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《モデル管理》

2007-07-19T05:43:34Z

122.17.2.240:

'''【もでるかんり (model management) 】'''

　[[モデル]] (model)には, 一般に, 形を真似る像的モデル, 物理的性質の類似性を利用する類似モデル, 論理的抽象的な記述をする記号モデルがある. [[モデル管理]] (modelmanagement)においてモデルといえば意思決定問題を記述する記号モデルを指すが, 数式モデル, 計算手続き, データモデルなどが含まれ, その含意は多様である.

　モデル管理とはモデルの作成から廃棄に至る[[モデルライフサイクル]] (modeling life cycle)の全過程にわたるあらゆる活動(モデルの作成, 活用, 蓄積, 変更, 再利用, 合成, 統合等を含む)に関する支援を構築し提供することである. モデルライフサイクルが意思決定の過程と並行することから容易に想像されるように, モデル管理は1975年頃から意思決定支援システム研究のなかで議論され始めたが, 1980年代中期以降, 特に, [[構造化モデリング]](structured modeling) [3] が提唱されて以来, オペレーションズ・リサーチによる意思決定支援のための情報システム環境という意味あいが強くなった.

　この間, モデル管理の対象としてのモデルの具体的内容は次第に変化してきた [2]. すなわち, 初期にはモデルを解く計算手続き, ないし, 計算プログラムの記述を指すのが主流であったが, 次第に, モデルを解く手続きの入出力データの記述を指すようになり, 近年は, モデル型とその数値データの記述を指すことが多い. モデルライフサイクルの重要な成果物に, 問題記述, モデル, [[ソルバー]] (solver), 解と関連ドキュメントがある. ソルバーを管理対象としてその利用に係るすべての知識や作業を利用者に依存するのが第一の, 必要な形式でのデータの準備だけを利用者に依存するのが第二の, モデルの構築とデータの作成だけを依存するのが第三のモデル管理である.

　ソルバーによって解かれるモデルは決定変数と様々な数値データによって記述され, もっとも具体的かつ個別的である. これを[[モデル具体例]] (model instance)という. モデル具体例の数値データの一部あるいは全部をパラメータとして代数的に表現したものが[[モデル型]] (model type)である. モデル型のパラメータに特定の数値データを割り当てることによって様々なモデル具体例を作ることができるから, モデル型はモデル具体例の集合を記述するものと解釈できる. モデル型は大きな集合を記述できるほど一般性が高いと言える. 割り当て問題のモデルに比べて輸送問題のモデルはより一般的であり, 標準的な線形計画問題のモデルはさらに一般性が高い.

　モデル管理のためには, モデルライフサイクルにおける様々な活動を記述し, それらの活動を実施することができなければならない. この意味で[[モデル記述言語]] (model descriptionlanguage)とソルバーは重要な要素である. ソルバーを起動して問題を解くには, モデルの数値データをソルバーの仕様にあった形式で入力することが必要になる. この入力データはモデル具体例の1つの記述形式と考えられるので, ソルバー形式(solver-form)モデルと呼ばれる. これに対して, 第三の意味のモデルはモデル作成者の記述形式と考えることができるので, ユーザ定義(user-defined)モデルと呼ばれる. モデル記述言語はユーザ定義モデルを記述する人工言語である. モデル記述において, モデル型の記述とは独立にモデル具体例を記述できるという[[モデル/データ独立|モデル／データ独立]] (model/data independence), モデルを複数のソルバーへのデータ入力に利用できる[[モデル/ソルバー独立|モデル／ソルバー独立]] (model/solver independence)はモデルやソルバーの情報資源としての価値を高める上で重要である.

