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《CCRモデル》

2007-08-22T17:35:11Z

Bassy:

'''【しーしーあーるもでる (CCR model) 】'''

　[[DEA]](包絡分析法)のモデルとしてCharnes, Cooper and Rhodesにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである[1].

　<math>n\, </math> 個の事業体(DMU)に関する<math>m\, </math>個の入力データ<math>X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}\, </math>と<math>s\, </math>個の出力データ<math>Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}\, </math>をもとに着目DMU <math>J (=1,2,...,n)\, </math>の効率性を測定するために仮想的出力/仮想的入力に着目したモデルに始まり, 多くのモデルが提案された.

【[[比率形式モデル]]CCR-IR (Input-oriented Ratioform)】

<center><math> \mbox{max.} \;\; D_{J}=\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}\, </math></center>

＜目的関数の解釈：DMU <math>J\, </math> にとって最も有利となるようにウェィト<math>v_i\, </math>, <math>u_r\, </math>を決める. ＞

<table align="center">
<tr>
<td><math>\mbox{s. t.}\, </math></td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td colspan="2">
<math>\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}\leq 1 \; (j=1, 2, \ldots ,n),\, </math> </td>
</tr>
<tr>
<td colspan="3"><math>u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s) \ ;\; v_{i} \geq 0 \ (i=1, 2, \ldots ,m).\, </math>
</td>
</tr>
</table>

＜制約の解釈：どのDMUの効率値も1以下＞

このモデルの線形計画法(Linear Programming; LP)による定式化は以下のようになる.

【同値なLP問題<math>CCR_D\, </math>-I：[[入力指向型モデル]]】

<table align="center">
<tr>
<td width="50"><math>\mbox{max.} \, </math></td>
<td><math>\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\mbox{s. t.} \, </math></td>
<td><math>\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}=1, \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}-\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}\geq 0 \ (j=1,2, \ldots ,n), \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s),\ v_{i} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m). \, </math></td>
</tr>
</table>

　このモデルは「乗数」と呼ばれるウェイト<math>v_{i}\, </math>, <math>u_{r}\, </math>を用いていることから乗数形式モデルとも呼ばれる. (乗数については [2] では無限小正数<math>\varepsilon\, </math>以上という制約を課しているが, ここでは [6] の付録Bの主張に従い, 非負制約のみとした. )

【同値なLP双対問題<math>CCR_P\, </math>-I：入力指向型】

<table align="center">
<tr>
<td width="50"><math>\mbox{min.} \, </math></td>
<td><math>\theta_{J} \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\mbox{s. t.} \, </math></td>
<td><math>\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m), \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s), \, </math></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><math>\lambda_{j} \geq 0 \; (j=1,2, \ldots ,n). \, </math> </td>
</tr>
</table>

　これらのモデルは入力の改善に着目しているので[[入力指向型モデル]]と呼ばれるが, [[出力指向型モデル]]も同様に考えられる.

　モデルCCR-IRまたは<math>CCR_D\, </math>-IはDMU <math>J\, </math>にとって最も有利な乗数<math>v_{i}\, </math>, <math>u_r\, </math>を求めることを意味する. そのため1項目でも誰にも負けない項目があれば, その項目だけで評価すれば効率値を1にできるので, 一芸入試的評価も可能となる.

　モデル<math>CCR_P\, </math>-Iの制約は <math>\theta_{J}x_{iJ}, y_{rJ}\, </math> が効率的フロンティアに包みこまれることを意味し, これがData Envelopment Analysis(包絡分析法)の由来となっている (すなわち, [2] ではモデル<math>CCR_P\, </math>-Iを主問題と捕らえている：<math>CCR_P\, </math>-I の下付きのp). DMU <math>J \;\; (=1,2,\ldots n)\, </math> が効率的となるためには<math>\theta_{J}=1\, </math> であるばかりでなく, モデル<math>CCR_P\, </math>-Iの制約におけるスラック変数で表現される入力の余剰<math>\boldsymbol {s}_x= (s_{x1},s_{x2},\ldots , s_{xm})\, </math>,出力の不足<math>\boldsymbol {s}_y= (s_{y1},s_{y2},\ldots , s_{ym})\, </math> :

<center><math>s_{xi}=\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \, </math></center>

<center><math>s_{yr}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} - y_{rJ}\, </math></center>

を解消しなければならない. そこで,

<center><math>\theta_{J}=1 \ ; \boldsymbol {s}_x=\mathbf{0} \ ; \boldsymbol {s}_y=\mathbf{0}
\, </math></center>

のとき, DMU <math>J\, </math> は効率的といわれる.

　DMU <math>J\, </math> が非効率的なときに, その参照集合の要素数が<math>(s+m-1)\, </math>ならば, DMU<math> J\,</math>は「自然に包絡されている」といわれる. そのときには各入力を<math>\theta_{J}\; (<1)\, </math>倍すればDMU <math>J\, </math> は効率的になる. このことは, CCR入力指向型モデルで考えている効率性が原点とDMU間の距離([[動径距離]] radial metric)で測られていること, すなわち比例的効率性を測られていることを示している. DMU <math>J\, </math> が自然に包絡されていないときには入力の余剰や出力の不足があるにも拘らず<math>\theta_{J}=1\, </math>となっている場合があり, <math>\theta_{J}\, </math>は効率性の適切な尺度になっていない. そこで[[CFA]] (constrained facet analysis) [4] ではDMU <math>J\, </math>に最も近い包絡面上のファセットを延長して1でない効率性尺度が求められるよう工夫している.

　[[比率形式モデル]] CCR-IRから得られる[[乗数形式モデル (DEAの)|乗数形式モデル]] <math>CCR_D\, </math>-Iの入出力間の制約を凸錐(convex cone)に拡張した [[コーンレシオモデル]] [3] や乗数<math>v_{i}\, </math>, <math>u_r\, </math>の値域に制約を課す[[領域限定法]] [5] なども提案されている.

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'''参考文献'''

[1] A. Charnes, W. W. Cooper and E. Rhodes, "Measuring Efficiency of Decision Making Units," ''European Journal of Operational Research'', '''2''' (1978), 429-444.

[2] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis'' : ''Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, Q. L. Wei and Z. M. Huang, "Cone Ratio Data Envelopment Analysis and Multi-Objective Programming," ''International Journal of Systems Sciences'', '''20''' (1989), 1099-1118.

[4] A. Bessent, W. Bessent, J. Elam and T. Clark, "Efficiency Frontier Determination by Constrained Facet Analysis," ''Operations Research'', '''36''' (1988), 785-796.

[5] R. Allen, A. Athanassopoulos, R. G. Dyson and E. Thanassoulis, "Weights Restrictions and Value Judgements in Data Envelopment Analysis: Evolution, Development and Future Directions," ''Annals of Operations Research'', '''73''' (1997), 13-34.

[6] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善―包絡分析法DEAによる』, 日科技連, 1993.

[[category:DEA(包絡分析法)|しーしーあーるもでる]]

《モデリング》

2007-08-22T17:23:05Z

Bassy:

'''【もでりんぐ (Modeling)】'''

　[[モデリング]](Modeling)とは，現実世界の事象を数学的世界などの抽象世界の事象に置き換える作業のことである．置き換わった抽象世界の像を，モデルという．したがってモデリングはORの範疇以外でも盛んに用いられる概念であり，科学的に現実問題を解決する際には，必ず発生する作業といえる．ここでは，経営の科学としてのORの範疇におけるモデリング[1][2][3]を意識して述べる．
はじめに，モデリングの主な事例をあげておこう．

1．生態系などのダイナミックスを微分方程式でモデリングし，その解の振る舞いを研究することで地球環境などを探求する．

2．建造物にかかる力の分布を物理的方程式でモデリングし，建物などの強度を解析する．

3．組織や組織行動を論理的な様式でモデリングし，企業の行動や情報伝播などの支配的原理を解析する．

4．情報システム構築に際して，業務を論理モデルで表現し，システムの構造や機能を設計する．

5．需要変動などある種の不確実性を含む現象を確率的な記述でモデリングし，現実の事象の構造を分析し予測を行う

6．物流などの現実の動きをソフトウェアに置き換えて，計算機上で再現を試みるシミュレーションによって現実世界を模擬する．

7．企業における生産計画などの意思決定事象を，何らかの効用を最適化する数学的モデリングをし，最適生産計画などの意思決定に供する．

　　1.は地球環境の変化などを予測したりするのに，盛んに用いられるモデリングであり，実はランチェスターモデルなどORの黎明期の主たるモデリングとしても知られている．多くの場合，現実現象は非線形微分方程式でモデリングされ，解の追跡にはシステムダイナミックス用シミュレータが用いられる．

　　2.は構造計算書の偽造事件で，２００６年に世間を騒がせたことで有名になった．構造物にかかる力の分布などは，微分方程式でモデリングされる．最近の特殊な構造物を除き，結局巨大な連立一次方程式を解くことに帰着することが出来，数値計算手法の進歩を十分に受け入れることが可能である．

　　3.は会社組織や，業務遂行構造を抽象的に記述する試みとして，経営情報の分野で盛んに研究されている．次に挙げる情報システムの構築などの際に，業務記述（BPM：Business Process Modeling）の段階で用いられることも多い．

　　4.は主として業務情報システムの開発に用いられる．業務記述が終わると，各業務要素の機能をシステムに射影するためのモデリング手法（UML: Unified Modeling Language）などを用いてシステム設計を進めることがよく行われている．

　　5.はマーケッティングなどで用いられ，膨大な需要記録を元に予測された需要予測に基づいて，販売戦略などの構造とパラメータを決定するモデリングである．統計処理やデータマイニング，などを用いることを前提として計画される．

　　6.はサプライチェーンマネジメントの問題である．物流のネットワーク構造と需要・発注の戦略をモデリングし，離散系シミュレータを用いることが多い．

　　7.は意思決定問題である．ＯＲは経営の科学といわれ，経営の意思決定に寄与するところが大であり，この種のモデリングがもっとも効果的に働くであろう．数理計画問題は，生産計画などに表れる典型的なモデルのひとつであり，ＯＲの主要な部分を占める研究テーマとなっている．[[数理計画法]](Mathematical Programming) は数理計画問題を数値的に解く手法であり，非常によく研究されている．一方，[[AHP]](Analytic Hierarchy Process)などの，感覚など定量化しにくい要素に挑戦する意思決定モデルも盛んに研究され，実際広く用いられている．

　さて，モデリングの本質であるが，たとえば，高層ビルの設計においてエレベータを設置する問題を考えてみると，ビルに収容する予定の人々に対して，よりスムーズに上下移動サービスを提供することが課題となる．この際，各階の収容能力はエレベータの設置台数が増えれば減少する．一方，エレベータの台数が減れば当然上下移動サービスの質は低下する．上下移動サービスを要求する人数は，上層階に行くにしたがって減るであろう．時間帯による変動や，外来の人数の影響，もちろんコストなどなど考慮すべき要素は無数にあって，それらは複雑に絡み合っている．

　一般に実世界の課題は，複雑で問題の焦点が多岐にわたっている．このような，実世界の課題へのアプローチとして有力な方法のひとつがモデリングである．モデリングを適切に行うことによって，複雑な問題を単純化して本質的な課題構造を明らかにすることが出来る．モデルは数学などの抽象的表現がされているので，モデル上で数学的道具などを用いてさまざまな分析が可能となることもモデリングの効用である．

　エレベータの例に沿ってモデリングを考えてみよう．各階の総面積はあらかじめ決まっていて，エレベータビットの占める面積も与えられているはずである．したがって，各階を通過するエレベータの数による使用可能面積は簡単に計算可能である．エレベータの設置パターンを定めると，上下移動の単位時間当たりの性能が定まり，コストも定まる．そうすると，これらの関係は数学的表現が可能ということになる．一方，人々の行動は非常に複雑で抽象的表現は到底不可能であろう．このような複雑で簡単な説明ができないような現象に対しては，対象の本質を捉えて，単純化やデフォルメを行う必要がある．モデリングの役割は，実世界の現象の本質的な要因を抽出して，単純で明確な形にあらわすことにある．実際，高層ビルのエレベータ設置計画は，数学的な大まかなモデリングによって設置の大枠を決定し，細かな性能や運用計画は，シミュレーションを用いることとなろう．

　一般に，モデリングについての総合的な研究はまれであり，上に挙げたようなさまざまな適用分野ごとに，別々の発展をしている．しかし，モデリングを用いる手段は同じである．それは，いわゆるPDCA(Plan,Do,Check,Act)である．Planは，現実世界の現象をモデリングする段階である．Doは，構築されたモデルを用いてモデルの最適解などを導出する段階である．Checkは，導出された解を現実世界の現象に適用し，有効性を評価する段階である．Actは，Checkで検出された不適合要素を検討し，モデルの改良を加える段階である．かくして，モデリングを用いた現実課題の解決手法は，PDCAサイクルを回しながらより現実的な解決策に迫ることを目指す．このとき，モデルと現実の差異は多くの場合「誤差」と呼ばれるが，必ずしも量的な誤差だけではない．構造的（あるいは定性的）な差異が含まれているからである．したがって，現実とモデルの差異をここでは「不適合」ということとする．

　モデリングにおける注意点は，この不適合の検出と改良にあるといえる．不適合は下記のように分類されるであろう．

　●現実現象を簡略化しすぎ，本質的な要件を落としてしまったことによる不適合．

　●現実現象の要素間の関係を単純化（非線形を安易に線形化するなど）しすぎたことによる不適合．

　●考慮すべき制約条件を落としてしまったことによる不適合．

　●あまりに複雑化しすぎて，かえって本質的な構造を見落としたことによる不適合．

　PDCAサイクルは，このような不適合を発見し，よりよいモデルを構築する大切な手段である．特に，陥りやすいのは，複雑に考えすぎて本質的な構造を見失うことである．モデリングは現実現象のデフォルメであり，単純化してその本質を見つけることがその目的であることを忘れてはならない．不適合ではないが，もうひとつの考慮すべき点は，モデルを用いてなにを求めるか，というモデルの世界での「目的」を最初に決定しておくことである．たとえば，生産計画の最適化であれば，モデルは数学的な最適化問題となるであろう．サプライチェーンの在庫量予測などでは，おそらくシミュレーションを実施するであろう．したがって，数学的問題ではなく，ものの流れのデフォルメと構造をモデリングすることとなる．

　モデリングは，ＯＲにおいては定石といってよい手段であり，参考文献に挙げたような，学会誌に掲載されたいろいろな事例を参考にされたい．

----
'''参考文献'''

[1]　日本オペレーションズ・リサーチ，Vol.50, No.4, 2005.

[2]　日本オペレーションズ・リサーチ，Vol.51, No.5, 2006.

[3]　日本オペレーションズ・リサーチ，Vol.51, No.6, 2006.

《地理的最適化》

2007-08-22T17:08:27Z

Bassy:

'''【ちりてきさいてきか (geographical optimization problems)】'''

　ボロノイ図と呼ばれる幾何学図形を用いて定式化される施設配置問題とその解法を[[地理的最適化]]と呼ぶ. 従来の施設配置問題が, ネットワーク上, もしくは利用者が離散的に分布していることを仮定していたのに対して, この手法では, 利用者が連続に分布していることを仮定している. このことで, 実際の人口分布を含めた地理的な条件を問題の定式化に反映できることが大きな特徴である.

　ボロノイ図とは, n 個の点が与えられた時, 平面上の点をそのどれに近いかによって分割することでできる図形である. 平面上の点を<math>\boldsymbol{x}\,</math>, 与えられた点を<math>\boldsymbol{x}_1\, </math>, ..., <math>\boldsymbol{x}_n\, </math>とすると, <math>\boldsymbol{x}_i\, </math>に一番近い領域(ボロノイ領域と呼ぶ)は

<center>
<math>V_i=\bigcap_{j:j\not=i}\{\boldsymbol{x}\in{\mathbf{ R}}^2~|~\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\|<\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_j\|\}\, </math>
</center>

　で定義される. この図は, 与えられた点(母点と呼ぶ)を施設とみなすと, 自然にその施設の勢力圏を与えており, この性質を用いて種々の施設配置問題が考えられる.

　一方で, ボロノイ図の高速構成算法が計算幾何学の分野で開発され[2]上記の施設配置問題の解法として, ボロノイ図をくり返し構成する反復解法が実際的な解法として採用できるようになり, このような問題が実用的な規模で解けるようになった. これらを地理的最適化問題と呼んでいる.

　地理的最適化問題は, 伊理, 室田, 大屋 [2]によって解かれて以来, 種々の変種が考えられている. これらの問題は, [3]に詳しく解説されている. また, 最近では, <math>L_1\, </math>距離の配置問題や, 球面上の配置問題にもこの手法が適用され, 興味深い結果が得られている. ここでは, 伊理, 室田, 大屋によって解かれた最初の問題, すなわち, 「連続型メディアン問題」を紹介する.

連続型メディアン問題

　単位正方形<math>S\, </math>内に利用者が連続に分布しており, そこに, <math>n\, </math>個の施設を配置する. そのとき, 利用者は最も近い施設を利用すると仮定する. すると, 各施設の利用圏は施設を母点とするボロノイ図となる. ここで, 利用者の分布を<math>\phi(\boldsymbol{x})\, </math>, 利用者が施設を利用する費用を利用者から施設までの距離とすると, 次のような目的関数を最小にする最適配置問題が考えられる.

<center>
<math>F(\boldsymbol{x}_1,\ldots,\boldsymbol{x}_n)=\int (\min_{i} ||\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i||)\phi(\boldsymbol{x}){\rm d}\boldsymbol{x}\, </math>
</center>

　施設の配置問題では, このようなミニサム型の問題を Hakimiの論文 [1]にならってメディアン問題と呼ぶ習わしになっている. 解法は, 基本的な降下法である. すなわち, 上記の目的関数の偏微分係数を求め, 最急降下方向に若干の修正を加えた降下方向に直線探索を行うことを収束解が得られるまで繰り返す. このようにして得られた解は, 6角形を基本としたパターンになっている. 図1に, 利用者が一様に分布している場合の解を示す.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0209-c-e-06-fig1.png|center|図1: 連続型メディアン問題の解の一例]]</td></tr>
<td align=center>図1: 連続型メディアン問題の解の一例</td></table></center>

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'''参考文献'''

[1] S. L. Hakimi, "Optimal Distribution of Switching Centers and the Absolute Centers amd Medians of a Graph," ''Operations Research,'' '''12''' (1964), 450-459.

[2] M. Iri, K. Murota and T. Ohya, "A Fast Voronoi Diagram Algorithm with Applications to Geographical Optimization Problems," in P. Throft-Christensen, ed., ''Lecture Notes in Control and Information Sciences, Vol. 59, System Modelling and Optimization,'' Proceedings of the 11th IFIP Conference, Copenhagen, Springer-Verlag, 273-288, 1984.

[3] 岡部篤行, 鈴木敦夫, 『最適配置の数理』, 朝倉書店, 1992.

[[category:都市システム|ちりてきさいてきか]]

《積分幾何学》

2007-08-22T17:05:03Z

Bassy:

'''【せきぶんきかがく (integral geometry)】'''

　“ビュッフォンの針”のように図形に関係した確率を幾何確率といい, これらの理論的な部分は, 積分幾何学(integral geometry)を基礎にしている. 積分幾何学は幾何確率に応用可能であるばかりでなく, もっと広く図形に関する様々な局面で基礎となり得ると考えられる. そこで積分幾何学の基礎概念と直線に関する主公式にかぎって述べることにする. 詳しくは[1], [2]を参照されたい. 積分幾何学の基礎概念とは合同変換によって不変な測度を求めることにあるが, 例を直観では分かりづらい直線の集合に採り, 以下で議論を展開する.

　図1のように, 直線 <math>g\, </math> があって, 原点からこれに下ろした垂線の長さを <math>p\, </math> , 垂線と <math> x\, </math> 軸との角度を <math>\theta\, </math> とすると, この直線は

<center><math>
x\cos \theta+y\sin \theta=p
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math></center>

と表される. そこで, この<math>p\,</math>と<math>\theta \, </math>で, 直線の集合(たとえばある領域と交わる直線の集合など)の測度を

<center>
<math>
m(X)=\int_{X}f(p,\theta)\; \mbox{d}p \; \mbox{d}\theta
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

とおき, 以下, 合同変換で不変の条件を考えよう. 直線 (1)で表されるような, 直線の集合 <math>X\, </math> が,

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0207-c-e-01-1.png]]</td></tr>
<td align=center>図1：直線に下ろした垂線</td></table></center>



合同変換

<center>
<math>\begin{array}{lll}
x' &=& x\cos \alpha-\sin \alpha+a \\
y' &=& x\sin \alpha+y \cos \alpha+b
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

によって,

<center>
<math>
x'\cos\theta'+y'\sin\theta'=p'
\, </math>
</center>

なる直線の集合 <math>X' \, </math> に変換されたものとする. すると, 上式より

<center>
<math>\begin{array}{lll}
\theta &=& \theta'-\alpha, \\
p &=& p'-a\cos \theta'-b\sin \theta'
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

が得られる. ここで, 一様な直線の分布を考えているので, <math>X\, </math> と <math> X' \, </math> の測度は等しく, すなわ
ち

<center>
<math>\int_{X}f(p,\theta)\; \mbox{d}p \;
\mbox{d}\theta=\int_{X}f(p',\theta') \; \mbox{d}p' \;
\mbox{d}\theta'\, </math>
</center>

でなければならない. ところが, 式 (4)から <math>(p',\theta')\, </math> より <math>(p,\theta)\, </math> への変数変換のヤコビアンは1なので, 上式の右辺を変形して

<center>
<math>
\int_{X}f(p,\theta)\; \mbox{d}p \;
\mbox{d}\theta=\int_{X}f(p',\theta')\; \mbox{d}p \;
\mbox{d}\theta
</math>
</center>

と表すことができ, これは <math> X\, </math> をどのようにとっても成立しなければならないので,

<center><math>f(p,\theta)=c\, </math> <math>( \, </math>定数<math>) \, </math></center>

が得られる. そこで <math> c=1 \, </math> とし, <math> \mbox{d}p \; \mbox{d} \theta \, </math> を <math> \mbox{d}G\, </math> とおいて, これを直線の集合 <math> G \, </math> の密度を表わすとすれば, 直線の集合の測度が式 (2)より

<center><math>m(X)=\int_X \mbox{d}G\, </math> 　　　　　<math>(5)\, </math></center>

と導かれる. ここで, 図2のような滑らかな曲線ABがあり, その長さを <math> L \, </math> とする. AB上の点Pでこの曲線と交わる直線を <math>g\, </math>, 曲線ABのPにおける接線と <math> g\, </math> とのなす角度を <math> \varphi \, </math>, AからPまでの曲線上の長さを <math> s \, </math> とおく. すると, <math> (p,\theta) \, </math> から <math> (s,\varphi) \, </math> への変数変換におけるヤコビアンは <math> |\sin\varphi| \, </math> となり, 曲線ABと交わる直線のすべては, <math> 0\leq s\leq L, 0\leq\varphi \leq \pi \, </math> の範囲を考えればよい. ゆえに

<center>
<math>\int_{0}^{L}\!
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi \; \mbox{d}s \;\mbox{d}\varphi=2L\, </math>
</center>

となるので, この <math> 2L \, </math> を曲線 <math> AB \, </math> と交わる直線の集合の測度 <math>\textstyle \int\mbox{d}p \; \mbox{d}\theta \, </math> としてよいかにみえる. ところが上記の積分は曲線 <math> AB\, </math> に沿って行なわれたので, この曲線と二つ以上の点で交わる直線については, それぞれの交点で計算されている. したがって, 上記の <math> 2L \, </math> という値は求めたい測度よりも大きい数値であり, <math> n(p,\theta) \, </math> でこの重複を表現すれば

<center><math>\int{n}(p,\theta) \; \mbox{d}p \; \mbox{d}\theta=2L\, </math></center>

が得られる. ところで, 曲線ABを滑らかなものとして議論してきたが, 滑らかな曲線を有限個つなげたものや, 不連続なものについても, ほとんどいたるところで接線は存在するので, 上式は成立する. そして対象となる曲線と交わらない直線については, <math> n(p,\theta)=0 \, </math> と解釈し,

<center><math>\int{n}\mbox{d}G=2L\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math></center>

が導かれる. さて, これをもとに, 簡単な図形と交わる直線の集合の測度を求めよう. まず上記の曲線ABが直線分であれば, ほとんどいたるところ <math> n=1 \, </math> なので, 長さ <math> L \, </math> の線分と交わる直線の集合 <math> X \, </math> の測度は

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0207-c-e-01-2.png]]</td></tr>
<td align=center>図２：曲線と直線</td></table></center>



<center><math>m(X)=\int\mbox{d}G=2L\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math></center>

となる. 次に曲線が凸閉曲線の場合, ほとんどいたるところ <math> n=2 \, </math> が成立するので, 長さ <math> L \, </math> の凸閉曲線と交わる直線の集合 <math> X \, </math> の測度は

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0207-c-e-01-3.png]]</td></tr>
<td align=center>図３：<math>C\, </math> と交わる確率</td></table></center>



<center><math>m(X)=\int\mbox{d}G=L\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math></center>

となる. これを用いると, 以下のような確率を簡単に求めることができる. 図3のように凸閉曲線 <math> C_0,C \, </math> があって, 長さをそれぞれ, <math> L_0,L \, </math> とする. 曲線 <math> C_0,C \, </math> に交わる直線の集合を <math>X_0,X \, </math> とすれば, <math> C_0 \, </math> に交わる直線が, <math> C\, </math> にも交わる確率 <math> P \, </math> は, 式(8)より

<center><math>P=m(X)/m(X_0)=L/L_0\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math></center>

となる.

----
'''参考文献'''

[1] L.A.Santaló, ''Integral Geometry and Geometric Probability,'' Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1976.

[2] 腰塚武志, 「積分幾何学について(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''21''' (1976), 524-529, 591-596, 654-659, 711-717.

[[category:都市システム|せきぶんきかがく]]

《研究開発》

2007-08-22T16:49:17Z

Bassy:

'''【けんきゅうかいはつ (R&D=Research and Development) 】'''

　科学技術の革新が加速度的に進行し, グローバルに企業が競争する今日ほど, [[研究開発]] (R&D) が企業の至上命令になっている時代はない. 研究開発は大きく基礎研究と製品開発の2つに分けることが出来る. この内, 基礎研究は基礎技術についての科学的研究であり, 一方製品開発は新製品, 新生産方式や新サービスなどについての応用研究である. 競争のきびしさの増大と同時に, 産業技術の先端分野がシフトしてきた. 今日の最先端分野はバイオテクノロジーであり, 新素材であり, 情報科学の分野である. この様な分野では新しい知識を自社で独占することが難しい. 1990年代になると, 市場のグローバル化, 規制緩和政策などの結果, 巨大企業といえども多くの強力なライバル企業との競争を強いられ事業の利益率を下げてきた. そこで産業界は, 研究開発資金を長期的な基礎研究から応用研究に振り替え始めた. いかなる経営でも2つの目的がある. 1つは顧客満足であり, もう1つはROI(Return on Investment)である. 両目的に最も影響を持つ1つの要因が, 研究開発にかかわる時間である. 情報技術の発達がその傾向を加速している. 研究開発のスピードが競争に勝つための決め手になってきた. また, 時間以外の限られた資源をいかに有効に研究開発に配分するかも問題である. 近年は企業収益に直結しない地球環境問題や安全・PL問題などの企業の社会的責任を果たすための技術開発も求められている.

　
　研究開発のステージは以下の5つに分けられる. 研究開発テーマの選択, 各テーマへの経営資源の配分の決定, 研究開発の実行と進捗管理, 研究開発成果の評価, 開発成果の事業化. 研究開発テーマの選択は, 研究開発テーマにどの様に優先順位を付けるかという[[研究開発課題選択]]問題である. 各テーマへの経営資源の配分の決定は, ヒト・モノ・カネなどの経営資源をどの様に各テーマに配分するかである. 研究開発の実行と進捗管理は, 研究開発の途中で, その進み具合や問題点などをチェックして, 計画通り継続するか, 規模拡大や縮小あるいは中止などの研究の方針変更を行うかどうかを決めることである. このステージでの研究開発での不確実性, 流動性を考慮した軌道修正の手法としてPDPC(Process Decision Program Chart)法が提案されている. これは, 出発点(目標, テーマ)とゴール(到達目標)を決め, ゴールに至るための楽観的方策と予測結果をあらかじめ設定する. 一方, 悲観的結果を予測しそれへの対策を盛り込むことで, 変化への柔軟な対応を可能にする手法である. 研究開発成果の評価は, 研究開発が完了した段階で, その研究開発の成果を定量的, 定性的に評価することである. 具体的には, 次の様な指標が考えられる.

<center>
[[画像:sk-0178-c-j-14-1.png]]
</center>



　ここで, 研究開発費は, 研究開発コストの総額である. また事業収益は, 売上高, 付加価値額, 利益額, ロイヤリティ収入などである. 開発成果の事業化の決定は, 経営幹部に委ねられる. その際の評価項目としては, 次の6つが考えられる：販売対象, 価格, 販売経路, 販売予測額, 所要設備投資額, 人的資源の確保. それらの評価を助けるものとしてフィールド・テストが行われることが多い. そこでは, 次の5つの特性が調査される：経営資源, 基礎技術, 製品用途, 製品特性, 他社との競争状況. 研究開発費を効果的に使っていくためには, [[研究開発費管理]]が重要である. 研究開発費は研究員などの人件費と研究所や設備などの減価償却費, また研究材料費から構成されている. 研究開発費管理においては, 財務会計からは, 支出したときに一括して費用にする方法と, いったん繰延資産に計上して徐々に費用にしていく方法の選択がある. 一方管理会計からは, 費用を製品原価を含めて各製品のコストとして集計する方法がある. また研究開発を先行投資として, プロジェクト別の採算管理も重要である. 次に, 研究開発との関連で企業における特許戦略が重要になってきた. 特許の取得は, 自社の技術や製品の防衛といった面だけでなく, ディファクト・スタンダード作りや特許使用料収入などの面が重要である.

----

'''参考文献'''

[1] 浦川卓也, 『市場創造の研究開発マネジメント』, ダイヤモンド社, 1996.

[2] 城川俊一, 「研究開発過程のモデル化について」, 『経営行動』, '''9''' (1994), 9-20.

[3] D. F. Kocaoglu (ed.), ''Management of R&D and Engineering'', North-Holland, 1992.

[4] 西山茂, 『戦略管理会計』, ダイヤモンド社, 1999.

[5] M. L. Patterson, ''Accelerating Innovation-Improving the Process of Product Development'', Van Nostrand Reinhold, 1993.

[6] リチャード・S・ローゼンブルーム, ウィリアム・J・スペンサー, 『中央研究所の時代の終焉』, 日経BP社, 1998.

[7] 徳江陞, 『実践研究開発』, 清文社, 1990.

[[category:企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン|けんきゅうかいはつ]]

《在庫管理》

2007-08-22T16:39:42Z

Bassy:

'''【ざいこかんり (inventory control)】'''

　在庫とは, 倉庫や生産ライン中に存在する原材料, 部品, 製品などを指し, 特に生産ライン中にあるものを「中間在庫」と呼び, 経済的価値が蓄積されていることを意味する. この「在庫」を, 適正な量に維持することを「在庫管理」と呼ぶ. 古典的な在庫管理手法としては「統計的在庫管理方式」があり, これは不確定な需要の平均や分散をもとに, 発注間隔や発注量を決定するものである.

'''在庫の種類'''

　一般に, 在庫には以下のような種類のものがある.

;'''ロットサイズ在庫 (lot size inventories) ''':　生産をまとめて行うと段取りが一回で済んだり, まとめて輸送を行えば製品1個あたりの運送費用が安くなるなど, コストにおけるメリットが生まれる. その反面, 在庫を多く持たざるをえない. このように, まとめて生産や輸送, 購買などを行うことに起因する在庫のこと.

;'''安全在庫 (safety stock)''':　需要変動に対応するための在庫.

;'''見越し在庫 (anticipation stock)''':　需要変動が予測され, 生産能力がそれに追い付かない場合に対処するための在庫. 予測される需要に先行して, 生産を平準化する. 「季節在庫」とも呼ばれる.

'''在庫量に関連する概念'''

　「在庫量」を議論する上で, 以下のよう概念が用いられる.

;'''手持ち在庫 (stock on hand)'''　:実際に手元に存在する在庫のことであり, 需要に即応できる.

;'''発注残 (stock on order)'''　:発注済みだが未入荷の量で, 後に入荷することが分かっている.

;'''受注残・バックオーダー (backorder)'''　:受注済だが未納の量.

;'''有効在庫量 (available stock)'''　:手持ち在庫量 <math>+\, </math> 発注残 <math>-\, </math> 受注残

;'''調達期間・リードタイム(lead time)'''　:発注してから納入されるまでの時間.

'''在庫管理モデルの分類'''

　在庫管理のモデルは, 以下のような切口から分類することが可能である [2] [6].

;'''需要'''　:需要の大きさが既知である確定的モデルと, 不確定な需要を考慮する確率的モデルに分類できる. 確定的モデルには, 需要量が一定の静的モデルと, 需要量が既知だが一定とは限らない動的モデルがあり, 静的モデルの例としては[[経済発注量モデル]]が, 動的モデルの例としては[[動的ロットサイズ決定問題]]が有名である. [[(s,S)方策]] (<math>(s, S)\,</math>, 方策) は確率モデルに対する発注方策の一つである.

;'''計画期間'''　:有限期間モデルと無限期間モデルがあり, 前者はさらに1期間モデルと多期間モデルに分類できる. ほとんどのモデルは多期間モデルもしくは無限期間モデルであるが, [[新聞売り子問題]]のように1期のみを考慮するモデルもある.

;'''費用'''　:平均的な費用で議論する場合と, 価値の割引を考慮する場合がある.

;'''品切れ'''　:許さない場合と許す場合に分けられる. 品切れを許す場合, 品切れになった際に, <math>{i)}\, </math>その需要が失われる, すなわちロストセールス (lost-sales) と, <math>{ii)}\, </math>バックオーダー (backorder) になる場合に分けられる.

;'''リードタイム'''　:即納を想定して考慮しない場合と考慮する場合があり, 考慮する場合は, リードタイムが既知で一定とするのが一般的であるが, リードタイムを確率変数とする場合もある.

;'''在庫品の変化'''　:一般に貯えられている在庫品の変化は考慮しないことが多いが, 陳腐化(コンピュータ)や品質の劣化・低下(血液), 腐敗(生鮮食料品)などのように寿命を考慮する必要がある場合もある.

;'''在庫の調査間隔'''　:在庫の調査間隔の観点からは, 在庫量を常時観測する連続在庫調査(continuous review)と, 一定の間隔で観測する定期的在庫調査(periodic review)に分類できる.

;'''発注間隔と発注量'''　:一般に, 在庫問題では, 発注間隔あるいは発注量を決めれば在庫管理の政策が決定する. しかし, 両者を同時に制御対象とすると問題が複雑になるので, 片方を一定量として問題を単純化する. その際に, どちらを一定量として扱うかによって, 発注間隔を一定にする[[定期発注方策|定期発注方式]]と, 発注量を一定にする定量発注方式に分類できる.

'''在庫モデルの分析方法'''

　在庫モデルを分析する方法としては, 以下のようなアプローチがある.

;'''解析的方法'''　:各種要素の関係を数式によって表現し, 解析的に最適な解を求める. 経済発注量モデルに対する最適発注量(最適発注間隔)の求め方は, 解析的方法の典型である.

;'''数理計画・最適化'''　:最適化問題として定式化し, 数理計画の技法を用いる. 動的ロットサイズ決定問題に対する動的計画法によるアプローチはこの例.

;'''待ち行列'''　:分析対象のシステムを待ち行列モデルとしてとらえ, 待ち行列モデルに対する解析手法を用いて分析する. かんばん方式は, 待ち行列システムとして表現可能である.

;'''数値的方法'''　:計算機上の数値計算によって在庫量の分布を求める.

;'''シミュレーション'''　:シミュレーションによって分析する.

'''生産管理方式と在庫管理'''

　[[MRP]]は, 需要の従属性, すなわち製造活動の下流側で必要とする製品を生産するのに要する部品の量や時間に着目し, 部品の補充計画を立案するものである. 具体的には, 生産指示から製品が完成するまではリードタイムだけの時間が必要であるが, 将来の需要を予測しリードタイムを考慮した上で各工程に対する生産指示を行う. 各工程で必要な部品は, この生産指示にしたがって必要なときに供給されるので, 需要の予測に誤差がなく生産指示に変更がない限り, 在庫量を極力低くすることができる. そして, 各工程は上流工程からのものの流れにちょうど間に合うように部品供給がされるため, 遅滞無く加工を行い下流工程にものを流すことができ, 上流側から下流側へものを押し流して行くため, [[押し出し型システム]]に分類することができる. 部品の供給量の決定には, 動的ロットサイズ決定問題に対する方法が用いられる.

　[[JIT]]の代表例であるかんばん方式は, 「平準化」という枠組を前提に在庫の削減を実現している. また, 需要に直接的に喚起された生産指示をものの流れと逆に伝え, 需要をあらかじめ予測することなく生産指示を下流側から上流側へ伝えていくため, 引っ張り型システムとみなすことができる. かんばん方式を想定した多段の生産在庫モデルで, 各段におけるかんばん枚数やコンテナサイズの影響の分析, 品切れ確率を分析するために, 待ち行列モデルを用いることが多い.

----
'''参考文献'''

[1] W. J. Hopp and M. L. Spearman, ''Factory Physics: Foundations of Manufacturing Management'', Irwin, 1996.

[2] H. L. Lee and S. Nahmias, "Single-Product, Single-Location Models," in ''Logistics of Production and Inventory'', S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., North-Holland, 1993.

[3] E. A. Silver, D. F. Pyke and R. Peterson, ''Inventory Management and Production Planning and Scheduling'', Third Edition, John Wiley & Sons, 1998.

[4] 圓川隆夫, 伊藤謙治,『生産マネジメントの手法』, 朝倉書店, 1996.

[5] 黒田充, 田部勉, 圓川隆夫, 中根甚一郎, 『生産管理』, 朝倉書店, 1989.

[6] 児玉正憲, 『生産・在庫管理システムの基礎』, 九州大学出版会, 1996.

[7] 玉木欽也, 『戦略的生産システム』, 白桃書房, 1996.

[8] 水野幸男, 『在庫管理入門』, 日科技連出版, 1974.

[9] 日本生産管理学会編,『生産管理ハンドブック』, 日刊工業新聞社, 1999.

[[category:生産・在庫・ロジスティクス|ざいこかんり]]

《ラインバランシング》

2007-08-22T16:34:43Z

Bassy:

'''【らいんばらんしんぐ (line balancing) 】'''

1. 概観

　ラインバランスは本来生産ラインのワークステーション間での能力あるいは負荷の均等化を意味しており, 機械加工ラインと組立ラインの双方に望まれる特性として考えられてきた. しかし, その方法は両者の間で隔たりがあり, 機械加工の場合は機械の加工速度の差が問題になることが多く, 操業時間の調整や工程間在庫の保有によって, 組立作業の場合は作業の分割, 組合せ, 改善などによって均衡をはかっていた.

　1950年代に入ってORが生産の様々な問題に適用され始めると, 組立作業を対象としたラインバランスの問題に組合せ最適化の観点から関心が示されるようになり, "[[組立ラインのバランシング]] (assembly line balancing)"と呼ばれ, 数理的な解析が試みられた. やがて多品種少量生産時代の訪れとともに, [[混合品種組立ライン]]や[[品種切替組立ライン]]が一般化し, それらを対象とした問題である"混合品種組立ラインのバランシング"や"品種切替組立ラインのバランシング"が取り上げられて研究されるようになった. 同時に混合品種組立ラインに流す品種の順序づけ問題である"[[混合品種の順序付け|混合品種の順序づけ]]"が注目され, 特に自動車産業においては実務上の必要からその解法が各企業で考案され, 利用されるようになった.

