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《システム分析》

2007-07-09T02:02:33Z

122.30.230.198: 新しいページ: ''''【しすてむぶんせき {systems analysis}】''' 　第2次世界大戦後, 米国のランド・コーポレーション(The Rand Corporation)の分析家達は, 軍...'

'''【しすてむぶんせき {systems analysis}】'''

　第2次世界大戦後, 米国のランド・コーポレーション(The Rand Corporation)の分析家達は, 軍事問題の分析活動における華々しい成功体験をもとに, 自ら彼らの分析活動をシステム分析(Systems Analysis)と命名した. その誕生の歴史的な背景についてクエイド(Quade),ブッチャー(Boucher)[10], は, 次のように述べている.「兵器開発は数年の歳月を要するものであるために, これらの諸研究は, もはやインプットが既知で, 目的も明確な, そして[[不確定性]]の限られているようなオペレーションだけを扱っているわけにはいかなくなってしまったのである. 1950年以降になると, 兵器システムの分析者(とくに, ランド・コーポレーション)は, 国家安全保障に関する政策や戦略の問題をその研究対象に含め, これらの諸問題に関する分析評価および研究を推進した([10], 訳書, p.3)」.

　システム分析は, この軍事分野での成功を踏まえて, その後, 公共部門の問題の分析へも広範に適用されることとなった.システム分析の対象とする問題は, 例えば, 軍事分野では, 将来の兵力構成とか新しい兵器体系が対象とする環境(未来の戦場, 将来の相手等)に適切に機能するものかどうかの分析[10], 公共部門では, 水資源開発プロジェクト[6], 地域消防システム等[7], および工業開発を主軸とする地域開発計画等[5]に関する分析評価である.

[システム分析の定義]

　システム分析については, 様々な人がさまざまに定義しているが, 一般的で, 平易な定義としてフィッシャー(Fisher)から引用する([2]訳書, p.7).

:システム分析は, 次のやり方で将来の望ましい行動方針(course of action)　を選択する上で意思決定者(decision maker)を助けようとする調査行為である.

::*関連した諸目標とそれらを達成するためのいろいろな政策や戦略を組織的に検討し, さらに再検討する.
::*各種代替案(alternatives)の費用(cost), 効果(effectiveness)/[[便益]]リスク(risk), さらに, できる場合はいつでもこれらを数量で比較する.

[システム分析の手順]

　クエイド, ブッチャー[10]の考え方を基に, システム分析の手順を概説する.
　まず, システム分析者は, 依頼主から提起された問題の定式化(概念形成)の段階から入る. すなわち, 問題の対象とする範囲及び問題の性格を把握し, 分析の正しい目的を設定する. 問題の範囲は, 意思決定のレベルにより, 階層的に整理する, すなわち, 全体システムの目的から問題の目的(部分目的)へと展開し, 問題の全体構造を把握する. この場合, 「目的を誤るということは, 誤った問題を解決しようとしたという意味で致命的である[10]訳書, p.40)」という警句は, 肝に銘ずべきである. さらに, 将来の望ましい行動方針等を選択するための望ましさを計る[[評価基準]](criterion) を探す. 評価基準は, 選択する案のもたらす費用であったり, 効果や便益等が考えられる. 評価基準の設定で注意すべきことの第1は, 目的に合った評価基準を設定する, 第2に, 対象範囲外の条件は固定して最適化を図ることである. すなわち, 意思決定の問題のレベルを限定し, 上のレベルの決定および同一レベルの他の部門の決定を所与とみなし分析を行う. これを[[部分最適化]]と呼ぶ. この場合, 問題に関する目的(部分目的)はシステム全体の望ましい方向と首尾一貫していることが肝心であり, その評価基準も全体が目指す方向(全体目的)に一致するように設定するのが重要である.

　次は, 調査(研究)の段階である. 問題に関連するデータ, 各要素間の関係式の整理, および将来の望ましい行動方針を示すであろう各種代替案(alternatives)を作成する. 評価(分析)の段階においては, 関連データと各要素間の関係式を基にして, 対象とする問題状況を表現するモデルを作成する. これらのモデルを操作することにより, 各々の代替案の結果を産出し, [[費用対効果(便益)分析(cost-effectiveness(benefit) analysis)]]とか,[[トレードオフ分析(trade-off analyses)]]を実施して, 各種代替案の比較を行う. さらに, この場合, 問題状況等の不確定性に関する分析も併せ実施することは, 重要である. よく用いられる方法としては, 決定を引き延ばす(時間を買う, buy time)とか, 両掛け(hedge)と時間を買う戦略の組み合わせにより, 選択に柔軟性を持たせる([10]訳書, pp.95-96)とか,[[感度分析(sensitivity analysis)]],[[状況変異分析(contingency analysis)]],[[追証分析(a fortiori analysis)]]がある([2]訳書, p.14).

　最後の解釈(判断)の段階においては, モデルから産出された予測結果のみならず, その他の関連情報(特に, 計量化できなかった要素, 省略された要素)を考慮しつつ, 結果の解釈を実施し, 望ましい行動方針を導き出す, さらに, 可能な場合, 検証を実施する. このようなプロセスは, 最終的に導かれた評価結果が依頼主の満足のいくものかどうか, また, 各段階での前提条件等の設定の妥当性があるのか等を常に検討しながら進めてゆくことから, 段階的というよりは反復的かつ循環的な過程である.

[費用対効果(便益)分析の考え方]

　費用対効果(便益)分析とは, 選択しようとしているシステムが, その費用に値する効果ないしは便益を生み出すものなのか否かを評価するアプローチである. したがって, この分析で扱うシステムの費用とは, システムの購入費用だけでなく, 研究開発段階, 初度のシステム導入に伴う経費からそのシステムの運用開始から退役までの運用経費の総計, すなわちトータルライフサイクル費用(total life cycle cost) である([8], p.432). また, フィッシャーは, 「別の案, 放棄した機会, といった中にこそ, いつも"費用(代替費用: alternative cost ; 機会費用: opportunity costなども吟味する)" のほんとうの意味を見つけださなければならない([2]訳書, p.27)と強調した.

　効果とは, 例えば, 軍事システムでは, システムの"1攻撃あたりの撃墜確率" とか"1会戦での撃墜総数"など([10]訳書, p.60)を, また, 地域消防システムでは, "現場への到達時間" や"ある地域での平均到達時間" など([7], p.81) の評価基準で表す. 便益とは, 水資源プロジェクトの場合, 農民によって生産された小麦の価値の増分やこのプロジェクトから生じるその他の生産者(例えば, ドライクリーニング業者等)の得た所得の増加で表される([6]訳書, pp.179-183).

　以上まとめると, 費用対効果(便益)分析の考え方は, 一つには目的を達成するのに必要な効果(便益)の水準に対して, 最小の費用で得られる代替案を選択する, もう一つのやり方は目的を達成するのに必要な費用の水準に対して, 最大の効果(便益)が得られる代替案を選択することである([2]訳書, pp.11-12).

[システム分析の方法論上の特徴]

　システム分析の方法論に関して, クエイド, ブッチャーは次のように述べている. 「制御された実験がほとんど不可能な分野にハード・サイエンスのアプローチや方法 --- そして理想としては, その水準 --- を拡張しようとする意識的な試みの一つである([10]訳書, p.34), ... まだ, 精密科学あるいは工学の一形態というよりも, むしろ芸(art)の段階である([10]訳書, p.31)」.

　ハード・サイエンスのアプローチとは, 数学, 物理学および経済学等から導入された効率性尺度とか, 対象とする世界に関するフィールドデータの統計解析等から導出した特性値などを基盤として, モデルを作成し, これらにより問題状況を把握するということである. また, マイザー(Miser), クエイドは, システム分析における「経済学者の役割は, ... 重要さを増してきた. 経済学者グループは, この分野の発展に二つ基本的な分野で貢献した. 一つは, 初期のORの段階の応用の中で使われた不十分な概念(評価基準の選定の問題とか, 時間の扱い等)に関して鋭い吟味を与えた. 二つ目は, ORの最も適切なパラダイムとして決定理論及びミクロ経済学の考え方から導出した知的な検討の枠組みを提案したことである.([7], p.42)」と総括した.

