ORWiki - 利用者の投稿記録 [ja]

《効率性》

2007-07-11T17:30:41Z

61.214.148.58:

'''【こうりつせい (efficiency) 】'''

　DEAは事業体(以降, DMU)の効率性を測定し, 評価するための方法である. 最も基本的な効率性の尺度は, CCRモデルやBCCモデルで評価される比例的効率性尺度である. これらの二つの尺度は入出力値の単位を変更しても:その値は変わらない. このことを[[単位不変 (DEAにおける)|単位不変]] (units invariance)と呼ぶ. 加法モデルにはCCRモデルやBCCモデルのように効率性を評価する一般的に用いられている尺度は存在しないが, 加法モデルに対してもいくつかの効率性尺度が提案されている. その中の一つに[[スラック基準効率値]] (slacks-based measure of efficiency) [4]がある.

　これらの効率性尺度は技術的要素(金銭以外の数値)やコスト的要素の両方を含んでいる. それに対して, 入力要素を技術的要素に限定して, コスト的要素は別の形で取り入れる効率性の評価法も考えられる. [[コスト効率性 (DEAにおける)|コスト効率性]] (cost efficiency) の尺度 $<math>CE</math>$ は, 評価対象のDMU $<math>a</math>$の実際コスト $<math>CX</math>$ に対する最小コスト $<math>MC</math>$ の比によって表すことができる. ここで, $<math>c_{ia}</math>$は DMU $<math>a</math>$ の入力 $<math>i</math>$ のコスト, $<math>X_{ij}</math>$は DMU $<math>j</math>$ の入力 $<math>i</math>$ の値, $<math>Y_{rj}</math>$ はDMU $<math>j</math>$ の出力 $<math>r</math>$ の値とする.

<math>CE = \frac{MC}{CX}\ ,</math>　ただし,
<math>CX = \sum_{i=1}^m c_{ia} X_{ia}</math>である.

最小コスト $<math>MC</math>$ は, 以下のモデルを解いたときの目的関数値として, 計算される. このとき, $<math>x_{ia}</math>$は最小コストを実現する入力 $<math>i</math>$ の値(最適入力値)である.

\begin{eqnarray*}
\mbox{minimize} && MC \equiv \sum_{i=1}^m c_{ia} x_{ia}

\mbox{subject to}
&& \sum_{j=1}^{n} X_{ij} \lambda_j \leq x_{ia}\ (i=1,\ldots,m)\ ,

&& \sum_{j=1}^{n} Y_{rj} \lambda_j \geq Y_{ra}\ (r=1,\ldots,k)\ ,

&& L \leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_j \leq U\ ,

&& \lambda_j \geq 0\ (j=1,\ldots,n)\ .

\end{eqnarray*}

　技術効率性尺度 $<math>TE</math>$ に対するコスト効率性尺度 $<math>CE</math>$ の比は[[配分効率性]] (allocative efficiency) を測る尺度 $<math>AE</math>$ となる.

:<math>AE = \frac{CE}{TE}</math>

配分効率性は, 入力コストが与えられたときに技術的要素が最適に配分されているかという効率性を測る尺度と考えることができる. コスト効率性の拡張として, [[売上効率性]] (revenue efficiency)や[[利益効率性]](profit efficiency)を評価するモデルも考えられる.

　DEAの効率性評価法の最大の特徴は, 評価対象のDMUにとって最も都合の良いように評価することである. それに対して, [[インバーテドDEA]] (inverted DEA)は非効率性の度合いによる評価法であり, [[クロス効率値]] (cross efficiency) [2] は他のDMUの視点から見た評価法であるという点で, 通常のDEAの評価法とは異なる.

　インバーテドDEAは以下のモデルを解くことによって, 非効率性の度合いを評価する. ここで, 入力乗数を $<math>v_i</math>$, 出力乗数を $<math>u_r</math>$ とする.

:<math>\begin{array}{lll}
\mbox{maximize} &　& d_a \equiv \left.\sum_{i=1}^{m} X_{ia} v_{i}
\right/ \sum_{r=1}^{k} Y_{ra} u_{r} \\
\mbox{subject to}& & \left.\sum_{i=1}^{m} X_{ij} v_{i} \right/ \sum_{r=1}^{k}
Y_{rj} u_{r} \leq 1\ \ (j=1,\ldots,n) , \\
& & v_{i} \geq 0 \ (i=1,\ldots,m), \mbox{\quad}
u_{r} \geq 0 \ (r=1,\ldots,k)\ .
\end{array}</math>

$<math>d_a^*$</math> をIDEA非効率値と呼び, $<math>0<d_a^*<1</math>$ であればIDEA効率的, $<math>d_a^*=1</math>$ であればIDEA非効率的と呼ぶ.

　一方, クロス効率値は, 評価対象のDMUの効率値を求めるときに得られる最適な乗数を用いて計算される評価対象以外のDMUの効率値のことである. 評価対象のDMUを $<math>a</math>$ とすると, DMU $<math>j</math>$ のクロス効率値 $<math>\eta_{ja}</math>$ は

<math>\eta_{ja} = \frac{\displaystyle{\sum_{r=1}^{k} Y_{rj}
u_{ra}^*}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m} X_{ij} v_{ia}^*}}\;\;\;\;\;
(j=1,\ldots,n\ ;\ a=1,\ldots,n)</math>

で計算される. ここで, $<math>v_{ia}^*</math>$, $<math>u_{ra}^*</math>$ は DMU $<math>a</math>$ を評価対象としてモデルを解いたときに得られる最適乗数である.

　CCRモデルやBCCモデルなどとは異なる生産可能集合による評価法もある. [[自由処分性]] (free disposal)は, DMU 同士の支配・被支配関係をもとに効率性を評価する考え方である. 以下の定式化により, その効率値 $<math>\theta^*</math>$ を計算することができる.

\begin{eqnarray*}
\mbox{minimize} && \theta

\mbox{subject to}&& \theta X_{ia} \geq \sum_{j=1}^{n} X_{ij} \lambda_j
(i=1,\ldots,m) ,

&& \sum_{j=1}^{n} Y_{rj} \lambda_j \geq Y_{ra}\ (r=1,\ldots,k),

&& \sum_{j=1}^{n} \lambda_j = 1\ ,

&& \lambda_j \in \{0,1\} \ (j=1,\ldots,n)\ .

\end{eqnarray*}

　一時点における事業体の効率性評価だけでなく, 時系列的な効率性の変化をみるための分析法として, [[ウィンドー分析 (DEAの)|ウィンドー分析]] (window analysis)や[[マルムクイストの指標]] (Malmquist index)を用いた分析法がある.

　さらに, DEAでは評価するときに用いる入出力値は, 一般的に定数であると仮定しているのに対し, それらがファジィ数であると考える[[ファジィDEA]] (fuzzy DEA)や確率変数であると考える[[確率的DEA法]] (stochastic DEA method)もある.

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'''参考文献'''

[1] 刀根薫, "A Slacks-Based Measure of Efficiency in DEA," 『日本オペレーションズ・リサーチ学会1998年春季研究発表会アブストラクト集』, 10-11, 1998.

[2] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善 -包絡分析法DEAによる-』, 日科技連, 1993.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis : Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[4] 山田善靖, 松井知己, 杉山学, "DEAモデルに基づく新たな経営効率性分析法の提案," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''37''' (1994), 158-167.

[5] W. W. Cooper, L. M. Seiford and K. Tone, ''Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software'', Kluwer Academic Publishers, 1999.

《DEA(包絡分析法)》

2007-07-11T17:25:57Z

61.214.148.58:

'''【でぃーいーえー (ほうらくぶんせきほう) (DEA(data envelopment analysis) 】'''

　事業体などの[[意思決定主体]] (Decision Making Unit : 略して[[DMU]]と呼ばれる) の効率性を相対的に評価する手法として, 包絡分析法(Data Envelopment Analysis：略称DEA)は1978年にアメリカのテキサス大学のCharnes,Cooper and Rhodes [1] によって提案された. 支出と収入の比である収支率は経営効率性を見るための一つの尺度であり, 支出は収入を産み出すための入力, 収入はその結果としての出力とみるとき, 収入／支出(収支率の逆数)が大きい程, 効率が良いと言える. しかし, 入力や出力の数が増え, しかもそれらが必ずしも金額で計量できない場合には効率をどのように評価するか, 適切な尺度を考えなければならない. また, すべての項目
が金額で測れるとしても例えば入力個々の出力に与える影響は異なっており, 単純に(出力の和)／(入力の和)で効率を測ることは適切でないことも多い. そのような場合に[[仮想的出力 (DEAの)|仮想的出力]]として出力の加重和をとり, [[仮想的入力 (DEAの)|仮想的入力]]として入力の加重和をとってそれらの比で比較することが考えられる. 加重和を取るときに用いるウェイトに説得力を持たせる必要がある. DEAでは評価対象DMUにとって最も有利になるようにウェイトを決めることにしている. しかし, その最も有利になるウェイトを用いても他のDMUよりも仮想的出力／仮想的入力の値が小さければ, そのDMUは効率的でないといわれても仕方がない. このような考え方に基づいて分数計画問題CCR-IR (Charnes, Cooper and Rhodes'Input-oriented Ratio form)モデルおよびそれを線形計画問題に変換した[[CCRモデル]] [$<math>CCR_P</math>$ (主問題primal), $<math>CCR_D</math>$ (双対問題dual)モデル]が提案された [1]. Farrellは効率的な[[生産関数]]を「入力の組合せが与えられたときに完全に効率的な企業であれば達成するであろう出力」と定義した [2]. その考え方から得られる効率性得点をFarrellは技術的効率性と呼んだ [2]が, それはCCRモデルから得られる効率性得点と一致し, 効率性得点は[[ファレルの効率尺度]]とも呼ばれる.

　$<math>n</math>$個の事業体(DMU)に関する$m$個の入力データ
　

:<math>X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}</math>

と$<math>s</math>$個の出力データ

:<math>Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}</math>

をもとに着目DMU $<math>J$(=1,2,...,$n$)</math> の効率性を測定する$<math>CCR_P</math>$-I(入力指向)モデルは次のように定式化される(このほかの定式化については[[CCRモデル]]を参照).