　また, 組立ての自動化につれて, 組立用ロボットを多用した組立ラインのための最適設計を意図した[[ラインバランシング]]のモデルが研究されたり, プリント基板組立ラインのインサートマシンへの作業配分や順序づけを行うシステムが開発されている. 近年には, 半導体のウェファ製造職場を対象としたライン設計と運用の方式である[[セルラインシステム]]がラインバランシングの考え方に基づいて開発されつつある.

2. ラインバランシングのモデル [1]

　ラインバランシングの最初の精密なモデルは単一品種組立ラインを対象として構築された. これは1個の製品の組立てに必要な作業を合理性を失わない程度に分割して求めた <math>m\, </math> 個の作業要素を定義することが基本になっている. 次に潜在的な組立順序を示す作業要素間の先行関係を与える (図1参照).

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0167-C-B-01-kiso-zu.png|center|図1：先行順位図]]</td></tr>
<td align=center><br>図1：先行順位図</td></table></center>

　この二つの手続きを経て, ラインバランシング問題は以下に述べる制約の下で <math>m\, </math> 個の作業要素を <math>n\, </math> 個のワークステーションに配分する問題として定式化できる. ただし, ワークステーション数 <math>n\, </math> は配分の結果として求められるものであり, <math>n\, </math> が最小になる配分を望ましいと考える.

'''制約(1)'''　作業要素の先行関係と作業要素が割り付けられるワークステーションの前後関係が矛盾しない.

'''制約(2)'''　それぞれのワークステーションに割り付けられた作業要素の実施に要する標準時間である要素時間の合計が, 指定された時間であるサイクル時間 <math>c\, </math> を超過しない.

'''制約(3)'''　ある作業要素を特定のワークステーションに割り付ける "固定設備の制約", 2つ以上の作業要素を同一のワークステーションに割り付ける"グループ化の制約" など生産ライン特有の様々な付加的制約を満たす.

　いま, 作業要素 <math>i\, </math> の要素時間を <math>e_i\, </math>, ワークステーション <math>k\, </math> に割り付けられた作業要素の集合を <math>S(k)\, </math>, サイクル時間を <math>c\, </math> で表すと, 制約(2)は次式によって示すことができる.

<center>
<math>
\sum_{i \in S(k)}{e_i} \le {c}, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

(1)式の左辺を作業時間と呼び, <math>t_k\, </math> で表す. また, サイクル時間と作業時間の差を遊び時間と呼び, <math>d_k\, </math> で表すと, それらの関係は次式によって示される.

<center>
<math>
d_k = c - t_k, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

ラインバランシングにおいては, 通常, 作業時間の加法性が仮定され, 1個の製品の組立に要する総作業時間 <math>T_w\, </math> は次式で与えられると考える.

<center>
<math>
T_w = \sum_{i = 1}^m e_i
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

目的関数はワークステーション数の最小化に等しく, これは組立ラインで生じる遊び時間の最小化として表すことができ, 次の評価尺度が用いられる.

<center>
<math>
BD = \frac{\sum_{k = 1}^n {(c - t_k)}}{nc} \times 100 = \frac{nc -
T_w}{nc} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

これはバランスロスと呼ばれ, 次に示す編成効率 <math>E\, </math> の最大化に等しい.

<center>
<math>
E = \frac{T_w}{nc} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

3. 混合品種組立てへの拡張 [1, 2]

　前述のラインバランシングの方法を混合品種組立ラインに適用する効率の良い方法は, 対象にするすべての品種を同時に考慮するもので, そのためには統合先行順位図を用いる必要がある. これは, 品種別の先行順位図に含まれる品種間で共通の作業要素を各先行順位図が共有するように描いて作られる.

　さらに, 混合品種組立の場合は各品種の生産量を考慮する必要があるので, ラインバランシングを計画期間における各ワークステーションの作業負荷を均等化する問題に置き換える. いま, <math>N\, </math> 品種の製品をある計画期間中に <math>f_j(j=1,2,\ldots ,N)\, </math> 個生産するものとする. <math>N\, </math> 品種の組立に必要な作業要素の総数を <math>m\, </math>, それぞれの要素時間を <math>e_i\, </math> で表す. 作業要素 <math>i\, </math> と品種 <math>j\, </math> の関係をクロネッカーのデルタ <math>\delta_{ij}\,</math> で示し, 作業要素 <math>i\, </math> が品種 <math>j\, </math> の組立に必要な場合は1, 不要な場合は0をとるように定めておく.

　作業要素 <math>i\, </math> が割り付けられたとき, そのワークステーションには計画期間 <math>T\, </math> 中に次式で与えられる作業負荷がかかる.

<center>
<math>
L_i = \sum_{j=1}^{N}f_j\delta_{ij}e_i, \ \ \ i = 1, 2, \ldots , m
\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math>
</center>

したがって, 混合品種組立ての場合, (1)式に替えて次式により作業負荷の均衡をはかる.

<center>
<math>
\sum_{i \in S(k)}L_i \le T, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

また, <math>T = c \sum_j f_j \, </math> であるから編成効率は次式によって表わせる.

<center>
<math>
E = \frac{\sum_i L_i}{nc \sum_j f_j} \times 100 = \frac{\sum_i
L_i}{nT} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

4. 混合品種の順序づけ [1]

　前節で述べたように, 混合品種組立てラインのバランシングは計画期間中に各ワークステーションに配分される負荷量の均等化を計るものであり, それぞれのワークステーションにつぎつぎ到着する品物に要する作業時間は品物ごとに異なり, ときにはサイクル <math>c</math> 時間を超過する. 自動車のように品物が大型である場合には, 作業者は品物とともにコンベア上を移動しながら作業を行うので作業時間がサイクル時間より大きい品物が連続して流れると, 作業者の作業位置は後方にずれて所定の領域内で作業を終えることができなくなる. そこで, 混合品種の順序づけの評価尺度として次のものを取り上げる．
<math>(1+\lambda)k c \,</math>
<center>
<math>
(L_k)_{mx} = (E_k)_{mx} -(1+\lambda)k c
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>
ここで, <math>(Ek)mx\,</math> はワークステーションk における最遅作業終了時点, <math>\lambda\,</math>はワークステーションの長さを定義する非負の係数である. コンベア速度を<math>v\,</math>とすると, ワークステーションkの作業領域は
<center>
<math>
(1+\lambda)(k-1)cv<??<(1+\lambda)kcv
\, </math>　　　　　{ワークステーションkの作業領域}<math>(10)\, </math>
</center>

によって示される. <math>(Lk)mx \,</math> は1サイクル当りの作業領域外で行う作業に要する時間の最大値であり, これを最大作業遅れと呼ぶことにしよう．各ワークステーションの最大作業遅れは, 品種別の作業時間が所与のとき, 生産品種の投入順序に応じて一義的に決まる. 言うまでもなく, 各ワークステーションの最大作業遅れが零以下の値をとる投入順序が望ましい. 混合品種の順序づけの評価尺度は管理方針や生産ラインの条件によって異なり, 様々なものが考えられ得る[2]．

　わが国の自動車産業の組立てラインでは作業遅れを考慮しない評価尺度が取り上げられ, 投入順序の決定が行われている[3]. これは, 最終組立てラインで各主要部品を使用する速度が一日の稼働時間を通してほぼ一定になるように生産品種の投入順序を決定するというものである. つまり, 最終組立てラインの負荷変動を平準化する代わりに, 最終組立てラインに供給する部品を生産する組立てラインの負荷変動の平準化を考えた生産方式が採択されている. これはデータの取得可能性や計算時間の長さを勘案して作成された投入方式であって, よく知られている方式ではあるけれどもこれによって現実の問題が解決されるとは必ずしもいえない. 自動車よりさらに大きな製品である住宅ユニットの組立てラインでは混合品種生産が行われていたが, 作業負荷の変動により作業遅れが発生し, 作業者が次の品物の作業を始めるためにラインの上流の作業位置に戻る際の歩行距離の累計は無視できないほど大きなものになっていた. やはり, 自動車産業と同様に主要部品の使用速度の均等化は必要と見なされたが, それとともに作業遅れを同時に考慮した投入順序の決定方式が検討され, 生産効率の向上のみならず作業者にとって関心の高い作業負担の大幅な軽減をできることが明らかになった[4]．

----
'''参考文献'''

[1] 黒田充, 『ラインバランシングとその応用』, 日刊工業新聞社, 1984.

[2] T.O. Prenting and N.C. Thomopoulos, ''Humanism and Technology in Assembly Line Systems'', Spartan Books, 1974.

[3] 門田安弘, 『トヨタプロダクションシステム－その理論と体系』, ダイヤモンド社, 2006．

[4] 徳安弘之, 黒田充, 「ユニット住宅生産ラインにおけるユニット投入順序計画」, 『生産スケジューリングシンポジウム講演論文集』, 日本機械学会, 81-84, 1993．

[[category:生産・在庫・ロジスティクス|らいんばらんしんぐ]]

《ランデブー探索》

2007-08-22T16:00:53Z

Bassy:

'''【らんでぶーたんさく (rendezvous search)】'''

　夫と妻がデパートではぐれてしまったときのためにあらかじめ打ち合わせておくことにした．呼び出しサービスもなく，また２人のうち少なくとも一方が携帯電話を持っていないとしたとき２人ができるだけ早く遭遇するためにはどうしたらよいか．また，ハイカーがはぐれたときの用心のために移動方法を記したハンドブックを作成したい．再会するまでに要する時間が平均的に小さくなるような方法を求めよ．[[ランデブー探索]](rendezvous search) とは友好的な２人以上の探索者が早く遭遇するための方策を考える探索問題である．古くから文献で指摘されてきたが，ランデブー探索の数理的研究が盛んになったのは１９９０年前後以降である．探索者の行動領域が離散であるか連続であるか，またそれが有界であるかどうか，探索者がとり得る行動（戦略），探索者が得る情報，探索者の数，探索者の初期位置についての設定，その他によって種々のモデルが検討され研究が続けられている．ランデブー探索では探索者をplayer
と呼ぶことが多いが，一般にはランデブー探索はゲームではないことに注意すべきである．探索者が事前にお互いの役割について相談していない状況（上記ハイカーの例）を，すべての探索者が同じ戦略を用いるとしてモデル化し，この場合を(player-)symmetric という．一方探索者ごとに異なる戦略を用いることができるモデル（上記夫妻の例）をasymmetric という．他の条件が同じである場合，symmetric モデルの方がasymmetric モデルより数理的解析が困難である．探索者が2 人であるようなasymmetric モデルにおいて，探索者の一方は初期位置に留まって動かないような戦略に限定すると，他方による静止目標物の探索問題となる．探索者同士が探索領域についてどの程度の知識を共有しているか，（例えば，時計回り，方位等）もランデブー探索の重要な要素である．最小の期待再会時間をランデブー値（rendezvous value）と呼ぶ．

'''[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル]''' 2 人の探索者（探索者I，II）が数直線上に位置している．2 人は時刻<math>0\,</math> においてお互いの初期位置間の距離<math>d\,</math> の確率分布<math>F\,</math> を知っているが，自分が数直線上のどこにいるのかわからない．相手が自分のどちら側にいるのか，またどちら向きに進んでいるのかを知らない．それぞれが自分の最初の向きを前進だと考える．最初に進む向きの組み合わせは4 通りあり，それぞれが確率<math>1/4\,</math> で起こる，とする． 2人は速さ<math>1\,</math> で進むことができて，できるだけ早く遭遇することを望んでいる．2 人が同時刻に同じ点にいるとき出会うことができると仮定する．期待再会時間を最小にするには2 人は直線上をどのように動けばよいか．

　この問題において，それぞれの戦略は次の集合から選ばれる，とする．

<center>
<math>
L= \{ f:[0,\infty) \rightarrow (-\infty, \infty): ~ f(0)=0,~ |f(s) - f(t)| \leq |s - t| \} .\,
</math>
</center>

<math>f \in L \,</math>に対し，<math> f(t)\,</math>は時刻<math>t\,</math> において，初期位置に対する探索者の相対的な位置を表す関数である，ただし探索者の最初の向きを正とする．例えば，初期位置が<math>w\,</math> で最初の向きが左であって<math>f(t)=5\,</math> であったとする．探索者<math>t\,</math>の時刻での位置は<math>x-5\,</math> である．一方，最初の向きが右であって<math>f(t)=-5\,</math> であっても時刻<math>t\,</math> での位置はやはり<math>x-5\,</math> となる．一般に，初期位置が点<math>x\,</math> であり戦略<math>f\,</math> を選んだならば，時刻<math>t\,</math> での位置は確率<math>1/2\,</math> ずつで，<math>x \pm f(t)\,</math> となる． <math>L\,</math>の部分集合で，傾きが<math>\pm1\,</math>（離散点を除いて）となる<math>f\,</math> の全体は<math>L\,</math> 内でdense である．2 人の戦略をそれぞれ<math>f,g\,</math> とする．探索者I，II の初期位置をそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>d\,</math> とする．2 人の最初の向きが，探索者I は右，探索者II は左である，つまり <math> {I \atop \rightarrow} {II \atop \leftarrow} \,</math>とすれば， <math>f(t)+g(t)=d\,</math>となる最小の時刻<math>t\,</math> で2 人は出会うことになる．同様に考えて，探索者I，II の初期位置がそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>\pm d\,</math> のときの2 人の期待再会時間は

<center>
<math>
T(f,g)= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4} \left[ \min \left\{ t: f(t)=d+g(t) \right\} + \min \left\{ t: f(t)=d- g(t) \right\}
+ \min \left\{ t:f(t)= - d+g(t) \right\} + \min \left\{t:f(t)=-d -g(t) \right\} \right] d F(d)

\,</math>
</center>

となる．目的はasymmetric ランデブー値<math>R(F)\equiv \inf_{f,g\in L}T(f,g)\,</math> を求めること，またそれを与える戦略を見つけることである．確率分布<math>F\,</math> が有界で平均が<math>\lambda\,</math>，最大値が<math>D\,</math>，つまり<math>F(D)=1\,</math>であるとする．次のような戦略の組<math>(f^{*},g^{*})\,</math> を考える．<math>f^{*}\,</math> は初期位置から<math>D\,</math> だけ進み，その後折り返して<math>2D\,</math>だけ進む. <math>g^{*}\,</math>は <math>D/2\,</math>だけ進み，折り返して初期位置に戻る．次に任意の方向へ確率<math>1/2\,</math> で<math>D\,</math>だけ進み折り返して初期位置に戻る，というものである．すると<math>T(f^{*},g^{*})=(9D+4\lambda)/8\,</math>となりランデブー値<math>R(F)\,</math> の上界が得られる．特に，初期位置間の距離<math>d\,</math> が既知の場合は<math>d = D = \lambda\,</math> となり，ランデブー値は<math>13d/8\,</math> となる．このとき唯一の最適な戦略は上記<math>(f^{*},g^{*})\,</math> であることが知られている．

'''[直線上のランデブー探索：symmetric モデル]''' この場合は初期位置間の距離が既知であるような基本的なモデルであってもランデブー値の上界が得られているにすぎない．初期位置間の距離の分布<math>F\,</math> が有界であり最大値が<math>D\,</math> 平均が<math>\lambda\,</math> であるとする．2 人の探索者それぞれが速さ<math>1\,</math> で動き， <math>D/2\,</math> の整数倍の時刻のみに方向を変えるような戦略を次のように表現する．<math>\eta_1 F \eta_2 B \eta_3 F \eta_4 B \ldots\,</math>. これの意味は，まず <math>\eta_1 D/2\,</math>の間前進，<math>\eta_2 D/2\,</math> 後進，...．このような表現の戦略あるいはそれの組み合わせでしかもできるだけ期待再会時間を小さくするような特定の戦略を考えることが研究の現状である．例えば，<math>d = D = \lambda=2\,</math>とする． 2人が<math>1F2B\,</math>，つまり，まず確率<math>1/2\,</math> で進む向きを決め，その向きに<math>1 \times D/2 =1\,</math> だけ進み<math>2\,</math> だけ戻る．再び確率<math>1/2\,</math> で向きを決め，同じ行動を繰り返す．この戦略での期待再会時間は<math>5\,</math> になる．より複雑な戦略を考えることにより， <math>F\,</math>の最大値が<math>D\,</math>，平均が<math>\lambda\,</math> のとき現在得られている最小の上界は，<math>1.701D+0.5\lambda\,</math>である．特に，初期位置間の距離<math>d\,</math> が既知の場合は<math>d = D = \lambda\,</math> となり，ランデブー値の上界<math>2.201d\,</math> が得られる．

'''[ランデブー探索に同値な探索問題] '''　[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル] において，<math>F\,</math> が有限の平均をもつと仮定する． 2人の戦略<math>f,g\,</math> に対し，<math>x,y\,</math>を

<center>
<math>
x(t)=f(t)+g(t), ~~ y(t)=-f(t)+g(t), ~~ |x^{'}(t)| + |y^{'}(t)| \le 2
\,
</math>
</center>

と定義する．例えば2 人の最初の向きが<math> {I \atop \rightarrow} {II \atop \leftarrow} </math> の場合，時刻<math>s\,</math> までに2 人が出会えるのは<math>d \le \max_{0 \le t \le s} \left[ f(t)+g(t) \right] \,</math> となる場合で，その確率は，<math>F( \max_{0 \le t \le s} \left[f(t)+g(t) \right])\,</math>, つまり<math>F(\max_{0 \le t \le s}x(t))\,</math>である．他の3 つの場合も同様に考えて，結局2 人が時刻<math>s\,</math> までに出会う確率は

<center>
<math>
P_{f,g}(s)= \frac{1}{4} \left\{ F(\max_{0 \leq t \leq s} x(t))+F( \max_{0 \leq t \leq s} -x(t))+ F(\max_{0 \leq t \leq s} y(t))+F(\max_{0 \leq t \leq s} -y(t)) \right\}
\,
</math>
</center>

となる．一方，直線上のランデブー探索が次に述べる探索問題において戦略を上述の<math>x,y\,</math> としたものに同値であることが知られている．

　
　1 つの静止目標物が2 本の数直線<math>l_I, l_{II}\,</math>, のうちのいずれかに存在する．存在確率は<math>F\,</math> で与えられる．探索者I,II の初期位置はそれぞれ数直線,<math>l_I, l_{II}\,</math> の原点である．2 人の探索者は，合計の速さが<math>2\,</math> であるようにして数直線上を移動しながら目標物を探索する．2 人のうちの1 人が目標物を発見するまでの期待時間が最小になるような行動を求めよ．このとき，2 人のうちのどちらかが時刻<math>s\,</math> までに目標を発見する確率が<math>P_{f,g}(s)</math> で与えられる．

'''[3 人以上のランデブー探索]''' (i) 長さが<math>n\,</math> である円周上に等距離<math>1\,</math> だけ離れて<math>n\,</math> 人の探索者がいる．円周上には位置を特定できる目印はなく，また<math>n\,</math> 人のすべてにとって，どちらが時計回りかの共通の認識がない．<math>n\,</math> 人が円周上で一同に会すには探索者はどのように動けばよいか．この問題のランデブー値は漸近的に<math>n/2\,</math> であることが知られている．(ii) <math>n\,</math>人が数直線上の連続する整数点上に位置している．それぞれが確率<math>1/2\,</math> で自分の向きを決める．すべてが一同に会すことができることを確実にするのに必要な時間を最小にするにはどのように動けばよいか．この最小時間を<math>\min\max\,</math> ランデブー値という．これは漸近的に<math>n/2\,</math> に近づくこと，さらに<math>n=3\,</math> の場合は <math>\min\max\,</math>ランデブー値が<math>3.5\,</math> であることが知られている．

　ここで紹介したモデル以外にも，例えば探索領域が2 次元以上の場合のランデブー探索，ネットワーク（あるいはグラフ）上でのランデブー探索等について論文が散見されるが，多くの問題が残されており今後の研究が待たれる状況である．ここで紹介した分析を記述した原論文についての情報も含めて，詳しくは参考文献[1] を参照されたい．

----
'''参考文献'''

[1] S. Alpern and S. Gal, ''The Theory of Search Games and Rendezvous'', Kluwer’s International Series, 2003.

[[category:探索理論|らんでぶーたんさく]]

《待ち行列モデル M/G/1》

2007-08-08T15:52:02Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつもでる M/G/1 (queueing model M/G/1) 】'''

　[[待ち行列モデル M/G/1]] (queueing model M/G/1) は, 客の到着が到着率 <math>\lambda\, </math> の[[ポアソン過程]]に従い, サービス時間が一般分布 <math>H(t)\, </math> に従う, 窓口1個 (扱い者1人) の無限長の待ち行列を許す最も基本的なモデルである.

　客の到着間隔 <math>A_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> およびサービス時間<math>B_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> は互いに独立で, <math>A_r\, </math> は平均 <math>1/\lambda\, </math> の指数分布, <math>B_r\, </math> はサービス時間分布 <math>H(t)\, </math> に従う. したがって任意の時間帯 <math>(\tau, \tau+t ]\, </math> における到着客数 <math>N_{\tau}(t)\, </math>は, 平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う確率変数となる. 客の[[サービス規律]]として, 通常, [[先着順サービス|先着順]] (FCFS) を仮定するが, [[後着順サービス|後着順]] (LCFS), [[ランダム順サービス|ランダム順]] (ROS) などのサービス規律を考えることもある.

　先着順サービスの M/G/1 モデルでは, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 利用率 <math>\rho=\lambda/\mu < 1\, </math> のときにシステムは安定となり, 時間の経過とともに[[平衡状態]]へ近づく. 平衡状態における客の待ち時間分布 <math>W_q(t)\, </math> は[[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula)

<center>
<math>
W_q^*(s) = (1-\rho)/ \{1-\lambda[1-H^*(s)]/s\}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって与えられる. ここで <math>W_q^*(s), H^*(s)\, </math> はそれぞれ <math>W_q(t), H(t)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換である.

'''平均待ち時間'''　式 (1) から, 平衡状態における[[平均待ち時間]] <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> は, <math>c^2= \mbox{Var}(B_r)/\{\mbox{E}(B_r)\}^2\, </math> をサービス時間分布の変動係数として,

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q) = \frac{\rho (1+c^2)}{2 \mu (1-\rho)}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられることが分かる. この式から平均行列長, 平均系内人数, 平均系内滞在時間などは[[リトルの公式]]を用いて容易に導くことができる.

　式 (2) は, 同じ <math>\lambda\, </math> と<math>\mu\, </math> をもった M/M/1 モデルの平均待ち時間を <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1} )\, </math> とすれば

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1}) = \frac{1}{2} (1+c^2) \mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

と書ける. これは M/G/1 モデルではサービス時間分布のばらつきが大きいほど長く待たされることを示しており, 最も平均待ち時間が短いのはサービス時間が一定のときで, M/M/1 の 1/2 であることが確かめられる.

'''M/G/1型待ち行列モデルの解析'''　以下, M/G/1 モデルとその類似モデルの解析について, いくつかコメントしておこう.

　M/G/1 モデルから派生する種々の待ち行列モデルを, M/G/1 型待ち行列モデルと呼ぶ. 例えば, 有限待合室モデル (M/G/1/<math>m\, </math>), 有限呼源モデル (M<math>({\it n}) \, </math>/G/1), 集団到着個別処理モデル (M<math>^{[X]}\, </math>/G/1), 休暇時間 (準備時間) を伴う待ち行列([[バケーション|バケーションモデル]]) などはM/G/1 型待ち行列モデルである. また複数個の待ち行列をもつモデル, たとえば多重待ち行列([[ポーリングモデル]]), 優先権のある待ち行列, 移動扱い者によって処理される直列型(網型)の待ち行列などもM/G/1 型待ち行列モデルと考えることができる. M/G/1 モデルの双対的な待ち行列モデルとして, GI/M/1 モデルを考えることもある.

　M/G/1 モデルやM/G/1 型モデルの常套的な解析法として, 客のサービス終了直後における系内人数に着目する[[隠れマルコフ連鎖法]]や, 系内人数の他に残りサービス時間 (あるいはサービス経過時間)を状態変数として取り入れる[[補助変数法]]が知られている. また, [[PASTA]]が成立するのも特徴の一つである.

　待ち行列モデル M/G/1 において, 非割り込みのサービス規律 (先着順, ランダム順など) の下で, 客の退去時点 (サービス終了時点) 直後における系内客数の定常分布 <math>\{\pi_j\}\, </math> の母関数 <math>\Pi(z)\, </math> は

<center>
<math>
\Pi(z) = \frac{\pi_0 (1-z)}{1-z/H^*(\lambda(1-z))}, \ \ \ \pi_0 = 1
-\rho
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

で与えられる. 先着順サービスの下では, ある客 C の系内滞在時間 <math>\Theta\, </math>内に到着する客数と C の退去時点の系内客数は等しく, かつ C の系内時間<math>\Theta\, </math> と C の到着以降の到着過程 <math>\{ N_{\tau}(t)\}\, </math> は独立であるから, <math>\Theta\, </math> の定常分布 <math>\Theta(x)\, </math> のラプラス・スチルチェス変換を <math>\Theta^*(s)\, </math> と表せば,

<center>
<math>
\Pi(z) = \Theta^*(\lambda(1-z))
= W_q^*(\lambda(1-z)) H^*(\lambda(1-z))
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

の関係が成立し, 式 (4), (5) より, ポラチェック・ヒンチンの公式 (1) が得られる [1], [3].

　<math>W_q^*(s)\, </math> の構造に確率的解釈を与え, 上記のように <math>\Pi(z)\, </math> を介さないで直接的に求める手法として, 全稼働期間解析法 (busy period analysis) がある. これは優先権のある待ち行列の解析に有効であり, 各種の全稼働期間中に到着する客の条件付き待ち時間分布のラプラス・スチルチェス変換<math>W_q^*(s| \mbox{busy period})\, </math> を基本として <math>W_q^*(s)\, </math> を構成するものである. これによれば

<center>
<table>
<tr><td rowspan="2"><math>W_q^*(s) \,\, </math></td>
<td><math>= (1-\rho) W_q^*(s | \mbox{idle period}\, </math> に到着
<math>\ ) + \rho W_q^*(s | \mbox{busy period}\, </math>に到着<math>\ ) \, </math></td></tr>
<tr><td><math>= (1-\rho) \cdot 1 + \rho \cdot R^*(s)
\cdot s(1-\rho)/ \left[ s-\lambda+\lambda H^*(s)
\right]\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math></td></tr></table>
</center>

となる [1], [3]. ただし <math>R^*(s)\, </math> は, 残余サービス時間分布

<center>
<math>
R(t) = \frac{1}{\mathrm{E}(B_r)}
\int_{0}^{t} \left[ 1-H(x) \right] \mathrm{d} x
\ \ \ \ (t \geq 0)
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

のラプラス・スチルチェス変換で, <math> R^*(s) = \mu \left[ 1-H^*(s) \right]/ s \,</math>で与えられる.

　時刻 <math>t\, </math> に仮に客が到着したとすればその客が待たなければならない時間 <math>v(t)\, </math> は, 仮り待ち時間 (virtual waiting time) と呼ばれる. 時刻<math>t\, </math> における仮り待ち時間の分布関数 <math>V(t, x)\, </math>, <math>x, t \geq 0\, </math> に関して, 次のタカッチの積分-微分方程式 (Tak\'{a}cs' integro-differential equation) が成立する [1].

<center>
<math>
\frac{\partial V(t, x)}{\partial t}
= \frac{\partial V(t, x)}{\partial x}
-\lambda \left[
V(t, x) -\int_{0-}^{x} H(x-y) \mathrm{d}_y V(t, y)
\right]
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

平衡状態 (<math>t \rightarrow \infty\, </math>) における仮り待ち時間の分布関数<math>V(x)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換 <math>V^*(s)\, </math> と表わし, 式(8)の左辺を零とおけば、次のレベルクロッシング法[5]の公式 (level-crossing formula) が得られる. これを,<math>V^*(0)=1\, </math>の下に解いて<math>V^*(s)\, </math>が決定される.

<center>
<math>
\frac{dV(x)}{dx}
= \lambda \int_{0-}^x \left\{ 1-H(x-y)\right\} \mathrm{d} V(y) \ \ \ \ ( x > 0 )
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

　M/G/1 モデルでは PASTA が成立するので <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> であり, このようにしても式(1) の<math>W_q^*(s)\, </math> が求められる. さらに, 客の到着が一般分布 <math>F(t)\, </math> に従う GI/G/1モデルにおける[[リンドレーの方程式|リンドレーの積分方程式]] (Lindley's equation)

<center>
<math>
W_q(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\int^{\infty}_{0-} C(t-x) \mathrm{d} W_q(x) & (t \geq 0) \\
0 & (t < 0)
\end{array}
\right.
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>
</center>

<center>
<math>
C(t)=\int^{\infty}_{x=0} H(t+x) \mathrm{d} F(x)
\ \ \ -\infty < t < +\infty
\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>
</center>

やタカッチの公式 (Takács' formula)

<center>
<math>\begin{array}{lll}
V^*(s) & = &(1-\rho) V^*(s | \mbox{idle period} )
+ \rho V^*(s | \mbox{busy period} ) \\
& = & 1-\rho + \rho R^*(s) W_q^*(s)
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>
</center>

を利用しても <math>W_q^*(s)\, </math> が直接的に求められる [1], [2]. 式 (12) は, M/G/1 における式 (6) の GI/G/1 への一般化であり, さらに一般的な到着過程として定常性のみを仮定した G/G/1 においても成立することが示されている. 本式と <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> より直ちにポラチェック・ヒンチンの公式を得る.

　なお, 式 (1) の<math>W_q^*(s)\, </math> の逆変換形 <math>W_q(t)\, </math> の一つとして次式が知られている.

<center>
<math>
W_q(t) = (1-\rho) \sum_{k=0}^{\infty} \rho^k R_k(t) \ \ \ \ ( t\geq 0 )
\, </math>　　　　　<math>(13)\, </math>
</center>

ただし <math>R_0(t) = 1\, </math> で, <math>R_k(t)\, </math> は式 (7) の残余サービス時間分布 <math>R(t)\, </math> 自身の<math>k(\geq1)\, </math> 回のたたみこみを表す[1], [4].

----

'''参考文献'''

[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1: Theory,'' John Wiley & Sons, 1975.

[2] L. akács, "The Limiting Distribution of the Virtual Waiting Time and the Queue Size for a Single-Server Queue with Recurrent Input and General Service Times," ''Sankhya'', Series '''A25''' (1963), 91-100.

[3] H. Takagi, ''Queueing Analysis :A Foundation of Performance Evaluation Vol. 1, Vacation and Priority Systems, Part I,'' Elsevier Science Publisher B. V., North-Holland, 1991.

[4] N. U. Prabhu, ''Foundation of Queueing Theory,'' Kluwer Academic Publishers, 1997.

[5] B. Doshi: Level-crossing Analysis of Queues, ''Queueing and related models'', edited by U. N. Bhat and I. V. Basawa, Oxford University Press (1992), 3-33.

[[category:待ち行列|まちぎょうれつもでるM/G/1]]

《探索理論の応用と実例》

2007-08-08T15:47:40Z

Bassy:

'''【たんさくりろんのおうようとじつれい (applications and examples of search theory)】'''

　探索理論は，第２次大戦における対潜水艦戦に関する米海軍の軍事研究に起源があるため，その応用例として防衛関連分野は重要である．また，海上における探索活動の科学的研究は，海難救助に無くては成らない分析ツールを提供する．ここでは，防衛分野における探索理論の応用例と世界的に使用されている捜索救助マニュアル（IAMSAR マニュアル）への探索理論の応用例を見てみよう．

'''[海上防衛における探索理論の応用例]''' 海上防衛に関しては，海上防衛力の整備に関わる政策立案，海上防衛力の運用場面における様々な意思決定，海上防衛力の開発や改善のための研究開発等において，オペレーションズ・リサーチ等による分析評価が活用されてきた．これらの海上防衛に係る分析評価の各フェイズにおいて，探索（以後，捜索という）の問題は重要な問題である．捜索対象は，軍事的な脅威である海中の潜水艦や機雷，海上の水上艦船や航空機，電波等が主であるが，非軍事的な海上の遭難者等も災害派遣等における捜索対象となる．海上防衛においては，潜水艦は特に重要で捜索困難な対象である．捜索対象である潜水艦の行動パターン，捜索者である水上艦艇，潜水艦，哨戒航空機等の捜索要領，潜水艦の発見のために使用される[[音響や磁気等のエネルギーの特性]](characteristics of sound and magnetic energy propagation) や[[捜索海域の状況]](status of search area) 等により，多様な状況が生起する．これらの多様な状況に関して，第２次大戦以来の海上自衛隊内外の研究成果をもとに検討がなされ，捜索能力の見積りや最適な捜索戦術を求めるための手法が整備されてきた[1, 2]．ある特定の捜索の状況をコンピューター上で模擬したシミュレーションを用いる方法のほか，捜索に係る主要な要素を含めて定式化した理論モデルを用いて，捜索オペレーションにおいて考慮すべき事項や要素間の因果関係，トレード・オフ等を把握する方法も多用されている．

　海上防衛における捜索では，限りある海上防衛力の中から適切な兵力を派出して，適切な時期（捜索開始と捜索時間）に，捜索対象が存在すると考えられる妥当な区域を捜索することが必要である．このため，捜索兵力，捜索対象，捜索海域の特性等に基づいて捜索者の[[有効探索率]]，捜索時期，捜索区域を特定化し，一様な[[目標存在分布]]を仮定した次のような理論モデルを用いて，捜索能力を評価することが有効である．

<center>
<math>
P(t)= 1 - \exp \left( - \int_{t_0}^{t_0+t} \frac{q(s)}{A(s)} ds \right)
</math>
</center>

ただし，<math>P(t)\,</math> は探知確率，<math>q(t)\,</math> は有効探索率，<math>A(t)\,</math> は捜索区域面積，また<math>\left[ t_0, t_0 +t \right] \,</math> は捜索時間区間を表す．

　捜索に係る問題の主要なテーマの１つは，捜索兵力の選定問題である．これは，上記の理論モデルにおいて捜索時間や捜索区域を一定として，捜索兵力の代替案に応じた捜索効率とそれによる捜索効果を比較検討することで意思決定に役立てることができる．運用場面における意思決定では，全体的な捜索兵力を効率的に使用するために，捜索の開始時刻と終了時刻を定めることも重要な問題となる．遭難者の捜索や一旦存在を暴露した潜水艦の再捜索等では，次式による設定のように，捜索開始からの経過時間に応じて探知確率を見積り，一定の基準を越えた段階を捜索打ち切りの一つの目安とする．

<center>
<math>
t^{*} = \min \left \{ t \mid P(t) \ge \alpha \right \},~~</math> <math>t^*\,</math>：捜索打ち切り時刻, <math>\alpha\,</math>：所望探知確率.
</center>

軍事的な捜索問題においては，捜索開始時期に応じて捜索対象の存在圏分布や軍事的価値が異なる場合があることから，捜索開始時期も重要な検討項目である．また，軍事的問題では特に，捜索者と捜索対象の間の非協力ゲームを考えることが現実的である場合が多い．たとえば，捜索兵力を幾つかの海域の間で機動的に運用する場合，捜索目標物がこれを考慮して最適な海域に指向し進出しようとすることを想定し，以下のようなゲーム的定式化により，複数海域での捜索時間の最適な配分及び最低限獲得し得る探知確率を見積ることができる．

<center>
<math>
P^*((\alpha^*,t^*) | T) = \max_{0 \leq t \leq T}~\min_{0 \leq \alpha \leq 1} ~ \{ \alpha P(t) + ( 1- \alpha ) P(T-t) \}
</math>
</center>

ただし，上式は２つの海域での兵力運用を想定し，各記号は次を意味する．<math>P(t)\,</math> ：探知確率，<math>T\,</math>：全捜索時間，<math>(\alpha, 1-\alpha) \,</math> ：目標物の行動海域の選択確率，<math>(t, T-t)\,</math> ：捜索者の各海域への捜索時間配分量，<math>(\alpha^* ,t^*)\,</math>：目標物と捜索者の最適戦略， <math>P^*((\alpha^*,t^*)\mid T)\,</math>：捜索者の最低保障探知確率．

'''[IAMSARマニュアル]''' 従来，国際海事機関（IMO）と国際民間航空機関（ICAO）は，それぞれの立場で捜索救助マニュアルを作成してきたが，航空と海上での捜索救助（search and rescue：SAR）活動の更なる調和を図るため，統一した合同マニュアルとすることを目的として，合同ワーキンググループを設けて草案が検討され，1998 年IMO第69 回海上安全委員会において，[[IAMSAR マニュアル]](International Aeronautical and Maritime Search and Rescue Manual) が採択された．本マニュアルは全3 巻からなり，第I 巻は組織と管理，第II 巻は活動調整，第III 巻は航空機・船舶の移動施設について述べられている．特に第III 巻は船舶に搭載されることを意図して作成されており，遭難現場付近で捜索救助に携わる救助者および被救助者に対するガイドラインを提供するもので，2002 年5 月IMO 第75回海上安全委員会において，船舶に搭載することが義務付けられた．

　その中の第II 巻，第4 章，5 章で捜索計画について述べられている．以前のマニュアルではKoopman の研究成果[3] が一部取り込まれ，主として静止目標物に対する探索区域の設定がマニュアル化されていただけであったが，新しいIAMSAR マニュアルでは，探索オペレーションの進捗に伴う目標存在分布や，探索努力の最適投入に関する最新の研究成果が活用され，より柔軟に最適探索計画を立案できるようになっている．初回の探索オペレーションに関しては，以前のマニュアルと同様，目標物は移動しないものと仮定して，目標探知確率を最大とする区域探索領域を決定できるようにしているものの，次のようなより精緻な評価手法を取り入れている．すなわち，遭難情報の不確実性を勘案し，目標物存在確率（probability of containment：POC）を正規分布や一様分布等の３種類の分布を仮定して評価している．また，過去の観測データの解析から得られた[[有効探索幅]]を使用し，探索空間の環境や探索者と目標物との相対的位置誤差等を考慮して，[[逆３乗発見法則]]による[[平行探索]]か， [[定距離発見法則]]による[[ランダム探索]]のどちらかのオペレーションにより条件付探知確率( probability of detection：POD）を評価した後，POC とPOD の積である目標探知確率（成功確率：probability of success：POS）が最大となる探索区域を決めている．

　例えば，目標物の存在確率分布を分散<math>\sigma^2\,</math> をもつ2 次元円形正規分布とした場合，半径<math>R\,</math>の円に外接する正方形区域内の目標物存在確率POCと，この区域を有効探索幅<math>W\,</math> の逆3 乗発見法則のセンサーにより速力<math>V\,</math> で <math>T\,</math>時間平行探索した場合の条件付探知確率PODは以下の式で与えられるので，これらの積である成功確率<math>(POS = POC \times POD)\,</math> を最大とするような<math>R\,</math> を求め，[[デイタム点]]を中心とした半径<math>R\,</math> の円に外接する正方形の区域が探索区域として決められる．
ただし，式中の<math>erf()</math> は誤差関数である．

<center>
<math>
POC= \left[ \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{R/\sigma} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \right]^2, ~POD= erf \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{W V T}{4 R^2} \right) .
</math>
</center>

　また，２回目以降の探索区域の設定については，各回毎に目標物の事後目標分布と探知確率を用いて求められる探索努力の最適逐次投入計画が，それまでの累積探索努力を一括して用いるとした場合の最適一括投入計画と探知確率において等しいという，[[最適努力配分の加法性]]を適用して決められるようにしている．また，IAMSAR マニュアルにはこれらの計算に必要となる気象や目標物の種類等に応じた有効探索幅表や，目標物の漂流を推定するための[[風圧流]](leeway)や[[吹送流]](local wind current) のグラフ，位置誤差や漂流誤差に関する資料等が掲載されている．

----
'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946. 2nd ed., Pergamon Press, 1980.

[2] 飯田耕司, 宝崎隆祐, 『捜索理論－捜索オペレーションの数理－』, 三恵社, 2003.

[3] B. O. Koopman, “The Theory of Search I,” ''Operations Research'', '''4''' (1956),324-346. “The Theory of Search II,” '''4''' (1956), 503-536. “The Theory of Search III,” '''5''' (1957), 613-626.

