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《無裁定価格理論》

2007-08-09T07:06:25Z

Kanda.k:

'''【無裁定価格理論】'''

■離散時間アプローチと連続時間アプローチ

　金融工学の無裁定価格理論は,複数個の金融商品に対して,リスク(損失の可能性)なしに確実に利益をもたらす裁定機会を排除するように,価格に整合的な関係を要求する理論である.その整合性の条件は,一定の数学的仮定のもとで,適当なリスク中立確率測度のもとで資産の相対価格がマルチンゲールに従うことが十分であると同時に,ほとんど必要であることを主張する.その結果,派生証券の価格評価が可能となる.そこでは,CTA(連続時間アプローチ:Continuous Time Approach)のもとに連続な変数(確率変数のとりうる値が実数)を想定するという枠組みをもつ.DTA(離散時間アプローチ:Discrete Time Approach)の場合,複製可能性を意識して,変数も離散的な場合を扱う場
合が多い。しかし,時間離散,空間連続の場合,無裁定価格理論は,非Markovモデルが容易に扱えるという特徴をもつ.金利の変動や信用の変化など非Markovと考えられる現象に対して,CTAは応用上制約的であるとも考えられる.

　連続時間のもとでの基礎理論を展開したBlack―Scholes(BS)は,ヨーロピアンコールなどのオプシヨンに対して,複数個の資産を用いて「自己金融取引ルール」(以下SFR:Self Financing trading Rule)のもとに最終時点のベイオフを確率1で「複製する」ことができることを示した.そこでは株価に幾何Brown運動を仮定し,伊藤確率解析のもとにペイオフを複製する偏微分方程式を導いた.このアプローチはヘッジポートフォリオの構築法を具体的に示す点で役に立つ。しかし,複製可能性の概念は無裁定性の十分条件であり,ヘッジ理論を展開するための基礎になるが,派生商品を含む金融商品のプライシングの視点からは,無裁定性の概念がより重要であろう。特に,信用リスク派生商品など不連続で,時間軸が長いものは微小時間に基づくヘッジ概念は実際的に有効でないと考えられる.複製可能性の概念は,完備性の概念と結合している。

　これに対して,Harrison and Pliska(1981)は,無裁定性と複製可能性の概念を識別し,問題を再定式化した.そしてセミマルチンゲールの数学的構造の中で,「リスク中立測度のもとでの相対価格のマルチンゲール性」が無裁定性の十分条件であることを証明した.この「マルチンゲールアプローチ」は問題の本質をとらえるものである。資産価格の一般理論としては,Delbaen and Schachemeyer(1994)による「相対価格のマルチングール性がほとんど必要であること」の結果によって完成した.

■無裁定性

　以下では無裁定性の概念を述べ,DTAでの無裁定性定理を述べる.以下CTAとDTAを並行的に扱う.時間軸を有限区間<math>[o,T]</math>とし,それを<math>N</math>等分した時間幅を<math>h</math>,<math>Nh=T</math>とする.時点はCTAでは<math>t</math>,DTAでは<math>n</math>で表す.このもとで<math>M+1</math>個の資産価格過程を,

<table align="center">
<tr>
<td><math> X(t)=(X_0(t),X_1(t),\ldots,X_M(t))^{\top}=(X_0(t),Y(t)^{\top})^{\top},0\le t\le T \ \ \ \mbox{(1C)}</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> X_n=(X_{0n},X_{1n},\ldots,X_{Mn})^{\top}=(X_{0n},Y'_n)^{\top},n=0,1,\ldots ,N \ \ \ \mbox{(1D)}</math></td>
</tr>
</table>

として表現する.ここで<math>X(t)</math>は<math>t</math>に関して連続で,<math>X(t)</math>[または<math>X_n</math>]は確率空間<math>(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{Q})</math>で定義されていて,フィルトレーション

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathcal{F}_t(X)=\sigma(\{X(s);s\le t\})</math>または<math>\mathcal{F}_n=\sigma (\{X_j;j\le n \} )\ \ \ (2)</math></td>
</tr>
</table>

に関して可測であるとする.すなわち<math>X</math>は<math>\{\mathcal{F}_t\}</math>[または<math>\{\mathcal{F}_n\}</math>]適合であるとする.

　<math>t</math>時点のポートフォリオとは,各資産に対する組入れ枚数を示す確率変数の組

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathbf{a}(t)=(a_0(t),a_1(t),\ldots,a_M(t))</math>または<math> \mathbf{a}_n=(a_{0n},a_{1n},\ldots,a_{Mn}) \ \ \ (3)</math></td>
</tr>
</table>

をいう.<math>a_i(t)< 0</math>のときは第<math>i</math>資産を空売りすることを意味する.市場には摩擦がなく,どの資産についても任意の量を空売り可能とする。取引ルールとは,確率過程<math>\{\mathbf{a}(t):0\le t\le T\}</math>[または<math>\mathbf{a}_n</math>]をいう。(3)のもとでのポートフォリオの価値を

<table align="center">
<tr>
<td><math> V_t(\mathbf{a})=a_o(t)X_0(t)+\cdots + a_M(t)X_M(t)=\mathbf{a}(t)\cdot X(t) \ \ \ \mbox{(4C)}</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> V_n(\mathbf{a})=\mathbf{a}_n\cdot X_n \ \ \ \mbox{(4D)}</math></td>
</tr>
</table>

で示す.<math>\{V_t(\mathbf{a})\}</math>を価値過程という.このとき<math>t-h</math>時点で<math>t</math>時点の価値の変化は

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta V_t(\mathbf{a})=V_t(\mathbf{a})-V_{t-h}(\mathbf{a})=\Delta \mathbf{a}(t)\cdot X(t)+ \mathbf{a}(h-t)\cdot \Delta X(t)</math></td>
</tr>
</table>

となる。右辺第1項は,価格変化後にポートフォリオの再構築<math>(\mathbf{a}(t-h)\to \mathbf{a}(t))</math>をしたと
きによる価値変化を示す.右辺第2項は,<math>t-h</math>時点でのポートフォリオ<math>\mathbf{a}(t-h)</math>のもと
での価格変化<math>(X(t-h)\to X(t))</math>による価値変化を示す.自己金融取引ルール(SFR)<math>\{\mathbf{a}(t)\}</math>
とは,再構築のときに資金の流入をもたらさない取引ルール,すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta \mathbf{a}(t) X(t)=0 </math> または <math>\Delta V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t-h)\cdot \Delta X(t) \ \ \ (5)</math></td>
</tr>
</table>

と同等となる.
　CTAでは<math>h\to 0</math>とするので,<math>\mathrm{d}\mathbf{a}(t)</math>や<math>\mathrm{d}X(t)</math>が確率積分要素として数学的に定義されなくてはならない.そのため

① <math>a_i(t)</math>は発展的可測(<math>F_t\otimes g_t</math>),<math>t</math>に関して2乗可積分,有界変動

② <math>X(t)</math>は(発展的可測,2乗可積分)伊藤過程(拡散方程式)に従う

と仮定する.ただし,<math>g_t</math>は<math>[0,t]</math>上のBorel集合族である。(5)よりSFRを,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)</math> または <math>\Delta V_n(\mathbf{a}_n)=\mathbf{a}_n\cdot \Delta X_n \ \ \ (6)</math></td>
</tr>
</table>

をみたすものとして定義する.SFRのもとでの価値プロセスは

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_t(\mathbf{a})=\int_0^t \mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)</math> または <math>V_n(\mathbf{a}_n)=\sum_{j=1}^n\mathbf{a}_j\cdot \Delta X_j \ \ \ (7)</math></td>
</tr>
</table>

となる.<math>V_t(\mathbf{a})</math>の値はSFRを用いて,ポートフォリオを各時点での価格変化のもとに瞬時にかつ連続的に再構築して運用したときの累積額である.

'''定義１'''　与えられた<math>M</math>個の資産が裁定機会を許すとは,適当なSFR<math>\{\mathbf{a}^*(t)\}</math>(または<math>\{\mathbf{a}_n\}</math>)をとると,

<table align="center">
<tr>
<td><math>Q\{V_0(\mathbf{a}^*)=0, V_T(\mathbf{a}^*)\ge 0\}=1</math> かつ <math>Q\{ V_T(\mathbf{a}^*> 0\}>0 \ \ \ (8)</math></td>
</tr>
</table>

となることをいう(<math>T=Nh</math>).どのようなSFRに対しても裁定機会が存在しないとき,資産は互いに無裁定であるという.

'''DTA無裁定定理'''　相対価格の過程<math>\{\tilde{X}_{in}=X_{in}/X_{0n}\}(i=1,\ldots ,M)</math>が<math>\mathcal{Q}</math>に対して適当な同値確率測度<math>\mathcal{Q}^*</math>のもとでマルチンゲールとなることが,<math>M+1</math>個の資産が互いに無裁定であるための必要十分条件である.

十分性は刈屋(1997:pp.77-80)またはKariya and Liu(2002)をみよ。必要性はElliott and Kopp(1999:p.60)をみよ.測度の一意性については後に述べる.

■伊藤過程と基本定理

　以上の基本的枠組みでCTA無裁定価格理論を展開するためには,すでに述べた確率積分や確率解析などが定義されるための数学的構造(セミマルチンゲール構造)が要求される.したがって,それが可能となるモデルの定式化から入らぎるをえない.その結果,モデルの構造に関して無裁定性,完備性が議論されることになる.この点はDTAとの違いである.典型的な状況として,まず価格過程として基準化資産としての0時点1円の第0資産に

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_0(t)}{X_0(t)}=r(t)\mathrm{d}t</math>,すなわち <math>X_0(t)=\exp \bigg[\int_o^tr(s)\mathrm{d}s\bigg] \ \ \ (9)</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する。ここで<math>\{r(s)\}</math>は式(10)の<math>J</math>個のWiener過程<math>\{W(t)\}</math>によるフィルトレーションに適合した確率過程であると仮定する.他の資産価格は,伊藤過程(確率微分方程式)

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=1,\ldots ,M \ \ \ (10)</math></td>
</tr>
</table>

に従うとする。ここで<math>J</math>個の<math>\{W_j(t)\}</math>は互いに独立なWiencr過程,<math>\mu_i(t),\psi _{ij}(t)</math>はドリフトとボラテイリティの確率過程で,通常はMarkov性

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)=\mu_i(t,Y(t)), \psi_{ij}(t)=\psi_{ij}(t,Y(t)) \ \ \ (11)</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する.このときもし(10)が解をもつならば,その解は

<table align="center">
<tr>
<td><math>X_i(t)=X_i(0)\exp\bigg\{\int_0^t\mu_i(s)\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)^2\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j(s)\bigg\}
</math></td>
</tr>
</table>

となる幾何過程になる(たとえばChung and Wilhams(1990:p.120)).モデル(9)(10)の定式化に注意を要する.(9)の金利の過程<math>\{r(t)\}</math>は,(10)の確率過程から独立的であることを示す.仮にそれが拡散過程

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}r(t)=\mu_0(t)\mathrm{d}t+\sigma_0(t)\mathrm{d}W_0(t) \ \ \ (12)
</math></td>
</tr>
</table>

に従っていたものとしても,,<math>W_0(t)</math>のは<math>Y(t)=(X_1(t),\ldots ,X_M(t))</math>に影響を与えない。もちろ
ん,<math>\mu_0(t),\sigma_0(t)</math>は<math>Y(t)</math>の関数であってもよい。したがって,<math>\{r(t)\}</math>は<math>\sigma\{Y(s),r(s):s\le t\}</math>適合である.それに対して(10)の<math>Y(t)</math>は,それ自身の<math>J</math>個のWiener過程に対して適合的である.この仮定は,金利は他の資産から影響を受けてもその逆はないという経済的な関係を設定している。金利が他の資産価格に影響を与える場合の一般形は,第0資産も含めた<math>M+1</math>個の資産が拡散方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=0}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=0,1,\ldots ,M \ \ \ (13)</math></td>
</tr>
</table>

に従う場合である。この場合,<math>J+1</math>個のWiener過程のもとに<math>M+1</math>個の資産価格が互いに影響をもって変動する.<math>M+1</math>個の資産価格は同時決定方程式体系となる.