【$<math>CCR_P</math>$-I：入力指向】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} & \theta_{\mit{J}} \\
\mbox{s. t. } &
\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1, 2,\ldots ,m),\\
& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1, 2, \ldots ,s), \\
& \lambda_{j} \geq 0 \ (j=1, 2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　このモデルは入力に着目しており, DMU $<math>J</math>$ の入力が他と比べて大きく

:<math>\tilde{x}_{ij}=\theta_{J}x_{ij} \; (\theta_{J}\leq 1)</math>

に縮小したいとすると, 制約条件で規定される[[生産可能集合]](
<math>\tilde{x}_{i}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij}</math> と
<math>\tilde{y}_{r}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj}</math> を満たす
<math>(\tilde{\bf x}, \tilde{\bf y})</math> の集合)内でどこまで$<math>\theta_J$</math>を小さくできるかということを考えている.

　しかし, 包絡分析法で用いられる入力変数や出力変数の中にはDMUが努力しても改善できないものがある. そのようなDMU自身で制御できない変数を[[制御不能変数]]と呼び, それに対して努力により改善可能な変数を[[制御可能変数]]と呼ぶ. 制御不能変数が存在する場合には入力, 出力変数に関する制御可能変数番号の集合を$<math>X^C</math>$, $<math>Y^C</math>$とし, 制御不能変数番号の集合を$<math>X^{NC}</math>$, $<math>Y^{NC}$</math>とすると, $<math>CCR_P</math>$-Iモデルは次のように修正される.

【制御不能変数を考慮するモデル】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} & \theta_{\mit{J}} \\
\mbox{ s. t. } &
\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i\in X^{C}), \\
& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r\in Y^{C}), \\
& x_{iJ}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \ (i\in X^{NC}), \\
& y_{rJ}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \ (r\in Y^{NC}), \\
& \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　$<math>CCR_P</math>$-Iモデルにおける解で$<math>\lambda_j</math>$が正となるDMU$<math>j</math>$はDMU $<math>J</math>$にとって見本とすべきDMUの集合であり, DMU $<math>J</math>$の[[参照集合]]と呼ばれる. DMU $<math>J</math>$の参照集合の活動の張る凸集合をDMU $<math>J</math>$に関する[[効率的フロンティア (DEAの)|効率的フロンティア]]と呼ぶ. $<math>CCR_P</math>$-Iモデルの制約は$<math>\theta_{J}x_{iJ}</math>$, $<math>y_{rJ}</math>$が効率的フロンティアに包みこまれることを意味し, これがData Envelopment Analysis(包絡分析法)の由来となっている(すなわち, [3]では$<math>CCR_P</math>$-Iモデルを主問題と捕らえている[$<math>CCR_P</math>$-I の下付きの$<math>P</math>$]). またすべてのDMUの効率的フロンティアで形成される[[包絡面 (DEAの)|包絡面]]に包みこまれた領域が生産可能領域である. (包絡面全体を効率的フロンティアということもある. )

　DEAのモデルとしてはいろいろな拡張が試みられている. たとえば, [[規模の収穫]]に着目したり, カテゴリ変数に対処できるモデル, コストを考慮したモデル, 仮想的入力・出力のウェイトに制約を付ける[[領域限定法]], 時系列変化を扱うための[[ウィンドー分析 (DEAの)|ウィンドー分析]]などが提案されている [4, 5].

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'''参考文献'''

[1] A. Charnes, W. W. Cooper and E. Rhodes, "Measuring Efficiency of Decision Making Units," ''European Journal of Operational Research'', '''2''' (1978), 429-444.

[2] M. J. Farrell, "The Measurement of Productive Efficiency," ''Journal of the Royal Statistical Society'', '''120''' (1957), 253-281.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis, Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[4] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善―包絡分析法DEAによる』, 日科技連, 1993.

[5] W. W. Cooper, L. M. Seiford and K. Tone, ''Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software'', Kluwer Academic Publishers, 1999.

《CCRモデル》

2007-07-11T17:24:52Z

61.214.148.58:

'''【しーしーあーるもでる (CCR model) 】'''

　[[DEA]](包絡分析法)のモデルとしてCharnes, Cooper and Rhodesにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである[1].

　$<math>n</math>$ 個の事業体(DMU)に関する$<math>m</math>$個の入力データ<math>X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}</math>と$<math>s</math>$個の出力データ<math>Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}</math>をもとに着目DMU <math>$J$ (=1,2,...,$n$)</math>の効率性を測定するために仮想的出力/仮想的入力に着目したモデルに始まり, 多くのモデルが提案された.

【[[比率形式モデル]]CCR-IR (Input-oriented Ratioform)】

:<math> \mbox{max.} \;\; D_{J}=\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}</math>

＜目的関数の解釈：DMU $<math>J$</math> にとって最も有利となるようにウェィト$<math>v_i</math>$, $<math>u_r</math>$を決める. ＞

\hspace{20mm} s. t.

:<math>
\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}\leq 1 \; (j=1, 2, \ldots ,n),</math>

:<math>u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s) \ ;\; v_{i} \geq 0 \ (i=1, 2, \ldots ,m).</math>

＜制約の解釈：どのDMUの効率値も1以下＞

このモデルの線形計画法(Linear Programming; LP)による定式化は以下のようになる.

【同値なLP問題$<math>CCR_D</math>$-I：[[入力指向型モデル]]】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{max.} & \sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}\\
\mbox{s. t.} & \sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}=1, \\
& \sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}-\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}\geq 0 \ (j=1,2, \ldots ,n),\\
& u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s),\ v_{i} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m).
\end{array}</math>

　このモデルは「乗数」と呼ばれるウェイト$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_{r}</math>$を用いていることから乗数形式モデルとも呼ばれる. (乗数については [2] では無限小正数$<math>\varepsilon</math>$以上という制約を課しているが, ここでは [6] の付録Bの主張に従い, 非負制約のみとした. )

【同値なLP双対問題$<math>CCR_P</math>$-I：入力指向型】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} & \theta_{J}\\
\mbox{s. t.} & \theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m),\\
& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s),\\
& \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1,2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　これらのモデルは入力の改善に着目しているので[[入力指向型モデル]]と呼ばれるが, [[出力指向型モデル]]も同様に考えられる.

　モデルCCR-IRまたは$<math>CCR_D</math>$-IはDMU $<math>J</math>$にとって最も有利な乗数$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_r</math>$を求めることを意味する. そのため1項目でも誰にも負けない項目があれば, その項目だけで評価すれば効率値を1にできるので, 一芸入試的評価も可能となる.

　モデル$<math>CCR_P</math>$-Iの制約は $<math>\theta_{J}x_{iJ}, y_{rJ}</math>$ が効率的フロンティアに包みこまれることを意味し, これがData Envelopment Analysis(包絡分析法)の由来となっている (すなわち, [2] ではモデル$<math>CCR_P</math>$-Iを主問題と捕らえている：$<math>CCR_P</math>$-I の下付きのp). DMU $<math>J \;\; (=1,2,\ldots n)</math>$ が効率的となるためには$<math>\theta_{J}=1</math>$ であるばかりでなく, モデル$<math>CCR_P</math>$-Iの制約におけるスラック変数で表現される入力の余剰$<math>\mbox{\boldmath $s$}_x= (s_{x1},s_{x2},\ldots , s_{xm})</math>$,出力の不足$\<math>mbox{\boldmath $s$}_y= (s_{y1},s_{y2},\ldots , s_{ym})$</math> :

:<math>s_{xi}=\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} </math>

:<math>s_{yr}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} - y_{rJ}</math>

を解消しなければならない. そこで,

:<math>\theta_{J}=1 \ ; \mbox{\boldmath $s$}_x=\mathbf{ 0} \ ; \mbox{\boldmath $s$}_y=\mathbf{ 0}
</math>

のとき, DMU $<math>J</math>$ は効率的といわれる.

　DMU $<math>J</math>$ が非効率的なときに, その参照集合の要素数が$<math>(s+m-1)</math>$ならば, DMU $J$は「自然に包絡されている」といわれる. そのときには各入力を$<math>\theta_{J}\; (<1)</math>$倍すればDMU <math>$J</math>$ は効率的になる. このことは, CCR入力指向型モデルで考えている効率性が原点とDMU間の距離([[動径距離]]radial metric)で測られていること, すなわち比例的効率性を測られていることを示している. DMU $<math>J</math>$ が自然に包絡されていないときには入力の余剰や出力の不足があるにも拘らず$<math>\theta_{J}=1</math>$となっている場合があり, $<math>\theta_{J}</math>$は効率性の適切な尺度になっていない. そこで[[CFA]] (constrained facet analysis) [4] ではDMU $<math>J</math>$に最も近い包絡面上のファセットを延長して1でない効率性尺度が求められるよう工夫している.

　[[比率形式モデル]] CCR-IRから得られる[[乗数形式モデル (DEAの)|乗数形式モデル]] $<math>CCR_D</math>$-Iの入出力間の制約を凸錐(convex cone)に拡張した [[コーンレシオモデル]] [3] や乗数$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_r</math>$の値域に制約を課す[[領域限定法]] [5] なども提案されている.

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'''参考文献'''

[1] A. Charnes, W. W. Cooper and E. Rhodes, "Measuring Efficiency of Decision Making Units," ''European Journal of Operational Research'', '''2''' (1978), 429-444.

[2] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis'' : ''Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, Q. L. Wei and Z. M. Huang, "Cone Ratio Data Envelopment Analysis and Multi-Objective Programming," ''International Journal of Systems Sciences'', '''20''' (1989), 1099-1118.

[4] A. Bessent, W. Bessent, J. Elam and T. Clark, "Efficiency Frontier Determination by Constrained Facet Analysis," ''Operations Research'', '''36''' (1988), 785-796.

[5] R. Allen, A. Athanassopoulos, R. G. Dyson and E. Thanassoulis, "Weights Restrictions and Value Judgements in Data Envelopment Analysis: Evolution, Development and Future Directions," ''Annals of Operations Research'', '''73''' (1997), 13-34.

[6] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善―包絡分析法DEAによる』, 日科技連, 1993.

《BCCモデル》

2007-07-11T17:23:35Z

61.214.148.58:

'''【びーしーしーもでる (BCC model) 】'''

　[[DEA]](包絡分析法)のモデルとしてBanker, Charnes andCooperにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである[1].

　$<math>BCC_P</math>$-I モデルは

:<math>\begin{array}{ll]
\mbox{min.} & \theta_{J}\\
\mbox{s. t.} & \theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \; (i=1, 2,\ldots ,m), \\
& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \; (r=1, 2, \ldots ,s),\\
& \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1,\; \; \;
\lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots ,n),
\end{array}</math>

で表わされる. $<math>CCR_P</math>$-Iモデルと比べると制約 $<math>\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}=1</math>$ が追加されたモデルになっている. これにより生産可能集合は, DMU集合の凸包を基本とし, その凸包の点より大なる入力と小なる出力を持つ点から構成されることになる.