[[category:探索理論|たんさくりろんのおうようとじつれい]]

《探索理論の応用と実例》

2007-08-08T15:45:07Z

Bassy:

'''【たんさくりろんのおうようとじつれい (applications and examples of search theory)】'''

　探索理論は，第２次大戦における対潜水艦戦に関する米海軍の軍事研究に起源があるため，その応用例として防衛関連分野は重要である．また，海上における探索活動の科学的研究は，海難救助に無くては成らない分析ツールを提供する．ここでは，防衛分野における探索理論の応用例と世界的に使用されている捜索救助マニュアル（IAMSAR マニュアル）への探索理論の応用例を見てみよう．

'''[海上防衛における探索理論の応用例]''' 海上防衛に関しては，海上防衛力の整備に関わる政策立案，海上防衛力の運用場面における様々な意思決定，海上防衛力の開発や改善のための研究開発等において，オペレーションズ・リサーチ等による分析評価が活用されてきた．これらの海上防衛に係る分析評価の各フェイズにおいて，探索（以後，捜索という）の問題は重要な問題である．捜索対象は，軍事的な脅威である海中の潜水艦や機雷，海上の水上艦船や航空機，電波等が主であるが，非軍事的な海上の遭難者等も災害派遣等における捜索対象となる．海上防衛においては，潜水艦は特に重要で捜索困難な対象である．捜索対象である潜水艦の行動パターン，捜索者である水上艦艇，潜水艦，哨戒航空機等の捜索要領，潜水艦の発見のために使用される[[音響や磁気等のエネルギーの特性]](characteristics of sound and magnetic energy propagation) や[[捜索海域の状況]](status of search area) 等により，多様な状況が生起する．これらの多様な状況に関して，第２次大戦以来の海上自衛隊内外の研究成果をもとに検討がなされ，捜索能力の見積りや最適な捜索戦術を求めるための手法が整備されてきた[1, 2]．ある特定の捜索の状況をコンピューター上で模擬したシミュレーションを用いる方法のほか，捜索に係る主要な要素を含めて定式化した理論モデルを用いて，捜索オペレーションにおいて考慮すべき事項や要素間の因果関係，トレード・オフ等を把握する方法も多用されている．

　海上防衛における捜索では，限りある海上防衛力の中から適切な兵力を派出して，適切な時期（捜索開始と捜索時間）に，捜索対象が存在すると考えられる妥当な区域を捜索することが必要である．このため，捜索兵力，捜索対象，捜索海域の特性等に基づいて捜索者の[[有効探索率]]，捜索時期，捜索区域を特定化し，一様な[[目標存在分布]]を仮定した次のような理論モデルを用いて，捜索能力を評価することが有効である．r>

<center>
<math>
P(t)= 1 - \exp \left( - \int_{t_0}^{t_0+t} \frac{q(s)}{A(s)} ds \right)
</math>
</center>

ただし，<math>P(t)\,</math> は探知確率，<math>q(t)\,</math> は有効探索率，<math>A(t)\,</math> は捜索区域面積，また<math>\left[ t_0, t_0 +t \right] \,</math> は捜索時間区間を表す．

　捜索に係る問題の主要なテーマの１つは，捜索兵力の選定問題である．これは，上記の理論モデルにおいて捜索時間や捜索区域を一定として，捜索兵力の代替案に応じた捜索効率とそれによる捜索効果を比較検討することで意思決定に役立てることができる．運用場面における意思決定では，全体的な捜索兵力を効率的に使用するために，捜索の開始時刻と終了時刻を定めることも重要な問題となる．遭難者の捜索や一旦存在を暴露した潜水艦の再捜索等では，次式による設定のように，捜索開始からの経過時間に応じて探知確率を見積り，一定の基準を越えた段階を捜索打ち切りの一つの目安とする．

<center>
<math>
t^{*} = \min \left \{ t \mid P(t) \ge \alpha \right \},~~</math> <math>t^*\,</math>：捜索打ち切り時刻, <math>\alpha\,</math>：所望探知確率.
</center>

軍事的な捜索問題においては，捜索開始時期に応じて捜索対象の存在圏分布や軍事的価値が異なる場合があることから，捜索開始時期も重要な検討項目である．また，軍事的問題では特に，捜索者と捜索対象の間の非協力ゲームを考えることが現実的である場合が多い．たとえば，捜索兵力を幾つかの海域の間で機動的に運用する場合，捜索目標物がこれを考慮して最適な海域に指向し進出しようとすることを想定し，以下のようなゲーム的定式化により，複数海域での捜索時間の最適な配分及び最低限獲得し得る探知確率を見積ることができる．

<center>
<math>
P^*((\alpha^*,t^*) | T) = \max_{0 \leq t \leq T}~\min_{0 \leq \alpha \leq 1} ~ \{ \alpha P(t) + ( 1- \alpha ) P(T-t) \}
</math>
</center>
ただし，上式は２つの海域での兵力運用を想定し，各記号は次を意味する．<math>P(t)\,</math> ：探知確率，<math>T\,</math>：全捜索時間，<math>(\alpha, 1-\alpha) \,</math> ：目標物の行動海域の選択確率，<math>(t, T-t)\,</math> ：捜索者の各海域への捜索時間配分量，<math>(\alpha^* ,t^*)\,</math>：目標物と捜索者の最適戦略， <math>P^*((\alpha^*,t^*)\mid T)\,</math>：捜索者の最低保障探知確率．

'''[IAMSARマニュアル]''' 従来，国際海事機関（IMO）と国際民間航空機関（ICAO）は，それぞれの立場で捜索救助マニュアルを作成してきたが，航空と海上での捜索救助（search and rescue：SAR）活動の更なる調和を図るため，統一した合同マニュアルとすることを目的として，合同ワーキンググループを設けて草案が検討され，1998 年IMO第69 回海上安全委員会において，[[IAMSAR マニュアル]](International Aeronautical and Maritime Search and Rescue Manual) が採択された．本マニュアルは全3 巻からなり，第I 巻は組織と管理，第II 巻は活動調整，第III 巻は航空機・船舶の移動施設について述べられている．特に第III 巻は船舶に搭載されることを意図して作成されており，遭難現場付近で捜索救助に携わる救助者および被救助者に対するガイドラインを提供するもので，2002 年5 月IMO 第75回海上安全委員会において，船舶に搭載することが義務付けられた．

　その中の第II 巻，第4 章，5 章で捜索計画について述べられている．以前のマニュアルではKoopman の研究成果[3] が一部取り込まれ，主として静止目標物に対する探索区域の設定がマニュアル化されていただけであったが，新しいIAMSAR マニュアルでは，探索オペレーションの進捗に伴う目標存在分布や，探索努力の最適投入に関する最新の研究成果が活用され，より柔軟に最適探索計画を立案できるようになっている．初回の探索オペレーションに関しては，以前のマニュアルと同様，目標物は移動しないものと仮定して，目標探知確率を最大とする区域探索領域を決定できるようにしているものの，次のようなより精緻な評価手法を取り入れている．すなわち，遭難情報の不確実性を勘案し，目標物存在確率（probability of containment：POC）を正規分布や一様分布等の３種類の分布を仮定して評価している．また，過去の観測データの解析から得られた[[有効探索幅]]を使用し，探索空間の環境や探索者と目標物との相対的位置誤差等を考慮して，[[逆３乗発見法則]]による[[平行探索]]か， [[定距離発見法則]]による[[ランダム探索]]のどちらかのオペレーションにより条件付探知確率( probability of detection：POD）を評価した後，POC とPOD の積である目標探知確率（成功確率：probability of success：POS）が最大となる探索区域を決めている．

　例えば，目標物の存在確率分布を分散<math>\sigma^2\,</math> をもつ2 次元円形正規分布とした場合，半径<math>R\,</math>の円に外接する正方形区域内の目標物存在確率POCと，この区域を有効探索幅<math>W\,</math> の逆3 乗発見法則のセンサーにより速力<math>V\,</math> で <math>T\,</math>時間平行探索した場合の条件付探知確率PODは以下の式で与えられるので，これらの積である成功確率<math>(POS = POC \times POD)\,</math> を最大とするような<math>R\,</math> を求め，[[デイタム点]]を中心とした半径<math>R\,</math> の円に外接する正方形の区域が探索区域として決められる．
ただし，式中の<math>erf()</math> は誤差関数である．

<center>
<math>
POC= \left[ \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{R/\sigma} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \right]^2, ~POD= erf \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{W V T}{4 R^2} \right) .
</math>
</center>

　また，２回目以降の探索区域の設定については，各回毎に目標物の事後目標分布と探知確率を用いて求められる探索努力の最適逐次投入計画が，それまでの累積探索努力を一括して用いるとした場合の最適一括投入計画と探知確率において等しいという，[[最適努力配分の加法性]]を適用して決められるようにしている．また，IAMSAR マニュアルにはこれらの計算に必要となる，気象や目標物の種類等に応じた有効探索幅表や，目標物の漂流を推定するための[[風圧流]](leeway)や[[吹送流]](local wind current) のグラフ，位置誤差や漂流誤差に関する資料等が掲載されている．

----
'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946. 2nd ed., Pergamon Press, 1980.

[2] 飯田耕司, 宝崎隆祐, 『捜索理論－捜索オペレーションの数理－』, 三恵社, 2003.

[3] B. O. Koopman, “The Theory of Search I,” ''Operations Research'', '''4''' (1956),324-346. “The Theory of Search II,” '''4''' (1956), 503-536. “The Theory of Search III,” '''5''' (1957), 613-626.

[[category:探索理論|たんさくりろんのおうようとじつれい]]

《探索理論の応用と実例》

2007-08-08T15:44:04Z

Bassy:

'''【たんさくりろんの<math>\int f(x)dx</math>おうようとじつれい (applications and examples of search theory)】'''

　探索理論は，第２次大戦における対潜水艦戦に関する米海軍の軍事研究に起源があるため，その応用例として防衛関連分野は重要である．また，海上における探索活動の科学的研究は，海難救助に無くては成らない分析ツールを提供する．ここでは，防衛分野における探索理論の応用例と世界的に使用されている捜索救助マニュアル（IAMSAR マニュアル）への探索理論の応用例を見てみよう．

'''[海上防衛における探索理論の応用例]''' 海上防衛に関しては，海上防衛力の整備に関わる政策立案，海上防衛力の運用場面における様々な意思決定，海上防衛力の開発や改善のための研究開発等において，オペレーションズ・リサーチ等による分析評価が活用されてきた．これらの海上防衛に係る分析評価の各フェイズにおいて，探索（以後，捜索という）の問題は重要な問題である．捜索対象は，軍事的な脅威である海中の潜水艦や機雷，海上の水上艦船や航空機，電波等が主であるが，非軍事的な海上の遭難者等も災害派遣等における捜索対象となる．海上防衛においては，潜水艦は特に重要で捜索困難な対象である．捜索対象である潜水艦の行動パターン，捜索者である水上艦艇，潜水艦，哨戒航空機等の捜索要領，潜水艦の発見のために使用される[[音響や磁気等のエネルギーの特性]](characteristics of sound and magnetic energy propagation) や[[捜索海域の状況]](status of search area) 等により，多様な状況が生起する．これらの多様な状況に関して，第２次大戦以来の海上自衛隊内外の研究成果をもとに検討がなされ，捜索能力の見積りや最適な捜索戦術を求めるための手法が整備されてきた[1, 2]．ある特定の捜索の状況をコンピューター上で模擬したシミュレーションを用いる方法のほか，捜索に係る主要な要素を含めて定式化した理論モデルを用いて，捜索オペレーションにおいて考慮すべき事項や要素間の因果関係，トレード・オフ等を把握する方法も多用されている．

　海上防衛における捜索では，限りある海上防衛力の中から適切な兵力を派出して，適切な時期（捜索開始と捜索時間）に，捜索対象が存在すると考えられる妥当な区域を捜索することが必要である．このため，捜索兵力，捜索対象，捜索海域の特性等に基づいて捜索者の[[有効探索率]]，捜索時期，捜索区域を特定化し，一様な[[目標存在分布]]を仮定した次のような理論モデルを用いて，捜索能力を評価することが有効である．r>

<center>
<math>
P(t)= 1 - \exp \left( - \int_{t_0}^{t_0+t} \frac{q(s)}{A(s)} ds \right)
</math>
</center>

ただし，<math>P(t)\,</math> は探知確率，<math>q(t)\,</math> は有効探索率，<math>A(t)\,</math> は捜索区域面積，また<math>\left[ t_0, t_0 +t \right] \,</math> は捜索時間区間を表す．

　捜索に係る問題の主要なテーマの１つは，捜索兵力の選定問題である．これは，上記の理論モデルにおいて捜索時間や捜索区域を一定として，捜索兵力の代替案に応じた捜索効率とそれによる捜索効果を比較検討することで意思決定に役立てることができる．運用場面における意思決定では，全体的な捜索兵力を効率的に使用するために，捜索の開始時刻と終了時刻を定めることも重要な問題となる．遭難者の捜索や一旦存在を暴露した潜水艦の再捜索等では，次式による設定のように，捜索開始からの経過時間に応じて探知確率を見積り，一定の基準を越えた段階を捜索打ち切りの一つの目安とする．

<center>
<math>
t^{*} = \min \left \{ t \mid P(t) \ge \alpha \right \},~~</math> <math>t^*\,</math>：捜索打ち切り時刻, <math>\alpha\,</math>：所望探知確率.
</center>

軍事的な捜索問題においては，捜索開始時期に応じて捜索対象の存在圏分布や軍事的価値が異なる場合があることから，捜索開始時期も重要な検討項目である．また，軍事的問題では特に，捜索者と捜索対象の間の非協力ゲームを考えることが現実的である場合が多い．たとえば，捜索兵力を幾つかの海域の間で機動的に運用する場合，捜索目標物がこれを考慮して最適な海域に指向し進出しようとすることを想定し，以下のようなゲーム的定式化により，複数海域での捜索時間の最適な配分及び最低限獲得し得る探知確率を見積ることができる．

<center>
<math>
P^*((\alpha^*,t^*) | T) = \max_{0 \leq t \leq T}~\min_{0 \leq \alpha \leq 1} ~ \{ \alpha P(t) + ( 1- \alpha ) P(T-t) \}
</math>
</center>
ただし，上式は２つの海域での兵力運用を想定し，各記号は次を意味する．<math>P(t)\,</math> ：探知確率，<math>T\,</math>：全捜索時間，<math>(\alpha, 1-\alpha) \,</math> ：目標物の行動海域の選択確率，<math>(t, T-t)\,</math> ：捜索者の各海域への捜索時間配分量，<math>(\alpha^* ,t^*)\,</math>：目標物と捜索者の最適戦略， <math>P^*((\alpha^*,t^*)\mid T)\,</math>：捜索者の最低保障探知確率．

'''[IAMSARマニュアル]''' 従来，国際海事機関（IMO）と国際民間航空機関（ICAO）は，それぞれの立場で捜索救助マニュアルを作成してきたが，航空と海上での捜索救助（search and rescue：SAR）活動の更なる調和を図るため，統一した合同マニュアルとすることを目的として，合同ワーキンググループを設けて草案が検討され，1998 年IMO第69 回海上安全委員会において，[[IAMSAR マニュアル]](International Aeronautical and Maritime Search and Rescue Manual) が採択された．本マニュアルは全3 巻からなり，第I 巻は組織と管理，第II 巻は活動調整，第III 巻は航空機・船舶の移動施設について述べられている．特に第III 巻は船舶に搭載されることを意図して作成されており，遭難現場付近で捜索救助に携わる救助者および被救助者に対するガイドラインを提供するもので，2002 年5 月IMO 第75回海上安全委員会において，船舶に搭載することが義務付けられた．

　その中の第II 巻，第4 章，5 章で捜索計画について述べられている．以前のマニュアルではKoopman の研究成果[3] が一部取り込まれ，主として静止目標物に対する探索区域の設定がマニュアル化されていただけであったが，新しいIAMSAR マニュアルでは，探索オペレーションの進捗に伴う目標存在分布や，探索努力の最適投入に関する最新の研究成果が活用され，より柔軟に最適探索計画を立案できるようになっている．初回の探索オペレーションに関しては，以前のマニュアルと同様，目標物は移動しないものと仮定して，目標探知確率を最大とする区域探索領域を決定できるようにしているものの，次のようなより精緻な評価手法を取り入れている．すなわち，遭難情報の不確実性を勘案し，目標物存在確率（probability of containment：POC）を正規分布や一様分布等の３種類の分布を仮定して評価している．また，過去の観測データの解析から得られた[[有効探索幅]]を使用し，探索空間の環境や探索者と目標物との相対的位置誤差等を考慮して，[[逆３乗発見法則]]による[[平行探索]]か， [[定距離発見法則]]による[[ランダム探索]]のどちらかのオペレーションにより条件付探知確率( probability of detection：POD）を評価した後，POC とPOD の積である目標探知確率（成功確率：probability of success：POS）が最大となる探索区域を決めている．

　例えば，目標物の存在確率分布を分散<math>\sigma^2\,</math> をもつ2 次元円形正規分布とした場合，半径<math>R\,</math>の円に外接する正方形区域内の目標物存在確率POCと，この区域を有効探索幅<math>W\,</math> の逆3 乗発見法則のセンサーにより速力<math>V\,</math> で <math>T\,</math>時間平行探索した場合の条件付探知確率PODは以下の式で与えられるので，これらの積である成功確率<math>(POS = POC \times POD)\,</math> を最大とするような<math>R\,</math> を求め，[[デイタム点]]を中心とした半径<math>R\,</math> の円に外接する正方形の区域が探索区域として決められる．
ただし，式中の<math>erf()</math> は誤差関数である．

<center>
<math>
POC= \left[ \frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{R/\sigma} \exp \left( - \frac{t^2}{2} \right) dt \right]^2, ~POD= erf \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \frac{W V T}{4 R^2} \right) .
</math>
</center>

　また，２回目以降の探索区域の設定については，各回毎に目標物の事後目標分布と探知確率を用いて求められる探索努力の最適逐次投入計画が，それまでの累積探索努力を一括して用いるとした場合の最適一括投入計画と探知確率において等しいという，[[最適努力配分の加法性]]を適用して決められるようにしている．また，IAMSAR マニュアルにはこれらの計算に必要となる，気象や目標物の種類等に応じた有効探索幅表や，目標物の漂流を推定するための[[風圧流]](leeway)や[[吹送流]](local wind current) のグラフ，位置誤差や漂流誤差に関する資料等が掲載されている．

----
'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946. 2nd ed., Pergamon Press, 1980.

[2] 飯田耕司, 宝崎隆祐, 『捜索理論－捜索オペレーションの数理－』, 三恵社, 2003.

[3] B. O. Koopman, “The Theory of Search I,” ''Operations Research'', '''4''' (1956),324-346. “The Theory of Search II,” '''4''' (1956), 503-536. “The Theory of Search III,” '''5''' (1957), 613-626.

[[category:探索理論|たんさくりろんのおうようとじつれい]]

《探索理論の応用と実例》

2007-08-08T15:42:53Z

Bassy: 新しいページ: ''''【たんさくりろんの<math>\int f(x)dx</math>おうようとじつれい (applications and examples of search theory)】''' 　探索理論は，第２次大戦にお...'

《ランデブー探索》

2007-08-08T14:50:42Z

Bassy:

'''【らんでぶーたんさく (rendezvous search)】'''

　夫と妻がデパートではぐれてしまったときのためにあらかじめ打ち合わせておくことにした．呼び出しサービスもなく，また２人のうち少なくとも一方が携帯電話を持っていないとしたとき２人ができるだけ早く遭遇するためにはどうしたらよいか．また，ハイカーがはぐれたときの用心のために移動方法を記したハンドブックを作成したい．再会するまでに要する時間が平均的に小さくなるような方法を求めよ．[[ランデブー探索]](rendezvous search) とは友好的な２人以上の探索者が早く遭遇するための方策を考える探索問題である．古くから文献で指摘されてきたが，ランデブー探索の数理的研究が盛んになったのは１９９０年前後以降である．探索者の行動領域が離散であるか連続であるか，またそれが有界であるかどうか，探索者がとり得る行動（戦略），探索者が得る情報，探索者の数，探索者の初期位置についての設定，その他によって種々のモデルが検討され研究が続けられている．ランデブー探索では探索者をplayer
と呼ぶことが多いが，一般にはランデブー探索はゲームではないことに注意すべきである．探索者が事前にお互いの役割について相談していない状況（上記ハイカーの例）を，すべての探索者が同じ戦略を用いるとしてモデル化し，この場合を(player-)symmetric という．一方探索者ごとに異なる戦略を用いることができるモデル（上記夫妻の例）をasymmetric という．他の条件が同じである場合，symmetric モデルの方がasymmetric モデルより数理的解析が困難である．探索者が2 人であるようなasymmetric モデルにおいて，探索者の一方は初期位置に留まって動かないような戦略に限定すると，他方による静止目標物の探索問題となる．探索者同士が探索領域についてどの程度の知識を共有しているか，（例えば，時計回り，方位等）もランデブー探索の重要な要素である．最小の期待再会時間をランデブー値（rendezvous value）と呼ぶ．

'''[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル]''' 2 人の探索者（探索者I，II）が数直線上に位置している．2 人は時刻<math>0\,</math> においてお互いの初期位置間の距離<math>d\,</math> の確率分布<math>F\,</math> を知っているが，自分が数直線上のどこにいるのかわからない．相手が自分のどちら側にいるのか，またどちら向きに進んでいるのかを知らない．それぞれが自分の最初の向きを前進だと考える．最初に進む向きの組み合わせは4 通りあり，それぞれが確率<math>1/4\,</math> で起こる，とする． 2人は速さ<math>1\,</math> で進むことができて，できるだけ早く遭遇することを望んでいる．2 人が同時刻に同じ点にいるとき出会うことができると仮定する．期待再会時間を最小にするには2 人は直線上をどのように動けばよいか．

　この問題において，それぞれの戦略は次の集合から選ばれる，とする．

<center>
<math>
L= \{ f:[0,\infty) \rightarrow (-\infty, \infty): ~ f(0)=0,~ |f(s) - f(t)| \leq |s - t| \} .\,
</math>
</center>

<math>f \in L \,</math>に対し，<math> f(t)\,</math>は時刻<math>t\,</math> において，初期位置に対する探索者の相対的な位置を表す関数である，ただし探索者の最初の向きを正とする．例えば，初期位置が<math>w\,</math> で最初の向きが左であって<math>f(t)=5\,</math> であったとする．探索者<math>t\,</math>の時刻での位置は<math>x-5\,</math> である．一方，最初の向きが右であって<math>f(t)=-5\,</math> であっても時刻<math>t\,</math> での位置はやはり<math>x-5\,</math> となる．一般に，初期位置が点<math>x\,</math> であり戦略<math>f\,</math> を選んだならば，時刻<math>t\,</math> での位置は確率<math>1/2\,</math> ずつで，<math>x \pm f(t)\,</math> となる． <math>L\,</math>の部分集合で，傾きが<math>\pm1\,</math>（離散点を除いて）となる<math>f\,</math> の全体は<math>L\,</math> 内でdense である．2 人の戦略をそれぞれ<math>f,g\,</math> とする．探索者I，II の初期位置をそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>d\,</math> とする．2 人の最初の向きが，探索者I は右，探索者II は左である，つまり <math> {I \atop \rightarrow} {II \atop \leftarrow} \,</math>とすれば， <math>f(t)+g(t)=d\,</math>となる最小の時刻<math>t\,</math> で2 人は出会うことになる．同様に考えて，探索者I，II の初期位置がそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>\pm d\,</math> のときの2 人の期待再会時間は

<center>
<math>
T(f,g)= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{4} \left[ \min \left\{ t: f(t)=d+g(t) \right\} + \min \left\{ t: f(t)=d- g(t) \right\}
+ \min \left\{ t:f(t)= - d+g(t) \right\} + \min \left\{t:f(t)=-d -g(t) \right\} \right] d F(d)

\,</math>
</center>

となる．目的はasymmetric ランデブー値<math>R(F)\equiv \inf_{f,g\in L}T(f,g)\,</math> を求めること，またそれを与える戦略を見つけることである．確率分布<math>F\,</math> が有界で平均が<math>\lambda\,</math>，最大値が<math>D\,</math>，つまり<math>F(D)=1\,</math>であるとする．次のような戦略の組<math>(f^{*},g^{*})\,</math> を考える．<math>f^{*}\,</math> は初期位置から<math>D\,</math> だけ進み，その後折り返して<math>2D\,</math>だけ進む. <math>g^{*}\,</math>は <math>D/2\,</math>だけ進み，折り返して初期位置に戻る．次に任意の方向へ確率<math>1/2\,</math> で<math>D\,</math>だけ進み折り返して初期位置に戻る，というものである．すると<math>T(f^{*},g^{*})=(9D+4\lambda)/8\,</math>となりランデブー値<math>R(F)\,</math> の上界が得られる．特に，初期位置間の距離<math>d\,</math> が既知の場合は<math>d = D = \lambda\,</math> となり，ランデブー値は<math>13d/8\,</math> となる．このとき唯一の最適な戦略は上記<math>(f^{*},g^{*})\,</math> であることが知られている．

'''[直線上のランデブー探索：symmetric モデル]''' この場合は初期位置間の距離が既知であるような基本的なモデルであってもランデブー値の上界が得られているにすぎない．初期位置間の距離の分布<math>F\,</math> が有界であり最大値が<math>D\,</math> 平均が<math>\lambda\,</math> であるとする．2 人の探索者それぞれが速さ<math>1\,</math> で動き， <math>D/2\,</math> の整数倍の時刻のみに方向を変えるような戦略を次のように表現する．<math>\eta_1 F \eta_2 B \eta_3 F \eta_4 B \ldots\,</math>. これの意味は，まず <math>\eta_1 D/2\,</math>の間前進，<math>\eta_2 D/2\,</math> 後進，...．このような表現の戦略あるいはそれの組み合わせでしかもできるだけ期待再会時間を小さくするような特定の戦略を考えることが研究の現状である．例えば，<math>d = D = \lambda=2\,</math>とする． 2人が<math>1F2B\,</math>，つまり，まず確率<math>1/2\,</math> で進む向きを決め，その向きに<math>1 \times D/2 =1\,</math> だけ進み<math>2\,</math> だけ戻る．再び確率<math>1/2\,</math> で向きを決め，同じ行動を繰り返す．この戦略での期待再会時間は<math>5\,</math> になる．より複雑な戦略を考えることにより， <math>F\,</math>の最大値が<math>D\,</math>，平均が<math>\lambda\,</math> のとき現在得られている最小の上界は，<math>1.701D+0.5\lambda\,</math>である．特に，初期位置間の距離<math>d\,</math> が既知の場合は<math>d = D = \lambda\,</math> となり，ランデブー値の上界<math>2.201d\,</math> が得られる．

'''[ランデブー探索に同値な探索問題] '''　[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル] において，<math>F\,</math> が有限の平均をもつと仮定する． 2人の戦略<math>f,g\,</math> に対し，<math>x,y\,</math>を

<center>
<math>
x(t)=f(t)+g(t), ~~ y(t)=-f(t)+g(t), ~~ |x^{'}(t)| + |y^{'}(t)| \le 2
\,
</math>
</center>

と定義する．例えば2 人の最初の向きが<math> {I \atop \rightarrow} {II \atop \leftarrow} </math> の場合，時刻<math>s\,</math> までに2 人が出会えるのは<math>d \le \max_{0 \le t \le s} \left[ f(t)+g(t) \right] \,</math> となる場合で，その確率は，<math>F( \max_{0 \le t \le s} \left[f(t)+g(t) \right])\,</math>, つまり<math>F(\max_{0 \le t \le s}x(t))\,</math>である．他の3 つの場合も同様に考えて，結局2 人が時刻<math>s\,</math> までに出会う確率は

<center>
<math>
P_{f,g}(s)= \frac{1}{4} \left\{ F(\max_{0 \leq t \leq s} x(t))+F( \max_{0 \leq t \leq s} -x(t))+ F(\max_{0 \leq t \leq s} y(t))+F(\max_{0 \leq t \leq s} -y(t)) \right\}
\,
</math>
</center>

となる．一方，直線上のランデブー探索が次に述べる探索問題において戦略を上述の<math>x,y\,</math> としたものに同値であることが知られている．

　
　1 つの静止目標物が2 本の数直線<math>l_I, l_{II}\,</math>, のうちのいずれかに存在する．存在確率は<math>F\,</math> で与えられる．探索者I,II の初期位置はそれぞれ数直線,<math>l_I, l_{II}\,</math> の原点である．2 人の探索者は，合計の速さが<math>2\,</math> であるようにして数直線上を移動しながら目標物を探索する．2 人のうちの1 人が目標物を発見するまでの期待時間が最小になるような行動を求めよ．このとき，2 人のうちのどちらかが時刻<math>s\,</math> までに目標を発見する確率が<math>P_{f,g}(s)</math> で与えられる．

'''[3 人以上のランデブー探索]''' (i) 長さが<math>n\,</math> である円周上に等距離<math>1\,</math> だけ離れて<math>n\,</math> 人の探索者がいる．円周上には位置を特定できる目印はなく，また<math>n\,</math> 人のすべてにとって，どちらが時計回りかの共通の認識がない．<math>n\,</math> 人が円周上で一同に会すには探索者はどのように動けばよいか．この問題のランデブー値は漸近的に<math>n/2\,</math> であることが知られている．(ii) <math>n\,</math>人が数直線上の連続する整数点上に位置している．それぞれが確率<math>1/2\,</math> で自分の向きを決める．すべてが一同に会すことができることを確実にするのに必要な時間を最小にするにはどのように動けばよいか．この最小時間を<math>\min\max\,</math> ランデブー値という．これは漸近的に<math>n/2\,</math> に近づくこと，さらに<math>n=3\,</math> の場合は <math>\min\max\,</math>ランデブー値が<math>3.5\,</math> であることが知られている．

　ここで紹介したモデル以外にも，例えば探索領域が2 次元以上の場合のランデブー探索，ネットワーク（あるいはグラフ）上でのランデブー探索等について論文が散見されるが，多くの問題が残されており今後の研究が待たれる状況である．ここで紹介した分析を記述した原論文についての情報も含めて，詳しくは参考文献[1] を参照されたい．

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'''参考文献'''
[1] S. Alpern and S. Gal, ''The Theory of Search Games and Rendezvous'', Kluwer’s International Series, 2003.

[[category:探索理論|らんでぶーたんさく]]

《ランデブー探索》

2007-08-08T10:08:49Z

Bassy: 新しいページ: ''''【らんでぶーたんさく (rendezvous search)】''' 　夫と妻がデパートではぐれてしまったときのためにあらかじめ打ち合わせておくこ...'

'''【らんでぶーたんさく (rendezvous search)】'''

　夫と妻がデパートではぐれてしまったときのためにあらかじめ打ち合わせておくことにした．呼び出しサービスもなく，また２人のうち少なくとも一方が携帯電話を持っていないとしたとき２人ができるだけ早く遭遇するためにはどうしたらよいか．また，ハイカーがはぐれたときの用心のために移動方法を記したハンドブックを作成したい．再会するまでに要する時間が平均的に小さくなるような方法を求めよ．[[ランデブー探索]](rendezvous search) とは友好的な２人以上の探索者が早く遭遇するための方策を考える探索問題である．古くから文献で指摘されてきたが，ランデブー探索の数理的研究が盛んになったのは１９９０年前後以降である．探索者の行動領域が離散であるか連続であるか，またそれが有界であるかどうか，探索者がとり得る行動（戦略），探索者が得る情報，探索者の数，探索者の初期位置についての設定，その他によって種々のモデルが検討され研究が続けられている．ランデブー探索では探索者をplayer
と呼ぶことが多いが，一般にはランデブー探索はゲームではないことに注意すべきである．探索者が事前にお互いの役割について相談していない状況（上記ハイカーの例）を，すべての探索者が同じ戦略を用いるとしてモデル化し，この場合を(player-)symmetric という．一方探索者ごとに異なる戦略を用いることができるモデル（上記夫妻の例）をasymmetric という．他の条件が同じである場合，symmetric モデルの方がasymmetric モデルより数理的解析が困難である．探索者が2 人であるようなasymmetric モデルにおいて，探索者の一方は初期位置に留まって動かないような戦略に限定すると，他方による静止目標物の探索問題となる．探索者同士が探索領域についてどの程度の知識を共有しているか，（例えば，時計回り，方位等）もランデブー探索の重要な要素である．最小の期待再会時間をランデブー値（rendezvous value）と呼ぶ．

'''[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル]''' 2 人の探索者（探索者I，II）が数直線上に位置している．2 人は時刻<math>0\,</math> においてお互いの初期位置間の距離<math>d\,</math> の確率分布<math>F\,</math> を知っているが，自分が数直線上のどこにいるのかわからない．相手が自分のどちら側にいるのか，またどちら向きに進んでいるのかを知らない．それぞれが自分の最初の向きを前進だと考える．最初に進む向きの組み合わせは4 通りあり，それぞれが確率<math>1/4\,</math> で起こる，とする． 2人は速さ<math>1\,</math> で進むことができて，できるだけ早く遭遇することを望んでいる．2 人が同時刻に同じ点にいるとき出会うことができると仮定する．期待再会時間を最小にするには2 人は直線上をどのように動けばよいか．

　この問題において，それぞれの戦略は次の集合から選ばれる，とする．

<center>
<math>
L= \{ f:[0,\infty) \rightarrow (-\infty, \infty): ~ f(0)=0,~ |f(s) - f(t)| \leq |s - t| \} .\,
</math>
</center>

<math>f \in L \,</math>に対し，<math> f(t)\,</math>は時刻<math>t\,</math> において，初期位置に対する探索者の相対的な位置を表す関数である，ただし探索者の最初の向きを正とする．例えば，初期位置が<math>w\,</math> で最初の向きが左であって<math>f(t)=5\,</math> であったとする．探索者<math>t\,</math>の時刻での位置は<math>x-5\,</math> である．一方，最初の向きが右であって<math>f(t)=-5\,</math> であっても時刻<math>t\,</math> での位置はやはり<math>x-5\,</math> となる．一般に，初期位置が点<math>x\,</math> であり戦略<math>f\,</math> を選んだならば，時刻<math>t\,</math> での位置は確率<math>1/2\,</math> ずつで，<math>x \pm f(t)\,</math> となる． <math>L\,</math>の部分集合で，傾きが<math>\pm1\,</math>（離散点を除いて）となる<math>f\,</math> の全体は<math>L\,</math> 内でdense である．2 人の戦略をそれぞれ<math>f,g\,</math> とする．探索者I，II の初期位置をそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>d\,</math> とする．2 人の最初の向きが，探索者I は右，探索者II は左である，つまりとすれば， <math>f(t)+g(t)=d\,</math>となる最小の時刻<math>t\,</math> で2 人は出会うことになる．同様に考えて，探索者I，II の初期位置がそれぞれ点<math>0\,</math> および<math>\pm d\,</math> のときの2 人の期待再会時間は

<center>
<math>

T(f,g)=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4} \left[ \min \left\{ t: f(t)=d+g(t) \right\} + \min \left\{ t: f(t)=d- g(t) \right\}
+ \min \left\{ t:f(t)= - d+g(t) \right\} + \min \left\{t:f(t)=-d -g(t) \right\} \right] d F(d)
\,
</math>
</center>
となる．目的はasymmetric ランデブー値<math>R(F)\equiv \inf_{f,g\in L}T(f,g)\,</math> を求めること，またそれを与える戦略を見つけることである．確率分布<math>F\,</math> が有界で平均が<math>\lambda\,</math>，最大値が<math>D\,</math>，つまり<math>F(D)=1\,</math>であるとする．次のような戦略の組<math>(f^{*},g^{*})\,</math> を考える．<math>f^{*}\,</math> は初期位置から<math>D\,</math> だけ進み，その後折り返して<math>2D\,</math>だけ進む. <math>g^{*}\,</math>は <math>D/2\,</math>だけ進み，折り返して初期位置に戻る．次に任意の方向へ確率<math>1/2\,</math> で<math>D\,</math>だけ進み折り返して初期位置に戻る，というものである．すると<math>T(f^{*},g^{*})=(9D+4\lambda)/8\,</math>となりランデブー値<math>R(F)\,</math> の上界が得られる．特に，初期位置間の距離<math>d\,</math> が既知の場合は<math>d = D = \lambda\,</math> となり，ランデブー値は<math>13d/8\,</math> となる．このとき唯一の最適な戦略は上記<math>(f^{*},g^{*})\,</math> であることが知られている．

'''[直線上のランデブー探索：symmetric モデル]''' この場合は初期位置間の距離が既知であるような基本的なモデルであってもランデブー値の上界が得られているにすぎない．初期位置間の距離の分布が有界であり最大値が平均がであるとする．2 人の探索者それぞれが速さで動き，の整数倍の時刻のみに方向を変えるような戦略を次のように表現する．これの意味は，まずの間前進，後進，...．このような表現の戦略あるいはそれの組み合わせでしかもできるだけ期待再会時間を小さくするような特定の戦略を考えることが研究の現状である．例えば，とする．人が，つまり，まず確率で進む向きを決め，その向きにだけ進みだけ戻る．再び確率で向きを決め，同じ行動を繰り返す．この戦略での期待再会時間はになる．より複雑な戦略を考えることにより，の最大値が，平均がのとき現在得られている最小の上界は，である．特に，初期位置間の距離が既知の場合はとなり，ランデブー値の上界が得られる．

'''[ランデブー探索に同値な探索問題] '''　[直線上のランデブー探索：asymmetric モデル] において，が有限の平均をもつと仮定する．人の戦略に対し，を

と定義する．例えば2 人の最初の向きが

の場合，時刻までに2 人が出会えるのはとなる場合で，その確率は，つまりである．他の3 つの場合も同様に考えて，結局2 人が時刻までに出会う確率は

となる．一方，直線上のランデブー探索が次に述べる探索問題において戦略を上述のx, y としたものに同値であることが知られている．

1 つの静止目標物が2 本の数直線, のうちのいずれかに存在する．存在確率はで与えられる．探索者I,II の初期位置はそれぞれ数直線, の原点である．2 人の探索者は，合計の速さが2 であるようにして数直線上を移動しながら目標物を探索する．2 人のうちの1 人が目標物を発見するまでの期待時間が最小になるような行動を求めよ．このとき，2 人のうちのどちらかが時刻までに目標を発見する確率がで与えられる．

'''[3 人以上のランデブー探索]''' (i) 長さがである円周上に等距離だけ離れて人の探索者がいる．円周上には位置を特定できる目印はなく，また人のすべてにとって，どちらが時計回りかの共通の認識がない．人が円周上で一同に会すには探索者はどのように動けばよいか．この問題のランデブー値は漸近的にであることが知られている．(ii) 人が数直線上の連続する整数点上に位置している．それぞれが確率で自分の向きを決める．すべてが一同に会すことができることを確実にするのに必要な時間を最小にするにはどのように動けばよいか．この最小時間をランデブー値という．これは漸近的にに近づくこと，さらにの場合はランデブー値がであることが知られている．
ここで紹介したモデル以外にも，例えば探索領域が2 次元以上の場合のランデブー探索，ネットワーク（あるいはグラフ）上でのランデブー探索等について論文が散見されるが，多くの問題が残されており今後の研究が待たれる状況である．ここで紹介した分析を記述した原論文についての情報も含めて，詳しくは参考文献[1] を参照されたい．

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'''参考文献'''
[1] S. Alpern and S. Gal, ''The Theory of Search Games and Rendezvous'', Kluwer’s International Series, 2003.