　確率微分方程式の解の存在条件は,非Markovの場合も含む形で

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu(t,x,\omega)=(\mu_i(t,X,\omega)), \Psi(t,x,\omega)=(\psi_{ij}(t,X,\omega)) \ \ \ (14a)</math></td>
</tr>
</table>

とおくと、強Lipschitz条件として、

<table align="center">
<tr>
<td><math> \| \mu(t,x,\omega)-\mu(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.}\ \ \ </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \| \Psi(t,x,\omega)-\Psi(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.} \ \ \ (14b)</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \mathrm{E}\bigg[\| Y(0) \| ^2+ \int _0^T[\| \Psi(s,0,\omega)\| ^2+\| \mu(s,0,\omega)\|^2]\mathrm{d}s\bigg]< \infty \ \ \ </math></td>
</tr>
</table>

となる(長井,1999).ここで行列Aに対して<math>\|A\|^2=\mbox{tr} AA^{\top}</math>である。なお,a.s.は「ほとんど確実に」の略である.

　この解の存在条件は,<math>\mu</math>や<math>\psi</math>がt,xに加えて<math>\omega</math>に依存してよいという意味では,非Markovの場合も含まれているが,上のLipschitz条件は,<math>\omega</math>に関する一様性を要求しているため,興味ある非Markovモデルの例を見つけるのは困難である.<math>\omega</math>に依存しない場合,過程(10)はMarkovとなることが示される。それを伊藤過程(拡散方程式)という.

　以下では(9),(10)のもとにCTAの無裁定条件を考察するため,伊藤過程の場合につて議論する.そして,<math>\theta_j(t)(j=1,\ldots ,J)</math>についての線形方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)-r(t)=\sum_{j=1}^J\psi_{ij}(t)\theta_j(t),\int _o^T \theta_j(t)^2\mathrm{d}t<\infty \mbox{ a.s.} \ \ \ (15)</math></td>
</tr>
</table>

を考える。これが解をもつとき<math>\theta(t)=(\theta_1(t),\ldots ,\theta_J(t))</math>をリスクの市場価格という.

　解は,①一意的な解をもつ,②解をもたない,③ 2つ以上の解をもつ,の3つケースに分けられる.(15)が解をもつとき(9),(10)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg\{\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)[\theta_j(t)\mathrm{r}t+\mathrm{d}W_j(t)]\bigg\} \ \ \ (16)</math></td>
</tr>
</table>

となる.ここでGirsanovの定理を用いて測度変換する.まず,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Lambda_T=\exp\bigg\{-\int_0^T\theta(s)\cdot \mathrm{d}W(s)-\frac{1}{2}\int_o^T\|\theta(s)\|^2 \mathrm{d}s\bigg\} \ \ \ (17)</math></td>
</tr>
</table>

とおいて測度<math>Q^*</math>と<math>Q^*</math>のもとでのWiener過程を

<table align="center">
<tr>
<td><math>{\mathrm{d}Q^*}/{\mathrm{d}Q}=\Lambda_T, \mathrm{d}W_i^*(t)=\theta_i(t)\mathrm(d)t+\mathrm(d)W_i(t) \ \ \ (18)</math></td>
</tr>
</table>

とおく.(18)を(16)に代入したものとその解は,それぞれ

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg(\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j^*(t)\bigg) \ \ \ (19)</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\frac{X_i(t)}{X_0(t)}=\frac{X_i(0)}{X_0(0)}\exp\bigg\{-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}^2(s)\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j^*(s)\bigg\} \ \ \ (20)</math></td>
</tr>
</table>

となるので,<math>W_j^*(t)</math>がWiener過程であることから相対価格<math>\{X_i(t)/X_0(t)\}</math>の過程が<math>Q^*</math>のもとでマルチンゲールとなる.すなわち<math>Q^*</math>のもとで次式が成立する.

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{E}_t^*\bigg[\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg]=\frac{X_i(t)}{X_0(t)} </math></td>
</tr>
</table>

'''CTA無裁定定理''' <math>K>0</math>に対して,<math>V_t(\mathbf{a})\ge -K(\mbox{a.s.})</math>となるSFRのクラスを<math>A_K</math>とする.このとき,(15)に解が存在するならば,すなわち相対価格をマルチンゲールにする確率測度<math>Q^*</math>が存在するならば,任意の<math>\mathbf{a}\in A_K</math>に対して裁定機会を与えない.すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_0(\mathbf{a})=0</math> ならば確率１で <math>V_T(\mathbf{a})\le 0</math></td>
</tr>
</table>

が成立する.なお,SFRに対して<math>V_T(\mathbf{a})\ge -K</math>の条件を除くと,裁定機会を許すものが存在する.(Delbaen and Schachermayer, 1994).

'''系''' (15)と<math>\mathrm{E}[\Lambda_T]=1</math>をみたす<math>\theta(t)</math>が存在するとき,相対価格をマルチンゲールにする同値確率測度は存在し,価格は互いに無裁定となる.

'''定義2''' <math>F_T</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)</math>としての条件付き請求権(オプション)が,適当なSFRのもとで<math>V_T(\mathbf{a})=Z(T)</math>となるとき,<math>Z(T)</math>は複製可能という.与えられたモデルのもとで任意の<math>F_T</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)</math>が複製可能なとき,モデルは完備であるという.

　モデルが完備の場合,任意の条件付き請求権は複製可能であるから,オプションなどの条件付き請求権商品は不要,もしくは冗長ということになる.完備性に関して,(15)の解の存在性よりCTA無裁定定理によって,次の定理が成立する.

'''完備性定理''' モデル(9),(10)を仮定する.①<math>M=J</math>で<math>\psi(t)</math>がすべて<math>t</math>に対して確率1で正則ならば,モデルは完備であり,<math>Q</math>は一意的に存在,②<math>M<J</math>ならば不完備で,<math>Q^*</math>は数多く存在,③<math>M>J</math>ならば<math>Q^*</math>は存在しない.<math>Q^*</math>が完備なときは,任意の条件付き請求権<math>Z(T)</math>の<math>t</math>時点価格は<math>Z(t)=X_0(t)\mathrm{E}_t^*[Z(T)/X_0(T)]</math>で与えられる.

　この条件は,不確実性の数としてのWiener過程の数<math>J</math>と基準化資産<math>X_0</math>以外の資産数<math>M</math>との関係で述べられている。それは<math>r(t)</math>の定式化問題と関係している.実際(15)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>r_0(t)1=\Phi(t)\gamma(t),\mbox{ }\Phi(t)=[\mu(t),\Psi(t)],\mbox{ }\gamma(t)=(1,-\theta(t)^{\top})^{\top}</math></td>
</tr>
</table>

であるから,<math>\Phi(t)</math>の列ベクトル空間<math>L(\Phi(t))</math>(各<math>\omega</math>に対して)は,1のベクトル<math>1</math>を含まなくてはならない.このことは,<math>M</math>個の資産価格過程のドリフトベクトル<math>\mu (t)</math>とボラティリティ行列<math>\Psi </math>の間に一定の関係を前提にしている.

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'''参考文献'''

[1]刈屋武昭(1997),『金融工学の基礎』,東洋経済新報社.

[2]長井英生(1999),『確率微分方程式』,共立出版.

[3]Chung,K.L.and R.J.Williams(1990),''Introduction to Stochastic Integration'', Birkhauser.

[4]Delbaen,F.and W.Schachemayer(1990),"A general version of the fundamental theorem of asset pricing,"''Mathematical Annalean,''300,463-520.

[5]Elliott,R.J and P.E.Kopp(1999),''Mathematics of Financial Markets'',Springer.

[6]Harrison,J.M. and S.R. Pliska(1981),"Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading,"''Stochastic Processes and Their Applications'',11,215-260.

[7]Karatzas,I.and S.E.Shreve(1998),''Brown Motion and Stochastic Calculus'',Springer.

[8]Kariya,T.and R.Y.Liu(2002),''Asset Pricing,''Kluwer.

[[category:ファイナンス|むさいていかかくりろん]]

《メタヒューリスティクス》

2007-08-09T06:32:45Z

Kanda.k:

'''【めたひゅーりすてぃくす (meta-heuristics) 】'''

　[[メタヒューリスティクス]] (meta-heuristics) とは組合せ最適化問題に対しての, 発見的解法の枠組みであり, 従来の数理的, 分析的手法に基づく厳密解法に対し, ある暫定解からより良い解を発見的に探索するための方法論である. 1) 個々の問題の性質に依拠しないより包括的な枠組みである, 2) 最適解を求めることではなく, より良い解を現実的な時間で求めることを目的とする, といった特徴が挙げられる. メタヒューリスティクスに含まれる多くの手法は局所探索法 (local search) を元にしているが, 局所最適解で探索が終了してしまうという欠点を補うためのさまざまな工夫がなされている[7].

　[[多スタート局所探索]] (multi start local search) は適当な方法で生成した初期解からの局所探索法を繰り返し行うことにより, 改善された局所最適解を求めるものである.

　[[可変近傍法]] (variable neighborhood search) は複数の近傍を定義し, 暫定解（それまでに得られた最善解）に対しある近傍から一つ初期解を選択し, その解に対して局所探索法を適用するという手順を繰り返す. この反復において暫定解が更新されたか否かによって初期解を選択するための近傍を変える点に特徴がある.

　[[アニーリング法]] (simulated aneeling) は局所探索法の実行過程に確率的な振る舞いを加え局所最適解に陥らないようにしたアルゴリズムであり, Kirkpatrickらによって提案された [2]. アニーリング法では改悪の方向への移行を確率<math>P\, </math>で受け入れる. <math>P\, </math>は温度<math>t\, </math>と呼ばれる制御パラメータを含む関数で定義され, 目的関数が改悪される度合が大きくなれば小さくなるように定義される. 一般に用いられるのは, 変更にともなう目的関数値の変化量を<math>\Delta \, </math>(改悪ならば正、改良ならば負の値をとる)とすると,

<table align="center">
<tr>
<td><math>P=\left\{\begin{array}{l}
1,\;\Delta\le 0\\
\exp (-\Delta /t ),\Delta >0
\end{array}\right.</math>
</td>
</tr>
</table>

と定義される. パラメータ<math>t\, </math>は最初は大きな値に設定されるが、その後<math>t\, </math>を徐々に小さくすることによって, 探索の初期の段階では広い領域を探索し, 後期では探索が最適解に落ち着くことをねらっている.