[システム分析からの発展]

　チェクランド(Checkland)は, システム分析のパラダイムを「要求, 達成すべき目標, 要求を満たすべきシステム, 求められる使命などの諸点を明確にする必要性が常に主張されてきた. ... 望ましい目標を達成するための効率の良い手段の選択を手助けするという[[ハードシステム思考]]([1]訳書, p.155)」が共通したものであると主張した. このような考え方から, チェクランドは人間活動システムを中心に据えるソフトシステムズ・アプローチ(Soft Systems Approach;SSM)を唱道し, 一方, 「経済合理性と政治的合理性の相対立する論理を調和させようとして, 1960年代の後期から政策分析(Policy Analysis)([7], p.44)」が登場し, これらは, 政策科学(Policy Science)に統括され進展することとなった ([5], [9]).

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'''参考文献'''

[1] P. B. Checkland, ''Systems Thinking, Systems Practice'', John Wiley & Sons, 1981. 高原康彦, 中野文平監訳, 『新しいシステムアプローチ』, オーム社, 1985.

[2] G. H. Fisher, ''Cost Considerations in Systems Analysis'', American Elsevier, 1971. 日本OR学会PPBS部会訳, 『システム分析における費用の扱い』, 東洋経済新報社, 1974.

[3] C. J. Hitch and R. N. McKean, ''The Economics of Defense in the Nuclear Age'', Harvard University Press, 1960. 前田寿夫訳, 『核時代の国防経済学』, 東洋政治経済研究所, 1967.

[4] C. J. Hitch, ''Decision-Making for Defense'', University of California Press, 1965. 福島康人訳, 『戦略計画と意思決定 - PPBS とシステムズ・アナリシス - 』, 日本経営出版会, 1971.

[5] 今村和男編, 『システム分析』, 日科技連, 1977.

[6] R. N. Mckean, ''Efficiency in Government Through Systems Analysis - With Emphasis on Water Resources Development'', John Wiley & Sons, 1958. 建設省PPBS研究会訳, 『システムズ・アナリシスの基礎理論-PPPSの応用-』, 東洋経済新報社, 1969.

[7] H. J. Miser and E. S. Quade (ed.), ''Handbook of Systems Analysis Overview of Uses, Procedures, Applications, and Practice'', John Wiley & Sons, 1985.

[8] 宮川公男編著, 『PPBSの原理と分析 - 計画と管理の予算システム -』, 有斐閣, 1969.

[9] 宮川公男, 『政策科学入門』, 東洋経済新報社, 1995.

[10] E. S. Quade and W. I. Boucher(ed.), ''Systems Analysis and Policy Planning - Applications in Defense -,'' American Elsevier Publishing Company, 1968. 香山健一・公文俊平監訳, 『システム分析1, システム分析2』, 竹内書店, 1972.

《マルコフ連鎖》

2007-07-09T01:59:50Z

122.30.230.198:

'''【まるこふれんさ (Markov chain) 】'''

'''マルコフ過程'''　独立性を緩めた性質である[[マルコフ性]]を持つ確率過程のことを[[マルコフ過程]]と呼び, その中で状態が離散的なものを一般にマルコフ連鎖と呼ぶ. マルコフ連鎖は最も基本的で応用範囲の広い\[[確率過程]]の一つである.

'''離散時間マルコフ連鎖'''　離散的な[[状態空間]] <math>{\mathcal S}\, </math> 上の確率過程 <math>\{ X_n; \; n = 0,1,2,\cdots \}\, </math> が, 任意の時点 <math>n\, </math>, <math>m\, </math> と任意の状態 <math>i_0, \cdots, i_m, j \in {\mathcal S}\, </math> に対して

:<math>
\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_k=i_k, k=m,m-1,\cdots,0)
=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i_m)
</math>

を満たすとき, <math>\{ X_n \}\, </math> を離散時間[[マルコフ連鎖]]と呼ぶ. (1) は, 将来の分布が現在の状態のみで定まり, 過去の状態には依存しない性質を表しており, マルコフ性と呼ばれる.賭けの問題における所持金の推移や, [[在庫理論]]における各期の在庫量の変化など, マルコフ性を持つと考えられる例は多い.

　(1) の推移確率が, 時点 <math>m\, </math> に依存しない場合, マルコフ連鎖は[[斉時的]]であるという. 斉時的な離散時間マルコフ連鎖 <math>\{ X_n \}\, </math> に対して, <math>p_{ij}(n)=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i)\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率]], <math>\boldsymbol{P}(n)=(p_{ij}(n))\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率行列]]と呼ぶ. 特に 1ステップ推移確率を <math>p_{ij}\, </math> で表し, <math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math> を推移確率行列と呼ぶ. [[チャップマン・コルモゴロフの等式]] (Chapman-Kolmogorov equation) <math>\boldsymbol{P}(m+n)=\boldsymbol{P}(m) \boldsymbol{P}(n)</math> から <math>\boldsymbol{P}(n)=\boldsymbol{P}^n</math> が成り立つので, 1 ステップ推移確率行列 <math>\boldsymbol{P}</math> が与えられれば, 任意のステップの推移確率を計算することができる.

'''既約なマルコフ連鎖と吸収的マルコフ連鎖'''　状態の組 <math>i, j\, </math> に対して, 適当な <math>n\, </math> で <math>p_{ij}(n)>0\, </math> となる場合, <math>i\, </math> から <math>j\, </math> へ到達可能であるという. 任意の状態から他のどの状態へも到達可能であるマルコフ連鎖は[[既約]]であるという. 一方, <math>p_{ii}=1\, </math> である状態 <math>i\, </math> は, 一度入ると他の状態へ推移できないため吸収状態と呼ばれる. 任意の状態から出発したとき確率1でいつかはいずれかの吸収状態に到達するマルコフ連鎖を[[吸収的]]という. 後述するように, 既約なマルコフ連鎖では長期間観察したときに各状態に滞在する時間の割合が主な分析対象となる. これに対し, 吸収的マルコフ連鎖では, 吸収されるまでの挙動, 例えば吸収時間の分布, 吸収までに各状態に滞在する平均ステップ数, 複数の吸収状態がある場合に各状態への吸収確率, などが分析の対象となる.

　<math>p_{ii}(n)>0\, </math> となるすべての <math>n \geq 1\, </math> の最大公約数を, 状態 <math>i\, </math> の周期と定める. 既約なマルコフ連鎖では, すべての状態は同じ周期を持つことが知られている. また, 周期 1 のマルコフ連鎖を非周期的という.

　<math>i\, </math> から <math>j\, </math> への[[初到達時間]]を <math>T_{ij}\, </math> とすると, マルコフ連鎖の各状態 (<math>i\, </math> とする) はその状態への[[再帰確率]] <math>\mathrm{P}(T_{ii}<\infty)\, </math> と平均再帰時間 <math>\mathrm{E}(T_{ii})\, </math> により以下のように分類される.

:<math> \left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{A^*} & \mathrm{P}(T_{ii}<\infty)<1 \\
\mathrm{B^*} & \mathrm{P}(T_{ii}<\infty)=1 \quad
\left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{C^*} & \mathrm{E}(T_{ii}) = \infty \\
\mathrm{D^*} & \mathrm{E}(T_{ii}) < \infty
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.</math>

:A*一時的　　B*再帰的　　C*零再帰的　　D*正再帰的

なお, 既約なマルコフ連鎖ではすべての状態は同じ分類に属するので, これらはマルコフ連鎖自身の分類でもある. 特に, 既約で非周期的かつ正再帰的なマルコフ連鎖は, [[エルゴード的マルコフ連鎖]]と呼ばれる.

'''定常分布'''　<math>n \rightarrow \infty\, </math> のとき <math>p_{ij}(n)\, </math> が初期状態 <math>i\, </math> に無関係な正定数 <math>\pi_j\, </math> に収束し, 正規化条件 <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> を満たす場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を[[極限分布]]と呼ぶ. 極限分布は[[平衡方程式]] <math>\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}\boldsymbol{P}\, </math> を満たすため, この方程式と正規化条件から求めることができる. 極限分布に対して, 平衡方程式を満たす確率分布を[[定常分布]]と呼ぶ. 極限分布は定常分布であるが, 周期的なマルコフ連鎖のように定常分布は必ずしも極限分布とならない. 既約で非周期的なマルコフ連鎖に対しては, (1) 正再帰的であること, (2) 極限分布が存在すること, (3) 平衡方程式と正規化条件が一意の解を持つこと, の3条件は同値となる. 実際, エルゴード的なマルコフ連鎖では <math>\pi_j = 1/\mathrm{E}(T_{jj})\, </math> となり, 極限分布は <math>\{ X_n \}\, </math> を長時間観測したときに各状態に滞在する時間の割合に一致する. なお, 有限状態のマルコフ連鎖が既約で非周期的であれば, 必ず正再帰的となる. 一方, 状態 <math>j\, </math> が一時的もしくは零再帰的ならば, <math>\textstyle \lim_{n \rightarrow \infty} p_{ij}(n)=0\, </math> となり極限分布は存在しない.