[[category:探索理論|らんでぶーたんさく]]

《探索ゲーム》

2007-08-08T09:04:31Z

Bassy:

'''【たんさくげーむ (search game)】

　一般にゲームと呼ばれる問題を数理的に定義する場合，参加者はだれか（プレイヤー），それぞれのプレイヤーのとる手の全体は何か（戦略），戦略の組合せ毎に各プレイヤーにはどのような利益があるか（支払(payo.)，または利得(reward)）を与えることが標準的な要件である．探索理論(search theory) は，その直接の起源が第２次大戦中の米海軍による対潜水艦戦に関する軍事研究であったため，多くの探索モデルで扱われるのは敵対する二人の意思決定者である．その一方は探索者(searcher)，他方は目標物(target) または[[逃避者]](evader)と呼ばれる．探索者は目標物を見つけようとし，目標物は探索者による探知から逃れようとする．いくつかの例外はあるものの，探索ゲームにおけるプレイヤーはこれらの二人に設定される場合が多く，両プレイヤーの支払にゼロ和を仮定する２人ゼロ和(two-person zero-sum) ゲームの研究が大半である．オペレーションズ・リサーチのバイブルというべき著書「オペレーションズ・リサーチの方法(Methods of Operations Research[1])」には，海峡を通峡しようとする潜水艦とその阻止をねらう航空機による哨戒線の設定問題に関して，ゲーム理論を用いた記述がすでにある．

　探索問題が探索者側の最適戦略だけを求める最適化問題として研究された際には，まず静止目標物に対する最適探索が研究され，次に移動目標物に対する最適探索へと研究が移っていったが，探索ゲームに関する研究も，まず静止目標物と探索者との間の２人ゲームから始まり，移動目標物と探索者のゲームへと拡張されていった．前者のゲームを潜伏探索ゲーム(hide-and-search game)，あるいは[[隠れん坊ゲーム]](hide-and-seek game) と呼ぶ．すなわち，目標物は一度どこかに隠れると，隠れたまま移動しないモデルである．後者のゲームは逃避探索ゲーム(evasion-and-search game) と呼ばれる．探索ゲームのモデルを特徴付ける要素として，上述した目標物の静止，移動の区別の他，探索者の戦略が何かで分類すると便利である．捜索者側の最適探索だけを議論する問題では，手持ちの探索資源の探索空間内への配分の最適化が取り扱われることが多いが，探索ゲームにおける探索者の戦略としては，探索資源配分より，どの地点に移動して探索を行うかの移動戦略を採用する研究の方が圧倒的に多い．

　潜伏探索ゲームの初期のモデルでNorris[2] が行ったのは，目標物は有限個のボックスのどこに隠れるかを決め，探索者はどの順番でボックスを探索してゆくかを決めるゲームであるが，目標物の存在するボックスを探索しても見逃す確率がある中で，探知に至るまでの探索回数を支払とするものである．潜伏探索ゲームは，上記のようにボックスを探索空間としたモデルとして記述されることが多いが，その変形モデルとして，直線上でプレイされる[[直線探索ゲーム]](linear search game) と呼ばれるものがある．それは，直線上の一点を目標物は指定して潜伏し，探索者はある起点から右や左に連続的に移動しつつ探索し，目標物探知までの移動距離を競うゲームである．探索者の戦略が探索資源配分である潜伏探索ゲームでは，目標物は潜伏するボックスを選択し，探索者は一定総量の探索資源を分割して各ボックスでの探索に割り当てる．多くの探索資源が割り当てられるほど，そのボックスでの探知確率は大きくなるという仮定の下で，探知確率等を支払としてプレイされる[3]．ボックスに割り当てる探知資源をボックスを探索する回数とみて，離散的な資源を考えるゲームもあるが，最適化問題として捉える場合，このような離散変数の最適化は一般的に難しい．

　移動目標に対する逃避探索ゲームでは，ゲームの進行中に目標物及び探索者がともにその敵対者に関する情報を得ることがなければ，プレイヤーは自らの戦略を途中で変更する理由がないから，ゲームの初めに一度だけ戦略を決める１段階のゲームとなる．これに対し，ゲームのプレイ中に情報が得られる場合には，その情報を使って次の戦略を決める多段階のゲームとなり，これを[[逐次逃避探索ゲーム]](sequential evasion-and-search game) と呼ぶ．通常，目標物の戦略は各時点における移動位置を決めることであるが，その移動に制約を課すことが多い．探索者が目標物と同じく移動戦略をとる逃避探索ゲームは多く，１段階ゲームでは，各時点における両プレイヤーの位置関係に依存した支払を設定することが多い．多段ゲームである逐次逃避探索ゲームに関しては，目標物が探索者の現在の位置を知って次回の移動位置を決めるように設定された研究が多く，Washburn[4] は探索者，目標物が同じ移動位置を選んだ場合に探知が起こるとし，探知までの移動コストや探索コストの大小を競うゲームを論じている．逃避探索ゲームに関するユニークな拡張として，探索空間上での目標物や探索者の連続的な動きが微分方程式で記述される場合には制御理論を用いて分析することが多いが，それらのゲームは微分ゲーム(differential game) と呼ばれる分野に分類される．探索者の戦略が探索資源の配分である逃避探索ゲームは，時に[[探索配分ゲーム]](search allocation game)[5] と呼ばれることもあるが，移動戦略を探索者戦略とするゲームに比べるとその発表件数は少ない．１段階のゲームに関しては，目標物は自分の移動経路を１つ選択し，探索者は各時点で各位置に投入する探索資源量を決定するモデルが多い．探索配分ゲームの多段階ゲームモデルは皆無である．

　探索ゲームの主要なモデルに，両プレイヤーともに資源配分を行って競うゲームもある．その一例は，有限個の価値のある対象物に対し，一方のプレイヤーは発見ないし破壊を目的に自らの資源を個々の対象物に配分し，他のプレイヤーはそれを妨害ないし防御するために各対象物に資源を割り当てる．支払は，破壊される価値の量である．このゲームは，米国の開拓時代を舞台に，いくつかの砦を守る守備隊とそれらを攻めようとする攻撃側双方の兵力配分の均衡点を論じる物語に名を借りて，[[プロットー大佐のゲーム]](Colonel Blotto’s game) とも呼ばれるが，米ソ冷戦時代における弾道ミサイル配備の観点から論じられたこともある．このゲームでは，資源配分に時間的な経過を考慮するモデルにはあまり現実性がないため，資源配分計画を１度だけ決定する１段階ゲームとすることが多い[6]．

　以上で探索ゲームの主要なモデルについて述べたが，その他に分類される特筆すべき探索ゲームを以下で説明しよう．[[待ち伏せゲーム]](ambushing game) と呼ばれるゲームでは，探索者はある限られた区域の点上や線上で待ち伏せを行い，そこを通過する目標物を探知しようとするモデルである．例えば，探索者はある長さのロープを適当に切り離して待ち伏せ区域に設置し，目標物は区域内を通過するが，途中でロープに引っかかると探知されたと見なされる．この種の様々なモデルがRuckle[7] 等により研究されている．[[双探索ゲーム]](search-and-search game) では２人の探索者がプレイヤーであり，相手に先んじて目標物や相手を見つけようとするゲームである．また，潜伏探索ゲームの一種として２分探索的なゲームもある．そこでは，潜伏した目標物に対し，探索者には，自らの推理した潜伏地点の番号が真の潜伏地点番号より大きいか小さいかの質問が許される．支払は真の潜伏地点番号を言い当てるまでの質問回数である．目標物に嘘の回答が許されるケースもある．査察者と被査察者の参加する査察ゲームや税関と密輸者の間の取締ゲームはともに[[インスペクションゲーム]](inspection game)と呼ばれ，前者（後者）のゲームでは，非合法活動（密輸）により利益をあげようとする被査察者（密輸者）と，それを発見しようとする査察者（税関）がプレイヤーとなるが，支払はゼロ和でなく非ゼロ和とすることが多い．以上見
てきたようにほとんどの探索ゲームが非協力ゲームとして論じられており，また支払にゼロ和を仮定してプレイヤーの利害損得が正反対である問題設定をするモデルが多い．

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'''参考文献'''

[1] P. M. Morse and G. E. Kimball, ''Methods of Operations Research'', MIT Press, Cambridge, 1951.

[2] R. C. Norris, ''Studies in Search for a Conscious Evader'', MIT Technical Report No.279, 1962.

[3] J . C. Gittins, ”An Application of Control Theory to a Game of Hide and Seek,” ''International Journal of Control'', ''30''' (1979), 981-987.

[4] A. R. Washburn, “Search-Evasion Game in a Fixed Region,” ''Operations Research'', '''28''' (1980), 1290-1298.

[5] R. Hohzaki, “Search Allocation Game,” ''European Journal of Operational Research'', '''172''' (2006), 101-119.

[6] J. S. Croucher, “Application of the Fundamental Theorem of Game to an Example Concerning Antiballistic Missile Defence,” ''Naval Research Logistics Quarterly'', '''22''' (1975), 197-203.

[7] W. H. Ruckle, R. Fennell, R. Holmes, and C. Fennesmore, “Ambushing Random Walks I: Finite Models,” ''Operations Research'', '''24''' (1976), 314–324.

[[category:探索理論|たんさくげーむ]]

《移動目標物の最適探索》

2007-08-08T09:03:57Z

Bassy:

'''【いどうもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a moving target) 】'''

　自分の意志ではなく，一定のルールに従って存在位置が時間的に変化する目標物を移動目標物(moving target) といい，本項ではそういう目標物の探索を扱う．静止目標物の探索においては，目的関数が決定変数ごとに分離された和の形をとることが多く，解析が比較的容易となり，研究は基本モデルによる一般論から特殊モデルの解析へと，どちらかと言えば演繹的方向に進んだ．それに対し移動目標物探索問題では，目的関数が分離されていないため，解析は格段と困難になり，研究も遅れて始まり，単純・具体的なモデル解析の集積から一般理論の確立へと帰納的方向に進んだ．今日では移動目標物探索においても最適性に関する必要十分条件が確立され，静止目標物探索も含めて見晴らしの良い統一的視点をもつこととなった．ただその複雑さの故に必要十分条件から解析的に最適政策を導出することができず，逐次近似法としての政策改良法が提案されている．それは他の期の努力配分を固定した一期だけの努力再配分を各期について行い，その改善操作を要求精度を満たすまで繰り返すというものである．この結果今では計算機を用いて格段に多くの問題が解けるようになった．ただこれらのアルゴリズムは有限回の操作で終了する必要から，空間・時間がともに離散かつ有限個でなければならない．

　[[指数型探知関数]]の場合の移動目標物に対する基本探索モデルは次の通りである．探索空間は<math> n \,</math> 個の小領域より成り，探索期間として<math> T \,</math> 期間を考える．目標物の運動は探索者の行動とは独立であり，有限個の[[移動経路]](moving path) が考えられるものとする．移動経路は<math>\omega= (\omega_1 ,\cdots, \omega_T )\,</math> で表される. <math>\omega_i\,</math>は第<math> i \,</math> 期に目標物が存在する小領域である．移動経路の集合を<math>\Omega\,</math> とし，移動経路が<math>\omega\,</math> である確率を<math>p(\omega)\,</math> とする．第<math> i \,</math>期に投入可能な探索努力量は<math>m(i) \,</math>で，これは任意に細分可能とする．探索政策は<math>\phi =\left\{ \phi (k,i) \mid k=1,\cdots,n; i=1,\cdots,T \right\} \,</math> で表される．<math>\phi (k, i)\,</math>は第<math> i \,</math> 期に小領域<math> k \,</math> へ投入される努力量である．第<math> i \,</math> 期に目標物が小領域<math> k \,</math> に存在するとの条件のもとで，その期に努力量<math> z \,</math> を小領域<math> k \,</math> に投入して発見する確率を<math>1- \exp\left[-\lambda(k,i)z \right]\,</math> とする．ここに<math>\lambda(k,i)\,</math> は所与の正定数で，第<math> i \,</math> 期の小領域<math> k \,</math> における瞬間発見率(instantaneous detection rate) である．問題は<math> T \,</math> 期間での発見確率を最大にすることである．定式化すると，制約条件

<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\sum_{k=1}^{n} \phi(k,i) \leq m(i),~i=1,\cdots, T \\

\phi(k,i) \geq 0, ~k=1,\cdots, n;~i=1,\cdots, T
\end{array}
\,
</math>
</center>
のもとで、汎関数
<center>
<math>
P[\phi]= \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) \left[ 1- \exp ( - \sum_{i=1}^{T} \lambda(\omega_i,i) \phi(\omega_i,i) ) \right]

\,
</math>
</center>

を最大にする<math>\phi\,</math> を求めることである．Brown[1] によれば，政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，整数<math> \mu_1,\cdots, \mu_T \,</math>　が存在して
<center>
<math>
\left[ \frac{\partial P[\phi]}{\partial \phi(k,i)} \right]_{\phi=\phi^*}~ \left\{ {= \atop \leq} \right\} \mu_1 ~~~ if ~~ \phi^*(k,i) \left\{ {> \atop =} \right\} 0 ~~~( k=1,\cdots,n;~i=1,\cdots, T)
</math>
</center>
が成立することである．これは静止目標物探索におけるde Guenin ルールと同種のNeyman-Pearson lemma 型の条件式である．Brown はさらに，最適配分<math>\phi^{*}\,</math>の第<math> i \,</math> 期における配分<math>\phi^{*}(\cdot,i)\,</math> は，第<math> i \,</math> 期以外の全ての期を<math>\phi^{*}\,</math> に従って探索して発見できないとの条件のもとでの，目標物の第<math> i \,</math> 期における存在分布を事前分布とする静止目標物探索の最適政策になっていることを示した．これは発見確率最大化問題に関しては，移動目標物に対する最適探索が静止目標物に対する最適探索の多重構造になっていることを示すものである．Brown はこのことより一期ごとの努力再配分を繰り返していく政策改良法を提案している．Stromquist and Stone[8] は，一般探知関数の場合を含む，より一般的な汎関数最大化問題において，最適性の必要十分条件を得ているが，これは静止目標物探索を含めて，統一的視点を与えるものである．

　発見確率最大化以外の探索基準についても，いくつかの研究がある．Stone and Kadane[6] は，移動目標物に対する[[所在探索]](whereabouts search) の最適政策を求めることは，有限個の発見確率最大化問題を解くことに帰することを示した．Washburn[10] は，各期まで発見できない時こうむる損失を導入して期待損失最小化問題を考え，FAB(forward and backward) アルゴリズムと呼ばれる近似解法を提案しているが，このモデルには(1) 発見確率最大化，(2) 所在探索，(3) 生存目標物の発見確率最大化などの問題が含まれている．Tierney and Kadane[9] は，(1) ある特定の場所で発見する確率の最大化，(2) 累積期待利得の最大化，(3)[[監視問題]](surveillance problem：ランダムに出現する目標物の出現から発見までの期待時間の最小化) などを含む一般モデルを考察し，マルコフ戦略と呼ばれる政策が最適であるための必要十分条件を示し，近似解法を提案している．

　初期の研究で，具体的な移動目標物探索問題に初めて明解な解を与え，その後の研究に大きな刺激を与えたのがPollock[5] である．二つの小領域の間をマルコフ連鎖に従って移動している目標物に対し，期待探索回数最小化問題および有限回探索による発見率最大化問題を考察している．このPollock モデルを連続時間で考え，微分方程式モデルとして扱ったのがDobbie[2] である．

　移動目標物探索では，探索しないで目標物が発見し易い場所へ移動してくるのを「待つ」ことも意味がある．「待つ」費用が小さい時に，「待つ」ことの効果を示したのがNakai[4] である．

　未知パラメータ(たとえば目標物の初期位置や速度など) の値が決れば，目標物の移動経路が一意に確定するとき，この運動は[[条件付確定型]](conditionary deterministic) であるというが，Stone and Richardson[7] は，このような場合の発見確率最大化問題を解いている．ところで探索空間，探索努力量が共に連続の場合には，最適努力配分は密度関数として求められるが，広く薄く引き延ばされた配分を，厳密に実行することは通常困難である．そこでLukka[3] は条件付確定型移動目標物探索において，探索者の政策として実際の[[探索経路]](search path) を採用し，経路上に投入された探索努力の遠方にいる目標物の発見に与える影響を考慮して，発見確率最大化問題を解いている．以上のモデル以外にもさまざまな問題が考察されている．

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'''参考文献'''

[1] S. S. Brown, “Optimal Search for a Moving Target in Discrete Time and Space,” ''Operations Reserch'', '''28''' (1980), 1275-1289.

[2] J. M. Dobbie, “A Two-Cell Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''22''' (1974), 79-92.

[3] M. Lukka, “On the Optimal Searching Tracks for a Moving Target,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''32''' (1977), 126-132.

[4] T. Nakai, “A Search Model for a Moving Target in Which the Decision Wait Is Permitted,” ''Mathematica Japonica'', '''25''' (1980), 597-605.

[5] S. M. Pollock, “A Simple Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''18''' (1970), 883-903.

[6] L. D. Stone and J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''29''' (1981), 1154-1166.

[7] L. D. Stone and H. R. Richardson, “Search for Target with Conditionally Deterministic Motion,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''27''' (1974), 239-255.

[8] W. S. Stromquist and L. D. Stone, “Constrained Optimization of Functionals with Search Theory Applications,” ''Mathematics of Operations Research'', '''6''' (1981), 518-529.

[9] L. Tierney and J. B. Kadane, “Surveillance Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 720-738.

[10] A. R. Washburn, “Search for a Moving Target：The FAB Algorithm,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 739-751.

[[category:探索理論|いどうもくひょうぶつのさいてきたんさく]]

《静止目標物の最適探索》

2007-08-08T09:02:11Z

Bassy:

'''【せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a stationary target)】'''

　探索活動において重要な役割をはたすのは，探索活動の場としての[[探索空間]](search space)，探索活動の主体である[[探索者]](searcher)，探索の対象である[[目標物]](target)，探索のために利用可能な人・物・時間・費用などの[[探索努力]](searching effort)，それに探索活動の評価尺度としての[[探索基準]](search criterion) である．これら
がどのように設定されるかによって，さまざまな探索モデルが考えられる．本項では存在位置が不変である静止目標物(stationary target) を対象として，探索努力をいつ，どこへ，どれだけ配分すべきかを考える．この探索努力の配分方法を[[探索政策]](search policy) という．用いられる数学的手法としては，探索空間が連続空間なら目的関数が汎関数となり変分法が用いられ，離散空間なら多変数最適化問題となり数理計画法，それも一段階探索なら非線形計画法，多段階探索なら動的計画法が多く用いられる．探索努力の離散性を重視するなら，整数計画問題となり分枝限定法などが用いられる．

　基本的な探索努力配分問題は，以下のような発見確率最大化問題(これを[探知探索])(detection search) という) である．静止目標物が一個，探索空間(ユークリッド空間) <math>X\,</math>内の一点に存在する．探索者は事前知識として，目標物は<math>X\,</math> 上の密度関数<math>p(x)\,</math>に従って選ばれた一点に存在していると思っている．目標物が点<math>x (\in X)\,</math>に存在するとき，そこに探索努力<math>z\,</math> を投入して発見する条件付確率<math>b(x,z)\,</math>が与えられており，これを[[探知関数]](detection function) という．問題は任意分割可能な探索努力量<math>E\,</math>を投入して，目標物を発見する確率を最大にするには，各点にいくらの探索努力を投入すべきか，というものである．探索政策は努力配分密度<math>\phi= \left\{ \phi(x) \mid x \in X \right\} \,</math> で表され，問題は制約条件

<center>
<math>
\int_{X}\phi(x)\; \mbox{d}x = E, \ \ \ \phi \ge 0, \ \ \ x \in X
\,
</math>
</center>

のもとで，発見確率<math>P\left[ \phi \right] = \int_{X}p(x)b \left[ x, \phi(x) \right]dx \,</math> を最大にする関数 <math>\phi \,</math>を求めよ，という変分問題になる．このモデルは最初Koopman[7] が[[指数型探知関数]](exponential detection function) の場合を解いたので，[[クープマン問題]] (Koopman problem)とも呼ばれている．de Guenin[3] によれば，がある緩かな正則条件を満たすとき，探索政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，正定数<math>\lambda\,</math> が存在して

<center>
<math>
p(x) b'[x,\phi^*(x)] \left\{ {= \atop \leq} \right\} \lambda~~~~if ~~ \phi^*(x) \left\{ {> \atop =} \right\} 0
\,
</math>
</center>
が成立することである．ここに<math>b^{'} \left[x,z \right] \,</math> は<math>z \,</math> に関する偏微分である．これは統計学におけるNeyman-Pearson lemma 型の条件式で，最適政策<math>\phi^{*}\,</math> は投入前の限界発見率(marginal detection rate)<math>p(x)b^{'} \left[x, \phi^{*}(x) \right] \,</math> がある水準<math>\lambda\,</math> (<math>\lambda\,</math> は制約条件を満たすように決定される) 以上の場所に努力を投入すべきであり，その投入量は投入後の限界発見率] が水準にそろうように決定されるべきである，ことを示している．これから解析解が具体的に求められる．さらに[[最適努力配分の加法性]] (the additively of optimal effort allocation)，すなわち「探索努力<math>E\,</math> を任意に<math>E_1 + E_2\,</math> に分割したとき，<math>E\,</math> の最適配分は <math>E_1\,</math>の最適配分と <math>E_2\,</math>の最適配分で発見できなかったとの条件のもとでの<math>E_2\,</math> の最適配分との和である」が示され，最適逐次投入と最適一括投入は同じ結果になることが分る．任意努力量に対して発見確率を最大にする政策を[[一様最適探索政策]](uniformly optimal search policy)というが，これは目標物発見までに要する[[期待努力量の最小化]](minimization of the expected effort) に対しても最適であることが，Dobbie[4] によって示されている．
探索空間が有限個の小領域から成り，各小領域を一回探索するために必要な努力量が決っている場合を考えると，探知探索では基本的にde Guenin のルールが成立する．一方発見までの期待努力量最小化問題は動的計画法で定式化され，各回で目標物の存在分布を改訂した上で，単位努力量当りの発見確率を最大にする小領域を探索するような最適政策の存在が知られている．

　探索基準としては，発見確率最大化，期待努力量最小化以外にも，たとえば投入費用から発見時の利得を差し引いた[[期待リスクの最小化]](minimization of the expected risk)，探索終了後に目標物の所在を正しく言い当てる確率を最大化する[[所在探索]](whereabouts search)，目標物の位置に関して得られる期待情報量を最大化する[[情報探索]] (information search) などが知られている．所在探索については，最後に所在地として指示する小領域は探索せず，他の小領域を探知探索における最適政策に従って探索するのが最適であることが，Kadane[6] によって示されている．また指数型探知関数の場合，探知探索の最適政策が目標物の事後存在分布のエントロピーを最大にすること，逆にこのような性質を持つ探知関数は指数型に限ることが，Barker[1] によって示されている．

　以上概観したように，静止目標物探索に関する基本的なモデルはほぼ解析されているが，探索活動の特殊性を考慮すると，さまざまなモデルが考えられる．
主なものを列挙してみよう．

(1) 考えている探索空間に目標物が存在しない可能性があるとか，発見時の利得が探索費用より小さい場合には，[[探索の最適停止]](optimal stop of search)が必要となる．前者についてはChew[2] が，後者についてはRoss[8] が，離散モデルにおけるこの種の問題を動的計画問題に定式化し，いくつかの重要な結果を得ている．

(2) 遭難者探索のように，[[寿命のある目標物]](target with lifetime) に対する探索では，目標物が長く生存できない場所は，たとえ探索効率が多少悪くても早く探索すべきである．Stone[9] はこのような場合の発見確率最大化問題を変分法で解いている．

(3) 目標物が複数個存在する場合については，それらが同質で同じ事前存在分布をもつ場合や，異質な目標物を想定する場合，あるいは目標物の個数が未知で確率変数と考えられる場合，さらには目標物を少なくとも一個発見したい場合，全ての目標物を発見したい場合などが解析されている．

(4) 偽目標物が存在する場合には，目標物らしきものと遭遇すれば探索を中断し，その目標物の真・偽を鑑定の上，偽なら除去して探索を再開する，といった探索と識別の[[二段階探索]](2-stage search) を行う．Stone and Stanshine[11]は，探索努力配分問題および識別をいつ打ち切って探索に復帰すべきかという問題を解析している．

(5) 探索場所を変更する際に[[切り換え費用]](switching cost) が必要とすると，一
般の場合の解析は極めて困難となり，得られている結果は完全発見(perfect detection：目標物の存在する場所を探索する場合，確率1 で発見する) の場合など特別なケースに限られている．

　その他にも，探知関数が時間的に変化する場合，利用可能な努力を探知関数の改善にも使う場合，目標物がランダムに出現し消滅する場合，二分法探索(dichotomous search) など，さまざまなタイプのモデルが解析されている．文献案内としてはDobbie[5]，成書としてはStone[10] を挙げておく．

----
'''参考文献'''

[1] W. H. Barker, “Information Theory and Optimal Detection Search,” ''Operations Reserch''，'''25''' (1977)，304-314.

[2] M. C. Chew Jr., “Optimal Stopping in a Discrete Search Problem,” ''Operation Research'' '''21''' (1973), 741-747.

[3] J. deGuenin, “Optimum Distribution of Effort：An Extension of the Koopman Basic Theory,” ''Operation Research'', '''9''' (1961), 1-7

[4] J. M. Dobbie, “Search Theory：A Sequential Approach,” ''Naval Research Logistic Quarterly'', '''10''' (1963), 323 334.

[5] J. M. Dobbie, “A Survey of Search Theory,” ''Operations Research'', '''16''' (1968), 525-537.

[6] J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search,” ''Operation Research'', '''19'''(1971), 894-904.

[7] B. O. Koopman, “The Theory of Search. The Optimum Distribution of Searching Effort,” ''Operation Research'', '''5''' (1957), 613-626.

[8] S. M. Ross, “A Problem in Optimal Search and Stop,” ''Operation Research'', '''17''' (1969), 984-992.

[9] L. D. Stone, “Necessary and Su.cient Conditions for Optimal Solutions to a Survivor Search Problem,” ''Mathematical Programming Study'' '''6''' (1976), 227-245.

[10] L. D. Stone, ''Theory of Optimal Search'', Academic Press, 1975.

[11] L. D. Stone and J. A. Stanshine, “Optimal Search Using Uninterrupted Contact Investigation,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''20''' (1971), 241-263.

[[category:探索理論|せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく]]

《静止目標物の最適探索》

2007-08-08T09:00:47Z

Bassy:

'''【せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a stationary target)】'''

探索活動において重要な役割をはたすのは，探索活動の場としての[[探索空間]](search space)，探索活動の主体である[[探索者]](searcher)，探索の対象である[[目標物]](target)，探索のために利用可能な人・物・時間・費用などの[[探索努力]](searching effort)，それに探索活動の評価尺度としての[[探索基準]](search criterion) である．これら
がどのように設定されるかによって，さまざまな探索モデルが考えられる．本項では存在位置が不変である静止目標物(stationary target) を対象として，探索努力をいつ，どこへ，どれだけ配分すべきかを考える．この探索努力の配分方法を[[探索政策]](search policy) という．用いられる数学的手法としては，探索空間が連続空間なら目的関数が汎関数となり変分法が用いられ，離散空間なら多変数最適化問題となり数理計画法，それも一段階探索なら非線形計画法，多段階探索なら動的計画法が多く用いられる．探索努力の離散性を重視するなら，整数計画問題となり分枝限定法などが用いられる．

基本的な探索努力配分問題は，以下のような発見確率最大化問題(これを[探知探索])(detection search) という) である．静止目標物が一個，探索空間(ユークリッド空間) <math>X\,</math>内の一点に存在する．探索者は事前知識として，目標物は<math>X\,</math> 上の密度関数<math>p(x)\,</math>に従って選ばれた一点に存在していると思っている．目標物が点<math>x (\in X)\,</math>に存在するとき，そこに探索努力<math>z\,</math> を投入して発見する条件付確率<math>b(x,z)\,</math>が与えられており，これを[[探知関数]](detection function) という．問題は任意分割可能な探索努力量<math>E\,</math>を投入して，目標物を発見する確率を最大にするには，各点にいくらの探索努力を投入すべきか，というものである．探索政策は努力配分密度<math>\phi= \left\{ \phi(x) \mid x \in X \right\} \,</math> で表され，問題は制約条件

<center>
<math>
\int_{X}\phi(x)\; \mbox{d}x = E, \ \ \ \phi \ge 0, \ \ \ x \in X
\,
</math>
</center>

のもとで，発見確率<math>P\left[ \phi \right] = \int_{X}p(x)b \left[ x, \phi(x) \right]dx \,</math> を最大にする関数 <math>\phi \,</math>を求めよ，という変分問題になる．このモデルは最初Koopman[7] が[[指数型探知関数]](exponential detection function) の場合を解いたので，[[クープマン問題]] (Koopman problem)とも呼ばれている．de Guenin[3] によれば，がある緩かな正則条件を満たすとき，探索政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，正定数<math>\lambda\,</math> が存在して

<center>
<math>
p(x) b'[x,\phi^*(x)] \left\{ {= \atop \leq} \right\} \lambda~~~~if ~~ \phi^*(x) \left\{ {> \atop =} \right\} 0
\,
</math>
</center>
が成立することである．ここに<math>b^{'} \left[x,z \right] \,</math> は<math>z \,</math> に関する偏微分である．これは統計学におけるNeyman-Pearson lemma 型の条件式で，最適政策<math>\phi^{*}\,</math> は投入前の限界発見率(marginal detection rate)<math>p(x)b^{'} \left[x, \phi^{*}(x) \right] \,</math> がある水準<math>\lambda\,</math> (<math>\lambda\,</math> は制約条件を満たすように決定される) 以上の場所に努力を投入すべきであり，その投入量は投入後の限界発見率] が水準にそろうように決定されるべきである，ことを示している．これから解析解が具体的に求められる．さらに[[最適努力配分の加法性]] (the additively of optimal effort allocation)，すなわち「探索努力<math>E\,</math> を任意に<math>E_1 + E_2\,</math> に分割したとき，<math>E\,</math> の最適配分は <math>E_1\,</math>の最適配分と <math>E_2\,</math>の最適配分で発見できなかったとの条件のもとでの<math>E_2\,</math> の最適配分との和である」が示され，最適逐次投入と最適一括投入は同じ結果になることが分る．任意努力量に対して発見確率を最大にする政策を[[一様最適探索政策]](uniformly optimal search policy)というが，これは目標物発見までに要する[[期待努力量の最小化]](minimization of the expected effort) に対しても最適であることが，Dobbie[4] によって示されている．
探索空間が有限個の小領域から成り，各小領域を一回探索するために必要な努力量が決っている場合を考えると，探知探索では基本的にde Guenin のルールが成立する．一方発見までの期待努力量最小化問題は動的計画法で定式化され，各回で目標物の存在分布を改訂した上で，単位努力量当りの発見確率を最大にする小領域を探索するような最適政策の存在が知られている．

探索基準としては，発見確率最大化，期待努力量最小化以外にも，たとえば投入費用から発見時の利得を差し引いた[[期待リスクの最小化]](minimization of the expected risk)，探索終了後に目標物の所在を正しく言い当てる確率を最大化する[[所在探索]](whereabouts search)，目標物の位置に関して得られる期待情報量を最大化する[[情報探索]] (information search) などが知られている．所在探索については，最後に所在地として指示する小領域は探索せず，他の小領域を探知探索における最適政策に従って探索するのが最適であることが，Kadane[6] によって示されている．また指数型探知関数の場合，探知探索の最適政策が目標物の事後存在分布のエントロピーを最大にすること，逆にこのような性質を持つ探知関数は指数型に限ることが，Barker[1] によって示されている．

以上概観したように，静止目標物探索に関する基本的なモデルはほぼ解析されているが，探索活動の特殊性を考慮すると，さまざまなモデルが考えられる．
主なものを列挙してみよう．

(1) 考えている探索空間に目標物が存在しない可能性があるとか，発見時の利得が探索費用より小さい場合には，[[探索の最適停止]](optimal stop of search)が必要となる．前者についてはChew[2] が，後者についてはRoss[8] が，離散モデルにおけるこの種の問題を動的計画問題に定式化し，いくつかの重要な結果を得ている．

(2) 遭難者探索のように，[[寿命のある目標物]](target with lifetime) に対する探索では，目標物が長く生存できない場所は，たとえ探索効率が多少悪くても早く探索すべきである．Stone[9] はこのような場合の発見確率最大化問題を変分法で解いている．

(3) 目標物が複数個存在する場合については，それらが同質で同じ事前存在分布をもつ場合や，異質な目標物を想定する場合，あるいは目標物の個数が未知で確率変数と考えられる場合，さらには目標物を少なくとも一個発見したい場合，全ての目標物を発見したい場合などが解析されている．

(4) 偽目標物が存在する場合には，目標物らしきものと遭遇すれば探索を中断し，その目標物の真・偽を鑑定の上，偽なら除去して探索を再開する，といった探索と識別の[[二段階探索]](2-stage search) を行う．Stone and Stanshine[11]は，探索努力配分問題および識別をいつ打ち切って探索に復帰すべきかという問題を解析している．

(5) 探索場所を変更する際に[[切り換え費用]](switching cost) が必要とすると，一
般の場合の解析は極めて困難となり，得られている結果は完全発見(perfect detection：目標物の存在する場所を探索する場合，確率1 で発見する) の場合など特別なケースに限られている．

その他にも，探知関数が時間的に変化する場合，利用可能な努力を探知関数の改善にも使う場合，目標物がランダムに出現し消滅する場合，二分法探索(dichotomous search) など，さまざまなタイプのモデルが解析されている．文献案内としてはDobbie[5]，成書としてはStone[10] を挙げておく．

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‘’’参考文献’’’

[1] W. H. Barker, “Information Theory and Optimal Detection Search,” ''Operations Reserch''，'''25''' (1977)，304-314.

[2] M. C. Chew Jr., “Optimal Stopping in a Discrete Search Problem,” ''Operation Research'' '''21''' (1973), 741-747.

[3] J. deGuenin, “Optimum Distribution of Effort：An Extension of the Koopman Basic Theory,” ''Operation Research'', '''9''' (1961), 1-7

[4] J. M. Dobbie, “Search Theory：A Sequential Approach,” ''Naval Research Logistic Quarterly'', '''10''' (1963), 323 334.

[5] J. M. Dobbie, “A Survey of Search Theory,” ''Operations Research'', '''16''' (1968), 525-537.

[6] J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search,” ''Operation Research'', '''19'''(1971), 894-904.

[7] B. O. Koopman, “The Theory of Search. The Optimum Distribution of Searching Effort,” ''Operation Research'', '''5''' (1957), 613-626.

[8] S. M. Ross, “A Problem in Optimal Search and Stop,” ''Operation Research'', '''17''' (1969), 984-992.

[9] L. D. Stone, “Necessary and Su.cient Conditions for Optimal Solutions to a Survivor Search Problem,” ''Mathematical Programming Study'' '''6''' (1976), 227-245.

[10] L. D. Stone, ''Theory of Optimal Search'', Academic Press, 1975.

[11] L. D. Stone and J. A. Stanshine, “Optimal Search Using Uninterrupted Contact Investigation,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''20''' (1971), 241-263.

[[category:探索理論|せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく]]

《目標存在分布の推定》

2007-08-08T09:00:03Z

Bassy:

'''【もくひょうそんざいぶんぷのすいてい (estimation of existence distribution of target)】'''

　対象とする目標物の位置を確定的に求めることが探索行動の基本的な目的であるが, 探索が開始される時点でどの程度目標物の位置が明らかになっているかは, 探索を開始させる動機となるばかりでなく, 探索のやり方そのものを左右する最も重要な要因である. 最初にもたらされる目標物の位置情報は[[デイタム情報]] (datum information) と呼ばれ, それに含まれる目標物の位置情報を[[デイタム点]] (datum point), それが得られた時刻情報を[[デイタム時刻]] (datum time) と呼ぶ. 通常, デイタム情報が探索者に探索を開始させる動機となるが, 情報の信頼性はそれぞれ異なり, 仮に確実度の高い情報であっても, 探索を開始するまでに時間が経過すれば, 探索開始時には目標の存在可能領域も広がってしまう. 通常, 確定的には知られていない目標物の位置は確率的に取り扱われ, [[目標存在分布]] (existence distribution of target) 又は単に[[目標分布]]と呼ばれる. 探索開始時と同様, 探索の途中で, また終了時点で目標物の存在確率がどのようになっているかについても, それを評価することができなければ探索結果を反映させることができず, 効率的な探索を実施することはおぼつかない. ここでは, 目標物の存在確率を推定するための手法を, (1)静止した目標物(静止目標物)に対する推定, (2)移動する目標物 (移動目標物) に対する推定, (3)探索実施後の事後存在確率の推定の3つの項目に関して述べる.

　デイタム点は探索空間の1点の座標で与えられ, その点に静止目標物が存在する確率は高く, その点から離れれば離れるほど存在確率が低くなると考えるのが妥当である. そこで, 静止目標物の存在確率密度として, デイタム情報の確実度に応じて分散の異なる正規分布を仮定することが多い. 船の航海法や天測航法等では, 目標の位置情報として方位線 (position line) 情報しか得られない場合もあり, その時の存在確率の推定問題は[[方位線による目標位置決め問題]] (target position finding problem by position lines) として知られている [1].

　移動目標物に対する存在確率の推定は, 目標物の初期の存在分布と移動法則を知ることにより, ある時間経過後の存在分布は定式化できるが, 解析的な式や近似式等といった理論的に有益な表現として存在確率分布が得られる結果は, 簡単な法則に従った針路・速力により拡散的に移動する拡散目標物の確率分布([[拡散目標分布]] (existence distribution of diffusive target) と呼ばれる.) の研究に多い [2]. 具体的なモデルとしては, 目標物の初期位置が確定している場合や初期存在確率が正規分布をもつ場合, 直進又は針路・速力を変化させる目標物の速力が {確定, 一様分布, レイリー分布, 三角速度分布} で, 針路の選択が {確定, 全周一様分布} の場合, 針路を変えるまでの直進時間が｛一定, 一様分布, 三角速度分布, ガンマ分布, 指数分布} の場合の組み合わせたものが主として研究されている [3]. [[三角速度分布]] (triangle distribution of velocity) はより大きな速力をより高い確率で選ぶ分布であり, 2次元平面上ではどの時刻においても存在確率を一様にする分布として, 特にその存在を秘匿したい目標物にとっては重要である. デイタム時刻からあまり時間経過がない時点での目標物の存在確率を評価する上では, 直進拡散目標物を仮定することに妥当性はあるが, 十分な時間経過後の存在確率をランダム運動を仮定して議論する研究も多い [4]. この運動における針路変更はランダムであるものの, その間の運動は直進運動であり, 直進時間と直進中にとる速力にある確率分布を仮定するほか, 目標物の初期存在分布に正規分布等を仮定して, ある時間経過後の目標物の存在確率を評価しようとするのがこの研究である.

　さて, 例えば, ある地点を十分探索したにもかかわらず目標物を探知できなかったという事実があれば, 我々は「そこにはもともと目標物がいた確率は低い.」と判断するであろう. このように, 実施した探索や探知事象の結果を加味して初期に推定した目標物の存在分布を再評価したものを目標物の[[事後目標分布]] (posterior existence distribution of target)と呼ぶが, この数学的な基礎を与えるのがベーズの定理による条件付き確率である. <math>A\, </math>という事象が生起する確率を <math>\mbox{Pr}(A),B\, </math> という事象が生起したという条件の下での <math>A\, </math> という事象が生起する条件付き確率を <math>\mbox{Pr}(A|B)\, </math> と表せば, <math>\mbox{Pr}(A|B)\, </math> は

<center>
<math>
\Pr (A|B)= \Pr (A \, </math> かつ <math> B)/ \Pr (B)
\, </math>
</center>

により計算できる. この事象<math>A, B\, </math>を適切に設定することにより, 初期に推定した目標物の存在確率の再評価が可能となる. 例えば, <math>B\, </math>の事象として, 「探索を実施したが目標物を探知しなかった」, 「センサーに真でない虚探知が得られた」等々をとることにより, さまざまな探索様相に対応した存在確率の再評価が可能である. もちろん, その際に <math>\mbox{Pr}(B)\, </math> や <math>\mbox{Pr}(A\, </math> かつ <math>B)\, </math> が計算できるためには, 探索の実施と探知確率を関連づける評価式やセンサーにおける虚探知発生の評価式がわかっている必要があり, これらは探索理論の他の分野において研究されてきた成果を活用しなければならない.