　[[タブー探索]]　(tabu search)　は局所探索法において局所最適解から脱出するため, 近傍内の最良解（改悪解であっても）へ移行するという操作を加えたものである [3, 4] . 一つの局所最適解とその近傍のみの移行という繰り返しを避けるために, 現在までの移行の履歴を保持し, 移行に制約を設ける. この制約をタブーという. またタブーにより良い最適解への移行を妨げる場合があるのでタブー保有期間と呼ばれる一定期間を経るとタブーは解消される. これにより局所最適解に陥ることなく広範囲の最適解を探索することが可能になる.

　[[遺伝アルゴリズム]] (genetic algorithm) は生物の形質遺伝による進化を組合せ最適化問題における解の進化, すなわち目的関数値を向上させることに利用した解法である [6]. まず候補解を記号列として表現したものを遺伝子と名付け, これらの遺伝子からなる集団に対し1) 次世代に子孫を残す解を選択し (選択), 2) <math>2\, </math>つの親の遺伝子より子の遺伝子を生成し (交叉), 3) 遺伝子の一部を一定の確率で変化させ (突然変異), 4) 劣っている解は集団より除去する (淘汰), という操作を繰り返し行う. 交叉において遺伝子の特徴がどのように次の世代に遺伝していくかということは[[スキーマ定理]] (scheme theorem) によって確率的に示されている [5]. ここでスキーマ<math>H\, </math>とは遺伝子を2進数で表現したときの部分列であり, その次元を<math>o(H)\, </math>, 定義長を<math>\delta(H)\, </math>とし, <math>m(H,t)\, </math>を次世代<math>t\, </math>でスキーマ<math>H\, </math>を含む個体の数, <math>f(H)\, </math>スキーマ<math>H\, </math>を含む個体の適応度の平均値, <math>\overline{f}(t)\, </math>を世代<math>t\, </math>での固体の平均適応度とすると

<center>
<math>\begin{array}{lll}
m(H,t+1) &\geq& m(H,t)f(H)
\{1-p_c\delta(H)/(l-1)\}(1-p)^{o(H)}/\overline{f}(t) \\
&\approx& m(H,t)f(H)\{1-p_c\delta(H)/(l-1)-po(H)\}/\overline{f}(t)
\end{array}\, </math>
</center>

が成立する.

　遺伝アルゴリズムは[[進化的計算]] (evolutionary computation), 進化的プログラミング (evolutionary programming) といった生物の遺伝, 進化の過程を模倣して最適化問題における最適解を探索するという枠組みの中のひとつであり、さらには[[人工生命]]} (artificial life) という生命システムをコンピュータでシミュレートする研究との関連においても注目されている.

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'''参考文献'''

[1] G. Hansen and N. Mladenovic, "An Introduction to Variable Depth Search," in ''Meta-heuristics: Advances and Trends in Local Search Paradigms for Optimization'', S. Voss, eds., Kluwer Academic Publishers.

[2] S. Kirkpatrick, C. D. Gellat and M. P. Vecchi, "Optimization by Simulated Annealing," ''Science'', '''220''' (1983), 671-680.

[3] F. Glover, "Tabu Search I," ''ORSA Journal on Computing'', '''1''' (1989), 190-206.

[4] F. Glover, "Tabu Search II," ''ORSA Journal on Computing'', '''2''' (1989), 4-32.

[5] D. E. Goldberg, ''Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning'', Addison-Wesley, 1989.

[6] J. H. Holland, ''Adaptation in Natural and Artificial Sytems'', University of Michigan Press, 1975.

[7] 柳浦睦憲, 茨木俊秀, 「組合せ最適化」, 朝倉書店, 2001.

[[category:近似・知能・感覚的手法|めたひゅーりすてぃくす]]

《SBMモデル》

2007-08-09T02:19:29Z

Kanda.k:

'''【SBMもでる (slacks-based measure model) 】'''

　加法モデルの目的関数の値は評価尺度の大きさの影響を受け, また, 値の範囲も限定されていないので, 目的関数の値だけで, 効率性を議論しにくい. そこで, 刀根は測定単位に依存せず, スラックの関して単調減少する尺度を用いた次のSBM (Slacks-Based Measure)モデルを提案した [1].

'''SBMモデル'''

<table align="center">
<tr>
<td>目的: </td>
<td><math>\min \rho = \frac{\displaystyle 1 - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}s_{i}^{-}/x_{io}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}s_{r}^{+}/y_{ro}} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約: </td>
<td><math>X{\mathbf{\lambda}} + {\mathbf s}^{-} = \mathbf {x}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq \mathbf{0}\, </math></td>
</tr>
</table>

ただし, <math>\mathbf{e}^{t} \mathbf{\lambda}=1\, </math>の制約は除いている. また, すべてのデータは正であることを仮定している. 目的関数の右辺の分母, 分子に<math>\phi\, </math>を掛けて分母が1になるようにすると, この問題は分子の最小化問題となり, 次のように定式化できる.

<table align="center">
<tr>
<td>目的: </td>
<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\phi s_{i}^{-}/x_{io} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約: </td>
<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\phi s_{r}^{+}/y_{ro} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>X \mathbf{\lambda} + \mathbf{s}^{-} = \mathbf{x}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>Y \mathbf{\lambda} - \mathbf{s}^{+} = \mathbf{y}_{o}\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\mathbf{\lambda} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{-} \geq \mathbf{0}, \ \mathbf{s}^{+} \geq {\mathbf 0}\, </math></td>
</tr>
</table>

制約の第2式, 第3式の両辺に<math>\phi\, </math> を掛けて, <math>\phi s_i^{-} = \alpha_i, \ \phi s_r^{+} = \beta_r, \phi \lambda_j = \gamma_j\, </math> と置くと

<table align="center">
<tr>
<td>目的: </td>
<td><math>\min \rho = \phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約: </td>
<td><math>\phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \
\phi \geq 0\, </math></td>
</tr>
</table>

となり, <math>\alpha_i \ (i = 1, \ldots, m), \ \ \beta_r \ (r = 1, \ldots, s), \ \ \gamma_j \ (j = 1, \ldots, n), \ \ \phi\, </math>に関するLPとして解くことが出来る.

　分母を1と置いて分子の最小化を図ったが, 分子を1と置いて分母の最大化を図ることも考えられる. その場合には

<table align="center">
<tr>
<td>目的: </td>
<td><math>\max \rho^{-1} = \phi + \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\beta_r / y_{ro} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約: </td>
<td><math>\phi - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\alpha_i / x_{io} = 1\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\sum_{j=1}^n x_{ij}\gamma_j + \alpha_i = \phi x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\sum_{j=1}^n y_{rj}\gamma_j - \beta_r = \phi y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\alpha_i \geq 0 \ (i = 1, \ldots, m), \ \
\beta_r \geq 0 \ (r = 1, \ldots, s), \ \
\gamma_j \geq 0 \ (j = 1, \ldots, n), \ \
\phi \geq 0
\, </math></td>
</tr>
</table>

である.

　入出力<math>({\mathbf x}_o, {\mathbf y}_o)\, </math> を持つDMU <math>O\, </math> は <math>\rho\, </math> の最適(最小)値<math>\rho^{*}\, </math> が 1 の場合に限りSBM効率的であると言われる.

　刀根は, さらにSBM効率的なDMU <math>O\, </math> に対して1以上の効率値を与えることのできる次のSuperSBMモデルを提案している [2].

'''SuperSBMモデル'''

<table align="center">
<tr>
<td>目的: </td>
<td><math>\delta^{*} = \min \delta = \frac{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i/x_{io}}{\displaystyle \frac{1}{s}\sum_{r=1}^{s}\bar{y}_r / y_{ro}} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td>制約: </td>
<td><math>\bar{x}_i \geq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j x_{ij} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m) \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\bar{y}_r \leq \sum_{j=1\wedge j\neq o}^n \lambda_j y_{rj} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s) \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\bar{x}_i \geq x_{io} \ \ (i = 1, 2, \ldots, m)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>0\leq \bar{y}_r \leq y_{ro} \ \ (r = 1, 2, \ldots, s)\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\lambda_j \geq 0\, </math></td>
</tr>
</table>

　超効率値<math>\delta^{*}\, </math>も単位不変である（測定単位の影響を受けない）.

----
'''参考文献'''

[1] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''130''' (2001), 498-509.

[2] K. Tone, "A Slacks-based Measure of Super-efficiency in Data Envelopment Analysis," ''European Journal of Operational Research'', '''143''' (2002), 32-41.

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《無裁定価格理論》

2007-08-09T02:11:46Z

Kanda.k: 新しいページ: ''''【無裁定価格理論】''' ■離散時間アプローチと連続時間アプローチ　金融工学の無裁定価格理論は,複数個の金融商品に対して...'

'''【無裁定価格理論】'''

■離散時間アプローチと連続時間アプローチ

　金融工学の無裁定価格理論は,複数個の金融商品に対して,リスク(損失の可能性)なしに確実に利益をもたらす裁定機会を排除するように,価格に整合的な関係を要求する理論である.その整合性の条件は,一定の数学的仮定のもとで,適当なリスク中立確率測度のもとで資産の相対価格がマルチンゲールに従うことが十分であると同時に,ほとんど必要であることを主張する.その結果,派生証券の価格評価が可能となる.そこでは,CTA(連続時間アプローチ:Continuous Time Approach)のもとに連続な変数(確率変数のとりうる値が実数)を想定するという枠組みをもつ.DTA(離散時間アプローチ:Discrete Time Approach)の場合,複製可能性を意識して,変数も離散的な場合を扱う場
合が多い。しかし,時間離散,空間連続の場合,無裁定価格理論は,非Markovモデルが容易に扱えるという特徴をもつ.金利の変動や信用の変化など非Markovと考えられる現象に対して,CTAは応用上制約的であるとも考えられる.
　連続時間のもとでの基礎理論を展開したBlack―Scholes(BS)は,ヨーロピアンコールなどのオプシヨンに対して,複数個の資産を用いて「自己金融取引ルール」(以下SFR:Self Financing trading Rule)のもとに最終時点のベイオフを確率1で「複製する」ことができることを示した.そこでは株価に幾何Brown運動を仮定し,伊藤確率解析のもとにペイオフを複製する偏微分方程式を導いた.このアプローチはヘッジポートフォリオの構築法を具体的に示す点で役に立つ。しかし,複製可能性の概念は無裁定性の十分条件であり,ヘッジ理論を展開するための基礎になるが,派生商品を含む金融商品のプライシングの視点からは,無裁定性の概念がより重要であろう。特に,信用リスク派生商品など不連続で,時間軸が長いものは微小時間に基づくヘッジ概念は実際的に有効でないと考えられる.複製可能性の概念は,完備性の概念と結合している。
　これに対して,Harrison and Pliska(1981)は,無裁定性と複製可能性の概念を識別し,問題を再定式化した.そしてセミマルチンゲールの数学的構造の中で,「リスク中立測度のもとでの相対価格のマルチンゲール性」が無裁定性の十分条件であることを証明した.この「マルチンゲールアプローチ」は問題の本質をとらえるものである。資産価格の一般理論としては,Delbaen and Schachemeyer(1994)による「相対価格のマルチングール性がほとんど必要であること」の結果によって完成した.