　また, BCC比率形式モデルは以下のようになる.

[BCC比率形式モデル：入力指向]

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{max.} & D_{J}=(\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}+u_{0})/\sum_{i=1}^{m}v_{i}x_{iJ}\\
\mbox{s. t.} & (\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}+u_{0})/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}\leq 1 \;(j=1, 2, \ldots ,n), \\
& u_r \geq 0 \; (r=1, 2,\ldots , s), \;\;
v_i \geq 0 \; (i=1, 2,\ldots , m).
\end{array}</math>

　CCRモデルでは上式の分子の定数項$<math>u_{0}</math>$がないため分母分子を定数倍しても効率は変わらない. すなわち, CCRモデルではすべての入力, 出力を$<math>k</math>$倍しても効率は変わらないので''規模の収穫''が一定であるといわれる. これに対し, [[BCCモデル]]では小規模の段階では規模の収穫が増加し, 規模の増加に連れて規模の収穫は一定レベルに到達する. それよりも規模が大きくなると規模の収穫が減少する.

　BCCモデルは[[CCRモデル]]よりも制約が多いため[[生産可能集合]]が狭められて効率値$<math>\theta_J</math>$(BCC)はCCRモデルの効率値$<math>\theta_J</math>$ (CCR)以上になる. そこで$<math>\theta_J</math>$ (CCR)を[[全体効率性]], $<math>\theta_J</math>$ (BCC)を[[技術効率性]]と考え, その差分は[[規模の効率性]]によるものと考え, 規模の効率性＝全体効率性$<math>\theta_J</math>$ (CCR)÷技術効率性$<math>\theta_J</math>$ (BCC)とする. すなわち, 全体効率性(CCR)＝技術効率性(BCC)×規模の効率性と考える.

　$<math>BCC_P</math>$-Iモデルは[[入力指向型モデル]]であるが, [[出力指向型モデル]]も同様に考えられる. これらに対して入力指向と出力指向を区別せずに, スラックに着目したモデルとして[[DEA加法モデル]]がある. 基本的加法モデルは次のLPによって示される.

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{max.} & (\sum_{i=1}^{m} s_{xi}+\sum_{r=1}^{s} s_{yr})\\
\mbox{s. t.} & \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij}+s_{xi}=x_{iJ} \; (i=1, 2, \ldots , m),\\
& \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{ij}-s_{yr}=y_{rJ}\; (r=1, 2, \ldots , s), \\
& \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}=1, \;\;
\lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots , n), \\
& s_{xi} \geq 0 \; (i=1, 2, \ldots , m), \;\;
s_{yr} \geq 0 \; (r=1, 2, \ldots , s).
\end{array}</math>

　Cobb-Douglas型の生産関数

:<math>y=\mbox{e}^{c_{0}}x_{1}^{c_{1}}\cdots x_{m}^{c_{m}}</math>
または
<math>\log y=c_{0}+ c_{1}\log x_{1}+\cdots + c_{m}\log x_{m}</math>

に対応するDEAモデルとして, 原データの対数をとった

:<math>\hat{X}=(\log x_{ij} )\in \mathbf{ R}^{m\times n}</math>

:<math>\hat{Y}=(\log y_{ij} )\in \mathbf{ R}^{s\times n}</math>

を入出力データとした加法モデルは原データに戻したときに積で表現できることから[[DEA乗法モデル]]と呼ばれる.

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'''参考文献'''

[1] R. D. Banker, A. Charnes and W. W. Cooper, "Some Models for Estimating Technical and Scale Inefficiencies in Data Envelopment Analysis," ''Management Science'', '''30''' (1984), 1078-1092.

《CCRモデル》

2007-07-11T17:16:52Z

61.214.148.58:

'''【しーしーあーるもでる (CCR model) 】'''

　[[DEA]](包絡分析法)のモデルとしてCharnes, Cooper and Rhodesにより提案され, 3人の頭文字をとって名づけられたモデルである[1].

　$<math>n</math>$ 個の事業体(DMU)に関する$<math>m</math>$個の入力データ<math>X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}</math>と$<math>s</math>$個の出力データ<math>Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}</math>をもとに着目DMU <math>$J$ (=1,2,...,$n$)</math>の効率性を測定するために仮想的出力/仮想的入力に着目したモデルに始まり, 多くのモデルが提案された.

【[[比率形式モデル]]CCR-IR (Input-oriented Ratioform)】

:<math> \mbox{max.} \;\; D_{J}=\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}</math>

＜目的関数の解釈：DMU $<math>J$</math> にとって最も有利となるようにウェィト$<math>v_i</math>$, $<math>u_r</math>$を決める. ＞

\hspace{20mm} s. t.

:<math>
\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}/\sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}\leq 1 \; (j=1, 2, \ldots ,n),</math>

:<math>u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s) \ ;\; v_{i} \geq 0 \ (i=1, 2, \ldots ,m).</math>

＜制約の解釈：どのDMUの効率値も1以下＞

このモデルの線形計画法(Linear Programming; LP)による定式化は以下のようになる.

【同値なLP問題$<math>CCR_D</math>$-I：[[入力指向型モデル]]】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{max.} && \sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rJ}\\
\mbox{s. t.} && \sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{iJ}=1, \\
&& \sum_{i=1}^{m} v_{i}x_{ij}-\sum_{r=1}^{s} u_{r}y_{rj}\geq 0 \ (j=1,2, \ldots ,n),\\
&& u_{r} \geq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s),\ v_{i} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m).
\end{array}</math>

　このモデルは「乗数」と呼ばれるウェイト$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_{r}</math>$を用いていることから乗数形式モデルとも呼ばれる. (乗数については [2] では無限小正数$<math>\varepsilon</math>$以上という制約を課しているが, ここでは [6] の付録Bの主張に従い, 非負制約のみとした. )

【同値なLP双対問題$<math>CCR_P</math>$-I：入力指向型】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} && \theta_{J}\\
\mbox{s. t.} && \theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1,2,\ldots ,m),\\
&& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1,2, \ldots ,s),\\
&& \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1,2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　これらのモデルは入力の改善に着目しているので[[入力指向型モデル]]と呼ばれるが, [[出力指向型モデル]]も同様に考えられる.

　モデルCCR-IRまたは$<math>CCR_D</math>$-IはDMU $<math>J</math>$にとって最も有利な乗数$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_r</math>$を求めることを意味する. そのため1項目でも誰にも負けない項目があれば, その項目だけで評価すれば効率値を1にできるので, 一芸入試的評価も可能となる.

　モデル$<math>CCR_P</math>$-Iの制約は $<math>\theta_{J}x_{iJ}, y_{rJ}</math>$ が効率的フロンティアに包みこまれることを意味し, これがData Envelopment Analysis(包絡分析法)の由来となっている (すなわち, [2] ではモデル$<math>CCR_P</math>$-Iを主問題と捕らえている：$<math>CCR_P</math>$-I の下付きのp). DMU $<math>J \;\; (=1,2,\ldots n)</math>$ が効率的となるためには$<math>\theta_{J}=1</math>$ であるばかりでなく, モデル$<math>CCR_P</math>$-Iの制約におけるスラック変数で表現される入力の余剰$<math>\mbox{\boldmath $s$}_x= (s_{x1},s_{x2},\ldots , s_{xm})</math>$,出力の不足$\<math>mbox{\boldmath $s$}_y= (s_{y1},s_{y2},\ldots , s_{ym})$</math> :

:<math>s_{xi}=\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} </math>

:<math>s_{yr}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} - y_{rJ}</math>

を解消しなければならない. そこで,

:<math>\theta_{J}=1 \ ; \mbox{\boldmath $s$}_x=\mathbf{ 0} \ ; \mbox{\boldmath $s$}_y=\mathbf{ 0}
</math>

のとき, DMU $<math>J</math>$ は効率的といわれる.

　DMU $<math>J</math>$ が非効率的なときに, その参照集合の要素数が$<math>(s+m-1)</math>$ならば, DMU $J$は「自然に包絡されている」といわれる. そのときには各入力を$<math>\theta_{J}\; (<1)</math>$倍すればDMU <math>$J</math>$ は効率的になる. このことは, CCR入力指向型モデルで考えている効率性が原点とDMU間の距離([[動径距離]]radial metric)で測られていること, すなわち比例的効率性を測られていることを示している. DMU $<math>J</math>$ が自然に包絡されていないときには入力の余剰や出力の不足があるにも拘らず$<math>\theta_{J}=1</math>$となっている場合があり, $<math>\theta_{J}</math>$は効率性の適切な尺度になっていない. そこで[[CFA]] (constrained facet analysis) [4] ではDMU $<math>J</math>$に最も近い包絡面上のファセットを延長して1でない効率性尺度が求められるよう工夫している.

　[[比率形式モデル]] CCR-IRから得られる[[乗数形式モデル (DEAの)|乗数形式モデル]] $<math>CCR_D</math>$-Iの入出力間の制約を凸錐(convex cone)に拡張した [[コーンレシオモデル]] [3] や乗数$<math>v_{i}</math>$, $<math>u_r</math>$の値域に制約を課す[[領域限定法]] [5] なども提案されている.

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'''参考文献'''

[1] A. Charnes, W. W. Cooper and E. Rhodes, "Measuring Efficiency of Decision Making Units," ''European Journal of Operational Research'', '''2''' (1978), 429-444.

[2] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis'' : ''Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, Q. L. Wei and Z. M. Huang, "Cone Ratio Data Envelopment Analysis and Multi-Objective Programming," ''International Journal of Systems Sciences'', '''20''' (1989), 1099-1118.

[4] A. Bessent, W. Bessent, J. Elam and T. Clark, "Efficiency Frontier Determination by Constrained Facet Analysis," ''Operations Research'', '''36''' (1988), 785-796.

[5] R. Allen, A. Athanassopoulos, R. G. Dyson and E. Thanassoulis, "Weights Restrictions and Value Judgements in Data Envelopment Analysis: Evolution, Development and Future Directions," ''Annals of Operations Research'', '''73''' (1997), 13-34.

[6] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善―包絡分析法DEAによる』, 日科技連, 1993.

