して, いくつかの用語が慣用的に用いられている. 客の到着が[[ポアソン過程]]にしたがうとき, つまり客の到着間隔が独立で同一の指数分布に従うとき, その到着の仕方を[[ポアソン到着]] (Poisson arrival) という. この場合, 到着過程のパラメータを <math>\lambda\, </math> とすると, 長さ <math>t\, </math> の時間に到着する人数は平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う. この <math>\lambda\, </math> のことを[[到着率]] (arrival rate) と呼ぶ. また, サービス時間の分布が指数分布に従うとき, サービスの仕方は[[指数サービス]] (exponential service) であるという. このとき平均サービス時間の逆数 <math>\mu\, </math> のことを[[サービス率]] (service rate) と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
'''マルコフ性''' M/M/<math>c\, </math> モデルが容易に解析できるのは, 指数分布がつぎの"無記憶性"をもつことによる. 確率変数 <math>X\, </math> がパラメータ <math>\lambda\, </math> の指数分布に従っているものとしよう. すると, 任意の <math>s, t>0\, </math> に対して<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mbox{P}\{ X>s+t\mid X>s \} = \mathrm{e}^{-\lambda t} = \mbox{P}\{ X>t \}\, <br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
が成り立つ. これは, 現在の状況 (<math>X>s\, </math> ということ) がわかると, 今後の確率的挙動は過去の履歴とは無関係, ということであり, この性質を[[無記憶性 (指数分布の)|無記憶性]] (memoryless property) または[[マルコフ性]] (Markov property) と呼ぶ. M/M/<math>c\, </math> などの[[ケンドールの記号]]において, ポアソン到着と指数サービスを M で表現するのは, このマルコフ性に由来する. <br />
<br />
M/M/<math>c\, </math> モデルでは, ポアソン到着と指数サービスの仮定から, 系内人数を状態とする[[マルコフ連鎖]]を導くことができる. このマルコフ連鎖は[[出生死滅過程]]と呼ばれる特殊な型をしており, その解析は容易である. マルコフ連鎖の一般論から, 適当な条件の下でこの出生死滅過程は時間の経過とともに[[平衡状態]]に近づく. そのため M/M/<math>c\, </math> モデルでは, 平衡状態における状態確率 (これを[[定常状態確率]] (stationary state probability) とか極限状態確率と呼ぶ) を解析的に求め, それらから[[待ち確率]], [[平均待ち時間]], [[待ち時間分布]]}, 平均[[系内人数]], 系内人数分布などの混雑の尺度を計算して, 実際のシステムの性能評価に役立てている. <br />
<br />
<br />
'''M/M/1 モデル''' [[待ち行列モデル M/M/1]] (queueing model M/M/1) は, <math>c=1\, </math> の場合で, ポアソン到着, 指数サービス, 単一窓口をもつ待ち行列として定義される. 定常状態確率が存在するための必要十分条件は, <math>\rho = \lambda/\mu<1\, </math> を満たすことである. そのときシステム内に<math>k\, </math>人の客がいる定常状態確率は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_k=(1-\rho)\rho^k, \qquad k=0, 1, 2, \cdots \,<br />
\, </math> <math>(1)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, 幾何分布に従う. 窓口がサービス中である確率は <math>1-p_0=\rho\, </math> であるので, <math>\rho\, </math> を[[利用率]]と呼ぶ. これは到着した客が待たされる確率, すなわち[[待ち確率]], でもある ([[PASTA]]参照). (1) 式より, 平均系内人数は <math>L=\rho/(1-\rho)\, </math> であり, 平均待ち行列長は <math>L_q=\rho^2/(1-\rho)\, </math> である. <br />
<br />
待ち時間分布は <math>t=0\, </math> に <math>1-\rho\, </math> のマスをもち, <math>t>0\, </math> では指数分布型の密度をもつ<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
F(t)=\mbox{P}\{ \boldsymbol{W_q} \leq t \}<br />
=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & t<0 \\<br />
1-\rho \mathrm{e}^{-(\mu-\lambda)t}, \qquad & t \geq 0<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(2)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. この分布関数から, または[[リトルの公式]]から, 平均待ち時間は <math>W_q=L_q/\lambda=\rho/\mu(1-\rho)\, </math>, 平均系内滞在時間は <math>W=L/\lambda=1/\mu (1-\rho)\, </math> であることがわかる. <br />
<br />
<br />
'''M/M/<math>\boldsymbol {c}\, </math> モデル''' [[待ち行列モデル M/M/c]] は, ポアソン到着で <math>c\, </math>個 (通常は複数) の指数サービス窓口をもつモデルである. これも[[出生死滅過程]]を用いて解析できる. 客の到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 平衡状態が存在するための条件は <math>\rho=\lambda/c \mu < 1\, </math> である. 系内に <math>c\, </math> 人以上の客がいるときはすべての窓口がサービス中なので, 短い時間 <math>dt\, </math> の間にいずれかのサービスが終了する確率は <math>c \mu \, dt\, </math> であり, 系内にいる客の数が <math>k\, </math> 人 (<math>k<c\, </math>) のときは, <math>k\, </math> 個の窓口でサービスを行っているだけなので, この確率は <math>k\mu \, dt\, </math> である. そこで<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mu_k=\left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
k\mu, & \qquad k=0, 1, \cdots, c-1 \\<br />
c\mu, & \qquad k=c, c+1, \cdots<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(3)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
とおけば, <math>dt\, </math> の間に一人の客が到着する確率が <math>\lambda \, dt\, </math> であることから, 平衡状態において <math>k\, </math> 人の客がいる確率は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_k=p_0 \prod_{i=1}^k \frac{\lambda}{\mu_k}, \qquad k=1, 2, \cdots<br />
\, </math> <math>(4)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. ここで <math>p_0\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が 1 となるよう<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{c^k \rho^k}{k!}<br />
+\frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)}\right]^{-1}<br />
\, </math> <math>(5)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. 安定性の条件 <math>\rho<1\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が有限の値に収束するための条件となっていることに注意しよう. この <math>\rho\, </math> は各窓口がサービス中の時間の割合になっており, やはり利用率と呼ばれる. すべての窓口がふさがっている確率は, <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\Pi=\sum_{k=c}^\infty p_k = \frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)} p_0 <br />
\, </math> <math>(6)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
であり, PASTA よりこれが待ち確率でもある. 待ち時間分布は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\mbox{P}\{ \boldsymbol{W} \leq t\} = \left\{ \begin{array}{ll}<br />
0 , & t <0 \\<br />
1 - \Pi \, \mathrm{e}^{-c \mu(1-\rho)t}, \quad & t \geq 0<br />
\end{array} \right. <br />
\, </math> <math>(7)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, 平均待ち時間は <math>W_q= \Pi / c \mu (1 - \rho)\, </math> である.<br />
<br />
<br />
'''M/M/<math>\boldsymbol {c/c}\, </math>モデル''' [[待ち行列モデル M/M/c/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>/<math>c\, </math>) は, ポアソン到着で, <math>c\, </math>個の指数サービス窓口があるが, 待合室が無く, 客が待つことができない待ち行列である. 客が到着したときに, 空いた窓口がある場合には直ちにサービスを受けるが, すべての窓口が塞がっている場合にはサービスを受けることなく立ち去る. このようにサービスを受けずに立ち去る客がある待ち行列モデルは損失系と呼ばれ, 電話回線などのトラフィック理論でしばしば利用される. このときサービスを受けずに立ち去る客の割合を[[呼損率]] (loss probability) という. <br />
<br />
到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 定常状態確率は (3) を用いて (4) で与えられる. ただし, 今度の場合, とりうる状態は <math>k=0, 1, 2, \ldots , c\, </math> だけであるので, <math>p_0\, </math> は<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_0 = \left[\, \sum_{k=0}^{c}<br />
\frac{1}{k!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k \right]^{-1}<br />
\, </math> <math>(8)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられ, たとえ <math>\rho=\lambda/c \mu<1\, </math> でなくてもシステムは安定的である. PASTA の性質により, 呼損率は系内にちょうど <math>c\, </math> 人の客がいる確率<br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_c=\frac{1}{c!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c p_0<br />
\, </math> <math>(9)\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
と等しい. この式は[[アーランの損失式]] (Erlang's loss formula) と呼ばれ, 損失系の性能評価で最も重要な特性量のひとつである. なお, この式は M/G/<math>c\, </math>/<math>c\, </math> モデル, すなわち一般サービスのときでも成り立つことが知られている. <br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1 Theory,'' Wiley, New York, 1975. <br />
<br />
[2] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連, 1975. <br />
<br />
[3] 尾崎俊治, 『確率モデル入門』, 朝倉書店, 1996. <br />
<br />
[4] S. M. Ross, ''Stocastic Processes,'' Wiley, New York, 1980.<br />
<br />
[[category:確率と確率過程|まちぎょうれつもでるえむえむしー]]<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつもでるえむえむしー]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=Portal:%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97&diff=11185
Portal:待ち行列
2009-05-27T14:15:42Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>このページは、[[待ち行列]]分野のポータルです。待ち行列に関連した項目を探しやすい形で列挙し、利用や発展をうながすことを目的としています。<br />
<br />
（'''注意：'''このページは[[OR事典編集委員会]]において試験的に作成されたものであり、情報の正確さは保証されません。）<br />
<br />
==主要項目==<br />
{| <br />
|- valign="top"<br />
|width="50%" style="padding-right:0.5em;"|<br />
===基礎===<br />
待ち行列とはどのようなものかを理解する助けになるページ群です。<br />
<br />
*[[待ち行列モデル]]<br />
*[[《待ち行列モデルの標準形》]]<br />
*[[ケンドールの記号]]<br />
*[[《待ち行列の各種モデル》]]<br />
**[[待ち行列モデル M/M/1]]<br />
**[[有限待合室モデル]]<br />
***[[待ち行列モデル M/M/c/c]]<br />
**[[待ち行列モデル M/M/c]]<br />
**[[待ち行列モデル M/G/1]]<br />
**[[待ち行列のバケーションサーバモデル]]<br />
**[[ポーリングモデル]]<br />
**[[集団待ち行列]]<br />
**[[再呼モデル]]<br />
**[[優先権待ち行列]]<br />
*[[待ち行列ネットワーク]]<br />
**[[積形式ネットワーク]]<br />
<br />
<br />
|width="50%" style="padding-left:0.5em;"|<br />
===理論===<br />
待ち行列分野の研究から導かれた、各種の理論的成果です。<br />
*[[アーランの損失式]]<br />
*[[リトルの公式]]<br />
*[[PASTA]]<br />
*[[積形式解]]<br />
<br />
===応用===<br />
待ち行列を工学的な諸分野に応用する参考になるページです。[[事例編：待ち行列]]もあわせて参照して下さい。<br />
*[[待ち行列の通信への応用]]<br />
*[[待ち行列のコンピュータへの応用]]<br />
*[[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===歴史===<br />
待ち行列理論の発展の記録です<br />
*[[待ち行列理論の誕生から1950年代まで]]<br />
*[[1960年代の研究者群像]]<br />
<br />
|}<br />
<br />
==関連分野==<br />
待ち行列解析で重要な役割を果たす関連分野です。<br />
*[[《確率論》]]<br />
*[[確率過程]]<br />
**[[マルコフ連鎖]]<br />
*[[シミュレーション]]<br />
<br />
<br />
==参考図書==<br />
*宮沢 政清、「待ち行列の数理とその応用」(数理情報科学シリーズ)、牧野書店、2006<br />
<br />
*高橋 敬隆、吉野 秀明、山本 尚生、戸田 彰、「わかりやすい待ち行列システム―理論と実践」、電気情報通信学会、2003<br />
<br />
*高橋 幸雄、「混雑と待ち」(経営科学のニューフロンティア)、朝倉書店、2002<br />
<br />
*紀 一誠「待ち行列ネットワーク」(経営科学のニューフロンティア)、朝倉書店、2002<br />
<br />
*牧本 直樹、「待ち行列アルゴリズム―行列解析アプローチ」(経営科学のニューフロンティア)、朝倉書店、2001<br />
<br />
*滝根 哲哉、伊藤 大雄、西尾 章治郎、「ネットワーク設計理論」、岩波書店、2001 <br />
<br />
*森村 英典、大前 義次、「応用待ち行列理論」 (ORライブラリー 13)、日科技連出版社、1975<br />
<br />
<br />
==外部リンク==<br />
*[https://orsj.org/queue/ 日本オペレーションズ・リサーチ学会待ち行列研究部会] - 待ち行列の理論および応用を専門とする研究者の集まりです。<br />
<br />
__NOTOC__<br />
<br />
[[Category:待ち行列|*]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=10325
待ち行列モデル
2008-11-08T05:20:54Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ．単一の待ち行列モデルは，客の到着，窓口における客のサービス，サービスを待つ客が成す待ち行列，などから構成され，平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される．近年，待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され，コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている．<br />
<br />
応用分野については，次の各項目を参照のこと：待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]]，待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]]，待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]．<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
=== 混雑現象 ===<br />
われわれの身の回りには，[[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]．たとえば，通勤電車，繁華街，行楽地，イベント会場などにおける混雑，高速道路や幹線道路の渋滞， スーパーのレジや銀行の ATM における行列，病院での待ち，携帯電話の不接続，などなど．また，人間が待たされるわけではないが，商品の在庫，仕事の滞貨，注文残，考えようによっては洪水などというのもある．コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし，情報通信ネットワークでも，情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる．<br />
<br />
このような混雑現象は，需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており，次のようにいろいろな方法で処理されている．<br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は，火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している)．<br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む)．<br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる)．<br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる)．<br />
<br />
=== 混雑現象のためのモデル ===<br />
a．の追随型とb．の品質低下型は，混雑に対する対応がリアルタイムであるため，需要の変動パターンがわかれば，混雑の程度の解析は比較的容易である．これに対してc．のバッファ型とd．の拒絶型，とくにc. は，システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり，モデルによる検討が必要になることが多い．そのモデルも，需要の変動パターンによって使い分けが必要である．<br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である．むろんそれらが複合していることもある．<br />
<br />
=== 流体近似モデル ===<br />
i) のラッシュアワー型の解析は，[[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い．これは水道の水のように，サービス要求がある率でバッファに入ってきて，ある率で流れ出ていく，と考えるものである (図1)．このとき，時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>，出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると，時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は，微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される．ただしこの微分方程式を使わなくても，時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ，それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
<br />
=== 待ち行列モデル ===<br />
サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は，[[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model)，[[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1，2]．ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは，図2のように，あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し， そこである種の[[サービス]] (service) をうけ，系外に立ち去る，という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである．サービスステーションは，通常，サービスが行われる[[窓口]] (channel) と，到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る．この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす．待つことのできる客の数に制限がある場合，待合室という概念を導入することもある．このとき待合室の容量が，待つことのできる客の数の上限となる．<br />
<br />
客，窓口，待合室などは，モデルによってさまざまなものに対応する．ある種の生産システムでは，客は製品や部品であり，窓口は加工機，検査機，組立台など，そして待合室は仮置き台などである．コンピュータの性能評価では，客はジョブであり，窓口は CPU や DISK，待合室は各所のメモリである．また情報通信ネットワークの性能評価では，セルやパケットといった情報の塊が客であり，各種のスイッチ類やチャネルが窓口，バッファメモリが待合室として扱われる．<br />
<br />
=== 性能評価指標，混雑指標 ===<br />
図2のような標準的なモデルでは，[[利用率]] (traffic intensity)，<math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである．これは<br />
<br />
<center><br />
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
</center><br />
<br />
<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される．たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し，<math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは，<math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である．多くの場合，<math>\rho<1\, </math> であれば，システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい，確率論的な解析が可能となる．<br />
<br />
一般に，<math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく，1に近づくにつれて混雑がひどくなる．このような混雑を評価する指標としては，[[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間)，[[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間)，[[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数)，[[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散，または分布などが用いられる．<br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で，システムに入れる客の数に制限がある場合，[[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である．これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である．ここで "呼 (こ，よび)" という耳慣れない言葉が使われているが，これは電話をかけるときの接続要求のことで，待ち行列理論がデンマークの電話技術者[[アーラン, アグナー・K|アーラン]](A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来，電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]．<br />
<br />
<br />
=== 読書案内 ===<br />
近年，待ち行列理論の分野では，情報通信技術の発達などと歩調を合わせて，より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている．待ち行列理論関係の参考書は，日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会のホームページに「待ち行列関係書籍（和書）」としてまとめられている．[7] 中でも [5] は混雑現象全般にわたって解説されているので，初学者には参考になるだろう．[6] は初学者から専門の研究者まで幅広い読者層を想定して，待ち行列理論の基本的な項目が解説されている．英語の書籍の紹介は [3,4] にある．<br />
<br />
<br />
----<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 森村英典，大前義次，『応用待ち行列理論』，日科技連出版社，1975．ISBN 481715313X<br />
<br />
[2] 高橋幸雄，「入門講座，やさしい待ち行列(1)～(4)」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''40''' (1995)，649-654，716-721，'''41''' (1996)，35-40，100-105．https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_01_035.pdf<br />
<br />
[3] 高橋敬隆，高橋幸雄，牧本直樹，「入門講座，やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''41''' (1996)，106-107．https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_02_106.pdf<br />
<br />
[4] 高橋幸雄，「講座，待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」，『オペレーションズ・リサーチ』，'''43''' (1998)，495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄，森村英典，『混雑と待ち』，朝倉書店，2001．ISBN: 425427517X<br />
<br />
[6] 宮沢 政清，『待ち行列の数理とその応用』，牧野書店，2006．ISBN-13: 978-4434076978<br />
<br />
[7] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会 http://www.is.titech.ac.jp/~kkatou/queue/<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%80%8A%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%80%8B&diff=10324
《待ち行列ネットワーク》
2008-11-08T04:45:07Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつねっとわーく (queueing network) 】'''<br />
<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク|こちら]]へ移動しました．お手数をお掛けしました．→[[待ち行列ネットワーク|クリック]]<br />
<!--<br />
複数の待ち行列システム(以下ノードと表記)が, 図1のようにネットワーク上に結合された数学モデルを[[待ち行列ネットワーク]] (queueing network あるいは network of queues) と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Network.png|center|図１：待ち行列ネットワーク]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：待ち行列ネットワーク</td></table></center><br />
<br />
<br />
各ノード間の移動は通常確率的に選択される. 例えばノード <math>i</math> から <math>j</math> は確率 <math>r_{ij}</math> で移動する. [[経路選択確率]] (routing probability) あるいは分岐確率 (branching probability) と呼ぶ. 特にネットワーク外を表現するのにノード0と記す．このモデルの確率的な振る舞いを解析し, 待ち時間・待ち行列長・スループットなどに関する性能評価量を算出が可能となる. 特に図2のように直列につながったモデルを[[直列型待ち行列]](queueing networkあるいはnetwork of queues)と呼ぶ．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-1.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：直列型待ち行列<br></td></table></center><br />
--><br />
<!--<br />
\begin{figure}[htbp] \begin{center} %\includegraphics[bbllx=0, bblly=210mm, bburx=230mm, bbury=260mm, %height=40mm]{. . /b-b/tandem.eps} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(108, 20)(0, -10) \thicklines \put(0, 0){\vector(1, 0){8}} \multiput(9, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(16, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(16, 0){\line(1, 0){2}} \put(21, 0){\circle{6}} \put(24, 0){\vector(1, 0){8}} \multiput(33, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(40, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(40, 0){\vector(2, 3){4}} \put(40, 0){\vector(2, -3){4}} \put(47, 7.5){\circle{6}} \put(47, -7.5){\circle{6}} \put(47, 0){\makebox(0, 1.2){$\vdots$}} \put(50, 6){\vector(2, -3){4}} \put(50, -6){\vector(2, 3){4}} \multiput(55, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(62, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(62, 0){\line(1, 0){2}} \put(67, 0){\circle{6}} \put(70, 0){\vector(1, 0){5}} \put(80, 0){\makebox(0, 0){$\cdots$}} \multiput(84, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(91, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(91, 0){\line(1, 0){2}} \put(96, 0){\circle{6}} \put(99, 0){\vector(1, 0){9}} \end{picture} \end{center} \caption{直列型待ち行列} \label{B-B-01+tandem-model} \end{figure} <br />
--><br />
<!--<br />
<br />
これらのモデルにおいては，あるノードからの退去過程は他のノードへの到着過程になることからノード間の従属性が生じる．さらにはネットワークにフィー<br />
ドバック・ループがある場合には，退去した客が再度到着する可能性もあり，到着客間にも従属性が生じる．これらのことから個別のノードを取り出し，解<br />
析するのは不可能であり，ネットワーク全体を捉えた解析が必要である．これまでに解析的にはマルコフ性を保持しながら，[[積形式解]]が得られる範囲内で，現実のシステムにより近いモデルが次々と発表されて来た．<br />
待ち行列ネットワークは，外部との関わり方で[[開放型ネットワーク]](open network)と[[閉鎖型ネットワーク]](closed network)に分類が可能である．開放型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着があり，またネットワーク外への退去もある．従ってネットワーク内の総客数は可変であり，一定ではない．これは例えば蓄積交換型のパケット交換網においては，パケット送信要求の発生が客のネットワークへの流入に相当し，各交換機およびそれに付随するバッファが各ノードに対応する．従って目的局に受信されることが，ネットワークからの退去に当たる．一方閉鎖型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着，外への退去はない．従って総客数が常に一定に保たれる．これは例えば一定台数の機械から構成されるシステムにおいて機械の故障・修理を考慮した性能評価を行なう際に用いられる．あるいはマルチプログラミング環境下で動作する計算機システムのように，内部にCPU，I/O機器などのサーバおよびそれに付随した待ち行列があり，総客数は一定に保たれている場合に相当する．計算が完了したジョブ／トランザクションはネットワークから消滅するが，それと同時にネットワーク外のバッファに貯えられていたジョブ・トランザクションが投入され，結果として総数が変わらないような場合にも適用が可能であり，計算機アーキテクチュアなどの評価に用いられた．閉鎖型ネットワークで，機械修理問題に見られるように，稼動状態，修理待ち状態，検査待ち状態のそれぞれに対応するノードを順番に訪問し，客の流れが同一方向で，訪問する待ち行列の順番が一定な直列型待ち行列を特に循環型待ち行列(図3参照)と呼ぶ．<br />
<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Cyclic.png|center|図３：循環型待ち行列]]</td></tr><br />
<td align=center><br>図３：循環型待ち行列</td></table></center><br />
<br />
<br />
また図4に示すように, 計算機システムをモデル化した閉鎖型ネットワークで, 中央に位置するサーバ (CPU に相当) と複数の他のサーバおよびそれに付随する待ち行列 (入出力機器などの周辺機器に相当) からなり, 客がこれらの間を交互に行き来するモデルを[[セントラルサーバモデル]]と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図４：セントラルサーバモデル<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
--><br />
<!--<br />
\begin{figure}[htbp] \begin{center} %\includegraphics[bbllx=0, bblly=210mm, bburx=230mm, bbury=260mm, %height=40mm]{. . /b-b/central.eps} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(72, 33)(0, -13) \thicklines \put(0, -1){\vector(1, 0){10}} \put(0, -1){\line(0, 1){21}} \put(0, 20){\line(1, 0){72}} \put(72, 0){\line(0, 1){20}} \put(62, 0){\line(1, 0){10}} \put(6, 1){\vector(1, 0){4}} \put(6, 1){\line(0, 1){7}} \put(6, 8){\line(1, 0){23}} \put(29, 0){\vector(0, 1){8}} \multiput(11, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(18, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(18, 0){\line(1, 0){2}} \put(23, 0){\circle{6}} \put(26, 0){\line(1, 0){12}} \put(38, -10){\line(0, 1){20}} \put(38, 10){\vector(1, 0){5}} \multiput(44, 7.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(51, 7.5){\line(0, 1){5}} \put(51, 10){\line(1, 0){2}} \put(56, 10){\circle{6}} \put(59, 10){\line(1, 0){3}} \put(38, -10){\vector(1, 0){5}} \multiput(44, -7.5)(0, -5){2}{\line(1, 0){7}} \put(51, -7.5){\line(0, -1){5}} \put(51, -10){\line(1, 0){2}} \put(56, -10){\circle{6}} \put(59, -10){\line(1, 0){3}} \put(62, -10){\line(0, 1){20}} \put(48, 0){\makebox(0, 1.2){\Huge $\vdots$}} \end{picture} \caption{セントラルサーバモデル}\label{B-B-01+central-server-model} \end{center} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<!--<br />