■無裁定性

　以下では無裁定性の概念を述べ,DTAでの無裁定性定理を述べる.以下CTAとDTAを並行的に扱う.時間軸を有限区間<math>[o,T]</math>とし,それを<math>N</math>等分した時間幅を<math>h</math>,<math>Nh=T</math>とする.時点はCTAでは<math>t</math>,DTAでは<math>n</math>で表す.このもとで<math>M+1</math>個の資産価格過程を,

<table align="center">
<tr>
<td><math> X(t)=(X_0(t),X_1(t),\ldots,X_M(t))^{\top}=(X_0(t),Y(t)^{\top})^{\top},0\le t\le T \ \ \ \mbox{(1C)}</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> X_n=(X_{0n},X_{1n},\ldots,X_{Mn})^{\top}=(X_{0n},Y'_n)^{\top},n=0,1,\ldots ,N \ \ \ \mbox{(1D)}</math></td>
</tr>
</table>

として表現する.ここで<math>X(t)</math>は<math>t</math>に関して連続で,<math>X(t)</math>[または<math>X_n</math>]は確率空間<math>(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{Q})</math>で定義されていて,フィルトレーション

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathcal{F}_t(X)=\sigma(\{X(s);s\le t\})</math>または<math>\mathcal{F}_n=\sigma (\{X_j;j\le n \} )\ \ \ (2)</math></td>
</tr>
</table>

に関して可測であるとする.すなわち<math>X</math>は<math>\{\mathcal{F}_t\}</math>[または<math>\{\mathcal{F}_n\}</math>]適合であるとする.

　<math>t</math>時点のポートフォリオとは,各資産に対する組入れ枚数を示す確率変数の組

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathbf{a}(t)=(a_0(t),a_1(t),\ldots,a_M(t))</math>または<math> \mathbf{a}_n=(a_{0n},a_{1n},\ldots,a_{Mn}) \ \ \ (3)</math></td>
</tr>
</table>

をいう.<math>a_i(t)< 0</math>のときは第<math>i</math>資産を空売りすることを意味する.市場には摩擦がなく,どの資産についても任意の量を空売り可能とする。取引ルールとは,確率過程<math>\{\mathbf{a}(t):0\le t\le T\}</math>[または<math>\mathbf{a}_n</math>]をいう。(3)のもとでのポートフォリオの価値を

<table align="center">
<tr>
<td><math> V_t(\mathbf{a})=a_o(t)X_0(t)+\cdots + a_M(t)X_M(t)=\mathbf{a}(t)\cdot X(t) \ \ \ \mbox{(4C)}</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> V_n(\mathbf{a})=\mathbf{a}_n\cdot X_n \ \ \ \mbox{(4D)}</math></td>
</tr>
</table>

で示す.<math>\{V_t(\mathbf{a})\}</math>を価値過程という.このとき<math>t-h</math>時点で<math>t</math>時点の価値の変化は

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta V_t(\mathbf{a})=V_t(\mathbf{a})-V_{t-h}(\mathbf{a})=\Delta \mathbf{a}(t)\cdot X(t)+ \mathbf{a}(h-t)\cdot \Delta X(t)</math></td>
</tr>
</table>

となる。右辺第1項は,価格変化後にポートフォリオの再構築<math>(\mathbf{a}(t-h)\to \mathbf{a}(t))</math>をしたと
きによる価値変化を示す.右辺第2項は,<math>t-h</math>時点でのポートフォリオ<math>\mathbf{a}(t-h)</math>のもと
での価格変化<math>(X(t-h)\to X(t))</math>による価値変化を示す.自己金融取引ルール(SFR)<math>\{\mathbf{a}(t)\}</math>
とは,再構築のときに資金の流入をもたらさない取引ルール,すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Delta \mathbf{a}(t) X(t)=0 </math> または <math>\Delta V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t-h)\cdot \Delta X(t) \ \ \ (5)</math></td>
</tr>
</table>

と同等となる.
　CTAでは<math>h\to 0</math>とするので,<math>\mathrm{d}\mathbf{a}(t)</math>や<math>\mathrm{d}X(t)</math>が確率積分要素として数学的に定義されなくてはならない.そのため

① <math>a_i(t)</math>は発展的可測(<math>F_t\otimes g_t</math>),<math>t</math>に関して2乗可積分,有界変動

② <math>X(t)</math>は(発展的可測,2乗可積分)伊藤過程(拡散方程式)に従う

と仮定する.ただし,<math>g_t</math>は<math>[0,t]</math>上のBorel集合族である。(5)よりSFRを,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}V_t(\mathbf{a})=\mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)</math> または <math>\Delta V_n(\mathbf{a}_n)=\mathbf{a}_n\cdot \Delta X_n \ \ \ (6)</math></td>
</tr>
</table>

をみたすものとして定義する.SFRのもとでの価値プロセスは

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_t(\mathbf{a})=\int_0^t \mathbf{a}(t)\cdot \mathrm{d}X(t)</math> または <math>V_n(\mathbf{a}_n)=\sum_{j=1}^n\mathbf{a}_j\cdot \Delta X_j \ \ \ (7)</math></td>
</tr>
</table>

となる.<math>V_t(\mathbf{a})</math>の値はSFRを用いて,ポートフォリオを各時点での価格変化のもとに瞬時にかつ連続的に再構築して運用したときの累積額である.

'''定義１'''　与えられた<math>M</math>個の資産が裁定機会を許すとは,適当なSFR<math>\{\mathbf{a}^*(t)\}</math>(または<math>\{\mathbf{a}_n\}</math>)をとると,

<table align="center">
<tr>
<td><math>Q\{V_0(\mathbf{a}^*)=0, V_T(\mathbf{a}^*)\ge 0\}=1</math> かつ <math>Q\{ V_T(\mathbf{a}^*> 0\}>0 \ \ \ (8)</math></td>
</tr>
</table>

となることをいう(<math>T=Nh</math>).どのようなSFRに対しても裁定機会が存在しないとき,資産は互いに無裁定であるという.

'''DTA無裁定定理'''　相対価格の過程<math>\{\tilde{X}_{in}=X_{in}/X_{0n}\}(i=1,\ldots ,M)</math>が<math>\mathcal{Q}</math>に対して適当な同値確率測度<math>\mathcal{Q}^*</math>のもとでマルチンゲールとなることが,<math>M+1</math>個の資産が互いに無裁定であるための必要十分条件である.

十分性は刈屋(1997:pp.77-80)またはKariya and Liu(2002)をみよ。必要性はElliott and Kopp(1999:p.60)をみよ.測度の一意性については後に述べる.

■伊藤過程と基本定理

　以上の基本的枠組みでCTA無裁定価格理論を展開するためには,すでに述べた確率積分や確率解析などが定義されるための数学的構造(セミマルチンゲール構造)が要求される.したがって,それが可能となるモデルの定式化から入らぎるをえない.その結果,モデルの構造に関して無裁定性,完備性が議論されることになる.この点はDTAとの違いである.典型的な状況として,まず価格過程として基準化資産としての0時点1円の第0資産に

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_0(t)}{X_0(t)}=r(t)\mathrm{d}t</math>,すなわち <math>X_0(t)=\exp \bigg[\int_o^tr(s)\mathrm{d}s\bigg] \ \ \ (9)</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する。ここで<math>\{r(s)\}</math>は式(10)の<math>J</math>個のWiener過程<math>\{W(t)\}</math>によるフィルトレーションに適合した確率過程であると仮定する.他の資産価格は,伊藤過程(確率微分方程式)

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=1,\ldots ,M \ \ \ (10)</math></td>
</tr>
</table>

に従うとする。ここで<math>J</math>個の<math>\{W_j(t)\}</math>は互いに独立なWiencr過程,<math>\mu_i(t),\psi _{ij}(t)</math>はドリフトとボラテイリティの確率過程で,通常はMarkov性

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)=\mu_i(t,Y(t)), \psi_{ij}(t)=\psi_{ij}(t,Y(t)) \ \ \ (11)</math></td>
</tr>
</table>

を仮定する.このときもし(10)が解をもつならば,その解は

<table align="center">
<tr>
<td><math>X_i(t)=X_i(0)\exp\bigg\{\int_0^t\mu_i(s)\mathrm{d}s-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)^2\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j(s)\bigg\}
</math></td>
</tr>
</table>

となる幾何過程になる(たとえばChung and Wilhams(1990:p.120)).モデル(9)(10)の定式化に注意を要する.(9)の金利の過程<math>\{r(t)\}</math>は,(10)の確率過程から独立的であることを示す.仮にそれが拡散過程

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}r(t)=\mu_0(t)\mathrm{d}t+\sigma_0(t)\mathrm{d}W_0(t) \ \ \ (12)
</math></td>
</tr>
</table>

に従っていたものとしても,,<math>W_0(t)</math>のは<math>Y(t)=(X_1(t),\ldots ,X_M(t))</math>に影響を与えない。もちろ
ん,<math>\mu_0(t),\sigma_0(t)</math>は<math>Y(t)</math>の関数であってもよい。したがって,<math>\{r(t)\}</math>は<math>\sigma\{Y(s),r(s):s\le t\}</math>適合である.それに対して(10)の<math>Y(t)</math>は,それ自身の<math>J</math>個のWiener過程に対して適合的である.この仮定は,金利は他の資産から影響を受けてもその逆はないという経済的な関係を設定している。金利が他の資産価格に影響を与える場合の一般形は,第0資産も含めた<math>M+1</math>個の資産が拡散方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\frac{\mathrm{d}X_i(t)}{X_i(t)}= \mu_i(t)\mathrm{d}t+\sum_{j=0}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j(t),i=0,1,\ldots ,M \ \ \ (13)</math></td>
</tr>
</table>

に従う場合である。この場合,<math>J+1</math>個のWiener過程のもとに<math>M+1</math>個の資産価格が互いに影響をもって変動する.<math>M+1</math>個の資産価格は同時決定方程式体系となる.

　確率微分方程式の解の存在条件は,非Markovの場合も含む形で

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu(t,x,\omega)=(\mu_i(t,X,\omega)), \Psi(t,x,\omega)=(\psi_{ij}(t,X,\omega)) \ \ \ (14a)</math></td>
</tr>
</table>

とおくと、強Lipschitz条件として、

<table align="center">
<tr>
<td><math> \| \mu(t,x,\omega)-\mu(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.}\ \ \ </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \| \Psi(t,x,\omega)-\Psi(t,y,\omega)\| \le K \| x-y\| ,\mbox{a.s.} \ \ \ (14b)</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math> \mathrm{E}\bigg[\| Y(0) \| ^2+ \int _0^T[\| \Psi(s,0,\omega)\| ^2+\| \mu(s,0,\omega)\|^2]\mathrm{d}s\bigg]< \infty \ \ \ </math></td>
</tr>
</table>

となる(長井,1999).ここで行列Aに対して<math>\|A\|^2=\mbox{tr} AA^{\top}</math>である。なお,a.s.は「ほとんど確実に」の略である.