《DEA(包絡分析法)》

2007-07-11T17:08:20Z

61.214.148.58:

'''【でぃーいーえー (ほうらくぶんせきほう) (DEA(data envelopment analysis) 】'''

　事業体などの[[意思決定主体]] (Decision Making Unit : 略して[[DMU]]と呼ばれる) の効率性を相対的に評価する手法として, 包絡分析法(Data Envelopment Analysis：略称DEA)は1978年にアメリカのテキサス大学のCharnes,Cooper and Rhodes [1] によって提案された. 支出と収入の比である収支率は経営効率性を見るための一つの尺度であり, 支出は収入を産み出すための入力, 収入はその結果としての出力とみるとき, 収入／支出(収支率の逆数)が大きい程, 効率が良いと言える. しかし, 入力や出力の数が増え, しかもそれらが必ずしも金額で計量できない場合には効率をどのように評価するか, 適切な尺度を考えなければならない. また, すべての項目
が金額で測れるとしても例えば入力個々の出力に与える影響は異なっており, 単純に(出力の和)／(入力の和)で効率を測ることは適切でないことも多い. そのような場合に[[仮想的出力 (DEAの)|仮想的出力]]として出力の加重和をとり, [[仮想的入力 (DEAの)|仮想的入力]]として入力の加重和をとってそれらの比で比較することが考えられる. 加重和を取るときに用いるウェイトに説得力を持たせる必要がある. DEAでは評価対象DMUにとって最も有利になるようにウェイトを決めることにしている. しかし, その最も有利になるウェイトを用いても他のDMUよりも仮想的出力／仮想的入力の値が小さければ, そのDMUは効率的でないといわれても仕方がない. このような考え方に基づいて分数計画問題CCR-IR (Charnes, Cooper and Rhodes'Input-oriented Ratio form)モデルおよびそれを線形計画問題に変換した[[CCRモデル]] [$<math>CCR_P</math>$ (主問題primal), $<math>CCR_D</math>$ (双対問題dual)モデル]が提案された [1]. Farrellは効率的な[[生産関数]]を「入力の組合せが与えられたときに完全に効率的な企業であれば達成するであろう出力」と定義した [2]. その考え方から得られる効率性得点をFarrellは技術的効率性と呼んだ [2]が, それはCCRモデルから得られる効率性得点と一致し, 効率性得点は[[ファレルの効率尺度]]とも呼ばれる.

　$<math>n</math>$個の事業体(DMU)に関する$m$個の入力データ
　

:<math>X=(x_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{m\times n}</math>

と$<math>s</math>$個の出力データ

:<math>Y=(y_{ij})\in \mathbf{\mathrm{R}}^{s\times n}</math>

をもとに着目DMU $<math>J$(=1,2,...,$n$)</math> の効率性を測定する$<math>CCR_P</math>$-I(入力指向)モデルは次のように定式化される(このほかの定式化については[[CCRモデル]]を参照).

【$<math>CCR_P</math>$-I：入力指向】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} && \theta_{\mit{J}} \\
\mbox{s. t. } &&
\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i=1, 2,\ldots ,m),\\
&& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r=1, 2, \ldots ,s), \\
&& \lambda_{j} \geq 0 \ (j=1, 2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　このモデルは入力に着目しており, DMU $<math>J</math>$ の入力が他と比べて大きく

:<math>\tilde{x}_{ij}=\theta_{J}x_{ij} \; (\theta_{J}\leq 1)</math>

に縮小したいとすると, 制約条件で規定される[[生産可能集合]](
<math>\tilde{x}_{i}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij}</math> と
<math>\tilde{y}_{r}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj}</math> を満たす
<math>(\tilde{\bf x}, \tilde{\bf y})</math> の集合)内でどこまで$<math>\theta_J$</math>を小さくできるかということを考えている.

　しかし, 包絡分析法で用いられる入力変数や出力変数の中にはDMUが努力しても改善できないものがある. そのようなDMU自身で制御できない変数を[[制御不能変数]]と呼び, それに対して努力により改善可能な変数を[[制御可能変数]]と呼ぶ. 制御不能変数が存在する場合には入力, 出力変数に関する制御可能変数番号の集合を$<math>X^C</math>$, $<math>Y^C</math>$とし, 制御不能変数番号の集合を$<math>X^{NC}</math>$, $<math>Y^{NC}$</math>とすると, $<math>CCR_P</math>$-Iモデルは次のように修正される.

【制御不能変数を考慮するモデル】

:<math>\begin{array}{ll}
\mbox{min.} && \theta_{\mit{J}} \\
\mbox{ s. t. } &&
\theta_{J}x_{iJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \geq 0 \ (i\in X^{C}), \\
&& y_{rJ}-\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \leq 0 \ (r\in Y^{C}), \\
&& x_{iJ}\geq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}x_{ij} \ (i\in X^{NC}), \\
&& y_{rJ}\leq \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}y_{rj} \ (r\in Y^{NC}), \\
&& \lambda_{j} \geq 0 \; (j=1, 2, \ldots ,n).
\end{array}</math>

　$<math>CCR_P</math>$-Iモデルにおける解で$<math>\lambda_j</math>$が正となるDMU$<math>j</math>$はDMU $<math>J</math>$にとって見本とすべきDMUの集合であり, DMU $<math>J</math>$の[[参照集合]]と呼ばれる. DMU $<math>J</math>$の参照集合の活動の張る凸集合をDMU $<math>J</math>$に関する[[効率的フロンティア (DEAの)|効率的フロンティア]]と呼ぶ. $<math>CCR_P</math>$-Iモデルの制約は$<math>\theta_{J}x_{iJ}</math>$, $<math>y_{rJ}</math>$が効率的フロンティアに包みこまれることを意味し, これがData Envelopment Analysis(包絡分析法)の由来となっている(すなわち, [3]では$<math>CCR_P</math>$-Iモデルを主問題と捕らえている[$<math>CCR_P</math>$-I の下付きの$<math>P</math>$]). またすべてのDMUの効率的フロンティアで形成される[[包絡面 (DEAの)|包絡面]]に包みこまれた領域が生産可能領域である. (包絡面全体を効率的フロンティアということもある. )

　DEAのモデルとしてはいろいろな拡張が試みられている. たとえば, [[規模の収穫]]に着目したり, カテゴリ変数に対処できるモデル, コストを考慮したモデル, 仮想的入力・出力のウェイトに制約を付ける[[領域限定法]], 時系列変化を扱うための[[ウィンドー分析 (DEAの)|ウィンドー分析]]などが提案されている [4, 5].

----
'''参考文献'''

[1] A. Charnes, W. W. Cooper and E. Rhodes, "Measuring Efficiency of Decision Making Units," ''European Journal of Operational Research'', '''2''' (1978), 429-444.

[2] M. J. Farrell, "The Measurement of Productive Efficiency," ''Journal of the Royal Statistical Society'', '''120''' (1957), 253-281.

[3] A. Charnes, W. W. Cooper, A. Y. Lewin and L. M. Seiford, ''Data Envelopment Analysis, Theory, Methodology and Applications'', Kluwer Academic Publishers, 1994. 刀根薫, 上田徹監訳, 『経営効率評価ハンドブック』, 朝倉書店, 2000.

[4] 刀根薫, 『経営効率性の測定と改善―包絡分析法DEAによる』, 日科技連, 1993.

[5] W. W. Cooper, L. M. Seiford and K. Tone, ''Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software'', Kluwer Academic Publishers, 1999.

《半正定値計画》

2007-07-10T07:03:37Z

61.214.148.58:

'''【はんせいていちけいかく (semidefinite programming)】'''

　'''問題:''' 半正定値計画は[[線形計画]](linear programming)を実対称行列の空間に拡張したものである. 次のような定式化が一般的である.

:<math>\mbox{(P)} \quad
\mathop{\mbox{min.}} C\bullet X
\mbox{s. t.}\ A_i\bullet X = b_i \; \; (i=1, 2, \ldots, m),
X \succeq 0.
\, </math>

ただし, <math>C, A_i\ (i=1, 2,\ldots, m), X\, </math> は <math>n\times n\, </math> 実対称行列, <math>\textstyle C\bullet X = \mbox{trace}(CX) = \sum_{i,j}C_{ij}X_{ij}, X\succeq(\succ)0\, </math>は <math>X\, </math>が半正定値(正定値)であることを表す. 半正定値計画<math>\mbox{(P)}\, </math> は[[凸計画問題]](convex programming)であり, [[双対問題 (線形計画の)|双対問題]]は次のようになる.

:<math>\mbox{(D)} \quad
\mathop{\mbox{max.}} \ b^{\top}y
\mbox{s. t.}\ Z+\sum_{i=1}^m y_i A_i = C,
Z \succeq 0.
\, </math>

　'''双対性:''' <math>\mbox{(P)}\, </math> と<math>\mbox{(D)}\, </math> の間に次の弱双対定理が成り立つことは容易に分かる.

　'''弱双対定理.''' <math>X\, </math>を<math>\mbox{(P)}\, </math> の許容解, <math>(y,Z)\, </math> を<math>\mbox{(D)}\, </math> の許容解とすると, <math>C\bullet X\geq b^{\top}y\, </math>.

半正定値計画では線形計画とは異なり, 一般に強双対定理は成り立たない. 主問題または双対問題に最適解が存在しないことや, 両者の最適値が一致しないことがある. 強双対定理が成り立つためには何らかの条件が必要である. よく使われる条件は次のようなものである.

　'''強双対定理.'''　もし <math>X\succ0\, </math>, <math>Z\succ0\, </math> なる許容解 <math>X\, </math> および <math>(y,Z)\, </math> が存在すれば, <math>\mbox{(P)} \, </math> と <math>\mbox{(D)} \, </math> の最適値は一致し, 両者に最適解が存在する.

最適解があっても強相補性を持つ解が存在しない場合があり, また, 退化に関しても特有の定義が使われることが多い. 半正定値計画における退化および強相補性に関しては [1] を参照せよ.

　'''解法:''' 半正定値計画 <math>\mbox{(P)}\, </math> には, <math>-\log\det X\, </math>が<math>n\, </math>-[[自己整合障壁関数]](self-concordant barrier function)となることが知られており, 主[[内点法]](interior point method)を使って効率良く解くことができる [3]. また半正定値計画は, [[等質自己双対錐]](homogeneous self-dualcone, symmetric cone, self-scaled cone)上の線形計画問題とも見ることができ, 主双対内点法で効率良く解くことができる[4]. 以下, 現在最も有力な解法とみられている主双対パス追跡法について説明する.

　半正定値計画 <math>\mbox{(P)}\, </math> および<math>\mbox{(D)}\, </math> の[[中心パス]](path of centers)上のパラメタ <math>\mu>0\, </math> に対応する点<math>(X(\mu), y(\mu), Z(\mu))\, </math>は次を満たす.