　代表的なモデル記述言語にはその処理システムが付随しており, 正確性や完全性を自動チェックできるばかりでなく, 特定のソルバー向けにはソルバー形式モデルを自動生成する機能も持つ. このことからわかるように, モデル管理の研究では, モデルライフサイクルを問題記述から解まで, 意思決定問題の記述としてのモデルを次々に変換する過程ととらえることもできる. モデル記述言語はモデル構築の初期段階の情報を記述するものから完成したモデルを記述するものまで様々である. その中には, 数式モデルを構造化したテキスト形式に記述するもの, 実体－関連(entity-relationship)構造などのデータモデルを応用するもの, 述語論理など知識表現を応用するもの, グラフ文法などに基づいてグラフやネットワークを利用するもの, などがある [1].

　モデル管理の研究は, 線形計画問題やネットワーク計画問題など, 効率的で汎用的な解法の知られた分野の数式モデル構築からソルバーによる解の導出までの過程という極めた限られた範囲に集中している. この範囲を拡大するとともに, さらに高度な支援を可能にすることが望まれる.

　特定の問題を対象にモデルを構築し解く, いわゆる, 小規模モデル構築(modeling in-the-small)を対象にする研究ではモデル記述言語の記述能力を組み合わせ問題等に拡張する試み, モデル記述にモデルに関する情報(変数やパラメータの単位や次元, 式の意味, 対応するソルバー, 作成者など)を組み込む試み, より問題記述に近い記述から数式モデルを自動生成する試みなどが行われている. 既存のいくつかのモデルを組み合わせてより複雑大規模なモデルを構築して解く過程を対象にする大規模モデル構築(modelingin-the-large)の研究では, オブジェクト指向技術を応用するなどした[[モデル合成]] (model composition)や[[モデル統合]] (model integration)の研究, 合成や統合によって構築されたモデルとソルバーを結びつける研究, それらを支援するモデルやソルバーのデータベース化の研究, などがある [5]. モデル管理は情報システム環境であり, 対話や視覚化のようなインターフェースの研究も重要な分野である [4].

　モデルを情報資源としてその利用を支援することは, 企業における知識管理の意味からも, 重要である. モデルの再利用にはモデルの等価性, モデルに対応する問題の等価性の判定が基本的条件となるが, その理論や技術はいまだ極めて不十分である.

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'''参考文献'''

[1] A. Bharadwaj, J. Choobineh, A. Lo and B. Shetty, "Model Management Systems: A Survey," ''Annals of Operations Research'', '''38''' (1992), 17-67.

[2] A. -M. Chang, C. W. Holsapple and A. B. Whinston, "Model Management Issues and Directions," ''Decision Support Systems'', '''9''' (1993), 19-37.

[3] A. M. Geoffrion, "An Introduction to Structured Modeling," ''Management Science'', '''33''' (1987), 547-588.

[4] C. V. Jones, ''Visualization and Optimization'', Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1996.

[5] R. Krishnan, "Model Management: Survey, Future Research Directions and a Bibliography," ''ORSA CSTS Newsletter,'' '''14''' (1993), 1-8.

《モデル管理》

2007-07-19T05:43:11Z

122.17.2.240:

'''【もでるかんり (model management) 】'''

　[[モデル]] (model)には, 一般に, 形を真似る像的モデル, 物理的性質の類似性を利用する類似モデル, 論理的抽象的な記述をする記号モデルがある. [[モデル管理]] (modelmanagement)においてモデルといえば意思決定問題を記述する記号モデルを指すが, 数式モデル, 計算手続き, データモデルなどが含まれ, その含意は多様である.

　モデル管理とはモデルの作成から廃棄に至る[[モデルライフサイクル]] (modeling life cycle)の全過程にわたるあらゆる活動(モデルの作成, 活用, 蓄積, 変更, 再利用, 合成, 統合等を含む)に関する支援を構築し提供することである. モデルライフサイクルが意思決定の過程と並行することから容易に想像されるように, モデル管理は1975年頃から意思決定支援システム研究のなかで議論され始めたが, 1980年代中期以降, 特に, [[構造化モデリング]](structured modeling) [3] が提唱されて以来, オペレーションズ・リサーチによる意思決定支援のための情報システム環境という意味あいが強くなった.