<br />
また単一待ち行列モデルで客の母集団が有限である場合も, 閉鎖型ネットワークの一例と見ることも可能である. <br />
さらに客が優先権，待ち行列ネットワーク内の移動経路などの属性により複数クラスに分類され，一部のクラスに属する客に関しては開放型で，他のクラス<br />
の客に関しては閉鎖型のネットワークを[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型ネットワーク]]と呼ぶ．<br />
待ち行列ネットワークの別の分類として，各ノードで許容される待ち行列長に関する制限の有無に依るものがある．制限が無い場合には適当なモデル化の仮<br />
定を設ければ積形式解を用いた実用的な計算が可能であるが，制限がある場合には，ブロッキングが発生し，ノード間のより一層複雑な従属性が生じ，有効な解析法は存在しない．このような場合には近似的なアプローチを取らざるを得ない．ブロッキングとは，次に訪問するノードの待合室が一杯のときに移動が妨げられることを言う．この結果，モデルによっては元のサーバが次の客へのサービスを行なえない．客がいるにも拘わらずサービスが開始されない．これは例えば多段工程からなる生産ラインにおける，各工程における仕掛品置き場のように大容量のバッファがないシステムに相当する．一方通信網においては，ブロッキングが発生すると客であるパケット・メッセージなどは消滅する．<br />
待ち行列ネットワークは，従来単一待ち行列システムでモデル化されていた生産・通信・コンピュータ・輸送・交通システムのネットワーク化に伴い，その<br />
重要性が増しており，特に積形式解を持つモデルの数値計算を支援するソフトウェア・パッケージなども提供されている．<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|まちぎょうれつねっとわーく]]<br />
--></div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=10117
待ち行列モデル
2008-11-06T09:29:26Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ. 単一の待ち行列モデルは, 客の到着, 窓口における客のサービス, サービスを待つ客が成す待ち行列, などから構成され, 平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される. 近年, 待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され, コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている.<br />
<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
=== 混雑現象 ===<br />
われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる. <br />
<br />
このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている. <br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している). <br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む). <br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる). <br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる). <br />
<br />
=== 混雑現象のためのモデル ===<br />
a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc. は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である. <br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である. むろんそれらが複合していることもある. <br />
<br />
=== 流体近似モデル ===<br />
i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
<br />
=== 待ち行列モデル ===<br />
サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる. <br />
<br />
客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる. <br />
<br />
=== 性能評価指標, 混雑指標 ===<br />
図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは<br />
<br />
<center><br />
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
</center><br />
<br />
<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる. <br />
<br />
一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる. <br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]. <br />
<br />
近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [3,4,5] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]. <br />
<br />
----<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975. ISBN 481715313X<br />
<br />
[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105. https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_01_035.pdf<br />
<br />
[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107. https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_02_106.pdf<br />
<br />
[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄, 森村英典, 『混雑と待ち』, 朝倉書店, 2001. ISBN 425427517X<br />
<br />
[6] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会 http://www.is.titech.ac.jp/~kkatou/queue/<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=10116
待ち行列モデル
2008-11-06T09:16:38Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ. 単一の待ち行列モデルは, 客の到着, 窓口における客のサービス, サービスを待つ客が成す待ち行列, などから構成され, 平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される. 近年, 待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され, コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている.<br />
<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
=== 混雑現象 ===<br />
われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる. <br />
<br />
このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている. <br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している). <br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む). <br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる). <br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる). <br />
<br />
=== 混雑現象のためのモデル ===<br />
a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc. は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である. <br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である. むろんそれらが複合していることもある. <br />
<br />
=== 流体近似モデル ===<br />
i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
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<br />
<br />
=== 待ち行列モデル ===<br />
サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる. <br />
<br />
客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる. <br />
<br />
=== 性能評価指標, 混雑指標 ===<br />
図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは<br />
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[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
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<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる. <br />
<br />
一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる. <br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]. <br />
<br />
近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [3,4,5] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]. <br />
<br />
----<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975. ISBN 481715313X<br />
<br />
[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105. <br />
<br />
[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107. https://orsj.org/wp-content/or-archives50/pdf/bul/Vol.41_02_106.pdf<br />
<br />
[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄, 森村英典, 『混雑と待ち』, 朝倉書店, 2001. ISBN 425427517X<br />
<br />
[6] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会 http://www.is.titech.ac.jp/~kkatou/queue/<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%80%8A%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E3%83%90%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%80%8B&diff=10115
《待ち行列のバケーションサーバモデル》
2008-11-06T09:10:04Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる (queueing model with a vacationing server) 】'''<br />
<br />
こちらを参照してください：<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル|サーバのバケーションがある待ち行列]]<br />
<br />
<!-- 基本的な待ち行列の数多くの変形モデルのうちの1つとして, 客がいるといないとに拘らず, サービスが行なわれない期間 (これをサーバの[[バケーション]] (vacation) という) のあるモデルがある. サーバのバケーションがあるモデルは, 伝統的 (1960年代) には, サーバの始動毎に発生する費用と客の待ち時間に対する費用の釣合いを取る最適制御問題として研究された. 1980年以降は, 確率分解定理と呼ばれる興味深い理論的性質と, 通信や生産システムの性能評価のための基礎的理論モデルとしての応用性が注目された. 特に, M/G/1待ち行列のバケーションモデルと, 複数のM/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするポーリングモデルが活発に研究された [1]. 近年は, 波長分割多元接続光通信方式のモデルに触発されて, サーバがバケーション中にも (稼動期間中とは異なる速さで) サービスを行うというワーキングバケーションモデルが解析されている [2].<br />
<br />
<br />
'''サーバのバケーション''' サーバのバケーションによって表されるものは, 現実のシステムでは, 設備の故障と修理や予防保守の時間の他に, サーバの稼働準備と稼働後処理の時間, 十分な数(あるいは十分な仕事量)が待ち行列に溜るまで稼働開始を遅らせる時間等である. また, 通信方式の性能評価への応用において, 複数のユーザが1つの通信チャネル(サーバ)を時間分割で共有するシステム(例えば, 時分割多元接続やトークンリングLAN) では, 各ユーザにとって, 他のユーザのサービス時間やユーザの切替えに要する時間は, バケーションとみなされる. バケーションのない通常のシステムでも, 待ち行列が空である期間を, 客の到着により直ちに終了するバケーションとみなすことができる. <br />
<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル|サーバのバケーションがある待ち行列]]では, サーバの状態は, 客のサービスを続けて行なう稼働期間と, 上記のような理由によるバケーションの期間が交互に繰り返して現れる. 従って, バケーションモデルは, サーバの稼働期間を終了する規則と, バケーション期間を終了する規則とにより, 分類することができる. <br />
<br />
<br />
'''稼働期間を終了する規則''' 稼働期間を終了する規則には, 稼働開始後に続いてサービスされる客数に対する制限によって, (1)待ち行列が空になるまでサービスを続ける全処理式, (2)稼働開始時点で待ち行列にいた客だけをサービスし, その間に到着する客は, バケーション後の次の稼働期間でサービスするゲート式, 及び(3)一定数(例えば, 1人)の客をサービスするか, または待ち行列が空になるまでサービスを続ける制限式, という3つの基本方式がある. <br />
<br />
<br />
'''バケーション期間を終了する規則''' バケーション期間を終了する規則には, (1)サーバが1回のバケーションから帰ってきたときに待っている客がいなければ直ちにもう一度バケーションを取るという動作を, バケーション終了時に少なくとも1人の客が待っているようになるまで繰り返す多重バケーションモデル, (2)バケーションは1回だけで, その終了時に待っている客がいなければ, サーバは客が到着すればいつでもサービスを始められる状態で待つ単一バケーションモデル, (3)サーバの始動に要する時間を節約するために, <math>n \; ( > 1 )\, </math> 人の客が溜るまでサービスを始めない<math>n\, </math>-方策, 等がある. <br />
<br />
<br />
'''確率的分解定理''' [[待ち行列モデル M/G/1|M/G/1待ち行列]] のバケーションモデルにおける興味深い理論的性質として, [[確率的分解定理]] (stochastic decomposition theorem)について述べる. これは, 適当な条件の下で, バケーションモデルの[[平衡状態]] (equilibrium state)における客数 <math>N\, </math> の確率分布が, 対応するバケーションのないモデルの平衡状態における客数 <math>N _0\, </math> の確率分布と, バケーション期間のみに依存する客数<math> N _1\, </math> の確率分布の畳み込みに分割できるという定理である. 例えば, 多重バケーションモデルの平衡状態における任意時刻の客数について, 分解定理が成り立ち, このとき <math>N _1\, </math> はバケーション開始時の客数とバケーション中の任意時刻までに到着する客数の和である. ある場合においては, G/G/1待ち行列のバケーションモデルにおいても分解定理が成り立つ. <br />
<br />
さらに, サービスが[[先着順サービス|先着順]]に行なわれ, バケーションが将来の到着過程に依存しない場合には, 客の待ち時間の分布関数の[[ラプラス変換|ラプラス・スチルチェス変換]]に対する同様の分解定理も成り立つ. 例えば, M/G/1待ち行列の全処理式多重バケーションモデルにおいて, 客の平均待ち時間は, [[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula) として知られるバケーションのない場合の平均待ち時間と, 1回のバケーション時間<math> V\, </math> の平均前方再生時間 <math>\mbox{E} [ V ^2 ] / ( 2 \mbox{E}[V] )\, </math> の和で与えられる. 従って, <math>V\, </math> の分散が大きいシステムでは, <math>V\, </math> を一定長だけ延ばすと平均待ち時間が減少するというパラドクスが生じる [3]. <br />
<br />
<br />
'''ポーリングモデル''' [[ポーリングモデル]] (polling model) とは, 複数の待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするシステムのことである. サーバが1つの待ち行列から次の待ち行列に移るための移動時間を仮定してもよい. 各待ち行列にとって, 他の待ち行列のサービス時間と移動時間は, サーバのバケーションとみなされる. M/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列のポーリングモデルについても, 確率的分解定理が成り立つ. これを利用して, すべての待ち行列が同等な場合に, 平均待ち時間の公式が得られる. 各待ち行列のパラメタが異なる一般の場合に, 平均待ち時間を表す公式は得られていない(数値的には計算できる)が, それらにトラヒック強度の重みを付けて加えた量に対する疑似保存則 (quasi-conservation law) が導かれている [4, 5]. <br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] H. Takagi, ''Queueing Analisis: A Foundation of Performance Evaluation'', Vols. 1-3, Elsevier, 1991, 1993, 1993. <br />
<br />
[2] D.-A.Wu and H.Takagi, "M/G/1 Queue with Multiple Working Vacations," ''Performance Evaluation'', '''63''' (2006), 654-681.<br />
<br />
[3] R. B. Cooper, S. -C. Niu and M. M. Srinivasan, "Some Reflections on the Renewal-Theory Paradox in Queueing Theory," ''Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis'', '''11''' (1998), 355-368. <br />
<br />
[4] H. Takagi, ''Analysis of Polling Systems'', MIT Press, 1986. <br />
<br />
[5] 高木英明, 「ポーリングモデル：巡回サービス多重待ち行列」, 『オペレーションズ・リサーチ』, ''41'' (1996), 108-118.<br />
--><br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%80%8A%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E3%83%90%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%80%8B&diff=10114
《待ち行列のバケーションサーバモデル》
2008-11-06T09:09:17Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる (queueing model with a vacationing server) 】'''<br />
<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル|サーバのバケーションがある待ち行列]]<br />
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<!-- 基本的な待ち行列の数多くの変形モデルのうちの1つとして, 客がいるといないとに拘らず, サービスが行なわれない期間 (これをサーバの[[バケーション]] (vacation) という) のあるモデルがある. サーバのバケーションがあるモデルは, 伝統的 (1960年代) には, サーバの始動毎に発生する費用と客の待ち時間に対する費用の釣合いを取る最適制御問題として研究された. 1980年以降は, 確率分解定理と呼ばれる興味深い理論的性質と, 通信や生産システムの性能評価のための基礎的理論モデルとしての応用性が注目された. 特に, M/G/1待ち行列のバケーションモデルと, 複数のM/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするポーリングモデルが活発に研究された [1]. 近年は, 波長分割多元接続光通信方式のモデルに触発されて, サーバがバケーション中にも (稼動期間中とは異なる速さで) サービスを行うというワーキングバケーションモデルが解析されている [2].<br />
<br />
<br />
'''サーバのバケーション''' サーバのバケーションによって表されるものは, 現実のシステムでは, 設備の故障と修理や予防保守の時間の他に, サーバの稼働準備と稼働後処理の時間, 十分な数(あるいは十分な仕事量)が待ち行列に溜るまで稼働開始を遅らせる時間等である. また, 通信方式の性能評価への応用において, 複数のユーザが1つの通信チャネル(サーバ)を時間分割で共有するシステム(例えば, 時分割多元接続やトークンリングLAN) では, 各ユーザにとって, 他のユーザのサービス時間やユーザの切替えに要する時間は, バケーションとみなされる. バケーションのない通常のシステムでも, 待ち行列が空である期間を, 客の到着により直ちに終了するバケーションとみなすことができる. <br />
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[[待ち行列のバケーションサーバモデル|サーバのバケーションがある待ち行列]]では, サーバの状態は, 客のサービスを続けて行なう稼働期間と, 上記のような理由によるバケーションの期間が交互に繰り返して現れる. 従って, バケーションモデルは, サーバの稼働期間を終了する規則と, バケーション期間を終了する規則とにより, 分類することができる. <br />
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'''稼働期間を終了する規則''' 稼働期間を終了する規則には, 稼働開始後に続いてサービスされる客数に対する制限によって, (1)待ち行列が空になるまでサービスを続ける全処理式, (2)稼働開始時点で待ち行列にいた客だけをサービスし, その間に到着する客は, バケーション後の次の稼働期間でサービスするゲート式, 及び(3)一定数(例えば, 1人)の客をサービスするか, または待ち行列が空になるまでサービスを続ける制限式, という3つの基本方式がある. <br />
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'''バケーション期間を終了する規則''' バケーション期間を終了する規則には, (1)サーバが1回のバケーションから帰ってきたときに待っている客がいなければ直ちにもう一度バケーションを取るという動作を, バケーション終了時に少なくとも1人の客が待っているようになるまで繰り返す多重バケーションモデル, (2)バケーションは1回だけで, その終了時に待っている客がいなければ, サーバは客が到着すればいつでもサービスを始められる状態で待つ単一バケーションモデル, (3)サーバの始動に要する時間を節約するために, <math>n \; ( > 1 )\, </math> 人の客が溜るまでサービスを始めない<math>n\, </math>-方策, 等がある. <br />
<br />
<br />
'''確率的分解定理''' [[待ち行列モデル M/G/1|M/G/1待ち行列]] のバケーションモデルにおける興味深い理論的性質として, [[確率的分解定理]] (stochastic decomposition theorem)について述べる. これは, 適当な条件の下で, バケーションモデルの[[平衡状態]] (equilibrium state)における客数 <math>N\, </math> の確率分布が, 対応するバケーションのないモデルの平衡状態における客数 <math>N _0\, </math> の確率分布と, バケーション期間のみに依存する客数<math> N _1\, </math> の確率分布の畳み込みに分割できるという定理である. 例えば, 多重バケーションモデルの平衡状態における任意時刻の客数について, 分解定理が成り立ち, このとき <math>N _1\, </math> はバケーション開始時の客数とバケーション中の任意時刻までに到着する客数の和である. ある場合においては, G/G/1待ち行列のバケーションモデルにおいても分解定理が成り立つ. <br />
<br />
さらに, サービスが[[先着順サービス|先着順]]に行なわれ, バケーションが将来の到着過程に依存しない場合には, 客の待ち時間の分布関数の[[ラプラス変換|ラプラス・スチルチェス変換]]に対する同様の分解定理も成り立つ. 例えば, M/G/1待ち行列の全処理式多重バケーションモデルにおいて, 客の平均待ち時間は, [[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula) として知られるバケーションのない場合の平均待ち時間と, 1回のバケーション時間<math> V\, </math> の平均前方再生時間 <math>\mbox{E} [ V ^2 ] / ( 2 \mbox{E}[V] )\, </math> の和で与えられる. 従って, <math>V\, </math> の分散が大きいシステムでは, <math>V\, </math> を一定長だけ延ばすと平均待ち時間が減少するというパラドクスが生じる [3]. <br />
<br />
<br />
'''ポーリングモデル''' [[ポーリングモデル]] (polling model) とは, 複数の待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするシステムのことである. サーバが1つの待ち行列から次の待ち行列に移るための移動時間を仮定してもよい. 各待ち行列にとって, 他の待ち行列のサービス時間と移動時間は, サーバのバケーションとみなされる. M/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列のポーリングモデルについても, 確率的分解定理が成り立つ. これを利用して, すべての待ち行列が同等な場合に, 平均待ち時間の公式が得られる. 各待ち行列のパラメタが異なる一般の場合に, 平均待ち時間を表す公式は得られていない(数値的には計算できる)が, それらにトラヒック強度の重みを付けて加えた量に対する疑似保存則 (quasi-conservation law) が導かれている [4, 5]. <br />
<br />
<br />
<br />
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<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] H. Takagi, ''Queueing Analisis: A Foundation of Performance Evaluation'', Vols. 1-3, Elsevier, 1991, 1993, 1993. <br />
<br />
[2] D.-A.Wu and H.Takagi, "M/G/1 Queue with Multiple Working Vacations," ''Performance Evaluation'', '''63''' (2006), 654-681.<br />
<br />
[3] R. B. Cooper, S. -C. Niu and M. M. Srinivasan, "Some Reflections on the Renewal-Theory Paradox in Queueing Theory," ''Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis'', '''11''' (1998), 355-368. <br />
<br />
[4] H. Takagi, ''Analysis of Polling Systems'', MIT Press, 1986. <br />
<br />
[5] 高木英明, 「ポーリングモデル：巡回サービス多重待ち行列」, 『オペレーションズ・リサーチ』, ''41'' (1996), 108-118.<br />
--><br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%BF%9C%E7%94%A8&diff=9977
待ち行列理論の応用
2008-08-07T07:41:27Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつりろんのおうよう (applications of queueing theory)】'''<br />
== 通信への応用 ==<br />
望ましい情報通信ネットワークを構築するには, 方式, 構成, 品質, コスト等の関係を定量的に評価分析する必要がある. 需要(トラヒック)と供給(設備数, 処理能力等)の関係により, ユーザの感じる通信品質に満足/不満足が生じる. 特に需要は時間的, 空間的に確率的に変動するものであり, 待ち行列理論が必須である. 電話の出現とともに上記の評価分析が開始され, さらに情報通信の発展が待ち行列理論の研究を促進した. <br />
=== はじめに ===<br />
1878年の電話機の発明からほどなくして, 電話交換の設備数に関して通信トラヒック面からの検討が始められた. その後, デンマークの電話会社の技師 [[アーラン, アグナー・K|アーラン]](A. K. Erlang)により体系的に研究された. これが待ち行列理論の始まりといわれる. このように待ち行列理論は情報通信ネットワークの進展・革新とともに発展してきた [1]. 通信網において接続される単位, すなわち電話網における通話やパケット網におけるパケット等は[[トラヒック]]とよばれる. トラヒックの発生や継続時間は確率的に変動しており, 通信網においてそれを運ぶための回線, 交換機あるいはコンピュータなどの設備を, 大多数の利用者が満足できる[[サービス品質]]のもとでシステム設計するための理論を通信トラヒック理論という. 待ち行列理論の通信への応用とはすなわち通信トラヒック理論そのものである [2] [3]. <br />
<br />
=== 電話交換, 電話網, ディジタル網への応用 ===<br />
1965年頃から交換機の制御系が蓄積プログラム制御となり, 処理能力評価あるいは処理能力を向上させる方式の考案が大きな課題であった. リアルタイム性の要求される交換機に特有の周期処理スケジュール方式に関して, 優先クラスごとの平均遅延時間の近似式が求められた [4]. ISDN (サービス総合ディジタル網) では, 性質の異なるトラヒックが同一の設備に加わる. このトラヒックを[[多元トラヒック]]とよび, マルチメディア通信網においてはさらに各所に出現する. 多元トラヒックの処理方法には即時式/待時式, [[優先権]]待ち行列 ([[回線留保]]を含む) 等がある. パケット網や計算機は随所にバッファを設置しており, 待時式処理が基本となる. これらを評価・分析するモデルとして[[待ち行列ネットワーク]]が有効である. <br />
<br />
=== パケット網, データ網への応用 ===<br />
パケット網については, 1970年頃に, 米国でインターネットのルーツであるARPA網が活発に研究・開発された. ルーチング方式やウィンドウ制御, ACKの返送方式に関して, 遅延時間や処理量の観点から多くの研究がなされた. データ通信やLANに関するトラヒック研究も活発に展開された [5]. <br />
<br />
CSMA/CD方式に対する平衡状態を仮定した理論解析, [[ポーリングモデル|ポーリング]]方式に関するモデル解析およびLANの性能評価への応用, ALOHAシステムの解析等がなされた. <br />
<br />
=== ATM方式への応用 ===<br />
マルチメディア通信に対する通信方式として, 1980年代初め, ATM (AsynchronousTransfer Mode)方式が考案された. ATM方式では, 情報がセルという固定長の情報単位に分割されて, 網内を流れる. セルが待ち行列理論の客そのものであり, ATM方式の検討には待ち行列理論が必須である [6]. 当初, セルのヘッダによるハードウェアルーチングが注目され, バッファの設置形式を含めて通話路網が多数研究された. ビデオ情報のセルストリームはバースト的であるということで, トラヒックの入力モデルが活発に研究された. さらに, LANの長時間のトラヒックストリームが統計的に分析され, 長時間依存性, 自己相似性が指摘されている [7]. ATM方式のサービスカテゴリーとして, CBR (Constant Bit Rate), VBR (VariableBit Rate)等が提案されその標準化がなされた. 並行して, セルの統計的多重効果に関する実に多くの研究がなされ, トラヒック制御として, コネクション受付制御や使用量パラメータ制御が活発に研究された [8]. <br />
<br />
=== 移動通信網への応用 ===<br />
1980年代初頭に自動車電話サービスが開始され, 1993年にディジタル方式が提供され始め, 1990年代後半急速に普及している. 移動通信方式では, 有限の無線周波数をいかに有効活用するかが最も重要であり, トラヒック理論が非常に有効な分野である. 電波強度の関係と周波数を繰り返して使用するため, 地域を比較的小さなゾーンに分けている. そこで無線チャネルの割り当て法の研究が必要となる. また, ユーザの移動のため, 位置登録信号, 通話中チャネル切り替え, 一斉呼び出し等の信号が使用される. これら運ぶ制御チャネルの動作分析に関してもトラヒック理論が使える [9]. <br />
<br />
=== インターネットへの応用 ===<br />
爆発的に成長しているインターネットは待時式処理が基本であり, その評価・分析には待ち行列理論が利用できる. たとえば, WWWで画像データを取込むと大きなデータが動く. これはテキスト情報の情報量と比較すると数桁以上も大きい. WWWの発生間隔や情報量の統計的分析をベースに, 待ち行列理論を利用して応答時間等が評価できる. <br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] 高橋幸雄, 「待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 495-502. <br />
<br />
[2] 秋丸春夫, 川島幸之助, 『情報通信トラヒック』, 電気通信協会, 1990. <br />
<br />
[3] 村田正幸, 宮原秀夫, 「通信トラヒック理論とその応用[I]～[VII]」, 『電子情報通信学会誌』, 77 (1994), 968-975, 1043-1051, 1249-1255, 78 (1995). 85-90, 195-202, 264-270, 482-488. <br />
<br />
[4] 藤木正也, 「トラヒック理論の応用 5. 交換機制御系への応用」, 『電子通信学会誌』, 64 (1981), 50-58. <br />
<br />
[5] 秋山稔, 川島幸之助, 木村丈治, 『LANのシステム設計』, オーム社, 1989. <br />
<br />
[6] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会, 1995. <br />
<br />
[7] 小沢利久, 「いろいろな入力過程モデル」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 680-686. <br />
<br />
[8] 滝根哲哉, 村田正幸, 「通信網における待ち行列 －理論の応用と課題－」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 264-271. <br />
<br />
[9] Davide Grillo, Ronald A. Skoog, Stanley Chia and Kin K. Leung, "Teletraffic Engineering for Mobile Personal Communications in ITU-T Work: The Need to Match Practice and Theory," IEEE Personal Communications Magazine, 5 (1998), 38-58.<br />
<br />
== コンピュータシステムへの応用 ==<br />
複雑で大規模なコンピュータシステムでは, 性質の異なる様々な処理要求が非同期に発生するため, システムの内部は資源競合が発生し混雑している. この混雑現象のモデル化と解析を行うことによりコンピュータシステムの性能を評価し, 過不足のない最適なシステム設計, 性能トラブルを起こさないシステム開発など的確に推進するために, 待ち行列理論や待ち行列ネットワークモデルが活用されている.<br />
<br />
=== セントラルサーバモデル ===<br />
大規模なコンピュータシステムでは, 多数の利用者から性質の異なる様々な処理が非同期に要求されるため, その内部では CPU を始めとする種々のシステム資源の競合が発生する. すなわち, コンピュータの内部は混雑しているのである. この混雑現象を解析し, その結果をシステムの設計開発の利用するため, 待ち行列理論, とりわけ待ち行列ネットワークモデルがよく利用される. 閉鎖型[[ジャクソンネットワーク]]を利用した[[セントラルサーバモデル]]とその計算アルゴリズム [7]が最も簡単な待ち行列ネットワークモデルとして知られている. <br />
<br />
=== BCMPネットワーク ===<br />
[[BCMPネットワーク]]は, 複数の異なる網内移動経路 ([[経路選択確率]]行列) をもつ客が混在することが許されるため, それぞれの網内移動経路を性格の異なるサブシステムに対応付けることにより, 複雑で大規模なコンピュータシステムの性能評価モデルを柔軟に構成することができる. 待ち行列ネットワークを実用化するに際しては, 正規化定数の効率的な計算方法の開発, 積形式解をもたないようなモデルに関する近似解法の開発, 利用者に分かりやすく使いやすいインターフェィスをもつソフトウエアパッケージの開発等が欠かせないが, 1975年は BCMP ネットワークに関する積形式解 [1] が発表されるとともに, その正規化定数の計算法の提案 [9], ならびにそのアルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージの開発が行われた. それを契機に, BCMP ネットワークに関する研究と応用は大きな進展をみせた. とりわけ, 開放型ネットワークと閉鎖型ネットワークが混在する[[混合型待ち行列ネットワーク]]は現在広く実用に供されている. <br />