:<math>A_i\bullet X(\mu) = b_i \quad (i = 1,2,\ldots,m), \quad \quad \mbox{(1)}\, </math>

:<math>Z(\mu)+ \sum_{i=1}^m y_i(\mu) A_i = C, \quad \quad \mbox{(2)}\, </math>

:<math>X(\mu)Z(\mu)=\mu I \qquad \qquad \mbox{(3)}\, </math>

:<math>X(\mu)\succ0,\quad Z(\mu)\succ0.\, </math>

ここで <math>I\, </math> は恒等行列である. 主双対パス追跡法では <math>X\succ 0\, </math>, <math>Z\succ0\, </math> なる現在点が与えられたとして, 適当な <math>\mu\, </math> を定めて(1), (2), (3)に対するニュートン方向を探索方向とする. ところが一般に <math>XZ\, </math> は対称行列ではないので, 式 (1), (2), (3) の左辺<math>-\, </math>右辺を一つの関数と見た場合, その関数は<math>({\mathbf S}^n,{\mathbf R}^m,{\mathbf S}^n)\rightarrow({\mathbf R}^m,{\mathbf S}^n,{\mathbf M}_n)\, </math>(ここで<math>{\mathbf S}^n\, </math>は<math>n\times n\, </math>対称行列の集合, <math>{\mathbf M}_n\, </math>は<math>n\times n\, </math> 行列の集合を表す.) となり, 普通の意味でニュートン方向を定義できない. この問題を克服するためにいろいろな手段が考えられ, その結果様々な探索方向が提案されている. 以下に, 比較的初期に提案された探索方向を四つ挙げる. (方向の名前は, 提案した論文の著者名に由来している.)

:NT 方向: (より大きなクラスである)等質自己双対錐上の線形計画問題に対するある意味で自然な探索方向として定義されるもの.

:AHO 方向: (3) を <math>ZX+XZ=2\mu I\, </math> と対称化してニュートン方向を探索方向とする.

:KSH/HRVW/M 方向 (KHM方向): <math>X \in {\mathcal M}_n\, </math>としてニュートン方向 <math>\tilde{\Delta X}\, </math> を計算し, それを<math>(\tilde{\Delta X}+\tilde{\Delta X}^{\top})/2\, </math> と対称化して<math>X\, </math>成分の探索方向とする.

:MT 方向: (3) を <math>X^{1/2}ZX^{1/2}=\mu I\, </math> と対称化してニュートン方向を探索方向とする.

理論的には, これらの探索方向を使うと, 許容解 <math>(X^0,y^0,Z^0)\, </math> から出発した場合, <math>O(\sqrt{n}\log (X^0\bullet Z^0/\epsilon))\, </math>回の反復で双対ギャップを <math>\epsilon\, </math> 以下に減らすことができることが知られている. 詳しくは [6] 参照.

　半正定値計画の解法としては, 単体法はあまり研究されていない. 係数行列に構造のある問題に対しては, 固有値に関する最適化問題に直して[[微分不可能最適化]]に対する手法を適用することも試みられている.

　'''応用:''' 半正定値計画の応用で最もORと関係が深いのは[[組合せ最適化問題]](combinatorial optimization)および多項式最適化問題の[[半正定値計画緩和]](semidefinite programming relaxzation)であろう. [[NP困難]](NP-hard)な組合せ最適化問題または多項式最適化問題(polynomial optimization problem)の緩和問題として半正定値計画を使うと, 元問題の最適値の良い近似値を多項式時間で求められる. 行列の固有値に関する最適化問題, 例えば固有値の和の最小化なども半正定値計画で表現できる. また, 制御理論における[[線形行列不等式]](linear matrix inequality)は<math>\mbox{(D)}\, </math> と等価である. 半正定値計画の応用については [2], [5], [6] を参照されたい.

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'''参考文献'''

[1] F. Alizadeh, J. P. A. Haeberly and M. L. Overton, "Complementarity and nondegeneracy in semidefinite programming," ''Mathematical Programming'', '''77''' (1997) 111-128.

[2] M. X. Goemans, "Semidefinite programming in combinatorial optimization," ''Mathematical Programming'', '''79''' (1997) 143-161.

[3] Y. E. Nesterov and A. S. Nemirovskii ''Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming : Theory and Algorithms'',
SIAM Publications, Philadelphia, 1993.

[4] Y. E. Nesterov and M. J. Todd, "Primal-dual interior-point methods for self-scaled cones," ''SIAM Journal on Optimization'', '''8''' (1998) 324-364.

[5] L. Vandenberghe and S. Boyd, "Semidefinite programming," ''SIAM review'', '''38''' (1996) 49-95.

[6] 小島政和, 土谷隆, 水野眞治, 矢部博, 『内点法』, 朝倉書店, 2001.

《季節調整法》

2007-07-10T06:59:18Z

61.214.148.58:

'''【きせつちょうせいほう (seasonal adjustment) 】'''

　[[季節調整法]]とは, 時系列データ(月次データ・四半期データ)の変動を趨勢循環変動, 季節変動, 不規則変動の3成分に分解し, 趨勢循環変動と不規則変動を表した季節調整済系列(以下, 「季調済系列」と略す)を推計する方法をいう [1]. 経済時系列を例にとっていうと, 季節調整は, 天候や社会慣習などの影響により毎年季節的に繰り返される変動をデータから除去することによって, 景気の転換点など経済の基調的な動向を的確に把握するために行われる.

　実際の季節調整においては, 原系列(<math>Y_t\, </math>)と, 趨勢循環変動(<math>TC_t\, </math>), 季節変動(<math>S_t\, </math>), 不規則変動(<math>I_t\, </math>)の3要素の関係は, 次の乗法型か加法型が仮定される(<math>t\, </math>は時点をあらわす).

:乗法型：<math>Y_{t}=TC_{t} \cdot S_{t} \cdot I_{t}, \, </math>　　加法型：<math>Y_{t}=TC_{t}+ S_{t}+ I_{t}\, </math>

　季節調整を上記モデルに沿って解釈すれば, 原系列<math>Y_t\, </math>から季節変動<math>S_t\, </math>を除去し, 乗法型であれば<math>TC_{t} \cdot I_{t},\, </math> 加法型であれば<math>TC_{t}+ I_{t}\, </math>を抽出推計する.

　季節調整法の伝統的な手法としては, [[移動平均法]]と呼ばれるものがあり, その代表格が, 米国商務省が開発した[[センサス局法]]X-11である. X-11の計算アルゴリズムはかなり複雑であるが, そのベースは「原系列の一年分の移動平均をとれば, 一年周期の季節変動が除去される」という単純な移動平均の発想に基づいている. X-11は世界各国の統計機関で利用されるなど実用面での重みがある一方で, 批判もまた少なくない. 批判は, パフォーマンス面からの批判と統計理論面からの批判に大別される [2][3].

　まず, パフォーマンス面からの批判としては, X-11による季節調整の不安定性の問題がある. これは, 新規データの追加により季調済系列が過去に遡って大幅に改定されることを指すが, 足元の景気の動きをみる際には, 直近部分の季調済系列が重要な判断材料となるだけに, 不安定性は重要な問題である. こうした不安定性の原因としては, 1) 時系列の末端部分では, 新規データの追加に伴い移動平均のフィルターが変化する(後方移動平均→中心移動平均), 2) 異常値や曜日変動などが原系列に混入している場合には, 移動平均によって季節変動を適切に抽出することが困難である, ことが挙げられる.
　次に, 統計理論面からの批判としては, センサス局法が, 時系列の各変動成分に対して明確な確率モデルを仮定することなく, 単に移動平均を繰り返しているに過ぎないため, 得られた季調済系列の統計理論的な性質が不明瞭であるほか, 移動平均項数の設定も恣意的であるという問題が挙げられる.

　こうしたX-11の2つの問題を背景に, 新たな季節調整法が開発されている. X-11のパフォーマンス上の問題(季節調整の不安定性など)を改善するために, センサス局によって新たに開発されたのが, X-12-ARIMAである. また, 統計理論上の問題を解決するために, 移動平均法とは全く別のアプローチから, 多くの統計学者らによって開発されてきたのが, [[モデル型調整法]]である.

　センサス局法の最新バージョンX-12-ARIMAの特徴は, 季節調整の事前処理として, REGARIMAと呼ばれる時系列モデルの情報を用いることにある [4] [5]. その開発思想は, 前記のX-11による季節調整の不安定性の原因をREGARIMAによって取り除こうというものである. つまり, X-12-ARIMAでは, REGARIMAの事前調整によって, 原系列から異常値や曜日変動等を推計・除去するとともに, 原系列の予測値を推計した上で, この予測値と実際の原系列をつなげた系列に対して移動平均を行うことにより, 系列末端部分においても後方移動平均ではなく中心移動平均を用いた季節変動の推計を可能にした.

　一方, モデル型調整法は, 現実のデータがどのような確率モデルから生成されているのかを明確に仮定することによって, 季節調整の手続きを透明にし, かつ推計される季調済系列の統計理論的な性質を明瞭にすることを目的としたものである. モデル型調整法は, 各変動成分の確率モデルの仮定次第で様々なバリエーションをとりうるが, 主な手法としては, シグナル抽出法 [6] [7] や状態空間モデルによる季節調整 [8] [9] などが挙げられる. 例えば, 状態空間モデルは, 時系列の各変動成分を確率差分方程式の形で捉えることによってモデル全体を状態空間表現で規定し, 各変動成分の形状やノイズ分布等について, 汎用性を持たせた季節調整法である. ノイズ分布に関しては, 一般的には, 正規分布(ガウス分布)を仮定することが多いが, 非ガウス分布を仮定して, 時系列の異常値や構造変化をうまく処理するような工夫も最近ではされている [10].

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'''参考文献'''

[1] 日本オペレーションズ・リサーチ学会, 「特集季節変動のマネージメント」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 420-441.

[2] 統計数理研究所, 「特集　季節調整法」, 『統計数理』, '''45''' (1997), 167-357.

[3] 木村武, 「季節調整法の評価に関する実証分析」, 『日本統計学会誌』, '''26''' (1996), 269-286.

[4] 木村武, 「最新移動平均型季節調整法X-12-ARIMAについて」『金融研究』, '''15''' (1996), 95-150.

[5] D. F. Findley, B. C. Monsell, W. R. Bell, M. C. Otto and B. Chen, "New Capabilities and Methods of the X-12-ARIMA Seasonal Adjustment Program," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''16''' (1998), 127-177.

[6] W. R. Bell and S. C. Hillmer, "Issues Involved with the Seasonal Adjustment of Economic Time Series," ''Journal of Business and Economic Statistics'', '''2''' (1984), 291-320.

[7] J. P. Burman, "Seasonal Adjustment by Signal Extraction," ''Journal of the Royal Statistical Society'', Series A, '''143''' (1980), 321-337.