'''連続時間マルコフ連鎖'''　離散状態空間上の連続時間確率過程 <math>\{ X(t); \; t \geq 0 \}\, </math> が, 任意の時点 <math>s\, </math>, <math>t\, </math> と状態 <math>i, j\, </math>, および履歴 <math>x(u)\, </math> に対して

:<math>
\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(u)=x(u), 0 \leq u \leq s)
=\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=x(s))
</math>

を満たすとき, 連続時間マルコフ連鎖と呼ぶ. [[ポアソン過程]]や[[出生死滅過程]]などは, 代表的な連続時間マルコフ連鎖である.

　離散時間の場合と同様に, (2) が <math>s\, </math> に依存しないマルコフ連鎖を斉時的といい, 推移確率を <math>p_{ij}(t) = \mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=i)\, </math>, 推移確率行列を <math>\boldsymbol{P}(t)\, </math> で表す. 異なる状態 <math>i, j\, </math> に対して, <math>\textstyle q_{ij} = \lim_{h \downarrow 0} h^{-1} p_{ij}(h)\, </math> を状態 <math>i\, </math> から <math>j\, </math> への推移速度といい, <math>q_{ij}\, </math> を非対角要素, 対角要素を <math>\textstyle q_{ii}=-\sum_{j \neq i} q_{ij}\, </math> とする行列 <math>\boldsymbol{Q}=(q_{ij})\, </math> を[[推移速度行列]]と呼ぶ. マルコフ性から, 連続時間マルコフ連鎖が状態 <math>i\, </math> に滞在する時間はパラメータ <math>-q_{ii}\, </math> の[[指数分布]]に従う. また, <math>-q_{ij}/q_{ii}\, </math> は状態 <math>i\, </math> での滞在が終了したという条件の下で, 推移先が <math>j\, </math> である条件付き確率を与える. 推移速度行列 <math>\boldsymbol{Q}\, </math> が与えられると, 推移確率は[[コルモゴロフの後退方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{P}(t)\, </math>, あるいは[[コルモゴロフの前進方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{Q}\, </math>によって特徴付けられる. この関係から, 応用上現れる多くのマルコフ連鎖では推移確率が<math>\boldsymbol{P}(t) = \mbox{exp}( \boldsymbol{Q}t )\ (t \geq 0)\, </math>で表される.

　離散時間マルコフ連鎖と同様に, 任意の状態から他のどの状態へも推移可能な場合, このマルコフ連鎖は既約であるという. また, 状態の分類 (一時的, 零再帰的, 正再帰的) も, 各状態への再帰時間 <math>T_{ii}\, </math> の性質により離散時間マルコフ連鎖の場合と同様に定義される. 極限分布についても, 初期状態 <math>i\, </math> に無関係に <math>\textstyle \lim_{t \rightarrow \infty}p_{ij}(t) = \pi_j>0\, </math> と収束し, <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> が成り立つ場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を極限分布とよぶ. 極限分布は, 平衡方程式 <math>\boldsymbol{0} = \boldsymbol{\pi}\boldsymbol{Q}\, </math>と正規化条件 <math>\textstyle \sum_{i \in {\mathcal S}} \pi_i = 1\, </math> から求めることができる. 既約な連続時間マルコフ連鎖に対しては, 正再帰的であること, 極限分布が存在すること, 平衡方程式と正規化条件を満たす <math>\pi_j\, </math> が存在すること, の3条件は同値である.

'''マルコフ連鎖の一般化'''　マルコフ性は独立性を少し緩めた概念だが, 適用範囲は広い. 例えば, 離散時間確率過程 <math>\{ X_n \}\, </math> の将来の時点における分布が, 現在の状態 <math>X_n\, </math> と過去の <math>k\, </math> 状態 <math>X_{n-1}, \cdots, X_{n-k}\, </math> に依存する場合, <math>\{ X_n \}\, </math> 自身はマルコフ連鎖とならないが, <math>Y_n=(X_{n-k}, \cdots, X_n)\, </math> はマルコフ連鎖となる. また, 状態の推移はマルコフ連鎖に従い, 各状態の滞在時間分布が一般分布に拡張された確率過程は[[セミマルコフ過程]]と呼ばれ, マルコフ連鎖による分析が援用できる.さらに, そのままではマルコフ性を持たない確率過程に対しても, [[隠れマルコフ連鎖法]]や[[補助変数法]]を利用することでマルコフ連鎖としてモデル化できる場合が少なくない. このようなモデル化における汎用性・柔軟性は, マルコフ連鎖が広く利用される大きな理由となっている.

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'''参考文献'''

[1] K. L. Chang,　''Markov Chains with Stationary Transition Probabilities'',　Springer-Verlag, 1967.

[2] D. Freedman,　''Markov Chains'',　Springer, 1983.

[3] J. G. Kemenny and J. L. Snell,　''Finite Markov Chain'',　Van Nostrand, 1960.

[4] 森村英典, 高橋幸雄, 『マルコフ解析』, 日科技連, 1979.

《マルコフ連鎖》

2007-07-09T01:58:56Z

122.30.230.198:

'''【まるこふれんさ (Markov chain) 】'''

'''マルコフ過程'''　quad独立性を緩めた性質である[[マルコフ性]]を持つ確率過程のことを[[マルコフ過程]]と呼び, その中で状態が離散的なものを一般にマルコフ連鎖と呼ぶ. マルコフ連鎖は最も基本的で応用範囲の広い\[[確率過程]]の一つである.

'''離散時間マルコフ連鎖'''　離散的な[[状態空間]] <math>{\mathcal S}\, </math> 上の確率過程 <math>\{ X_n; \; n = 0,1,2,\cdots \}\, </math> が, 任意の時点 <math>n\, </math>, <math>m\, </math> と任意の状態 <math>i_0, \cdots, i_m, j \in {\mathcal S}\, </math> に対して

:<math>
\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_k=i_k, k=m,m-1,\cdots,0)
=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i_m)
</math>

を満たすとき, <math>\{ X_n \}\, </math> を離散時間[[マルコフ連鎖]]と呼ぶ. (1) は, 将来の分布が現在の状態のみで定まり, 過去の状態には依存しない性質を表しており, マルコフ性と呼ばれる.賭けの問題における所持金の推移や, [[在庫理論]]における各期の在庫量の変化など, マルコフ性を持つと考えられる例は多い.

　(1) の推移確率が, 時点 <math>m\, </math> に依存しない場合, マルコフ連鎖は[[斉時的]]であるという. 斉時的な離散時間マルコフ連鎖 <math>\{ X_n \}\, </math> に対して, <math>p_{ij}(n)=\mathrm{P}(X_{m+n}=j|X_m=i)\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率]], <math>\boldsymbol{P}(n)=(p_{ij}(n))\, </math> を <math>n\, </math> ステップ[[推移確率行列]]と呼ぶ. 特に 1ステップ推移確率を <math>p_{ij}\, </math> で表し, <math>\boldsymbol{P}=(p_{ij})\, </math> を推移確率行列と呼ぶ. [[チャップマン・コルモゴロフの等式]] (Chapman-Kolmogorov equation) <math>\boldsymbol{P}(m+n)=\boldsymbol{P}(m) \boldsymbol{P}(n)</math> から <math>\boldsymbol{P}(n)=\boldsymbol{P}^n</math> が成り立つので, 1 ステップ推移確率行列 <math>\boldsymbol{P}</math> が与えられれば, 任意のステップの推移確率を計算することができる.