　この間, モデル管理の対象としてのモデルの具体的内容は次第に変化してきた [2]. すなわち, 初期にはモデルを解く計算手続き, ないし, 計算プログラムの記述を指すのが主流であったが, 次第に, モデルを解く手続きの入出力データの記述を指すようになり, 近年は, モデル型とその数値データの記述を指すことが多い. モデルライフサイクルの重要な成果物に, 問題記述, モデル, [[ソルバー]] (solver), 解と関連ドキュメントがある. ソルバーを管理対象としてその利用に係るすべての知識や作業を利用者に依存するのが第一の, 必要な形式でのデータの準備だけを利用者に依存するのが第二の, モデルの構築とデータの作成だけを依存するのが第三のモデル管理である.

　ソルバーによって解かれるモデルは決定変数と様々な数値データによって記述され, もっとも具体的かつ個別的である. これを[[モデル具体例]] (model instance)という. モデル具体例の数値データの一部あるいは全部をパラメータとして代数的に表現したものが[[モデル型]] (model type)である. モデル型のパラメータに特定の数値データを割り当てることによって様々なモデル具体例を作ることができるから, モデル型はモデル具体例の集合を記述するものと解釈できる. モデル型は大きな集合を記述できるほど一般性が高いと言える. 割り当て問題のモデルに比べて輸送問題のモデルはより一般的であり, 標準的な線形計画問題のモデルはさらに一般性が高い.

　モデル管理のためには, モデルライフサイクルにおける様々な活動を記述し, それらの活動を実施することができなければならない. この意味で[[モデル記述言語]] (model descriptionlanguage)とソルバーは重要な要素である. ソルバーを起動して問題を解くには, モデルの数値データをソルバーの仕様にあった形式で入力することが必要になる. この入力データはモデル具体例の1つの記述形式と考えられるので, ソルバー形式(solver-form)モデルと呼ばれる. これに対して, 第三の意味のモデルはモデル作成者の記述形式と考えることができるので, ユーザ定義(user-defined)モデルと呼ばれる. モデル記述言語はユーザ定義モデルを記述する人工言語である. モデル記述において, モデル型の記述とは独立にモデル具体例を記述できるという[[モデル/データ独立|モデル／データ独立]] (model/data independence), モデルを複数のソルバーへのデータ入力に利用できるモ[[モデル/ソルバー独立|モデル／ソルバー独立]] (model/solver independence)はモデルやソルバーの情報資源としての価値を高める上で重要である.

　代表的なモデル記述言語にはその処理システムが付随しており, 正確性や完全性を自動チェックできるばかりでなく, 特定のソルバー向けにはソルバー形式モデルを自動生成する機能も持つ. このことからわかるように, モデル管理の研究では, モデルライフサイクルを問題記述から解まで, 意思決定問題の記述としてのモデルを次々に変換する過程ととらえることもできる. モデル記述言語はモデル構築の初期段階の情報を記述するものから完成したモデルを記述するものまで様々である. その中には, 数式モデルを構造化したテキスト形式に記述するもの, 実体－関連(entity-relationship)構造などのデータモデルを応用するもの, 述語論理など知識表現を応用するもの, グラフ文法などに基づいてグラフやネットワークを利用するもの, などがある [1].

　モデル管理の研究は, 線形計画問題やネットワーク計画問題など, 効率的で汎用的な解法の知られた分野の数式モデル構築からソルバーによる解の導出までの過程という極めた限られた範囲に集中している. この範囲を拡大するとともに, さらに高度な支援を可能にすることが望まれる.