[8] 北川源四郎, 「時系列の分解－プログラムDECOMPの紹介」, 『統計数理』, '''34''' (1986), 255-271.

[9] G. Kitagawa and W. Gersch, "A Smoothness Priors - State Space Modeling of Time Series with Trend and Seasonality," ''Journal of the American Statistical Association'', '''79''' (1984), 378-389.

[10] G. Kitagawa, "Non-Gaussian State Space Modeling of Nonstationary Time Series," ''Journal of the American Statistical Association'', '''82''' (1987), 1032-1041.

《指数平滑法》

2007-07-10T06:46:09Z

61.214.148.58:

'''【しすうへいかつほう (exponential smoothing) 】'''

1. 指数平滑法の基本式

　時間の変化に従って与えられるデータ群, すなわち, 時系列データ (例えば需要量系列など) を用いた予測方式の共通点は, 先行するデータ群をつぎに続くデータ群に関連づけて推定を行うことである. この方法の一つで[[指数平滑法]]の基礎となる方式が移動平均法である. いま, <math>t\, </math>時点の移動平均値を<math>m_t\, </math>, 用いられるデータ群の項数を<math>l, (t-n)\, </math>時点のデータを<math>d_{t-n}\, </math>とし, <math>d_{t-n}\, </math>の係数を<math>a_{n+1}\, </math>とすれば, <math>{\it t}\, </math>時点の移動平均値<math>m_t\, </math>は次式で表される.

:<math>
m_{t}=a_{1}d_{t}+a_{2}d_{t-1}+{\cdots}+a_{l}d_{t-l+1}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>

:ただし, <math>
\ \sum_{n=1}^{l}a_{n}=1
\, </math>

　さて, 指数平滑法([1], [2])はこの(1)式の係数<math>a_{1} ,a_{2},\cdots ,a_{l}\, </math>に対して, 現在時点に近い程ウエイトを大きくし, 過去にさかのぼる程ウエイトを小さくしていく指数型の考え方を導入したもので, 指数型加重移動平均法とも呼ばれている. すなわち, この方式による<math>{\it t}\, </math>時点の推定値<math>m_t\, </math>は次式のように表わされる. (ただし, <math>0 \leq 1-a \leq 1\, </math>)

:<math>
m_{t}=a\{d_{t}+(1-a)d_{t-1}+{\cdots}+(1-a)^{n}d_{t-n}+{\cdots}\}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>

　この(2)式の重み係数<math>a, a(1-a), a(1-a)^{2}, \cdots \cdots\, </math>の総計は1となる. なお, この場合の<math>m_t\, </math>は<math>({\it t}+1)\, </math>時点の予測値として用いられる. ここで, (2)式と同様な考え方で<math>m_{t-1}\, </math>を算出すると次式が得られる.

:<math>
m_{t-1}= a \{d_{t-1}+ (1-a) d_{t-2}+{\cdots}+ (1-a) ^{n-1} d_{t-n}+{\cdots}\}
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>

　(3)式の両辺に<math>(1-{\it a})\, </math>を掛けて(2)式と対比すると, 次式のような指数平滑法の基本式(定数型モデル)が導出される.

:<math>
m_{t}= a d_{t}+ (1-a) m_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>

　この(4)式の係数<math>{\it a}\, </math>を平滑化定数と呼んでいる.

2. 平滑化定数の値

　上記の平滑化定数<math>{\it a}\, </math>は, 原則として, 0と1の間の値をとる. この中, <math>{\it a}=1\, </math>のときは<math>m_{t}=d_{t}\, </math>となり推定値は同時点のデータと等しくなる. 一方,<math> {\it a}=0\, </math>のときは<math>m_{t}=m_{t-1}\, </math>となり推定値は一時点前の先行する推定値と等しくなる. <math>{\it a}\, </math>を中間の値<math>(0<{\it a}<1)\, </math>にとった場合にはある程度ランダムな変動の影響を受けることになる. <math>{\it a}\, </math>の値を最適に決めることは難しい問題であるが, 0.5より若干小さい値をとる場合が比較的多い.

3. 傾向を考慮した場合

　時系列データに傾向がない定数型モデルの場合には, (4)式の<math>m_t\, </math>が<math>({\it t}+1)\, </math>時点の有効な予測値となるが, もし, 上昇, あるいは下降の傾向がある場合は, この値は不満足なものになる. この問題を解決するために傾向を考慮した指数平滑法(直線型傾向モデル)が提案されている. このモデルでは2番目の変数として<math>t\, </math>時点の傾向の推定値r_tを導入している. この直線型傾向モデルはR. G. Brown[3], [4] により提示されたが, いま, <math>({\it t}+1)\, </math>時点の予測値を<math>y_t\, </math>とすれば(5)～(7)式のように表わされる.

:<math>
y_{t}= m_{t}+{ \frac{1-a}{a}} r_{t}
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>

:<math>
m_{t}= a d_{t}+ (1-a) m_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math>

:<math>
r_{t}= a (y_{t}- y_{t-1})+ (1-a) r_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>

　このモデルの<math>{\it k}\, </math>時点先の予測値<math>y_{t+k}\, </math>は次式のように示される.

:<math>
y_{t+k}= y_{t}+ k r_{t}
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>

　なお, (4)式や(5)式などで用いられている<math>m_t\, </math>や<math>r_t\, </math>の初期値は, それまでのデータにより推定される. それらの値はとくに重要な値ではないので比較的単純な近似法を用いればよい.

4. 季節変動を考慮した場合

　時系列データに季節変動がある場合には, 季節型モデルが利用される. このモデルの代表的なものはP. R. Winters [5] によって提示されているが, いま, <math>{\it t}\, </math>時点の季節変動指数値<math>S_t\, </math>, 3つの平滑化定数をそれぞれ<math>{\it a}, {\it b}, {\it c}\, </math>とすればこのモデルは(9)～(11)式のように表わされる.

:<math>
y_{t}= a \frac{d_{t}}{S_{t-L}}+(1-a) (y_{t-1}+ r_{t-1})
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>

:<math>
S_{t}= b \frac{d_{t}}{y_{t}}+(1-b) S_{t-L}
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>

:<math>
r_{t}= c (y_{t}- y_{t-1})+(1-c) r_{t-1}
\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>

　ただし, <math>t-L\, </math>は<math>{\it t}\, </math>より1年前の時点.

このモデルの<math>{\it k}\, </math>時点先の予測値<math>y_{t+k}\, </math>は次式のように示される.

:<math>
y_{t+k}= (y_{t}+k r_{t})S_{t+k-L}
\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>

5. その他の指数平滑法

　上記以外のモデルとしては, <math>y_{t-2}\, </math>までを用いた2次のモデルや定数型モデルの推定値をデータとして同じモデルを繰り返し用いる2重や3重のモデルも提案されている.

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'''参考文献'''

[1] I. C. I Monograph, No.2, ''Short-Term Forecasting'', Imperial Chemical Industries Limited, 1964.

[2] C. C. Holt, ''Forecasting Seasonals and Trends by Exponentially Weighted Moving Averages'', Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh, Pennsylvania, 1957.

[3] R. G. Brown, ''Statistical Forecasting for Inventory Control'', McGraw-Hill, 1959.

[4] R. G. Brown and R. F. Meyer, "The Fundamental Theorem of Exponential Smoothing," ''Operations Research'', '''19''' (1961), 673-685.

[5] P. R. Winters, "Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages," ''Management Science'', '''6''' (1960), 324-342.

《多変量解析》

2007-07-10T06:25:13Z

61.214.148.58:

'''【たへんりょうかいせき (multivariate analysis) 】'''

　解析の対象 (会社, 地域, 人など) に対して, 複数の変数 (特性) についての値が得られているときに, それらを用いて, 総合的に解析するのを多変量解析という. 変数の型および変数の扱い方により, 種々の解析方法がある.

　変数の型は, 同異だけがわかる名義尺度変数 (質的変数) と差に意味がある間隔尺度変数 (量的変数) に分かれる. 会社名, 地名, 人名などは, 名義尺度変数である. 名義尺度変数は, 分類にしか使えないが, 複数の間隔尺度変数は, 重み(係数)を乗じて, 加えた関数を考えることができる.

　変数の扱い方には, すべての変数を同じに扱う場合と二つに分ける場合がある. 後者では, 第1のグループの変数の関数と第2のグループの変数の対応を求める. 第1のグループの変数を説明変数, 第2のグループの変数を目的変数という. 目的変数は, 1個であることが多い.

[解析方法の種類]

　1. すべての変数を同じに扱う場合

　すべての変数が名義尺度変数である場合は, 対象を多重に分類した分割表を解析する方法があるが, 通常は, 多変量解析の対象にしていないので, ここでは, すべての変数が間隔尺度変数であるとする.

　(1) 総合特性値を求める方法

　元の変数との関係をできるだけ失わないようにして, より少数の総合特性値をいくつか求める方法として, [[主成分分析]]や[[因子分析]]がある. 主成分分析では, 主成分といわれる元の変数の線形式を順次一つずつ求めていく. したがって, 第<math>k\, </math>(≧2)主成分には, すでに定まっている第1から第<math>(k-1)\, </math>主成分までに追加するのに最適なものが選ばれる. しかし, とりあげる総合特性値の数<math>k\, </math>が予め定まっている場合は, 第1主成分から第<math>k\, </math>主成分の1次変換であれば, どれでもよいので, 意味を考えて, よりよい<math>k\, </math>個の因子と呼ばれる総合特性値を求めるのが因子分析である.

　(2) 対象を分類する方法

　対象をいくつかのグループに分類する方法として, クラスター分析がある.

　2. 説明変数と目的変数に分かれている場合

　説明変数は, すべて間隔尺度変数であるとする. 目的変数との関係がある説明変数の関数を求める方法がいくつか考えられている.

　(1) 目的変数が名義尺度変数である場合

　目的変数によって対象をグループ分けしたとき, 同じグループ内では近い値をとり, 異なるグループでは離れた値をとる説明変数の関数が求められれば, 説明変数で目的変数を判別することができる. 目的変数を判別するために用いる説明変数の関数を判別関数という.

　(2) 目的変数が間隔尺度変数である場合

　その値が目的変数の値とできるだけ近くなるような説明変数の関数を求める方法として, 回帰分析がある.

[変数の型の変換]

　ある特徴の有無, 質問の肯定・否定による回答などのように, 二つに分けられる名義尺度変数は, 0か1の値をとる0-1変数におきかえることで, 間隔尺度変数のように扱うことができる. 一般に, <math>k\, </math>個に分ける名義尺度変数は, <math>k\, </math>個の0-1変数に置き換えることができる.