　この解の存在条件は,<math>\mu</math>や<math>\psi</math>がt,xに加えて<math>\omega</math>に依存してよいという意味では,非Markovの場合も含まれているが,上のLipschitz条件は,<math>\omega</math>に関する一様性を要求しているため,興味ある非Markovモデルの例を見つけるのは困難である.<math>\omega</math>に依存しない場合,過程(10)はMarkovとなることが示される。それを伊藤過程(拡散方程式)という.

　以下では(9),(10)のもとにCTAの無裁定条件を考察するため,伊藤過程の場合につて議論する.そして,<math>\theta_j(t)(j=1,\ldots ,J)</math>についての線形方程式

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mu_i(t)-r(t)=\sum_{j=1}^J\psi_{ij}(t)\theta_j(t),\int _o^T \theta_j(t)^2\mathrm{d}t<\infty \mbox{ a.s.} \ \ \ (15)</math></td>
</tr>
</table>

を考える。これが解をもつとき<math>\theta(t)=(\theta_1(t),\ldots ,\theta_J(t))</math>をリスクの市場価格という.
　解は,①一意的な解をもつ,②解をもたない,③ 2つ以上の解をもつ,の3つケースに分けられる.(15)が解をもつとき(9),(10)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg\{\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)[\theta_j(t)\mathrm{r}t+\mathrm{d}W_j(t)]\bigg\} \ \ \ (16)</math></td>
</tr>
</table>

となる.ここでGirsanovの定理を用いて測度変換する.まず,

<table align="center">
<tr>
<td><math>\Lambda_T=\exp\bigg\{-\int_0^T\theta(s)\cdot \mathrm{d}W(s)-\frac{1}{2}\int_o^T\|\theta(s)\|^2 \mathrm{d}s\bigg\} \ \ \ (17)</math></td>
</tr>
</table>

とおいて測度<math>Q^*</math>と<math>Q^*</math>のもとでのWiener過程を

<table align="center">
<tr>
<td><math>{\mathrm{d}Q^*}/{\mathrm{d}Q}=\Lambda_T, \mathrm{d}W_i^*(t)=\theta_i(t)\mathrm(d)t+\mathrm(d)W_i(t) \ \ \ (18)</math></td>
</tr>
</table>

とおく.(18)を(16)に代入したものとその解は,それぞれ

<table align="center">
<tr>
<td><math> \mathrm{d}\bigg(\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg)=\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg(\sum_{j=1}^J\psi _{ij}(t)\mathrm{d}W_j^*(t)\bigg) \ \ \ (19)</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\frac{X_i(t)}{X_0(t)}=\frac{X_i(0)}{X_0(0)}\exp\bigg\{-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}^2(s)\mathrm{d}s+\sum_{j=1}^J\int_o^t\psi_{ij}(s)\mathrm{d}W_j^*(s)\bigg\} \ \ \ (20)</math></td>
</tr>
</table>

となるので,<math>W_j^*(t)</math>がWiener過程であることから相対価格<math>\{X_i(t)/X_0(t)\}</math>の過程が<math>Q^*</math>のもとでマルチンゲールとなる.すなわち<math>Q^*</math>のもとで次式が成立する.

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mathrm{E}_t^*\bigg[\frac{X_i(t)}{X_0(t)}\bigg]=\frac{X_i(t)}{X_0(t)} </math></td>
</tr>
</table>

'''CTA無裁定定理''' <math>K>0</math>に対して,<math>V_t(\mathbf{a})\ge -K(\mbox{a.s.})</math>となるSFRのクラスを<math>A_K</math>とする.このとき,(15)に解が存在するならば,すなわち相対価格をマルチンゲールにする確率測度<math>Q^*</math>が存在するならば,任意の<math>\mathbf{a}\in A_K</math>に対して裁定機会を与えない.すなわち

<table align="center">
<tr>
<td><math>V_0(\mathbf{a})=0</math> ならば確率１で <math>V_T(\mathbf{a})\le 0</math></td>
</tr>
</table>

が成立する.なお,SFRに対して<math>V_T(\mathbf{a})\ge -K</math>の条件を除くと,裁定機会を許すものが存在する.(Delbaen and Schachermayer, 1994).

'''系''' (15)と<math>\mathrm{E}[\Lambda_T]=1</math>をみたす<math>\theta(t)</math>が存在するとき,相対価格をマルチンゲールにする同値確率測度は存在し,価格は互いに無裁定となる.

'''定義2''' <math>F_T</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)</math>としての条件付き請求権(オプション)が,適当なSFRのもとで<math>V_T(\mathbf{a})=Z(T)</math>となるとき,<math>Z(T)</math>は複製可能という.与えられたモデルのもとで任意の<math>F_T</math>可測な非負確率変数<math>Z(T)</math>が複製可能なとき,モデルは完備であるという.

　モデルが完備の場合,任意の条件付き請求権は複製可能であるから,オプションなどの条件付き請求権商品は不要,もしくは冗長ということになる.完備性に関して,(15)の解の存在性よりCTA無裁定定理によって,次の定理が成立する.

'''完備性定理''' モデル(9),(10)を仮定する.①<math>M=J</math>で<math>\psi(t)</math>がすべて<math>t</math>に対して確率1で正則ならば,モデルは完備であり,<math>Q</math>は一意的に存在,②<math>M<J</math>ならば不完備で,<math>Q^*</math>は数多く存在,③<math>M>J</math>ならば<math>Q^*</math>は存在しない.<math>Q^*</math>が完備なときは,任意の条件付き請求権<math>Z(T)</math>の<math>t</math>時点価格は<math>Z(t)=X_0(t)\mathrm{E}_t^*[Z(T)/X_0(T)]</math>で与えられる.

　この条件は,不確実性の数としてのWiener過程の数<math>J</math>と基準化資産<math>X_0</math>以外の資産数<math>M</math>との関係で述べられている。それは<math>r(t)</math>の定式化問題と関係している.実際(15)は,

<table align="center">
<tr>
<td><math>r_0(t)1=\Phi(t)\gamma(t),\mbox{ }\Phi(t)=[\mu(t),\Psi(t)],\mbox{ }\gamma(t)=(1,-\theta(t)^{\top})^{\top}</math></td>
</tr>
</table>

であるから,<math>\Phi(t)</math>の列ベクトル空間<math>L(\Phi(t))</math>(各<math>\omega</math>に対して)は,1のベクトル<math>1</math>を含まなくてはならない.このことは,<math>M</math>個の資産価格過程のドリフトベクトル<math>\mu (t)</math>とボラティリティ行列<math>\Psi </math>の間に一定の関係を前提にしている.

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'''参考文献'''

[1]刈屋武昭(1997),『金融工学の基礎』,東洋経済新報社.

[2]長井英生(1999),『確率微分方程式』,共立出版.

[3]Chung,K.L.and R.J.Williams(1990),''Introduction to Stochastic Integration'', Birkhauser.

[4]Delbaen,F.and W.Schachemayer(1990),"A general version of the fundamental theorem of asset pricing,"''Mathematical Annalean,''300,463-520.

[5]Elliott,R.J and P.E.Kopp(1999),''Mathematics of Financial Markets'',Springer.

[6]Harrison,J.M. and S.R. Pliska(1981),"Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading,"''Stochastic Processes and Their Applications'',11,215-260.

[7]Karatzas,I.and S.E.Shreve(1998),''Brown Motion and Stochastic Calculus'',Springer.

[8]Kariya,T.and R.Y.Liu(2002),''Asset Pricing,''Kluwer.

[[category:ファイナンス|むさいていかかくりろん]]

《ラフ集合》

2007-08-08T15:22:13Z

Kanda.k:

'''【らふしゅうごう (rough set)】'''

　ラフ集合は, [[識別不能性]](indiscernibility)による不確実性を扱う集合概念で, 1982年にポーランドの数学者 Zdzislaw Pawlak 教授により提案された[1,2]. いま, 全体集合として多くの対象の集合を考えよう. これらの対象を同等とみなせるグループ(同値類)に分割したとき, 任意の部分集合は, それに含まれるグループの和集合と, それと共通部分をもつグループの和集合により近似することができる. 前者は下近似と呼ばれ, 与えられた部分集合に確実に含まれる要素から構成される. 一方, 後者は上近似と呼ばれ, 与えられた部分集合に含まれるかもしれない要素からなる. 下近似と上近似とのペアをラフ集合という. 下近似と上近似は, それぞれ, 位相における集合の内部(interior)と閉包(closure), あるいは, 様相論理(modal logic)における必然性(necessity)と可能性(possibility)に対応している.

　ラフ集合は, [[決定表]] (decision table)で与えられるデータを解析する基礎を与える. 決定表において, すべての条件属性の値が等しい対象は同値類としてグループ化できる. 一方, 決定属性値が等しい対象は決定クラスとしてまとめられる. これらより, 各決定クラスに対して下近似と上近似が求められることになる. ある決定クラスの下近似に帰属する対象は, 与えられた条件属性により正しく分類できる対象とみなされる. このことから, 下近似を用いて, 重要な条件属性を[[縮約]] (reduct)や[[コア]] (core)として見出したり, 決定規則を極小長さのif-thenルールとして見出す方法が提案されている. ある決定クラスの上近似はどのような条件属性値をもつ対象が帰属しうるかを示しており, 可能性ルールの抽出に用いられる. また, すべての決定クラスの上近似は, どのような条件属性値をもつ対象がどの決定クラスに帰属しえないかを示しているので, この意味での重要な条件属性を求めることも考えられている[3].

　このように, ラフ集合による解析法は, (1)数値データより名義データの方が取り扱いやすい, (2)条件属性の重要性を評価できる, (3)簡潔なif-thenルールが求められるなどの特徴をもっており, 機械学習(machine learning)や知識発見(knowledge discovery), 特徴抽出(feature selection)などに利用され, 人工知能, 医療情報学, 土木工学, 感性工学, 決定科学, 経営学に応用されている.

　ラフ集合は分割すなわち同値関係のもとで定義されてきたが, 被覆や順序関係(order relation), 類似関係(similarity relation), さらに一般の2項関係のもとでも定義されている. 順序関係のもとでのラフ集合は, [[支配関係に基づくラフ集合]](dominance-based rough set)と呼ばれ, 「燃費が高ければ高いほど購買意欲が高くなる」などのように, 条件属性(condition attribute)の一部と決定属性(decision attribute)とがともに序数属性で, 単調関係にある場合の決定表の解析に用いられる[4]. また, 条件属性の一部が序数属性で決定属性と単調関係がない場合には, 被覆のもとでのラフ集合が適用可能となる. 決定表の一部の条件属性データが欠損している場合は, トレランス関係(tolerance relation)という特別な類似関係のもとでのラフ集合により解析することができる[5]. 類似関係とは反射性を満たす関係をいい, トレランス関係は反射性と対称性とを満たす関係をいう. 以上は、通常の2項関係のもとでの通常の集合に対するラフ集合であったが, ファジィ関係のもとでのファジィ集合に対するラフ集合であるファジィラフ集合(fuzzy rough set)も考えられている[6].

　ラフ集合の一般化は, もとになる2項関係を一般化したものばかりではなく, 下近似に帰属するための条件を一般化したラフ集合も考えられている. 与えられた決定表に誤差が含まれる場合には, 下近似が極めて小さくなり, ラフ集合により有益な解析が行えない場合がある. これに対処するため, ある程度の誤差を許容する[[可変精度ラフ集合]] (variable precision rough set)が提案されている[7]. また, 可変精度ラフ集合において許容する誤差を定めることが容易でないことから, 情報ゲインに基づいた[[ベイジアンラフ集合]] (Bayesian rough set) が考えられている[8]. これらは[[ラフメンバシップ値]] (rough membership value) を用いて定義される.