<br />
=== 待ち行列ネットワークの計算法 ===<br />
積形式解をもつ待ち行列ネットワークを利用する際には, ネットワーク状態分布の[[ネットワーク状態分布の正規化定数|正規化定数]]といわれる定数を計算することが必要になる. この正規化定数は, 確率条件から定められるものであるが, ネットワークを構成するノード数, 網内移動経路数 (部分連鎖数) , 閉鎖型連鎖にしたがう客数等が大きくなるにしたがい, その計算量は組み合わせ的な速さで増大する. そのため, 待ち行列ネットワークに関する効率的な計算法の開発は実用化のためには欠かせない. この計算法は, 大きく分けると, [[たたみ込み法]]の系統に属するものと, [[MVA]] (Mean Value Analysis) 法 [10]の系統に属するものに分けることができる. たたみ込み法では, 正規化定数をたたみ込み演算を利用して直接求める. MVA 法では, ネットワークの積形式解から連鎖と客数をパラメータとする漸化式をつくり, これを手がかりにして計算を行う. たたみ込み法では, 指数部のあふれ, MVA 法では仮数部の桁落ち, という数値計算上の不安定要因をもっているため, それを避ける計算法についての研究も多数なされている. 実際に待ち行列ネットワークを利用する際には, これらの計算アルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージが必要になる. コンピュータシステムへの応用を目的とした開発も QM-X [7] をはじめ多数行われている. <br />
<br />
=== 性能測定技術 ===<br />
待ち行列ネットワークを利用してコンピュータシステムの性能評価を行う際には, 評価の基礎となるデータをどのようにして得るのか, という問題が重要となる. 質の良いデータを効率的に測定するための技術も色々と開発されている. また, 待ち行列ネットワークを効果的に利用するための方法論と測定法の提案もなされている. これらについては, 解説 [5, 6] に示される. また, 待ち行列ネットワークとそのコンピュータシステムの性能評価への応用については, [3, 4, 7, 9] に詳しい. <br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz and F. G. Palacios, "Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers," ''Journal of Association of Computing Machinery'', '''22''' (1975), 248-260. <br />
<br />
[2] J. P. Buzen, "Computatonal Algorithm for Closed Queueing Networks with Exponential Servers," ''Communication of Association for Computing Machinery'', '''16''' (1973), 527-531. <br />
<br />
[3] 亀田壽夫, 紀 一誠, 李 頡, 『性能評価の基礎と応用』, 共立出版, 1998. <br />
<br />
[4] K. Kant, ''Introduction to Computer Performance Evaluation'', McGraw-Hill, Inc., 1992. <br />
<br />
[5] 紀 一誠, 「情報処理システムの性能評価(1)(2)(3)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 315-320, 370--375, 431-436. <br />
<br />
[6] 紀 一誠, 「コンピュータシステム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 562-567. <br />
<br />
[7] 紀 一誠, 『待ち行列ネットワーク』,朝倉書店 , 2002. <br />
<br />
[8] 紀 一誠, 納富研造, 「待ち行列網モデルによる計算機システムの性能評価用ソフトウエアパッケージ QM-X」, 『情報処理学会論文誌』, '''25''' (1984), 570-578. <br />
<br />
[9] S. S. Lavenvarg (Ed. ), ''Computer Performance Handbook'', Academic Press, 1983. <br />
<br />
[10] M. Reiser and H. Kobasyashi, "Queueing Networks with Multiple Closed Chains: Theory and Computational Algorithms," ''IBM Research and Development'', '''19''' (1975), 283-249. <br />
<br />
[11] M. Reiser and S. S. Lavenverg, "Mean Value Analysis of Closed Multichain Queueing Networks," ''Journal of Association for Computing Machinery'', '''22''' (1980), 313-333.<br />
<br />
== 生産システムへの応用 ==<br />
生産システムは, 原材料や部品をより付加価値の高い半製品, 製品へと加工, 組立てを行なうシステムであり, 単一工程から多工程直列生産ライン, トランスファライン, FMS (flexible manufacturing system), JIT生産システム等々広範な生産システムが含まれる. これら生産システムにたいして, 生産リードタイム, スループット等の性能評価を始め, 単調性, 可逆性等の構造的性質が待ち行列理論等を駆使して導かれている.<br />
<br />
=== 一定加工時間モデル ===<br />
生産システムは, 原材料や部品をより付加価値の高い半製品, 製品へと加工, 組立てを行なうシステムであり, ネットワーク状につながった生産工程から構成される. まず基本的なものとして, 図1に示される<math>N\, </math>工程が直列につながった生産ラインを考える. 製品の需要(原材料と生産指示)は任意の確率過程に従って到着し, 原材料をもとに工程1から<math>N\, </math>へと到着順に加工をうけ, 製品となる. 各工程<math>n\, </math> <math>(=1, \ldots, N)\, </math>は1台の機械からなり, その加工時間は一定時間<math>s_n\, </math> <math>(\geq 0)\, </math> である. 工程1の前には無限の容量を持つバッファがあり, 工程<math>n\, </math> <math>(\geq 2)\, </math> の前には有限(0でもよい)容量のバッファがあるものとする. 需要が到着してから製品として完成するまでの時間を生産リードタイム, 単位時間あたりに生産可能な最大数を[[スループット]](throughput) あるいは生産率と呼んでいる. <br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0131-b-c-03-1.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：直列生産ライン</td></table></center><br />
<br />
このとき, 需要の任意の到着過程に対して, 生産リードタイムおよびスループットは, 工程の順序にもバッファ容量にも依存しないことが示される. そして, 最大の加工時間を持つ最上流の工程を<math>L\, </math>とすれば, スループットは<math>1/s_L\, </math>で与えられる. また, 遅れの分布は客がその到着過程に従い, 一定時間<math>s_L\, </math>のサービス時間をもつ窓口1つの待ち行列モデルの待ち時間分布で与えられる. したがって, 需要が到着率<math>\lambda\, </math>のポアソン過程に従って到着する場合, 待ち行列モデル M/D/1 の結果から, 図1の生産ラインの平均生産リードタイム<math>PL\, </math>は, <br />
<br />
<center><br />
<math><br />
PL = \sum_{n=1}^{N} s_{n} + \frac{\rho_{L}^{2}}{2\lambda(1-\rho_{L})}<br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
となる. ここで<math>\rho _L =\lambda s_L <1\, </math>である. これらの結果は, 各工程が複数の機械をもつ場合にも一般化されている [1]. <br />
<br />
=== 確率的に変動する加工時間モデル ===<br />
機械には故障も起これば, 工具の折損, 摩耗も発生し, 必ずしも加工時間は一定ではない. また, 生産ラインも多品種を混流生産することが多く, 加工時間も生産される製品毎に異なってくる. したがって, 加工時間は確率的に変動し, 何らかの確率分布をもつものと考えられる. これらの確率分布が指数分布であるときの直列生産ラインに対する結果や文献等が [2] に紹介されている. さらに, FMS (Flexible Manufacturing System) やネットワークを含む広範な生産システムに対する包括的な結果が[2] - [4]に論じられている. <br />
<br />
=== かんばん方式, JIT ===<br />
[[JIT]] (Just in Time) 生産システムは, 1973年のオイル・ショック時にトヨタ生産方式として登場して以来, この30余年の間に JIT production system あるいは[[かんばん方式|kanban system]]として全世界に定着した. 特に1980年代以後, 製造業の復権をめざす米国を中心に待ち行列理論を駆使した理論的研究が精力的に行われてきた. <br />
<br />
Mitra and Mitrani [5, 6] は, 生産指示かんばんによって生産が制御され, 引き取りは生産指示かんばんポストにかんばんがある限り直ちに行われるものとした, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルを考察している. 生産指示かんばんは, 直列生産ラインにおけるバッファに比べてより柔軟であり, 生産リードタイムを短縮し, スループットを向上させることが示されている. さらに, 需要がポアソン過程に従って到着し, 各加工時間が指数分布に従うときの近似解法を導き, シミュレーションと比較してその精度を検証している. <br />
<br />
Tayur [7] は, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルにおいて, より一般的に各工程が充分なバッファをとって直列に配置された複数の機械からなる生産ラインを考え, 種々の構造的特性を導いている. また, スループットが最大になるように, 与えられた枚数のかんばんを各工程に配分する問題を考え, スループットの代わりに, 加工時間分布が指数分布に従う場合のマルコフ待ち行列の状態数を最大化することを提案し, そのアルゴリズムを与えて, 大多数の数値例で実際にスループットを最大化することを示している. さらに, [8] では工程1への原材料の確率的な到着, 工程<math>N\, </math>からの需要の確率的な引き取りおよび各工程での機械故障, 部品の再加工, 部品の廃棄がある場合を論じ, ほぼ同様な結果が成り立つことを示している. <br />
<br />
Buzacott and Shanthikumar [3] 第4章は, 原材料倉庫をもち, 需要の確率的な引き取りがある単一工程生産指示かんばんモデルを考え, 通常の待ち行列モデルと等価であることを示している. さらに, <math>N\, </math>工程直列生産システムに対して, 調達タグ (tag), 発注タグ, 加工タグ, 生産指示かんばんを用いる PAC (Production Authorization Cards) システムを提案し, [[MRP]], かんばん方式, OPT等を含むことやその性質を示し, 近似的な性能評価を与えている [3] . また, Glasserman and Yao [9] 第5章も生産指示かんばん方式の一般化である<math>(a, b, k)\, </math>モデルを提案し, 一般化セミマルコフ過程を用いて様々な構造的性質を導いており, Altiok [4] 第7章も生産指示かんばん方式を論じている. <br />
<br />
JIT生産システムを特徴づける1つが[[多能工]]と[[U字型生産ライン]]である. 多能工数を調整することで, 需要変動に柔軟に対応でき, 現今の需要の多様化と製品寿命の短命化に適合した数少ない生産ラインである. U字型生産ラインを含めたJIT生産システムに対する結果や文献等が [10] - [11] に紹介されている. <br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] B. Avi-Itzhak and H. Levy, "A Sequence of Servers with Arbitrary Input and Regular Service Times Revisited," ''Management Science,'' '''41''' (1965), 1039-1047. <br />
<br />
[2] 大野勝久, 「生産システムをめぐって」, 『Basic数学』, '''25''' (1992), 61-67. <br />
<br />
[3] J. A. Buzacott and J. G. Shanthikumar, ''Stochastic Models of Manufacturing Systems'', Prentice Hall, 1993. <br />
<br />
[4] T. Altiok, ''Performance Analysis of Manufacturing Systems'', Springer-Verlag, 1997. <br />
<br />
[5] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. I," ''Management Science'', '''36''' (1990), 1548-1566. <br />
<br />
[6] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. II," ''Operations Research,'' '''39''' (1991), 807-823. <br />
<br />
[7] S. R. Tayur, "Structural Properties and a Heuristic for Kanban-Controlled Serial Lines," ''Management Science'', '''39''' (1993), 1347-1368. <br />
<br />
[8] J. A. Muckstadt and S. R. Tayur, "A Comparison of Alternative Kanban Control Mechanisms. I," '''IIE Transactions''', '''27''' (1995), 140-150. <br />
<br />
[9] P. Glasserman and D. D. Yao, ''Monotone Structure in Discrete-Event Systems'', John Wiley & Sons, 1994. <br />
<br />
[10] 大野勝久, 「JIT生産システム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 272-278. <br />
<br />
[11] K. Nakade and K. Ohno, "An Optimal Worker Allocation Problem for a U-shaped Production Line," ''International Journal of Production Economics'', '''60-61''' (1999), 353-358.<br />
<br />
[[category:待ち行列の応用|まちぎょうれつりろんのおうよう]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%82%BF%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%BC%E4%B9%97%E3%82%8A%E5%A0%B4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=9976
タクシー乗り場モデル
2008-08-07T07:28:08Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【たくしーのりばもでる (taxi stand model)】'''<br />
<br />
タクシー乗り場で, 乗客の到着と空のタクシーの到着があり, タクシーを待つ乗客の待ち行列と, 乗客を待つタクシーの待ち行列がそれぞれできるような待ち行列システム. 1つの場所から2つの待ち行列ができるため, 双端待ち行列(double ended queues)ともいわれる. 少なくともどちらかの行列ができているときに一方の到着があればサービスが行われ, 乗客とタクシーがそれぞれ1つずつ減少する.<br />
<br />
'''より詳しく：''' 客がサーバの待つサービス窓口にランダムに到着する通常の待ち行列モデルに対して，サーバがサービス窓口に常駐せず，サーバもランダムに到着するとしたモデル．客は，到着したときに（客待ち）サーバがいなければ客の待ち行列の最後に並び，さもなければ，直ちにサービスを受け，サービスが終了すると，サービスを受けていたサーバと一緒にシステムを退去する．サーバは，到着したときに（サーバ待ち）客がいなければサーバ用の待ち行列の最後に並び，さもなければ，先頭の客に対してサービスを行い，サービス終了と同時に，その客と一緒にシステムを退去する，という動きを繰り返す．<br />
<br />
タクシーをサーバ，タクシーの利用者を客と考えると，タクシー乗り場のタクシー待ち客の行列と客待ちタクシーの行列の動きの単純なモデル化になっているので，タクシー乗り場モデルという名前が付いた．<br />
<br />
二通りの待ち行列を想定するので，双端型待ち行列モデル(double-ended queue)とも呼ばれ，あるいは，サーバの動きに注目して移動サーバモデルとも呼ばれる．<br />
<br />
オリジナルのタクシー乗り場モデルは，サービス時間を0と仮定している．その場合は，少なくともどちらか一方の待ち行列は空になっている．</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%BF%9C%E7%94%A8&diff=9975
待ち行列理論の応用
2008-08-07T06:59:48Z
<p>Sakasegawa: 新しいページ: ''''【まちぎょうれつりろんのおうよう (applications of queueing theory)】''' == 通信への応用 == 望ましい情報通信ネットワークを構築す...'</p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつりろんのおうよう (applications of queueing theory)】'''<br />
== 通信への応用 ==<br />
望ましい情報通信ネットワークを構築するには, 方式, 構成, 品質, コスト等の関係を定量的に評価分析する必要がある. 需要(トラヒック)と供給(設備数, 処理能力等)の関係により, ユーザの感じる通信品質に満足/不満足が生じる. 特に需要は時間的, 空間的に確率的に変動するものであり, 待ち行列理論が必須である. 電話の出現とともに上記の評価分析が開始され, さらに情報通信の発展が待ち行列理論の研究を促進した. <br />
=== はじめに ===<br />
1878年の電話機の発明からほどなくして, 電話交換の設備数に関して通信トラヒック面からの検討が始められた. その後, デンマークの電話会社の技師 [[アーラン, アグナー・K|アーラン]](A. K. Erlang)により体系的に研究された. これが待ち行列理論の始まりといわれる. このように待ち行列理論は情報通信ネットワークの進展・革新とともに発展してきた [1]. 通信網において接続される単位, すなわち電話網における通話やパケット網におけるパケット等は[[トラヒック]]とよばれる. トラヒックの発生や継続時間は確率的に変動しており, 通信網においてそれを運ぶための回線, 交換機あるいはコンピュータなどの設備を, 大多数の利用者が満足できる[[サービス品質]]のもとでシステム設計するための理論を通信トラヒック理論という. 待ち行列理論の通信への応用とはすなわち通信トラヒック理論そのものである [2] [3]. <br />
<br />
=== 電話交換, 電話網, ディジタル網への応用 ===<br />
1965年頃から交換機の制御系が蓄積プログラム制御となり, 処理能力評価あるいは処理能力を向上させる方式の考案が大きな課題であった. リアルタイム性の要求される交換機に特有の周期処理スケジュール方式に関して, 優先クラスごとの平均遅延時間の近似式が求められた [4]. ISDN (サービス総合ディジタル網) では, 性質の異なるトラヒックが同一の設備に加わる. このトラヒックを[[多元トラヒック]]とよび, マルチメディア通信網においてはさらに各所に出現する. 多元トラヒックの処理方法には即時式/待時式, [[優先権]]待ち行列 ([[回線留保]]を含む) 等がある. パケット網や計算機は随所にバッファを設置しており, 待時式処理が基本となる. これらを評価・分析するモデルとして[[待ち行列ネットワーク]]が有効である. <br />
<br />
=== パケット網, データ網への応用 ===<br />
パケット網については, 1970年頃に, 米国でインターネットのルーツであるARPA網が活発に研究・開発された. ルーチング方式やウィンドウ制御, ACKの返送方式に関して, 遅延時間や処理量の観点から多くの研究がなされた. データ通信やLANに関するトラヒック研究も活発に展開された [5]. <br />
<br />
CSMA/CD方式に対する平衡状態を仮定した理論解析, [[ポーリングモデル|ポーリング]]方式に関するモデル解析およびLANの性能評価への応用, ALOHAシステムの解析等がなされた. <br />
<br />
=== ATM方式への応用 ===<br />
マルチメディア通信に対する通信方式として, 1980年代初め, ATM (AsynchronousTransfer Mode)方式が考案された. ATM方式では, 情報がセルという固定長の情報単位に分割されて, 網内を流れる. セルが待ち行列理論の客そのものであり, ATM方式の検討には待ち行列理論が必須である [6]. 当初, セルのヘッダによるハードウェアルーチングが注目され, バッファの設置形式を含めて通話路網が多数研究された. ビデオ情報のセルストリームはバースト的であるということで, トラヒックの入力モデルが活発に研究された. さらに, LANの長時間のトラヒックストリームが統計的に分析され, 長時間依存性, 自己相似性が指摘されている [7]. ATM方式のサービスカテゴリーとして, CBR (Constant Bit Rate), VBR (VariableBit Rate)等が提案されその標準化がなされた. 並行して, セルの統計的多重効果に関する実に多くの研究がなされ, トラヒック制御として, コネクション受付制御や使用量パラメータ制御が活発に研究された [8]. <br />
<br />
=== 移動通信網への応用 ===<br />
1980年代初頭に自動車電話サービスが開始され, 1993年にディジタル方式が提供され始め, 1990年代後半急速に普及している. 移動通信方式では, 有限の無線周波数をいかに有効活用するかが最も重要であり, トラヒック理論が非常に有効な分野である. 電波強度の関係と周波数を繰り返して使用するため, 地域を比較的小さなゾーンに分けている. そこで無線チャネルの割り当て法の研究が必要となる. また, ユーザの移動のため, 位置登録信号, 通話中チャネル切り替え, 一斉呼び出し等の信号が使用される. これら運ぶ制御チャネルの動作分析に関してもトラヒック理論が使える [9]. <br />
<br />
=== インターネットへの応用 ===<br />
爆発的に成長しているインターネットは待時式処理が基本であり, その評価・分析には待ち行列理論が利用できる. たとえば, WWWで画像データを取込むと大きなデータが動く. これはテキスト情報の情報量と比較すると数桁以上も大きい. WWWの発生間隔や情報量の統計的分析をベースに, 待ち行列理論を利用して応答時間等が評価できる. <br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] 高橋幸雄, 「待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 495-502. <br />
<br />
[2] 秋丸春夫, 川島幸之助, 『情報通信トラヒック』, 電気通信協会, 1990. <br />
<br />
[3] 村田正幸, 宮原秀夫, 「通信トラヒック理論とその応用[I]～[VII]」, 『電子情報通信学会誌』, 77 (1994), 968-975, 1043-1051, 1249-1255, 78 (1995). 85-90, 195-202, 264-270, 482-488. <br />
<br />
[4] 藤木正也, 「トラヒック理論の応用 5. 交換機制御系への応用」, 『電子通信学会誌』, 64 (1981), 50-58. <br />
<br />
[5] 秋山稔, 川島幸之助, 木村丈治, 『LANのシステム設計』, オーム社, 1989. <br />
<br />
[6] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会, 1995. <br />
<br />
[7] 小沢利久, 「いろいろな入力過程モデル」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 680-686. <br />
<br />
[8] 滝根哲哉, 村田正幸, 「通信網における待ち行列 －理論の応用と課題－」, 『オペレーションズ・リサーチ』, 43 (1998), 264-271. <br />
<br />
[9] Davide Grillo, Ronald A. Skoog, Stanley Chia and Kin K. Leung, "Teletraffic Engineering for Mobile Personal Communications in ITU-T Work: The Need to Match Practice and Theory," IEEE Personal Communications Magazine, 5 (1998), 38-58.<br />
<br />
== コンピュータシステムへの応用 ==<br />
複雑で大規模なコンピュータシステムでは, 性質の異なる様々な処理要求が非同期に発生するため, システムの内部は資源競合が発生し混雑している. この混雑現象のモデル化と解析を行うことによりコンピュータシステムの性能を評価し, 過不足のない最適なシステム設計, 性能トラブルを起こさないシステム開発など的確に推進するために, 待ち行列理論や待ち行列ネットワークモデルが活用されている.<br />
<br />
=== セントラルサーバモデル ===<br />
大規模なコンピュータシステムでは, 多数の利用者から性質の異なる様々な処理が非同期に要求されるため, その内部では CPU を始めとする種々のシステム資源の競合が発生する. すなわち, コンピュータの内部は混雑しているのである. この混雑現象を解析し, その結果をシステムの設計開発の利用するため, 待ち行列理論, とりわけ待ち行列ネットワークモデルがよく利用される. 閉鎖型[[ジャクソンネットワーク]]を利用した[[セントラルサーバモデル]]とその計算アルゴリズム [7]が最も簡単な待ち行列ネットワークモデルとして知られている. <br />
<br />
=== BCMPネットワーク ===<br />
[[BCMPネットワーク]]は, 複数の異なる網内移動経路 ([[経路選択確率]]行列) をもつ客が混在することが許されるため, それぞれの網内移動経路を性格の異なるサブシステムに対応付けることにより, 複雑で大規模なコンピュータシステムの性能評価モデルを柔軟に構成することができる. 待ち行列ネットワークを実用化するに際しては, 正規化定数の効率的な計算方法の開発, 積形式解をもたないようなモデルに関する近似解法の開発, 利用者に分かりやすく使いやすいインターフェィスをもつソフトウエアパッケージの開発等が欠かせないが, 1975年は BCMP ネットワークに関する積形式解 [1] が発表されるとともに, その正規化定数の計算法の提案 [9], ならびにそのアルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージの開発が行われた. それを契機に, BCMP ネットワークに関する研究と応用は大きな進展をみせた. とりわけ, 開放型ネットワークと閉鎖型ネットワークが混在する[[混合型待ち行列ネットワーク]]は現在広く実用に供されている. <br />
<br />
=== 待ち行列ネットワークの計算法 ===<br />
積形式解をもつ待ち行列ネットワークを利用する際には, ネットワーク状態分布の[[ネットワーク状態分布の正規化定数|正規化定数]]といわれる定数を計算することが必要になる. この正規化定数は, 確率条件から定められるものであるが, ネットワークを構成するノード数, 網内移動経路数 (部分連鎖数) , 閉鎖型連鎖にしたがう客数等が大きくなるにしたがい, その計算量は組み合わせ的な速さで増大する. そのため, 待ち行列ネットワークに関する効率的な計算法の開発は実用化のためには欠かせない. この計算法は, 大きく分けると, [[たたみ込み法]]の系統に属するものと, [[MVA]] (Mean Value Analysis) 法 [10]の系統に属するものに分けることができる. たたみ込み法では, 正規化定数をたたみ込み演算を利用して直接求める. MVA 法では, ネットワークの積形式解から連鎖と客数をパラメータとする漸化式をつくり, これを手がかりにして計算を行う. たたみ込み法では, 指数部のあふれ, MVA 法では仮数部の桁落ち, という数値計算上の不安定要因をもっているため, それを避ける計算法についての研究も多数なされている. 実際に待ち行列ネットワークを利用する際には, これらの計算アルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージが必要になる. コンピュータシステムへの応用を目的とした開発も QM-X [7] をはじめ多数行われている. <br />
<br />
=== 性能測定技術 ===<br />
待ち行列ネットワークを利用してコンピュータシステムの性能評価を行う際には, 評価の基礎となるデータをどのようにして得るのか, という問題が重要となる. 質の良いデータを効率的に測定するための技術も色々と開発されている. また, 待ち行列ネットワークを効果的に利用するための方法論と測定法の提案もなされている. これらについては, 解説 [5, 6] に示される. また, 待ち行列ネットワークとそのコンピュータシステムの性能評価への応用については, [3, 4, 7, 9] に詳しい. <br />
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<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz and F. G. Palacios, "Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers," ''Journal of Association of Computing Machinery'', '''22''' (1975), 248-260. <br />
<br />
[2] J. P. Buzen, "Computatonal Algorithm for Closed Queueing Networks with Exponential Servers," ''Communication of Association for Computing Machinery'', '''16''' (1973), 527-531. <br />
<br />
[3] 亀田壽夫, 紀 一誠, 李 頡, 『性能評価の基礎と応用』, 共立出版, 1998. <br />
<br />
[4] K. Kant, ''Introduction to Computer Performance Evaluation'', McGraw-Hill, Inc., 1992. <br />
<br />
[5] 紀 一誠, 「情報処理システムの性能評価(1)(2)(3)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 315-320, 370--375, 431-436. <br />
<br />
[6] 紀 一誠, 「コンピュータシステム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 562-567. <br />
<br />
[7] 紀 一誠, 『待ち行列ネットワーク』,朝倉書店 , 2002. <br />
<br />
[8] 紀 一誠, 納富研造, 「待ち行列網モデルによる計算機システムの性能評価用ソフトウエアパッケージ QM-X」, 『情報処理学会論文誌』, '''25''' (1984), 570-578. <br />
<br />
[9] S. S. Lavenvarg (Ed. ), ''Computer Performance Handbook'', Academic Press, 1983. <br />
<br />
[10] M. Reiser and H. Kobasyashi, "Queueing Networks with Multiple Closed Chains: Theory and Computational Algorithms," ''IBM Research and Development'', '''19''' (1975), 283-249. <br />
<br />
[11] M. Reiser and S. S. Lavenverg, "Mean Value Analysis of Closed Multichain Queueing Networks," ''Journal of Association for Computing Machinery'', '''22''' (1980), 313-333.<br />
<br />
== 生産システムへの応用 ==<br />
生産システムは, 原材料や部品をより付加価値の高い半製品, 製品へと加工, 組立てを行なうシステムであり, 単一工程から多工程直列生産ライン, トランスファライン, FMS (flexible manufacturing system), JIT生産システム等々広範な生産システムが含まれる. これら生産システムにたいして, 生産リードタイム, スループット等の性能評価を始め, 単調性, 可逆性等の構造的性質が待ち行列理論等を駆使して導かれている.<br />
<br />
=== 一定加工時間モデル ===<br />
生産システムは, 原材料や部品をより付加価値の高い半製品, 製品へと加工, 組立てを行なうシステムであり, ネットワーク状につながった生産工程から構成される. まず基本的なものとして, 図1に示される<math>N\, </math>工程が直列につながった生産ラインを考える. 製品の需要(原材料と生産指示)は任意の確率過程に従って到着し, 原材料をもとに工程1から<math>N\, </math>へと到着順に加工をうけ, 製品となる. 各工程<math>n\, </math> <math>(=1, \ldots, N)\, </math>は1台の機械からなり, その加工時間は一定時間<math>s_n\, </math> <math>(\geq 0)\, </math> である. 工程1の前には無限の容量を持つバッファがあり, 工程<math>n\, </math> <math>(\geq 2)\, </math> の前には有限(0でもよい)容量のバッファがあるものとする. 需要が到着してから製品として完成するまでの時間を生産リードタイム, 単位時間あたりに生産可能な最大数を[[スループット]](throughput) あるいは生産率と呼んでいる. <br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0131-b-c-03-1.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：直列生産ライン</td></table></center><br />
<br />
このとき, 需要の任意の到着過程に対して, 生産リードタイムおよびスループットは, 工程の順序にもバッファ容量にも依存しないことが示される. そして, 最大の加工時間を持つ最上流の工程を<math>L\, </math>とすれば, スループットは<math>1/s_L\, </math>で与えられる. また, 遅れの分布は客がその到着過程に従い, 一定時間<math>s_L\, </math>のサービス時間をもつ窓口1つの待ち行列モデルの待ち時間分布で与えられる. したがって, 需要が到着率<math>\lambda\, </math>のポアソン過程に従って到着する場合, 待ち行列モデル M/D/1 の結果から, 図1の生産ラインの平均生産リードタイム<math>PL\, </math>は, <br />
<br />
<center><br />
<math><br />
PL = \sum_{n=1}^{N} s_{n} + \frac{\rho_{L}^{2}}{2\lambda(1-\rho_{L})}<br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
となる. ここで<math>\rho _L =\lambda s_L <1\, </math>である. これらの結果は, 各工程が複数の機械をもつ場合にも一般化されている [1]. <br />
<br />
=== 確率的に変動する加工時間モデル ===<br />
機械には故障も起これば, 工具の折損, 摩耗も発生し, 必ずしも加工時間は一定ではない. また, 生産ラインも多品種を混流生産することが多く, 加工時間も生産される製品毎に異なってくる. したがって, 加工時間は確率的に変動し, 何らかの確率分布をもつものと考えられる. これらの確率分布が指数分布であるときの直列生産ラインに対する結果や文献等が [2] に紹介されている. さらに, FMS (Flexible Manufacturing System) やネットワークを含む広範な生産システムに対する包括的な結果が[2] - [4]に論じられている. <br />
<br />
=== かんばん方式, JIT ===<br />
[[JIT]] (Just in Time) 生産システムは, 1973年のオイル・ショック時にトヨタ生産方式として登場して以来, この30余年の間に JIT production system あるいは[[かんばん方式|kanban system]]として全世界に定着した. 特に1980年代以後, 製造業の復権をめざす米国を中心に待ち行列理論を駆使した理論的研究が精力的に行われてきた. <br />
<br />
Mitra and Mitrani [5, 6] は, 生産指示かんばんによって生産が制御され, 引き取りは生産指示かんばんポストにかんばんがある限り直ちに行われるものとした, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルを考察している. 生産指示かんばんは, 直列生産ラインにおけるバッファに比べてより柔軟であり, 生産リードタイムを短縮し, スループットを向上させることが示されている. さらに, 需要がポアソン過程に従って到着し, 各加工時間が指数分布に従うときの近似解法を導き, シミュレーションと比較してその精度を検証している. <br />
<br />
Tayur [7] は, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルにおいて, より一般的に各工程が充分なバッファをとって直列に配置された複数の機械からなる生産ラインを考え, 種々の構造的特性を導いている. また, スループットが最大になるように, 与えられた枚数のかんばんを各工程に配分する問題を考え, スループットの代わりに, 加工時間分布が指数分布に従う場合のマルコフ待ち行列の状態数を最大化することを提案し, そのアルゴリズムを与えて, 大多数の数値例で実際にスループットを最大化することを示している. さらに, [8] では工程1への原材料の確率的な到着, 工程<math>N\, </math>からの需要の確率的な引き取りおよび各工程での機械故障, 部品の再加工, 部品の廃棄がある場合を論じ, ほぼ同様な結果が成り立つことを示している. <br />
<br />
Buzacott and Shanthikumar [3] 第4章は, 原材料倉庫をもち, 需要の確率的な引き取りがある単一工程生産指示かんばんモデルを考え, 通常の待ち行列モデルと等価であることを示している. さらに, <math>N\, </math>工程直列生産システムに対して, 調達タグ (tag), 発注タグ, 加工タグ, 生産指示かんばんを用いる PAC (Production Authorization Cards) システムを提案し, [[MRP]], かんばん方式, OPT等を含むことやその性質を示し, 近似的な性能評価を与えている [3] . また, Glasserman and Yao [9] 第5章も生産指示かんばん方式の一般化である<math>(a, b, k)\, </math>モデルを提案し, 一般化セミマルコフ過程を用いて様々な構造的性質を導いており, Altiok [4] 第7章も生産指示かんばん方式を論じている. <br />
<br />
JIT生産システムを特徴づける1つが[[多能工]]と[[U字型生産ライン]]である. 多能工数を調整することで, 需要変動に柔軟に対応でき, 現今の需要の多様化と製品寿命の短命化に適合した数少ない生産ラインである. U字型生産ラインを含めたJIT生産システムに対する結果や文献等が [10] - [11] に紹介されている. <br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] B. Avi-Itzhak and H. Levy, "A Sequence of Servers with Arbitrary Input and Regular Service Times Revisited," ''Management Science,'' '''41''' (1965), 1039-1047. <br />