　0-1変数だけの多変量解析として, 各種の数量化法が提案されている.

　順序だけ意味がある順序尺度変数は, 点数化によって, 間隔尺度変数にできる. たとえば, 品物に松, 竹, 梅のランクが付けられている場合, それぞれに, 3, 2, 1や5, 2, 1の数値を対応させれば, 間隔尺度変数として扱うことができる. なお, 順序尺度変数は, [[順位相関係数]]を用いて, 解析することもできる.

　比が意味を持つ比尺度変数は, その対数をとることによって, 間隔尺度変数になる.

[単位に関する注意]

　複数の変数を扱うとき, 単位に注意する必要がある. 単位がすべて同じであれば, ほとんど問題がないが, <math>x_1\, </math> の単位はm, <math>x_2\, </math> はcm, <math>x_3\, </math> はgのように, 異なるときは, 重み (係数) <math>a_1, a_2, a_3\, </math> の単位を変えることによって, 重み付きの和

:<math>a_{1}x_1+a_{2}x_2+a_{3}x_3\, </math>

が意味を持つ. このときに, 重みの2乗和

:<math>a_1^2+a_2^2+a_3^2\, </math>

を1にするといった誤りをしないように, 注意されたい.

　多変量解析では, 単位を揃えることとばらつきを揃えることを兼ねて, 初めにその変数の標準偏差で割る変数変換がよく行われる.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

[2] M. G. Kendall 著, 奥野忠一, 大橋靖雄訳, 『多変量解析』, 培風館, 1981.

《数量化法》

2007-07-10T06:19:55Z

61.214.148.58:

'''【すうりょうかほう (quantification method) 】'''

　数量化法は, 林知己夫氏が提唱した記述的多次元データ解析の方法である. 現象を解明するには, データの取得計画, 具体的なデータ取得法, 現象に合わせた適切なデータ解析法の三者が均衡を保つことが重要であるという思想的枠組の中から数量化法が誕生した. いくつかの方法が提案されているが, 各方法の誕生の経緯に共通することは, いずれも具体的な現象解明のための応用実務の探索的データ解析を目指していることである.

　扱うデータの中に, ‘はい’か‘いいえ’で答えたり, いくつかの選択肢の中から選んだりするアンケートの回答のような質的変数のデータを含んでいるのが特徴である. 変数の型, 扱い方と目的によって, 数量化I類からVI類までに分かれている. はじめに, I類からIV類までが提唱されて, あとで, V類とVI類が追加された. 変数がすべて同じに扱われる場合と一つの変数だけ区別して, それを他の変数で説明する場合がある. 後者の場合, 説明に用いる変数を説明変数, それらで説明される変数を目的変数という. 目的変数を外的基準ということもあり, 外的基準がある場合/ない場合という表現を使う.

［質的変数に対応するダミー変数］

　質的変数は, アイテム, 項目と呼ばれることがあり, それがとる状態はカテゴリーと呼ばれる. アンケートの回答結果がデータである場合, 質問における対象がアイテムに当たり, 回答における選択肢がカテゴリーに当たる. たとえば, ‘この車のデザインは好きですか’という質問を‘好き’か‘嫌い’で答える場合, ‘この車のデザイン’がアイテムであり, ‘好き’と‘嫌い’がカテゴリーである.

　この質問のようにカテゴリー数が2であって, 二者択一である場合は, 0か1の値をとるダミー変数を対応させる. カテゴリー数が3以上であるか, 2であっても両方選ぶことができる場合は, カテゴリー数だけダミー変数を用意し, そのカテゴリーを選んだことを1で, 選ばなかったことを0で表す. このとき, ダミー変数の一次式における係数を定めることは, 各カテゴリーに数量を割り当てることを意味する.

［数量化I類］

　外的基準がある場合で, 説明変数がすべて質的変数であり, 目的変数が量的変数である予測型手法である. 量的データの解析における重回帰分析に対応する.

［数量化II類］

　外的基準がある場合で, 説明変数がすべて質的変数であるが, I類と異なり, 目的変数も質的変数である判別分析型手法である. 量的データの解析における判別関数を求めることに対応する.

［数量化III類］

　外的基準がない場合で, 二つのアイテムについて, カテゴリー別にそれを選んだ度数を集計して作られる2元分割表, クロス表が与えられている. このとき, 相関係数が最大になるように, 二つのアイテムの各カテゴリーに数値を割り当てて, それらの関係を解明する.

　数量化III類と同じように, 質的データの数量化を行う同等または類似の手法として, 対応分析[5] , 双対尺度法 [6] などがある.

［数量化IV類, V類, VI類］

　数量化IV類は, 分析の対象がいくつか考えられているときに, 2対象間の類似性または親近性の程度を表す数値から, 低次元空間における対象の位置を定める方法である. 多次元尺度構成法の一つと見ることもできる. その発展型として, V類, VI類がある.

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'''参考文献'''

[1] 林知己夫, 『数量化-理論と方法』, 朝倉書店, 1993.

[2] 林知己夫, 鈴木達三, 『社会調査と数量化(増補版)』, 岩波書店, 1997.

[3] 駒澤勉, 『数量化理論とデータ処理』, 朝倉書店, 1982.

[4] 大隅昇, L. ルバール他, 『記述的多変量解析法』, 日科技連出版社, 1994.

[5] J. P. Benzecri, ''Correspondence Analysis Handbook'', Marcel Dekker, 1992.

[6] S. Nishisato, ''Analysis of Categorical Data : Dual Scaling and Its Applications'', University of Toronto Press, 1980.

《多次元尺度構成法》

2007-07-10T06:18:22Z

61.214.148.58:

'''【たじげんしゃくどこうせいほう (multidimensional scaling) 】'''

　マーケティングにおける製品のように, 分析の対象がいくつか考えられているときに, 2対象間の距離または類似度などから, 多次元の空間における対象の配置を決定する方法を多次元尺度構成法MDSといい, 対象の配置を布置configurationという.

　対象の数を <math>n\, </math>, 対象 <math>i\, </math> と対象 <math>j\ (i,j=1,2,\ldots ,n)\, </math> の間の実測距離を <math>\delta_{ij}\, </math> とする. 類似度が得られているときは, 類似度が大きいほど距離が小さくなるように, 類似度から距離を定める. 次元の数を <math>p\, </math> とすると, 求めるものは, 対象 <math>i\ (i=1,2,\ldots ,n)\, </math> の座標 <math>\boldsymbol{x}_i=(x_{i1}, x_{i2},\ldots ,x_{ip})\, </math> である. 対象の布置は, 視覚的にわかりやすく表示する必要があるので, <math>p\, </math> には, 2, 3のような小さい値を選ぶ.

　各点の座標が定まると, <math>\boldsymbol{x}_i\, </math> と <math>\boldsymbol{x}_j\, </math> から, たとえば, ユークリッド距離により, 対象 <math>i\, </math> と対象 <math>j\, </math> の間の距離 <math>d_{ij}\, </math> を計算することができる. このとき, <math>(d_{ij})\, </math> は, <math>(\delta_{ij})\, </math> に全体的に適合
している方がよい. そこで, <math>(d_{ij})\, </math> が <math>(\delta_{ij})\, </math> に適合している程度を表す適合度を定めて, それを最小にする <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を求める.

　適合度の定義は, いくつか考えられているが, <math>d_{ij}\, </math> と <math>\delta_{ij}\, </math> の差を用いて表すものや, その差が意味を持たない場合に, <math>(\delta_{ij})\, </math> と大きさに関してほぼ同じ順序を持っている距離 <math>(d^*_{ij})\, </math> を求め, <math>(d_{ij})\, </math> と <math>(d^*_{ij})\, </math> の差を用いるものもある [3]. 適合度を最小にする <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を求めるのは, 非線形計画問題になる. <math>\delta_{ij}\, </math> が順位で与えられているときに, 相関係数の形に似た単調性係数を用いるものもある.

　次元の数が定まっていないときは, <math>p\, </math> の値を1から出発して, 1ずつ増やしていく方法もある. <math>p\, </math> が大きくなるほど, 適合度は小さくなるが, 対象の布置はわかりにくくなる. したがって, 適合度の減少分がある限度以下になれば, 終了する.

　2対象間の距離の代わりに, 複数の評定者による2対象間の選好結果が与えられていることもある. 選好結果は, 各評定者毎に, 2対象のどちらをより好むかを示す. このときは, 選考結果の集計から, 2対象の距離を計算して, 対象の布置を求めることができるだけでなく, 評定者の理想点の位置も求められる [4]. 選考判断は, 全対象に対する好みの順序で与えられることもある.

　これらの他にも, 線形計画法で分析する方法 [5] や, 対象毎に, それから近い順に他の対象を並べるときの順位を求めて, それから解析する方法 [5] など, 様々な方法が提案されている.

　また, <math>\delta_{ij}\, </math> を確率変数の実現値とみなす確率モデルを規定して, 最尤法などで <math>(\boldsymbol{x}_i)\, </math> を推定する方法もある [6] .

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'''参考文献'''

[1] 斎藤堯幸, 『多次元尺度構成法』, 朝倉書店, 1980.

[2] 高根芳雄, 『多次元尺度法』, 東京大学出版会, 1980.

[3] J. B. Kruskal, "Multidimensional Scaling by Optimizing Goodness of Fit to a Nonmetric Hypothesis," ''Psychometrika'', '''29''' (1964), 1-27.

[4] J. D. Carroll, "Individual Differences and Multidimensional Scaling," in ''Multidimensional Scaling : Theory and Applications in the Behavioral Sciences Vol. 1'', R. N. Shepard, et al. eds., New York : Seminar Press, 105-155, 1972. 岡太彬訓, 渡邊惠子訳, 『多次元尺度構成法I理論編』, 共立出版, 1976.

[5] V. Srinivasan and A. D. Shocker, "Linear Programming Techniques for Multidimensional Analysis of Preferences," ''Psychometrika'', '''38''' (1973), 337-369.

[6] 片平秀貴, 『新しい消費者分析 LOGMAPの理論と応用』, 東京大学出版会, 1991.

《判別関数》

2007-07-10T06:11:49Z

61.214.148.58:

'''【はんべつかんすう (discriminant function) 】'''

　いくつかの変数(特性)についての測定値が得られている対象に対して, それが属している可能性があるグループが複数考えられるときに, それらの変数の関数を用いて対象の属するグループを判別することにする. このときに用いる関数を判別関数という.