　目標物の存在に関するもっと複雑な推定に尤度を応用した手法として, [[重み付けシナリオ法 (探索における)|重み付けシナリオ法]] (weighted scenario method)がある. 目標物の移動に関する総合的な推定を目標物の移動シナリオと呼ぶが, 初期時点でいくつかの移動シナリオを想定し, それぞれの確信度として重みをつけておく. この重みを, その後に起こった探知事象や探索経過を加味し, 事後確率の考え方を用いて補正してゆくのがこの手法である. 以上述べた手法が適用され成功した探索活動とみなされている有名な事例が, 米海軍原子力潜水艦スコーピオン号の救難捜索である[5].

　目標物の存在を単なる確率以上に詳細に表現しようとするならば, 「目標物はいくつ存在するか？」や「目標物はどんなタイプなの
か？」等々の質問に答える探知情報やそれらに関する情報処理技法が必要となる. すなわち, 単に目標の存在のみを認識するセンサーから, 存在の特徴までも何らかの形で認識できるセンサーや, 通常は時系列データとして得られるこれら複数の探知情報を結合したり分離させる[[データ結合]] (data association) に関する情報処理が要求される.

　救難捜索等に代表される探索では, 単位時間当たりに得られるデータ量 (データレート) はそれほど多くなく, かつ断片的で特徴のない情報であるケースが多い. だからこそ, ここで紹介した目標存在分布の推定やデータ結合等の善し悪しが探索の成果を大きく左右することになるといえる.

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'''参考文献'''

[1] H. E. Daniels, "The Theory of Position Finding," ''Journal of the Royal Statistical Society, Series B'', '''13''' (1951), 186-207.

[2] B. O. Koopman, "The Theory of Search I: Kinematic Bases," ''Operations Research'', '''4''' (1956), 324-346.

[3] 飯田耕司, 宝崎隆祐, 『捜索理論－捜索オペレーションの数理－』, 三恵社, 2003.

[4]A. R. Washburn, "Probability Density of a Moving Particle," ''Operations Research'', '''17''' (1969), 861-871.

[5] H. R. Richardson and L. D. Stone, "Operations Analysis During the Underwater Search for Scorpion," ''Naval Research Logistics Quarterly'', '''18''' (1971), 141-157.

[[category:探索理論|もくひょうそんざいぶんぷのすいてい]]

《センサーの探知論》

2007-08-08T08:59:07Z

Bassy:

'''【せんさーのたんちろん(detection theory of sensor)】'''

　探索者は[[センサー]]によって目標物の存在を検出するが, [[探索理論]]が扱う[[探知探索]]では, 目標物の位置情報(方位及び/又は距離)を与えるセンサーが用いられる. センサーには見逃し(第1種の過誤)と[[虚探知]] (第2種の過誤)が避けられないが, [[センサーの探知論]]では主に前者を問題にする.

　目標物,環境,センサーの条件が決まればセンサーの探知能力が定まるが, センサーから同一距離にある目標物でも, 信号の短周期の変動や人間の見逃しのために探知は確率現象となる. ゆえにセンサーの瞬間的な探知能力は[[距離対探知確率曲線]] (detection probability vs. range curve) <math>b(r)\, </math> で表わされる. 通常,目標物の近傍では目標信号が強いので探知確率は高く, 遠方では低下する. またセンサーによる目標空間の走査は, 時間的に連続的な場合と離散的な場合があり, それによって探知確率 <math>b(r)\, </math> の表現が異なる. 即ち連続的な場合は探知確率密度(瞬間探知率), 離散的な場合は1回のべっ見の探知確率(べっ見探知確率) で表わされる. センサーの距離対探知確率はこれらの総称である. また距離対探知確率関数を[[発見法則]](detection law)と呼ぶことがある. [[定距離発見法則]] [1] は, 探知レンジ <math>R\, </math> 以内では確率 <math>p_0\, </math> で探知し (<math>p_0 = 1\, </math>(完全定距離法則), <math>p_0<1\, </math> (不完全定距離法則)), <math>R\, </math> 外では探知しない場合を言い, また [[逆n乗発見法則]](inverse <math>n\, </math>th power detection law) [2] は, <math>b(r)\Delta t=(k/r)^n \Delta t\, </math> で与えられる場合を言う. 目視探索ではこの式の <math>n = 3\, </math> の場合[[逆3乗法則]] (inverse cube detection law) が現実に良く合うと言われている. ただし発見法則という術語は, マクロな探索努力配分問題では目標空間上のある地点に目標物がいるとき, この点の探索努力量と目標探知確率の関係を指す言葉として使われることもある. またセンサーの[[有効探知距離]](effective detection range) とは, 上述の距離対探知確率曲線下の面積である. ただし長レンジのセンサーでは, 目標空間の期待探索面積と等しい面積をもつ定距離センサーの探知レンジ <math>R\, </math> で有効探知距離を定義する場合がある.

　上述した距離対探知確率及び有効探知距離は, センサーと目標物の距離が <math>r\, </math> のときの瞬間的な探知能力であるが, 通常の探索では目標物や探索者は動き廻り相対距離は時々刻々変化する. 2次元空間で探索者から見た時点 <math>t\, </math> の目標位置を <math>(x(t),y(t))\, </math>, センサーの発見法則を <math>b(r), (r\, </math>は相対距離 <math>)\,</math> とすれば, 相対径路 <math>C = \left\{ { (x(t),y(t)),t_1 \leq t \leq t_n }\ \right\}\, </math> 上を動く目標物の探知確率 <math>P(C)\, </math> は, 各時点の探知の独立性を仮定すれば次式で表される.

<center>
<table><tr><td><math>
P(C) \, </math></td>
<td><math>= 1 - \exp \left( \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b
\left( \sqrt{ x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right) \right\} \right),
\, </math>離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= 1 - \exp \left(- \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{ x(t)^2+y(t)^2} \right)
{\mbox{d}}t \right),
\, </math>連続時間探索</td></table>
</center>

上式の指数のべきを[[探知ポテンシャル]](sighting potential) <math>F(C)\, </math> という.

<center>
<table><tr><td><math>
F(C) \, </math></td>
<td><math>= - \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b \left( \sqrt{x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right)
\right\},
\, </math>　離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \right) {\mbox{d}}t,
\, </math>　連続時間探索</td></table>
</center>

　従って走査の連続性に関係なく, <math>P(C) =1- \exp (- F(C))\, </math> と書くことができる. また相対径路 <math>C\, </math> が <math>C_1,C_2\, </math> からなる場合, 上式から <math>F(C)=F(C_1)+F(C_2)\, </math> となり, 探知ポテンシャルは加法性が成り立つ. これを用いて多数の折線からなる径路上の探知や,複数の探索者による総合的な目標探知確率が求められる.

　通常, センサーの探知可能距離は探索径路長に比して小さく, また目標物と探索者の変針変速は頻繁ではない. ゆえに1回の遭遇の有効(探知可能)な相対径路を直線と見なし, 横距離(最近接点距離) <math>x\, </math> を通る(無限)直線径路上を相対速度 <math>w\, </math> で通過する目標物を考え, その目標物に対する探知確率 <math>PL(x)\, </math> を[[横距離探知確率曲線|横距離探知確率又は横距離曲線]](lateral range curve)と呼ぶ. また横距離曲線下の面積(図形の尺度係数)を[[有効探索幅]](effective sweep width)という.

　長レンジのセンサーでは1回の有効な遭遇径路が長いので, 目標物や探索者の変針変速やセンサーの寿命切れ, 探索条件の時間変化等のために横距離曲線は適用できない. その場合は目標物の1回の暴露状態(目標条件やその継続時間,針路,速度等)を定義し, 相対距離 <math>r\, </math> の点で暴露状態をとる目標物に対する[[暴露目標探知確率]](exposure detection probability) <math>P(r)\, </math> を考える. またこのときの有効探索幅は <math>P(r)\, </math> に対する完全定距離法則換算の有効探知距離で表す. 前述の距離対探知確率や有効探知距離が瞬間的な探知能力を表すのに対して, 横距離探知確率や有効探索幅, 暴露目標探知確率は,1回の遭遇のセンサー探知能力を示す.

　上述のセンサー探知能力は, 探索の場では必ずしも探索者の探索能力を表さない. 同一センサーを搭載した高速と低速のビークルでは, 高速のビークルの方が探索能力が大きいからである. このように探索者の運動力を考慮した探索システムの能力を示す尺度として, [[有効探索率]](effective sweep rate)が用いられる. この量は探索者が単位時間に目標空間を走査する期待面積で定義される.

　これまではセンサー及び探索システムの能力の定量的表現を述べたが, 探索の濃密さを表す尺度として, [[カバレッジファクター]](coverage factor)が用いられる. この量は探索期間中の目標空間内の延べ探索面積の期待値を, 目標存在領域の面積で除した値で定義される. 即ち目標存在領域を重複なくしらみつぶしに探したとすれば, 何回探したことになるかを表す値である. ここでは探索径路, 目標物の行動等の要因を無視しているので, 特殊な場合を除き探索オペレーションの評価尺度の目標探知確率等と直接結びつけることはできないが, カバレッジファクターが増加すれば目標探知確率は増加する.

　センサーはシステム・ノイズ等のために虚探知が避けられない. この特性は虚探知率で表されるが, これは探知認識の段階で探索者が単位時間(又は1回のべっ見)当りに虚探知を起す確率を示す. センサー工学の分野では信号検知レベルの誤りの確率を誤警報率という. 虚探知のある探索では広域探索によって目標情報(コンタクトという)を得た後, コンタクトの真偽確認のために精査(目標識別という)を行う2段階探索が行われる.

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'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946.

[2] K. Iida, "Inverse Nth Power Detection Law for Washburn's Lateral Range Curve," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''36''' (1993), 90-101.

[[category:探索理論|せんさーのたんちろん]]

《探索理論》

2007-08-08T08:52:27Z

Bassy:

'''【たんさくりろん (search theory) 】'''

　[[探索理論]] (search theory) は, [[探索者]] (searcher) が[[目標物]] (target) を効率的に発見するための探索法を明らかにする理論である. 探索という言葉は,「嫁探し」や「プログラムのバグ探し」のように, 曖昧な対象物の探索にも用いられるが, 探索理論では探索の対象は明確に定義された目標物がある場合を扱う. また探索者は目標物を他のものと区別して,「これが目標物である」と確認する手段:[[センサー]] (sensor) をもつ. 広義の探索理論は,関数の極値探索の線形探索,グループ検査の2分法探索,探索と目標位置推定からなる所在局限探索,目標状態の観察を目的とする監視,目標分布のあいまいさの減少を図る情報量探索,データ検索法等の研究を含むが, 狭義の探索理論は,通常,探索者による目標物の[[探知]] (detection) を目的とする[[探知探索]] (detection search) に関する理論を指す.

　探索理論が「発見の科学」として体系化されたのは, 第2次大戦中の米海軍ASWORG (Antisubmarine Warfare Operations Research Group)による U-boat 探索の作戦研究に始まる.この研究は1946年, Koopman [1] によって書物にまとめられ, またその後の研究の進展をふまえて1980年には改訂版が出版された. この書物は[[センサーの探知論]] (レーダー,ソナー,目視), 目標物と探索者の遭遇の運動学と探索パターンの評価モデル, [[探索努力の最適配分]]等の理論を詳述したものであり, この書物によって探索理論は体系化され, ＯＲの理論研究分野として認知された. この書物は米海軍の秘密文書であったが, Koopman はその概要を3回に分けて学会誌に発表した [2]. 大戦後のＯＲの爆発的な発展の中では探索理論は, 漸次マイナーな研究分野に衰退するが, それは探索理論の研究が, やや対潜水艦戦の軍事応用に偏り, また問題中心的で中核的な理論モデルがなかったためであると言われる. しかし継続的な努力により, その後の研究は多岐にわたり, 知識の体系は着実に成長してきた. 1970年代以後, 情報化時代を迎えて探索理論は応用面でも新しい進展をみせた. 電子計算機の発達に伴い, 探索理論は意思決定支援システムの情報処理や情勢判断, 探索計画の策定等を支援する理論として, 急速に応用範囲を拡大した. 即ち目標物の情報処理の一環として, [[目標存在分布]]の推定や探索の進行にともなう[[事後目標分布]]の計算, 情報に対応した探索計画の評価等のシステムが実用化された.

　探索の効率化のための探索理論の結論をひとことで言えば,「目標物を効率的に発見するには, 目標物の見つかりそうな所をうまく探せ.」という常識的な一語に尽きる. しかしそのためには目標物の特性(目標存在分布,行動特性,信号特性等), センサーの特性(信号処理法,探知能力,環境の影響,虚探知の可能性等), 探索の特性(探索の目的,効率性の尺度,探索資源の内容と運用上の制約等)及び探索オペレーションの評価法と最適な探索計画の構成法等の知識が必要である. ゆえに探索問題の研究には, 各種のセンサー工学, 環境の物理学, 信号処理の理論, 眼の生理学, 探知認識の人間工学, 目標行動及び探索の目的と行動全体の知識, 探索システムの運用特性, ＯＲの最適化手法等々の専門分野の学際的なアプローチが必要である. ここでの探索理論の役割は,関連諸科学による目標特性,センサー特性,探索の特性の知識にもとづき,探索オペレーションを定式化して探索の効率を定量的に評価する理論モデルを構築し, 探索要因の効果を解明することである. 更にその要因のいくつかを制御して, 探索効率を最大にするシステム要因や探索システムの運用法の最適な条件を求めることである. そのための探索理論の研究は次の4つのテーマに大別される. 即ち(1) 目標分布の推定問題, (2) 探索センサーの探索能力の定量化問題, (3) 探索プロセスの特性分析の理論モデル, (4) 探索計画の最適化問題, の研究である.

　探索はそれ自体で完結する行動ではなく, 目標発見後の主行動が目的であり, 探索はその情報収集活動として位置付けられる. ゆえに「何のために,いかなる方法で,どんな精度で探すか」は探索システムに対する外的条件として与えられるとみるのが探索理論の立場である. そこから探索効率の尺度と探索行動の枠組みが設定される. また通常, 探索を動機づける粗い目標情報が事前に存在し, その精密化のために探索が行われるが, 効率的探索にはその粗い目標情報の活用が重要である. 事前の目標情報をいかに評価し探索計画に反映させるかを分析するのが, 探索理論の第1のテーマ:目標存在分布の推定問題である.

　一方, 探索の成否は第一義的にセンサー能力に左右されるので, 探索計画の立案にはセンサーの探知能力の把握が重要となる. これが探索理論の第2のテーマ:センサー探知能力の定量化問題である. 上述の2つの知識にもとづいて,効率的な探索法の理論的な分析が始められる.

　探索理論の第3のテーマは, 探索要因と探索効率の関係を解明する探索プロセスの特性分析問題である. この研究のねらいは探索の細部の条件(目標存在分布,移動法則,センサー能力,環境特性,探索手順等)が与えられたとき, 探索の評価モデルを定式化し探索プロセスの特性を定量的に評価する手段を確立することである. それは探索のミクロ・モデルの研究ということができる.

　探索理論の第4のテーマは,「探索すべきか否か, どこをどれだけ探すか, どのような順序で探すか, いつまで探すか,」といった探索の全般計画の最適性に関するマクロ・モデルの研究である. 特に探索者の一方的な探索問題を探索努力の最適配分問題と言い, 上述の探索計画の諸元に関する最適性の条件を導出し, 最適な探索計画の設計指針を明らかにする. この種の研究は, [[静止目標問題]], [[移動目標問題]], [[虚探知]]のある探索問題, 寿命のある(死亡型,消滅型)目標問題, 先制探知問題, 探索経路制約問題, 探索停止問題等があり, 数理計画問題や変分法問題に定式化され最適解が求められる. 一方, 探索者が探し, 目標物が隠れたり逃げたり, 場合によっては見つかるように行動したりといった双方的な意思決定のある探索としては, [[探索ゲーム]]と呼ばれる研究分野において, [[潜伏探索ゲーム]], [[逃避探索ゲーム]], 待ち伏せゲーム等が研究されている. また, 友好的な複数の探索者を扱うランデブー探索と呼ばれる問題の研究も近年盛んである.

　さて, 探索理論を概観する以下の章では, 上述した第1のテーマから第3のテーマを解説し, さらに近年の研究成果の蓄積が著しい第4のテーマとして静止目標物及び移動目標物に対する最適探索, 探索ゲーム及びランデブー探索を取り上げ, 最後に探索理論の現実の応用例を紹介する.

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'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946. 2nd ed., Pergamon Press, 1980.

[2] B. O. Koopman, "The Theory of Search I," ''Operations Research'', '''4''' (1956), 324-346. "The Theory of Search II," '''4''' (1956), 503-536. "The Theory of Search III," '''5''' (1957), 613-626.

[[category:探索理論|たんさくりろん]]

《探索ゲーム》

2007-08-08T08:51:20Z

Bassy: 新しいページ: ''''【たんさくげーむ (search game)】　一般にゲームと呼ばれる問題を数理的に定義する場合，参加者はだれか（プレイヤー），それ...'

《移動目標物の最適探索》

2007-08-08T08:35:31Z

Bassy:

'''【いどうもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a moving target) 】'''　

自分の意志ではなく，一定のルールに従って存在位置が時間的に変化する目標物を移動目標物(moving target) といい，本項ではそういう目標物の探索を扱う．静止目標物の探索においては，目的関数が決定変数ごとに分離された和の形をとることが多く，解析が比較的容易となり，研究は基本モデルによる一般論から特殊モデルの解析へと，どちらかと言えば演繹的方向に進んだ．それに対し移動目標物探索問題では，目的関数が分離されていないため，解析は格段と困難になり，研究も遅れて始まり，単純・具体的なモデル解析の集積から一般理論の確立へと帰納的方向に進んだ．今日では移動目標物探索においても最適性に関する必要十分条件が確立され，静止目標物探索も含めて見晴らしの良い統一的視点をもつこととなった．ただその複雑さの故に必要十分条件から解析的に最適政策を導出することができず，逐次近似法としての政策改良法が提案されている．それは他の期の努力配分を固定した一期だけの努力再配分を各期について行い，その改善操作を要求精度を満たすまで繰り返すというものである．この結果今では計算機を用いて格段に多くの問題が解けるようになった．ただこれらのアルゴリズムは有限回の操作で終了する必要から，空間・時間がともに離散かつ有限個でなければならない．

　[[指数型探知関数]]の場合の移動目標物に対する基本探索モデルは次の通りである．探索空間は<math> n \,</math> 個の小領域より成り，探索期間として<math> T \,</math> 期間を考える．目標物の運動は探索者の行動とは独立であり，有限個の[[移動経路]](moving path) が考えられるものとする．移動経路は<math>\omega= (\omega_1 ,\cdots, \omega_T )\,</math> で表される. <math>\omega_i\,</math>は第<math> i \,</math> 期に目標物が存在する小領域である．移動経路の集合を<math>\Omega\,</math> とし，移動経路が<math>\omega\,</math> である確率を<math>p(\omega)\,</math> とする．第<math> i \,</math>期に投入可能な探索努力量は<math>m(i) \,</math>で，これは任意に細分可能とする．探索政策は<math>\phi =\left\{ \phi (k,i) \mid k=1,\cdots,n; i=1,\cdots,T \right\} \,</math> で表される．<math>\phi (k, i)\,</math>は第<math> i \,</math> 期に小領域<math> k \,</math> へ投入される努力量である．第<math> i \,</math> 期に目標物が小領域<math> k \,</math> に存在するとの条件のもとで，その期に努力量<math> z \,</math> を小領域<math> k \,</math> に投入して発見する確率を<math>1- \exp\left[-\lambda(k,i)z \right]\,</math> とする．ここに<math>\lambda(k,i)\,</math> は所与の正定数で，第<math> i \,</math> 期の小領域<math> k \,</math> における瞬間発見率(instantaneous detection rate) である．問題は<math> T \,</math> 期間での発見確率を最大にすることである．定式化すると，制約条件

<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\sum_{k=1}^{n} \phi(k,i) \leq m(i),~i=1,\cdots, T \\

\phi(k,i) \geq 0, ~k=1,\cdots, n;~i=1,\cdots, T
\end{array}
\,
</math>
</center>
のもとで、汎関数
<center>
<math>
P[\phi]= \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) \left[ 1- \exp ( - \sum_{i=1}^{T} \lambda(\omega_i,i) \phi(\omega_i,i) ) \right]

\,
</math>
</center>

を最大にする<math>\phi\,</math> を求めることである．Brown[1] によれば，政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，整数<math> \mu_1,\cdots, \mu_T \,</math>　が存在して
<center>
<math>
\left[ \frac{\partial P[\phi]}{\partial \phi(k,i)} \right]_{\phi=\phi^*}~ \left\{ {= \atop \leq} \right\} \mu_1 ~~~ if ~~ \phi^*(k,i) \left\{ {> \atop =} \right\} 0 ~~~( k=1,\cdots,n;~i=1,\cdots, T)
</math>
</center>
が成立することである．これは静止目標物探索におけるde Guenin ルールと同種のNeyman-Pearson lemma 型の条件式である．Brown はさらに，最適配分<math>\phi^{*}\,</math>の第<math> i \,</math> 期における配分<math>\phi^{*}(\cdot,i)\,</math> は，第<math> i \,</math> 期以外の全ての期を<math>\phi^{*}\,</math> に従って探索して発見できないとの条件のもとでの，目標物の第<math> i \,</math> 期における存在分布を事前分布とする静止目標物探索の最適政策になっていることを示した．これは発見確率最大化問題に関しては，移動目標物に対する最適探索が静止目標物に対する最適探索の多重構造になっていることを示すものである．Brown はこのことより一
期ごとの努力再配分を繰り返していく政策改良法を提案している．Stromquist and Stone[8] は，一般探知関数の場合を含む，より一般的な汎関数最大化問題において，最適性の必要十分条件を得ているが，これは静止目標物探索を含めて，統一的視点を与えるものである．

　発見確率最大化以外の探索基準についても，いくつかの研究がある．Stone and Kadane[6] は，移動目標物に対する[[所在探索]](whereabouts search) の最適政策を求めることは，有限個の発見確率最大化問題を解くことに帰することを示した．Washburn[10] は，各期まで発見できない時こうむる損失を導入して期待損失最小化問題を考え，FAB(forward and backward) アルゴリズムと呼ばれる近似解法を提案しているが，このモデルには(1) 発見確率最大化，(2) 所在探索，(3) 生存目標物の発見確率最大化などの問題が含まれている．Tierney and Kadane[9] は，(1) ある特定の場所で発見する確率の最大化，(2) 累積期待利得の最大化，(3)[[監視問題]](surveillance problem：ランダムに出現する目標物の出現から発見までの期待時間の最小化) などを含む一般モデルを考察し，マルコフ戦略と呼ばれる政策が最適であるための必要十分条件を示し，近似解法を提案している．

　初期の研究で，具体的な移動目標物探索問題に初めて明解な解を与え，その後の研究に大きな刺激を与えたのがPollock[5] である．二つの小領域の間をマルコフ連鎖に従って移動している目標物に対し，期待探索回数最小化問題および有限回探索による発見率最大化問題を考察している．このPollock モデルを連続時間で考え，微分方程式モデルとして扱ったのがDobbie[2] である．

　移動目標物探索では，探索しないで目標物が発見し易い場所へ移動してくるのを「待つ」ことも意味がある．「待つ」費用が小さい時に，「待つ」ことの効果を示したのがNakai[4] である．

　未知パラメータ(たとえば目標物の初期位置や速度など) の値が決れば，目標物の移動経路が一意に確定するとき，この運動は[[条件付確定型]](conditionary deterministic) であるというが，Stone and Richardson[7] は，このような場合の発見確率最大化問題を解いている．ところで探索空間，探索努力量が共に連続の場合には，最適努力配分は密度関数として求められるが，広く薄く引き延ばされた配分を，厳密に実行することは通常困難である．そこでLukka[3] は条件付確定型移動目標物探索において，探索者の政策として実際の[[探索経路]](search path) を採用し，経路上に投入された探索努力の遠方にいる目標物の発見に与える影響を考慮して，発見確率最大化問題を解いている．以上のモデル以外にもさまざまな問題が考察されている．

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'''参考文献'''

[1] S. S. Brown, “Optimal Search for a Moving Target in Discrete Time and Space,” ''Operations Reserch'', '''28''' (1980), 1275-1289.

[2] J. M. Dobbie, “A Two-Cell Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''22''' (1974), 79-92.

[3] M. Lukka, “On the Optimal Searching Tracks for a Moving Target,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''32''' (1977), 126-132.

[4] T. Nakai, “A Search Model for a Moving Target in Which the Decision Wait Is Permitted,” ''Mathematica Japonica'', '''25''' (1980), 597-605.

[5] S. M. Pollock, “A Simple Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''18''' (1970), 883-903.

[6] L. D. Stone and J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''29''' (1981), 1154-1166.

[7] L. D. Stone and H. R. Richardson, “Search for Target with Conditionally Deterministic Motion,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''27''' (1974), 239-255.

[8] W. S. Stromquist and L. D. Stone, “Constrained Optimization of Functionals with Search Theory Applications,” ''Mathematics of Operations Research'', '''6''' (1981), 518-529.

[9] L. Tierney and J. B. Kadane, “Surveillance Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 720-738.

[10] A. R. Washburn, “Search for a Moving Target：The FAB Algorithm,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 739-751.

《移動目標物の最適探索》

2007-08-08T08:27:28Z

Bassy: 新しいページ: '　自分の意志ではなく，一定のルールに従って存在位置が時間的に変化する目標物を移動目標物(moving target) といい，本項ではそう...'

　自分の意志ではなく，一定のルールに従って存在位置が時間的に変化する目標物を移動目標物(moving target) といい，本項ではそういう目標物の探索を扱う．静止目標物の探索においては，目的関数が決定変数ごとに分離された和の形をとることが多く，解析が比較的容易となり，研究は基本モデルによる一般論から特殊モデルの解析へと，どちらかと言えば演繹的方向に進んだ．それに対し移動目標物探索問題では，目的関数が分離されていないため，解析は格段と困難になり，研究も遅れて始まり，単純・具体的なモデル解析の集積から一般理論の確立へと帰納的方向に進んだ．今日では移動目標物探索においても最適性に関する必要十分条件が確立され，静止目標物探索も含めて見晴らしの良い統一的視点をもつこととなった．ただその複雑さの故に必要十分条件から解析的に最適政策を導出することができず，逐次近似法としての政策改良法が提案されている．それは他の期の努力配分を固定した一期だけの努力再配分を各期について行い，その改善操作を要求精度を満たすまで繰り返すというものである．この結果今では計算機を用いて格段に多くの問題が解けるようになった．ただこれらのアルゴリズムは有限回の操作で終了する必要から，空間・時間がともに離散かつ有限個でなければならない．

　[[指数型探知関数]]の場合の移動目標物に対する基本探索モデルは次の通りである．探索空間は<math> n \,</math> 個の小領域より成り，探索期間として<math> T \,</math> 期間を考える．目標物の運動は探索者の行動とは独立であり，有限個の[[移動経路]](moving path) が考えられるものとする．移動経路は<math>\omega= (\omega_1 ,\cdots, \omega_T )\,</math> で表される. <math>\omega_i\,</math>は第<math> i \,</math> 期に目標物が存在する小領域である．移動経路の集合を<math>\Omega\,</math> とし，移動経路が<math>\omega\,</math> である確率を<math>p(\omega)\,</math> とする．第<math> i \,</math>期に投入可能な探索努力量は<math>m(i) \,</math>で，これは任意に細分可能とする．探索政策は<math>\phi =\left\{ \phi (k,i) \mid k=1,\cdots,n; i=1,\cdots,T \right\} \,</math> で表される．<math>\phi (k, i)\,</math>は第<math> i \,</math> 期に小領域<math> k \,</math> へ投入される努力量である．第<math> i \,</math> 期に目標物が小領域<math> k \,</math> に存在するとの条件のもとで，その期に努力量<math> z \,</math> を小領域<math> k \,</math> に投入して発見する確率を<math>1- \exp\left[-\lambda(k,i)z \right]\,</math> とする．ここに<math>\lambda(k,i)\,</math> は所与の正定数で，第<math> i \,</math> 期の小領域<math> k \,</math> における瞬間発見率(instantaneous detection rate) である．問題は<math> T \,</math> 期間での発見確率を最大にすることである．定式化すると，制約条件

<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\sum_{k=1}^{n} \phi(k,i) \leq m(i),~i=1,\cdots, T \\

\phi(k,i) \geq 0, ~k=1,\cdots, n;~i=1,\cdots, T
\end{array}
\,
</math>
</center>
のもとで、汎関数
<center>
<math>
P[\phi]= \sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) \left[ 1- \exp ( - \sum_{i=1}^{T} \lambda(\omega_i,i) \phi(\omega_i,i) ) \right]

\,
</math>
</center>

を最大にする<math>\phi\,</math> を求めることである．Brown[1] によれば，政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，整数<math> \mu_1,\cdots, \mu_T \,</math>　が存在して
<center>
<math>
\left[ \frac{\partial P[\phi]}{\partial \phi(k,i)} \right]_{\phi=\phi^*}~ \left\{ {= \atop \leq} \right\} \mu_1 ~~~ if ~~ \phi^*(k,i) \left\{ {> \atop =} \right\} 0 ~~~( k=1,\cdots,n;~i=1,\cdots, T)
</math>
</center>
が成立することである．これは静止目標物探索におけるde Guenin ルールと同種のNeyman-Pearson lemma 型の条件式である．Brown はさらに，最適配分<math>\phi^{*}\,</math>の第<math> i \,</math> 期における配分<math>\phi^{*}(\cdot,i)\,</math> は，第<math> i \,</math> 期以外の全ての期を<math>\phi^{*}\,</math> に従って探索して発見できないとの条件のもとでの，目標物の第<math> i \,</math> 期における存在分布を事前分布とする静止目標物探索の最適政策になっていることを示した．これは発見確率最大化問題に関しては，移動目標物に対する最適探索が静止目標物に対する最適探索の多重構造になっていることを示すものである．Brown はこのことより一
期ごとの努力再配分を繰り返していく政策改良法を提案している．Stromquist and Stone[8] は，一般探知関数の場合を含む，より一般的な汎関数最大化問題において，最適性の必要十分条件を得ているが，これは静止目標物探索を含めて，統一的視点を与えるものである．

　発見確率最大化以外の探索基準についても，いくつかの研究がある．Stone and Kadane[6] は，移動目標物に対する[[所在探索]](whereabouts search) の最適政策を求めることは，有限個の発見確率最大化問題を解くことに帰することを示した．Washburn[10] は，各期まで発見できない時こうむる損失を導入して期待損失最小化問題を考え，FAB(forward and backward) アルゴリズムと呼ばれる近似解法を提案しているが，このモデルには(1) 発見確率最大化，(2) 所在探索，(3) 生存目標物の発見確率最大化などの問題が含まれている．Tierney and Kadane[9] は，(1) ある特定の場所で発見する確率の最大化，(2) 累積期待利得の最大化，(3)[[監視問題]](surveillance problem：ランダムに出現する目標物の出現から発見までの期待時間の最小化) などを含む一般モデルを考察し，マルコフ戦略と呼ばれる政策が最適であるための必要十分条件を示し，近似解法を提案している．

　初期の研究で，具体的な移動目標物探索問題に初めて明解な解を与え，その後の研究に大きな刺激を与えたのがPollock[5] である．二つの小領域の間をマルコフ連鎖に従って移動している目標物に対し，期待探索回数最小化問題および有限回探索による発見率最大化問題を考察している．このPollock モデルを連続時間で考え，微分方程式モデルとして扱ったのがDobbie[2] である．

　移動目標物探索では，探索しないで目標物が発見し易い場所へ移動してくるのを「待つ」ことも意味がある．「待つ」費用が小さい時に，「待つ」ことの効果を示したのがNakai[4] である．

　未知パラメータ(たとえば目標物の初期位置や速度など) の値が決れば，目標物の移動経路が一意に確定するとき，この運動は[[条件付確定型]](conditionary deterministic) であるというが，Stone and Richardson[7] は，このような場合の発見確率最大化問題を解いている．ところで探索空間，探索努力量が共に連続の場合には，最適努力配分は密度関数として求められるが，広く薄く引き延ばされた配分を，厳密に実行することは通常困難である．そこでLukka[3] は条件付確定型移動目標物探索において，探索者の政策として実際の[[探索経路]](search path) を採用し，経路上に投入された探索努力の遠方にいる目標物の発見に与える影響を考慮して，発見確率最大化問題を解いている．以上のモデル以外にもさまざまな問題が考察されている．

----
'''参考文献'''

[1] S. S. Brown, “Optimal Search for a Moving Target in Discrete Time and Space,” ''Operations Reserch'', '''28''' (1980), 1275-1289.

[2] J. M. Dobbie, “A Two-Cell Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''22''' (1974), 79-92.

[3] M. Lukka, “On the Optimal Searching Tracks for a Moving Target,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''32''' (1977), 126-132.

[4] T. Nakai, “A Search Model for a Moving Target in Which the Decision Wait Is Permitted,” ''Mathematica Japonica'', '''25''' (1980), 597-605.

[5] S. M. Pollock, “A Simple Model of Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''18''' (1970), 883-903.

[6] L. D. Stone and J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''29''' (1981), 1154-1166.

[7] L. D. Stone and H. R. Richardson, “Search for Target with Conditionally Deterministic Motion,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''27''' (1974), 239-255.

[8] W. S. Stromquist and L. D. Stone, “Constrained Optimization of Functionals with Search Theory Applications,” ''Mathematics of Operations Research'', '''6''' (1981), 518-529.

[9] L. Tierney and J. B. Kadane, “Surveillance Search for a Moving Target,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 720-738.

[10] A. R. Washburn, “Search for a Moving Target：The FAB Algorithm,” ''Operations Research'', '''31''' (1983), 739-751.

《静止目標物の最適探索》

2007-08-08T07:17:32Z

Bassy:

'''【せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a stationary target)】'''

探索活動において重要な役割をはたすのは，探索活動の場としての[[探索空間]](search space)，探索活動の主体である[[探索者]](searcher)，探索の対象である[[目標物]](target)，探索のために利用可能な人・物・時間・費用などの[[探索努力]](searching effort)，それに探索活動の評価尺度としての[[探索基準]](search criterion) である．これら
がどのように設定されるかによって，さまざまな探索モデルが考えられる．本項では存在位置が不変である静止目標物(stationary target) を対象として，探索努力をいつ，どこへ，どれだけ配分すべきかを考える．この探索努力の配分方法を[[探索政策]](search policy) という．用いられる数学的手法としては，探索空間が連続空間なら目的関数が汎関数となり変分法が用いられ，離散空間なら多変数最適化問題となり数理計画法，それも一段階探索なら非線形計画法，多段階探索なら動的計画法が多く用いられる．探索努力の離散性を重視するなら，整数計画問題となり分枝限定法などが用いられる．

基本的な探索努力配分問題は，以下のような発見確率最大化問題(これを[探知探索])(detection search) という) である．静止目標物が一個，探索空間(ユークリッド空間) <math>X\,</math>内の一点に存在する．探索者は事前知識として，目標物は<math>X\,</math> 上の密度関数<math>p(x)\,</math>に従って選ばれた一点に存在していると思っている．目標物が点<math>x (\in X)\,</math>に存在するとき，そこに探索努力<math>z\,</math> を投入して発見する条件付確率<math>b(x,z)\,</math>が与えられており，これを[[探知関数]](detection function) という．問題は任意分割可能な探索努力量<math>E\,</math>を投入して，目標物を発見する確率を最大にするには，各点にいくらの探索努力を投入すべきか，というものである．探索政策は努力配分密度<math>\phi= \left\{ \phi(x) \mid x \in X \right\} \,</math> で表され，問題は制約条件

<center>
<math>
\int_{X}\phi(x)\; \mbox{d}x = E, \ \ \ \phi \ge 0, \ \ \ x \in X
\,
</math>
</center>

のもとで，発見確率<math>P\left[ \phi \right] = \int_{X}p(x)b \left[ x, \phi(x) \right]dx \,</math> を最大にする関数 <math>\phi \,</math>を求めよ，という変分問題になる．このモデルは最初Koopman[7] が[[指数型探知関数]](exponential detection function) の場合を解いたので，[[クープマン問題]] (Koopman problem)とも呼ばれている．de Guenin[3] によれば，がある緩かな正則条件を満たすとき，探索政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，正定数<math>\lambda\,</math> が存在して

<center>
<math>
p(x) b'[x,\phi^*(x)] \left\{ {= \atop \leq} \right\} \lambda~~~~if ~~ \phi^*(x) \left\{ {> \atop =} \right\} 0
\,
</math>
</center>
が成立することである．ここに<math>b^{'} \left[x,z \right] \,</math> は<math>z \,</math> に関する偏微分である．これは統計学におけるNeyman-Pearson lemma 型の条件式で，最適政策<math>\phi^{*}\,</math> は投入前の限界発見率(marginal detection rate)<math>p(x)b^{'} \left[x, \phi^{*}(x) \right] \,</math> がある水準<math>\lambda\,</math> (<math>\lambda\,</math> は制約条件を満たすように決定される) 以上の場所に努力を投入すべきであり，その投入量は投入後の限界発見率] が水準にそろうように決定されるべきである，ことを示している．これから解析解が具体的に求められる．さらに[[最適努力配分の加法性]] (the additively of optimal effort allocation)，すなわち「探索努力<math>E\,</math> を任意に<math>E_1 + E_2\,</math> に分割したとき，<math>E\,</math> の最適配分は <math>E_1\,</math>の最適配分と <math>E_2\,</math>の最適配分で発見できなかったとの条件のもとでの<math>E_2\,</math> の最適配分との和である」が示され，最適逐次投入と最適一括投入は同じ結果になることが分る．任意努力量に対して発見確率を最大にする政策を[[一様最適探索政策]](uniformly optimal search policy)というが，これは目標物発見までに要する[[期待努力量の最小化]](minimization of the expected effort) に対しても最適であることが，Dobbie[4] によって示されている．
探索空間が有限個の小領域から成り，各小領域を一回探索するために必要な努力量が決っている場合を考えると，探知探索では基本的にde Guenin のルールが成立する．一方発見までの期待努力量最小化問題は動的計画法で定式化され，各回で目標物の存在分布を改訂した上で，単位努力量当りの発見確率を最大にする小領域を探索するような最適政策の存在が知られている．

探索基準としては，発見確率最大化，期待努力量最小化以外にも，たとえば投入費用から発見時の利得を差し引いた[[期待リスクの最小化]](minimization of the expected risk)，探索終了後に目標物の所在を正しく言い当てる確率を最大化する[[所在探索]](whereabouts search)，目標物の位置に関して得られる期待情報量を最大化する[[情報探索]] (information search) などが知られている．所在探索については，最後に所在地として指示する小領域は探索せず，他の小領域を探知探索における最適政策に従って探索するのが最適であることが，Kadane[6] によって示されている．また指数型探知関数の場合，探知探索の最適政策が目標物の事後存在分布のエントロピーを最大にすること，逆にこのような性質を持つ探知関数は指数型に限ることが，Barker[1] によって示されている．

以上概観したように，静止目標物探索に関する基本的なモデルはほぼ解析されているが，探索活動の特殊性を考慮すると，さまざまなモデルが考えられる．
主なものを列挙してみよう．

(1) 考えている探索空間に目標物が存在しない可能性があるとか，発見時の利得が探索費用より小さい場合には，[[探索の最適停止]](optimal stop of search)が必要となる．前者についてはChew[2] が，後者についてはRoss[8] が，離散モデルにおけるこの種の問題を動的計画問題に定式化し，いくつかの重要な結果を得ている．

(2) 遭難者探索のように，[[寿命のある目標物]](target with lifetime) に対する探索では，目標物が長く生存できない場所は，たとえ探索効率が多少悪くても早く探索すべきである．Stone[9] はこのような場合の発見確率最大化問題を変分法で解いている．

(3) 目標物が複数個存在する場合については，それらが同質で同じ事前存在分布をもつ場合や，異質な目標物を想定する場合，あるいは目標物の個数が未知で確率変数と考えられる場合，さらには目標物を少なくとも一個発見したい場合，全ての目標物を発見したい場合などが解析されている．

(4) 偽目標物が存在する場合には，目標物らしきものと遭遇すれば探索を中断し，その目標物の真・偽を鑑定の上，偽なら除去して探索を再開する，といった探索と識別の[[二段階探索]](2-stage search) を行う．Stone and Stanshine[11]は，探索努力配分問題および識別をいつ打ち切って探索に復帰すべきかという問題を解析している．

(5) 探索場所を変更する際に[[切り換え費用]](switching cost) が必要とすると，一
般の場合の解析は極めて困難となり，得られている結果は完全発見(perfect detection：目標物の存在する場所を探索する場合，確率1 で発見する) の場合など特別なケースに限られている．

その他にも，探知関数が時間的に変化する場合，利用可能な努力を探知関数の改善にも使う場合，目標物がランダムに出現し消滅する場合，二分法探索(dichotomous search) など，さまざまなタイプのモデルが解析されている．文献案内としてはDobbie[5]，成書としてはStone[10] を挙げておく．

----
‘’’参考文献’’’

[1] W. H. Barker, “Information Theory and Optimal Detection Search,” ''Operations Reserch''，'''25''' (1977)，304-314.