　ラフ集合は, 分割, 被覆, 支配関係, 類似関係などにより定められる対象のグループに基づき定義される. このようなグループは全体集合内の粒(granule)と考えられ, これに基づく計算法は, [[グラニュラーコンピューティング]] (granular computing)と呼ばれる[9]. 人間の言葉もグラニュラーコンピューティングに近いと考えられ, 言葉による計算の基礎となりうる. ラフ集合はこのようなグラニュラーコンピューティングを実現する手法としても注目されている.

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'''参考文献'''

[1] Z. Pawlak, "Rough Sets," ''International Journal of Computer and Information Sciences'', '''11''' (5) (1982), 341-356.

[2] Z. Pawlak, ''Rough Sets: Theoretical Aspects of Reasoning About Data'', Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

[3] 乾口,「ラフ集合による情報の解析」,『システム/制御/情報』, '''49''' (5) (2005), 162-172.

[4] S. Greco, B. Matarazzo and R. Slowinski, "The Use of Rough Sets and Fuzzy Sets in MCDM", in: T. Gal, T. J. Stewart and T. Hanne (eds.) ''Multicriteria Decision Making: Advances in MCDM Models, Algorithms, Theory, and Applications'', Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999, pp.14-1-14-59.

[5] M. Kryszkiewicz, "Rough Set Approach to Incomplete Information Systems," ''Information Sciences'', '''112''' (1-4)(1998), 39-49.

[6] M. Inuiguchi, "Generalizations of Rough Sets: From Crisp to Fuzzy Cases," in: S. Tsumoto, R. S{\l}owi\'{n}ski, J. Komorowski, J. W. Grzymala-Busse (eds.) ''Rough Sets and Current Trends in Computing: 4th International
Conference, Proceedings'', LNAI 3066, Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp.26-37.

[7] W. Ziarko, "Variable Precision Rough Set Model," ''Journal of Computer and System Sciences'', '''46''' (1)
(1993), 39-59.

[8] D. Slezak and W. Ziarko, "The Investigation of the Bayesian Rough Set Model," ''International Journal of Approximation Reasoning'', '''40''' (1-2) (2005), 81-91

[9] L. A. Zadeh, "From Computing with Numbers to Computing with Words: From Manipulation of Measurements
to Manipulation of Perceptions," ''IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications'', '''45''' (1) (1999), 105-119

[[category:近似・知能・感覚的手法|らふしゅうごう]]

規模の収穫

2007-08-08T15:19:46Z

Kanda.k:

'''【きぼのしゅうかく (returns to scale)】'''

規模の収穫とは, 事業体の活動に関して規模の変化による効率性の変動のタイプを表すもので, 増加型, 一定, 減少型の3種類が存在する. 増加型, 減少型とはそれぞれ規模の拡大, 縮小により効率性が向上する事業体, 一定とは現在の規模の維持が効率性からは望ましい事業体を指す. 規模の収穫が一定の事業体を最も生産的な規模の事業体と呼ぶ. CCRモデルでは規模の収穫を一定, BCCモデルでは規模の収穫は可変であると仮定して効率性を評価している.

詳しくは[[《規模の収穫》|基礎編：規模の収穫]]を参照.

BCCモデル

2007-08-08T15:18:25Z

Kanda.k:

'''【びーしーしーもでる (BCC (Banker, Charnes and Cooper) model)】'''

DEA (包絡分析法) のモデルとしてバンカー・チャーンズ・クーパーにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである. 生産可能集合は現存するDMUの凸包とそれより大きい入力と小さい出力をもつ点から構成される. このモデルはCCRモデルと異なり, 効率的フロンティアは通常原点を通らず, 規模の収穫は可変型である.

詳しくは[[《BCCモデル》|基礎編：BCCモデル]]を参照.

CCRモデル

2007-08-08T15:17:42Z

Kanda.k:

'''【しーしーあーるもでる (CCR (Charnes, Cooper and Rhodes) model)】'''

最初のDEA(包絡分析法)のモデルで, チャーンズ・クーパー・ローズにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである. 仮想的出力/仮想的入力が1以下の制約下で評価対象事業体にとって最も大きくなるようにする比率形式モデルをもとに, それを線形計画法で記述した各種のモデルがある. 線形計画法で記述したモデルでは主問題, 双対問題それぞれに解釈がなされ, また, 入力改善を指向するか, 出力改善を指向するかでも定式化は異なる.

詳しくは[[《CCRモデル》|基礎編：CCRモデル]]を参照.

DEA

2007-08-08T15:16:58Z

Kanda.k:

'''【でぃーいーえい (DEA (data envelopment analysis))】'''

事業体などの効率性を相対的に評価する手法として, 包絡分析法 (DEA) は1978年にチャーンズ・クーパー・ローズ (Charnes, Cooper and Rhodes) によって提案された. できるだけ少ない入力でできるだけ多くの出力を出す(出力/入力が大)ほど望ましいと考え, 多入力・多出力の場合にも出力の加重和(仮想的出力)と入力の加重和(仮想的入力)をとってそれらの比が大きいほど望ましいとしている. 線形計画法を用いた様々な定式化が提案されている.

詳しくは[[《DEA(包絡分析法)》|基礎編：DEA(包絡分析法)]]を参照.

ANP

2007-08-08T15:15:28Z

Kanda.k:

'''【えいえぬぴー (ANP (analytic network process))】'''

AHPの階層構造をネットワーク構造に拡張したもの. AHPの評価構造は評価基準が代替案を評価するというように, 評価者と被評価者の区別が固定しているが, ANPでは, 被評価者自身が, 評価者の評価の重要度あるいは評価能力を評価するという問題をも取り扱う. サーティ (T.L. Saaty) はこの評価構造の関連を超行列という一種の確率行列で表現し, その累乗の極限によって分析する方法を示した.

詳しくは[[《ANP》|基礎編：ANP]]を参照.

グループAHP

2007-08-08T15:14:58Z

Kanda.k:

'''【ぐるーぷえいえいちぴー (group AHP)】'''

グループAHPとは集団の意思決定を支援するために改善されたAHPである. 集団を構成するメンバーは各人各人異なる意思決定のための評価基準, 評価方法をもっているので, AHPを用いて意思決定を行う場合に一般にはメンバーそれぞれ異なる結果を出す. グループAHPはメンバーの異なるAHP評価を1つの集団評価に集約する方法を加味し, 修正したAHPである.

詳しくは[[《グループAHP》|基礎編：グループAHP]]を参照.

AHP

2007-08-08T15:13:05Z

Kanda.k:

'''【えいえいちぴー (AHP (analytic hierarchy process)】'''

階層化意思決定法とも訳されるが, 短くAHPと呼ばれることが多い. 複数の評価基準のもとで,多数の代替案の中からの選択, 複数の要素のすべてあるいはその一部へのリソースの配分, 複数の要素の評価や順位づけ, というタイプの決定問題のツール. 問題全体を, 究極の問題, 評価基準, 代替案という階層図に表現する. その上で, 2要素の一対比較という直感的な判断を基に, 問題全体の大局的な判断に合成する方法.

詳しくは[[《AHP》|基礎編：AHP]]を参照.

アルゴリズム特許

2007-08-08T15:11:55Z

Kanda.k:

'''【あるごりずむとっきょ (algorithm patent)】'''

アルゴリズム(計算手法)は, 数学と密接な関係にある(あるいは数学そのものである)という理由で, 従来特許による保護の対象から外されてきた. しかし, 最近ソフトウェアに対する特許が認められるようになってからは, 事実上アルゴリズムそのものに対する特許, すなわち"アルゴリズム特許"が多数成立している. その代表例は, 1988年に米国で, また1995年に日本でも成立した, カーマーカーの線形計画法特許である.

詳しくは[[《アルゴリズム特許》|基礎編：アルゴリズム特許]]を参照.

モデル管理

2007-08-08T15:11:15Z

Kanda.k:

'''【もでるかんり (model management)】'''

モデルライフサイクルにおけるモデルに関する活動の支援を構築し提供すること. モデルライフサイクルの全過程, また, モデルに関わるすべての活動を対象とする. 支援には, モデルを活用して特定の問題を解決するための支援, モデルを情報資産として再利用するための支援が含まれる. その実現技術と必要性の観点から, モデル管理研究は総合的な情報システム環境の実現を志向する.

詳しくは[[《モデル管理》|基礎編：モデル管理]]を参照.

発想法

2007-08-08T15:10:44Z

Kanda.k:

'''【はっそうほう (idea creation)】'''

問題解決のための創造的な発想法としては, 水平思考, ブレーンストーミング, 親和図法, デルファイ法など, 様々な考え方が提案されている. 個々の発想法は, 情報の収集, 情報の整理・構造化, 意見集約・集団意思決定などの点で機能に差があり, 利用場面が異なる.

詳しくは[[《発想法》|基礎編：発想法]]を参照.

過程決定計画図

2007-08-08T15:09:57Z

Kanda.k:

'''【かていけっていけいかくず (process decision program chart (PDPC))】'''

新QC七つ道具の1つ. システム特性が入出力や過去の履歴に依存する場合, あるいは相手の出方に応じて対応を変化させる必要がある場合, 現在の状況から最終結末に至る過程で生じ得る様々な状況や対策ならびにそれらの推移を, 問題解決の手順として有向グラフに描いたもの. システムの挙動を予測し, 適切な対策を模索し, その効果を事前に予測して, 最終的に望ましい結果に至るように計画するツール. 危機管理や集団意思決定に有効.

詳しくは[[《過程決定計画図》|基礎編：過程決定計画図]]を参照.

データマイニング

2007-08-08T15:09:01Z

Kanda.k:

'''【でーたまいにんぐ (data mining)】'''

データベースに蓄えられた生データに対して, 主として機械学習分野のアルゴリズムを適用し, 知識発見を行うことをいう. データマイニングアルゴリズムを実装した多数のシステムが開発されている. なお, データマイニング研究に関連するACM SIGKDD (Special Interest Group on Knowledge Discovery & Data Mining)は, データベースからの知識発見をテーマとしたAAAI(American Association for Artificial Intelligence) 併設ワークショップに由来している.

詳しくは[[《データマイニング》|基礎編：データマイニング]]を参照.

効用

2007-08-08T15:07:50Z

Kanda.k:

'''【こうよう (utility)】'''

任意の2つの選択対象<math>X,Y \,</math>に対し, <math>Y \,</math>よりも<math>X \,</math>を好むことを表す選好関係<math>X \succ Y \,</math>が数の大小関係<math>u(X) > u(Y) \,</math>と同値となるような実数値関数<math>u \,</math>を, <math>\succ \,</math>を表現する効用関数という. また, 貨幣のように譲渡可能な財があって,その<math>m \,</math>単位と<math>X \,</math>との組<math>(X,m) \,</math>の効用が<math>u(X,m)=U(X)+m \,</math>と与えられるとき,<math>U \,</math>を譲渡可能効用という. さらに, <math>X \,</math>がくじで<math>U(X) \,</math>が<math>X \,</math>の期待効用として与えられるとき, <math>U \,</math>は譲渡可能なフォンノイマン・モルゲンシュテルン効用となる.