　いくつかの特性の値からグループを判別するから,特性が説明変数であり, グループが(質的)目的変数である.説明変数を<math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>, 目的変数を<math>y\, </math>で表す.また, <math>y\, </math>のとりうる値(グループ名)を<math>G_h(h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math>とする.すなわち, <math>r\, </math> 個のグループが考えられているとする. グループの判別には, <math>\boldsymbol{ x}(x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>を並べたベクトル)と<math>G_h(h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math>の中心(平均)の間の距離<math>D_h(\boldsymbol{ x})\, </math>を用いる. <math>G_h\, </math>における平均ベクトル <math>(x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math> の平均を並べたベクトル) を<math>\boldsymbol{m}_h\, </math>, 分散共分散行列の逆行列を <math>C_h\, </math> とする. このとき, <math>D_h(\boldsymbol{ x})\, </math> は, 次式で計算される.

:<math>
D_h(\boldsymbol{x})=
(\boldsymbol{x}\boldsymbol{m}_h)^{\top}
C_h(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{m}_h)
</math>

グループが正規母集団とみなされ, 分散共分散行列がすべて等しいとき, 上の式で <math>\boldsymbol{x}\,=\,\boldsymbol{m}_k\, </math>とおいて得られる距離を, <math>G_k\, </math>と<math>G_h\, </math>の間のマハラノビス汎距離という. 平均や分散共分散行列は, 各グループに属していることがわかっている対象についての測定値より計算される. <math>D_h(\boldsymbol{x}) (h=1,\ 2,\ \cdots,\ r)\, </math> の中で,<math>D_k(\boldsymbol{x})\, </math> が最小であれば, この対象は,<math>G_k\, </math>に属していると判別すればよい. また, どれにも属さないという判別が許される場合は, あらかじめ上限を設定しておいて, <math>D_k(\boldsymbol{x})\, </math> がそれを越えたときは, どれにも属さないと判別すればよい.

　<math>r=2\, </math> のときは, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})=D_1(\boldsymbol{x})-D_2(\boldsymbol{x})\, </math> を計算して, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})>0\, </math>であれば <math>G_2\, </math>に属し, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})<0\, </math>であれば <math>G_1\, </math>に属すると判別すればよい. 分散共分散行列が等しいとき, すなわち, <math>C_1=C_2=C\, </math>であるとき,

:<math>
\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})
=2(\boldsymbol{m}_2-\boldsymbol{m}_1)^{\top}
C\boldsymbol{x}-(\boldsymbol{m}_2-\boldsymbol{m}_1)^{\top}
C(\boldsymbol{m}_1+\boldsymbol{m}_2)
</math>

と変形できるので, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})\, </math>は, <math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math>の線形式になる. したがって, これを(<math>G_1\, </math>と<math>G_2\, </math>を判別する)線形判別関数という. <math>r\, </math>が3以上のときは, 線形判別関数は, <math>{}_r{\rm C}_2\, </math> 個できる. なお, 分散共分散行列が等しくないときは, <math>\mathit{\Delta}D_{12}(\boldsymbol{x})\, </math> は, <math>x_i(i=1,\ 2,\ \cdots,\ p)\, </math> の2次式になる.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

《クラスター分析》

2007-07-10T05:58:03Z

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'''【クラスターぶんせき (cluster analysis) 】'''

　現象解析の基本操作の一つである分類を行う方法に関わる探索的方法論の総称がクラスター分析である. 博物学, 考古学, 生物分類学, 計量心理学など適用分野がきわめて多岐にわたることが特徴である. 欧州圏では, 自動分類法(automatic classification)と呼称することが多い. 分類操作とは, 解析の対象すべてをいくつかの群に分けて, 何らかの基準に従って似ているものが同じ群に入っているようにすることである. 群をクラスターという.

　すべての対象の集合を<math>\Omega\, </math>とする. これの部分集合の集合<math>\Gamma=\{C_1,\ C_2,\ \ldots,\ C_p\}\, </math>が, 次の条件を満たすとき,<math>\Omega\, </math>の分割という.

(1) <math>C_1\cup C_2\cup\ldots\cup C_p=\Omega\, </math>

(2) <math>C_i\cap C_j=\phi\ (i\neq j)\, </math>

このとき, <math>C_k(k=1,\ 2,\ \ldots,\ p)\, </math>がクラスターであり,クラスター分析の目的は, 与えられた基準に従って, 最適な分割を求めることである.

[分類結果の評価]

　分類の目的によって, 分類結果, すなわち, 得られた分割<math>\Gamma\, </math>に対する評価基準が定まる. これは, 目的関数で示される. たとえば, 同じクラスターに属する対象は, お互いに類似しているほうがよいのであれば, 同じクラスターに属する2対象間の類似度の最小値を目的関数にして, それをできるだけ大きくすればよいし, 異なるクラスターに属する対象は, できるだけ類似していないほうがよければ, 異なるクラスターに属する2対象間の類似度の最大値を目的関数にして, それをできるだけ小さくすればよい.

[分類手法]

　分類方法は, いろいろ提案されているが, 大きく, 階層的分類法 (hierarchical classification) と非階層的分類法に分けられ, 階層的分類法は, さらに, 凝集型 (agglomerative type) と分枝型 (divisible type) に分けられる.

1. 非階層的分類法

　予め定めたクラスター数<math>p\, </math>に対して, 最適な分割を求める方法. 最適な分割を求めるのは, 組み合わせ最適化問題の一種であるから, 0-1変数の整数計画問題に定式化すれば, そのアルゴリズムが利用できる.

2. 階層的分類法

　クラスター数<math>p\, </math>が予め定められない場合や分類が段階的にクラスターの併合または細分によって変化することが考えられる場合には, 階層的分類が望まれる.

　(1) 凝集型階層的分類法

　対象が一つずつ分かれている状態から出発して, 最も近い二つのクラスターを併合することを繰り返して, クラスター数<math>p\, </math>を1ずつ減少させていく方法である. 予め, 二つのクラスター<math>A,\ B\, </math>間の距離<math>\delta(A,\ B)\, </math>を定めておく必要がある. 手順の概要は, 次のとおりである. ここで, 対象の数を<math>n\, </math>とし, <math>p\, </math>の最終値を<math>p_{\min}\, </math>とする.

　手順1. <math>p=n,\ \Gamma=\{\{1\}, \{2\}, \ldots, \{n\}\}\, </math> とし, すべての<math>i, \ j\, </math> に対して, <math>\delta(\{i\},\ \{j\})\, </math> を計算する.

　手順2. <math>\Gamma\, </math>に含まれるクラスターの対の中で, 距離が最小であるものを求めて, それらを結合し, <math>p\, </math> の値を1だけ小さくする. <math>p=p_{\min}\, </math> であれば, 終了する.

　手順3. 結合してできたクラスターと他のクラスターの間の距離を計算して手順2にもどる.

　クラスター間の距離の定義は, いろいろ考えられているが, 対象<math>i\, </math>と対象<math>j\, </math>の間の距離<math>d_{ij}\, </math>を予め定めておいて, それを用いて表すことが多い. 対象間距離は, 対象のいくつかの特性の測定値から計算される. 特性の単位がすべて揃っているときは, ユークリッド距離が使えるが, 一般には, 重み付きユークリッド距離を用いる. 類似度やアンケートの回答の一致の程度から, 距離を定めることもある. このときは, 類似度などが大きくなるほど, 距離が小さくなるようにする.

　対象間距離を用いるクラスター間の距離の定義の代表的なものを挙げる.

:<math>
\delta(A,\ B)=\min\{d_{ij}|i\in A,\ j\in B\}\,
</math>

:<math>
\delta(A,\ B)=\max\{d_{ij}|i\in A,\ j\in B\}\,
</math>

:<math>
\delta(A,\ B)=\sum_{i\in A, j\in B} d_{ij}/(\mathrm{car}(A)\times \mathrm{car}(B))\,
</math>

ここで, <math>{\rm car}(S)\, </math>は, 集合<math>S\, </math>の要素数を表す. 上から順に, 最短距離, 最長距離, 群間平均距離という. 手順1で, <math>\delta(\{i\}, \{j\})\, </math>を計算しなければいけないが, 対象間距離を用いるときは, <math>\delta(\{i\}, \{j\})= d_{ij}\, </math>となる.

　凝集型方法では, クラスター間の距離の定義によって, 分類結果が異なる可能性がある. そこで, クラスター間の距離の定義に対応して, 方法に名称が付けられている. 最短距離, 最長距離, 群間平均距離を用いるときは, それぞれ最短距離法, 最長距離法, 群間平均距離法という. 最短距離法の別名としては, 最近隣法, 単連結法などがあり, 最長距離法の別名には, 最遠隣法, 完全連結法などがある. なお, 最短距離法は, 最小木問題のクラスカル法に当たる. 多くのクラスター間の距離を統一的に表わす距離が定義されていて, それを用いる凝集型方法を組み合わせ的方法(combinatorial method)と呼んでいる [6].

　凝集型方法は, ある一つの<math>p\, </math>の値に対する分割を求める場合でも, 非常に少ない計算量でよい解を求めるアルゴリズムである. 一般的には, 与えられた目的関数に対して, いつも良い分割を与えるクラスター間の距離の定義は存在しないから, 定義を変えていろいろな分割を求めて, それらの中から最も良いものを選べばよいが, 異なるクラスターに属する2対象間の距離の最小値, すなわち, 最短距離を最大にする場合は, 最短距離法で常に最適解が得られる. 結合していく過程と結合する二つのクラスター間の距離は, 樹形図 (dendrogram) で示される.

　(2) 分枝型階層的分類法

　凝集型とは逆に, 全対象を一つのクラスターにした状態から出発して, クラスターの分割を繰り返すことにより, トップダウンに階層分類を行う. 逐次二分割方式が多いが, 三つ以上に分割できる方式もある. 時間経過とともに進化して分岐してきたものの分類には適しているが, 凝集型に比べると, はるかに計算量が増える.

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'''参考文献'''

[1] 奥野忠一, 久米均, 芳賀敏郎, 吉澤正, 『多変量解析法(改訂版)』, 日科技連出版, 1981.

[2] 大隅昇, L. ルバール他, 『記述的多変量解析法』, 日科技連出版社, 1994.

[3] M. R. Anderberg, ''Cluster Analysis for Applications'', Academic Press, 1973.

[4] T. S. Arthanari and Y. Dodge, ''Mathematical Programming in Statistics'', John-Wiley and Sons, 1981.

[5] B. Everitt, ''Cluster Analysis'', 3rd edn., Edward Arnold, 1993.

[6] G. N. Lance and W. T. Williams, "A General Theory of Classificatory Sorting Strategies 1 - Hierarchical System," ''Computer Journal'', '''9''' (1967), 373-380.