'''既約なマルコフ連鎖と吸収的マルコフ連鎖'''　状態の組 <math>i, j\, </math> に対して, 適当な <math>n\, </math> で <math>p_{ij}(n)>0\, </math> となる場合, <math>i\, </math> から <math>j\, </math> へ到達可能であるという. 任意の状態から他のどの状態へも到達可能であるマルコフ連鎖は[[既約]]であるという. 一方, <math>p_{ii}=1\, </math> である状態 <math>i\, </math> は, 一度入ると他の状態へ推移できないため吸収状態と呼ばれる. 任意の状態から出発したとき確率1でいつかはいずれかの吸収状態に到達するマルコフ連鎖を[[吸収的]]という. 後述するように, 既約なマルコフ連鎖では長期間観察したときに各状態に滞在する時間の割合が主な分析対象となる. これに対し, 吸収的マルコフ連鎖では, 吸収されるまでの挙動, 例えば吸収時間の分布, 吸収までに各状態に滞在する平均ステップ数, 複数の吸収状態がある場合に各状態への吸収確率, などが分析の対象となる.

　<math>p_{ii}(n)>0\, </math> となるすべての <math>n \geq 1\, </math> の最大公約数を, 状態 <math>i\, </math> の周期と定める. 既約なマルコフ連鎖では, すべての状態は同じ周期を持つことが知られている. また, 周期 1 のマルコフ連鎖を非周期的という.

　<math>i\, </math> から <math>j\, </math> への[[初到達時間]]を <math>T_{ij}\, </math> とすると, マルコフ連鎖の各状態 (<math>i\, </math> とする) はその状態への[[再帰確率]] <math>\mathrm{P}(T_{ii}<\infty)\, </math> と平均再帰時間 <math>\mathrm{E}(T_{ii})\, </math> により以下のように分類される.

:<math> \left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{A^*} & \mathrm{P}(T_{ii}<\infty)<1 \\
\mathrm{B^*} & \mathrm{P}(T_{ii}<\infty)=1 \quad
\left\{
\begin{array}{ll}
\mathrm{C^*} & \mathrm{E}(T_{ii}) = \infty \\
\mathrm{D^*} & \mathrm{E}(T_{ii}) < \infty
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.</math>

:A*一時的　　B*再帰的　　C*零再帰的　　D*正再帰的

なお, 既約なマルコフ連鎖ではすべての状態は同じ分類に属するので, これらはマルコフ連鎖自身の分類でもある. 特に, 既約で非周期的かつ正再帰的なマルコフ連鎖は, [[エルゴード的マルコフ連鎖]]と呼ばれる.

'''定常分布'''　<math>n \rightarrow \infty\, </math> のとき <math>p_{ij}(n)\, </math> が初期状態 <math>i\, </math> に無関係な正定数 <math>\pi_j\, </math> に収束し, 正規化条件 <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> を満たす場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を[[極限分布]]と呼ぶ. 極限分布は[[平衡方程式]] <math>\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}\boldsymbol{P}\, </math> を満たすため, この方程式と正規化条件から求めることができる. 極限分布に対して, 平衡方程式を満たす確率分布を[[定常分布]]と呼ぶ. 極限分布は定常分布であるが, 周期的なマルコフ連鎖のように定常分布は必ずしも極限分布とならない. 既約で非周期的なマルコフ連鎖に対しては, (1) 正再帰的であること, (2) 極限分布が存在すること, (3) 平衡方程式と正規化条件が一意の解を持つこと, の3条件は同値となる. 実際, エルゴード的なマルコフ連鎖では <math>\pi_j = 1/\mathrm{E}(T_{jj})\, </math> となり, 極限分布は <math>\{ X_n \}\, </math> を長時間観測したときに各状態に滞在する時間の割合に一致する. なお, 有限状態のマルコフ連鎖が既約で非周期的であれば, 必ず正再帰的となる. 一方, 状態 <math>j\, </math> が一時的もしくは零再帰的ならば, <math>\textstyle \lim_{n \rightarrow \infty} p_{ij}(n)=0\, </math> となり極限分布は存在しない.

'''連続時間マルコフ連鎖'''　離散状態空間上の連続時間確率過程 <math>\{ X(t); \; t \geq 0 \}\, </math> が, 任意の時点 <math>s\, </math>, <math>t\, </math> と状態 <math>i, j\, </math>, および履歴 <math>x(u)\, </math> に対して

:<math>
\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(u)=x(u), 0 \leq u \leq s)
=\mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=x(s))
</math>

を満たすとき, 連続時間マルコフ連鎖と呼ぶ. [[ポアソン過程]]や[[出生死滅過程]]などは, 代表的な連続時間マルコフ連鎖である.

　離散時間の場合と同様に, (2) が <math>s\, </math> に依存しないマルコフ連鎖を斉時的といい, 推移確率を <math>p_{ij}(t) = \mathrm{P}(X(s+t)=j|X(s)=i)\, </math>, 推移確率行列を <math>\boldsymbol{P}(t)\, </math> で表す. 異なる状態 <math>i, j\, </math> に対して, <math>\textstyle q_{ij} = \lim_{h \downarrow 0} h^{-1} p_{ij}(h)\, </math> を状態 <math>i\, </math> から <math>j\, </math> への推移速度といい, <math>q_{ij}\, </math> を非対角要素, 対角要素を <math>\textstyle q_{ii}=-\sum_{j \neq i} q_{ij}\, </math> とする行列 <math>\boldsymbol{Q}=(q_{ij})\, </math> を[[推移速度行列]]と呼ぶ. マルコフ性から, 連続時間マルコフ連鎖が状態 <math>i\, </math> に滞在する時間はパラメータ <math>-q_{ii}\, </math> の[[指数分布]]に従う. また, <math>-q_{ij}/q_{ii}\, </math> は状態 <math>i\, </math> での滞在が終了したという条件の下で, 推移先が <math>j\, </math> である条件付き確率を与える. 推移速度行列 <math>\boldsymbol{Q}\, </math> が与えられると, 推移確率は[[コルモゴロフの後退方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{P}(t)\, </math>, あるいは[[コルモゴロフの前進方程式]] <math>\boldsymbol{P}'(t)=\boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{Q}\, </math>によって特徴付けられる. この関係から, 応用上現れる多くのマルコフ連鎖では推移確率が<math>\boldsymbol{P}(t) = \mbox{exp}( \boldsymbol{Q}t )\ (t \geq 0)\, </math>で表される.

　離散時間マルコフ連鎖と同様に, 任意の状態から他のどの状態へも推移可能な場合, このマルコフ連鎖は既約であるという. また, 状態の分類 (一時的, 零再帰的, 正再帰的) も, 各状態への再帰時間 <math>T_{ii}\, </math> の性質により離散時間マルコフ連鎖の場合と同様に定義される. 極限分布についても, 初期状態 <math>i\, </math> に無関係に <math>\textstyle \lim_{t \rightarrow \infty}p_{ij}(t) = \pi_j>0\, </math> と収束し, <math>\textstyle \sum_{j \in {\mathcal S}} \pi_j = 1\, </math> が成り立つ場合, <math>\boldsymbol{\pi}=(\pi_j)\, </math> を極限分布とよぶ. 極限分布は, 平衡方程式 <math>\boldsymbol{0} = \boldsymbol{\pi}\boldsymbol{Q}\, </math>と正規化条件 <math>\textstyle \sum_{i \in {\mathcal S}} \pi_i = 1\, </math> から求めることができる. 既約な連続時間マルコフ連鎖に対しては, 正再帰的であること, 極限分布が存在すること, 平衡方程式と正規化条件を満たす <math>\pi_j\, </math> が存在すること, の3条件は同値である.

'''マルコフ連鎖の一般化'''　マルコフ性は独立性を少し緩めた概念だが, 適用範囲は広い. 例えば, 離散時間確率過程 <math>\{ X_n \}\, </math> の将来の時点における分布が, 現在の状態 <math>X_n\, </math> と過去の <math>k\, </math> 状態 <math>X_{n-1}, \cdots, X_{n-k}\, </math> に依存する場合, <math>\{ X_n \}\, </math> 自身はマルコフ連鎖とならないが, <math>Y_n=(X_{n-k}, \cdots, X_n)\, </math> はマルコフ連鎖となる. また, 状態の推移はマルコフ連鎖に従い, 各状態の滞在時間分布が一般分布に拡張された確率過程は[[セミマルコフ過程]]と呼ばれ, マルコフ連鎖による分析が援用できる.さらに, そのままではマルコフ性を持たない確率過程に対しても, [[隠れマルコフ連鎖法]]や[[補助変数法]]を利用することでマルコフ連鎖としてモデル化できる場合が少なくない. このようなモデル化における汎用性・柔軟性は, マルコフ連鎖が広く利用される大きな理由となっている.