詳しくは[[《効用関数》|基礎編：効用関数]]を参照.

意思決定支援システム

2007-08-08T15:06:51Z

Kanda.k:

'''【いしけっていしえんしすてむ (decision support system (DSS))】'''

MISがうまく機能しなかったことを踏まえて, 意思決定者が対話的にデータやモデルを操作して情報を獲得し, 意思決定を行うことを狙った情報システムのこと. 対話管理, データ管理, モデル管理の3部分システムから構成される. 1960年代末に提案され, その後ネットワーク技術の発展に伴い, 個人レベルの意思決定支援からグループレベル, さらに, 情報資源をネットワーク上に求めるWWWベースのものにまで広がってきている.

詳しくは[[《意思決定支援システム》|基礎編：意思決定支援システム]]を参照.

リエンジニアリング

2007-08-08T15:06:05Z

Kanda.k:

'''【りえんじにありんぐ (re-engineering)】'''

経営の今日的最重要課題である原価削減, 品質・サービスの向上, スピードアップなどを劇的に達成するために, 職能別に細分化されてきた旧来の分業体制を廃して, 顧客志向・プロセスベース・情報技術活用の職能横断的な業務遂行(統合されたオペレーション)体制に抜本的に改革することをいう. 同義語として, ビジネスプロセスリエンジニアリング(BPR)がある.

詳しくは[[《リエンジニアリング》|基礎編：リエンジニアリング]]を参照.

地理情報システム

2007-08-08T15:04:54Z

Kanda.k:

'''【ちりじょうほうしすてむ (geographic information system)】'''

地理情報システムは, 地理的な要因に社会的・経済的な要因が複合された現象を研究し分析する際に用いる技術であり, コンピュータ内で地理的な位置関係をあつかう基となる電子地図, 問題ごとに関連するデータベース, 地理的に広がったデータ相互の関係に基づいて解析を行うソフトウェアからなるシステム技術である. 電子地図と結びついた質の良いデータベース管理システムとしての役割, 計画作業に用いる意思決定支援システムとしての役割がある.

詳しくは[[《地理情報システム》|基礎編：地理情報システム]]を参照.

ODの調査

2007-08-08T15:04:20Z

Kanda.k:

'''【おーでぃーのちょうさ (survey on OD (origin-destination))】'''

起点 (origin) から終点 (destination) に向けたヒト・モノ・情報などの流量を実測すること. その結果を行列形式で表したものはOD表と呼ばれる. 空間相互作用モデルのパラメータ推定はODの調査に基づいて行われる. 交通計画におけるPT (パーソン・トリップ) 調査はゾーン間ODの調査であり, これに基づき将来の交通需要を予測するための古典的な方法に4段階推定法がある. 空間相互作用モデルの記述精度は, OD調査におけるゾーン設定に大きく依存する.

詳しくは[[《ODの調査》|基礎編：ODの調査]]を参照.

ウォードロップの原理

2007-08-08T15:03:12Z

Kanda.k:

'''【うぉーどろっぷのげんり (Wardrop's two extremal principles)】'''

出発地 (origin) と目的地 (destination) の間に代替となる経路が複数ある場合に, 利用者がどのような規準で経路を選択するのかについて, 交通流全体の状況を用いて記述したもの. ウォードロップは次の2つの規準を提案した.

:(1) OD間で実際に使われている経路の旅行時間はすべて等しく, それは使われていない経路を単一の利用者が旅行する場合の旅行時間よりも短い.

:(2) 平均旅行時間が最小である.

詳しくは[[《ウォードロップの原理》|基礎編：ウォードロップの原理]]を参照.

地理的最適化

2007-08-08T15:02:07Z

Kanda.k:

'''【ちりてきさいてきか (geographical optimization)】'''

ボロノイ図という幾何学図形を用いて定式化される施設配置問題とその解法を呼ぶ. ボロノイ図は, <math>n \,</math> 個の点が与えられたとき, 平面上の点をそのどれに近いかによって分割することでできる図形である. この図は, 与えられた点を施設とみなすと, 自然にその施設の勢力圏を与えており, この性質を用いて種々の施設配置問題が考えられる. このボロノイ図の高速構成算法が計算幾何学の分野で開発され, 実用的な規模の問題が解けるようになった.

詳しくは[[《地理的最適化》|基礎編：地理的最適化]]を参照.

都市構造分析

2007-08-08T15:01:26Z

Kanda.k:

'''【としこうぞうぶんせき (analysis of urban physical structure)】'''

都市構造という用語は様々な面で用いられるが, ここでの構造とは, 都市を形づくっている鉄道や, 道路や建物等のフィジカルな構造をいうことにし, これを人間が利用するという点から分析する. 都市においては人が自由に移動できるということがとりわけ重要であり, この移動という観点から, 都市空間のあらゆる2点間の移動にどの位の時間(距離)がかかるか, という時間(距離)分布と, 移動の重なりともいうべき通過量分布を求めることが議論されている.

詳しくは[[《都市構造分析》|基礎編：都市構造分析]]を参照.

積分幾何学

2007-08-08T15:00:52Z

Kanda.k:

'''【せきぶんきかがく (integral geometry)】'''

"ビュッフォンの針"のように図形に関係した確率を幾何確率といい, これらの理論的な部分は, 積分幾何学を基礎にしている. 積分幾何学の基礎概念とは合同変換によって不変な測度(積分)を求めることにあり, 対象が点, 直線, 一般的な図形等でそれらの集合の不変な測度がそれぞれ得られる. その測度(積分)に関係して, 直線についてはクロフトン (Crofton) による, 一般的な図形についてはブラシュケ (Blaschke) による, きれいな主公式が存在する.

詳しくは[[《積分幾何学》|基礎編：積分幾何学]]を参照.

軍事モデル

2007-08-08T15:00:01Z

Kanda.k:

'''ぐんじもでる (military model)'''

軍事計画の立案には, 究極の合理性を追求しながらも, 実験を行って確かめることが許されないので, つとめて科学的分析評価が求められる. このため, 従来よりシミュレーションが活用されてきたが, 使用目的によりモデルの性格を区分すれば次の3種類である. 分析用(兵力構成の検討や機種選定に使用), 訓練・演習用(部隊の練度維持のため, 部隊訓練・演習を効率的に支援), および研究開発・取得用(新兵器の研究開発や生産のために使用).

詳しくは[[《軍事モデル》|基礎編：軍事モデル]]を参照.

産業連関分析

2007-08-08T14:58:48Z

Kanda.k:

'''【さんぎょうれんかんぶんせき (input-output analysis)】'''

産業連関分析(投入産出分析)は, 国民経済計算勘定の1つとして位置づけられ, 1つの地域内の, ある一定期間の経済主体間の財貨・サービスの取引を表としてまとめた産業連関表(投入産出表)を利用して行う様々な分析を総称している. 産業連関表は, 各部門によって生産された財貨・サービスと中間部門・最終需要および輸入との横の需給バランスと, 各部門への投入合計(=生産額)と中間投入・総付加価値の縦のバランスから成り立っている.

詳しくは[[《産業連関分析》|基礎編：産業連関分析]]を参照.

公共政策

2007-08-08T14:57:45Z

Kanda.k:

'''【こうきょうせいさく (public policy) 】'''

公共部門における意思決定が公共政策となる. どのような政策が望ましいかという問題は関連する多くの集団の価値観, 利害関係も異なるため, 非常に難しい問題となる. 政策決定に際しては, 集団の評価基準も住民の便益, 効用, 行政の効率, 政策の効率, 公平性, 平等性など様々なものが考えられ, いろいろな制約が加わることも多い. どのような意思決定が最も合理的かつ最適かといった問題は非常に重要である.

詳しくは[[《公共政策OR-I》|基礎編：公共政策OR-I]],[[《公共政策OR-II》|基礎編：公共政策OR-II]]を参照.

投票理論

2007-08-08T14:55:43Z

Kanda.k:

'''【とうひょうりろん (voting theory)】'''

投票は集団が意思決定をする場合の1つの手段である. 集団が合理的な意思決定をするためには, どのような投票方法を採用すべきか, しかも矛盾がなく, 必ず結論が得られ, 不平等が生じないというような合理的な投票方法は存在するのか, といった問題が投票理論の主要課題である. このような問題は数百年にわたって多くの哲学者, 経済学者, 政治学者, 数学者等によって考えられてきた.

詳しくは[[《投票理論》|基礎編：投票理論]]を参照.

選挙区割問題

2007-08-08T14:54:02Z

Kanda.k:

'''【せんきょくわりもんだい (political districting problem)】'''

各行政区の人口の分布に合わせて公平に選挙区を策定するにはどうすればよいかという問題. 整数計画法等に基づく数理モデルを定式化して問題を解こうとする試みも以前から行われているが, 完全な解決は得られていない. すべての有権者にとって最も公平かつ公正な選挙制度を決定する問題に対しても, 数理計画モデルを解こうという試みがかなり長い間にわたってなされているが, 完全な解決は得られていない.

詳しくは[[《選挙制度》|基礎編：選挙制度]]を参照.

デリバティブ評価モデル

2007-08-08T14:52:02Z

Kanda.k:

'''【でりばてぃぶひょうかもでる (no arbitrage pricing model)】'''

ある公示性のある指標に対し, 将来時点での支払契約を明示した経済的権利をデリバティブと総称する. さらに将来時点での経済的価値の変動を確率モデルで定式化し, 合理的な資産価格付けが満足すべき性質から, その現在時点での価格を理論的に導出するモデルをデリバティブ評価モデルという. 例えば株式コールオプションでは, 対象とする指標を株価とし, 当該株価を所与の満期時点で, ある一定の行使価格で購入する権利の現在価値を評価する.

詳しくは[[《デリバティブ評価モデル》|基礎編：デリバティブ評価モデル]]を参照.

金融派生証券

2007-08-08T14:50:14Z

Kanda.k:

'''【きんゆうはせいしょうけん (financial derivative security)】'''

デリバティブの原資産は, (1) 株,(2) 金利および債券,(3) 通貨,(4) 農畜産物・工業品を主とする商品,に大別されるが, このうち(1)～(3)を原資産とするデリバティブで証券化されたものを金融派生証券と呼ぶ.

詳しくは[[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》|基礎編：金融派生証券(デリバティブ)(概論)]]を参照.

債券価格

2007-08-08T14:49:14Z

Kanda.k:

'''【さいけんかかく (bond price)】'''

満期に額面が償還され, 期中で利息支払いのない債券を割引債といい, その価格を割引債価格という. 満期に償還される額面の他に定期的に利息(クーポン)が支払われる債券を利付き債という. 時刻<math>t_1 \,</math>, <math>t_2 \,</math>, <math>\cdots \,</math>, <math>t_n \,</math>にそれぞれ<math>C_1 \,</math>, <math>C_2 \,</math>, <math>\cdots \,</math>, <math>C_n \,</math>の利息と, 満期<math>t_n \,</math>に額面<math>N \,</math>が支払われる利付き債の債券価格は, <math>t_i \,</math>に対応する割引債の額面1当たりの価格が<math>d_i \,</math>(<math>i=1,2,\cdots,n \,</math>)のとき, <math>\sum_{i=1}^{n} C_i d_i + N d_n \,</math> で得られる.