[2] M. C. Chew Jr., “Optimal Stopping in a Discrete Search Problem,” ''Operation Research'' '''21''' (1973), 741-747.

[3] J. deGuenin, “Optimum Distribution of Effort：An Extension of the Koopman Basic Theory,” ''Operation Research'', '''9''' (1961), 1-7

[4] J. M. Dobbie, “Search Theory：A Sequential Approach,” ''Naval Research Logistic Quarterly'', '''10''' (1963), 323 334.

[5] J. M. Dobbie, “A Survey of Search Theory,” ''Operations Research'', '''16''' (1968), 525-537.

[6] J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search,” ''Operation Research'', '''19'''(1971), 894-904.

[7] B. O. Koopman, “The Theory of Search. The Optimum Distribution of Searching Effort,” ''Operation Research'', '''5''' (1957), 613-626.

[8] S. M. Ross, “A Problem in Optimal Search and Stop,” ''Operation Research'', '''17''' (1969), 984-992.

[9] L. D. Stone, “Necessary and Su.cient Conditions for Optimal Solutions to a Survivor Search Problem,” ''Mathematical Programming Study'' '''6''' (1976), 227-245.

[10] L. D. Stone, ''Theory of Optimal Search'', Academic Press, 1975.

[11] L. D. Stone and J. A. Stanshine, “Optimal Search Using Uninterrupted Contact Investigation,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''20''' (1971), 241-263.

《静止目標物の最適探索》

2007-08-07T17:40:48Z

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'''【せいしもくひょうぶつのさいてきたんさく (optimal search for a stationary target)】'''

探索活動において重要な役割をはたすのは，探索活動の場としての[[探索空間]](search space)，探索活動の主体である[[探索者]](searcher)，探索の対象である[[目標物]](target)，探索のために利用可能な人・物・時間・費用などの[[探索努力]](searching effort)，それに探索活動の評価尺度としての[[探索基準]](search criterion) である．これら
がどのように設定されるかによって，さまざまな探索モデルが考えられる．本項では存在位置が不変である静止目標物(stationary target) を対象として，探索努力をいつ，どこへ，どれだけ配分すべきかを考える．この探索努力の配分方法を[[探索政策]](search policy) という．用いられる数学的手法としては，探索空間が連続空間なら目的関数が汎関数となり変分法が用いられ，離散空間なら多変数最適化問題となり数理計画法，それも一段階探索なら非線形計画法，多段階探索なら動的計画法が多く用いられる．探索努力の離散性を重視するなら，整数計画問題となり分枝限定法などが用いられる．

基本的な探索努力配分問題は，以下のような発見確率最大化問題(これを[探知探索])(detection search) という) である．静止目標物が一個，探索空間(ユークリッド空間) <math>X\,</math>内の一点に存在する．探索者は事前知識として，目標物は<math>X\,</math> 上の密度関数<math>p(x)\,</math>に従って選ばれた一点に存在していると思っている．目標物が点<math>x (\in X)\,</math>に存在するとき，そこに探索努力<math>z\,</math> を投入して発見する条件付確率<math>b(x,z)\,</math>が与えられており，これを[[探知関数]](detection function) という．問題は任意分割可能な探索努力量<math>E\,</math>を投入して，目標物を発見する確率を最大にするには，各点にいくらの探索努力を投入すべきか，というものである．探索政策は努力配分密度<math>\phi= \left\{ \phi(x) \mid x \in X \right\} \,</math> で表され，問題は制約条件

<center>
<math>
\int_{X}\phi(x)\; \mbox{d}x = E, \ \ \ \phi \ge 0, \ \ \ x \in X
\,
</math>
</center>

のもとで，発見確率<math>P\left[ \phi \right] = \int_{X}p(x)b \left[ x, \phi(x) \right]dx \,</math> を最大にする関数 <math>\phi \,</math>を求めよ，という変分問題になる．このモデルは最初Koopman[7] が[[指数型探知関数]](exponential detection function) の場合を解いたので，[[クープマン問題]] (Koopman problem)とも呼ばれている．de Guenin[3] によれば，がある緩かな正則条件を満たすとき，探索政策<math>\phi^{*}\,</math> が最適であるための必要十分条件は，正定数<math>\lambda\,</math> が存在して

<center>
<math>
\,
</math>
</center>
が成立することである．ここに<math>b^{'} \left[x,z \right] \,</math> は<math>z \,</math> に関する偏微分である．これは統計学におけるNeyman-Pearson lemma 型の条件式で，最適政策<math>\phi^{*}\,</math> は投入前の限界発見率(marginal detection rate)<math>p(x)b^{'} \left[x, \phi^{*}(x) \right] \,</math> がある水準<math>\lambda\,</math> (<math>\lambda\,</math> は制約条件を満たすように決定される) 以上の場所に努力を投入すべきであり，その投入量は投入後の限界発見率] が水準にそろうように決定されるべきである，ことを示している．これから解析解が具体的に求められる．さらに[[最適努力配分の加法性]] (the additively of optimal effort allocation)，すなわち「探索努力<math>E\,</math> を任意に<math>E_1 + E_2\,</math> に分割したとき，<math>E\,</math> の最適配分は <math>E_1\,</math>の最適配分と <math>E_2\,</math>の最適配分で発見できなかったとの条件のもとでの<math>E_2\,</math> の最適配分との和である」が示され，最適逐次投入と最適一括投入は同じ結果になることが分る．任意努力量に対して発見確率を最大にする政策を[[一様最適探索政策]](uniformly optimal search policy)というが，これは目標物発見までに要する[[期待努力量の最小化]](minimization of the expected effort) に対しても最適であることが，Dobbie[4] によって示されている．
探索空間が有限個の小領域から成り，各小領域を一回探索するために必要な努力量が決っている場合を考えると，探知探索では基本的にde Guenin のルールが成立する．一方発見までの期待努力量最小化問題は動的計画法で定式化され，各回で目標物の存在分布を改訂した上で，単位努力量当りの発見確率を最大にする小領域を探索するような最適政策の存在が知られている．

探索基準としては，発見確率最大化，期待努力量最小化以外にも，たとえば投入費用から発見時の利得を差し引いた[[期待リスクの最小化]](minimization of the expected risk)，探索終了後に目標物の所在を正しく言い当てる確率を最大化する[[所在探索]](whereabouts search)，目標物の位置に関して得られる期待情報量を最大化する[[情報探索]] (information search) などが知られている．所在探索については，最後に所在地として指示する小領域は探索せず，他の小領域を探知探索における最適政策に従って探索するのが最適であることが，Kadane[6] によって示されている．また指数型探知関数の場合，探知探索の最適政策が目標物の事後存在分布のエントロピーを最大にすること，逆にこのような性質を持つ探知関数は指数型に限ることが，Barker[1] によって示されている．

以上概観したように，静止目標物探索に関する基本的なモデルはほぼ解析されているが，探索活動の特殊性を考慮すると，さまざまなモデルが考えられる．
主なものを列挙してみよう．

(1) 考えている探索空間に目標物が存在しない可能性があるとか，発見時の利得が探索費用より小さい場合には，[[探索の最適停止]](optimal stop of search)が必要となる．前者についてはChew[2] が，後者についてはRoss[8] が，離散モデルにおけるこの種の問題を動的計画問題に定式化し，いくつかの重要な結果を得ている．

(2) 遭難者探索のように，[[寿命のある目標物]](target with lifetime) に対する探索では，目標物が長く生存できない場所は，たとえ探索効率が多少悪くても早く探索すべきである．Stone[9] はこのような場合の発見確率最大化問題を変分法で解いている．

(3) 目標物が複数個存在する場合については，それらが同質で同じ事前存在分布をもつ場合や，異質な目標物を想定する場合，あるいは目標物の個数が未知で確率変数と考えられる場合，さらには目標物を少なくとも一個発見したい場合，全ての目標物を発見したい場合などが解析されている．

(4) 偽目標物が存在する場合には，目標物らしきものと遭遇すれば探索を中断し，その目標物の真・偽を鑑定の上，偽なら除去して探索を再開する，といった探索と識別の[[二段階探索]](2-stage search) を行う．Stone and Stanshine[11]は，探索努力配分問題および識別をいつ打ち切って探索に復帰すべきかという問題を解析している．

(5) 探索場所を変更する際に[[切り換え費用]](switching cost) が必要とすると，一
般の場合の解析は極めて困難となり，得られている結果は完全発見(perfect detection：目標物の存在する場所を探索する場合，確率1 で発見する) の場合など特別なケースに限られている．

その他にも，探知関数が時間的に変化する場合，利用可能な努力を探知関数の改善にも使う場合，目標物がランダムに出現し消滅する場合，二分法探索(dichotomous search) など，さまざまなタイプのモデルが解析されている．文献案内としてはDobbie[5]，成書としてはStone[10] を挙げておく．

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‘’’参考文献’’’

[1] W. H. Barker, “Information Theory and Optimal Detection Search,” ''Operations Reserch''，'''25''' (1977)，304-314.

[2] M. C. Chew Jr., “Optimal Stopping in a Discrete Search Problem,” ''Operation Research'' '''21''' (1973), 741-747.

[3] J. deGuenin, “Optimum Distribution of Effort：An Extension of the Koopman Basic Theory,” ''Operation Research'', '''9''' (1961), 1-7

[4] J. M. Dobbie, “Search Theory：A Sequential Approach,” ''Naval Research Logistic Quarterly'', '''10''' (1963), 323 334.

[5] J. M. Dobbie, “A Survey of Search Theory,” ''Operations Research'', '''16''' (1968), 525-537.

[6] J. B. Kadane, “Optimal Whereabouts Search,” ''Operation Research'', '''19'''(1971), 894-904.

[7] B. O. Koopman, “The Theory of Search. The Optimum Distribution of Searching Effort,” ''Operation Research'', '''5''' (1957), 613-626.

[8] S. M. Ross, “A Problem in Optimal Search and Stop,” ''Operation Research'', '''17''' (1969), 984-992.

[9] L. D. Stone, “Necessary and Su.cient Conditions for Optimal Solutions to a Survivor Search Problem,” ''Mathematical Programming Study'' '''6''' (1976), 227-245.

[10] L. D. Stone, ''Theory of Optimal Search'', Academic Press, 1975.

[11] L. D. Stone and J. A. Stanshine, “Optimal Search Using Uninterrupted Contact Investigation,” ''SIAM Journal of Applied Mathematics'', '''20''' (1971), 241-263.

《探索モデルと探索の運動学》

2007-08-07T16:27:20Z

Bassy:

'''【たんさくもでるとたんさくのうんどうがく (search model and kinematics of search) 】'''

　[[探知探索]] の現実的活動はその特徴から3つに大別できる. 探索の事前に目標位置情報 ([[デイタム情報]]) があり, [[デイタム点]]を基準に行われる探索を[[デイタム探索]] (datum search) という. しかし移動目標物は速やかに拡散し目標分布は急速に一様化するので, 時間が経てば目標存在領域を一様に探索せざるを得なくなる. この段階を[[区域探索]] (area search) という. また目標情報のある無しにかかわらず, [[目標存在分布]] が一様と見なされる場合にも同様の状況となる. 今1つの探索は目標出現時間や位置は不明だが, 地理上の制約等からある幅の目標移動径路帯が推定できる場合である. このとき探索者は目標径路帯をカバーする線上で通過する目標物の待ち受け探索ができる. これを[[バリヤー哨戒]] (barrier patrol) と呼ぶ.

'''［デイタム探索］'''　デイタム探索はデイタム点の誤差が大きい場合や,目標物が移動する場合に問題となる. 後者では拡散する目標分布を追跡する探索をとる. 既知のデイタム点から全周に速度 <math>u\, </math> で拡散する目標物を探索者が速度 <math>v(v>u)\, </math> で追跡する径路は極座標表現では, <math>r=r_0 exp(\pm\lambda\theta)\, </math>, (ただし <math>r_0=ut_0, t_0:\, </math> 探索開始時間, <math>\lambda = \xi/\sqrt{1-\xi^2},~ \xi=u/v\, </math>, 指数の+符号は反時計方向の探索径路)で表わされる. デイタム点を一周する所要時間 <math>T=t_0 [exp(2\pi\lambda)-1]\, </math> は速度比 <math>\xi\, </math> が1に近づけば急激に増加する. また初期存在領域が半径 <math>a\, </math>の円であり, そこから一様に逃避する目標物を, [[有効探索率]] <math>Q\, </math> の探索者が目標存在領域の拡大に合わせて探索領域を拡大しつつ時間<math>[t_0,t]\, </math> の間ランダムに探索するとき, 目標探知確率 <math>P(t)\, </math> は次式となる.

<center>
<math>
P(t) = 1 - \exp \left\{ - \frac{Q}{\pi ua} \left( \tan^{-1} \left( \frac{ut}a \right)
- \tan^{-1} \left( \frac{ut_0}a \right) \right) \right\}.
\, </math>
</center>

'''［区域探索］'''　目標分布が目標存在領域内で一様な場合, 探索者は領域内をしらみつぶしに一様に探索せざるを得ない. ここで一様な探索は規則的パターンで探索する方法と, 各地点を確率的に一様に探索する方法とがある. 前者の代表的な探索法は, 等間隔<math>S\,</math> (掃引幅) の平行経路で規則的に走査する[[平行探索]] (parallel sweep, raster scan) であり, 後者の代表例は各時点の探索地点を目標存在領域内で一様な確率でランダムに選んで探索する[[ランダム探索 (探索理論における)|ランダム探索]] (random search) である. 目標物と探索者の相互探索状況では, 平行探索は目標物側に探索者の意図を見透かされ回避されやすいが, ランダム探索は探索径路を目標側に察知させない利点がある. またランダム探索は, 探索径路が乱れランダムな重複や空隙を生ずる場合の極限的な状況に対応する探索だとも言える.

　平行探索径路の1つを <math>y\, </math> 軸, 直交座標に <math>x\, </math> 軸をとる. <math>F(z)\, </math> を横距離 <math>z\, </math> の直線径路の[[探知ポテンシャル]]とし, 探索区域端辺部における探索効果の近似を行えば, 掃引幅 <math>S\, </math> の平行探索による目標探知確率 <math>P(S)\, </math> は次式となる.

<center>
<math>
P(S) = 1 - \frac1S \int_0^S \exp \left( - \sum_{i=-\infty}^{\infty} F(|x-iS|) \right) {\mbox{d}}x.
\, </math>
</center>

　センサーの発見法則が決まれば <math>F(\cdot)\, </math> が定まるので <math>P(S)\, </math> が計算される. [[定距離発見法則]]や逆3乗法則の場合の <math>P(S)\, </math> は公式化されている [1].

　ランダム探索において, 目標領域面積 <math>A\, </math>, 探索者の有効探索率 <math>Q\, </math>, 探索時間 <math>t\, </math>, 探索速度 <math>v\, </math>, 目標速度 <math>u\, </math> の場合の目標探知確率 <math>P(t)\, </math> は次式となる.

<center>
<math>
P(t) = 1 - \exp \left( - \frac{Q f(\xi,n) t}{A} \right), ~~ \xi=\frac{u}v,~~ n:
\, </math>発見法則の形状係数,

:<math>
f(\xi, n)= \frac1{2 \pi} \int_0^{2 \pi} ( \xi^2+1-2 \xi \cos \theta) ^{(n-
2)/\{2(n-1)\} } {\mbox{d}}\theta, ~~n>2 .
\, </math>
</center>

　<math>f(\xi,n)\, </math> は目標物が動き回るために探索者との遭遇が増加する率を表し, [[逆n乗発見法則]]を仮定したときの有効探索率の[[動的増分係数]] (factor of dynamic enhancement) と呼ばれる. <math>f(\xi,n)\, </math> は <math>\xi\, </math> 及び <math>n\, </math> の単調増加関数となり, <math> f(0,n) =1 \,</math>である.

　速度 <math>v\, </math> の探索者を中心に半径 <math>R\, </math> の円を考えたとき, ランダム運動をする速度<math>u\, </math>の目標物が相対方位 <math>[ \alpha, \alpha+ \Delta\alpha]\, </math> で円内に入る確率 <math>g(\alpha)\Delta\alpha\, </math> は次式となる [1] .

:<math>
\xi \geq 1~ \, </math> の場合, <math> ~~g(\alpha)=\frac{1}{2 \pi f(\xi,\infty)} \left\{ \cos^{-1}(-
\cos \alpha /\xi) \cos \alpha + \sqrt{ \xi^2 - \cos^2 \alpha} \right\} ,
\, </math>

:<math>
\xi < 1~ \, </math> の場合, <math> ~~g(\alpha)= ~\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\qquad \qquad \qquad \qquad \ \
\, </math>

:::<table>
<tr>
<td rowspan="4">　　<math>q_{ij}=
\left\{
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array} \right. \, </math></td>
<td><math>\textstyle \frac{\cos \alpha}{2 f(\xi,\infty)},~~~- \cos^{-1} \xi \leq \alpha \leq \cos^{-1}
\xi ~~\, </math>のとき,</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\textstyle \frac{1}{2 \pi f(\xi,\infty)} \left\{ \cos^{-1}(- \cos \alpha /\xi) \cos \alpha +
\sqrt{ \xi^2 - \cos^2 \alpha} \right\} ,\, </math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\qquad - \cos^{-1}(- \xi) \leq \alpha \leq - \cos^{-1} \xi ~~\, </math>又は<math>~~ \cos^{-1} \xi \leq
\alpha \leq \cos^{-1}(- \xi) ~~\, </math>のとき, </td>
</tr>
<tr>
<td><math>0,~~~ \alpha < - \cos^{-1}(- \xi) ~~\, </math>又は<math>~~ \alpha > \cos^{-1}(- \xi) ~~\, </math>のとき</td>
</tr>
:::</table><br>

探索者の針路を<math>0\,</math>度とし方位 <math>[-\alpha, \alpha]\, </math>間での遭遇確率は <math>\textstyle G(\alpha) = \int_{-\alpha}^{\alpha} g(x) {\mbox{d}}x\, </math> であり, <math> \xi=0 \, </math>の静止目標物の場合は 50% が探索者の針路を挾む約 <math>\pm30\, </math> 度の範囲で遭遇する.<br>

　時間制限 <math>T\, </math> 内で速度 <math>v\, </math>の探索者に小さな速度 <math>u\, </math>の目標物がが会合できるのは, 探索者から前方に距離 <math>vT\, </math>の点を中心とする半径 <math>uT\, </math>の円と探索者の進路から左右に角度<math> \theta = \pm \sin^{-1}(u/v), v>u\, </math> (近接限度角)の2本の直線とで囲まれる領域 ([[近接可能領域]](region of approach))に目標物がいる場合である.目標物の速度の方が大きい場合, 時間制限がなければ常に探索者に会合できるが, 時間制限があれば探索者の前方 <math>vT\, </math> の点を中心とする半径 <math>uT\, </math> の円内が近接可能領域となる.<br>

'''［バリヤー哨戒］''' 海峡を通峡する場合のように目標径路がある幅内を通ることが予測できるとき, 探索者はこの径路をカバーする線上で待ち受け探索ができる. このときの探索法は, 目標径路帯を横断して往復しつつ通過する目標物を探索する[[往復哨戒]] (back-and-forth barrier patrol), 目標速度 <math>u\, </math> と同じ遡上速度を保ちながら径路帯を往復する[[8の字哨戒]] (crossover or bow-tie type barrier patrol), 径路帯の中央で待ち受ける定点哨戒(fixed point barrier patrol), 径路帯上の一定区域でランダム探索を行うランダム哨戒 (random patrol) 等があり, これらの評価モデルが定式化されている. 以上は1つの目標径路帯に対する哨戒問題であるが, 複数の目標径路への探索者の最適配置問題, ネットワーク状の目標径路網での最適バリヤー問題 [2]等に関しても研究されている.<br>

'''［探索のマルコフ連鎖モデル］'''　これまで3つの探索形態の定式化モデルを述べたが, 探索中に目標状態, センサー能力, 環境条件等が変化する場合の探索プロセスをマルコフ連鎖モデルにより定式化した研究もなされており, 出現/消滅形目標物の探索, 先制探知のある探索, 虚探知を含む探索等のモデルが報告されている.

----

'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946.

[2] R. Hohzaki, K. Iida and M. Teramoto, "Optimal Search for a Moving Target with No Time Information Maximizing the Expected Reward," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''42'''(1999), 167-179.

[[category:探索理論|たんさくもでるとたんさくのうんどうがく]]

《センサーの探知論》

2007-08-07T15:38:18Z

Bassy:

'''【せんさーのたんちろん(detection theory of sensor)】'''

　探索者は[[センサー]]によって目標物の存在を検出するが, [[探索理論]]が扱う[[探知探索]]では, 目標物の位置情報(方位及び/又は距離)を与えるセンサーが用いられる. センサーには見逃し(第1種の過誤)と[[虚探知]] (第2種の過誤)が避けられないが, [[センサーの探知論]]では主に前者を問題にする.

　目標物,環境,センサーの条件が決まればセンサーの探知能力が定まるが, センサーから同一距離にある目標物でも, 信号の短周期の変動や人間の見逃しのために探知は確率現象となる. ゆえにセンサーの瞬間的な探知能力は[[距離対探知確率曲線]] (detection probability vs. range curve) <math>b(r)\, </math> で表わされる. 通常,目標物の近傍では目標信号が強いので探知確率は高く, 遠方では低下する. またセンサーによる目標空間の走査は, 時間的に連続的な場合と離散的な場合があり, それによって探知確率 <math>b(r)\, </math> の表現が異なる. 即ち連続的な場合は探知確率密度(瞬間探知率), 離散的な場合は1回のべっ見の探知確率(べっ見探知確率) で表わされる. センサーの距離対探知確率はこれらの総称である. また距離対探知確率関数を[[発見法則]](detection law)と呼ぶことがある. [[定距離発見法則]] [1] は, 探知レンジ <math>R\, </math> 以内では確率 <math>p_0\, </math> で探知し (<math>p_0 = 1\, </math>(完全定距離法則), <math>p_0<1\, </math> (不完全定距離法則)), <math>R\, </math> 外では探知しない場合を言い, また [[逆n乗発見法則]](inverse <math>n\, </math>th power detection law) [2] は, <math>b(r)\Delta t=(k/r)^n \Delta t\, </math> で与えられる場合を言う. 目視探索ではこの式の <math>n = 3\, </math> の場合[[逆3乗法則]] (inverse cube detection law) が現実に良く合うと言われている. ただし発見法則という術語は, マクロな探索努力配分問題では目標空間上のある地点に目標物がいるとき, この点の探索努力量と目標探知確率の関係を指す言葉として使われることもある. またセンサーの[[有効探知距離]](effective detection range) とは, 上述の距離対探知確率曲線下の面積である. ただし長レンジのセンサーでは, 目標空間の期待探索面積と等しい面積をもつ定距離センサーの探知レンジ <math>R\, </math> で有効探知距離を定義する場合がある.

　上述した距離対探知確率及び有効探知距離は, センサーと目標物の距離が <math>r\, </math> のときの瞬間的な探知能力であるが, 通常の探索では目標物や探索者は動き廻り相対距離は時々刻々変化する. 2次元空間で探索者から見た時点 <math>t\, </math> の目標位置を <math>(x(t),y(t))\, </math>, センサーの発見法則を <math>b(r), (r\, </math>は相対距離 <math>)\,</math> とすれば, 相対径路 <math>C = \left\{ { (x(t),y(t)),t_1 \leq t \leq t_n }\ \right\}\, </math> 上を動く目標物の探知確率 <math>P(C)\, </math> は, 各時点の探知の独立性を仮定すれば次式で表される.

<center>
<table><tr><td><math>
P(C) \, </math></td>
<td><math>= 1 - \exp \left( \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b
\left( \sqrt{ x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right) \right\} \right),
\, </math>離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= 1 - \exp \left(- \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{ x(t)^2+y(t)^2} \right)
{\mbox{d}}t \right),
\, </math>連続時間探索</td></table>
</center>

上式の指数のべきを[[探知ポテンシャル]](sighting potential) <math>F(C)\, </math> という.

<center>
<table><tr><td><math>
F(C) \, </math></td>
<td><math>= - \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b \left( \sqrt{x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right)
\right\},
\, </math>　離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \right) {\mbox{d}}t,
\, </math>　連続時間探索</td></table>
</center>

従って走査の連続性に関係なく, <math>P(C) =1- \exp (- F(C))\, </math> と書くことができる. また相対径路 <math>C\, </math> が <math>C_1,C_2\, </math> からなる場合, 上式から <math>F(C)=F(C_1)+F(C_2)\, </math> となり, 探知ポテンシャルは加法性が成り立つ. これを用いて多数の折線からなる径路上の探知や,複数の探索者による総合的な目標探知確率が求められる.

　通常, センサーの探知可能距離は探索径路長に比して小さく, また目標物と探索者の変針変速は頻繁ではない. ゆえに1回の遭遇の有効(探知可能)な相対径路を直線と見なし, 横距離(最近接点距離) <math>x\, </math> を通る(無限)直線径路上を相対速度 <math>w\, </math> で通過する目標物を考え, その目標物に対する探知確率 <math>PL(x)\, </math> を[[横距離探知確率曲線|横距離探知確率又は横距離曲線]](lateral range curve)と呼ぶ. また横距離曲線下の面積(図形の尺度係数)を[[有効探索幅]](effective sweep width)という.

　長レンジのセンサーでは1回の有効な遭遇径路が長いので, 目標物や探索者の変針変速やセンサーの寿命切れ, 探索条件の時間変化等のために横距離曲線は適用できない. その場合は目標物の1回の暴露状態(目標条件やその継続時間,針路,速度等)を定義し, 相対距離 <math>r\, </math> の点で暴露状態をとる目標物に対する[[暴露目標探知確率]](exposure detection probability) <math>P(r)\, </math> を考える. またこのときの有効探索幅は <math>P(r)\, </math> に対する完全定距離法則換算の有効探知距離で表す. 前述の距離対探知確率や有効探知距離が瞬間的な探知能力を表すのに対して, 横距離探知確率や有効探索幅, 暴露目標探知確率は,1回の遭遇のセンサー探知能力を示す.

　上述のセンサー探知能力は, 探索の場では必ずしも探索者の探索能力を表さない. 同一センサーを搭載した高速と低速のビークルでは, 高速のビークルの方が探索能力が大きいからである. このように探索者の運動力を考慮した探索システムの能力を示す尺度として, [[有効探索率]](effective sweep rate)が用いられる. この量は探索者が単位時間に目標空間を走査する期待面積で定義される.

　これまではセンサー及び探索システムの能力の定量的表現を述べたが, 探索の濃密さを表す尺度として, [[カバレッジファクター]](coverage factor)が用いられる. この量は探索期間中の目標空間内の延べ探索面積の期待値を, 目標存在領域の面積で除した値で定義される. 即ち目標存在領域を重複なくしらみつぶしに探したとすれば, 何回探したことになるかを表す値である. ここでは探索径路, 目標物の行動等の要因を無視しているので, 特殊な場合を除き探索オペレーションの評価尺度の目標探知確率等と直接結びつけることはできないが, カバレッジファクターが増加すれば目標探知確率は増加する.

　センサーはシステム・ノイズ等のために虚探知が避けられない. この特性は虚探知率で表されるが, これは探知認識の段階で探索者が単位時間(又は1回のべっ見)当りに虚探知を起す確率を示す. センサー工学の分野では信号検知レベルの誤りの確率を誤警報率という. 虚探知のある探索では広域探索によって目標情報(コンタクトという)を得た後, コンタクトの真偽確認のために精査(目標識別という)を行う2段階探索が行われる.

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'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946.

[2] K. Iida, "Inverse Nth Power Detection Law for Washburn's Lateral Range Curve," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''36''' (1993), 90-101.

[[category:探索理論|せんさーのたんちろん]]

《目標存在分布の推定》

2007-08-07T15:21:12Z

Bassy:

'''【もくひょうそんざいぶんぷのすいてい (estimation of existence distribution of target)】'''

　対象とする目標物の位置を確定的に求めることが探索行動の基本的な目的であるが, 探索が開始される時点でどの程度目標物の位置が明らかになっているかは, 探索を開始させる動機となるばかりでなく, 探索のやり方そのものを左右する最も重要な要因である. 最初にもたらされる目標物の位置情報は[[デイタム情報]] (datum information) と呼ばれ, それに含まれる目標物の位置情報を[[デイタム点]] (datum point), それが得られた時刻情報を[[デイタム時刻]] (datum time) と呼ぶ. 通常, デイタム情報が探索者に探索を開始させる動機となるが, 情報の信頼性はそれぞれ異なり, 仮に確実度の高い情報であっても, 探索を開始するまでに時間が経過すれば, 探索開始時には目標の存在可能領域も広がってしまう. 通常, 確定的には知られていない目標物の位置は確率的に取り扱われ, [[目標存在分布]] (existence distribution of target) 又は単に[[目標分布]]と呼ばれる. 探索開始時と同様, 探索の途中で, また終了時点で目標物の存在確率がどのようになっているかについても, それを評価することができなければ探索結果を反映させることができず, 効率的な探索を実施することはおぼつかない. ここでは, 目標物の存在確率を推定するための手法を, (1)静止した目標物(静止目標物)に対する推定, (2)移動する目標物 (移動目標物) に対する推定, (3)探索実施後の事後存在確率の推定の3つの項目に関して述べる.

　デイタム点は探索空間の1点の座標で与えられ, その点に静止目標物が存在する確率は高く, その点から離れれば離れるほど存在確率が低くなると考えるのが妥当である. そこで, 静止目標物の存在確率密度として, デイタム情報の確実度に応じて分散の異なる正規分布を仮定することが多い. 船の航海法や天測航法等では, 目標の位置情報として方位線 (position line) 情報しか得られない場合もあり, その時の存在確率の推定問題は[[方位線による目標位置決め問題]] (target position finding problem by position lines) として知られている [1].

　移動目標物に対する存在確率の推定は, 目標物の初期の存在分布と移動法則を知ることにより, ある時間経過後の存在分布は定式化できるが, 解析的な式や近似式等といった理論的に有益な表現として存在確率分布が得られる結果は, 簡単な法則に従った針路・速力により拡散的に移動する拡散目標物の確率分布([[拡散目標分布]] (existence distribution of diffusive target) と呼ばれる.) の研究に多い [2]. 具体的なモデルとしては, 目標物の初期位置が確定している場合や初期存在確率が正規分布をもつ場合, 直進又は針路・速力を変化させる目標物の速力が {確定, 一様分布, レイリー分布, 三角速度分布} で, 針路の選択が {確定, 全周一様分布} の場合, 針路を変えるまでの直進時間が｛一定, 一様分布, 三角速度分布, ガンマ分布, 指数分布} の場合の組み合わせたものが主として研究されている [3]. [[三角速度分布]] (triangle distribution of velocity) はより大きな速力をより高い確率で選ぶ分布であり, 2次元平面上ではどの時刻においても存在確率を一様にする分布として, 特にその存在を秘匿したい目標物にとっては重要である. デイタム時刻からあまり時間経過がない時点での目標物の存在確率を評価する上では, 直進拡散目標物を仮定することに妥当性はあるが, 十分な時間経過後の存在確率をランダム運動を仮定して議論する研究も多い [4]. この運動における針路変更はランダムであるものの, その間の運動は直進運動であり, 直進時間と直進中にとる速力にある確率分布を仮定するほか, 目標物の初期存在分布に正規分布等を仮定して, ある時間経過後の目標物の存在確率を評価しようとするのがこの研究である.

　さて, 例えば, ある地点を十分探索したにもかかわらず目標物を探知できなかったという事実があれば, 我々は「そこにはもともと目標物がいた確率は低い.」と判断するであろう. このように, 実施した探索や探知事象の結果を加味して初期に推定した目標物の存在分布を再評価したものを目標物の[[事後目標分布]] (posterior existence distribution of target)と呼ぶが, この数学的な基礎を与えるのがベーズの定理による条件付き確率である. <math>A\, </math>という事象が生起する確率を <math>\mbox{Pr}(A),B\, </math> という事象が生起したという条件の下での <math>A\, </math> という事象が生起する条件付き確率を <math>\mbox{Pr}(A|B)\, </math> と表せば, <math>\mbox{Pr}(A|B)\, </math> は

<center>
<math>
\Pr (A|B)= \Pr (A \, </math> かつ <math> B)/ \Pr (B)
\, </math>
</center>

により計算できる. この事象<math>A, B\, </math>を適切に設定することにより, 初期に推定した目標物の存在確率の再評価が可能となる. 例えば, <math>B\, </math>の事象として, 「探索を実施したが目標物を探知しなかった」, 「センサーに真でない虚探知が得られた」等々をとることにより, さまざまな探索様相に対応した存在確率の再評価が可能である. もちろん, その際に <math>\mbox{Pr}(B)\, </math> や <math>\mbox{Pr}(A\, </math> かつ <math>B)\, </math> が計算できるためには, 探索の実施と探知確率を関連づける評価式やセンサーにおける虚探知発生の評価式がわかっている必要があり, これらは探索理論の他の分野において研究されてきた成果を活用しなければならない.

　目標物の存在に関するもっと複雑な推定に尤度を応用した手法として, [[重み付けシナリオ法 (探索における)|重み付けシナリオ法]] (weighted scenario method)がある. 目標物の移動に関する総合的な推定を目標物の移動シナリオと呼ぶが, 初期時点でいくつかの移動シナリオを想定し, それぞれの確信度として重みをつけておく. この重みを, その後に起こった探知事象や探索経過を加味し, 事後確率の考え方を用いて補正してゆくのがこの手法である. 以上述べた手法が適用され成功した探索活動とみなされている有名な事例が, 米海軍原子力潜水艦スコーピオン号の救難捜索である[5].

　目標物の存在を単なる確率以上に詳細に表現しようとするならば, 「目標物はいくつ存在するか？」や「目標物はどんなタイプなのか？」等々の質問に答える探知情報やそれらに関する情報処理技法が必要となる. すなわち, 単に目標の存在のみを認識するセンサーから, 存在の特徴までも何らかの形で認識できるセンサーや, 通常は時系列データとして得られるこれら複数の探知情報を結合したり分離させる[[データ結合]] (data association) に関する情報処理が要求される.

　救難捜索等に代表される探索では, 単位時間当たりに得られるデータ量 (データレート) はそれほど多くなく, かつ断片的で特徴のない情報であるケースが多い. だからこそ, ここで紹介した目標存在分布の推定やデータ結合等の善し悪しが探索の成果を大きく左右することになるといえる.

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'''参考文献'''

[1] H. E. Daniels, "The Theory of Position Finding," ''Journal of the Royal Statistical Society, Series B'', '''13''' (1951), 186-207.

[2] B. O. Koopman, "The Theory of Search I: Kinematic Bases," ''Operations Research'', '''4''' (1956), 324-346.

[3] 飯田耕司, 宝崎隆祐, 『捜索理論－捜索オペレーションの数理－』, 三恵社, 2003.

[4]A. R. Washburn, "Probability Density of a Moving Particle," ''Operations Research'', '''17''' (1969), 861-871.

[5] H. R. Richardson and L. D. Stone, "Operations Analysis During the Underwater Search for Scorpion," ''Naval Research Logistics Quarterly'', '''18''' (1971), 141-157.

[[category:探索理論|もくひょうそんざいぶんぷのすいてい]]

《探索理論》

2007-08-06T16:49:42Z

Bassy:

'''【たんさくりろん (search theory) 】'''

　[[探索理論]] (search theory) は, [[探索者]] (searcher) が[[目標物]] (target) を効率的に発見するための探索法を明らかにする理論である. 探索という言葉は,「嫁探し」や「プログラムのバグ探し」のように, 曖昧な対象物の探索にも用いられるが, 探索理論では探索の対象は明確に定義された目標物がある場合を扱う. また探索者は目標物を他のものと区別して,「これが目標物である」と確認する手段:[[センサー]] (sensor) をもつ. 広義の探索理論は,関数の極値探索の線形探索,グループ検査の2分法探索,探索と目標位置推定からなる所在局限探索,目標状態の観察を目的とする監視,目標分布のあいまいさの減少を図る情報量探索,データ検索法等の研究を含むが, 狭義の探索理論は,通常,探索者による目標物の[[探知]] (detection) を目的とする[[探知探索]] (detection search) に関する理論を指す.

　探索理論が「発見の科学」として体系化されたのは, 第2次大戦中の米海軍ASWORG (Antisubmarine Warfare Operations Research Group)による U-boat 探索の作戦研究に始まる.この研究は1946年, Koopman [1] によって書物にまとめられ, またその後の研究の進展をふまえて1980年には改訂版が出版された. この書物は[[センサーの探知論]] (レーダー,ソナー,目視), 目標物と探索者の遭遇の運動学と探索パターンの評価モデル, [[探索努力の最適配分]]等の理論を詳述したものであり, この書物によって探索理論は体系化され, ＯＲの理論研究分野として認知された. この書物は米海軍の秘密文書であったが, Koopman はその概要を3回に分けて学会誌に発表した [2]. 大戦後のＯＲの爆発的な発展の中では探索理論は, 漸次マイナーな研究分野に衰退するが, それは探索理論の研究が, やや対潜水艦戦の軍事応用に偏り, また問題中心的で中核的な理論モデルがなかったためであると言われる. しかし継続的な努力により, その後の研究は多岐にわたり, 知識の体系は着実に成長してきた. 1970年代以後, 情報化時代を迎えて探索理論は応用面でも新しい進展をみせた. 電子計算機の発達に伴い, 探索理論は意思決定支援システムの情報処理や情勢判断, 探索計画の策定等を支援する理論として, 急速に応用範囲を拡大した. 即ち目標物の情報処理の一環として, [[目標存在分布]]の推定や探索の進行にともなう[[事後目標分布]]の計算, 情報に対応した探索計画の評価等のシステムが実用化された.
　探索の効率化のための探索理論の結論をひとことで言えば,「目標物を効率的に発見するには, 目標物の見つかりそうな所をうまく探せ.」という常識的な一語に尽きる. しかしそのためには目標物の特性(目標存在分布,行動特性,信号特性等), センサーの特性(信号処理法,探知能力,環境の影響,虚探知の可能性等), 探索の特性(探索の目的,効率性の尺度,探索資源の内容と運用上の制約等)及び探索オペレーションの評価法と最適な探索計画の構成法等の知識が必要である. ゆえに探索問題の研究には, 各種のセンサー工学, 環境の物理学, 信号処理の理論, 眼の生理学, 探知認識の人間工学, 目標行動及び探索の目的と行動全体の知識, 探索システムの運用特性, ＯＲの最適化手法等々の専門分野の学際的なアプローチが必要である. ここでの探索理論の役割は,関連諸科学による目標特性,センサー特性,探索の特性の知識にもとづき,探索オペレーションを定式化して探索の効率を定量的に評価する理論モデルを構築し, 探索要因の効果を解明することである. 更にその要因のいくつかを制御して, 探索効率を最大にするシステム要因や探索システムの運用法の最適な条件を求めることである. そのための探索理論の研究は次の4つのテーマに大別される. 即ち(1) 目標分布の推定問題, (2) 探索センサーの探索能力の定量化問題, (3) 探索プロセスの特性分析の理論モデル, (4) 探索計画の最適化問題, の研究である.