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'''参考文献'''

[1] K. L. Chang,　''Markov Chains with Stationary Transition Probabilities'',　Springer-Verlag, 1967.

[2] D. Freedman,　''Markov Chains'',　Springer, 1983.

[3] J. G. Kemenny and J. L. Snell,　''Finite Markov Chain'',　Van Nostrand, 1960.

[4] 森村英典, 高橋幸雄, 『マルコフ解析』, 日科技連, 1979.

《確率過程》

2007-07-09T01:40:13Z

122.30.230.198:

'''【かくりつかてい (stochastic process) 】'''

'''確率過程と標本路'''　確率変数がランダムな試行の結果で値の決まる変数であるのに対し, パラメータ集合 <math>{\mathcal T}\, </math> によってインデックスを付けられた確率変数の集まり <math>\{ X(t);\; t \in {\mathcal T} \}\, </math> を[[確率過程]]と呼ぶ. 一般にパラメータ集合 <math>{\mathcal T}\, </math> は時間を表すため, 確率過程は時間の経過に従ってランダムに変化する値の系列と言える. 単に[[独立 (確率変数の)|独立]]な確率変数が並んだものも形式的には確率過程であるが, 我々が分析の対象とするのは, 異なる時点の確率変数間に何らかの相関関係がある場合である. 例えば <math>X(t)\, </math> をある場所の <math>t\, </math> 時の気温とすれば, <math>X(10)\, </math>と <math>X(12)\, </math> の間には強い相関があるであろう. <math>X(t)\, </math> を <math>t\, </math> 期の在庫量とする場合も同様である. 確率過程の分析においては, このような変数間の関連性をどのように表現し, それをもとにしてどのように確率過程の振る舞いを調べていくかが重要となる.

確率過程 <math>\{ X(t);\; t \in {\mathcal T} \}\, </math> は, 時点 <math>t\, </math> を 1 つ固定すると根元事象 (確率空間 <math>(\Omega, {\mathcal F}, \mathrm{P})\, </math> における標本空間 <math>\Omega\, </math> の要素 <math>\omega\, </math>) によって値が変わる確率変数となり, 逆に根元事象を 1 つ固定して考えると, 時間パラメータ <math>t\, </math> の関数となる. 根元事象を固定して得られる <math>t\, </math> の関数を, 確率過程の標本路 (sample path) と呼ぶ. 確率変数の値が根元事象によって異なるように, 根元事象が異なれば確率過程の標本路も違ったものとなる.

'''離散と連続'''　<math>{\mathcal T}\, </math> が可算集合である確率過程を離散時間確率過程といい, <math>{\mathcal T}\, </math> が連続的な集合の場合を連続時間確率過程という. また, 確率過程 <math>X(t)\, </math> がとる個々の値を状態, すべての状態からなる集合を[[状態空間]]と呼ぶ. 応用上は, 実数や整数, およびそれらの多次元空間が状態空間となることが多い. 時間パラメータの集合と同様に, 確率過程は状態空間の性質によって連続と離散に分類できる.

'''確率的構造の導入'''　確率過程を定めるには, その確率過程が従う確率法則を規定する必要がある. そのための方法の中で最も直接的なのは, 任意の <math>n\, </math> と任意に選んだ <math>n\, </math> 個の時点 <math>t_1, \cdots, t_n\, </math> に対して, <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> の[[同時分布]]を与える方法である. 例えば, どのような時点の組に対しても <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> が<math>n\, </math>次元正規分布 ([[n次元正規分布]]) に従うとき, <math>\{ X(t) \}\, </math> は[[ガウス過程]]と呼ばれる. また, どんな <math>s\, </math> に対しても <math>(X(t_1), \cdots, X(t_n))\, </math> と時点を <math>s\, </math> ずらした <math>(X(t_1+s), \cdots, X(t_n+s))\, </math> の分布が一致する確率過程は[[定常過程 (強)]]と呼ばれ, 時系列解析などの基礎となる.

　同時分布を定める代わりに, 確率過程の変化量の分布特性を与えることで確率過程を定めることもできる. 例えば, 重ならない区間での変化量が独立, すなわち任意に選んだ時点 <math>t_1< t_2 < \cdots < t_{2n}\, </math> に対して各時間区間での変化量 <math>X(t_{2i})-X(t_{2i-1})\ (i=1,\cdots,n)\, </math> が互いに独立である確率過程は, [[独立増分過程]]と呼ばれる. 例えば, ランダムな動きを表す確率過程である標準[[ブラウン運動]]は, 任意の時間区間 <math>[t_1, t_2]\, </math> での変化量 <math>X(t_2)-X(t_1)\, </math> が正規分布 <math>N(0, t_2-t_1)\, </math> に従う独立増分過程として特徴付けられる. また, [[再生過程]]は独立で同一の分布に従う間隔で事象が起こるとして, 時点 <math>t\, </math> までに起きた事象の数 <math>N(t)\, </math> で与えられる. <math>N(t)\, </math> はランダムな間隔で値が1ずつ増加する確率過程で, [[待ち行列理論]]における客の到着や[[信頼性理論]]における故障の発生を表す際によく用いられる. 特に, 事象の生起間隔が[[指数分布]]に従う再生過程は[[ポアソン過程]]と呼ばれ, [[少数の法則]]から我々の身の回りでもよく観察される.

　この他に, 隣接する複数時点の変数の関係によって確率過程を定めることも可能である. 例えば, <math>K\, </math> 次の[[自己回帰移動平均過程]]では, <math>X(n)\, </math> は過去 <math>K\, </math> 時点の値と白色雑音 <math>\{ \epsilon(n) \}\, </math> の加重線形結合 <math>\textstyle X(n)=\sum_{i=1}^K a_i X(n-i) + \epsilon(n)\, </math> で表される. また, 離散時間[[マルコフ連鎖]]では, <math>X(n)\, </math> から <math>X(n+1)\, </math> への推移確率によって確率過程の変化の規則を定める. 例えば, 単純[[ランダムウォーク]] <math>\{ X_n \}\, </math> は, 確率 <math>p\, </math> で <math>X_{n+1}=X_n+1\, </math>, 確率 <math>1-p\, </math> で <math>X_{n+1}=X_n-1\, </math> という規則で値が変化する. さらに, 任意の <math>m\, </math> と <math>n\, </math> に対して <math>\mathrm{E}(X_{m+n} | X_1,\cdots,X_m)=X_m\, </math> が成り立つ, すなわち時点 <math>m\, </math> までの履歴が与えられた条件付きでの将来の時点における期待値が <math>m\, </math> での値に一致する確率過程は (離散時間) [[マルチンゲール]]と呼ばれる. マルチンゲールは平均が一定で, 公平な賭けのモデル化である.

'''特性量'''　確率過程を利用して何らかの現象をモデル化・分析する際には, その過程に付随する特性量を定量的に評価することが必要となる. 例えば, 広い範囲の待ち行列システムは[[マルコフ過程]]として定式化されるが, この場合はマルコフ過程の定常分布から待ち行列システムの平均待ち時間などを求めることができる. マルコフ過程に限らず, 定常状態が存在する確率過程の分析では, 時間平均の分布と定常分布を関連付ける[[エルゴード定理]]が重要な役割を果たす. 信頼性理論や[[在庫理論]]においても, 長期間における平均コストが分析の主な対象となるが, これらのモデルでは取り替えや発注によって区切られた区間が1つのサイクルをなすため, 再生過程によるモデル化と[[再生定理]]による評価が主に利用される. 一方, 自己回帰過程などを利用した時系列分析では, 過去のデータからモデルのパラメータを同定し, 将来の変化を予測するため, 過去のデータに最もよく適合する時系列モデルやパラメータの選択が重要となる. また, 数理ファイナンスにおける金融派生商品の価格評価理論においては, 原資産価格や金利の変動を[[確率微分方程式]]等を用いて記述し, それをもとにマルチンゲール理論などを援用して商品の価格評価を行う. そこでは, 実際の変動により忠実でなおかつ価格評価式の計算が容易なモデルの構築がポイントとなる.

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'''参考文献'''

[1] J. L. Doob, ''Stochastic Processes'', John Wiley and Sons, 1953.