<br />
[2] 大野勝久, 「生産システムをめぐって」, 『Basic数学』, '''25''' (1992), 61-67. <br />
<br />
[3] J. A. Buzacott and J. G. Shanthikumar, ''Stochastic Models of Manufacturing Systems'', Prentice Hall, 1993. <br />
<br />
[4] T. Altiok, ''Performance Analysis of Manufacturing Systems'', Springer-Verlag, 1997. <br />
<br />
[5] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. I," ''Management Science'', '''36''' (1990), 1548-1566. <br />
<br />
[6] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. II," ''Operations Research,'' '''39''' (1991), 807-823. <br />
<br />
[7] S. R. Tayur, "Structural Properties and a Heuristic for Kanban-Controlled Serial Lines," ''Management Science'', '''39''' (1993), 1347-1368. <br />
<br />
[8] J. A. Muckstadt and S. R. Tayur, "A Comparison of Alternative Kanban Control Mechanisms. I," '''IIE Transactions''', '''27''' (1995), 140-150. <br />
<br />
[9] P. Glasserman and D. D. Yao, ''Monotone Structure in Discrete-Event Systems'', John Wiley & Sons, 1994. <br />
<br />
[10] 大野勝久, 「JIT生産システム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 272-278. <br />
<br />
[11] K. Nakade and K. Ohno, "An Optimal Worker Allocation Problem for a U-shaped Production Line," ''International Journal of Production Economics'', '''60-61''' (1999), 353-358.<br />
<br />
[[category:待ち行列の応用]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%9E%8B%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF&diff=9974
ジャクソン型待ち行列ネットワーク
2008-08-07T06:17:00Z
<p>Sakasegawa: ジャクソンネットワークへのリダイレクト</p>
<hr />
<div>#REDIRECT [[ジャクソンネットワーク]]<br />
<!--<br />
<br />
'''【 じゃくそんがたまちぎょうれつねっとわーく (Jackson's queueing network) 】'''<br />
<br />
参照：[[ジャクソンネットワーク]]<br />
--></div>
Sakasegawa
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線形計画
2008-08-06T08:02:40Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【せんけいけいかく (linear programming)】'''<br />
<br />
== 概要 ==<br />
最適化問題(数理計画問題)<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><math>\mbox{max.} \, </math></td><br />
<td><math>f(x) \ ( \,</math>あるいは, <math>\min. \ f(x)) \,</math></td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math>\mbox{s.t.} \, </math></td><br />
<td><math>x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in F,<br />
\,</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
において, 目的関数 <math>f \,</math> が線形であり, かつ, 実行可能集合 <math>F \,</math> が線形等式と線形不等式を用いて表現されている問題.この問題への定式化, および, 解法を含めて線形計画と呼ぶ.<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
[[線形計画]]（linear programming）（線形計画法, 線形計画問題）は, 複数の等式あるいは不等式で与えられる線形制約のもとで, [[目的関数]]（objective function）と呼ばれる線形関数を最大化（または最小化）する問題である. 線形計画問題は通常以下の形式により表現される.<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\mbox{(P)} \quad<br />
\begin{array}{lll}<br />
& \mbox{max.} & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}c_j x_j} \\<br />
& \mbox{s. t.} & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_{ij} x_j}<br />
\leq b_i \ (i=1,2,\ldots,m), <br />
x_1,x_2,\ldots ,x_n \geq 0.<br />
\end{array}</math><br />
</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
ここで, <math>c_j (j=1,2,\ldots,n), \, b_i (i=1,2,\ldots,m),\,a_{ij} (i=1,2,\ldots,m, \ j=1,2,\ldots,n)</math>は実数, <math>\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\ldots, x_m)</math>は<math>n\,</math>個の変数からなる<math>n\,</math>次元ベクトルである. すべての線形計画問題は, 簡単な変換により, この形式に帰着される. 問題（P）の制約条件を満たす<math>\boldsymbol{x}</math>を[[実行可能解]]（feasible solution）と呼び, 実行可能解のなかで目的関数を最大にするものを[[最適解]]と呼ぶ.<br />
<br />
実社会における多くの問題は線形計画問題として定式化できる. 線形計画の応用は, 初期の頃は, 軍事, 経済学やゲーム理論が中心であったが, 次第にその重点が産業の分野へと移行された [2, 3]. 1947年にダンツィク（G. B. Dantzig）[2] によって提案された[[単体法]]（simplex method）は, コンピュータの急速な発展と大規模な線形方程式を処理する技術の向上とあいまって, 線形計画問題に対する極めて実用的な解法となっている. しかし, 単体法は Klee-Minty [4] により, 問題の入力サイズ（変数の個数と制約の本数）に関する多項式時間解法ではないことが指摘された. カチヤン（L. G. Khachian）は[[楕円体法]]を提案し, 最初の多項式時間解法を与えた. [[カーマーカー法]]およびその後開発された[[内点法]]は, 超大規模な線形計画問題に対し, 理論および実用の両面において, 単体法より優れた解法として認められている.<br />
<br />
以下では, 線形計画の理論で重要な役割を果たす[[双対問題 (線形計画の)|双対問題]]（dual problem）, [[双対定理]]（duality theorem）および[[相補性定理]]（complementarity slackness theorem）について述べる.<br />
<br />
各々の線形計画問題（P）には, 双対問題と呼ばれる以下の線形計画問題（D）を対応させることができる:<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\mbox{(D)} \quad<br />
\begin{array}{lll}<br />
& \mbox{min.} & {\displaystyle \sum_{i=1}^{m}b_i y_i} \\<br />
& \mbox{s. t.} & {\displaystyle \sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_i}<br />
\geq c_j \; (j=1,2,\ldots,n), <br />
y_1,y_2,\ldots,y_m \geq 0.<br />
\end{array}</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
ここで, <math>c_j \, (j=1,2,\ldots,n), \, b_i \, (i=1,2,\ldots,m),\, a_{ij} \, (i=1,2,\ldots,m, \ j=1,2,\ldots,n)</math>は元の問題(P)で与えられたデータと同一である. 元の問題（P）は主問題, 問題（D）は主問題（P）に対する双対問題と呼ばれる. 双対問題の双対問題が主問題になることは, 問題（D）を問題（P）の形式に書き直すことにより容易に示せる. 主問題と双対問題の実行可能解について, 次のようなことが言える.<br />
<br />
:*主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>に対し, <math>\textstyle \sum_{j=1}^{n}c_jx_j\leq \sum_{i=1}^{m}b_i y_i</math>が成り立つ.<br />
<br />
:*主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>に対し, それらの目的関数値が一致するならば, <math>\boldsymbol{x}</math>と<math>\boldsymbol{y}</math>はそれぞれの問題の最適解である.<br />
<br />
さらに, 以下の双対定理と相補性定理が示すように, 主問題と双対問題のいずれか一方の最適解は, 他方の問題の最適解に関する情報を含む.<br />
<br />
'''双対定理:''' 主問題か双対問題のいずれか一方が最適解をもつならば, 他方もまた最適解をもち, それらの目的関数値は一致する. また, いずれか一方の問題の実行可能解に対する目的関数値が有界でなければ, 他方の問題は実行可能解をもたない.<br />
<br />
'''相補性定理:''' 主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>がそれぞれの問題の最適解であるための必要十分条件は, 以下の2条件（i）,（ii）が成り立つことである.<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\begin{array}{lll}<br />
\mbox{(i)} & (c_j-\sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_i)x_j=0,\ j=1,2,\ldots,n,\\<br />
\\<br />
\mbox{(ii)} & (\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j-b_i)y_i =0,\ i=1,2,\ldots,m.<br />
\end{array}</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
これらの最適性条件を次のように言い換えることができる. いずれか一方の問題の<math>k\,</math>番目の制約式が不等号で成り立つならば, 他方の問題において対応する変数の値はゼロになる. また, いずれか一方の問題の<math>k\,</math>番目の変数の値が正ならば, 他方の問題においてそれに対応する制約式は等号で成り立つ.<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] V. Chv&aacute;tal, ''Linear Programming'', W. H. Freeman and Company, 1983, 阪田省二郎, 藤野和建 訳, 『線形計画法』上, 下, 啓学出版.<br />
<br />
[2] G. B. Dantzig, ''Linear Programming and Extensions'', Princeton University Press, 1963.<br />
<br />
[3] S. I. Gass, ''Linear Programming and Extensions'', MaGram-Hill, 1975.<br />
<br />
[4] V. Klee and G. J. Minty "How good is the simplex algorithm?" in ''Inequalities-III'', O. Shisha, eds., Academic Press, 159-175, 1989.<br />
<br />
[[Category:線形計画|せんけいけいかく]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E8%A8%88%E7%94%BB&diff=9969
線形計画
2008-08-06T08:01:53Z
<p>Sakasegawa: "線形計画" の保護を解除しました。</p>
<hr />
<div>'''【せんけいけいかく (linear programming)】'''<br />
<br />
=== 概要 ===<br />
最適化問題(数理計画問題)<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><math>\mbox{max.} \, </math></td><br />
<td><math>f(x) \ ( \,</math>あるいは, <math>\min. \ f(x)) \,</math></td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math>\mbox{s.t.} \, </math></td><br />
<td><math>x = (x_1,x_2,\ldots,x_n) \in F,<br />
\,</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
において, 目的関数 <math>f \,</math> が線形であり, かつ, 実行可能集合 <math>F \,</math> が線形等式と線形不等式を用いて表現されている問題.この問題への定式化, および, 解法を含めて線形計画と呼ぶ.<br />
<br />
=== 詳説 ===<br />
[[線形計画]]（linear programming）（線形計画法, 線形計画問題）は, 複数の等式あるいは不等式で与えられる線形制約のもとで, [[目的関数]]（objective function）と呼ばれる線形関数を最大化（または最小化）する問題である. 線形計画問題は通常以下の形式により表現される.<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\mbox{(P)} \quad<br />
\begin{array}{lll}<br />
& \mbox{max.} & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}c_j x_j} \\<br />
& \mbox{s. t.} & {\displaystyle \sum_{j=1}^{n}a_{ij} x_j}<br />
\leq b_i \ (i=1,2,\ldots,m), <br />
x_1,x_2,\ldots ,x_n \geq 0.<br />
\end{array}</math><br />
</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
ここで, <math>c_j (j=1,2,\ldots,n), \, b_i (i=1,2,\ldots,m),\,a_{ij} (i=1,2,\ldots,m, \ j=1,2,\ldots,n)</math>は実数, <math>\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\ldots, x_m)</math>は<math>n\,</math>個の変数からなる<math>n\,</math>次元ベクトルである. すべての線形計画問題は, 簡単な変換により, この形式に帰着される. 問題（P）の制約条件を満たす<math>\boldsymbol{x}</math>を[[実行可能解]]（feasible solution）と呼び, 実行可能解のなかで目的関数を最大にするものを[[最適解]]と呼ぶ.<br />
<br />
実社会における多くの問題は線形計画問題として定式化できる. 線形計画の応用は, 初期の頃は, 軍事, 経済学やゲーム理論が中心であったが, 次第にその重点が産業の分野へと移行された [2, 3]. 1947年にダンツィク（G. B. Dantzig）[2] によって提案された[[単体法]]（simplex method）は, コンピュータの急速な発展と大規模な線形方程式を処理する技術の向上とあいまって, 線形計画問題に対する極めて実用的な解法となっている. しかし, 単体法は Klee-Minty [4] により, 問題の入力サイズ（変数の個数と制約の本数）に関する多項式時間解法ではないことが指摘された. カチヤン（L. G. Khachian）は[[楕円体法]]を提案し, 最初の多項式時間解法を与えた. [[カーマーカー法]]およびその後開発された[[内点法]]は, 超大規模な線形計画問題に対し, 理論および実用の両面において, 単体法より優れた解法として認められている.<br />
<br />
以下では, 線形計画の理論で重要な役割を果たす[[双対問題 (線形計画の)|双対問題]]（dual problem）, [[双対定理]]（duality theorem）および[[相補性定理]]（complementarity slackness theorem）について述べる.<br />
<br />
各々の線形計画問題（P）には, 双対問題と呼ばれる以下の線形計画問題（D）を対応させることができる:<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\mbox{(D)} \quad<br />
\begin{array}{lll}<br />
& \mbox{min.} & {\displaystyle \sum_{i=1}^{m}b_i y_i} \\<br />
& \mbox{s. t.} & {\displaystyle \sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_i}<br />
\geq c_j \; (j=1,2,\ldots,n), <br />
y_1,y_2,\ldots,y_m \geq 0.<br />
\end{array}</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
ここで, <math>c_j \, (j=1,2,\ldots,n), \, b_i \, (i=1,2,\ldots,m),\, a_{ij} \, (i=1,2,\ldots,m, \ j=1,2,\ldots,n)</math>は元の問題(P)で与えられたデータと同一である. 元の問題（P）は主問題, 問題（D）は主問題（P）に対する双対問題と呼ばれる. 双対問題の双対問題が主問題になることは, 問題（D）を問題（P）の形式に書き直すことにより容易に示せる. 主問題と双対問題の実行可能解について, 次のようなことが言える.<br />
<br />
:*主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>に対し, <math>\textstyle \sum_{j=1}^{n}c_jx_j\leq \sum_{i=1}^{m}b_i y_i</math>が成り立つ.<br />
<br />
:*主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>に対し, それらの目的関数値が一致するならば, <math>\boldsymbol{x}</math>と<math>\boldsymbol{y}</math>はそれぞれの問題の最適解である.<br />
<br />
さらに, 以下の双対定理と相補性定理が示すように, 主問題と双対問題のいずれか一方の最適解は, 他方の問題の最適解に関する情報を含む.<br />
<br />
'''双対定理:''' 主問題か双対問題のいずれか一方が最適解をもつならば, 他方もまた最適解をもち, それらの目的関数値は一致する. また, いずれか一方の問題の実行可能解に対する目的関数値が有界でなければ, 他方の問題は実行可能解をもたない.<br />
<br />
'''相補性定理:''' 主問題の実行可能解<math>\boldsymbol{x}</math>と双対問題の実行可能解<math>\boldsymbol{y}</math>がそれぞれの問題の最適解であるための必要十分条件は, 以下の2条件（i）,（ii）が成り立つことである.<br />
<br />
<br />
<table align="center"><br />
<tr><br />
<td><br />
<math>\begin{array}{lll}<br />
\mbox{(i)} & (c_j-\sum_{i=1}^{m}a_{ij}y_i)x_j=0,\ j=1,2,\ldots,n,\\<br />
\\<br />
\mbox{(ii)} & (\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j-b_i)y_i =0,\ i=1,2,\ldots,m.<br />
\end{array}</math></td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
これらの最適性条件を次のように言い換えることができる. いずれか一方の問題の<math>k\,</math>番目の制約式が不等号で成り立つならば, 他方の問題において対応する変数の値はゼロになる. また, いずれか一方の問題の<math>k\,</math>番目の変数の値が正ならば, 他方の問題においてそれに対応する制約式は等号で成り立つ.<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] V. Chv&aacute;tal, ''Linear Programming'', W. H. Freeman and Company, 1983, 阪田省二郎, 藤野和建 訳, 『線形計画法』上, 下, 啓学出版.<br />
<br />
[2] G. B. Dantzig, ''Linear Programming and Extensions'', Princeton University Press, 1963.<br />
<br />
[3] S. I. Gass, ''Linear Programming and Extensions'', MaGram-Hill, 1975.<br />
<br />
[4] V. Klee and G. J. Minty "How good is the simplex algorithm?" in ''Inequalities-III'', O. Shisha, eds., Academic Press, 159-175, 1989.<br />
<br />
[[Category:線形計画|せんけいけいかく]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B7%A8%EF%BC%9A%E9%A0%85%E7%9B%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&diff=9968
基礎編：項目一覧
2008-08-06T08:01:17Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>===線形計画===<br />
<br />
[[《最適化問題》]] [[線形計画]] [[《単体法》]] [[《楕円体法》]] [[《内点法》]] [[《半正定値計画》]]<br />
<br />
=== 非線形計画 ===<br />
<br />
[[《非線形計画》]] [[《最適性条件》]] [[《双対性理論》]] [[《制約なし最適化》]] [[《制約付き最適化》]] [[《大域的最適化》]] [[《相補性問題》]] [[《大規模問題の分解法》]] [[《凸解析》]] [[《高速微分法》]] [[《多項式最適化問題》]]<br />
<br />
=== 組合せ最適化 ===<br />
<br />
[[《整数計画》]] [[《組合せ最適化問題》]] [[《多面体理論》]] [[《アルゴリズム》]] [[《データ構造》]] [[《計算の複雑さ》]] [[《パーフェクトグラフ》]] [[《グレブナー基底》]]<br />
<br />
===グラフ・ネットワーク===<br />
<br />
[[《グラフ・ネットワーク》]] [[《グラフの連結度》]] [[《最短路問題》]] [[《最小木問題》]] [[《巡回セールスマン問題》]] [[《ネットワーク・フロー問題》]] [[《マッチング問題》]] [[《マトロイド》]] [[《劣モジュラ最適化》]] [[《離散凸解析》]] [[《複雑ネットワーク》]]<br />
<br />
===スケジューリング===<br />
<br />
[[《スケジューリング理論》]] [[《スケジューリング問題》]] [[《スケジューリングアルゴリズム》]]<br />
<br />
===計算幾何===<br />
<br />
[[《凸多面体》]] [[《アレンジメント》]] [[《ボロノイ図》]] [[《三角形分割》]] [[《幾何グラフ》]] [[《バケット法》]] [[《双対変換》]] [[《木》]] [[《ランダマイゼーション》]] [[《ロバスト化技術》]] [[《計算幾何学》]]<br />
<br />
===動的・確率・多目的計画===<br />
<br />
[[《動的計画》]] [[《両的計画》]] [[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]] [[《不変埋没原理》]] [[《多目的計画》]] [[《最適停止》]] [[《確率計画》]] <br />
<br />
===近似・知能・感覚的手法===<br />
<br />
[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]] [[《メタヒューリスティクス》]] [[《ファジイ理論》]] [[《ソフトコンピューティング》]]<br />
[[《ラフ集合》]] [[《ファジィランダム変数》]]<br />
[[《ニューラルネットワーク》]] [[《制約充足問題》]] [[《人工知能》]] [[《論理プログラミング》]] [[《サポート・ベクター・マシン》]]<br />
<br />
===ゲーム理論===<br />
<br />
[[《ゲーム理論》]] [[《非協力ゲーム理論》]] [[《戦略形ゲーム》]] [[《展開形ゲーム》]] [[《進化と学習のゲーム理論》]] [[《協力ゲーム理論》]] [[《交渉ゲーム》]] [[《提携形ゲーム》]] [[《ゲームと実験》]] [[《ゲーム理論の応用》]] [[《ゲームの解の計算》]] [[《生物学における進化ゲーム理論》]]<br />
<br />
===確率と確率過程===<br />
<br />
[[《確率論》]] [[《確率過程》]] [[《マルコフ連鎖》]] [[《ポアソン過程と出生死滅過程》]] [[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]] [[《マルコフ決定過程》]] [[《マルコフ連鎖の数値解法》]]<br />
<br />
===統計===<br />
<br />
[[《回帰分析》]] [[《クラスター分析》]] [[《判別関数》]] [[《多次元尺度構成法》]] [[《数量化法》]] [[《多変量解析》]]<br />
<br />
===予測===<br />
<br />
[[《予測》]] [[《指数平滑法》]] [[《季節調整法》]] [[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]] [[《カルマンフィルター》]] [[《非集計行動モデル》]] [[《生態学モデル》]] [[《バス(Bass)モデル》]]<br />
[[《複雑系による予測モデル》]]<br />
<br />
===シミュレーション===<br />
<br />
[[《シミュレーション》]] [[《離散型シミュレーション》]] [[《モンテカルロ法》]] [[《一様乱数》]] [[《非一様乱数》]] [[《離散型シミュレーションの統計的側面》]] [[《シミュレーションソフトウェア》]] [[《シミュレーションモデルの検証》]] [[《ペトリネット》]]<br />
<br />
===待ち行列===<br />
<br />
[[待ち行列モデル|《待ち行列》]] [[《待ち行列モデルの標準形》]] [[《待ち行列の各種モデル》]] [[待ち行列モデル M/M/c]] [[《待ち行列における関係式》]] [[待ち行列モデル M/G/1]] <br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル]] [[《待ち行列における近似》]] [[《待ち行列における希少事象の評価》]] [[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]<br />
<br />
===待ち行列ネットワーク===<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク]] [[ジャクソンネットワーク|《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]] [[BCMPネットワーク|《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]] <br />
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]] [[《待ち行列ネットワークの近似解析》]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》]]<br />
<br />
<br />
===待ち行列の応用===<br />
<br />
[[待ち行列の通信への応用]] [[待ち行列のコンピュータへの応用]] [[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===信頼性・保全性===<br />
<br />
[[《信頼性》]] [[《寿命分布》]] [[《保全性》]] [[《予防保全》]] [[《システムの安全性》]] [[《故障データ解析》]] [[《ベイズ信頼性》]] [[《システムの信頼性》]] [[《フォールトトレランス》]] [[《ソフトウェア信頼性》]]<br />
<br />
===探索理論===<br />
<br />
[[《探索理論》]] [[《目標存在分布の推定》]] [[《センサーの探知論》]] [[《探索モデルと探索の運動学》]]<br />
[[《静止目標物の最適探索》]]<br />
[[《移動目標物の最適探索》]]<br />
[[《探索ゲーム》]]<br />
[[《ランデブー探索》]]<br />
[[《探索理論の応用と実例》]]<br />
<br />
===経営・経済性工学===<br />
<br />
[[《経営戦略》]] [[《経営モデル》]] [[《分権管理》]] [[《経営意思決定》]] [[《利益計画》]] [[《経営分析》]] [[《間接費管理》]] [[《経済計算》]] [[《投資案件の評価》]] [[《財務管理》]] [[《企業価値評価》]]<br />
<br />
===マーケティング===<br />
<br />
[[《マーケティング概説》]] [[《マーケティングモデル》]] [[《マーケティング・リサーチ》]]<br />
<br />
===生産・在庫・ロジスティクス===<br />
<br />
[[《生産管理》]] [[《JIT生産システム》]] [[《ラインバランシング》]] [[《在庫管理》]] [[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]] [[《動的ロットサイズ決定問題》]] [[《ロットスケジューリング》]] [[《ロジスティクス》]] [[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]] [[《施設配置問題》]] [[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]<br />
[[《APS》]]<br />
<br />
===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===<br />
<br />
[[《製品企画開発》]] [[《研究開発》]] [[《プロジェクト管理》]] [[《総合的品質管理》]] [[《QC手法》]] [[《人的資源管理》]] [[《勤務スケジューリング》]]<br />
<br />
===ファイナンス===<br />
<br />
[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]] [[《資産評価理論》]] [[《企業財務》]] [[《資産運用モデル》]] [[《株価変動モデル》]] [[《証券市場モデル》]] [[《金利変動モデルと債券価格》]] [[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]] [[《デリバティブ評価モデル》]]<br />
[[《行動ファイナンス》]]<br />
[[《証券化》]]<br />
[[《倒産確率の推計》]]<br />
[[《リアルオプション》]]<br />
[[《CAPM》]]<br />
[[《無裁定価格理論》]]<br />
<br />
===公共システム===<br />
<br />
[[《選挙制度》]] [[《議員定数配分問題》]] [[《投票理論》]] [[《公共政策OR-I》]] [[《公共政策OR-II》]] [[《産業連関分析》]] [[《エネルギー・環境政策》]] [[《軍事モデル》]]<br />
<br />
===都市システム===<br />
<br />
[[《積分幾何学》]] [[《都市構造分析》]] [[《地理的最適化》]] [[《ウォードロップの原理》]] [[《地域間相互作用モデル》]] [[《ODの調査》]] [[《地理情報システム》]]<br />
<br />
===システム分析・意思決定支援・特許===<br />
<br />
[[《システム分析》]] [[《リエンジニアリング》]] [[《意思決定支援システム》]] [[《効用関数》]] [[《データマイニング》]] [[《過程決定計画図》]] [[《発想法》]] [[《モデル管理》]] [[《アルゴリズム特許》]]<br />
[[《モデリング》]]<br />
<br />
===AHP(階層的意思決定法)===<br />
<br />
[[《AHP》]] [[《AHP一対比較法》]] [[《AHP重要度算出法》]] [[《AHP整合性尺度》]] [[《拡張型AHP》]] [[《AHP重要度評価法》]] [[《グループAHP》]] [[《ANP》]] [[《AHPの諸問題》]] [[《大規模AHP》]] [[《AHPの誤差》]] [[《AHPの理論的解釈》]]<br />
<br />
===DEA(包絡分析法)===<br />
<br />
[[《DEA(包絡分析法)》]] [[《CCRモデル》]] [[《BCCモデル》]] [[《効率性》]] [[《規模の収穫》]] [[《SBMモデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%AD%A3%E7%AF%80%E8%AA%BF%E6%95%B4%E6%B3%95&diff=9964
季節調整法
2008-08-06T05:32:05Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【きせつちょうせいほう (seasonal adjustment)】'''<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
季節調整法とは, 時系列データ(月次データ・四半期データ)の変動を趨勢循環変動, 季節変動, 不規則変動の3成分に分解・推計し, 季節変動成分を元の系列から除去した季節調整済系列(趨勢循環・不規則変動の推計値)を求める方法をいう. 経済時系列を例にとっていうと, 季節調整は, 天候や社会慣習などの影響により毎年季節的に繰り返される変動を経済データから除去することによって, 景気の転換点等経済の基調的な動向を的確に把握するために行われる.<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
[[季節調整法]]とは, 時系列データ(月次データ・四半期データ)の変動を趨勢循環変動, 季節変動, 不規則変動の3成分に分解し, 趨勢循環変動と不規則変動を表した季節調整済系列(以下, 「季調済系列」と略す)を推計する方法をいう [1]. 経済時系列を例にとっていうと, 季節調整は, 天候や社会慣習などの影響により毎年季節的に繰り返される変動をデータから除去することによって, 景気の転換点など経済の基調的な動向を的確に把握するために行われる. <br />
<br />
実際の季節調整においては, 原系列(<math>Y_t\, </math>)と, 趨勢循環変動(<math>TC_t\, </math>), 季節変動(<math>S_t\, </math>), 不規則変動(<math>I_t\, </math>)の3要素の関係は, 次の乗法型か加法型が仮定される(<math>t\, </math>は時点をあらわす). <br />
<br />
:乗法型：<math>Y_{t}=TC_{t} \cdot S_{t} \cdot I_{t}, \, </math> 加法型：<math>Y_{t}=TC_{t}+ S_{t}+ I_{t}\, </math><br />
<br />
季節調整を上記モデルに沿って解釈すれば, 原系列<math>Y_t\, </math>から季節変動<math>S_t\, </math>を除去し, 乗法型であれば<math>TC_{t} \cdot I_{t},\, </math> 加法型であれば<math>TC_{t}+ I_{t}\, </math>を抽出推計する. <br />
<br />
季節調整法の伝統的な手法としては, [[移動平均法]]と呼ばれるものがあり, その代表格が, 米国商務省が開発した[[センサス局法]]X-11である. X-11の計算アルゴリズムはかなり複雑であるが, そのベースは「原系列の一年分の移動平均をとれば, 一年周期の季節変動が除去される」という単純な移動平均の発想に基づいている. X-11は世界各国の統計機関で利用されるなど実用面での重みがある一方で, 批判もまた少なくない. 批判は, パフォーマンス面からの批判と統計理論面からの批判に大別される [2][3]. <br />
<br />
まず, パフォーマンス面からの批判としては, X-11による季節調整の不安定性の問題がある. これは, 新規データの追加により季調済系列が過去に遡って大幅に改定されることを指すが, 足元の景気の動きをみる際には, 直近部分の季調済系列が重要な判断材料となるだけに, 不安定性は重要な問題である. こうした不安定性の原因としては, 1) 時系列の末端部分では, 新規データの追加に伴い移動平均のフィルターが変化する(後方移動平均→中心移動平均), 2) 異常値や曜日変動などが原系列に混入している場合には, 移動平均によって季節変動を適切に抽出することが困難である, ことが挙げられる. <br />
次に, 統計理論面からの批判としては, センサス局法が, 時系列の各変動成分に対して明確な確率モデルを仮定することなく, 単に移動平均を繰り返しているに過ぎないため, 得られた季調済系列の統計理論的な性質が不明瞭であるほか, 移動平均項数の設定も恣意的であるという問題が挙げられる. <br />
<br />
こうしたX-11の2つの問題を背景に, 新たな季節調整法が開発されている. X-11のパフォーマンス上の問題(季節調整の不安定性など)を改善するために, センサス局によって新たに開発されたのが, X-12-ARIMAである. また, 統計理論上の問題を解決するために, 移動平均法とは全く別のアプローチから, 多くの統計学者らによって開発されてきたのが, [[モデル型調整法]]である. <br />
<br />
センサス局法の最新バージョンX-12-ARIMAの特徴は, 季節調整の事前処理として, REGARIMAと呼ばれる時系列モデルの情報を用いることにある [4] [5]. その開発思想は, 前記のX-11による季節調整の不安定性の原因をREGARIMAによって取り除こうというものである. つまり, X-12-ARIMAでは, REGARIMAの事前調整によって, 原系列から異常値や曜日変動等を推計・除去するとともに, 原系列の予測値を推計した上で, この予測値と実際の原系列をつなげた系列に対して移動平均を行うことにより, 系列末端部分においても後方移動平均ではなく中心移動平均を用いた季節変動の推計を可能にした. <br />
<br />