　探索はそれ自体で完結する行動ではなく, 目標発見後の主行動が目的であり, 探索はその情報収集活動として位置付けられる. ゆえに「何のために,いかなる方法で,どんな精度で探すか」は探索システムに対する外的条件として与えられるとみるのが探索理論の立場である. そこから探索効率の尺度と探索行動の枠組みが設定される. また通常, 探索を動機づける粗い目標情報が事前に存在し, その精密化のために探索が行われるが, 効率的探索にはその粗い目標情報の活用が重要である. 事前の目標情報をいかに評価し探索計画に反映させるかを分析するのが, 探索理論の第1のテーマ:目標存在分布の推定問題である.

　一方, 探索の成否は第一義的にセンサー能力に左右されるので, 探索計画の立案にはセンサーの探知能力の把握が重要となる. これが探索理論の第2のテーマ:センサー探知能力の定量化問題である. 上述の2つの知識にもとづいて,効率的な探索法の理論的な分析が始められる.

　探索理論の第3のテーマは, 探索要因と探索効率の関係を解明する探索プロセスの特性分析問題である. この研究のねらいは探索の細部の条件(目標存在分布,移動法則,センサー能力,環境特性,探索手順等)が与えられたとき, 探索の評価モデルを定式化し探索プロセスの特性を定量的に評価する手段を確立することである. それは探索のミクロ・モデルの研究ということができる.

　探索理論の第4のテーマは,「探索すべきか否か, どこをどれだけ探すか, どのような順序で探すか, いつまで探すか,」といった探索の全般計画の最適性に関するマクロ・モデルの研究である. 特に探索者の一方的な探索問題を探索努力の最適配分問題と言い, 上述の探索計画の諸元に関する最適性の条件を導出し, 最適な探索計画の設計指針を明らかにする. この種の研究は, [[静止目標問題]], [[移動目標問題]], [[虚探知]]のある探索問題, 寿命のある(死亡型,消滅型)目標問題, 先制探知問題, 探索経路制約問題, 探索停止問題等があり, 数理計画問題や変分法問題に定式化され最適解が求められる. 一方, 探索者が探し, 目標物が隠れたり逃げたり, 場合によっては見つかるように行動したりといった双方的な意思決定のある探索としては, [[探索ゲーム]]と呼ばれる研究分野において, [[潜伏探索ゲーム]], [[逃避探索ゲーム]], 待ち伏せゲーム等が研究されている. また, 友好的な複数の探索者を扱うランデブー探索と呼ばれる問題の研究も近年盛んである.

　さて, 探索理論を概観する以下の章では, 上述した第1のテーマから第3のテーマを解説し, さらに近年の研究成果の蓄積が著しい第4のテーマとして静止目標物及び移動目標物に対する最適探索, 探索ゲーム及びランデブー探索を取り上げ, 最後に探索理論の現実の応用例を紹介する.

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'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946. 2nd ed., Pergamon Press, 1980.

[2] B. O. Koopman, "The Theory of Search I," ''Operations Research'', '''4''' (1956), 324-346. "The Theory of Search II," '''4''' (1956), 503-536. "The Theory of Search III," '''5''' (1957), 613-626.

《待ち行列における希少事象の評価》

2007-08-06T15:50:29Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつにおけるきしょうじしょうのひょうか (rare event evalution of queueing systems) 】'''

　待ち行列理論は, 電話トラヒックの輻輳を解析することから始まったのであるが, ここで述べる「待ち行列における[[溢れ確率]] (overflow probability) 近似」は, 近年普及してきたマルチメディア通信ネットワークの輻輳を解析する必要性から始まったと言える [5]. それでは従来の待ち行列と何が異なるか？一つは, 従来良く用いられたポアソン入力や[[再生過程到着|再生過程入力]]とは異なり, 強い相関を持つ入力トラヒックを対象にしたこと, もう一つは, 評価すべき溢れ確率が<math>10^{-7}\sim10^{-9}\, </math>のオーダの極めて稀な確率事象を対象にしたことである. 以下, これらの課題から生まれた新たな入力モデルや解析手法について簡単に述べる.

'''流体近似モデル'''　待ち行列モデルとしてマルチメディア通信ネットワークで用いられる[[穴あきバケツモデル]] (bucket-with-hole model) の離散時間版を考える. 時刻<math>n\, </math>の[[入力率]] (input rate) を<math>X_n\, </math>, 出力率を<math>C\, </math>とすると, 時刻<math>n\, </math>での待ち行列長<math>Q_{n}\, </math>は

<center>
<math>
Q_{n}=\max\{Q_{n-1}+ U_n, 0\}, \qquad U_n=X_n-C,
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

で表される. ここで, <math>\{X_n\}\, </math>をE<math>(X_n)<C\, </math>の定常過程とすると, 定常状態における[[溢れ確率]]P<math>(Q>x)\, </math>は

<center>
<math>
\mbox{P}(Q>x)=\mbox{P}\left(\sup_{n\geq 0}\{A_n\}>x \right)
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられる. 但し, <math>\textstyle A_n=\sum_{i=1}^n U_{-i}\, </math>, <math>A_0=0\, </math>である. <math>U_n\, </math>を<math>n\, </math>番目の客のサービス時間<math>S_n\, </math>と<math>n\, </math>番目と<math>n+1\, </math>番目の客の到着間隔<math>T_n\, </math>の差<math>S_n-T_n\, </math>と考えるならば, (2) は先着順サービスのG/G/1待ち行列における[[待ち時間分布の裾]] (tail of waitingtime distribution)となる. これは, (1) で表される待ち行列モデルが特殊なモデルではなく, 従来から議論されている待ち行列モデルと基本的に変わらないことを意味している. 従来と大きく異なるところは, 入力として強い相関をもつ[[マルコフ型到着過程|マルコフ型入力過程]]や[[長期依存型入力過程]] (long-rangedependent input process)が議論されるようになったことである.

'''漸近解析'''　ところで, 溢れ確率の解析手法については, <math>Q_n\, </math>が閾値<math>x\, </math>を越える事象が極めて稀な場合を考えているため, [[大偏差理論]] (large deviation theory)を用いた[[漸近解析]] (asymptotic analysis)が注目を浴びるようになった. ここでは, 長期依存型入力を含む一般的な入力過程の場合の漸近解析を説明する [3].

<center>
<math>
\psi (\theta)\equiv \lim_{n\rightarrow \infty} v(n)^{-1} \log \mbox{E}[\mathrm{e}^{\theta
A_nv(n)/a(n)}], \;\;\;\; g(y)\equiv \lim_{n\rightarrow
\infty}\frac{v(a^{-1}(n/y))}{h(n)}
\, </math>
</center>

が存在するように適当な増加数列<math>\{v(n)\}, \{a(n)\}, \{h(n)\}\, </math>を与える. 但し, <math>a^{-1}(z)\, </math> <math>\equiv\sup\{n:a(n)\leq z\}\, </math>. このとき, 大偏差理論のGärtner-Ellisの定理 [1] から, 任意の<math>y>0\, </math>に対して

<center>
<math>
\lim_{n\rightarrow \infty}v(n)^{-1}\log \mbox{P}(A_n/a(n)>y)=-\psi^{*}(y)
\, </math>
</center>

が成り立つ. 但し, <math>\textstyle \psi^{*}(y)\equiv \sup_{\theta}\{\theta y - \psi
(\theta)\}\, </math>. 更に

<center>
<math>
\sup_{n\geq 0} \mbox{P}(A_n >x)\leq \mbox{P}(\sup_{n\geq 0}\{A_n\}>x)\leq
\sum_{n} \mbox{P}(A_n>x)
\, </math>
</center>

の不等式において, <math>x\, </math>が十分大きいところではオーダの意味で

<center>
<math>
\sup_{n\geq 0} \mbox{P}(A_n >x)\approx
\sum_{n}\mbox{P}(A_n>x)
\approx \mbox{P}(A_{a^{-1}(x/y^{*})}>x)
\, </math>
</center>

となる. ここで, <math>\textstyle y^{*}=\arg\inf_{y>0}g(y) \psi^{*}(y)\, </math>である. これは, 大偏差理論における稀な事象が生起するときの基本的な性質である. つまり, (2)の右辺は負のドリフトを持つ確率過程<math>\{A_n\}\, </math>が閾値<math>x\, </math>にヒットする確率と解釈できるが, もしヒットするならば最も可能性の高い時点<math>n\, </math>, ここでは<math>a^{-1}(x/y^{*})\, </math>, でヒットすることを意味する. これらの議論から溢れ確率に関して

<center>
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty} h(x)^{-1} \log \mbox{P}(Q>x )
= - g(y^{*}) \psi^{*}(y^{*})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

が得られる. (3) は緩やかに変動する関数<math>B(x)\, </math>が存在して

<center>
<math>
\mbox{P}(Q>x)=B(x)\mathrm{e}^{-\kappa h(x)}, \qquad \kappa=g(y^{*}) \psi^{*}(y^{*}),
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

であることを意味する. 具体的な入力過程で計算するならば, 短期依存型であるマルコフ型入力過程のときは, <math>h(x)=x\, </math>となり, 溢れ確率は指数的に減衰する. 一方, 長期依存型入力過程の多くは<math>h(x)=x^{\beta}, \beta\in (0, 1)\, </math>となり, 溢れ確率が指数より緩やかに減衰する.

　入力の多重数<math>L\, </math>とそれに比例して出力率, 閾値を増加させたときの溢れ確率 <math>\mbox{P}(Q^L >Ly)\, </math>も同様な考え方で漸近解析が行なわれている [2]. 多重数<math>L\, </math>の入力率は, <math>L\, </math>個の入力率<math>X_n^{(l)}, l=1, \cdots, L\, </math>を単純に足したものである. 結果だけを記述すると任意の<math>y>0\, </math>に対して

<center>
<math>
\lim_{L\rightarrow \infty}L^{-1}\log \mbox{P}(Q^L>Ly)= -\inf_{n>0}\psi^{*}_n (y)
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

となる. 但し, <math>\textstyle \psi_n (\theta)= \lim_{L\rightarrow \infty} L^{-1}\log \mbox{E}[\mathrm{e}^{\theta A_n^L}]\, </math>, <math>\textstyle \psi_n^{*}(y)\equiv\sup_{\theta}\{\theta y - \psi_n (\theta)\}\, </math>である.

　本結果も，長期依存型入力に適用できる.

　以上, 離散時間の場合を議論してきたが, 連続時間のモデルに対しても同様な結果が得られる. なお，本内容については参考文献 [4] にも書かれている.

----
'''参考文献'''

[1] A. Dembo and O. Zeitouni, ''Large Deviations Techniques and Applications'', Jones and Bartlett Publishers, 1993.

[2] N. G. Duffield, "Economies of Scale for Long-Range Dependent Traffic in Short Buffers," ''Telecommunication Systems'', '''7''' (1997), 267-280.

[3] N. G. Duffield and N. O'Connell, "Large Deviations and Overflow Probabilities for the General Single-Server Queue, with Ppplications," ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''118''' (1995), 363-374.

[4] A. Ganesh, N. O'Connell and D. Wischik, ''Big Queues'', Springer, 2004.

[5] 小林和朝, 「マルチメディア情報流に対する流体近似」, 『応用数理』, '''9''' (1999), 46-59.

基礎編：項目一覧

2007-08-06T15:48:39Z

Bassy: /* 待ち行列 */

===線形計画===

[[《最適化問題》]]　[[《線形計画》]]　[[《単体法》]]　[[《楕円体法》]]　[[《内点法》]]　[[《半正定値計画》]]

=== 非線形計画 ===

[[《非線形計画》]]　[[《最適性条件》]]　[[《双対性理論》]]　[[《制約なし最適化》]]　[[《制約付き最適化》]]　[[《大域的最適化》]]　[[《相補性問題》]]　[[《大規模問題の分解法》]]　[[《凸解析》]]　[[《高速微分法》]]　[[《多項式最適化問題》]]

=== 組合せ最適化 ===

[[《整数計画》]]　[[《組合せ最適化問題》]]　[[《多面体理論》]]　[[《アルゴリズム》]]　[[《データ構造》]]　[[《計算の複雑さ》]]　[[《パーフェクトグラフ》]]　[[《グレブナー基底》]]

===グラフ・ネットワーク===

[[《グラフ・ネットワーク》]]　[[《グラフの連結度》]]　[[《最短路問題》]]　[[《最小木問題》]]　[[《巡回セールスマン問題》]]　[[《ネットワーク・フロー問題》]]　[[《マッチング問題》]]　[[《マトロイド》]]　[[《劣モジュラ最適化》]]　[[《離散凸解析》]]　[[《複雑ネットワーク》]]

===スケジューリング===

[[《スケジューリング理論》]]　[[《スケジューリング問題》]]　[[《スケジューリングアルゴリズム》]]

===計算幾何===

[[《凸多面体》]]　[[《アレンジメント》]]　[[《ボロノイ図》]]　[[《三角形分割》]]　[[《幾何グラフ》]]　[[《バケット法》]]　[[《双対変換》]]　[[《木》]]　[[《ランダマイゼーション》]]　[[《ロバスト化技術》]]　[[《計算幾何学》]]

===動的・確率・多目的計画===

[[《動的計画》]]　[[《両的計画》]]　[[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]]　[[《不変埋没原理》]]　[[《多目的計画》]]　[[《最適停止》]]　[[《確率計画》]]　

===近似・知能・感覚的手法===

[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]]　[[《メタヒューリスティクス》]]　[[《ファジイ理論》]]　[[《ソフトコンピューティング》]]
[[《ラフ集合》]]　[[《ファジィランダム変数》]]
[[《ニューラルネットワーク》]]　[[《制約充足問題》]]　[[《人工知能》]]　[[《論理プログラミング》]]　[[《サポート・ベクター・マシン》]]

===ゲーム理論===

[[《ゲーム理論》]]　[[《非協力ゲーム理論》]]　[[《戦略形ゲーム》]]　[[《展開形ゲーム》]]　[[《進化と学習のゲーム理論》]]　[[《協力ゲーム理論》]]　[[《交渉ゲーム》]]　[[《提携形ゲーム》]]　[[《ゲームと実験》]]　[[《ゲーム理論の応用》]]　[[《ゲームの解の計算》]]　[[《生物学における進化ゲーム理論》]]

===確率と確率過程===

[[《確率論》]]　[[《確率過程》]]　[[《マルコフ連鎖》]]　[[《ポアソン過程と出生死滅過程》]]　[[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]]　[[《マルコフ決定過程》]]　[[《マルコフ連鎖の数値解法》]]

===統計===

[[《回帰分析》]]　[[《クラスター分析》]]　[[《判別関数》]]　[[《多次元尺度構成法》]]　[[《数量化法》]]　[[《多変量解析》]]

===予測===

[[《予測》]]　[[《指数平滑法》]]　[[《季節調整法》]]　[[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]]　[[《カルマンフィルター》]]　[[《非集計行動モデル》]]　[[《生態学モデル》]]　[[《バス(Bass)モデル》]]
[[《複雑系による予測モデル》]]

===シミュレーション===

[[《シミュレーション》]]　[[《離散型シミュレーション》]]　[[《モンテカルロ法》]]　[[《一様乱数》]]　[[《非一様乱数》]]　[[《離散型シミュレーションの統計的側面》]]　[[《シミュレーションソフトウェア》]]　[[《シミュレーションモデルの検証》]]　[[《ペトリネット》]]

===待ち行列===

[[《待ち行列》]]　[[《待ち行列モデルの標準形》]]　[[《待ち行列の各種モデル》]]　[[《待ち行列モデルM/M/c》]]　[[《待ち行列における関係式》]]　[[《待ち行列モデル M/G/1》]]　
[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]
[[《待ち行列のバケーションサーバモデル》]]　[[《待ち行列における近似》]]　[[《待ち行列における希少事象の評価》]]
[[《待ち行列の極限モデル（流体近似と拡散近似）》]]

===待ち行列ネットワーク===

[[《待ち行列ネットワーク》]]　[[《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》]]　[[《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》]]　
[[《積形式解ネットワークとなるための条件》]]　[[《待ち行列ネットワークの近似解析》]]　[[《待ち行列ネットワークの安定性》]]

===待ち行列の応用===

[[《待ち行列の通信への応用》]]　[[《待ち行列のコンピュータへの応用》]]　[[《待ち行列の生産システムへの応用》]]

===信頼性・保全性===

[[《信頼性》]]　[[《寿命分布》]]　[[《保全性》]]　[[《予防保全》]]　[[《システムの安全性》]]　[[《故障データ解析》]]　[[《ベイズ信頼性》]]　[[《システムの信頼性》]]　[[《フォールトトレランス》]]　[[《ソフトウェア信頼性》]]

===探索理論===

[[《探索理論》]]　[[《目標存在分布の推定》]]　[[《センサーの探知論》]]　[[《探索モデルと探索の運動学》]]
[[《静止目標物の最適探索》]]
[[《移動目標物の最適探索》]]
[[《探索ゲーム》]]
[[《ランデブー探索》]]
[[《探索理論の応用と実例》]]

===経営・経済性工学===

[[《経営戦略》]]　[[《経営モデル》]]　[[《分権管理》]]　[[《経営意思決定》]]　[[《利益計画》]]　[[《経営分析》]]　[[《間接費管理》]]　[[《経済計算》]]　[[《投資案件の評価》]]　[[《財務管理》]]　[[《企業価値評価》]]

===マーケティング===

[[《マーケティング概説》]]　[[《マーケティングモデル》]]　[[《マーケティング・リサーチ》]]

===生産・在庫・ロジスティクス===

[[《生産管理》]]　[[《JIT生産システム》]]　[[《ラインバランシング》]]　[[《在庫管理》]]　[[《経済発注量モデル(EOQモデル)》]]　[[《動的ロットサイズ決定問題》]]　[[《ロットスケジューリング》]]　[[《ロジスティクス》]]　[[《運搬経路問題(配送計画問題, トラック配送問題, 配送問題, 輸送経路問題)》]]　[[《施設配置問題》]]　[[《ロジスティクスネットワーク設計問題》]]
[[《APS》]]

===企画・開発・プロジェクト・品質・ヒューマン===

[[《製品企画開発》]]　[[《研究開発》]]　[[《プロジェクト管理》]]　[[《総合的品質管理》]]　[[《QC手法》]]　[[《人的資源管理》]]　[[《勤務スケジューリング》]]

===ファイナンス===

[[《モダンポートフォリオ理論(概論)》]]　[[《資産評価理論》]]　[[《企業財務》]]　[[《資産運用モデル》]]　[[《株価変動モデル》]]　[[《証券市場モデル》]]　[[《金利変動モデルと債券価格》]]　[[《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》]]　[[《デリバティブ評価モデル》]]
[[《行動ファイナンス》]]
[[《証券化》]]
[[《倒産確率の推計》]]
[[《リアルオプション》]]
[[《CAPM》]]
[[《無裁定価格理論》]]

===公共システム===

[[《選挙制度》]]　[[《議員定数配分問題》]]　[[《投票理論》]]　[[《公共政策OR-I》]]　[[《公共政策OR-II》]]　[[《産業連関分析》]]　[[《エネルギー・環境政策》]]　[[《軍事モデル》]]

===都市システム===

[[《積分幾何学》]]　[[《都市構造分析》]]　[[《地理的最適化》]]　[[《ウォードロップの原理》]]　[[《地域間相互作用モデル》]]　[[《ODの調査》]]　[[《地理情報システム》]]

===システム分析・意思決定支援・特許===

[[《システム分析》]]　[[《リエンジニアリング》]]　[[《意思決定支援システム》]]　[[《効用関数》]]　[[《データマイニング》]]　[[《過程決定計画図》]]　[[《発想法》]]　[[《モデル管理》]]　[[《アルゴリズム特許》]]
[[《モデリング》]]

===AHP(階層的意思決定法)===

[[《AHP》]]　[[《AHP一対比較法》]]　[[《AHP重要度算出法》]]　[[《AHP整合性尺度》]]　[[《拡張型AHP》]]　[[《AHP重要度評価法》]]　[[《グループAHP》]]　[[《ANP》]]　[[《AHPの諸問題》]]　[[《大規模AHP》]]　[[《AHPの誤差》]]　[[《AHPの理論的解釈》]]

===DEA(包絡分析法)===

[[《DEA(包絡分析法)》]]　[[《CCRモデル》]]　[[《BCCモデル》]]　[[《効率性》]]　[[《規模の収穫》]]　[[《SBMモデル》]]

《待ち行列における希少事象の評価》

2007-08-06T15:46:18Z

Bassy: 新しいページ: ''''【まちぎょうれつにおけるきしょうじしょうのひょうか (rare event evalution of queueing systems) 】''' 　待ち行列理論は, 電話トラヒッ...'

'''【まちぎょうれつにおけるきしょうじしょうのひょうか (rare event evalution of queueing systems) 】'''

　待ち行列理論は, 電話トラヒックの輻輳を解析することから始まったのであるが, ここで述べる「待ち行列における[[溢れ確率]] (overflow probability) 近似」は, 近年普及してきたマルチメディア通信ネットワークの輻輳を解析する必要性から始まったと言える [5]. それでは従来の待ち行列と何が異なるか？一つは, 従来良く用いられたポアソン入力や[[再生過程到着|再生過程入力]]とは異なり, 強い相関を持つ入力トラヒックを対象にしたこと, もう一つは, 評価すべき溢れ確率が<math>10^{-7}\sim10^{-9}\, </math>のオーダの極めて稀な確率事象を対象にしたことである. 以下, これらの課題から生まれた新たな入力モデルや解析手法について簡単に述べる.

'''流体近似モデル'''　待ち行列モデルとしてマルチメディア通信ネットワークで用いられる[[穴あきバケツモデル]] (bucket-with-hole model) の離散時間版を考える. 時刻<math>n\, </math>の[[入力率]] (input rate) を<math>X_n\, </math>, 出力率を<math>C\, </math>とすると, 時刻<math>n\, </math>での待ち行列長<math>Q_{n}\, </math>は

<center>
<math>
Q_{n}=\max\{Q_{n-1}+ U_n, 0\}, \qquad U_n=X_n-C,
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

で表される. ここで, <math>\{X_n\}\, </math>をE<math>(X_n)<C\, </math>の定常過程とすると, 定常状態における[[溢れ確率]]P<math>(Q>x)\, </math>は

<center>
<math>
\mbox{P}(Q>x)=\mbox{P}\left(\sup_{n\geq 0}\{A_n\}>x \right)
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられる. 但し, <math>\textstyle A_n=\sum_{i=1}^n U_{-i}\, </math>, <math>A_0=0\, </math>である. <math>U_n\, </math>を<math>n\, </math>番目の客のサービス時間<math>S_n\, </math>と<math>n\, </math>番目と<math>n+1\, </math>番目の客の到着間隔<math>T_n\, </math>の差<math>S_n-T_n\, </math>と考えるならば, (2) は先着順サービスのG/G/1待ち行列における[[待ち時間分布の裾]] (tail of waitingtime distribution)となる. これは, (1) で表される待ち行列モデルが特殊なモデルではなく, 従来から議論されている待ち行列モデルと基本的に変わらないことを意味している. 従来と大きく異なるところは, 入力として強い相関をもつ[[マルコフ型到着過程|マルコフ型入力過程]]や[[長期依存型入力過程]] (long-rangedependent input process)が議論されるようになったことである.

'''漸近解析'''　ところで, 溢れ確率の解析手法については, <math>Q_n\, </math>が閾値<math>x\, </math>を越える事象が極めて稀な場合を考えているため, [[大偏差理論]] (large deviation theory)を用いた[[漸近解析]] (asymptotic analysis)が注目を浴びるようになった. ここでは, 長期依存型入力を含む一般的な入力過程の場合の漸近解析を説明する [3].

<center>
<math>
\psi (\theta)\equiv \lim_{n\rightarrow \infty} v(n)^{-1} \log \mbox{E}[\mathrm{e}^{\theta
A_nv(n)/a(n)}], \;\;\;\; g(y)\equiv \lim_{n\rightarrow
\infty}\frac{v(a^{-1}(n/y))}{h(n)}
\, </math>
</center>

が存在するように適当な増加数列<math>\{v(n)\}, \{a(n)\}, \{h(n)\}\, </math>を与える. 但し, <math>a^{-1}(z)\, </math> <math>\equiv\sup\{n:a(n)\leq z\}\, </math>. このとき, 大偏差理論のGärtner-Ellisの定理 [1] から, 任意の<math>y>0\, </math>に対して

<center>
<math>
\lim_{n\rightarrow \infty}v(n)^{-1}\log \mbox{P}(A_n/a(n)>y)=-\psi^{*}(y)
\, </math>
</center>

が成り立つ. 但し, <math>\textstyle \psi^{*}(y)\equiv \sup_{\theta}\{\theta y - \psi
(\theta)\}\, </math>. 更に

<center>
<math>
\sup_{n\geq 0} \mbox{P}(A_n >x)\leq \mbox{P}(\sup_{n\geq 0}\{A_n\}>x)\leq
\sum_{n} \mbox{P}(A_n>x)
\, </math>
</center>

の不等式において, <math>x\, </math>が十分大きいところではオーダの意味で

<center>
<math>
\sup_{n\geq 0} \mbox{P}(A_n >x)\approx
\sum_{n}\mbox{P}(A_n>x)
\approx \mbox{P}(A_{a^{-1}(x/y^{*})}>x)
\, </math>
</center>

となる. ここで, <math>\textstyle y^{*}=\arg\inf_{y>0}g(y) \psi^{*}(y)\, </math>である. これは, 大偏差理論における稀な事象が生起するときの基本的な性質である. つまり, (2)の右辺は負のドリフトを持つ確率過程<math>\{A_n\}\, </math>が閾値<math>x\, </math>にヒットする確率と解釈できるが, もしヒットするならば最も可能性の高い時点<math>n\, </math>, ここでは<math>a^{-1}(x/y^{*})\, </math>, でヒットすることを意味する. これらの議論から溢れ確率に関して

<center>
<math>
\lim_{x\rightarrow \infty} h(x)^{-1} \log \mbox{P}(Q>x )
= - g(y^{*}) \psi^{*}(y^{*})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

が得られる. (3) は緩やかに変動する関数<math>B(x)\, </math>が存在して

<center>
<math>
\mbox{P}(Q>x)=B(x)\mathrm{e}^{-\kappa h(x)}, \qquad \kappa=g(y^{*}) \psi^{*}(y^{*}),
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

であることを意味する. 具体的な入力過程で計算するならば, 短期依存型であるマルコフ型入力過程のときは, <math>h(x)=x\, </math>となり, 溢れ確率は指数的に減衰する. 一方, 長期依存型入力過程の多くは<math>h(x)=x^{\beta}, \beta\in (0, 1)\, </math>となり, 溢れ確率が指数より緩やかに減衰する.

　入力の多重数<math>L\, </math>とそれに比例して出力率, 閾値を増加させたときの溢れ確率 <math>\mbox{P}(Q^L >Ly)\, </math>も同様な考え方で漸近解析が行なわれている [2]. 多重数<math>L\, </math>の入力率は, <math>L\, </math>個の入力率<math>X_n^{(l)}, l=1, \cdots, L\, </math>を単純に足したものである. 結果だけを記述すると任意の<math>y>0\, </math>に対して

<center>
<math>
\lim_{L\rightarrow \infty}L^{-1}\log \mbox{P}(Q^L>Ly)= -\inf_{n>0}\psi^{*}_n (y)
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

となる. 但し, <math>\textstyle \psi_n (\theta)= \lim_{L\rightarrow \infty} L^{-1}\log \mbox{E}[\mathrm{e}^{\theta A_n^L}]\, </math>, <math>\textstyle \psi_n^{*}(y)\equiv\sup_{\theta}\{\theta y - \psi_n (\theta)\}\, </math>である.

本結果も，長期依存型入力に適用できる.

　以上, 離散時間の場合を議論してきたが, 連続時間のモデルに対しても同様な結果が得られる. なお，本内容については参考文献 [4] にも書かれている.

----
'''参考文献'''

[1] A. Dembo and O. Zeitouni, ''Large Deviations Techniques and Applications'', Jones and Bartlett Publishers, 1993.

[2] N. G. Duffield, "Economies of Scale for Long-Range Dependent Traffic in Short Buffers," ''Telecommunication Systems'', '''7''' (1997), 267-280.

[3] N. G. Duffield and N. O'Connell, "Large Deviations and Overflow Probabilities for the General Single-Server Queue, with Ppplications," ''Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''118''' (1995), 363-374.

[4] A. Ganesh, N. O'Connell and D. Wischik, ''Big Queues'', Springer, 2004.

[5] 小林和朝, 「マルチメディア情報流に対する流体近似」, 『応用数理』, '''9''' (1999), 46-59.

基礎編：項目一覧

2007-08-06T15:45:44Z

Bassy: /* 待ち行列 */

===線形計画===

[[《最適化問題》]]　[[《線形計画》]]　[[《単体法》]]　[[《楕円体法》]]　[[《内点法》]]　[[《半正定値計画》]]

=== 非線形計画 ===

[[《非線形計画》]]　[[《最適性条件》]]　[[《双対性理論》]]　[[《制約なし最適化》]]　[[《制約付き最適化》]]　[[《大域的最適化》]]　[[《相補性問題》]]　[[《大規模問題の分解法》]]　[[《凸解析》]]　[[《高速微分法》]]　[[《多項式最適化問題》]]

=== 組合せ最適化 ===

[[《整数計画》]]　[[《組合せ最適化問題》]]　[[《多面体理論》]]　[[《アルゴリズム》]]　[[《データ構造》]]　[[《計算の複雑さ》]]　[[《パーフェクトグラフ》]]　[[《グレブナー基底》]]

===グラフ・ネットワーク===

[[《グラフ・ネットワーク》]]　[[《グラフの連結度》]]　[[《最短路問題》]]　[[《最小木問題》]]　[[《巡回セールスマン問題》]]　[[《ネットワーク・フロー問題》]]　[[《マッチング問題》]]　[[《マトロイド》]]　[[《劣モジュラ最適化》]]　[[《離散凸解析》]]　[[《複雑ネットワーク》]]

===スケジューリング===

[[《スケジューリング理論》]]　[[《スケジューリング問題》]]　[[《スケジューリングアルゴリズム》]]

===計算幾何===

[[《凸多面体》]]　[[《アレンジメント》]]　[[《ボロノイ図》]]　[[《三角形分割》]]　[[《幾何グラフ》]]　[[《バケット法》]]　[[《双対変換》]]　[[《木》]]　[[《ランダマイゼーション》]]　[[《ロバスト化技術》]]　[[《計算幾何学》]]

===動的・確率・多目的計画===

[[《動的計画》]]　[[《両的計画》]]　[[《多段確率決定樹表(ツリーテーブル)》]]　[[《不変埋没原理》]]　[[《多目的計画》]]　[[《最適停止》]]　[[《確率計画》]]　

===近似・知能・感覚的手法===

[[《近似アルゴリズム（ヒューリスティックアルゴリズム）》]]　[[《メタヒューリスティクス》]]　[[《ファジイ理論》]]　[[《ソフトコンピューティング》]]
[[《ラフ集合》]]　[[《ファジィランダム変数》]]
[[《ニューラルネットワーク》]]　[[《制約充足問題》]]　[[《人工知能》]]　[[《論理プログラミング》]]　[[《サポート・ベクター・マシン》]]

===ゲーム理論===

[[《ゲーム理論》]]　[[《非協力ゲーム理論》]]　[[《戦略形ゲーム》]]　[[《展開形ゲーム》]]　[[《進化と学習のゲーム理論》]]　[[《協力ゲーム理論》]]　[[《交渉ゲーム》]]　[[《提携形ゲーム》]]　[[《ゲームと実験》]]　[[《ゲーム理論の応用》]]　[[《ゲームの解の計算》]]　[[《生物学における進化ゲーム理論》]]

===確率と確率過程===

[[《確率論》]]　[[《確率過程》]]　[[《マルコフ連鎖》]]　[[《ポアソン過程と出生死滅過程》]]　[[《ランダム・ウォークとブラウン運動》]]　[[《マルコフ決定過程》]]　[[《マルコフ連鎖の数値解法》]]

===統計===

[[《回帰分析》]]　[[《クラスター分析》]]　[[《判別関数》]]　[[《多次元尺度構成法》]]　[[《数量化法》]]　[[《多変量解析》]]

===予測===

[[《予測》]]　[[《指数平滑法》]]　[[《季節調整法》]]　[[《自己回帰和分移動平均(ARIMA)モデル》]]　[[《カルマンフィルター》]]　[[《非集計行動モデル》]]　[[《生態学モデル》]]　[[《バス(Bass)モデル》]]
[[《複雑系による予測モデル》]]

===シミュレーション===

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===待ち行列===

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[[《待ち行列に対するアルゴリズム的解法》]]
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===待ち行列ネットワーク===

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===待ち行列の応用===

[[《待ち行列の通信への応用》]]　[[《待ち行列のコンピュータへの応用》]]　[[《待ち行列の生産システムへの応用》]]

===信頼性・保全性===

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===探索理論===

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===DEA(包絡分析法)===

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基礎編：項目一覧

2007-08-06T15:42:18Z

Bassy: Bassy による編集を Orsjwiki による版へと差し戻しました。

===線形計画===

[[《最適化問題》]]　[[《線形計画》]]　[[《単体法》]]　[[《楕円体法》]]　[[《内点法》]]　[[《半正定値計画》]]

=== 非線形計画 ===

[[《非線形計画》]]　[[《最適性条件》]]　[[《双対性理論》]]　[[《制約なし最適化》]]　[[《制約付き最適化》]]　[[《大域的最適化》]]　[[《相補性問題》]]　[[《大規模問題の分解法》]]　[[《凸解析》]]　[[《高速微分法》]]　[[《多項式最適化問題》]]

=== 組合せ最適化 ===

[[《整数計画》]]　[[《組合せ最適化問題》]]　[[《多面体理論》]]　[[《アルゴリズム》]]　[[《データ構造》]]　[[《計算の複雑さ》]]　[[《パーフェクトグラフ》]]　[[《グレブナー基底》]]

===グラフ・ネットワーク===

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===スケジューリング===

[[《スケジューリング理論》]]　[[《スケジューリング問題》]]　[[《スケジューリングアルゴリズム》]]

===計算幾何===

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===動的・確率・多目的計画===

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===近似・知能・感覚的手法===

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[[《ラフ集合》]]　[[《ファジィランダム変数》]]
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===ゲーム理論===

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===予測===

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===シミュレーション===

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===待ち行列===

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===待ち行列ネットワーク===

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===待ち行列の応用===

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===AHP(階層的意思決定法)===

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基礎編：項目一覧

2007-08-06T15:41:46Z

Bassy: /* 待ち行列 */

《待ち行列における近似》

2007-08-06T15:13:20Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつにおけるきんじ (approximations for queues) 】'''

　待ち行列における近似は, 近似対象を比較的狭い範囲に固定した簡易式としての位置付けの近似式と, 汎用モデルとしての位置付けの近似解法に大きく2分される. いずれも, 解析が非常に難しい, あるいは解析は可能だが特性量の計算に非常に長い時間を要する待ち行列に対して必要かつ有用である.

　標準型待ち行列GI/G/<math>s\, </math>は, そのモデルの一般性から, これまで数多くの近似式が提案されている. 特に, 客の到着がポアソン過程にしたがうM/G/<math>s\, </math>待ち行列とその変形[[集団待ち行列|集団到着]], [[有限待合室モデル|有限待合室]], [[優先権]]等)に対しては, モデルの重要性と厳密な解析の困難さのために, 待ち行列理論の歴史の中でもかなり早い段階から研究が進められてきた.

　簡易式としての位置付けから, 平均待ち時間<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>にはとりわけ多くの近似式が提案されている. <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>に対する近似式が最低限満たすべき性質は以下の3つである.

1. <math>s=1\, </math>のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1} )\, </math>に対する[[ポラチェック・ヒンチンの公式]]と整合すること.

2. 指数サービス時間分布のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})\, </math>と整合すること.

3. 重負荷(heavy traffic)時における漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 1}\, (1-\rho) \, \mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})=\frac{1+c_s^2}{2s\mu}
\, </math>
</center>

と整合すること. ただし, <math>\rho=\lambda/s\mu\, </math> はトラフィック密度, <math>\lambda\, </math> は到着率, <math>\mu\, </math> はサービス率, <math>c_s\, </math> はサービス時間分布の変動係数を表す.

これらをすべて満たす近似式として, [[リー・ロントンの近似式]](Lee-Longton approximation) [4] が知られている. リー・ロントンの近似式は, <math>0\leq c_s<1\, </math>のとき過小評価, <math>c_s>1\, </math>のとき過大評価する傾向がある. さらに正確な近似式を得るためには, 性質 1-3に加えて

4. 一定サービス時間分布のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/D}/s} )\, </math>と整合すること.

5. <math>s\to\infty\, </math>のときの漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{s\to\infty}\frac{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}=1
\, </math>
</center>

:と整合すること.

6. 軽負荷(light traffic)時における漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 0}\frac{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}= s\mu\int_0^{\infty}\{1-G_e(t)\}^s dt
\, </math>
</center>

と整合すること. ここで, <math>G_e(\cdot)\, </math>はサービス時間分布の平衡分布を表す.

を満たすことが要求される. 性質 1-5を満たす近似式の中で, 木村の近似式(Kimura's approximation) [1]

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})\approx\frac{1+c_s^2}{\displaystyle\frac{2c_s^2}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}+\frac{1-c_s^2}{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/D}/s})}}
\, </math>
</center>

は, <math>c_s\, </math> の値に依らず比較的安定した精度をもつことが知られている.

　性質1-5まではサービス時間の2次までのモーメント(平均, 分散)のみを用いて表されるため, これらの性質を用いて得られる近似式を2モーメント近似(two-moment approximation)と呼ぶ. これに対し, 性質 6はサービス時間の分布情報を必要とするため, 性質1-6をすべて満たす近似式は2モーメント近似よりも簡易式としての利便性をやや欠くことになる. さらに, 中程度以上の負荷がかかる状況では近似精度で2モーメント近似との間で大きな差を生じないため, 実用上は性質 1-5を満たす2モーメント近似で十分である. 性質6はそれ自身[[軽負荷近似]] (light traffic approximation)として用いられることもある.

　M/G/<math>s\, </math>待ち行列の平均待ち時間以外の重要な特性量としては, 到着客の待ち確率(delay probability) <math>\Pi^{{\rm M/G}/s}\, </math>が挙げられる. 理論的および数値的検証によって

<center>
<math>
\Pi^{{\rm M/G}/s} \approx \Pi^{{\rm M/M}/s}
\, </math>
</center>

が非常に良い近似となることが確かめられており, アーランの待ち確率近似(Erlang delay probability approximation)と呼ばれている. この他, 待ち時間分布や系内客数分布に対する近似式 [6], 有限待合室の場合の呼損率に対する近似式 [3] 等が研究されている.

　一般到着分布をもつGI/G/<math>s\, </math>待ち行列に対する近似式は, M/G/<math>s\, </math>待ち行列ほど成功しているとは言い難い. その第1の原因は, 特性量が満たすべき性質の理論的解明が進んでいない点にある. 例えば<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s} )\, </math>に対する近似式が満たすべき性質としては, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>に対する性質に加えて

7. <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm D/M}/s} )\, </math>あるいは<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/M}/s} )\, </math>と整合すること.

が課せられる程度でしかない. ここで, 重負荷時における性質3は, 到着時間間隔分布の変動係数を<math>c_a\, </math>とすると

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 1}(1-\rho)\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s})
=\frac{c_a^2+c_s^2}{2s\mu}
\, </math>
</center>

で置き換えられることに注意しよう. また第2の原因としては, 到着過程の3次以上のモーメントが特性量に強く影響するために, 簡易な2モーメント近似が本質的に得にくい点が挙げられる. 性質1-5および7を満たす<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s} )\, </math>に対する近似式としては[[ページの近似式]] (Page's approximation) [5] が知られているが, <math>c_a>1\, </math>または<math>c_s>1\, </math>のとき過大評価する傾向がある. この他の近似式については [2]を参照のこと.