[2] S. Karlin and H. M. Taylor, ''An First Course in Stochastic Processes'', Academic Press, 1975.

[3] S. Karlin and H. M. Taylor, ''A Second Course in Stochastic Processes'', Academic Press, 1981.

[4] S. M. Ross, ''Stochastic Processes'', John Wiley, 1983.

[5] 宮沢政清, 『確率と確率過程』, 近代科学社, 1993.

《確率論》

2007-07-09T01:34:24Z

122.30.230.198:

'''【かくりつろん (probability theory) 】'''

　不確実な現象を表現する手段としての確率論は, コルモゴロフ (A. N. Kolmogorov) が測度論的確率論を打ち立ててから数学的基礎ができたと言えよう.その後の確率論の理論的深化と応用は目を見張るものがあり, オペレーションズ・リサーチへの応用に限っても, [[待ち行列理論]], [[在庫理論]], [[ファイナンス理論]], [[動的計画]], [[確率計画]], [[信頼性理論]], [[シミュレーション]]等多岐にわたっている. 特に, 数理統計学や待ち行列理論は理論的基礎の多くを確率論に置いており, 数学的な観点からも興味ある問題を提起し続けている.

'''確率空間と確率変数'''　確率論を考える上で基礎となるのは, 確率空間 <math>(\Omega, {\mathcal F}, \mathrm{P})\, </math> である. ここで, 標本空間 <math>\Omega\, </math> は起こり得る結果 (根元事象) <math>\omega\, </math> の集合, <math>{\mathcal F}\, </math> は <math>\Omega\, </math> 上の <math>\sigma\, </math>--集合体, <math>\mathrm{P}\, </math> は確率を表す. しかし, 確率モデルに対して確率空間を明示するのは煩雑なため, 通常は <math>(\Omega, {\mathcal F}, \mathrm{P})\, </math> を抽象的な基礎空間と捉え, <math>\Omega\, </math> から観察される現象の空間 <math>{\mathcal S}\, </math> への写像である確率変数を中心に考える.

　以下では, <math>{\mathcal S}\, </math> として実数や整数, あるいはこれらの多次元空間を考え, 確率変数を <math>X(\omega)\, </math> あるいは単に <math>X\, </math> で表す. 例えば, サイコロを投げる試行では <math>X\, </math> は1から6のどれかの値をとり, <math>X\, </math> が測定誤差を表すならば実数全体をとる. また, <math>K\, </math> 個の離散的時系列ならば <math>X=\{ X_1, \ldots, X_K \}\, </math> となり, 連続時間上の変動ならば <math>X=\{ X_t \; : \; t \in \mbox{R} \}\, </math> と表現される. 一般に, 時間パラメーターを伴う確率変数の集まりは[[確率過程]]と呼ばれる.

'''確率分布'''　確率変数を特徴付ける主な要素は確率分布である. <math>X\, </math> が実数値確率変数のとき, <math>\mbox{R}\, </math> の部分集合 <math>A\, </math> (正確には <math>\mbox{R}\, </math> 上のボレル集合体 <math>{\mathcal B}_1\, </math> の要素 <math>A\, </math>) に対し, <math>X \in A\, </math> となる確率は <math>\mathrm{P}(\{\omega : X(\omega) \in A \})\, </math> で与えられる. このように, 集合 <math>A\, </math> に対して <math>X \in A\, </math> となる確率を対応させたものを <math>X\, </math> の[[確率分布]], あるいは単に分布と呼ぶ. 特に, <math>A=(-\infty, x]\, </math> としたときの確率<math>F(x)=\mathrm{P}(X \leq x)\; (=\mathrm{P}(\{\omega : X(\omega) \leq x\}))\, </math> を <math>x\, </math> の関数と考えて <math>X\, </math> の[[確率分布関数]]または分布関数と呼ぶ. <math>F(x)\, </math> は単調非減少な右連続関数で, <math>F(-\infty)=0\, </math>, <math>F(+\infty)=1\, </math> を満たす.

　分布の中で, とり得る値が高々可算個である確率分布を[[離散型分布]]と呼ぶ. <math>X\, </math> が <math>\{ \ldots, x_{-1}, x_0, x_1, \ldots \}\, </math> の値をとる離散型分布であれば, [[確率関数]] <math>p(k) = \mathrm{P}(X=x_k)\, </math> によって分布を表すことができる. 離散型分布に対し, <math>F(x)\, </math> が連続な分布を[[連続型分布]]という. 実際に用いられるほとんどの連続型分布は <math>F(x)\, </math> が微分可能であり, [[確率密度関数]] <math>f(x)=\mathrm{d}F(x)/\mathrm{d}x\, </math>によって分布を表現できる. <math>f(x)\, </math> は単に密度関数とも呼ばれる. 密度関数を持つ分布は絶対連続型分布, あるいは単に連続型分布と呼ばれることもある.

　離散分布の例としては, [[2項分布]], [[ポアソン分布]], [[幾何分布]]などがあり, 密度関数をもつ分布の例としては[[正規分布]], [[指数分布]], [[一様分布]]などがある.

'''期待値と分散'''　確率関数や密度関数では, 一目で分布の性質を捉えたり分布を比較することが難しい場合もあるため, 確率分布の特徴を少数の数値で表現できると都合がよい. その代表は分布の中心を表す[[期待値]] (あるいは[[平均]]) <math>\textstyle \mathrm{E}(X)=\int x \mathrm{d} F(x)\, </math> と分布の散らばり具合を表す[[分散]] <math>\textstyle \mathrm{V}(X) =\int (x-\mathrm{E}(X))^2 \mathrm{d}F(x)\, </math>, もしくは分散の平方根の標準偏差である. なお, <math>\textstyle \int g(x) \mathrm{d} F(x)\, </math> の形の積分は, <math>F(x)\, </math> が離散型分布の場合は <math>\textstyle \sum g(x_i) \mathrm{P}(X=x_i)\, </math>, 密度関数 <math>f(x)\, </math> を持つ場合は <math>\textstyle \int g(x) f(x) \mathrm{d} x\, </math> と理解してよい. 平均や分散のように <math>\textstyle \mu_j=\int (x-a)^j \mathrm{d} F(x)\, </math> の形で表される数値を一般に <math>j\, </math> 次の積率 (moment) と呼ぶ. 特に, <math>a=0\, </math> のときは原点周りの積率, <math>a=\mathrm{E}(X)\, </math> のときは平均周り積率となる. <math>j\, </math> が高次になるにつれて <math>\mu_j\, </math> の表現が複雑になる傾向があるため, [[特性関数 (確率変数の)|特性関数]] <math>\textstyle \phi(t)=\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}tx} \mathrm{d} F(x)\, </math> (<math>t\, </math> は実数パラメータ, <math>\mathrm{i}\, </math> は虚数単位), あるいは[[積率母関数]] <math>\textstyle M(\theta)=\int \mathrm{e}^{\theta x} \mathrm{d}F(x)\, </math> を利用して<math>\mu_j\, </math> を求める方法が考えられている. 例えば, 積率母関数 <math>M(\theta)\, </math> が陽に求まれば, 原点周りのモーメントは <math>\textstyle \mu_j = \mathrm{d}^j M(\theta) / \mathrm{d} \theta^j |_{\theta=0}\, </math> で計算される. また, 非負の値をとる確率変数に対しては, [[ラプラス変換]]を利用してもよい. これらの変換は, 元の分布関数と1対1に対応しており, 原理的には逆変換によって元の分布を求めることができる. また, 変換を利用することで, たたみこみなど分布に関する演算が簡単になることも多い.

'''多次元分布'''　1次元の場合の自然な拡張として, <math>n\, </math> 個の実数値確率変数 <math>X_1, \ldots, X_n\, </math> に対しても, [[多次元分布関数]] <math>\mathrm{P}(X_1 \leq x_1, \ldots, X_n \leq x_n)\, </math> によって分布を定めることができる. 代表的な多次元分布としては, 多変量解析などの基礎となる[[多次元正規分布]]がある. 多次元分布では, 複数の確率変数の関係に興味がある場合が多い. そのような関係を表す指標として, 2つの確率変数 <math>X\, </math> と <math>Y\, </math> の[[共分散]] <math>\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{E}(\{X-\mathrm{E}(X)\}\{Y-\mathrm{E}(Y)\})\, </math> や, [[相関係数]] <math>r(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,Y)/\sqrt{\mathrm{V}(X)\mathrm{V}(Y)}\, </math> がある. 相関係数は <math>-1 \leq r(X,Y) \leq 1\, </math> の範囲の値をとり, <math>r(X,Y)\, </math> が1に近い場合は, 一方の値が大きいと他方も大きな値を, 一方の値が小さいと他方も小さな値をとる傾向が強い. <math>r(X,Y)\, </math> が <math>-1\, </math> に近いときは, 反対の傾向となる. また, <math>r(X,Y)=0\, </math> のとき <math>X\, </math> と <math>Y\, </math> は無相関と呼ばれる.