一方, モデル型調整法は, 現実のデータがどのような確率モデルから生成されているのかを明確に仮定することによって, 季節調整の手続きを透明にし, かつ推計される季調済系列の統計理論的な性質を明瞭にすることを目的としたものである. モデル型調整法は, 各変動成分の確率モデルの仮定次第で様々なバリエーションをとりうるが, 主な手法としては, シグナル抽出法 [6] [7] や状態空間モデルによる季節調整 [8] [9] などが挙げられる. 例えば, 状態空間モデルは, 時系列の各変動成分を確率差分方程式の形で捉えることによってモデル全体を状態空間表現で規定し, 各変動成分の形状やノイズ分布等について, 汎用性を持たせた季節調整法である. ノイズ分布に関しては, 一般的には, 正規分布(ガウス分布)を仮定することが多いが, 非ガウス分布を仮定して, 時系列の異常値や構造変化をうまく処理するような工夫も最近ではされている [10]. <br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] 日本オペレーションズ・リサーチ学会, 「特集 季節変動のマネージメント」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 420-441.<br />
<br />
[2] 統計数理研究所, 「特集 季節調整法」, 『統計数理』, '''45''' (1997), 167-357.<br />
<br />
[3] 木村武, 「季節調整法の評価に関する実証分析」, 『日本統計学会誌』, '''26''' (1996), 269-286.<br />
<br />
[4] 木村武, 「最新移動平均型季節調整法X-12-ARIMAについて」『金融研究』, '''15''' (1996), 95-150.<br />
<br />
[5] D. F. Findley, B. C. Monsell, W. R. Bell, M. C. Otto and B. Chen, "New Capabilities and Methods of the X-12-ARIMA Seasonal Adjustment Program," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''16''' (1998), 127-177.<br />
<br />
[6] W. R. Bell and S. C. Hillmer, "Issues Involved with the Seasonal Adjustment of Economic Time Series," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''2''' (1984), 291-320.<br />
<br />
[7] J. P. Burman, "Seasonal Adjustment by Signal Extraction," ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series A, '''143''' (1980), 321-337.<br />
<br />
[8] 北川源四郎, 「時系列の分解－プログラムDECOMPの紹介」, 『統計数理』, '''34''' (1986), 255-271.<br />
<br />
[9] G. Kitagawa and W. Gersch, "A Smoothness Priors - State Space Modeling of Time Series with Trend and Seasonality," ''Journal of the American Statistical Association'', '''79''' (1984), 378-389.<br />
<br />
[10] G. Kitagawa, "Non-Gaussian State Space Modeling of Nonstationary Time Series," ''Journal of the American Statistical Association'', '''82''' (1987), 1032-1041.<br />
<br />
[[category:予測|きせつちょうせいほう]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=MRP&diff=9963
MRP
2008-08-06T05:21:59Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 えむあーるぴー (MRP (material requirements planning)) 】'''<br />
<br />
MRP（資材所要量計画）は，1960年代から米国で開発されてきた[[生産管理]]方式であり，<br />
対象となる品目を独立需要品目と従属需要品目に区分し，<br />
生産活動のすべてを[[タイムバケット]]（time bucket）と呼ばれる時間区間に対して計画し，<br />
そのタイムバケット内に行われるように管理する．<br />
独立需要品目に対する[[基準生産計画]]と[[部品表]]に基づいて，<br />
必要となる部品量を計算し，各品目の在庫量からその発注・生産指示を決定している．<br />
<br />
さらに会計, 財務機能等が追加され, 生産・販売管理と統合化されたMRPが, [[MRP II]] (製造資源計画) と呼ばれている.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=MRP_II&diff=9962
MRP II
2008-08-06T05:20:57Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【えむあーるぴーつー (MRP II (manufacturing resource planning))】'''<br />
<br />
[[MRP]]は, 生産の諸資源を長期的な観点から計画する資源所要量計画 (resource requirements planning) と, 短期的な観点から生産能力を計画・手配する能力所要量計画 (capacity requirements planning) の機能が加えられ, 総合的な生産管理システム (closed-loop MRP) に発展した. さらに会計, 財務機能等が追加され, 生産・販売管理と統合化されたMRPが, MRP II (製造資源計画) と呼ばれている.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=APS&diff=9959
APS
2008-08-06T05:08:23Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 えいぴーえす (advanced planning and scheduling) 】'''<br />
<br />
<br />
== 概説 ==<br />
多品種少量生産・受注生産に適した[[生産管理]]の方式であり，資材の必要量・入手時期の計画とそれらの資材の加工に用いる設備や人員の詳細な利用計画を同期的に作成することによって，納期見積りを正確に実施するとともに顧客の要求の変化に<br />
迅速かつ効率よく対応するところに特徴がある．そのため，製造業者と顧客，サプライアーと製造業者の協調が可能になり，APSはサプライチェーンマネジメントに欠かせない手段として見なされている．<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
高度情報化時代における多品種少量生産, 受注生産に適合した生産管理方式である．資材計画と生産設備の利用計画を同期的に作成し, 精度の高い納期を見積ったうえ, 納期を厳守するという前提のもとで様々な不確実性に対処して, それらの計画を更新し続けるところに特徴がある[1]. また, APSは顧客とメーカー, メーカーとサプライアー間での情報共有を通してそれらのプレイアーの協調を実現するサプライチェーン･マネジメント(SCM)の手段として期待されている. 以下において, どのような背景のもとでAPSの概念が構築され, いかなる論理構造を持っているかについて述べる.<br />
<br />
従来の生産管理方式の代表的なものは, 1970年代に米国で普及したMRP(Material Requirements Planning)であり, 当初はMPS(基準生産計画), つまり, タイムバケットと呼ばれる時間軸上の各区間に示された製品別の生産予定量を製造するために必要な半製品や部品がいつどれだけ必要であるかを計算し, それらの資材を製造する部門や販売する部門に指示するという資材所要量計画システムを意味していた．この計画システムは製造現場の能力と無関係に作成され, 基準生産計画の内容によっては特定の資材を生産する部門の作業負荷が生産能力を超過することが生じた．そのため, 作業負荷と生産能力を比べて計画の実現可能性を調べ, 作業負荷が生産能力を大幅に超える場合は基準生産計画の内容を変更する機能が追加された[2]. <br />
<br />
いま述べたように, ウォータホール型のMRPは閉ループを持ったシステムに改良され, 後者はMRPⅡあるいはManufacturing Resource Planning と呼ばれている. しかし, この制御は自動的に処理するにはあまりにも複雑であって, 満足のいく解が求められる保証はない. また, 受注生産化が進むとともに多品種少量生産の時代に変わり, 見込み生産が一般的であった時代に開発されたMRPは解決が難しい問題に対面している[3].これは米国ではスケジュール過敏症と呼ばれており, 受注オーダの内容, つまり, 基準生産計画が作成後に変更され, それに応じるために立案済みの資材計画や製造設備の利用計画を修正する結果, 販売・製造・購買の現場で生産性の低下, 労働意欲の低減, 費用の増加, 顧客サービスの低下が生じるというものである.この問題の対応策については多くの研究が行われているものの決定的な方策が見つけられていない. 効果的な方法としては, 現在計画中および実施中のオーダの中で早く投入されたもののいくつか(the first n orders)の処理が予定されている期間を凍結するという方策(MRP freezing)が用いられるが, 製品在庫やロットサイジング･ルールなど他の要因も関連していて, どのような場合に何をするべきかはまだ解明されていない. <br />
<br />
資材計画を作成した後に製造設備の利用計画を作成するという処理手続きは, MRPの構造的な問題点であるといえる．この論理構造は当時のコンピュータの処理能力の不足を補うためにもたらされたものであろう. 資材計画を立案するときにBOM(Bill of Material)と呼ばれる製品構成を示したデータを用いる. MRPの計算対象になる製品は他の製品と共通した半製品や部品から構成されるため, 製品別にそれらの構成品つまり資材の所要量を計算するのは不都合である．構成品の在庫がある場合に在庫量が必要量から差し引かれて下位の構成品の必要量が求められるので, 製品別に構成品の必要量を計算すると, 取り上げる製品の順序によって構成品の必要量が異なるという結果が生じる．したがって, MRPでは共通の構成品を有するすべての製品を同時に考慮して, 製品から(一般には上位の構成品から)見て一段階下の構成品の必要量を繰り返し計算するという方法が用いられる. 資材計画と生産設備の利用計画を同期的に立案しようとすれば, いま述べたBOMのデータベースと構成品の生産に必要な作業, 作業順序, 作業の所要時間, 作業に必要な製造設備を示す生産情報のデータベースを交互に検索する必要が生じ, 計算時間は膨大なものとなり, MRPは生産管理の問題解決に役立たなかったに違いない. TOCの提唱者であるGoldrattは コンピュータの性能が飛躍的に向上した時代において, 生産情報から切り離されたBOMを利用し続けることの損失を指摘している[4].<br />
<br />
MRPに対する潜在的な批判は日本の産業界ではもともと存在した. その一つはMRPが開発される以前から利用されていた製番方式が日本ではその後も引き続いて用いられたという事実である. 製番方式では顧客オーダごとに製造番号が割り当てられ, その顧客オーダに係わる製造オーダにその番号が付けられて進捗管理が実施される. つまり, すべての生産オーダやその生産オーダに基づいて製造された仕掛品は顧客オーダに引き当てられる. 生産が始まった後に顧客が注文量を削減した場合は該当量の仕掛品は引き当てから外され, 別の顧客オーダへの引き当てを待つことになる. MRPの開発理由に, このような宙に浮いた仕掛品が利用されずに無駄になることを避けられるというものがあったが, 情報化が進んだ時代であれば, 宙に浮いた仕掛品の仕様とその量のデータを入力さえすれば済むことであり, むしろその情報を積極的に製品設計に利用すればリードタイムの短縮や仕掛り在庫の削減ができる. 注文にもとづいて生産する場合でも, MRPは生産オーダや仕掛品がどの顧客オーダのためのものであるかを識別せずに行う管理方式である. 製番方式は受注生産, 多品種少量生産を行っている規模があまり大きくない事業所に適しており, そのような事業所が多い日本の産業に向いていたといえる. 他の一つは, 日本には生産座席予約方式と呼ばれている受注時に製造設備の利用計画を作り, それに基づいて納期見積りを行う生産方式がある. これはCIM(Computer Integrated Manufacturing)が導入され, 進むべき方向としてその概念が形成された製販統合型CIMの成果として生まれたものである. 生産座席予約方式は納期見積りの方法とデータが顧客に公表され, 顧客とメーカーの協調のもとに納期が決定され, 決定した納期は守られるという先進的な試みが1990年代の前半にすでに見られている.<br />
<br />
APSの概念が日本において発展した背景はいまのべたようにもともと類似した概念が存在し, それが最新の情報技術と結びついたからに他ならない. さらに, 現代的な管理技術の代表であるSCMにも適合している. 顧客を重視し, 顧客とメーカーが協調して納期を見積もる. 見積もった納期を厳守する. そのために, 資材計画と設備の利用計画(多くは詳細な生産スケジュール)を同期的に作成する. また, 生産オーダや仕掛品は常に顧客オーダに引き当てられる. 顧客オーダの変更に対しては計画段階において極力対応する. そのために, 資材の引き当てや生産スケジュールの修正を随時実行する. 具体的な技術として, BOMと生産情報を直結したM-BOM, 最新の納期見積りとスケジューリングの方式, モジュールとその在庫管理方式などの利用. これらの一連の行為はAPSの論理構造を示している. わが国では, APSは受注に基づいて加工･組立てを行っている中小規模の事業所を中心にして普及しつつある. さらに, 世界に先駆けてPSLXによるAPS記述言語の標準化が進められている[5].<br />
<br />
<br />
-----------<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 黒田充,「APSの論理構造 ―MRPからの離脱―」, オペレーションズ･リサーチ, 49(2004), 563-568.<br />
<br />
[2] V. Sridharan and R. Lawrence LaForge, 「資材計画: MRPからMRPⅡとERPへ」, P.M.Swamidas編(黒田充, 門田安弘, 森戸晋監訳), 生産管理大事典, 朝倉書店, 233-236, 2004.<br />
<br />
[3] R. Lawrence LaForge, S.N. Kadipasaogle and V. Sridharan, 「スケジュールの安定性」, P.M.Swamidas編(黒田充, 門田安弘, 森戸晋監訳), 生産管理大事典, 朝倉書店, 290-293, 2004.<br />
<br />
[4] E. M. Goldratt, The Haystack Syndrome, North River Press, Inc., 1990.<br />
<br />
[5] 西岡靖之, 「APS」, 日本プラントメンテナンス協会, 2001.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%85%A5%E5%8A%9B%E7%8E%87&diff=9958
入力率
2008-08-06T05:03:13Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【にゅうりょくりつ (input rate)】'''<br />
<br />
連続時間の[[待ち行列モデル#流体近似モデル|流体近似モデル]]において, 時刻<math>0\,</math>から<math>t\,</math>までの入力の累積を<math>A_t\,</math>としたとき, <math>A_t\,</math>がある確率過程<math>X_t\,</math>の時間積分<math>\textstyle \int_{0}^t X_s\mbox{d}s\,</math>で表されるとき, <math>X_s\,</math>を時刻<math>s\,</math>における入力率と呼ぶ. [[穴あきバケツモデル]]では, 注ぎ込まれる単位時間当りの入力量のこと.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E8%B2%A0%E3%81%AE%E5%AE%A2&diff=9950
負の客
2008-08-06T04:14:48Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 ふのきゃく (negative customer) 】'''<br />
<br />
到着することにより，<br />
待ち行列システム内の[[客]]を減らす仮想的な客．<br />
[[待ち行列]]に並んだ客を途中で退去させる場合や[[待ち行列ネットワーク]]において，<br />
複数のノードで同時に退去を起こす事象を表すために使われる．<br />
ジャクソンや[[ケリーネットワーク]]では，<br />
負の客を経路選択時に発生させた場合にも[[定常分布]]は積形式となる．<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[ジャクソンネットワーク#負の客とシグナル|ジャクソンネットワーク]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF&diff=9949
ジャクソンネットワーク
2008-08-06T04:13:02Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 じゃくそんねっとわーく (Jackson network) 】'''<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
各ノードはひとつまたは複数の[[窓口]]からなり，<br />
[[指数分布]]にしたがうサービス時間でサービスを行い，<br />
ノードでのサービスを終えた[[客]]は次のノードまたは外部を[[確率的経路選択]]に<br />
したがって選ぶ[[待ち行列ネットワーク]]．<br />
客をクラスにより区別しない．<br />
外部から[[ポアソン過程]]にしたがって客が到着する開放型と，<br />
常に一定数の客が網内を循環している閉鎖型に分けられる．<br />
ネットワーク状態の定常確率分布は積形式をもつ．<br />
基本的なモデルとして重要なものであり，広く応用されている．<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
ジャクソンネットワークの名は J.R.Jackson[5]に因る．1970年代後半から, 計算機システムの評価に応用されはじめた．待ち行列網の状態変化がマルコフ過程として記述され, 平衡方程式の解である定常確率分布が[[積形式解|積形式]]として陽に表される基本的なモデルとして重要なものとなっている．<br />
<br />
この待ち行列網の各ノードは指数分布に従うサービス時間をもつ窓口からなり, １つのノードのサービスを終えた客が，その客の履歴によらず，[[経路選択確率]]と呼ぶ一定の確率で次のノードを選ぶモデルである．すなわち，<math>M\, </math>個のノード<math>1, 2, \ldots, M\, </math>からなり，ノード<math>i\, </math>のサービス率はそのノードにいる客数<math>n\, </math>の関数で，<math>C_{i}\,(n) </math>と表すことができる．例えば，ノード<math>i\, </math>のサーバー数が<math>c_{i}\, </math>，サービス時間分布がサービス率<math>\mu_{i}\, </math>の[[指数分布]]ならば，<math>C_i(n)=\min(n, c_{i})\mu_{i}\, </math>である．ノード<math>i\, </math>のサービスを終えた客は経路選択確率<math>r_{ij}\, </math>でノード<math>j\, </math>に移動する．<br />
<br />
この網は，外部からの客の到着を仮定する[[開放型ネットワーク|開放型]]と，外部からの到着はなく，常に一定数<math>N\, </math>の客が網内を移動する[[閉鎖型ネットワーク|閉鎖型]]に大別される．開放型の場合，外部からの到着過程は到着率<math>\lambda\, </math>の[[ポアソン到着|ポアソン過程]]とする．外部から到着した客は確率<math>r_{0i}\, </math>でノード<math>i\, </math>に進み，ノード<math>i\, </math>のサービスが終了した客は確率<math>r_{i0}\, </math>で網から退去する．少なくとも一つの<math>i\, </math>について，<math>r_{i0}\,>0 </math>とならなければならない．閉鎖型の場合はすべての<math>i\, </math>について，<math>\textstyle \sum_{j=1}^Mp_{ij} =1\, </math> とする．<br />
経路選択確率<math>r_{ij}\, </math> からなる正方行列を<math>P\, </math>とする．開放型の場合，状態<math>0\, </math>があるため，<math>P\, </math>は<math>M+1\, </math>次となり，閉鎖型の場合<math>M\, </math>次となる．<br />
<math>P\, </math>をマルコフ連鎖の推移確率行列とみたとき，既約であると仮定する．客のクラスが複数の場合の[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型]]<br />
については，発展した型である[[BCMPネットワーク|BCMP型]]や[[ケリーネットワーク|ケリー型]]などのネットワークに分類される．また，外部からの到着があるが，系内に入ることができる客数に制限がある[[有限呼源待ち行列|有限呼源]](もしくは損失型)の場合，外部を一つのノードとみなすことにより，閉鎖型に帰着できる（[5]参照）．<br />
<br />
=== 積形式解 ===<br />
この待ち行列網の状態を <math>(n_1, n_2, \ldots, n_M)\, </math> で表す. ここで <math>n_i\, </math> はノード <math>i\, </math> にいる客の数である. 定常状態確率を <math>p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}\, </math> とすれば, これは次のような積形式になる. <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}=G^{-1} \prod_{i=1}^M<br />
\, \frac{\alpha_i^{n_i}}{\prod_{n=1}^{n_i} C_i(n)} <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
上記の積で <math>n_i=0\, </math> となる項は1とする. <math>G\, </math> は[[ネットワーク状態分布の正規化定数|正規化定数]]であり, <math>\alpha_i\, </math> <math>(i=1, 2, \ldots, M)\, </math> は[[トラフィック方程式]]と呼ばれるつぎの方程式の解である.<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\alpha_i = p_{0i}\lambda + \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji}, <br />
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad <br />
\, </math> 開放型<br />
</center><br />
<br />
<center><br />
<math> <br />
\alpha_i = \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji}, <br />
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad<br />
\, </math> 開放型<br />
</center><br />
<br />
<br />
この方程式は，各ノード毎に到着率が退去率に等しいとして得られる1次の連立方程式である．開放型の場合，解<math>\alpha_i\, </math>は一人の客が網に到着してから退去するまでにノード<math>i\, </math>を訪問する平均回数にネットワークへの総到着率<math>\lambda\, </math>を乗じたものである．閉鎖型の場合は，トラヒック方程式は<math>P\, </math>の定常確率を求める方程式と同一であり，さらに，例えば<math>\alpha_1=1\, </math>とすれば，<math>\alpha_{i}\, </math>はノード1に到着してからまた次にそこに到着するまでの間にノード<math>i\, </math>を訪問する期待回数という意味をもつ．<br />
<br />
定常分布が積形式となることから，開放型の場合，任意時点での，各ノードの列の長さは互いに独立になり，各ノードからの退去過程がポアソン過程になる．また，閉鎖型も含め，どんな部分ネットワークに対しても，部分ネットワーク全体を１つのノードで置き換えて，他の部分の定常分布が変えないようにすることができる．<br />
長さは互いに独立になる．また，閉鎖型も含め，各ノードからの退去過程がポアソン過程になる．したがって，どんな部分ネットワークに対しても，部分ネットワー%ク全体を１つのノードで置き換えて，他の部分の定常分布が変えないようにすることができ, すなわち，[[ノートンの定理|ノートンの定理]]が任意の部分ネットワークに対して成り立つ[11]．さらに，１つのノードへの各到着時点で，到着した客が見るネットワークの状態の分布は任意時点の状態分布と一致する．これを[[到着定理|到着定理]]という．ただし，網が閉鎖型の場合には，任意時点の分布として，到着した客を除いた網を使う．さらにその客の退去時点での分布も同様であり[6]，この分布でのもとで，ノード<math>i\, </math>に到着してから，次にそこに戻るまでの平均周期時間はノードごとの平均訪問回数と平均待ち時間の積の総和となること等が求まる．<br />
<br />
=== 正規化定数と性能評価量の計算 ===<br />
積形式解から定常分布を求めるためには正規化定数の計算が必要である．開放型の場合は容易であるが，閉鎖型の場合には，可能な状態が<math>\textstyle \sum_{i=1}^M n_i =N\, </math>を満たすもに限られるので，工夫が必要である．例えば，閉鎖型正規化定数を計算する方法として，[[たたみ込み法]]や[[平均値解析法]]が知られている．[2]．たたみこみ法では, ノード <math>i\, </math> に対し, <math>N+1\, </math> 次元のベクトルを<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
X_i=(X_i(0), X_i(1), \ldots, X_i(N)), <br />
\quad X_i(0)=1, X_i(n)= \frac {\alpha_i^{n}} {\Pi_{j=1}^n C_{i}(j)} \quad (n>0), <br />
\ n>0<br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
とし，<math>G=(X_1*X_2*...*X_M){\mathbf 1}\, </math>で与える．<math>*\, </math>はベクトルのたたみ込み演算である．定常分布が求まれば，スループットや平均待ち行列長の計算は比較的簡単である．しかし，正規化定数を計算することなく直接平均待ち行列長を計算する方法もある．例えば，平均値解析法は到着定理と[[リトルの公式|Littleの公式]]を応用し，平均列長などを系内客数<math>N\, </math>について0から繰り返し計算する方法である．各ノードでの平均待ち時間は到着時点での平均列長と平均サービス時間から求まる規律，例えば先着順であることが本質的である．<br />
<br />
=== 待ち時間 ===<br />
待ち時間の分布については，特殊な網について考察されている．開放型で，サーバー数が1のノード(規律は先着順)が直列に並んでいる網もJackson型の一つであるが，この網で一人の客の各ノードでの滞在時間は互いに独立であることが[[バークの定理|バークの定理]]として知られている[1],[9]．これを閉鎖型にした場合，すなわち，最後のノードを退去した客は必ず最初のノードに戻る周期的な網でも，一周する間の一人の客の各ノードでの滞在時間の同時分布も一種の積の形となる[10]．一人の客が他の客に追い越されることがない(overtake free)という性質が本質的であり，バークの定理は，この影響がない最初と最後のノードでのサーバー数が複数の場合でも成り立つ．特に最後のノードのサービス時間分布は任意でよい．その他，[[セントラルサーバモデル]]で規律が[[プロセッサシェアリング]]である場合の研究もある．(例えば[8])．<br />
<br />
=== 負の客とシグナル ===<br />
ジャクソンネットワークの特徴は，ネットワーク内の各ノードに滞在する客数を要素とするベクトルを状態に取ると連続時間マルコフ連鎖により表されることにある．1990年代に[4]は，到着すると客数を減らす[[負の客]]という概念を導入し，同様なマルコフ連鎖によるモデル化を行い，ジャクソンネットワークと同様な積形式の定常分布をもつことを証明した．到着客が待ち行列に並んだ後にサービスを受けずに退去することがあるので，各ノードへの通常の客の総到着率は減少し，客の強制退去を考慮した非線形なトラヒック方程式の解として求められる．定常分布はこの変更された総到着率を使って表すことができる．その後，このモデルは，負の客が複数のノードを瞬間的に動き回る[[シグナル到着ネットワーク]]へ拡張され，積形式の定常分布をもつことが証明されている（[3]参照）．例えば，各ノードで集団サービスが行われるジャクソン型と同様なネットワークで，予定された大きさの集団がサービスされた集団のみ1つの客となり経路を選択するモデルは，シグナル到着ジャクソンネットワークの例である．<br />
<br />
=== 集団移動型 ===<br />
ジャクソンネットワークと同様にポアソン到着やサービス時間が指数分布に従うモデルで，集団到着や集団退去があるモデルもあり，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]と呼ばれる．このモデルは上記で述べた特別な場合を除いて，積形式の定常分布をもたないが，サービス集団の大きさがノードごとに独立であり経路の選択が集団ごとにまとめて行われる場合には，定常分布の補分布の上限を与える積形式分布が知られている（\[7],[12]参照）．また，このモデルは，サービス完了時刻でネットワークの変化を追うと離散時間型のモデルと見なすこともできる．<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] P. J. Burke, "The Output Process of a Stationary M/M/s Queuing System, ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''39''' (1968), 1144-1152. <br />
<br />
[2] K. M. Chandy and C. H. Sauer, "Computational Algorithms for Product Form Queueing Networks," ''Communications of the Association for Computing Machinery'', '''23''' (1980), 573-583. <br />
<br />
[3]X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks; customers, signals and product form solutions,'' Wiley, 1999.<br />
<br />
[4]E. Gelenbe, ``Product-form queueing networks with negative and positive customers,'' Journal of Applied Probability}, (1991), 656--663.<br />
<br />
[5] J. R. Jackson, "Jobshop-like Queueing Systems," ''Management Science'', '''10''' (1963), 131-142. <br />
<br />
[6]T. Kawashima,<br />
``A Property of two Palm measures in queueing networks and its applications,''Journal of the Operations Research Society of Japan, (1982), 16--28.<br />
<br />
[7]M. Miyazawa, P. Taylor,<br />
``A geometric product-form distribution for a queueing network with nonstandard batch arrivals and batch transfers,'' Advances in Applied Probability 29, (1997), 523--544.<br />
<br />
[8] J. A. Morrison and D. Mittra, "Heavy-usage Asymptotic Expansions for the Waiting Time in Closed Processor-sharing Systems with Multiple Casese," ''Advances in Applied Probability'', '''17''' (1985), 163-185. <br />
<br />
[9] E. Reich "Note on Queues in Tandem," ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''34''' (1963), 338-341. <br />
<br />
[10] R. Schassberger and H. Daduna. "Sojourn Times in Queueing Networks with Multiserver Nodes," ''Journal of Applied Probability'', '''24''' (1987), 511-521. <br />
<br />
[11] J. Walrand, ''An Introduction to Queueing Networks'', Prentice Hall, 1988.<br />
<br />
[12]H. Yamashita, M. Miyazawa,``Product form queueing networks with concurrent movements,''<br />
. ''Advances in Applied Probability, '' '''30''' (1998), 1111--1129.<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|まちぎょうれつねっとわーく（じゃくそんがたとそのおうよう）]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E6%B5%81%E4%BD%93%E8%BF%91%E4%BC%BC&diff=9948
流体近似
2008-08-06T04:06:29Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 りゅうたいきんじ (fluid approximation) 】'''<br />
<br />
[[待ち行列]]やそのネットワークおいて，<br />
[[客]]の動きを連続的な量である流体で近似すること．<br />
一般に客の数が多くサービス時間が短いモデルによく当てはまる．<br />
待ち行列のように状態（またはその重要な構成要素）が離散的である<br />
[[確率過程]]においては，<br />
状態空間と時間軸を同じスケールで縮小したときの<br />
極限過程として流体近似が得られる．<br />
このようにして得られた極限過程は，<br />
[[大数の法則]]によって，一般に確定的な標本関数を持つ．<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[待ち行列モデル#流体近似モデル|待ち行列モデル]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》|待ち行列ネットワークの安定性]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E7%A9%B4%E3%81%82%E3%81%8D%E3%83%90%E3%82%B1%E3%83%84%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=9947
穴あきバケツモデル
2008-08-06T04:02:24Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【あなあきばけつもでる (bucket-with-hole model)】'''<br />
<br />
時刻<math>t \,</math>における入力率を<math>X_t \,</math>, 出力率を<math>C \,</math>としたとき, 待ち行列長<math>Q_t \,</math>の振舞いを次式で表現した待ち行列モデル. <br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> X_t - C, \,</math></td><br />
<td><math> X_t > C, \,</math>または <math> Q_t>0, \,</math></td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0, \, </math></td><br />
<td>その他.</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
上記微分方程式は穴の空いたバケツに<math>X_t \,</math>の入力率で水を注ぎ込んだときのバケツに溜まっている水の量の振舞いを表現している. 流体(近似)モデルとも呼ばれる.<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[待ち行列モデル#流体近似モデル|待ち行列モデル]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=9945
待ち行列モデル
2008-08-06T04:00:15Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
== 概要 ==<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ. 単一の待ち行列モデルは, 客の到着, 窓口における客のサービス, サービスを待つ客が成す待ち行列, などから構成され, 平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される. 近年, 待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され, コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている.<br />
<br />
<br />
== 詳説 ==<br />
<br />
=== 混雑現象 ===<br />
われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる. <br />
<br />
このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている. <br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している). <br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む). <br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる). <br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる). <br />
<br />
=== 混雑現象のためのモデル ===<br />
a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc. は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である. <br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である. むろんそれらが複合していることもある. <br />
<br />
=== 流体近似モデル ===<br />
i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
<br />
=== 待ち行列モデル ===<br />
サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる. <br />
<br />
客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる. <br />
<br />
=== 性能評価指標, 混雑指標 ===<br />
図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは<br />