詳しくは[[《金利変動モデルと債券価格》|基礎編：金利変動モデルと債券価格]]を参照.

金利変動モデル

2007-08-08T14:48:21Z

Kanda.k:

'''【きんりへんどうもでる (interest rate model)】'''

広い意味では, 金利の変動を何らかの数理モデルを使って表現したものを金利モデルというが, 狭い意味では, スポットレートやフォワードレート等の金利の確率変動を表現するために確率過程として表現したものを金利モデルという. 金利モデルの代表的なものとして, ヴァシェク (Vasicek) モデル, コックス・インガソル・ロス (Cox, Ingersoll and Ross) モデル, ハル・ホワイト (Hull and White) モデルなどがある. これら金利モデルを仮定すると, 無裁定理論に基づいてイールドカーブ全体の確率変動が得られる.

詳しくは[[《金利変動モデルと債券価格》|基礎編：金利変動モデルと債券価格]]を参照.

証券市場モデル

2007-08-08T14:47:20Z

Kanda.k:

'''【しょうけんしじょうもでる (security market model)】'''

金融資本市場で取引されている個々の証券の価格が資本市場でどのようなメカニズムによって形成されるかを説明するモデルであり, 価格評価モデルとも呼ばれる. 最近の証券市場モデルでは市場均衡を積極的に考慮したCAPM, APT, アロー・ドブローモデルなどが代表的であるが, 過去に実現したデータに基づく時系列分析モデルも, 経済学者からの反発にもかかわらずコンピュータの発達とともに注目されている.

詳しくは[[《証券市場モデル》|基礎編：証券市場モデル]]を参照.

株価変動モデル

2007-08-08T14:46:23Z

Kanda.k:

'''【かぶかへんどうもでる (stock price fluctuation model)】'''

一般に金融資産の価格変動は非常に激しくモデル化が難しい. そのため対数価格はランダムウォークにしたがうと仮定される場合が多い. しかし, 価格変動には, 収益率の分布は正規分布に比べ尖度が大きい, 収益率の自己相関係数は小さい, 2乗収益率の自己相関係数は大きくかつ長期間に渡り減衰しない, 観測時間間隔が長くなると収益率は独立・同一分布に近づく等の諸特徴があまねく観察される. ARCHモデルはこのような諸特徴を備える代表的確率モデルである.

詳しくは[[《株価変動モデル》|基礎編：株価変動モデル]]を参照.

企業財務

2007-08-08T14:44:45Z

Kanda.k:

'''【きぎょうざいむ (corporate finance)】'''

企業, 特に株式会社の金融側面を明らかにする研究分野を指す. 企業は株主のものであるという立場から, 株式価値(株価)あるいは企業価値を最大にする, 資本予算, 資本構成政策, 配当政策, 流動性管理を議論する. 企業価値は, 株主と債権者に配分されるべき将来キャシュフローを加重平均コストで現在価値に引き戻したものである. 完全資本市場の下では, 企業価値に影響を与えるのは, 正味現在価値が正である投資プロジェクトを採用する場合のみである.

詳しくは[[《企業財務》|基礎編：企業財務]]を参照.

勤務スケジューリング

2007-08-08T14:42:55Z

Kanda.k:

'''【きんむすけじゅーりんぐ (manpower scheduling)】'''

ある組織が所定の機能を果たすために, 労働者が職務に従事する時間, すなわちいつからいつまでどの仕事に従事するのかを計画することをいう. 計画された勤務の時間的な割り当てを勤務スケジュール(work schedule)と呼び, 勤務表の形式で各労働者が勤務すべき日時が分かるように表現する.

詳しくは[[《勤務スケジューリング》|基礎編：勤務スケジューリング]]を参照.

人的資源管理

2007-08-08T14:42:19Z

Kanda.k:

'''【じんてきしげんかんり (human resource management)】'''

経営資源のうち人的資源を管理の対象とし,企業の労働サービスの需要の充足, 労働者の就業ニーズの充足,労使関係の調整と安定維持の機能を果たすものである. その管理領域は,大別して雇用管理, 報酬管理, 労使関係管理の3つからなる.この管理は, 企業の戦略に基づいて行われる点で,従来の人事管理や労務管理とは異なる.

詳しくは[[《人的資源管理》|基礎編：人的資源管理]]を参照.

SQC

2007-08-08T14:41:27Z

Kanda.k:

'''【えすきゅーしー (SQC (statistical quality control))】'''

統計的品質管理と訳す. 品質管理においては, QC七つ道具, 実験計画法, 回帰分析, 多変量解析などの統計的方法や抜取検査, サンプリングなど統計理論に基づいた様々な技法が多用される. このことを強調するために, 戦後発展した品質管理を統計的品質管理と呼ぶことがある. 品質管理では, 経験や勘に頼るのではなく, 事実に基づいた管理を重視するので, 統計的方法が広く活用されている.

詳しくは[[《総合的品質管理》|基礎編：総合的品質管理]]を参照.

プロジェクト管理

2007-08-08T14:39:47Z

Kanda.k:

'''【ぷろじぇくとかんり (project management)】'''

大規模な建設や研究開発などをプロジェクトと呼び, これらプロジェクトを計画・設計・日程立案・組織化し, その実行過程を統制することがプロジェクト管理である. しかし実際には, その意味するところは, その言葉を使う人によって異なる. ORの分野では伝統的に, PERT/CPMやプロジェクトの経済性分析など, 問題を解く技術的な側面に主な関心がもたれてきたが, 他の分野では, プロジェクト組織といった, 人間が関係する側面により関心が払われてきた.

詳しくは[[《プロジェクト管理》|基礎編：プロジェクト管理]]を参照.

研究開発

2007-08-08T14:38:58Z

Kanda.k:

'''【けんきゅうかいはつ (research and development (R&D)】'''

　研究開発には基礎研究と製品開発がある. 近年, 研究開発のスピードが競争に勝つための決め手になってきた. また, 企業収益に直結しない地球環境問題や安全・PL問題などの企業の社会的責任を果たすための技術開発も求められている. 研究開発のステージは以下の5つに分けられる. 研究開発テーマの選択, 各テーマへの経営資源の配分の決定, 研究開発の実行と進捗管理,研究開発成果の評価, 開発成果の事業化.

詳しくは[[《研究開発》|基礎編：研究開発]]を参照.

製品企画開発

2007-08-08T14:38:22Z

Kanda.k:

'''【せいひんきかくかいはつ (planning and development of new product)】'''

多様な概念定義があるが, ごく一般的には, 中長期の計画に基づいて顧客のニーズに合致した新製品を企画し, それを製品コンセプトとして具体化し, これに準拠して製品仕様や製造仕様を決定することである. そのためにはまず, 顧客のニーズを正しく把握し, これを機能として定義し, 次いでこれを構造物に具現化する必要がある. しかもその過程には, 一定の期間(開発期間)内に一定の原価(原価目標)の範囲内で行わねばならないという制約が課されている.

詳しくは[[《製品企画開発》|基礎編：製品企画開発]]を参照.

ロジスティクスネットワーク設計問題

2007-08-08T14:36:54Z

Kanda.k:

'''【ろじすてぃくすねっとわーくせっけいもんだい (logistics network design problem)】'''

工場で生産された製品を, 倉庫を通過して顧客に供給する状況を仮定する. 目的は, すべての考慮すべき制約を満足するという条件のもとで, 生産・在庫・輸送費用を最小化するように倉庫の配置・容量, 工場における製品の生産量, 施設間(工場から倉庫, 倉庫から顧客等)での製品の流れを設定することである.

詳しくは[[《ロジスティクスネットワーク設計問題》|基礎編：ロジスティクスネットワーク設計問題]]を参照.

施設配置問題

2007-08-08T14:35:47Z

Kanda.k:

'''【しせつはいちもんだい (facility location problem, plant location problem)】'''

空間内において最適な点を選択する問題の総称. 通常, 平面または空間内に位置して需要をもつ顧客の集合, ならびに施設の配置可能地点が与えられたとして, 与えられた制約を満足しつつ目的関数を最適化するように施設の配置を決定する問題を指す. 供給施設と需要地の間の輸送問題も含めて考慮する場合もある.

詳しくは[[《施設配置問題》|基礎編：施設配置問題]]を参照.

運搬経路問題

2007-08-08T14:34:53Z

Kanda.k:

'''【うんぱんけいろもんだい (vehicle routing problem (VRP))】'''

デポ(depot)と呼ばれる特定の施設に待機する運搬車によって, 顧客の需要を運搬(または収集)し, 再びデポに戻る. このとき顧客の位置・需要量・作業時間, 利用可能な運搬車台数ならびに運搬車の最大積載量・最大稼働時間, 地点間の移動時間・移動距離・移動費用などが与えられたとき, 総移動時間・総移動距離・総移動費用・必要な運搬車台数などを最小化する顧客訪問順(ルート)を求める問題.

詳しくは[[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》|基礎編：運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)]]を参照.

ロジスティクス

2007-08-08T14:33:31Z

Kanda.k:

'''【ろじすてぃくす (logistics)】'''

経済活動において, 顧客が本当に要求するものを, 要求する量だけ, 要求するときに, 要求する場所へ供給するための諸活動をロジスティクスと呼ぶ. 効果的なロジスティクスを実現するためには, 個々の物流業務の改善だけではなく, 調達, 生産, 物流, 販売などからなるシステム全体をトータルに捉えた最適化が必要となる. もともとは軍事用語の「兵站」に対応し, 物資や兵員供給などの後方支援を意味していた.

詳しくは[[《ロジスティクス》|基礎編：ロジスティクス]]を参照.

ロットスケジューリング

2007-08-08T14:32:41Z

Kanda.k:

'''【ろっとすけじゅーりんぐ (economic lot scheduling)】'''

ロット生産では段取り作業が必要なことから, 品種毎に適切な大きさの生産ロットサイズと各ロットの生産順序ないしは生産時期を併せて決める必要があり, この問題をロットスケジューリング問題と呼ぶ. この問題は通常, 多品種生産のときに生じる問題であるが, 単一品種の場合であっても, 需要量が期間ごとに異なる場合は, ロットサイズと生産時期を決めなければならず, その場合もロットスケジューリング問題と呼ぶ.

詳しくは[[《ロットスケジューリング》|基礎編：ロットスケジューリング]]を参照.

動的ロットサイズ決定問題

2007-08-08T14:31:52Z

Kanda.k:

'''【どうてきろっとさいずけっていもんだい (dynamic lotsizing problem)】'''

在庫管理のモデルの一種で, 各期の需要は確定的に既知であるが必ずしも一定でない場合を考える. すなわち, 計画期間<math>T\,</math>中の各期<math>t\,</math>の需要を<math>d_{t}\,</math>, 製品1個あたりの発注費用を<math>c_{t}\,</math>, 発注量に無関係に必要な発注費用を<math>K_{t}\,</math>, 製品1個の1期間あたりの在庫維持費用<math>h_{t}\,</math>が所与のとき, 計画期間の開始時の在庫が0として, 総費用を最小化するような各期の発注量を求める問題.

詳しくは[[《動的ロットサイズ決定問題》|基礎編：動的ロットサイズ決定問題]]を参照.