'''確率変数の独立性'''　<math>n\, </math> 個の確率変数 <math>X_1, \ldots, X_n\, </math> が, 任意の <math>x_1,\ldots,x_n\, </math> に対して

:<math>\mathrm{P}(X_1 \leq x_1, \ldots, X_n \leq x_n)
= \prod_{i=1}^n \mathrm{P}(X_i \leq x_i)\, </math>

を満たすとき, <math>X_1, \ldots, X_n\, </math> は[[独立 (確率変数の)|独立]]であるという. 直観的には, 各確率変数の値が他の確率変数の値と無関係に決まることを意味する. なお, <math>X\, </math> と <math>Y\, </math> が独立であれば無相関となるが, その逆は一般に成立しない. 独立な確率変数 <math>X\, </math> と <math>Y\, </math> の確率分布関数を <math>F_X(x), F_Y(x)\, </math> とするとき, その和 <math>S = X+Y\, </math> の確率分布関数は, <math>\textstyle F_S(x)= \int F_X(x-y) \mathrm{d} F_Y(y)\, </math> によって計算できる. 同様に, 整数値をとる離散型分布に対しては <math>\textstyle \mathrm{P}(S=k)=\sum_i \mathrm{P}(X=k-i)\mathrm{P}(Y=i)\, </math> によって <math>S\, </math> の確率関数を, また, <math>X\, </math>, <math>Y\, </math> が密度関数をもつ場合は, <math>\textstyle f_S(x)=\int f_X(x-y)f_Y(y) \mathrm{d}y\, </math> によって <math>S\, </math> の密度関数を求めることができる. [[たたみ込み]]と呼ばれるこれらの方法から, 2つの指数分布の和はガンマ分布になり, 2つの正規分布の和はやはり正規分布になる, といったことがわかる.

'''<math>n\, </math>個の確率変数の和'''　<math>n\, </math>個の確率変数の和 <math>S_n=X_1+\ldots+X_n\, </math> は理論と応用のいずれにおいても重要な問題を提起してきた. <math>S_n/n\, </math> は算術平均であるから統計処理上頻繁に使われる. <math>X_1, \ldots, X_n\, </math> が互いに独立で同一の分布に従い, 平均 <math>\mu\, </math>, 分散 <math>\sigma^2\, </math> をもてば, <math>S_n/n\, </math> の平均は <math>\mu\, </math>, 分散は <math>\sigma^2/n\, </math> であるから, <math>n\rightarrow\infty\, </math> のとき <math>S_n/n\, </math> は <math>\mu\, </math> に収束する. このように <math>S_n/n\, </math> が平均に収束することを[[大数の法則]]といい, 収束が概収束か確率収束かに応じて, それぞれ大数の強法則, 大数の弱法則と呼ばれる. 大数の強法則は[[エルゴード理論]]と密接に関係しており, ある種の条件を満たせば <math>X_1, \ldots, X_n\, </math> が独立でなくとも <math>S_n/n\, </math> は <math>\mu\, </math> に収束することが知られている. 独立確率変数列 <math>X_1, X_2, \ldots\, </math> がそれぞれ平均 <math>\mu\, </math>, 分散 <math>\sigma^2\, </math> の同じ分布に従う場合, 元の分布が何であっても <math>\textstyle \sum_{i=1}^n (X_i-\mu) / \sigma \sqrt{n}\, </math> は <math>n\rightarrow \infty\, </math> のとき平均0, 分散1の正規分布に近づく. これを[[中心極限定理]]といい, 確率論における正規分布の重要性の根拠となっている.

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'''参考文献'''

[1] H. Bauer, ''Probability Theory and Elements of Measure Theory'', 2nd ed., Academic Press, 1983.

[2] M. Loéve, ''Probability Theory I'', 4th ed., Springer, 1977, ''Probability Theory II'', 4th ed., Springer, 1978.

[3] 伊藤清, 『確率論』, 岩波書店, 1991.

[4] 伏見正則, 『確率と確率過程』, 講談社, 1987.

《予測》

2007-07-09T01:33:22Z

122.30.230.198:

'''【よそく (forecasting) 】'''

　将来を的確に見通すことができれば, 我々は常に最も適切な行動をとることができよう. 企業, 組織の行動においては, その目的達成や持続的発展に向け, 将来を先見することにより "先んずれば人を制する" ことが求められる. 予測はこのような適切な行動をとるための方針・計画の前提となるものである.

　[[予測]]とは, 対象となる事象の将来の起こり得る事態について, データ分析により事前の推測を行うことである. 実際の仕事や行動の場面に即して考えれば, 意思決定や行動に必要となる事前の情報分析, 政策分析, 情報の獲得行動の一つとして予測が実施される. すなわち, 与えられた制約や条件のもとで, 合理的な方法により対象にどのような結果が生ずるか, また何が起きるかを事前に定量的あるいは定性的に推測することである. 一般的には対象を計量可能なモデルとして表現し予測計算が行われる.

　予測の具体例としては需要予測, 販売予測, [[経済予測]], 人口予測, 気象予測, [[技術予測]], 未来予測など対象に応じて実にさまざまであり, それぞれに予測モデルが存在する. また, モデルは予測期間の長短により短期, 中期, 長期, 超長期予測モデルなどに分類されるが対象によって各期間の長さは異なる. 例えば, 経済予測では短期とは3ヶ月～1年前後とされるが, 電力の需要予測では短期は数分～30分先の予測から1ケ月先程度までをさすことが多い.

　予測モデルの構築に際しては, 物理的に対象の構造表現が確定している場合を除き, 対象の観測データから要因間の関係や内在する傾向やパターンを見つけ, 諸量を計算できる形のモデルとして表現しなければならない. モデルの作成方法にはいろいろな手法があるが, いずれのモデルにおいてもほとんどが必要なパラメータや外生的な条件などをデータから推定する必要がある. そうした推定には統計的な手法が採用されることから, 予測は統計学的観点からみれば, 推定されたモデルをもとに, 時間的, 空間的にまだ観測されていない範囲の状態を推定するという統計的推測の一応用と見なすこともできる.

　最近では, 伝統的な統計的予測に加え, コンピュータの活用により, [[計量経済モデル]]や[[システムダイナミックスモデル]]といった大掛かりなモデル予測, さらに, 膨大なデータベースから自動的にデータ間の構造や傾向を探し出す手法としてＡＩ, ニューラルネットワーク, データマイニングなどの手法も活用されている.

　その他の予測手法として, 技術予測や未来予測においてよく用いられるブレーンストーミングや[[デルファイ法]]といった直感的方法, 将来の目標を定めそれを達成する課題を分析する関連樹木法などの手法もある.

　予測の手順は基本的には, (a) 予測対象・目的の確認, (b) データ収集, (c) モデルの構築, (d) 予測計算, (e) 予測評価とまとめ, というステップからなる. これら各ステップについて, 考慮すべきポイントや特徴等は次の通りである.

　なお, 最近ではデータ収集から, モデル化, 予測計算, そして結果の集約までの一連の作業を自動化し, さらには開発者の判断がインタラクティブに行える予測支援システムが開発されている.

(1) 予測対象・目的の確認

　予測の対象, 範囲などをまず明らかにするとともに, 予測結果を与件にして他の目的に使うのか, 結果そのものを目標とするかなど, 利用目的を明確にしておくことが大切である. また, 予測をする側, 使う側の意識の違いを認識する必要がある. 予測をする側は一般に大きな誤差の容認を求める. 一方, 使う側は当然のことながらできるだけ小さい誤差を要求するが, 例えば収入計画や設備計画など立場の違いによリ誤差だけでなく結果そのものへの要求が異なることもある. しかし完全な予測は不可能であり, はずれてもそこにリスクの考え方を導入し, 余裕をもたせることが重要である. すなわち予測作業の結果得られる代替的な結果の事前情報は, 不確定な将来の行動の選択範囲を広げかつ余裕度をもたらすものなのである. このため, 予測誤差をどの程度見込むか, その損失はどの位かなどを事前に明らかにしておくことが望ましい.