<br />
<center><br />
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
</center><br />
<br />
<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる. <br />
<br />
一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる. <br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]. <br />
<br />
近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [3,4,5] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]. <br />
<br />
----<br />
=== 参考文献 ===<br />
<br />
[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975. <br />
<br />
[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105. <br />
<br />
[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107. <br />
<br />
[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄, 森村英典, 『混雑と待ち』, 朝倉書店, 2001.<br />
<br />
[6] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会 http://www.is.titech.ac.jp/~kkatou/queue/<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B7%A8%EF%BC%9A%E9%A0%85%E7%9B%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&diff=9944
基礎編：項目一覧
2008-08-06T03:46:43Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>===線形計画===<br />
<br />
[[《最適化問題》]] [[《線形計画》]] [[《単体法》]] [[《楕円体法》]] [[《内点法》]] [[《半正定値計画》]]<br />
<br />
=== 非線形計画 ===<br />
<br />
[[《非線形計画》]] [[《最適性条件》]] [[《双対性理論》]] [[《制約なし最適化》]] [[《制約付き最適化》]] [[《大域的最適化》]] [[《相補性問題》]] [[《大規模問題の分解法》]] [[《凸解析》]] [[《高速微分法》]] [[《多項式最適化問題》]]<br />
<br />
=== 組合せ最適化 ===<br />
<br />
[[《整数計画》]] [[《組合せ最適化問題》]] [[《多面体理論》]] [[《アルゴリズム》]] [[《データ構造》]] [[《計算の複雑さ》]] [[《パーフェクトグラフ》]] [[《グレブナー基底》]]<br />
<br />
===グラフ・ネットワーク===<br />
<br />
[[《グラフ・ネットワーク》]] [[《グラフの連結度》]] [[《最短路問題》]] [[《最小木問題》]] [[《巡回セールスマン問題》]] [[《ネットワーク・フロー問題》]] [[《マッチング問題》]] [[《マトロイド》]] [[《劣モジュラ最適化》]] [[《離散凸解析》]] [[《複雑ネットワーク》]]<br />
<br />
===スケジューリング===<br />
<br />
[[《スケジューリング理論》]] [[《スケジューリング問題》]] [[《スケジューリングアルゴリズム》]]<br />
<br />
===計算幾何===<br />
<br />
[[《凸多面体》]] [[《アレンジメント》]] [[《ボロノイ図》]] [[《三角形分割》]] [[《幾何グラフ》]] [[《バケット法》]] [[《双対変換》]] [[《木》]] [[《ランダマイゼーション》]] [[《ロバスト化技術》]] [[《計算幾何学》]]<br />
<br />
===動的・確率・多目的計画===<br />
<br />
[[《動的計画》]] [[《両的計画》]] [[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]] [[《不変埋没原理》]] [[《多目的計画》]] [[《最適停止》]] [[《確率計画》]] <br />
<br />
===近似・知能・感覚的手法===<br />
<br />
[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]] [[《メタヒューリスティクス》]] [[《ファジイ理論》]] [[《ソフトコンピューティング》]]<br />
[[《ラフ集合》]] [[《ファジィランダム変数》]]<br />
[[《ニューラルネットワーク》]] [[《制約充足問題》]] [[《人工知能》]] [[《論理プログラミング》]] [[《サポート・ベクター・マシン》]]<br />
<br />
===ゲーム理論===<br />
<br />
[[《ゲーム理論》]] [[《非協力ゲーム理論》]] [[《戦略形ゲーム》]] [[《展開形ゲーム》]] [[《進化と学習のゲーム理論》]] [[《協力ゲーム理論》]] [[《交渉ゲーム》]] [[《提携形ゲーム》]] [[《ゲームと実験》]] [[《ゲーム理論の応用》]] [[《ゲームの解の計算》]] [[《生物学における進化ゲーム理論》]]<br />
<br />
===確率と確率過程===<br />
<br />
[[《確率論》]] [[《確率過程》]] [[《マルコフ連鎖》]] [[《ポアソン過程と出生死滅過程》]] [[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]] [[《マルコフ決定過程》]] [[《マルコフ連鎖の数値解法》]]<br />
<br />
===統計===<br />
<br />
[[《回帰分析》]] [[《クラスター分析》]] [[《判別関数》]] [[《多次元尺度構成法》]] [[《数量化法》]] [[《多変量解析》]]<br />
<br />
===予測===<br />
<br />
[[《予測》]] [[《指数平滑法》]] [[《季節調整法》]] [[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]] [[《カルマンフィルター》]] [[《非集計行動モデル》]] [[《生態学モデル》]] [[《バス(Bass)モデル》]]<br />
[[《複雑系による予測モデル》]]<br />
<br />
===シミュレーション===<br />
<br />
[[《シミュレーション》]] [[《離散型シミュレーション》]] [[《モンテカルロ法》]] [[《一様乱数》]] [[《非一様乱数》]] [[《離散型シミュレーションの統計的側面》]] [[《シミュレーションソフトウェア》]] [[《シミュレーションモデルの検証》]] [[《ペトリネット》]]<br />
<br />
===待ち行列===<br />
<br />
[[待ち行列モデル|《待ち行列》]] [[《待ち行列モデルの標準形》]] [[《待ち行列の各種モデル》]] [[待ち行列モデル M/M/c]] [[《待ち行列における関係式》]] [[待ち行列モデル M/G/1]] <br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル]] [[《待ち行列における近似》]] [[《待ち行列における希少事象の評価》]] [[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]<br />
<br />
===待ち行列ネットワーク===<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク]] [[ジャクソンネットワーク|《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]] [[BCMPネットワーク|《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]] <br />
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]] [[《待ち行列ネットワークの近似解析》]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》]]<br />
<br />
<br />
===待ち行列の応用===<br />
<br />
[[待ち行列の通信への応用]] [[待ち行列のコンピュータへの応用]] [[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===信頼性・保全性===<br />
<br />
[[《信頼性》]] [[《寿命分布》]] [[《保全性》]] [[《予防保全》]] [[《システムの安全性》]] [[《故障データ解析》]] [[《ベイズ信頼性》]] [[《システムの信頼性》]] [[《フォールトトレランス》]] [[《ソフトウェア信頼性》]]<br />
<br />
===探索理論===<br />
<br />
[[《探索理論》]] [[《目標存在分布の推定》]] [[《センサーの探知論》]] [[《探索モデルと探索の運動学》]]<br />
[[《静止目標物の最適探索》]]<br />
[[《移動目標物の最適探索》]]<br />
[[《探索ゲーム》]]<br />
[[《ランデブー探索》]]<br />
[[《探索理論の応用と実例》]]<br />
<br />
===経営・経済性工学===<br />
<br />
[[《経営戦略》]] [[《経営モデル》]] [[《分権管理》]] [[《経営意思決定》]] [[《利益計画》]] [[《経営分析》]] [[《間接費管理》]] [[《経済計算》]] [[《投資案件の評価》]] [[《財務管理》]] [[《企業価値評価》]]<br />
<br />
===マーケティング===<br />
<br />
[[《マーケティング概説》]] [[《マーケティングモデル》]] [[《マーケティング・リサーチ》]]<br />
<br />
===生産・在庫・ロジスティクス===<br />
<br />
[[《生産管理》]] [[《JIT生産システム》]] [[《ラインバランシング》]] [[《在庫管理》]] [[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]] [[《動的ロットサイズ決定問題》]] [[《ロットスケジューリング》]] [[《ロジスティクス》]] [[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]] [[《施設配置問題》]] [[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]<br />
[[《APS》]]<br />
<br />
===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===<br />
<br />
[[《製品企画開発》]] [[《研究開発》]] [[《プロジェクト管理》]] [[《総合的品質管理》]] [[《QC手法》]] [[《人的資源管理》]] [[《勤務スケジューリング》]]<br />
<br />
===ファイナンス===<br />
<br />
[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]] [[《資産評価理論》]] [[《企業財務》]] [[《資産運用モデル》]] [[《株価変動モデル》]] [[《証券市場モデル》]] [[《金利変動モデルと債券価格》]] [[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]] [[《デリバティブ評価モデル》]]<br />
[[《行動ファイナンス》]]<br />
[[《証券化》]]<br />
[[《倒産確率の推計》]]<br />
[[《リアルオプション》]]<br />
[[《CAPM》]]<br />
[[《無裁定価格理論》]]<br />
<br />
===公共システム===<br />
<br />
[[《選挙制度》]] [[《議員定数配分問題》]] [[《投票理論》]] [[《公共政策OR-I》]] [[《公共政策OR-II》]] [[《産業連関分析》]] [[《エネルギー・環境政策》]] [[《軍事モデル》]]<br />
<br />
===都市システム===<br />
<br />
[[《積分幾何学》]] [[《都市構造分析》]] [[《地理的最適化》]] [[《ウォードロップの原理》]] [[《地域間相互作用モデル》]] [[《ODの調査》]] [[《地理情報システム》]]<br />
<br />
===システム分析・意思決定支援・特許===<br />
<br />
[[《システム分析》]] [[《リエンジニアリング》]] [[《意思決定支援システム》]] [[《効用関数》]] [[《データマイニング》]] [[《過程決定計画図》]] [[《発想法》]] [[《モデル管理》]] [[《アルゴリズム特許》]]<br />
[[《モデリング》]]<br />
<br />
===AHP(階層的意思決定法)===<br />
<br />
[[《AHP》]] [[《AHP一対比較法》]] [[《AHP重要度算出法》]] [[《AHP整合性尺度》]] [[《拡張型AHP》]] [[《AHP重要度評価法》]] [[《グループAHP》]] [[《ANP》]] [[《AHPの諸問題》]] [[《大規模AHP》]] [[《AHPの誤差》]] [[《AHPの理論的解釈》]]<br />
<br />
===DEA(包絡分析法)===<br />
<br />
[[《DEA(包絡分析法)》]] [[《CCRモデル》]] [[《BCCモデル》]] [[《効率性》]] [[《規模の収穫》]] [[《SBMモデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B7%A8%EF%BC%9A%E9%A0%85%E7%9B%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&diff=9943
基礎編：項目一覧
2008-08-06T03:45:14Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>===線形計画===<br />
<br />
[[《最適化問題》]] [[《線形計画》]] [[《単体法》]] [[《楕円体法》]] [[《内点法》]] [[《半正定値計画》]]<br />
<br />
=== 非線形計画 ===<br />
<br />
[[《非線形計画》]] [[《最適性条件》]] [[《双対性理論》]] [[《制約なし最適化》]] [[《制約付き最適化》]] [[《大域的最適化》]] [[《相補性問題》]] [[《大規模問題の分解法》]] [[《凸解析》]] [[《高速微分法》]] [[《多項式最適化問題》]]<br />
<br />
=== 組合せ最適化 ===<br />
<br />
[[《整数計画》]] [[《組合せ最適化問題》]] [[《多面体理論》]] [[《アルゴリズム》]] [[《データ構造》]] [[《計算の複雑さ》]] [[《パーフェクトグラフ》]] [[《グレブナー基底》]]<br />
<br />
===グラフ・ネットワーク===<br />
<br />
[[《グラフ・ネットワーク》]] [[《グラフの連結度》]] [[《最短路問題》]] [[《最小木問題》]] [[《巡回セールスマン問題》]] [[《ネットワーク・フロー問題》]] [[《マッチング問題》]] [[《マトロイド》]] [[《劣モジュラ最適化》]] [[《離散凸解析》]] [[《複雑ネットワーク》]]<br />
<br />
===スケジューリング===<br />
<br />
[[《スケジューリング理論》]] [[《スケジューリング問題》]] [[《スケジューリングアルゴリズム》]]<br />
<br />
===計算幾何===<br />
<br />
[[《凸多面体》]] [[《アレンジメント》]] [[《ボロノイ図》]] [[《三角形分割》]] [[《幾何グラフ》]] [[《バケット法》]] [[《双対変換》]] [[《木》]] [[《ランダマイゼーション》]] [[《ロバスト化技術》]] [[《計算幾何学》]]<br />
<br />
===動的・確率・多目的計画===<br />
<br />
[[《動的計画》]] [[《両的計画》]] [[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]] [[《不変埋没原理》]] [[《多目的計画》]] [[《最適停止》]] [[《確率計画》]] <br />
<br />
===近似・知能・感覚的手法===<br />
<br />
[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]] [[《メタヒューリスティクス》]] [[《ファジイ理論》]] [[《ソフトコンピューティング》]]<br />
[[《ラフ集合》]] [[《ファジィランダム変数》]]<br />
[[《ニューラルネットワーク》]] [[《制約充足問題》]] [[《人工知能》]] [[《論理プログラミング》]] [[《サポート・ベクター・マシン》]]<br />
<br />
===ゲーム理論===<br />
<br />
[[《ゲーム理論》]] [[《非協力ゲーム理論》]] [[《戦略形ゲーム》]] [[《展開形ゲーム》]] [[《進化と学習のゲーム理論》]] [[《協力ゲーム理論》]] [[《交渉ゲーム》]] [[《提携形ゲーム》]] [[《ゲームと実験》]] [[《ゲーム理論の応用》]] [[《ゲームの解の計算》]] [[《生物学における進化ゲーム理論》]]<br />
<br />
===確率と確率過程===<br />
<br />
[[《確率論》]] [[《確率過程》]] [[《マルコフ連鎖》]] [[《ポアソン過程と出生死滅過程》]] [[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]] [[《マルコフ決定過程》]] [[《マルコフ連鎖の数値解法》]]<br />
<br />
===統計===<br />
<br />
[[《回帰分析》]] [[《クラスター分析》]] [[《判別関数》]] [[《多次元尺度構成法》]] [[《数量化法》]] [[《多変量解析》]]<br />
<br />
===予測===<br />
<br />
[[《予測》]] [[《指数平滑法》]] [[《季節調整法》]] [[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]] [[《カルマンフィルター》]] [[《非集計行動モデル》]] [[《生態学モデル》]] [[《バス(Bass)モデル》]]<br />
[[《複雑系による予測モデル》]]<br />
<br />
===シミュレーション===<br />
<br />
[[《シミュレーション》]] [[《離散型シミュレーション》]] [[《モンテカルロ法》]] [[《一様乱数》]] [[《非一様乱数》]] [[《離散型シミュレーションの統計的側面》]] [[《シミュレーションソフトウェア》]] [[《シミュレーションモデルの検証》]] [[《ペトリネット》]]<br />
<br />
===待ち行列===<br />
<br />
[[《待ち行列》]] [[《待ち行列モデルの標準形》]] [[《待ち行列の各種モデル》]] [[待ち行列モデル M/M/c]] [[《待ち行列における関係式》]] [[待ち行列モデル M/G/1]] <br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル]] [[《待ち行列における近似》]] [[《待ち行列における希少事象の評価》]] [[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]<br />
<br />
===待ち行列ネットワーク===<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク]] [[ジャクソンネットワーク|《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]] [[BCMPネットワーク|《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]] <br />
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]] [[《待ち行列ネットワークの近似解析》]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》]]<br />
<br />
<br />
===待ち行列の応用===<br />
<br />
[[待ち行列の通信への応用]] [[待ち行列のコンピュータへの応用]] [[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===信頼性・保全性===<br />
<br />
[[《信頼性》]] [[《寿命分布》]] [[《保全性》]] [[《予防保全》]] [[《システムの安全性》]] [[《故障データ解析》]] [[《ベイズ信頼性》]] [[《システムの信頼性》]] [[《フォールトトレランス》]] [[《ソフトウェア信頼性》]]<br />
<br />
===探索理論===<br />
<br />
[[《探索理論》]] [[《目標存在分布の推定》]] [[《センサーの探知論》]] [[《探索モデルと探索の運動学》]]<br />
[[《静止目標物の最適探索》]]<br />
[[《移動目標物の最適探索》]]<br />
[[《探索ゲーム》]]<br />
[[《ランデブー探索》]]<br />
[[《探索理論の応用と実例》]]<br />
<br />
===経営・経済性工学===<br />
<br />
[[《経営戦略》]] [[《経営モデル》]] [[《分権管理》]] [[《経営意思決定》]] [[《利益計画》]] [[《経営分析》]] [[《間接費管理》]] [[《経済計算》]] [[《投資案件の評価》]] [[《財務管理》]] [[《企業価値評価》]]<br />
<br />
===マーケティング===<br />
<br />
[[《マーケティング概説》]] [[《マーケティングモデル》]] [[《マーケティング・リサーチ》]]<br />
<br />
===生産・在庫・ロジスティクス===<br />
<br />
[[《生産管理》]] [[《JIT生産システム》]] [[《ラインバランシング》]] [[《在庫管理》]] [[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]] [[《動的ロットサイズ決定問題》]] [[《ロットスケジューリング》]] [[《ロジスティクス》]] [[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]] [[《施設配置問題》]] [[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]<br />
[[《APS》]]<br />
<br />
===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===<br />
<br />
[[《製品企画開発》]] [[《研究開発》]] [[《プロジェクト管理》]] [[《総合的品質管理》]] [[《QC手法》]] [[《人的資源管理》]] [[《勤務スケジューリング》]]<br />
<br />
===ファイナンス===<br />
<br />
[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]] [[《資産評価理論》]] [[《企業財務》]] [[《資産運用モデル》]] [[《株価変動モデル》]] [[《証券市場モデル》]] [[《金利変動モデルと債券価格》]] [[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]] [[《デリバティブ評価モデル》]]<br />
[[《行動ファイナンス》]]<br />
[[《証券化》]]<br />
[[《倒産確率の推計》]]<br />
[[《リアルオプション》]]<br />
[[《CAPM》]]<br />
[[《無裁定価格理論》]]<br />
<br />
===公共システム===<br />
<br />
[[《選挙制度》]] [[《議員定数配分問題》]] [[《投票理論》]] [[《公共政策OR-I》]] [[《公共政策OR-II》]] [[《産業連関分析》]] [[《エネルギー・環境政策》]] [[《軍事モデル》]]<br />
<br />
===都市システム===<br />
<br />
[[《積分幾何学》]] [[《都市構造分析》]] [[《地理的最適化》]] [[《ウォードロップの原理》]] [[《地域間相互作用モデル》]] [[《ODの調査》]] [[《地理情報システム》]]<br />
<br />
===システム分析・意思決定支援・特許===<br />
<br />
[[《システム分析》]] [[《リエンジニアリング》]] [[《意思決定支援システム》]] [[《効用関数》]] [[《データマイニング》]] [[《過程決定計画図》]] [[《発想法》]] [[《モデル管理》]] [[《アルゴリズム特許》]]<br />
[[《モデリング》]]<br />
<br />
===AHP(階層的意思決定法)===<br />
<br />
[[《AHP》]] [[《AHP一対比較法》]] [[《AHP重要度算出法》]] [[《AHP整合性尺度》]] [[《拡張型AHP》]] [[《AHP重要度評価法》]] [[《グループAHP》]] [[《ANP》]] [[《AHPの諸問題》]] [[《大規模AHP》]] [[《AHPの誤差》]] [[《AHPの理論的解釈》]]<br />
<br />
===DEA(包絡分析法)===<br />
<br />
[[《DEA(包絡分析法)》]] [[《CCRモデル》]] [[《BCCモデル》]] [[《効率性》]] [[《規模の収穫》]] [[《SBMモデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_M/M/c/c&diff=9942
待ち行列モデル M/M/c/c
2008-08-06T03:35:59Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるえむえむしーしー (queueing model M/M/<math>c</math>/<math>c</math>)】'''<br />
<br />
ポアソン到着, <math>c\,</math>個の指数サービス窓口があり, 待合室が無い待ち行列モデル. 客が到着したとき, サービスを受けている客が$c$人未満の場合は直ちにサービスを受けることができるが, サービスを受けている客が<math>c\,</math>人ならば, サービスを受けることなく立ち去る. このようにサービスを受けずに立ち去る客がある待ち行列は損失系と呼ばれ, 電話回線などのトラフィック理論でしばしば利用される.<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[アーランの損失式]] [[呼損率]] [[《待ち行列の各種モデル》|待ち行列の各種モデル]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_M/M/c/c&diff=9941
待ち行列モデル M/M/c/c
2008-08-06T03:35:24Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるえむえむしーしー (queueing model M/M/<math>c</math>/<math>c</math>)】'''<br />
<br />
ポアソン到着, <math>c\,</math>個の指数サービス窓口があり, 待合室が無い待ち行列モデル. 客が到着したとき, サービスを受けている客が$c$人未満の場合は直ちにサービスを受けることができるが, サービスを受けている客が<math>c\,</math>人ならば, サービスを受けることなく立ち去る. このようにサービスを受けずに立ち去る客がある待ち行列は損失系と呼ばれ, 電話回線などのトラフィック理論でしばしば利用される.<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[アーランの損失式]] [[呼損率]] [[《待ち行列の各種モデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%91%BC%E6%90%8D%E7%8E%87&diff=9940
呼損率
2008-08-06T03:32:20Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【こそんりつ (loss probability)】'''<br />
<br />
待ち行列モデルにおいて, 客が待つことができる待合室の容量が限られている場合, 窓口と待合室が一杯のときに到着した客はシステムに入ることができず, サービスを受けずに強制的に退去となる. これを呼損(loss)という. 全到着客の中で呼損となる客の割合が"呼損率"である. <math>M/G/c/c \,</math> 待ち行列モデルでは, 呼損率は[[アーランの損失式]]によって与えられる.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E5%9E%8B%E5%88%B0%E7%9D%80%E9%81%8E%E7%A8%8B&diff=9938
マルコフ型到着過程
2008-08-06T03:24:30Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 まるこふがたとうちゃくかてい (Markovian arrival process (MAP)) 】'''<br />
<br />
[[客]]の到着間隔が同じ[[推移率]]行列で特徴づけられる[[相型分布]]に従い，<br />
かつ，連続する2つの到着間隔の間に相関を導入可能にしたもの．<br />
各到着間隔が従う[[相型分布]]の初期状態分布を，<br />
直前の到着間隔を表す相型分布において吸収が起こった状態に依存して定める．<br />
マルコフ変調ポワソン過程や独立な[[相型再生過程]]の重畳などを特別な場合として含む．<br />
MAP（マップ）と略称することが多い<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》|待ち行列モデルのアルゴリズム的解法]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=MAP&diff=9937
MAP
2008-08-06T03:21:19Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まっぷ (MAP (Markovian arrival process))】'''<br />
<br />
マルコフ型到着過程の略称.<br />
客の到着間隔が同じ推移率行列で特徴づけられる相型分布に従い，かつ，連続する二つの到着間隔の間に相関を導入可能にしたもの．各到着間隔が従う相型分布の初期状態分布を，直前の到着間隔を表す相型分布において吸収が起こった状態に依存して定める．マルコフ変調ポワソン過程や独立な相型再生過程の重畳などを特別な場合として含む．<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》|待ち行列モデルのアルゴリズム的解法]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E6%99%82%E9%96%93%E5%88%86%E5%B8%83%E3%81%AE%E8%A3%BE&diff=9936
待ち時間分布の裾
2008-08-06T03:20:18Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちじかんぶんぷのすそ (tail of waiting time distribution)】'''<br />
<br />
定常状態での客の待ち時間<math>W\,</math>が閾値<math>x\,</math>を超える確率<math>\mbox{P}(W>x)\,</math>. 先着順サービスのG/G/1待ち行列では, <br><br />
<br />
<br />
<center><br />
<math>\mbox{P}(W>x)=\mbox{P}\left( \sup_{n\geq 0}\{A_n\}>x\right),A_n=\sum_{i=1}^n U_{i}\,</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
で与えられる. ただし, <math>U_i\,</math>は<math>i\,</math>番目の客のサービス時間と<math>i\,</math>番目と<math>i+1\,</math>番目の客の到着間隔の差.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_MAP/MAP/c&diff=9934
待ち行列モデル MAP/MAP/c
2008-08-06T03:18:30Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるまっぷまっぷしー (queueing model MAP/MAP/<math>c</math>)】'''<br />
<br />
到着過程とサービス過程がマルコフ到着過程(MAP)にしたがい, 窓口が <math>c\,</math>個 の待ち行列モデル. 到着間隔もサービス時間も再生過程ではなく相関が入る, かなり一般的なモデルである.<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》|待ち行列モデルのアルゴリズム的解法]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB_M/M/1&diff=9931
待ち行列モデル M/M/1
2008-08-06T03:13:55Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでるえむえむわん (queueing model M/M/1)】'''<br />
<br />
ポアソン到着, 指数サービス, 単一窓口の待ち行列モデル. 詳しくいうと, 客は平均 <math>1 / \lambda\,</math> の指数分布にしたがう間隔で到着し, 平均 <math>1/\mu\,</math> の指数分布にしたがう時間サービスを受けて退去する. 客の到着間隔とサービス時間はすべて互いに独立. 窓口は1個で, 客が到着したとき窓口が空いていれば直ちにサービスを受け始め, 塞がっていたら行列の最後尾について自分の順番を待つ. サービス終了時に待っている客がいれば, 待ち行列の先頭の客がサービスを受け始める.<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
<br />
[[待ち行列モデル M/M/c]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97&diff=9930
待ち行列
2008-08-06T03:12:20Z
<p>Sakasegawa: ページの置換: ''''【まちぎょうれつ (queue)】'''
(1) サービスを待つ客が構成する行列のこと. <br>
(2) 待ち行列モデルのこと.<br>
(3) 待ち行列...'</p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつ (queue)】'''<br />
<br />
(1) サービスを待つ客が構成する行列のこと. <br> <br />
(2) [[待ち行列モデル]]のこと.<br><br />
(3) 待ち行列モデルの中で、特に, 待合室もしくはバッファで形成される行列のこと.<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB&diff=9929
待ち行列モデル
2008-08-06T03:10:19Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつもでる (queueing model)】'''<br />
<br />
<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
混雑現象を解析するための代表的なモデル群の1つ. 単一の待ち行列モデルは, 客の到着, 窓口における客のサービス, サービスを待つ客が成す待ち行列, などから構成され, 平均待ち時間などによって混雑の程度が評価される. 近年, 待ち行列がネットワーク状につながった"[[待ち行列ネットワーク]]"が積極的に解析され, コンピュータシステムや通信システムなどの性能評価に利用されている.<br />
<br />
<br />
=== 詳説 ===<br />
'''混雑現象''' われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる. <br />
<br />
このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている. <br />
<br />
a. サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している). <br />
<br />
b. サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む). <br />
<br />
c. バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる). <br />
<br />
d. サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる). <br />
<br />
'''混雑現象のためのモデル''' a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc. は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である. <br />
<br />
i) サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合<br />
<br />
ii) 偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合<br />
<br />
である. むろんそれらが複合していることもある. <br />
<br />
'''流体近似モデル''' i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式<br />
<br />
<br />
<center><br />
<table><br />
<tr><br />
<td><table> <br />
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math> <br />
</table></td><br />
<td><table> <br />
<tr><br />
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td><br />
<td> </td><br />
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math> のとき</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<td><math> 0 \, \, </math></td><br />
<td></td><br />
<td align="left">その他</td><br />
</tr> <br />
</table></td><br />
</tr><br />
</table><br />
</center><br />
<br />
<br />
で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5]. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{.6mm} \begin{center} \begin{picture}(60, 35)(0, 5) \thicklines \put(10, 39){\line(1, 0){16}} \put(26, 32){\oval(14, 14)[tr]} \put(33, 32){\line(0, -1){4}} \put(10, 34){\line(1, 0){14}} \put(24, 31){\oval(6, 6)[tr]} \put(27, 31){\line(0, -1){3}} \put(23, 39){\line(0, 1){3}} \put(21, 39){\line(0, 1){3}} \put(22, 43.5){\oval(8, 3)} <br />
<br />
\put(0, 15){\oval(8, 14)[tr]} \put(14, 15){\oval(20, 14)[bl]} \put(14, 5){\oval(24, 6)[tr]} \put(60, 15){\oval(8, 14)[tl]} \put(46, 15){\oval(20, 14)[br]} \put(46, 5){\oval(24, 6)[tl]} <br />
<br />
\thinlines \put(4, 18){\line(1, 0){52}} \multiput(27.5, 29)(1, 0){6}{\line(0, -1){5}} \multiput(26.5, 4)(1, 0){8}{\line(0, -1){4}} \end{picture} \end{center} \caption{流体近似 : 水道のイメージ} \label{B-A-01+suidou} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
<br />
'''待ち行列モデル''' サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
<!--<br />