　汎用モデルとして位置付けられる近似解法は極めて限られる. [[流体近似]] (fluid approximation)と[[拡散近似]] (diffusion approximation) は, 待ち行列における代表的な汎用モデルである. 両者は, 系内客数過程のような離散値確率過程を連続値を取る過程でモデル化するという点で共通している. この意味で, これら2つの近似解法を待ち行列の極限モデルと捉えることもできる.

----

'''参考文献'''

[1] T. Kimura, "A Two-Moment Approximation for the Mean Waiting Time in the GI/G/s Queue," ''Management Science'', '''32''' (1986), 751-763.

[2] T. Kimura, "Approximations for Multi-Server Queues: System Interpolations," ''Queueing Systems'', '''17''' (1994), 347-382.

[3] T. Kimura, "A Transform-Free Approximation for the Finite Capacity M/G/s Queue," ''Operations Research'', '''44''' (1996), 984-988.

[4] A. M. Lee and P. A. Longton, "Queueing Process Associated with Airline Passenger Check-In," ''Operational Research Quarterly'', '''10''' (1957), 56-71.

[5] E. Page, ''Queueing Theory in OR'', Butterworth, 1972.

[6] H. C. Tijms, ''Stochastic Models: An Algorithmic Approach'', Wiley, 1994.

《待ち行列モデル M/G/1》

2007-08-06T15:08:11Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつもでる M/G/1 (queueing model M/G/1) 】'''

　[[待ち行列モデル M/G/1]] (queueing model M/G/1) は, 客の到着が到着率 <math>\lambda\, </math> の[[ポアソン過程]]に従い, サービス時間が一般分布 <math>H(t)\, </math> に従う, 窓口1個 (扱い者1人) の無限長の待ち行列を許す最も基本的なモデルである.

　客の到着間隔 <math>A_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> およびサービス時間<math>B_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> は互いに独立で, <math>A_r\, </math> は平均 <math>1/\lambda\, </math> の指数分布, <math>B_r\, </math> はサービス時間分布 <math>H(t)\, </math> に従う. したがって任意の時間帯 <math>(\tau, \tau+t ]\, </math> における到着客数 <math>N_{\tau}(t)\, </math>は, 平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う確率変数となる. 客の[[サービス規律]]として, 通常, [[先着順サービス|先着順]] (FCFS) を仮定するが, [[後着順サービス|後着順]] (LCFS), [[ランダム順サービス|ランダム順]] (ROS) などのサービス規律を考えることもある.

　先着順サービスの M/G/1 モデルでは, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 利用率 <math>\rho=\lambda/\mu < 1\, </math> のときにシステムは安定となり, 時間の経過とともに[[平衡状態]]へ近づく. 平衡状態における客の待ち時間分布 <math>W_q(t)\, </math> は[[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula)

<center>
<math>
W_q^*(s) = (1-\rho)/ \{1-\lambda[1-H^*(s)]/s\}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって与えられる. ここで <math>W_q^*(s), H^*(s)\, </math> はそれぞれ <math>W_q(t), H(t)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換である.

'''平均待ち時間'''　式 (1) から, 平衡状態における[[平均待ち時間]] <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> は, <math>c^2= \mbox{Var}(B_r)/\{\mbox{E}(B_r)\}^2\, </math> をサービス時間分布の変動係数として,

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q) = \frac{\rho (1+c^2)}{2 \mu (1-\rho)}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられることが分かる. この式から平均行列長, 平均系内人数, 平均系内滞在時間などは[[リトルの公式]]を用いて容易に導くことができる.

　式 (2) は, 同じ <math>\lambda\, </math> と<math>\mu\, </math> をもった M/M/1 モデルの平均待ち時間を <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1} )\, </math> とすれば

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1}) = \frac{1}{2} (1+c^2) \mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

と書ける. これは M/G/1 モデルではサービス時間分布のばらつきが大きいほど長く待たされることを示しており, 最も平均待ち時間が短いのはサービス時間が一定のときで, M/M/1 の 1/2 であることが確かめられる.

'''M/G/1型待ち行列モデルの解析'''　以下, M/G/1 モデルとその類似モデルの解析について, いくつかコメントしておこう.

　M/G/1 モデルから派生する種々の待ち行列モデルを, M/G/1 型待ち行列モデルと呼ぶ. 例えば, 有限待合室モデル (M/G/1/<math>m\, </math>), 有限呼源モデル (M<math>({\it n}) \, </math>/G/1), 集団到着個別処理モデル (M<math>^{[X]}\, </math>/G/1), 休暇時間 (準備時間) を伴う待ち行列([[バケーション|バケーションモデル]]) などはM/G/1 型待ち行列モデルである. また複数個の待ち行列をもつモデル, たとえば多重待ち行列([[ポーリングモデル]]), 優先権のある待ち行列, 移動扱い者によって処理される直列型(網型)の待ち行列などもM/G/1 型待ち行列モデルと考えることができる. M/G/1 モデルの双対的な待ち行列モデルとして, GI/M/1 モデルを考えることもある.

　M/G/1 モデルやM/G/1 型モデルの常套的な解析法として, 客のサービス終了直後における系内人数に着目する[[隠れマルコフ連鎖法]]や, 系内人数の他に残りサービス時間 (あるいはサービス経過時間)を状態変数として取り入れる[[補助変数法]]が知られている. また, [[PASTA]]が成立するのも特徴の一つである.

　待ち行列モデル M/G/1 において, 非割り込みのサービス規律 (先着順, ランダム順など) の下で, 客の退去時点 (サービス終了時点) 直後における系内客数の定常分布 <math>\{\pi_j\}\, </math> の母関数 <math>\Pi(z)\, </math> は

<center>
<math>
\Pi(z) = \frac{\pi_0 (1-z)}{1-z/H^*(\lambda(1-z))}, \ \ \ \pi_0 = 1
-\rho
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

で与えられる. 先着順サービスの下では, ある客 C の系内滞在時間 <math>\Theta\, </math>内に到着する客数と C の退去時点の系内客数は等しく, かつ C の系内時間<math>\Theta\, </math> と C の到着以降の到着過程 <math>\{ N_{\tau}(t)\}\, </math> は独立であるから, <math>\Theta\, </math> の定常分布 <math>\Theta(x)\, </math> のラプラス・スチルチェス変換を <math>\Theta^*(s)\, </math> と表せば,

<center>
<math>
\Pi(z) = \Theta^*(\lambda(1-z))
= W_q^*(\lambda(1-z)) H^*(\lambda(1-z))
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

の関係が成立し, 式 (4), (5) より, ポラチェック・ヒンチンの公式 (1) が得られる [1], [3].

　<math>W_q^*(s)\, </math> の構造に確率的解釈を与え, 上記のように <math>\Pi(z)\, </math> を介さないで直接的に求める手法として, 全稼働期間解析法 (busy period analysis) がある. これは優先権のある待ち行列の解析に有効であり, 各種の全稼働期間中に到着する客の条件付き待ち時間分布のラプラス・スチルチェス変換<math>W_q^*(s| \mbox{busy period})\, </math> を基本として <math>W_q^*(s)\, </math> を構成するものである. これによれば

<center>
<table>
<tr><td rowspan="2"><math>W_q^*(s) \,\, </math></td>
<td><math>= (1-\rho) W_q^*(s | \mbox{idle period}\, </math> に到着
<math>\ ) + \rho W_q^*(s | \mbox{busy period}\, </math>に到着<math>\ ) \, </math></td></tr>
<tr><td><math>= (1-\rho) \cdot 1 + \rho \cdot R^*(s)
\cdot s(1-\rho)/ \left[ s-\lambda+\lambda H^*(s)
\right]\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math></td></tr></table>
</center>

となる [1], [3]. ただし <math>R^*(s)\, </math> は, 残余サービス時間分布

<center>
<math>
R(t) = \frac{1}{\mathrm{E}(B_r)}
\int_{0}^{t} \left[ 1-H(x) \right] \mathrm{d} x
\ \ \ \ (t \geq 0)
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

のラプラス・スチルチェス変換で, <math> R^*(s) = \mu \left[ 1-H^*(s) \right]/ s \,</math>で与えられる.

　時刻 <math>t\, </math> に仮に客が到着したとすればその客が待たなければならない時間 <math>v(t)\, </math> は, 仮り待ち時間 (virtual waiting time) と呼ばれる. 時刻<math>t\, </math> における仮り待ち時間の分布関数 <math>V(t, x)\, </math>, <math>x, t \geq 0\, </math> に関して, 次のタカッチの積分-微分方程式 (Tak\'{a}cs' integro-differential equation) が成立する [1].

<center>
<math>
\frac{\partial V(t, x)}{\partial t}
= \frac{\partial V(t, x)}{\partial x}
-\lambda \left[
V(t, x) -\int_{0-}^{x} H(x-y) \mathrm{d}_y V(t, y)
\right]
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

平衡状態 (<math>t \rightarrow \infty\, </math>) における仮り待ち時間の分布関数<math>V(x)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換 <math>V^*(s)\, </math> と表わし, 式(8)の左辺を零とおけば、次のレベルクロッシング法[5]の公式 (level-crossing formula) が得られる. これを,<math>V^*(0)=1\, </math>の下に解いて<math>V^*(s)\, </math>が決定される.

<center>
<math>
\frac{dV(x)}{dx}
= \lambda \int_{0-}^x [{1-H(x-y)}] \mathrm{d} V(y) \ \ \ \ ( x > 0 )
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

　M/G/1 モデルでは PASTA が成立するので <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> であり, このようにしても式(1) の<math>W_q^*(s)\, </math> が求められる. さらに, 客の到着が一般分布 <math>F(t)\, </math> に従う GI/G/1モデルにおける[[リンドレーの方程式|リンドレーの積分方程式]] (Lindley's equation)

<center>
<math>
W_q(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\int^{\infty}_{0-} C(t-x) \mathrm{d} W_q(x) & (t \geq 0) \\
0 & (t < 0)
\end{array}
\right.
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>
</center>

<center>
<math>
C(t)=\int^{\infty}_{x=0} H(t+x) \mathrm{d} F(x)
\ \ \ -\infty < t < +\infty
\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>
</center>

やタカッチの公式 (Takács' formula)

<center>
<math>\begin{array}{lll}
V^*(s) & = &(1-\rho) V^*(s | \mbox{idle period} )
+ \rho V^*(s | \mbox{busy period} ) \\
& = & 1-\rho + \rho R^*(s) W_q^*(s)
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>
</center>

を利用しても <math>W_q^*(s)\, </math> が直接的に求められる [1], [2]. 式 (12) は, M/G/1 における式 (6) の GI/G/1 への一般化であり, さらに一般的な到着過程として定常性のみを仮定した G/G/1 においても成立することが示されている. 本式と <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> より直ちにポラチェック・ヒンチンの公式を得る.

　なお, 式 (1) の<math>W_q^*(s)\, </math> の逆変換形 <math>W_q(t)\, </math> の一つとして次式が知られている.

<center>
<math>
W_q(t) = (1-\rho) \sum_{k=0}^{\infty} \rho^k R_k(t) \ \ \ \ ( t\geq 0 )
\, </math>　　　　　<math>(13)\, </math>
</center>

ただし <math>R_0(t) = 1\, </math> で, <math>R_k(t)\, </math> は式 (7) の残余サービス時間分布 <math>R(t)\, </math> 自身の<math>k(\geq1)\, </math> 回のたたみこみを表す[1], [4].

----

'''参考文献'''

[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1: Theory,'' John Wiley & Sons, 1975.

[2] L. akács, "The Limiting Distribution of the Virtual Waiting Time and the Queue Size for a Single-Server Queue with Recurrent Input and General Service Times," ''Sankhya'', Series '''A25''' (1963), 91-100.

[3] H. Takagi, ''Queueing Analysis :A Foundation of Performance Evaluation Vol. 1, Vacation and Priority Systems, Part I,'' Elsevier Science Publisher B. V., North-Holland, 1991.

[4] N. U. Prabhu, ''Foundation of Queueing Theory,'' Kluwer Academic Publishers, 1997.

[5] B. Doshi: Level-crossing Analysis of Queues, ''Queueing and related models'', edited by U. N. Bhat and I. V. Basawa, Oxford University Press (1992), 3-33.

《待ち行列モデル M/G/1》

2007-08-06T09:04:07Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつもでる M/G/1 (queueing model M/G/1) 】'''

　[[待ち行列モデル M/G/1]] (queueing model M/G/1) は, 客の到着が到着率 <math>\lambda\, </math> の[[ポアソン過程]]に従い, サービス時間が一般分布 <math>H(t)\, </math> に従う, 窓口1個 (扱い者1人) の無限長の待ち行列を許す最も基本的なモデルである.

　客の到着間隔 <math>A_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> およびサービス時間<math>B_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> は互いに独立で, <math>A_r\, </math> は平均 <math>1/\lambda\, </math> の指数分布, <math>B_r\, </math> はサービス時間分布 <math>H(t)\, </math> に従う. したがって任意の時間帯 <math>(\tau, \tau+t ]\, </math> における到着客数 <math>N_{\tau}(t)\, </math>は, 平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う確率変数となる. 客の[[サービス規律]]として, 通常, [[先着順サービス|先着順]] (FCFS) を仮定するが, [[後着順サービス|後着順]] (LCFS), [[ランダム順サービス|ランダム順]] (ROS) などのサービス規律を考えることもある.

　先着順サービスの M/G/1 モデルでは, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 利用率 <math>\rho=\lambda/\mu < 1\, </math> のときにシステムは安定となり, 時間の経過とともに[[平衡状態]]へ近づく. 平衡状態における客の待ち時間分布 <math>W_q(t)\, </math> は[[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula)

<center>
<math>
W_q^*(s) = (1-\rho)/ \{1-\lambda[1-H^*(s)]/s\}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって与えられる. ここで <math>W_q^*(s), H^*(s)\, </math> はそれぞれ <math>W_q(t), H(t)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換である.

'''平均待ち時間'''　式 (1) から, 平衡状態における[[平均待ち時間]] <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> は, <math>c^2= \mbox{Var}(B_r)/\{\mbox{E}(B_r)\}^2\, </math> をサービス時間分布の変動係数として,

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q) = \frac{\rho (1+c^2)}{2 \mu (1-\rho)}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられることが分かる. この式から平均行列長, 平均系内人数, 平均系内滞在時間などは[[リトルの公式]]を用いて容易に導くことができる.

　式 (2) は, 同じ <math>\lambda\, </math> と<math>\mu\, </math> をもった M/M/1 モデルの平均待ち時間を <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1} )\, </math> とすれば

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1}) = \frac{1}{2} (1+c^2) \mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

と書ける. これは M/G/1 モデルではサービス時間分布のばらつきが大きいほど長く待たされることを示しており, 最も平均待ち時間が短いのはサービス時間が一定のときで, M/M/1 の 1/2 であることが確かめられる.

'''M/G/1型待ち行列モデルの解析'''　以下, M/G/1 モデルとその類似モデルの解析について, いくつかコメントしておこう.

　M/G/1 モデルから派生する種々の待ち行列モデルを, M/G/1 型待ち行列モデルと呼ぶ. 例えば, 有限待合室モデル (M/G/1/<math>m\, </math>), 有限呼源モデル (M<math>({\it n}) \, </math>/G/1), 集団到着個別処理モデル (M<math>^{[X]}\, </math>/G/1), 休暇時間 (準備時間) を伴う待ち行列([[バケーション|バケーションモデル]]) などはM/G/1 型待ち行列モデルである. また複数個の待ち行列をもつモデル, たとえば多重待ち行列([[ポーリングモデル]]), 優先権のある待ち行列, 移動扱い者によって処理される直列型(網型)の待ち行列などもM/G/1 型待ち行列モデルと考えることができる. M/G/1 モデルの双対的な待ち行列モデルとして, GI/M/1 モデルを考えることもある.

　M/G/1 モデルやM/G/1 型モデルの常套的な解析法として, 客のサービス終了直後における系内人数に着目する[[隠れマルコフ連鎖法]]や, 系内人数の他に残りサービス時間 (あるいはサービス経過時間)を状態変数として取り入れる[[補助変数法]]が知られている. また, [[PASTA]]が成立するのも特徴の一つである.

　待ち行列モデル M/G/1 において, 非割り込みのサービス規律 (先着順, ランダム順など) の下で, 客の退去時点 (サービス終了時点) 直後における系内客数の定常分布 <math>\{\pi_j\}\, </math> の母関数 <math>\Pi(z)\, </math> は

<center>
<math>
\Pi(z) = \frac{\pi_0 (1-z)}{1-z/H^*(\lambda(1-z))}, \ \ \ \pi_0 = 1
-\rho
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

で与えられる. 先着順サービスの下では, ある客 C の系内滞在時間 <math>\Theta\, </math>内に到着する客数と C の退去時点の系内客数は等しく, かつ C の系内時間<math>\Theta\, </math> と C の到着以降の到着過程 <math>\{ N_{\tau}(t)\}\, </math> は独立であるから, <math>\Theta\, </math> の定常分布 <math>\Theta(x)\, </math> のラプラス・スチルチェス変換を <math>\Theta^*(s)\, </math> と表せば,

<center>
<math>
\Pi(z) = \Theta^*(\lambda(1-z))
= W_q^*(\lambda(1-z)) H^*(\lambda(1-z))
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

の関係が成立し, 式 (4), (5) より, ポラチェック・ヒンチンの公式 (1) が得られる [1], [3].

　<math>W_q^*(s)\, </math> の構造に確率的解釈を与え, 上記のように <math>\Pi(z)\, </math> を介さないで直接的に求める手法として, 全稼働期間解析法 (busy period analysis) がある. これは優先権のある待ち行列の解析に有効であり, 各種の全稼働期間中に到着する客の条件付き待ち時間分布のラプラス・スチルチェス変換<math>W_q^*(s| \mbox{busy period})\, </math> を基本として <math>W_q^*(s)\, </math> を構成するものである. これによれば

<center>
<table>
<tr><td rowspan="2"><math>W_q^*(s) \,\, </math></td>
<td><math>= (1-\rho) W_q^*(s | \mbox{idle period}\, </math> に到着
<math>\ ) + \rho W_q^*(s | \mbox{busy period}\, </math>に到着<math>\ ) \, </math></td></tr>
<tr><td><math>= (1-\rho) \cdot 1 + \rho \cdot R^*(s)
\cdot s(1-\rho)/ \left[ s-\lambda+\lambda H^*(s)
\right]\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math></td></tr></table>
</center>

となる [1], [3]. ただし <math>R^*(s)\, </math> は, 残余サービス時間分布

<center>
<math>
R(t) = \frac{1}{\mathrm{E}(B_r)}
\int_{0}^{t} \left[ 1-H(x) \right] \mathrm{d} x
\ \ \ \ (t \geq 0)
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

のラプラス・スチルチェス変換で, R^*(s) = \mu \left[ 1-H^*(s) \right]/ s で与えられる.

　時刻 <math>t\, </math> に仮に客が到着したとすればその客が待たなければならない時間 <math>v(t)\, </math> は, 仮り待ち時間 (virtual waiting time) と呼ばれる. 時刻<math>t\, </math> における仮り待ち時間の分布関数 <math>V(t, x)\, </math>, <math>x, t \geq 0\, </math> に関して, 次のタカッチの積分-微分方程式 (Tak\'{a}cs' integro-differential equation) が成立する [1].

<center>
<math>
\frac{\partial V(t, x)}{\partial t}
= \frac{\partial V(t, x)}{\partial x}
-\lambda \left[
V(t, x) -\int_{0-}^{x} H(x-y) \mathrm{d}_y V(t, y)
\right]
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

平衡状態 (<math>t \rightarrow \infty\, </math>) における仮り待ち時間の分布関数<math>V(x)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換 <math>V^*(s)\, </math> と表わし, 式(8)の左辺を零とおけば、次のレベルクロッシング法[5]の公式 (level-crossing formula) が得られる. これを,<math>V^*(0)=1\, </math>の下に解いて<math>V^*(s)\, </math>が決定される.

<center>
<math>
\frac{dV(x)}{dx}
= \lambda \int_{0-}^x {1-H(x-y)} \mathrm{d} V(y) \ \ \ \ ( x > 0 )
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

　M/G/1 モデルでは PASTA が成立するので <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> であり, このようにしても式(1) の<math>W_q^*(s)\, </math> が求められる. さらに, 客の到着が一般分布 <math>F(t)\, </math> に従う GI/G/1モデルにおける[[リンドレーの方程式|リンドレーの積分方程式]] (Lindley's equation)

<center>
<math>
W_q(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\int^{\infty}_{0-} C(t-x) \mathrm{d} W_q(x) & (t \geq 0) \\
0 & (t < 0)
\end{array}
\right.
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>
</center>

<center>
<math>
C(t)=\int^{\infty}_{x=0} H(t+x) \mathrm{d} F(x)
\ \ \ -\infty < t < +\infty
\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>
</center>

やタカッチの公式 (Takács' formula)

<center>
<math>\begin{array}{lll}
V^*(s) & = &(1-\rho) V^*(s | \mbox{idle period} )
+ \rho V^*(s | \mbox{busy period} ) \\
& = & 1-\rho + \rho R^*(s) W_q^*(s)
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>
</center>

を利用しても <math>W_q^*(s)\, </math> が直接的に求められる [1], [2]. 式 (12) は, M/G/1 における式 (6) の GI/G/1 への一般化であり, さらに一般的な到着過程として定常性のみを仮定した G/G/1 においても成立することが示されている. 本式と <math>W_q^*(s) = V^*(s)\, </math> より直ちにポラチェック・ヒンチンの公式を得る.

　なお, 式 (1) の<math>W_q^*(s)\, </math> の逆変換形 <math>W_q(t)\, </math> の一つとして次式が知られている.

<center>
<math>
W_q(t) = (1-\rho) \sum_{k=0}^{\infty} \rho^k R_k(t) \ \ \ \ ( t\geq 0 )
\, </math>　　　　　<math>(13)\, </math>
</center>

ただし <math>R_0(t) = 1\, </math> で, <math>R_k(t)\, </math> は式 (7) の残余サービス時間分布 <math>R(t)\, </math> 自身の<math>k(\geq1)\, </math> 回のたたみこみを表す[1], [4].

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'''参考文献'''

[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1: Theory,'' John Wiley & Sons, 1975.

[2] L. akács, "The Limiting Distribution of the Virtual Waiting Time and the Queue Size for a Single-Server Queue with Recurrent Input and General Service Times," ''Sankhya'', Series '''A25''' (1963), 91-100.

[3] H. Takagi, ''Queueing Analysis :A Foundation of Performance Evaluation Vol. 1, Vacation and Priority Systems, Part I,'' Elsevier Science Publisher B. V., North-Holland, 1991.

[4] N. U. Prabhu, ''Foundation of Queueing Theory,'' Kluwer Academic Publishers, 1997.

[5] B. Doshi: Level-crossing Analysis of Queues, ''Queueing and related models'', edited by U. N. Bhat and I. V. Basawa, Oxford University Press (1992), 3-33.

《待ち行列における関係式》

2007-08-06T07:49:12Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつにおけるかんけいしき (qualitative relations in queuing theory)】'''

'''リトルの公式'''　待ち行列における関係式の中で, 最も基本的なものひとつに, [[リトルの公式]] (Little's formula) がある [5] この公式は, 任意の待ち行列システムに対して, 平衡状態における平均系内人数 <math>\mbox{E}(L)\, </math> と平衡状態における平均系内滞在時間 <math>\mbox{E}(W)\, </math> とを関係づけるものである. <math>\lambda\, </math> をシステムへの到着率とすると, <math>\mbox{E}(W\, </math>) か <math>\mbox{E}(L)\, </math> のどちらか一方が存在するならば, 他方も存在し,

<center>
<math>
\mbox{E}(L) = \lambda \mbox{E}(W) \,
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

となる.

　この公式はシステムが平衡状態にあることを除けば, 客の到着, サービス時間, サーバ数, サービス規律等に特に何の仮定もおいていない. システムが単一ノードである必要もない. たとえばシステムとして単一窓口待ち行列の窓口部分だけを考えれば, <math>\mbox{P}\, </math>(窓口が塞がっている確率)<math>=\lambda \mbox{E}(S)=\rho\, </math> が得られる. ここで <math>\mbox{E}(S)\, </math> は平均サービス時間である. また, システムとして窓口を除いた待ち行列の部分を考えれば, (1) は, 平均待ち人数 <math>\mbox{E}(L_q)\, </math> と平均待ち時間 <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> に対して

<center>
<math>
\mbox{E}(L_q) = \lambda \mbox{E}(W_q) \,
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

となる. 通常, <math>\mbox{E}(W)=\mbox{E}(W_q)+\mbox{E}(S)\, </math>であり, システムへの到着率<math>\lambda\, </math>は既知であるので, (1) と (2) から, <math>\mbox{E}(L)\, </math>, <math>\mbox{E}(L_q)\, </math>, <math>\mbox{E}(W)\, </math>, E<math>(W_q)\, </math>の4つの特性量のうちひとつがわかれば, 他のものはこれらの関係式から求められる. これは待ち行列モデルを解析するときに大変便利である.

　リトルの公式は待ち行列解析のいろいろな場面で頻繁に出現し, たとえば[[ジャクソンネットワーク|閉ジャクソンネットワーク]]を解析するときに用いられる[[平均値解析法]]は, このリトルの公式を様々な形で利用することによって導かれる.

'''PASTA'''　リトルの公式と並んで, 待ち行列の解析に重要な役割を果たす関係に[[PASTA]] (パスタ) がある [9]. PASTAは Poisson Arrivals See Time Averagesの略で, ポアソン到着を仮定した待ち行列システムにおいて, 到着時点でシステムがある状態にいる割合は長い時間の中で過程がその状態にいる割合と等しい, という関係である. すなわち, ポアソン到着ならば, 到着時点分布と任意時点分布が等しいことを意味している. PASTAを用いれば, 例えば客の呼損率を求める場合, 客の到着時点のシステムの状態を求めなくても, 任意時点の状態から計算することができ, 非常に有効である.

'''クラインロックの保存則'''　任意の複数クラス, 単一サーバ待ち行列G/GI/1システムを考える. クラスの数を<math>C\, </math>とし, クラス<math>c\, </math> の到着率が <math>\lambda_c\, </math>, サービス時間<math>S_c\, </math>は独立で同一分布に従うならば, 平均残余仕事量(<math>\mbox{E}V\, </math>) (時間平均) は次式で与えられる.

<center>
<math>
\mbox{E}(V) = \sum_{c = 1}^C \left[ \mbox{E}(L_{qc}) \mbox{E}(S_c) +
\rho_c \, \mbox{E}(S_c^2) / 2 \mbox{E}(S_c)\right]
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

ここで, クラス<math>c\, </math>に対しE<math>(L_{qc})\, </math>は平均待ち行列長 (時間平均), E<math>(S_c)\, </math>, E<math>(S_c^2)\, </math> はサービス時間の1, 2次積率, <math>\rho_c \ (= \lambda_c \mbox{E} (S_c))\, </math> はトラヒック密度である. この関係式は[[クラインロックの保存則]] (Kleinrock's conservation law) と呼ばれる [3].

　(3) にリトルの公式 (2) を適用すると
　

<center>
<math>
\sum_{c = 1}^C \rho_c\, \mbox{E}(W_{qc}) =
\, </math>一定　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

という関係式が得られる. ここで <math>\mbox{E}(W_{qc})\, </math> はクラスc の客の平均待ち時間, <math>\rho_c = \lambda_c \, \mbox{E}(S_c)\, </math> はクラス <math>c\, </math> の客の利用率である. この (4) は, 優先権などを用いてあるクラスの客の平均待ち時間を小さくしようとすると, かならず他のいずれかのクラスの客の平均待ち時間が長くなってしまうことを示している.

'''その他の関係式'''　リトルの公式やPASTAのように待ち行列システムの性能尺度や関連する確率過程の関係を表す式には, 他にも[[バークの定理]], フィンチの定理等がある.

　このような関係式は特性量の間の関係を議論しているだけであり, 具体的に特性量の値そのものを導出するのには力不足, と見られたこともあったが, [[点過程|点過程論]] (point process theory) を用いると, 非マルコフシステムや複雑なシステムの解析において, 特性量の近似値を求めたりすることもできる. 例えば, 通常の GI/GI/1 待ち行列システムに対して, ブルメルの公式 (残余仕事量と待ち時間の関係式) と[[拡散近似]]を適用すると, 平均待ち時間の近似式が得られるが, これはポアソン入力 (M/GI/1 システム) の場合には厳密解に一致する. また, 多重待ち行列システムに対して擬保存則(歩行時間のあるサーバ巡回型システムに対する保存則)を用いると, 精度の良い平均待ち時間近似式が得られる.

　これらの関係式の研究は, 従来, 個別に行われていたが, 宮沢の[[率保存則]] (rate conservation law) [8] の発見以降, それらは統一的に扱うことが可能になってきた. 従来の率保存則は, たとえばKönigら [4] のように複雑な積分表現になっており, 扱いにくかった. 宮沢 [6] はKönigらの結果と等価な微分型の率保存則を見出した. 宮沢の率保存則により前述の関係式を初めとする待ち行列理論における殆ど全ての諸関係式が容易に求められることが分かって来た [2]. 率保存則の証明自体も最近では工夫されている. 当初はパルムの逆変換公式を用いた幾分難解なものだったが, その後, 宮沢 [7], Bré [1]により簡単化され, その理解には必ずしも実関数論を必要としないことが明らかにされている.

----
'''参考文献'''

[1] P. Brémaud, "An Elemantary Proof of Sengupta's Invariance Relation and a Remark on Miyazawa's Rate Conservation Principle," ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 950-954.

[2] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会編, 1995.

[3] L. Kleinrock, ''Queueing Systems, Vol. II'', John Wiley & Sons, 1976.

[4] D. König, T. Rolski, V. Schmidt and D. Stoyan, "Stochastic Processes with Imbedded Marked Point Processes (PMP) and Their Application in Queueing," ''Mathematische Operationsforschung und Statistik, Ser. Optimization'', '''9''' (1978), 125-141.

[5] J. D. C. Little, "A Proof of the Queueing Formula L= \lambda W," ''Operations Research'', '''9''' (1961), 383-387.

[6] M. Miyazawa, "The Derivation of Invariance Relations in Complex Queueing System with Stationary Input," ''Advanced Applied Probability'', '''15''' (1983), 874-855.

[7] M. Miyazawa, "The Intensity Conservation Law for Queues with Randomly Changed Service Rate," ''Journal Applied Probability'', '''22''' (1985), 408-418.

[8] 宮沢政清, 『待ち行列の数理とその応用』, 牧野書店, 2006.

[9] R. W. Wolff, "Poisson Arrivals See Time Averages,"''Operations Research'', '''30''' (1982), 223-231.

《待ち行列の各種モデル》

2007-08-06T07:43:08Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつのかくしゅもでる (extended queueing models) 】'''

　[[待ち行列モデル]] (queueing model)は, 標準型モデルの到着過程, サービス規律, 行列への並び方, 系に入れない場合の客の行動, などを変えることによって各種の拡張モデルが考えられる.

'''系内客数に依存する到着過程'''　到着過程としては, [[ポアソン到着]](Poisson arrivals) のような系の状態に独立な[[到着過程]] (arrival process) に対して, 系内客数に依存するものが考えられ, [[有限呼源待ち行列]] (finite source queues) がその代表例である. このモデルは, [[ケンドールの記号]] (Kendall's notation) を拡張して, 呼源数が<math>m\, </math>のとき<math>\mbox{A}(m)/\mbox{B}/c\, </math>と記述される. 各呼源は, 要求を発生するまでの空き状態, 系内における待ち合わせ状態, およびサービス中の状態を順番に繰り返す. これは現実の電話交換や機械修理によく見られるモデルである. 電話交換では, 交換機に接続された入回線数が比較的少ないとき, 交換機に加わる接続要求は空いている各入回線から指数分布間隔で発生すると近似される. 出回線数<math>c\, </math>が入回線数<math>m\, </math>より少ない場合に交換接続は損失系<math>\mbox{M}(m)/\mbox{M}/c/c\, </math>モデルとなる[4]. [[機械修理工モデル]] (machine repairman's model) は, 有限呼源待ち行列の一種であり, 機械の稼働中が’空き’に, 故障中で修理待ちが’待ち合わせ’に, また修理中が’サービス中’に相当する. 機械の数が<math>m\, </math>個, 修理工が<math>c\, </math>人で, 機械の稼働時間分布および修理時間分布が指数分布のとき, <math>\mbox{M}(m)/\mbox{M}/c\, </math>モデルとなる. この場合の評価尺度は機械の稼働率や修理工の稼働率である. また, このモデルの平均系内時間は, 会話型計算機システムでの平均応答時間に相当する.

'''集団到着・集団サービス'''　到着過程の変形として, 客が団体として到着し個別にサービスされる集団到着 (batch arrival) がある. この場合は, 集団の到着過程と集団サイズの分布が問題となる. 待ち時間を考える場合は, 同一集団内でのサービス順も問題となるが, 通常[[ランダム順サービス]] (random order service) が用いられる. 計算機システムや交換機処理系では, 1つのジョブが複数個のタスクに分解されて独立に処理され, 同一集団の全タスクが処理されてから初めてジョブの処理が終了するような処理が行われる. すなわち, 集団到着・個別処理であるが, 同一集団の全ての客の処理終了に同期して系を去るようなモデルであり, このような処理系は[[フォークジョイン待ち行列]] (fork-join queue) モデル[2]となる.

　サービス規律としては, 複数の客をまとめて集団でサービスする集団サービス(bulk service)がある. 一回のサービスで処理できる最大客数やサービス開始する最小客数が重要なパラメタとなる. 集団到着あるいは集団サービスのある待ち行列をまとめて[[集団待ち行列]] (bulk queue) という. 集団待ち行列は, [[ケンドールの記号]]を拡張して, <math>\mbox{A}^{[X]}/\mbox{B}^{[Y]}/c\, </math>で表わされる.

'''優先権'''　[[優先権]] (priority) によりサービスの順番を定める[[優先権待ち行列]] (priority queues) では, 高い優先権の客が低い優先権の客のサービスに割り込む割込優先権 (preemptive priority) と割り込まない非割込優先権(nonpreemptive priority)がある. 割込優先権の場合, 割り込まれた客のサービスに関し, 損失とする損失形 (lost), 中断点からサービスを再開する継続形 (resume), 中断点に関係なく最初からサービスをやり直す反復形 (repeat) などがある. 一般に, 計算機システムでのジョブの処理では割込優先権が用いられ, メッセージ伝送では非割込優先権が用いられる. 客のクラスの優先権が定まっていない場合, 各クラスに優先権を割り当てる問題がある. クラス<math>i\, </math>の客の平均サービス時間を<math>1/\mu_i\, </math>, 系内時間当たりのコストを<math>c_i\, </math>とするとき, 系内時間による総合期待コストを最小にする割当て方法として, ある条件の待ち行列モデルでは, 「<math>c_i\mu_i\, </math>が大きい順に高い優先権を与えればよい」という<math>c\mu\, </math>ルールが成立する[3].

　系内の状態により定まる内部優先権としては, 他の客のクラスとの相互関係により定まるものや, 待ち時間や経過サービス時間等の客の系内での状態により定まるものが考えられる. 後者の例としては, サービス時間が最短の客からサービスする[[最短サービス時間順規律|最短サービス時間順待ち行列]] (shortest-service-time-first queue) がある. 最短サービス時間順サービス規律は, 最初, 機械修理問題で修理時間が短い故障の修理を優先するモデルとして解析され, その後計算機システムのOSでのジョブ・スケジューリングにおいて, 処理時間が最短のジョブから処理する最短処理時間順 (SPT, shortest-processing-time-first) 規律として研究された.

'''並列待ち行列'''　各サーバの前にそれぞれ待ち行列が出来る[[並列待ち行列]] (parallel queues) では, 到着した客を行列へ割り付ける方法が問題となる. 通常は, 新たに到着する客は最短の行列に加わり, このような割り付けを最短待ち行列 (shortest queues) 割り付けという. このモデルは古くから研究が行われてきたが, 途中で行列を変わる鞍替えがない場合でも解析が複雑である. 最短待ち行列は, 各待ち行列が<math>\mbox{M}/\mbox{M}/1\, </math>モデルの場合, 総合系内客数の期待値を最小にするという意味で最適な方法である. この他, 客を並列待ち行列へ割り付ける方法としてラウドロビン(round-robin)割り付けがある. これは, 到着する客を順番に並列待ち行列に割り付けていく方法であり, 待ち行列長の観測が不可能な場合には, 総合系内客数の期待値を最小にするという意味で最適な方法である.

'''再試行モデル'''　到着した客が系内に入れないときの客の振る舞いは, 去ったまま戻ってこない損失モデルとある時間をおいて再びサービスを受けに来る再試行 (retrial) モデルに分かれる. 電話交換における用語に基づき, 再び到着する客を再呼 (repeated call) といい, 再呼のある待ち行列モデルは[[再呼モデル]] (repeated call model) あるいは再試行モデル (retrial model) [1]と呼ばれる. 再呼の到着過程は, 系を去って再び到着するまでの状態にある客数を呼源とする有限呼源となる. このモデルは, 損失系で全サーバがサービス中のとき系内に入れない損失モデルと, [[有限待合室モデル]] (finite-buffer model) で待合室が満杯のとき系内に入れない待ち合わせモデルに分かれる. 損失モデルは, 新しい呼の到着がポアソン到着で, サービス時間分布が指数分布, 再呼間隔が指数分布の場合は, <math>\mbox{M}/\mbox{M}/c/c\, </math>モデルに有限呼源の再呼が加わるモデルとなる. このモデルは, 電話交換において話中に遭遇した呼の再呼を考慮した[[呼損率]] (loss probability) などのサービス品質を評価するのに用いられてきた.

'''タクシー乗り場モデル'''　これまでは, 客がサービスをする場所に到着し, サービスを受けてその場所を去る系のみを考えてきた. 問題によってはサーバが異動する場合も考えられ, その例として[[タクシー乗り場モデル]] (taxi stand model)がある. タクシー乗り場には, 乗客の行列とタクシーの行列ができるが, どちらがサーバでどちらが客であるかは評価尺度を考えることにより相対的に定まる. 通常はいずれか一方の行列のみができるか, または両方とも空であるが, 乗車時間がかかる場合は両方に行列ができる.

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'''参考文献'''

[1] G. I. Falin and J. G. C. Templeton, ''Retrial Queues'', Chapman & Hall, 1997.

[2] R. Nelson, ''Probability, Stochastic Processes, and Queueing Theory'', Springer-Verlag, 1995.

[3] R. W. Wolff, ''Stochastic Mopdeling and the Theory of Queues'', Prentice-Hall, 1989.

[4] 高橋敬隆, 『わかりやすい待ち行列システム』, コロナ社, 2003.

《待ち行列》

2007-08-06T07:26:33Z

Bassy:

'''【まちぎょうれつ (queues) 】'''

'''混雑現象'''　われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する[5]. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる.

　このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている.

a.　サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している).

b.　サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む).

c.　バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる).

d.　サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる).

'''混雑現象のためのモデル'''　 a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc.　は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である.

　i)　サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合

　ii)　偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合

である. むろんそれらが複合していることもある.

'''流体近似モデル'''　i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式

<center>
<table>
<tr>
<td><table>
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math>
</table></td>
<td><table>
<tr>
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td>
<td>　　</td>
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math>　のとき</td>
</tr>
<tr>
<td><math> 0 \, \, </math></td>
<td></td>
<td align="left">その他</td>
</tr>
</table></td>
</tr>
</table>
</center>

で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2,5].

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr>
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br>
</td></table></center>



'''待ち行列モデル'''　サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr>
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br>
</td></table></center>



　待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる.

　客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる.

'''性能評価指標, 混雑指標'''　図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは

<center>
[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]
</center>



という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる.

　一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる.

　[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4].

　近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [3,4,5] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]].

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'''参考文献'''

[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975.

[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105.

[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107.

[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.

[5] 高橋幸雄, 森村英典, 『混雑と待ち』, 朝倉書店, 2001.