(2) データ収集

　予測の対象や目的, 範囲などが確定すれば必要なデータが収集される. 新鮮かつ信頼性の高いデータや情報が必要なことは言うまでもない. このために日常からデータベースの整備, 開発が行われている. 最近では, 現場から直接オンラインでデータが収集されデータベースに取り込まれるシステムの開発も当たり前になってきており, インターネットなどを利用して, 内部のみならず外部データベースの利用も行われている.

(3) モデルの構築

　収集したデータをもとに対象の構造を論理的, 合理的に表現したモデルを作成する. 対象の構造や収集データによりモデルの作成手法を選択し, モデルを推定する. そして推定されたモデルのあてはまりの良さのテストを繰り返し行い, 最適なモデルが作成される. この過程で必要に応じデータの再収集や手法の変更まで行うこともある.

(4) 予測計算

　作成されたモデルを用いてさまざまな制約, 条件のもとでの予測シミュレーションを実施する. この段階においてもモデルのテストや修正が行われる.

(5) 予測評価とまとめ

　予測計算結果の評価と必要な再計算を行い, 必要な決定や計画策定をとりまとめる. とくに予測計算結果をもとに前提条件, モデルの構造, 結果の図表さらにはその評価を行い, 必要な行動や政策の提示までを分かりやすくまとめることが重要である.

　予測対象によって結果の使い方や認識が異なることからまとめ方にも工夫が必要である. 例えば, 経済予測は条件付きの事前推測と認識すべきであり, 予測をする際の政策や外生的条件が多くそれら与件をどのように見込むかで予測結果は大きく異なる. 予測結果を単に政府の政策目標として評価する場合もあれば, 結果から政策や外生条件の変化や変動に対する感度などを分析し, 前提とした与件が望ましいものかを評価, 判断することも多い. したがって, 結果のまとめに際してはこれらの情報が分かるようにすることが求められる.

《地理情報システム》

2007-07-09T01:31:44Z

122.30.230.198:

'''【ちりじょうほうしすてむ (geographic information system)】'''

　地理情報システムは, 地理的(空間的)に広がった対象に関わる問題を研究したり分析したりする際に用いる技術であり, 地球の表面上で社会生活を営んでいる我々にとって適用分野は非常に広い. 地理情報システムは, コンピュータ内で地理的な位置関係をあつかう基となる電子地図, 問題ごとに関連するデータベース, 地理的に広がったデータ相互の関係に基づいて解析を行うソフトウェアからなるシステム技術である. また, そのような技術を対象とした学問分野を空間情報科学という.

　地理情報システムで扱うデータは空間データと呼ばれ, 地理的な位置や範囲を表すデータと対象の特徴を表すデータ(属性)との組として表される. 電子地図は空間データの代表的な例である. そのほかに以下のように非常に広い範囲の分野に例を見ることができる.

空間データの例

:* 自然地理的対象　地形, 地質, 河川, 植生

:* 社会基盤　道路, 鉄道, 上下水道・電気・ガス配管の設備

:* 経済社会活動　人口, 産業, 交通等の統計データ

:* 行政　各種行政データ, 公共施設

:* 企業　ロジスティックス, マーケティング, 営業に関するデータ

また, 上記のような空間データを用いた地理情報システムの適用分野としては次のものがあげられる.

地理情報システムの適用分野

:* 社会資本の管理　上下水道, 道路, ガス, 電力, 通信などの網的設備の維持管理

:* 自治体の地域サービス　救急活動, 福祉サービス

::- 緊急車両の配置計画, 税金の計算, 高齢者のいる家庭の把握, 地籍管理

:* 鉱物資源探索

:* 民間企業の活動　ロジスティックス, エリアマーケッティング, 施設配置

::- 競合他社と自社の他店舗および消費者の需要を考慮に入れた出店計画

:* 都市計画, 地域計画

::- 周辺住民の反対があるゴミ処理施設の位置決定

::- 原子力発電所の建設計画

空間データはその名の通り空間的な広がりを持つので, 十分な分析を行おうとすると必然的に大規模になる. また, それぞれのデータベースを作成し維持管理する主体は異なるのが普通である. 一方, 分析にあたっては, 異なる主題に関する複数のデータベース相互の関係を調べることが重要であるため, 分散型のシステムとなり, その技術的な課題をかかえることになる. すなわち, 標準化, 地図を含む大量の情報の高速な通信, データベースの更新, である. とくに, 位置情報を媒介として異なるデータベースを関連づけることが必須であるので, 位置に関する指標の標準化が非常に重要である. これに対しては, 日本全体の共通的な電子地図を整備する動き(空間情報基盤整備)が計画されている.

　空間データ特有の課題として次の点があげられる. 対象の持つ空間的な情報は, 建物の場所を表す点の位置(緯度経度)のような情報, 道路のように交差点間をつなぐ道路といった点と線との接続関係や, 行政区界のように境界に囲まれた面といった線分と面との接続関係の情報がある. 前者の点の絶対位置, 距離, 角度, 面積といった情報を計量情報, 後者の点, 線, 面の接続関係に関する情報を位相情報という. 計量情報に関しては, 必ず誤差が含まれているものであり, 異なるデータベースにある同一の地物は正確には重ならないことを前提として, それぞれのデータベースで実現されている測定精度を把握していなければいけない. 位相情報に関しては, 紙に描いた地図が最終成果物であれば目で見てつながっていればよいので接続関係は重要視されないが, 空間的な分析を行うには位相情報が不可欠である. すなわち, 空間データに関する検索, 指定された条件に合う位置の特定, データ集合間の関係を探るための各種の幾何学的な演算は, 位相情報がなければ行うことができない. また, 道路間の接続関係が分からなくては道路網のネットワーク解析はできない.

　現在扱われている空間データは2次元のデータが多いが, 地下街路や地上の構造物を含めた3次元空間, 時系列を取り入れた4次元空間を扱う必要性が指摘されている

　地理情報システムで扱われる問題の特徴は, 空間的な要因に社会的・経済的な要因が複合された現象を扱うこととである. まず第一に地理情報システムに期待されるのは, 電子地図と結びついた質の良いデータベース管理システムとしての役割である. その機能は, 電子地図と結びつけられた地理的な指標を使って複数のデータベースを関連付け,

:* 様々な情報(と地図)を組み合わせて表示すること,

:* 空間的な検索を行うこと,

:* 指定された条件に合う位置の特定をおこなうこと

:* 結果を理解しやすく整理して表示し, インタラクティブな作業を可能とすること

がある. これには, データベースにある計量情報と位相情報を用い, 計算幾何学で発展させられた演算アルゴリズムを適用することによって可能となる. 既存の施設をよりよく維持管理すること, 自治体や企業の日常的な作業を効率的に運用することはこの範疇に入る.

　さらに進んで, 計画作業に用いる意志決定支援システムとしての役割がある. これには, 問題が持っている特徴の抽出を行い, 表形式の表現では分からないデータ間の空間的な関係を見いだすといった分析的な作業がある. そして, それに基づいて解析モデルを作り, モデルを使った最適化や, 整備されたデータに基づいた代替案の評価に関する支援を行う. とくに地理情報システムという観点でみると, それを用いるメリットは, 空間情報を扱ってそれらの間の複雑な関係を見いだすことが可能になること, 理解しやすい図的な表示が得られることがある.

　しかし, 例にあげたゴミ処理場や原子力発電所のように, これらの多くの問題は地理的および時間的な広がりならびに社会的な合意形成という問題を含んでおり, 数理計画問題として定式化する以前の本質的に難しい問題を抱えている.これに対して, 関連する様々な分野からの総合的なアプローチが積極的になされている.

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'''参考文献'''

[1] 伊理正夫, 「新世紀における空間データ基盤の役割」, 『電子情報通信学会誌』, '''81''' (1999), 694-703.

[2] 岡部篤行, 「空間情報科学の展開」, 『電子情報通信学会誌』, '''81''' (1999), 704-710.