\begin{figure} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{center} \thicklines \begin{picture}(65, 20)(0, 7) \put(10, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(45, 15){\vector(1, 0){7.5}} \put(20, 12.5){\line(1, 0){15}} \put(20, 17.5){\line(1, 0){15}} \put(25, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(30, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(35, 12.5){\line(0, 1){5}} \put(37.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(42.5, 10){\line(0, 1){10}} \put(37.5, 10){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 15){\line(1, 0){5}} \put(37.5, 20){\line(1, 0){5}} \put(32.5, 15){\circle{4}} \put(40, 12.5){\circle{4}} \put(40, 17.5){\circle{4}} <br />
<br />
\put(0, 15){\makebox(0, 0){客の到着}} \put(25.5, 7){\makebox(0, 0){待ち行列}} \put(40, 4){\makebox(0, 0){窓口}} \put(57.5, 15){\makebox(0, 0){退去}} %\put(27.5, 23){\makebox(0, 0){待ち時間}} %\put(40, 27.5){\makebox(0, 0){サービス時間}} \end{picture} \end{center} \caption{待ち行列のイメージ図} \label{B-A-01+queue1} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<br />
待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる. <br />
<br />
客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる. <br />
<br />
'''性能評価指標, 混雑指標''' 図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは<br />
<br />
<center><br />
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]<br />
</center><br />
<br />
<!--<br />
\[<br />
\rho = \frac{サービス要求量}{サービス処理能力}<br />
\]<br />
--><br />
<br />
という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる. <br />
<br />
一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる. <br />
<br />
[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4]. <br />
<br />
近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [3,4,5] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]]. <br />
<br />
----<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975. <br />
<br />
[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105. <br />
<br />
[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107. <br />
<br />
[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.<br />
<br />
[5] 高橋幸雄, 森村英典, 『混雑と待ち』, 朝倉書店, 2001.<br />
<br />
[6] 日本オペレーションズリサーチ学会待ち行列研究部会 http://www.is.titech.ac.jp/~kkatou/queue/<br />
<br />
[[category:待ち行列|まちぎょうれつ]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E6%B7%B7%E9%9B%91%E7%8F%BE%E8%B1%A1&diff=9927
混雑現象
2008-08-06T03:09:54Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【こんざつげんしょう (congestion)】'''<br />
<br />
混雑を伴う種々の現象は, サービス要求量が一時的にサービス処理能力を超えることに起因する. そのような現象のうち, バッファによってサービス要求の超過分を吸収して処理するものは, 待ち行列の枠組みで解析することができる. これらはさらに, 超過がラッシュアワー的なものと偶然変動的なものとに分類することができ, 前者は"流体モデル"などにより, また後者は"[[待ち行列モデル]]", "在庫モデル", "ダムモデル"などによって解析される.</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%B6%B2&diff=9925
待ち行列網
2008-08-06T02:59:16Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 まちぎょうれつもう (queueing network) 】'''<br />
<br />
待ち行列ネットワークの和訳．詳しい説明は[[待ち行列ネットワーク|ここをクリックしてください]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%AE%89%E5%AE%9A%E6%80%A7&diff=9921
待ち行列の安定性
2008-08-06T02:53:45Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 まちぎょうれつのあんていせい (stability of queue) 】'''<br />
<br />
待ち行列システムが長時間に渡って稼働するとき，<br />
システム内の[[客]]数が発散しない場合に安定であるという．<br />
安定でなければ，<br />
正の確率でサービスを受けられない客が増大する．<br />
待ち行列システムを[[確率過程]]によりモデル化すると，<br />
安定性は状態の[[確率分布]]が全ての時間にわたってタイト（tight）であることに等しい．<br />
一般に安定性は[[定常分布]]の存在とは少し異なるが，<br />
稼働が特定の時刻に依存しないシステムでは同じであると考えてよい．<br />
<br />
==== 関連記事 ====<br />
[[《待ち行列ネットワークの安定性》|待ち行列ネットワークの安定性]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B7%A8%EF%BC%9A%E9%A0%85%E7%9B%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&diff=9919
基礎編：項目一覧
2008-08-06T02:46:47Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>===線形計画===<br />
<br />
[[《最適化問題》]] [[《線形計画》]] [[《単体法》]] [[《楕円体法》]] [[《内点法》]] [[《半正定値計画》]]<br />
<br />
=== 非線形計画 ===<br />
<br />
[[《非線形計画》]] [[《最適性条件》]] [[《双対性理論》]] [[《制約なし最適化》]] [[《制約付き最適化》]] [[《大域的最適化》]] [[《相補性問題》]] [[《大規模問題の分解法》]] [[《凸解析》]] [[《高速微分法》]] [[《多項式最適化問題》]]<br />
<br />
=== 組合せ最適化 ===<br />
<br />
[[《整数計画》]] [[《組合せ最適化問題》]] [[《多面体理論》]] [[《アルゴリズム》]] [[《データ構造》]] [[《計算の複雑さ》]] [[《パーフェクトグラフ》]] [[《グレブナー基底》]]<br />
<br />
===グラフ・ネットワーク===<br />
<br />
[[《グラフ・ネットワーク》]] [[《グラフの連結度》]] [[《最短路問題》]] [[《最小木問題》]] [[《巡回セールスマン問題》]] [[《ネットワーク・フロー問題》]] [[《マッチング問題》]] [[《マトロイド》]] [[《劣モジュラ最適化》]] [[《離散凸解析》]] [[《複雑ネットワーク》]]<br />
<br />
===スケジューリング===<br />
<br />
[[《スケジューリング理論》]] [[《スケジューリング問題》]] [[《スケジューリングアルゴリズム》]]<br />
<br />
===計算幾何===<br />
<br />
[[《凸多面体》]] [[《アレンジメント》]] [[《ボロノイ図》]] [[《三角形分割》]] [[《幾何グラフ》]] [[《バケット法》]] [[《双対変換》]] [[《木》]] [[《ランダマイゼーション》]] [[《ロバスト化技術》]] [[《計算幾何学》]]<br />
<br />
===動的・確率・多目的計画===<br />
<br />
[[《動的計画》]] [[《両的計画》]] [[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]] [[《不変埋没原理》]] [[《多目的計画》]] [[《最適停止》]] [[《確率計画》]] <br />
<br />
===近似・知能・感覚的手法===<br />
<br />
[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]] [[《メタヒューリスティクス》]] [[《ファジイ理論》]] [[《ソフトコンピューティング》]]<br />
[[《ラフ集合》]] [[《ファジィランダム変数》]]<br />
[[《ニューラルネットワーク》]] [[《制約充足問題》]] [[《人工知能》]] [[《論理プログラミング》]] [[《サポート・ベクター・マシン》]]<br />
<br />
===ゲーム理論===<br />
<br />
[[《ゲーム理論》]] [[《非協力ゲーム理論》]] [[《戦略形ゲーム》]] [[《展開形ゲーム》]] [[《進化と学習のゲーム理論》]] [[《協力ゲーム理論》]] [[《交渉ゲーム》]] [[《提携形ゲーム》]] [[《ゲームと実験》]] [[《ゲーム理論の応用》]] [[《ゲームの解の計算》]] [[《生物学における進化ゲーム理論》]]<br />
<br />
===確率と確率過程===<br />
<br />
[[《確率論》]] [[《確率過程》]] [[《マルコフ連鎖》]] [[《ポアソン過程と出生死滅過程》]] [[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]] [[《マルコフ決定過程》]] [[《マルコフ連鎖の数値解法》]]<br />
<br />
===統計===<br />
<br />
[[《回帰分析》]] [[《クラスター分析》]] [[《判別関数》]] [[《多次元尺度構成法》]] [[《数量化法》]] [[《多変量解析》]]<br />
<br />
===予測===<br />
<br />
[[《予測》]] [[《指数平滑法》]] [[《季節調整法》]] [[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]] [[《カルマンフィルター》]] [[《非集計行動モデル》]] [[《生態学モデル》]] [[《バス(Bass)モデル》]]<br />
[[《複雑系による予測モデル》]]<br />
<br />
===シミュレーション===<br />
<br />
[[《シミュレーション》]] [[《離散型シミュレーション》]] [[《モンテカルロ法》]] [[《一様乱数》]] [[《非一様乱数》]] [[《離散型シミュレーションの統計的側面》]] [[《シミュレーションソフトウェア》]] [[《シミュレーションモデルの検証》]] [[《ペトリネット》]]<br />
<br />
===待ち行列===<br />
<br />
[[待ち行列]] [[《待ち行列モデルの標準形》]] [[《待ち行列の各種モデル》]] [[待ち行列モデル M/M/c]] [[《待ち行列における関係式》]] [[待ち行列モデル M/G/1]] <br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル]] [[《待ち行列における近似》]] [[《待ち行列における希少事象の評価》]] [[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]<br />
<br />
===待ち行列ネットワーク===<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク]] [[ジャクソンネットワーク|《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]] [[BCMPネットワーク|《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]] <br />
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]] [[《待ち行列ネットワークの近似解析》]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》]]<br />
<br />
<br />
===待ち行列の応用===<br />
<br />
[[待ち行列の通信への応用]] [[待ち行列のコンピュータへの応用]] [[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===信頼性・保全性===<br />
<br />
[[《信頼性》]] [[《寿命分布》]] [[《保全性》]] [[《予防保全》]] [[《システムの安全性》]] [[《故障データ解析》]] [[《ベイズ信頼性》]] [[《システムの信頼性》]] [[《フォールトトレランス》]] [[《ソフトウェア信頼性》]]<br />
<br />
===探索理論===<br />
<br />
[[《探索理論》]] [[《目標存在分布の推定》]] [[《センサーの探知論》]] [[《探索モデルと探索の運動学》]]<br />
[[《静止目標物の最適探索》]]<br />
[[《移動目標物の最適探索》]]<br />
[[《探索ゲーム》]]<br />
[[《ランデブー探索》]]<br />
[[《探索理論の応用と実例》]]<br />
<br />
===経営・経済性工学===<br />
<br />
[[《経営戦略》]] [[《経営モデル》]] [[《分権管理》]] [[《経営意思決定》]] [[《利益計画》]] [[《経営分析》]] [[《間接費管理》]] [[《経済計算》]] [[《投資案件の評価》]] [[《財務管理》]] [[《企業価値評価》]]<br />
<br />
===マーケティング===<br />
<br />
[[《マーケティング概説》]] [[《マーケティングモデル》]] [[《マーケティング・リサーチ》]]<br />
<br />
===生産・在庫・ロジスティクス===<br />
<br />
[[《生産管理》]] [[《JIT生産システム》]] [[《ラインバランシング》]] [[《在庫管理》]] [[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]] [[《動的ロットサイズ決定問題》]] [[《ロットスケジューリング》]] [[《ロジスティクス》]] [[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]] [[《施設配置問題》]] [[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]<br />
[[《APS》]]<br />
<br />
===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===<br />
<br />
[[《製品企画開発》]] [[《研究開発》]] [[《プロジェクト管理》]] [[《総合的品質管理》]] [[《QC手法》]] [[《人的資源管理》]] [[《勤務スケジューリング》]]<br />
<br />
===ファイナンス===<br />
<br />
[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]] [[《資産評価理論》]] [[《企業財務》]] [[《資産運用モデル》]] [[《株価変動モデル》]] [[《証券市場モデル》]] [[《金利変動モデルと債券価格》]] [[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]] [[《デリバティブ評価モデル》]]<br />
[[《行動ファイナンス》]]<br />
[[《証券化》]]<br />
[[《倒産確率の推計》]]<br />
[[《リアルオプション》]]<br />
[[《CAPM》]]<br />
[[《無裁定価格理論》]]<br />
<br />
===公共システム===<br />
<br />
[[《選挙制度》]] [[《議員定数配分問題》]] [[《投票理論》]] [[《公共政策OR-I》]] [[《公共政策OR-II》]] [[《産業連関分析》]] [[《エネルギー・環境政策》]] [[《軍事モデル》]]<br />
<br />
===都市システム===<br />
<br />
[[《積分幾何学》]] [[《都市構造分析》]] [[《地理的最適化》]] [[《ウォードロップの原理》]] [[《地域間相互作用モデル》]] [[《ODの調査》]] [[《地理情報システム》]]<br />
<br />
===システム分析・意思決定支援・特許===<br />
<br />
[[《システム分析》]] [[《リエンジニアリング》]] [[《意思決定支援システム》]] [[《効用関数》]] [[《データマイニング》]] [[《過程決定計画図》]] [[《発想法》]] [[《モデル管理》]] [[《アルゴリズム特許》]]<br />
[[《モデリング》]]<br />
<br />
===AHP(階層的意思決定法)===<br />
<br />
[[《AHP》]] [[《AHP一対比較法》]] [[《AHP重要度算出法》]] [[《AHP整合性尺度》]] [[《拡張型AHP》]] [[《AHP重要度評価法》]] [[《グループAHP》]] [[《ANP》]] [[《AHPの諸問題》]] [[《大規模AHP》]] [[《AHPの誤差》]] [[《AHPの理論的解釈》]]<br />
<br />
===DEA(包絡分析法)===<br />
<br />
[[《DEA(包絡分析法)》]] [[《CCRモデル》]] [[《BCCモデル》]] [[《効率性》]] [[《規模の収穫》]] [[《SBMモデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%80%8A%E5%BE%85%E3%81%A1%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%80%8B&diff=9918
《待ち行列ネットワーク》
2008-08-06T02:42:54Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつねっとわーく (queueing network) 】'''<br />
<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク|ここをクリックしてください]]<br />
<!--<br />
複数の待ち行列システム(以下ノードと表記)が, 図1のようにネットワーク上に結合された数学モデルを[[待ち行列ネットワーク]] (queueing network あるいは network of queues) と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Network.png|center|図１：待ち行列ネットワーク]]</td></tr><br />
<td align=center>図１：待ち行列ネットワーク</td></table></center><br />
<br />
<br />
各ノード間の移動は通常確率的に選択される. 例えばノード <math>i</math> から <math>j</math> は確率 <math>r_{ij}</math> で移動する. [[経路選択確率]] (routing probability) あるいは分岐確率 (branching probability) と呼ぶ. 特にネットワーク外を表現するのにノード0と記す．このモデルの確率的な振る舞いを解析し, 待ち時間・待ち行列長・スループットなどに関する性能評価量を算出が可能となる. 特に図2のように直列につながったモデルを[[直列型待ち行列]](queueing networkあるいはnetwork of queues)と呼ぶ．<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-1.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図２：直列型待ち行列<br></td></table></center><br />
--><br />
<!--<br />
\begin{figure}[htbp] \begin{center} %\includegraphics[bbllx=0, bblly=210mm, bburx=230mm, bbury=260mm, %height=40mm]{. . /b-b/tandem.eps} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(108, 20)(0, -10) \thicklines \put(0, 0){\vector(1, 0){8}} \multiput(9, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(16, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(16, 0){\line(1, 0){2}} \put(21, 0){\circle{6}} \put(24, 0){\vector(1, 0){8}} \multiput(33, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(40, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(40, 0){\vector(2, 3){4}} \put(40, 0){\vector(2, -3){4}} \put(47, 7.5){\circle{6}} \put(47, -7.5){\circle{6}} \put(47, 0){\makebox(0, 1.2){$\vdots$}} \put(50, 6){\vector(2, -3){4}} \put(50, -6){\vector(2, 3){4}} \multiput(55, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(62, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(62, 0){\line(1, 0){2}} \put(67, 0){\circle{6}} \put(70, 0){\vector(1, 0){5}} \put(80, 0){\makebox(0, 0){$\cdots$}} \multiput(84, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(91, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(91, 0){\line(1, 0){2}} \put(96, 0){\circle{6}} \put(99, 0){\vector(1, 0){9}} \end{picture} \end{center} \caption{直列型待ち行列} \label{B-B-01+tandem-model} \end{figure} <br />
--><br />
<!--<br />
<br />
これらのモデルにおいては，あるノードからの退去過程は他のノードへの到着過程になることからノード間の従属性が生じる．さらにはネットワークにフィー<br />
ドバック・ループがある場合には，退去した客が再度到着する可能性もあり，到着客間にも従属性が生じる．これらのことから個別のノードを取り出し，解<br />
析するのは不可能であり，ネットワーク全体を捉えた解析が必要である．これまでに解析的にはマルコフ性を保持しながら，[[積形式解]]が得られる範囲内で，現実のシステムにより近いモデルが次々と発表されて来た．<br />
待ち行列ネットワークは，外部との関わり方で[[開放型ネットワーク]](open network)と[[閉鎖型ネットワーク]](closed network)に分類が可能である．開放型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着があり，またネットワーク外への退去もある．従ってネットワーク内の総客数は可変であり，一定ではない．これは例えば蓄積交換型のパケット交換網においては，パケット送信要求の発生が客のネットワークへの流入に相当し，各交換機およびそれに付随するバッファが各ノードに対応する．従って目的局に受信されることが，ネットワークからの退去に当たる．一方閉鎖型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着，外への退去はない．従って総客数が常に一定に保たれる．これは例えば一定台数の機械から構成されるシステムにおいて機械の故障・修理を考慮した性能評価を行なう際に用いられる．あるいはマルチプログラミング環境下で動作する計算機システムのように，内部にCPU，I/O機器などのサーバおよびそれに付随した待ち行列があり，総客数は一定に保たれている場合に相当する．計算が完了したジョブ／トランザクションはネットワークから消滅するが，それと同時にネットワーク外のバッファに貯えられていたジョブ・トランザクションが投入され，結果として総数が変わらないような場合にも適用が可能であり，計算機アーキテクチュアなどの評価に用いられた．閉鎖型ネットワークで，機械修理問題に見られるように，稼動状態，修理待ち状態，検査待ち状態のそれぞれに対応するノードを順番に訪問し，客の流れが同一方向で，訪問する待ち行列の順番が一定な直列型待ち行列を特に循環型待ち行列(図3参照)と呼ぶ．<br />
<br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Cyclic.png|center|図３：循環型待ち行列]]</td></tr><br />
<td align=center><br>図３：循環型待ち行列</td></table></center><br />
<br />
<br />
また図4に示すように, 計算機システムをモデル化した閉鎖型ネットワークで, 中央に位置するサーバ (CPU に相当) と複数の他のサーバおよびそれに付随する待ち行列 (入出力機器などの周辺機器に相当) からなり, 客がこれらの間を交互に行き来するモデルを[[セントラルサーバモデル]]と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-2.png]]</td></tr><br />
<td align=center>図４：セントラルサーバモデル<br><br />
</td></table></center><br />
<br />
--><br />
<!--<br />
\begin{figure}[htbp] \begin{center} %\includegraphics[bbllx=0, bblly=210mm, bburx=230mm, bbury=260mm, %height=40mm]{. . /b-b/central.eps} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(72, 33)(0, -13) \thicklines \put(0, -1){\vector(1, 0){10}} \put(0, -1){\line(0, 1){21}} \put(0, 20){\line(1, 0){72}} \put(72, 0){\line(0, 1){20}} \put(62, 0){\line(1, 0){10}} \put(6, 1){\vector(1, 0){4}} \put(6, 1){\line(0, 1){7}} \put(6, 8){\line(1, 0){23}} \put(29, 0){\vector(0, 1){8}} \multiput(11, -2.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(18, -2.5){\line(0, 1){5}} \put(18, 0){\line(1, 0){2}} \put(23, 0){\circle{6}} \put(26, 0){\line(1, 0){12}} \put(38, -10){\line(0, 1){20}} \put(38, 10){\vector(1, 0){5}} \multiput(44, 7.5)(0, 5){2}{\line(1, 0){7}} \put(51, 7.5){\line(0, 1){5}} \put(51, 10){\line(1, 0){2}} \put(56, 10){\circle{6}} \put(59, 10){\line(1, 0){3}} \put(38, -10){\vector(1, 0){5}} \multiput(44, -7.5)(0, -5){2}{\line(1, 0){7}} \put(51, -7.5){\line(0, -1){5}} \put(51, -10){\line(1, 0){2}} \put(56, -10){\circle{6}} \put(59, -10){\line(1, 0){3}} \put(62, -10){\line(0, 1){20}} \put(48, 0){\makebox(0, 1.2){\Huge $\vdots$}} \end{picture} \caption{セントラルサーバモデル}\label{B-B-01+central-server-model} \end{center} \end{figure} <br />
--><br />
<br />
<!--<br />
<br />
また単一待ち行列モデルで客の母集団が有限である場合も, 閉鎖型ネットワークの一例と見ることも可能である. <br />
さらに客が優先権，待ち行列ネットワーク内の移動経路などの属性により複数クラスに分類され，一部のクラスに属する客に関しては開放型で，他のクラス<br />
の客に関しては閉鎖型のネットワークを[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型ネットワーク]]と呼ぶ．<br />
待ち行列ネットワークの別の分類として，各ノードで許容される待ち行列長に関する制限の有無に依るものがある．制限が無い場合には適当なモデル化の仮<br />
定を設ければ積形式解を用いた実用的な計算が可能であるが，制限がある場合には，ブロッキングが発生し，ノード間のより一層複雑な従属性が生じ，有効な解析法は存在しない．このような場合には近似的なアプローチを取らざるを得ない．ブロッキングとは，次に訪問するノードの待合室が一杯のときに移動が妨げられることを言う．この結果，モデルによっては元のサーバが次の客へのサービスを行なえない．客がいるにも拘わらずサービスが開始されない．これは例えば多段工程からなる生産ラインにおける，各工程における仕掛品置き場のように大容量のバッファがないシステムに相当する．一方通信網においては，ブロッキングが発生すると客であるパケット・メッセージなどは消滅する．<br />
待ち行列ネットワークは，従来単一待ち行列システムでモデル化されていた生産・通信・コンピュータ・輸送・交通システムのネットワーク化に伴い，その<br />
重要性が増しており，特に積形式解を持つモデルの数値計算を支援するソフトウェア・パッケージなども提供されている．<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|まちぎょうれつねっとわーく]]<br />
--></div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%B7%A8%EF%BC%9A%E9%A0%85%E7%9B%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&diff=9917
基礎編：項目一覧
2008-08-06T01:50:09Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>===線形計画===<br />
<br />
[[《最適化問題》]] [[《線形計画》]] [[《単体法》]] [[《楕円体法》]] [[《内点法》]] [[《半正定値計画》]]<br />
<br />
=== 非線形計画 ===<br />
<br />
[[《非線形計画》]] [[《最適性条件》]] [[《双対性理論》]] [[《制約なし最適化》]] [[《制約付き最適化》]] [[《大域的最適化》]] [[《相補性問題》]] [[《大規模問題の分解法》]] [[《凸解析》]] [[《高速微分法》]] [[《多項式最適化問題》]]<br />
<br />
=== 組合せ最適化 ===<br />
<br />
[[《整数計画》]] [[《組合せ最適化問題》]] [[《多面体理論》]] [[《アルゴリズム》]] [[《データ構造》]] [[《計算の複雑さ》]] [[《パーフェクトグラフ》]] [[《グレブナー基底》]]<br />
<br />
===グラフ・ネットワーク===<br />
<br />
[[《グラフ・ネットワーク》]] [[《グラフの連結度》]] [[《最短路問題》]] [[《最小木問題》]] [[《巡回セールスマン問題》]] [[《ネットワーク・フロー問題》]] [[《マッチング問題》]] [[《マトロイド》]] [[《劣モジュラ最適化》]] [[《離散凸解析》]] [[《複雑ネットワーク》]]<br />
<br />
===スケジューリング===<br />
<br />
[[《スケジューリング理論》]] [[《スケジューリング問題》]] [[《スケジューリングアルゴリズム》]]<br />
<br />
===計算幾何===<br />
<br />
[[《凸多面体》]] [[《アレンジメント》]] [[《ボロノイ図》]] [[《三角形分割》]] [[《幾何グラフ》]] [[《バケット法》]] [[《双対変換》]] [[《木》]] [[《ランダマイゼーション》]] [[《ロバスト化技術》]] [[《計算幾何学》]]<br />
<br />
===動的・確率・多目的計画===<br />
<br />
[[《動的計画》]] [[《両的計画》]] [[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]] [[《不変埋没原理》]] [[《多目的計画》]] [[《最適停止》]] [[《確率計画》]] <br />
<br />
===近似・知能・感覚的手法===<br />
<br />
[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]] [[《メタヒューリスティクス》]] [[《ファジイ理論》]] [[《ソフトコンピューティング》]]<br />
[[《ラフ集合》]] [[《ファジィランダム変数》]]<br />
[[《ニューラルネットワーク》]] [[《制約充足問題》]] [[《人工知能》]] [[《論理プログラミング》]] [[《サポート・ベクター・マシン》]]<br />
<br />
===ゲーム理論===<br />
<br />
[[《ゲーム理論》]] [[《非協力ゲーム理論》]] [[《戦略形ゲーム》]] [[《展開形ゲーム》]] [[《進化と学習のゲーム理論》]] [[《協力ゲーム理論》]] [[《交渉ゲーム》]] [[《提携形ゲーム》]] [[《ゲームと実験》]] [[《ゲーム理論の応用》]] [[《ゲームの解の計算》]] [[《生物学における進化ゲーム理論》]]<br />
<br />
===確率と確率過程===<br />
<br />
[[《確率論》]] [[《確率過程》]] [[《マルコフ連鎖》]] [[《ポアソン過程と出生死滅過程》]] [[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]] [[《マルコフ決定過程》]] [[《マルコフ連鎖の数値解法》]]<br />
<br />
===統計===<br />
<br />
[[《回帰分析》]] [[《クラスター分析》]] [[《判別関数》]] [[《多次元尺度構成法》]] [[《数量化法》]] [[《多変量解析》]]<br />
<br />
===予測===<br />
<br />
[[《予測》]] [[《指数平滑法》]] [[《季節調整法》]] [[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]] [[《カルマンフィルター》]] [[《非集計行動モデル》]] [[《生態学モデル》]] [[《バス(Bass)モデル》]]<br />
[[《複雑系による予測モデル》]]<br />
<br />
===シミュレーション===<br />
<br />
[[《シミュレーション》]] [[《離散型シミュレーション》]] [[《モンテカルロ法》]] [[《一様乱数》]] [[《非一様乱数》]] [[《離散型シミュレーションの統計的側面》]] [[《シミュレーションソフトウェア》]] [[《シミュレーションモデルの検証》]] [[《ペトリネット》]]<br />
<br />
===待ち行列===<br />
<br />
[[待ち行列]] [[《待ち行列モデルの標準形》]] [[《待ち行列の各種モデル》]] [[《待ち行列モデルM/M/c》]] [[《待ち行列における関係式》]] [[待ち行列モデル M/G/1]] <br />
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]<br />
[[待ち行列のバケーションサーバモデル]] [[《待ち行列における近似》]] [[《待ち行列における希少事象の評価》]] [[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]<br />
<br />
===待ち行列ネットワーク===<br />
<br />
[[待ち行列ネットワーク]] [[ジャクソンネットワーク|《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]] [[BCMPネットワーク|《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]] <br />
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]] [[《待ち行列ネットワークの近似解析》]] [[《待ち行列ネットワークの安定性》]]<br />
<br />
<br />
===待ち行列の応用===<br />
<br />
[[待ち行列の通信への応用]] [[待ち行列のコンピュータへの応用]] [[待ち行列の生産システムへの応用]]<br />
<br />
===信頼性・保全性===<br />
<br />
[[《信頼性》]] [[《寿命分布》]] [[《保全性》]] [[《予防保全》]] [[《システムの安全性》]] [[《故障データ解析》]] [[《ベイズ信頼性》]] [[《システムの信頼性》]] [[《フォールトトレランス》]] [[《ソフトウェア信頼性》]]<br />
<br />
===探索理論===<br />
<br />
[[《探索理論》]] [[《目標存在分布の推定》]] [[《センサーの探知論》]] [[《探索モデルと探索の運動学》]]<br />
[[《静止目標物の最適探索》]]<br />
[[《移動目標物の最適探索》]]<br />
[[《探索ゲーム》]]<br />
[[《ランデブー探索》]]<br />
[[《探索理論の応用と実例》]]<br />
<br />
===経営・経済性工学===<br />
<br />
[[《経営戦略》]] [[《経営モデル》]] [[《分権管理》]] [[《経営意思決定》]] [[《利益計画》]] [[《経営分析》]] [[《間接費管理》]] [[《経済計算》]] [[《投資案件の評価》]] [[《財務管理》]] [[《企業価値評価》]]<br />
<br />
===マーケティング===<br />
<br />
[[《マーケティング概説》]] [[《マーケティングモデル》]] [[《マーケティング・リサーチ》]]<br />
<br />
===生産・在庫・ロジスティクス===<br />
<br />
[[《生産管理》]] [[《JIT生産システム》]] [[《ラインバランシング》]] [[《在庫管理》]] [[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]] [[《動的ロットサイズ決定問題》]] [[《ロットスケジューリング》]] [[《ロジスティクス》]] [[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]] [[《施設配置問題》]] [[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]<br />
[[《APS》]]<br />
<br />
===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===<br />
<br />
[[《製品企画開発》]] [[《研究開発》]] [[《プロジェクト管理》]] [[《総合的品質管理》]] [[《QC手法》]] [[《人的資源管理》]] [[《勤務スケジューリング》]]<br />
<br />
===ファイナンス===<br />
<br />
[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]] [[《資産評価理論》]] [[《企業財務》]] [[《資産運用モデル》]] [[《株価変動モデル》]] [[《証券市場モデル》]] [[《金利変動モデルと債券価格》]] [[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]] [[《デリバティブ評価モデル》]]<br />
[[《行動ファイナンス》]]<br />
[[《証券化》]]<br />
[[《倒産確率の推計》]]<br />
[[《リアルオプション》]]<br />
[[《CAPM》]]<br />
[[《無裁定価格理論》]]<br />
<br />
===公共システム===<br />
<br />
[[《選挙制度》]] [[《議員定数配分問題》]] [[《投票理論》]] [[《公共政策OR-I》]] [[《公共政策OR-II》]] [[《産業連関分析》]] [[《エネルギー・環境政策》]] [[《軍事モデル》]]<br />
<br />
===都市システム===<br />
<br />
[[《積分幾何学》]] [[《都市構造分析》]] [[《地理的最適化》]] [[《ウォードロップの原理》]] [[《地域間相互作用モデル》]] [[《ODの調査》]] [[《地理情報システム》]]<br />
<br />
===システム分析・意思決定支援・特許===<br />
<br />
[[《システム分析》]] [[《リエンジニアリング》]] [[《意思決定支援システム》]] [[《効用関数》]] [[《データマイニング》]] [[《過程決定計画図》]] [[《発想法》]] [[《モデル管理》]] [[《アルゴリズム特許》]]<br />
[[《モデリング》]]<br />
<br />
===AHP(階層的意思決定法)===<br />
<br />
[[《AHP》]] [[《AHP一対比較法》]] [[《AHP重要度算出法》]] [[《AHP整合性尺度》]] [[《拡張型AHP》]] [[《AHP重要度評価法》]] [[《グループAHP》]] [[《ANP》]] [[《AHPの諸問題》]] [[《大規模AHP》]] [[《AHPの誤差》]] [[《AHPの理論的解釈》]]<br />
<br />
===DEA(包絡分析法)===<br />
<br />
[[《DEA(包絡分析法)》]] [[《CCRモデル》]] [[《BCCモデル》]] [[《効率性》]] [[《規模の収穫》]] [[《SBMモデル》]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=BCMP%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF&diff=9916
BCMPネットワーク
2008-08-06T01:40:35Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 びーしーえむぴーねっとわーく (BCMP (Baskett, Chandy, Muntz and Palacios) network) 】'''<br />
<br />
<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
客数ベクトルの定常確率が積形式で与えられる[[待ち行列ネットワーク]]<br />
のひとつで，<br />
ジャクソン型を拡張して[[客]]にクラスを設け，<br />
[[サービス規律]]をより一般的にしたもの．<br />
[[サービス時間分布]]は，<br />
先着順の場合は[[指数分布]]のみであるが，<br />
プロセッサ・シェアリング，<br />
無限サーバ，<br />
後着順割込継続型の場合は，<br />
任意の分布が許される．<br />
この結果は1975年にバスケット（F. Baskett）らによって発表されたが，<br />
その後この論文の著者4人のイニシャルをとって，BCMP型と呼ばれている．<br />
<br />
=== 詳説 ===<br />
[[待ち行列ネットワーク]] (queueing network) において, ネットワーク全体の定常分布が各ノードの状態の周辺分布の積として表されるとき, このようなネットワークは一般に[[積形式解]] (product form solution) を持つといわれる. 最初に研究された一連の積形式ネットワークは, [[ジャクソンネットワーク]] (Jackson network) と呼ばれている. ジャクソンネットワークは, 定常分布の表現が簡単であるので広く応用されてきたが, 経路をあらかじめ選択できない, 指数サービスに限定される, などモデルの制約が強い. これに対して, ジャクソンネットワークを拡張して, 客に客の[[客のクラス|クラス]]を設け, かつより一般的なサービス機構にしても積形式解をもつことが, Baskettら [1] やKelly [2] の研究によって明らかにされた. ここでは, 前者を[[BCMPネットワーク]] (BCMP network) [4], 後者を[[ケリーネットワーク]] (Kelly network) と呼ぶ. <br />
<br />
<br />
'''BCMPネットワーク''' BCMPネットワークは, 次のように定義される. <br />
<br />
:*ネットワークは<math>N\, </math>個のノードから成り, 客は<math>C\, </math>個のクラスのいずれかに属する. この他に外部を表すノード<math>0\, </math>があるとする. <br />
<br />
:*外部から到着した客は, 確率<math>r_{0, (i, c)}\, </math>でノード<math>i\, </math>に行き, クラス<math>c\, </math>の客となる. ノード<math>i\, </math>のクラス<math>c\, </math>の客は, サービス終了後確率<math>r_{(i, c), (j, d)}\, </math>でノード<math>j\, </math>のクラス<math>d\, </math>の客となり, 確率<math>r_{(i, c), 0}\, </math>でネットワークから退去する. これらの確率はネットワークの状態とは独立であるので、このような経路選択をマルコフ的という．マルコフ的経路選択では，すべてのクラスに対して<math>r_{0, (i, c)}\,>0 </math>，<math>r_{(i,c),0}\,>0 </math>とおけば[[開放型ネットワーク|開放型]](open network)，<math>r_{0, (i, c)}\,=0 </math>，<math>r_{(i,c),0}\,=0 </math>とおけば[[閉鎖型ネットワーク|閉鎖型]](closed network)となる．<br />
<br />
:*客は外部から率<math>\lambda </math>のポアソン過程に従って到着する．(到着率は，ネットワーク内の人数，または経路選択行列で構成されるマルコフ連鎖の部分連鎖の人数に依存してもよい．)<br />
<br />
<br />
:*各ノードのサービス規律は先着順, プロセッサ・シェアリング, 無限サーバ, 後着順割込継続型のいずれかにしたがう. 各クラスの客のサービス要求量の分布は, 先着順の場合はクラス共通の指数分布のみであるが, その他の場合はクラスに依存してもよく, 任意の分布が許される. <br />
<br />
いま, ノード<math>i\, </math>への客の到着を[[トラフィック方程式]] (traffic equation) <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\lambda_{(i, c)} = \lambda r_{0, (i, c)} + <br />
\sum_{j=1}^N \sum_{d=1}^C \lambda_{(j, d)} r_{(j, d), (i, c)} <br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
の解<math>\lambda_{(i, c)}\, </math>に等しい率のポアソン到着としてノードの状態の周辺分布を求めると, BCPM型ネットワークの定常分布はこの周辺分布の積で表現できる. <br />
<br />
<br />
'''ケリー型''' BCMPネットワークとケリーネットワークの2つの研究は，ほぼ同時期に独立に行われたが，本質的には同種類のモデルである．しかしKellyの研究は，積形式解をもつネットワークの範囲がBCMP型のプロセッサ・シェアリング，無限サーバ，後着順割込継続型を含む，より一般的な[[対称型サービス規律]](symmetric service discipline)に拡張されている点と，客のクラスを経路情報を含めた形で設定するれば客の経路を決定論的に定めることができることを明示した点で重要である．以下，対称型サービス規律について説明する．<br />
<br />
<br />
'''対称型サービス''' 対称型サービス規律ではノード内の客の位置を区別し, ノード<math>i\, </math>に客が<math>m\, </math>人いるときのノード<math>i\, </math>の状態 <math>\boldsymbol {x_i} \, </math> を, 位置<math>k\, </math>の客のクラス<math>c_k\, </math>とその客の残余サービス必要量 (サービス必要量の分布が[[相型分布]](phase distribution)の場合は客のいる相番号))<math>\phi_k\, </math>を用いて，<math>\boldsymbol{x_i} = (c_1, \phi_1, c_2, \phi_2, \cdots, c_m, \phi_m)\, </math>と表現する．<br />
ノード<math>i\, </math>の状態が <math>\boldsymbol{x_i}\, </math> であるときこのノードに客が到着すると, 客は確率 <math>\gamma(m+1, k)\, </math> で位置<math>k\, </math>を選択し, このとき位置 <math>l>k\, </math> にいた客は位置<math>l+1\, </math>に移る. また, 状態 <math>\boldsymbol{x_i}\, </math>において位置<math>k\, </math>の客が退去すると, 位置 <math>l>k\, </math> にいた客は位置 <math>l-1 \, </math> に移る. さらに, ノード<math>i\, </math>の状態が <math>\boldsymbol{x_i}\, </math> であるとき, このノードの総サービス率は <math>\varphi(m)\, </math> で与えられ, 総サービス率は位置kの客に <math>\gamma(m, k)\, </math> の割合で配分される. すなわち, 位置<math>k\, </math>の客のサービス率は <math>\varphi(m) \gamma(m, k)\, </math> となる. 対称型という言葉は, 到着した客が各位置へ割り付けられる確率とその位置で客が受けるサービスの割合が比例する点に由来する. <br />
<br />
<br />
'''平均応答時間''' ケリーネットワークでは，客を種類に分け，種類ごとに客がサービスを受けるノードの列を前もって決めることができる．この経路選択は客の種類を適切に与えると通常のマルコフ的経路選択と等価であることが証明できる．このように客がサービスを受けるノードの列<math>i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{n}</math>が前もって与えられ，各ノードでのサービス必要量が<math>x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}</math>である客が到着したという条件の下で，その客の到着から退去までの時間の条件付き期待値を平均ネットワーク[[応答時間]]と呼ぶ．対称型サービスでは，上記の客が<math>k\, </math>番目のノードに到着してから退去するまでの平均応答時間が客のサービス必要量<math>x_{k}</math>に比例し，平均ネットワーク応答時間は<math>x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}</math>の線形和となることが知られている（[3]参照）．<br />
<br />
<br />
'''不感性''' 対称型サービス規律では，各ノードの状態確率がサービス時間分布の形とは無関係に，その平均値のみによって定まる．この性質は[[不感性]](insensitivity)と呼ばれている．また，局所平衡が成り立つネットワークは不感性であることもわかる．<br />
不感性をもつ代表的なシステムの例としては，呼がポアソン過程に従って発生する[[回線交換網]](circuit switching network)が挙げられ，呼損率は保留時間の分布形に関係なく平均値によってのみ定まる．<br />
<br />
<br />
'''局所平衡''' BCMPやケリーネットワークの特徴は，[[局所平衡方程式|局所平衡]](local balance)方程式を満たすことにある．<br />
これによって，積形式解が直接導かれ，また積形式解が[[大域平衡方程式|大域平衡]] (global balance)方程式を満足すること(定常分布であること)も容易に証明できる．<br />
また，サービス時間分布が一般の場合は，対称型サービス規律はサービス位置を区別した最も詳細な局所平衡方程式が成り立つための必要十分条件となる．対称型サービス規律はこの局所平衡方式から自然に導かれたと考えられる．<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz and F. G. Palacios, "Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers," ''Journal of Association for Computing Machinery'', '''22''' (1975), 248-260. <br />
<br />
[2] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.<br />
<br />
[3] M. Miyazawa, R. Schassberger and V. Schmidt, "On the structure of an insensitive generalized semi-Markov process with reallocation and with point-process input," ''Advances in Applied Probability'' (1995), 203-225. <br />
<br />
[4] J. Walrand, ''An Introduction to Queueing Networks'', Prentice-Hall, 1988.<br />
<br />
[5] 橋田温, 「最近のネットワーク手法」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''26''' (1981), 205-212. <br />
<br />
<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|まちぎょうれつねっとわーく（BCMPがたとそのおうよう）]]</div>
Sakasegawa
https://orsj-ml.org/orwiki/wiki/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%83%8D%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%82%AF&diff=9915
ジャクソンネットワーク
2008-08-06T01:39:04Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【 じゃくそんねっとわーく (Jackson network) 】'''<br />
<br />
<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
各ノードはひとつまたは複数の[[窓口]]からなり，<br />
[[指数分布]]にしたがうサービス時間でサービスを行い，<br />
ノードでのサービスを終えた[[客]]は次のノードまたは外部を[[確率的経路選択]]に<br />
したがって選ぶ[[待ち行列ネットワーク]]．<br />
客をクラスにより区別しない．<br />
外部から[[ポアソン過程]]にしたがって客が到着する開放型と，<br />
常に一定数の客が網内を循環している閉鎖型に分けられる．<br />
ネットワーク状態の定常確率分布は積形式をもつ．<br />
基本的なモデルとして重要なものであり，広く応用されている．<br />
<br />
=== 詳説 ===<br />
<br />
ジャクソンネットワークの名は J.R.Jackson[5]に因る．1970年代後半から, 計算機システムの評価に応用されはじめた．待ち行列網の状態変化がマルコフ過程として記述され, 平衡方程式の解である定常確率分布が[[積形式解|積形式]]として陽に表される基本的なモデルとして重要なものとなっている．<br />
<br />
この待ち行列網の各ノードは指数分布に従うサービス時間をもつ窓口からなり, １つのノードのサービスを終えた客が，その客の履歴によらず，[[経路選択確率]]と呼ぶ一定の確率で次のノードを選ぶモデルである．すなわち，<math>M\, </math>個のノード<math>1, 2, \ldots, M\, </math>からなり，ノード<math>i\, </math>のサービス率はそのノードにいる客数<math>n\, </math>の関数で，<math>C_{i}\,(n) </math>と表すことができる．例えば，ノード<math>i\, </math>のサーバー数が<math>c_{i}\, </math>，サービス時間分布がサービス率<math>\mu_{i}\, </math>の[[指数分布]]ならば，<math>C_i(n)=\min(n, c_{i})\mu_{i}\, </math>である．ノード<math>i\, </math>のサービスを終えた客は経路選択確率<math>r_{ij}\, </math>でノード<math>j\, </math>に移動する．<br />
<br />
この網は，外部からの客の到着を仮定する[[開放型ネットワーク|開放型]]と，外部からの到着はなく，常に一定数<math>N\, </math>の客が網内を移動する[[閉鎖型ネットワーク|閉鎖型]]に大別される．開放型の場合，外部からの到着過程は到着率<math>\lambda\, </math>の[[ポアソン到着|ポアソン過程]]とする．外部から到着した客は確率<math>r_{0i}\, </math>でノード<math>i\, </math>に進み，ノード<math>i\, </math>のサービスが終了した客は確率<math>r_{i0}\, </math>で網から退去する．少なくとも一つの<math>i\, </math>について，<math>r_{i0}\,>0 </math>とならなければならない．閉鎖型の場合はすべての<math>i\, </math>について，<math>\textstyle \sum_{j=1}^Mp_{ij} =1\, </math> とする．<br />
経路選択確率<math>r_{ij}\, </math> からなる正方行列を<math>P\, </math>とする．開放型の場合，状態<math>0\, </math>があるため，<math>P\, </math>は<math>M+1\, </math>次となり，閉鎖型の場合<math>M\, </math>次となる．<br />
<math>P\, </math>をマルコフ連鎖の推移確率行列とみたとき，既約であると仮定する．客のクラスが複数の場合の[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型]]<br />
については，発展した型である[[BCMPネットワーク|BCMP型]]や[[ケリーネットワーク|ケリー型]]などのネットワークに分類される．また，外部からの到着があるが，系内に入ることができる客数に制限がある[[有限呼源待ち行列|有限呼源]](もしくは損失型)の場合，外部を一つのノードとみなすことにより，閉鎖型に帰着できる（[5]参照）．<br />
<br />
'''積形式解''' この待ち行列網の状態を <math>(n_1, n_2, \ldots, n_M)\, </math> で表す. ここで <math>n_i\, </math> はノード <math>i\, </math> にいる客の数である. 定常状態確率を <math>p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}\, </math> とすれば, これは次のような積形式になる. <br />
<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}=G^{-1} \prod_{i=1}^M<br />
\, \frac{\alpha_i^{n_i}}{\prod_{n=1}^{n_i} C_i(n)} <br />
</math><br />
</center><br />
<br />
<br />
上記の積で <math>n_i=0\, </math> となる項は1とする. <math>G\, </math> は[[ネットワーク状態分布の正規化定数|正規化定数]]であり, <math>\alpha_i\, </math> <math>(i=1, 2, \ldots, M)\, </math> は[[トラフィック方程式]]と呼ばれるつぎの方程式の解である.<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
\alpha_i = p_{0i}\lambda + \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji}, <br />
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad <br />
\, </math> 開放型<br />
</center><br />
<br />
<center><br />
<math> <br />
\alpha_i = \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji}, <br />
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad<br />
\, </math> 開放型<br />
</center><br />
<br />
<br />
この方程式は，各ノード毎に到着率が退去率に等しいとして得られる1次の連立方程式である．開放型の場合，解<math>\alpha_i\, </math>は一人の客が網に到着してから退去するまでにノード<math>i\, </math>を訪問する平均回数にネットワークへの総到着率<math>\lambda\, </math>を乗じたものである．閉鎖型の場合は，トラヒック方程式は<math>P\, </math>の定常確率を求める方程式と同一であり，さらに，例えば<math>\alpha_1=1\, </math>とすれば，<math>\alpha_{i}\, </math>はノード1に到着してからまた次にそこに到着するまでの間にノード<math>i\, </math>を訪問する期待回数という意味をもつ．<br />
<br />
定常分布が積形式となることから，開放型の場合，任意時点での，各ノードの列の長さは互いに独立になり，各ノードからの退去過程がポアソン過程になる．また，閉鎖型も含め，どんな部分ネットワークに対しても，部分ネットワーク全体を１つのノードで置き換えて，他の部分の定常分布が変えないようにすることができる．<br />
長さは互いに独立になる．また，閉鎖型も含め，各ノードからの退去過程がポアソン過程になる．したがって，どんな部分ネットワークに対しても，部分ネットワー%ク全体を１つのノードで置き換えて，他の部分の定常分布が変えないようにすることができ, すなわち，[[ノートンの定理|ノートンの定理]]が任意の部分ネットワークに対して成り立つ[11]．さらに，１つのノードへの各到着時点で，到着した客が見るネットワークの状態の分布は任意時点の状態分布と一致する．これを[[到着定理|到着定理]]という．ただし，網が閉鎖型の場合には，任意時点の分布として，到着した客を除いた網を使う．さらにその客の退去時点での分布も同様であり[6]，この分布でのもとで，ノード<math>i\, </math>に到着してから，次にそこに戻るまでの平均周期時間はノードごとの平均訪問回数と平均待ち時間の積の総和となること等が求まる．<br />
<br />
'''正規化定数と性能評価量の計算''' 積形式解から定常分布を求めるためには正規化定数の計算が必要である．開放型の場合は容易であるが，閉鎖型の場合には，可能な状態が<math>\textstyle \sum_{i=1}^M n_i =N\, </math>を満たすもに限られるので，工夫が必要である．例えば，閉鎖型正規化定数を計算する方法として，[[たたみ込み法]]や[[平均値解析法]]が知られている．[2]．たたみこみ法では, ノード <math>i\, </math> に対し, <math>N+1\, </math> 次元のベクトルを<br />
<br />
<center><br />
<math><br />
X_i=(X_i(0), X_i(1), \ldots, X_i(N)), <br />
\quad X_i(0)=1, X_i(n)= \frac {\alpha_i^{n}} {\Pi_{j=1}^n C_{i}(j)} \quad (n>0), <br />
\ n>0<br />
\, </math><br />
</center><br />
<br />
<br />
とし，<math>G=(X_1*X_2*...*X_M){\mathbf 1}\, </math>で与える．<math>*\, </math>はベクトルのたたみ込み演算である．定常分布が求まれば，スループットや平均待ち行列長の計算は比較的簡単である．しかし，正規化定数を計算することなく直接平均待ち行列長を計算する方法もある．例えば，平均値解析法は到着定理と[[リトルの公式|Littleの公式]]を応用し，平均列長などを系内客数<math>N\, </math>について0から繰り返し計算する方法である．各ノードでの平均待ち時間は到着時点での平均列長と平均サービス時間から求まる規律，例えば先着順であることが本質的である．<br />
<br />
'''待ち時間''' 待ち時間の分布については，特殊な網について考察されている．開放型で，サーバー数が1のノード(規律は先着順)が直列に並んでいる網もJackson型の一つであるが，この網で一人の客の各ノードでの滞在時間は互いに独立であることが[[バークの定理|バークの定理]]として知られている[1],[9]．これを閉鎖型にした場合，すなわち，最後のノードを退去した客は必ず最初のノードに戻る周期的な網でも，一周する間の一人の客の各ノードでの滞在時間の同時分布も一種の積の形となる[10]．一人の客が他の客に追い越されることがない(overtake free)という性質が本質的であり，バークの定理は，この影響がない最初と最後のノードでのサーバー数が複数の場合でも成り立つ．特に最後のノードのサービス時間分布は任意でよい．その他，[[セントラルサーバモデル]]で規律が[[プロセッサシェアリング]]である場合の研究もある．(例えば[8])．<br />
<br />
'''負の客とシグナル''' ジャクソンネットワークの特徴は，ネットワーク内の各ノードに滞在する客数を要素とするベクトルを状態に取ると連続時間マルコフ連鎖により表されることにある．1990年代に[4]は，到着すると客数を減らす[[負の客]]という概念を導入し，同様なマルコフ連鎖によるモデル化を行い，ジャクソンネットワークと同様な積形式の定常分布をもつことを証明した．到着客が待ち行列に並んだ後にサービスを受けずに退去することがあるので，各ノードへの通常の客の総到着率は減少し，客の強制退去を考慮した非線形なトラヒック方程式の解として求められる．定常分布はこの変更された総到着率を使って表すことができる．その後，このモデルは，負の客が複数のノードを瞬間的に動き回る[[シグナル到着ネットワーク]]へ拡張され，積形式の定常分布をもつことが証明されている（[3]参照）．例えば，各ノードで集団サービスが行われるジャクソン型と同様なネットワークで，予定された大きさの集団がサービスされた集団のみ1つの客となり経路を選択するモデルは，シグナル到着ジャクソンネットワークの例である．<br />
<br />
'''集団移動型''' ジャクソンネットワークと同様にポアソン到着やサービス時間が指数分布に従うモデルで，集団到着や集団退去があるモデルもあり，[[集団移動型ネットワーク|集団移動型]]と呼ばれる．このモデルは上記で述べた特別な場合を除いて，積形式の定常分布をもたないが，サービス集団の大きさがノードごとに独立であり経路の選択が集団ごとにまとめて行われる場合には，定常分布の補分布の上限を与える積形式分布が知られている（\[7],[12]参照）．また，このモデルは，サービス完了時刻でネットワークの変化を追うと離散時間型のモデルと見なすこともできる．<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
----<br />
<br />
'''参考文献'''<br />
<br />
[1] P. J. Burke, "The Output Process of a Stationary M/M/s Queuing System, ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''39''' (1968), 1144-1152. <br />
<br />
[2] K. M. Chandy and C. H. Sauer, "Computational Algorithms for Product Form Queueing Networks," ''Communications of the Association for Computing Machinery'', '''23''' (1980), 573-583. <br />
<br />
[3]X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks; customers, signals and product form solutions,'' Wiley, 1999.<br />
<br />
[4]E. Gelenbe, ``Product-form queueing networks with negative and positive customers,'' Journal of Applied Probability}, (1991), 656--663.<br />
<br />
[5] J. R. Jackson, "Jobshop-like Queueing Systems," ''Management Science'', '''10''' (1963), 131-142. <br />
<br />
[6]T. Kawashima,<br />
``A Property of two Palm measures in queueing networks and its applications,''Journal of the Operations Research Society of Japan, (1982), 16--28.<br />
<br />
[7]M. Miyazawa, P. Taylor,<br />
``A geometric product-form distribution for a queueing network with nonstandard batch arrivals and batch transfers,'' Advances in Applied Probability 29, (1997), 523--544.<br />
<br />
[8] J. A. Morrison and D. Mittra, "Heavy-usage Asymptotic Expansions for the Waiting Time in Closed Processor-sharing Systems with Multiple Casese," ''Advances in Applied Probability'', '''17''' (1985), 163-185. <br />
<br />
[9] E. Reich "Note on Queues in Tandem," ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''34''' (1963), 338-341. <br />
<br />
[10] R. Schassberger and H. Daduna. "Sojourn Times in Queueing Networks with Multiserver Nodes," ''Journal of Applied Probability'', '''24''' (1987), 511-521. <br />
<br />
[11] J. Walrand, ''An Introduction to Queueing Networks'', Prentice Hall, 1988.<br />
<br />
[12]H. Yamashita, M. Miyazawa,``Product form queueing networks with concurrent movements,''<br />
. ''Advances in Applied Probability, '' '''30''' (1998), 1111--1129.<br />
<br />
[[category:待ち行列ネットワーク|まちぎょうれつねっとわーく（じゃくそんがたとそのおうよう）]]</div>
Sakasegawa
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待ち行列の通信への応用
2008-08-05T14:40:22Z
<p>Sakasegawa: </p>
<hr />
<div>'''【まちぎょうれつのつうしんへのおうよう (applications of queueing theory to communication)】'''<br />
=== 概要 ===<br />
<br />
望ましい情報通信ネットワークを構築するには, 方式, 構成, 品質, コスト等の関係を定量的に評価分析する必要がある. 需要(トラヒック)と供給(設備数, 処理能力等)の関係により, ユーザの感じる通信品質に満足/不満足が生じる. 特に需要は時間的, 空間的に確率的に変動するものであり, 待ち行列理論が必須である. 電話の出現とともに上記の評価分析が開始され, さらに情報通信の発展が待ち行列理論の研究を促進した.<br />
=== 詳説 ===<br />
'''はじめに''' 1878年の電話機の発明からほどなくして, 電話交換の設備数に関して通信トラヒック面からの検討が始められた. その後, デンマークの電話会社の技師 [[アーラン, アグナー・K|アーラン]](A. K. Erlang)により体系的に研究された. これが待ち行列理論の始まりといわれる. このように待ち行列理論は情報通信ネットワークの進展・革新とともに発展してきた [1]. 通信網において接続される単位, すなわち電話網における通話やパケット網におけるパケット等は[[トラヒック]]とよばれる. トラヒックの発生や継続時間は確率的に変動しており, 通信網においてそれを運ぶための回線, 交換機あるいはコンピュータなどの設備を, 大多数の利用者が満足できる[[サービス品質]]のもとでシステム設計するための理論を通信トラヒック理論という. 待ち行列理論の通信への応用とはすなわち通信トラヒック理論そのものである [2] [3]. <br />
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'''電話交換, 電話網, ディジタル網への応用''' 1965年頃から交換機の制御系が蓄積プログラム制御となり, 処理能力評価あるいは処理能力を向上させる方式の考案が大きな課題であった. リアルタイム性の要求される交換機に特有の周期処理スケジュール方式に関して, 優先クラスごとの平均遅延時間の近似式が求められた [4]. ISDN (サービス総合ディジタル網) では, 性質の異なるトラヒックが同一の設備に加わる. このトラヒックを[[多元トラヒック]]とよび, マルチメディア通信網においてはさらに各所に出現する. 多元トラヒックの処理方法には即時式/待時式, [[優先権]]待ち行列 ([[回線留保]]を含む) 等がある. パケット網や計算機は随所にバッファを設置しており, 待時式処理が基本となる. これらを評価・分析するモデルとして[[待ち行列ネットワーク]]が有効である. <br />
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'''パケット網, データ網への応用''' パケット網については, 1970年頃に, 米国でインターネットのルーツであるARPA網が活発に研究・開発された. ルーチング方式やウィンドウ制御, ACKの返送方式に関して, 遅延時間や処理量の観点から多くの研究がなされた. データ通信やLANに関するトラヒック研究も活発に展開された [5]. <br />
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CSMA/CD方式に対する平衡状態を仮定した理論解析, [[ポーリングモデル|ポーリング]]方式に関するモデル解析およびLANの性能評価への応用, ALOHAシステムの解析等がなされた. <br />
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'''ATM方式への応用''' マルチメディア通信に対する通信方式として, 1980年代初め, ATM (AsynchronousTransfer Mode)方式が考案された. ATM方式では, 情報がセルという固定長の情報単位に分割されて, 網内を流れる. セルが待ち行列理論の客そのものであり, ATM方式の検討には待ち行列理論が必須である [6]. 当初, セルのヘッダによるハードウェアルーチングが注目され, バッファの設置形式を含めて通話路網が多数研究された. ビデオ情報のセルストリームはバースト的であるということで, トラヒックの入力モデルが活発に研究された. さらに, LANの長時間のトラヒックストリームが統計的に分析され, 長時間依存性, 自己相似性が指摘されている [7]. ATM方式のサービスカテゴリーとして, CBR (Constant Bit Rate), VBR (VariableBit Rate)等が提案されその標準化がなされた. 並行して, セルの統計的多重効果に関する実に多くの研究がなされ, トラヒック制御として, コネクション受付制御や使用量パラメータ制御が活発に研究された [8]. <br />
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'''移動通信網への応用''' 1980年代初頭に自動車電話サービスが開始され, 1993年にディジタル方式が提供され始め, 1990年代後半急速に普及している. 移動通信方式では, 有限の無線周波数をいかに有効活用するかが最も重要であり, トラヒック理論が非常に有効な分野である. 電波強度の関係と周波数を繰り返して使用するため, 地域を比較的小さなゾーンに分けている. そこで無線チャネルの割り当て法の研究が必要となる. また, ユーザの移動のため, 位置登録信号, 通話中チャネル切り替え, 一斉呼び出し等の信号が使用される. これら運ぶ制御チャネルの動作分析に関してもトラヒック理論が使える [9]. <br />
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'''インターネットへの応用''' 爆発的に成長しているインターネットは待時式処理が基本であり, その評価・分析には待ち行列理論が利用できる. たとえば, WWWで画像データを取込むと大きなデータが動く. これはテキスト情報の情報量と比較すると数桁以上も大きい. WWWの発生間隔や情報量の統計的分析をベースに, 待ち行列理論を利用して応答時間等が評価できる. <br />
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'''参考文献'''<br />
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[1] 高橋幸雄, 「待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-502. <br />
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[2] 秋丸春夫, 川島幸之助, 『情報通信トラヒック』, 電気通信協会, 1990. <br />
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[3] 村田正幸, 宮原秀夫, 「通信トラヒック理論とその応用[I]～[VII]」, 『電子情報通信学会誌』, '''77''' (1994), 968-975, 1043-1051, 1249-1255, '''78''' (1995). 85-90, 195-202, 264-270, 482-488. <br />
<br />
[4] 藤木正也, 「トラヒック理論の応用 5. 交換機制御系への応用」, 『電子通信学会誌』, '''64''' (1981), 50-58. <br />
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[5] 秋山稔, 川島幸之助, 木村丈治, 『LANのシステム設計』, オーム社, 1989. <br />
<br />
[6] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会, 1995. <br />
<br />
[7] 小沢利久, 「いろいろな入力過程モデル」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 680-686. <br />
<br />
[8] 滝根哲哉, 村田正幸, 「通信網における待ち行列 －理論の応用と課題－」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 264-271. <br />
<br />
[9] Davide Grillo, Ronald A. Skoog, Stanley Chia and Kin K. Leung, "Teletraffic Engineering for Mobile Personal Communications in ITU-T Work: The Need to Match Practice and Theory," ''IEEE Personal Communications Magazine'', '''5''' (1998), 38-58.<br />
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Sakasegawa