　特定の問題を対象にモデルを構築し解く, いわゆる, 小規模モデル構築(modeling in-the-small)を対象にする研究ではモデル記述言語の記述能力を組み合わせ問題等に拡張する試み, モデル記述にモデルに関する情報(変数やパラメータの単位や次元, 式の意味, 対応するソルバー, 作成者など)を組み込む試み, より問題記述に近い記述から数式モデルを自動生成する試みなどが行われている. 既存のいくつかのモデルを組み合わせてより複雑大規模なモデルを構築して解く過程を対象にする大規模モデル構築(modelingin-the-large)の研究では, オブジェクト指向技術を応用するなどした[[モデル合成]] (model composition)や[[モデル統合]] (model integration)の研究, 合成や統合によって構築されたモデルとソルバーを結びつける研究, それらを支援するモデルやソルバーのデータベース化の研究, などがある [5]. モデル管理は情報システム環境であり, 対話や視覚化のようなインターフェースの研究も重要な分野である [4].

　モデルを情報資源としてその利用を支援することは, 企業における知識管理の意味からも, 重要である. モデルの再利用にはモデルの等価性, モデルに対応する問題の等価性の判定が基本的条件となるが, その理論や技術はいまだ極めて不十分である.

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'''参考文献'''

[1] A. Bharadwaj, J. Choobineh, A. Lo and B. Shetty, "Model Management Systems: A Survey," ''Annals of Operations Research'', '''38''' (1992), 17-67.

[2] A. -M. Chang, C. W. Holsapple and A. B. Whinston, "Model Management Issues and Directions," ''Decision Support Systems'', '''9''' (1993), 19-37.

[3] A. M. Geoffrion, "An Introduction to Structured Modeling," ''Management Science'', '''33''' (1987), 547-588.

[4] C. V. Jones, ''Visualization and Optimization'', Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1996.

[5] R. Krishnan, "Model Management: Survey, Future Research Directions and a Bibliography," ''ORSA CSTS Newsletter,'' '''14''' (1993), 1-8.

《システム分析》

2007-07-19T05:40:57Z

122.17.2.240:

'''【しすてむぶんせき (systems analysis)】'''

　第2次世界大戦後, 米国のランド・コーポレーション(The Rand Corporation)の分析家達は, 軍事問題の分析活動における華々しい成功体験をもとに, 自ら彼らの分析活動をシステム分析(Systems Analysis)と命名した. その誕生の歴史的な背景についてクエイド(Quade),ブッチャー(Boucher)[10], は, 次のように述べている.「兵器開発は数年の歳月を要するものであるために, これらの諸研究は, もはやインプットが既知で, 目的も明確な, そして[[不確定性]]の限られているようなオペレーションだけを扱っているわけにはいかなくなってしまったのである. 1950年以降になると, 兵器システムの分析者(とくに, ランド・コーポレーション)は, 国家安全保障に関する政策や戦略の問題をその研究対象に含め, これらの諸問題に関する分析評価および研究を推進した([10], 訳書, p.3)」.

　システム分析は, この軍事分野での成功を踏まえて, その後, 公共部門の問題の分析へも広範に適用されることとなった.システム分析の対象とする問題は, 例えば, 軍事分野では, 将来の兵力構成とか新しい兵器体系が対象とする環境(未来の戦場, 将来の相手等)に適切に機能するものかどうかの分析[10], 公共部門では, 水資源開発プロジェクト[6], 地域消防システム等[7], および工業開発を主軸とする地域開発計画等[5]に関する分析評価である.

[システム分析の定義]

　システム分析については, 様々な人がさまざまに定義しているが, 一般的で, 平易な定義としてフィッシャー(Fisher)から引用する([2]訳書, p.7).

:システム分析は, 次のやり方で将来の望ましい行動方針(course of action)　を選択する上で意思決定者(decision maker)を助けようとする調査行為である.

::*関連した諸目標とそれらを達成するためのいろいろな政策や戦略を組織的に検討し, さらに再検討する.
::*各種代替案(alternatives)の費用(cost), 効果(effectiveness)/[[便益]]リスク(risk), さらに, できる場合はいつでもこれらを数量で比較する.

[システム分析の手順]

　クエイド, ブッチャー[10]の考え方を基に, システム分析の手順を概説する.
　まず, システム分析者は, 依頼主から提起された問題の定式化(概念形成)の段階から入る. すなわち, 問題の対象とする範囲及び問題の性格を把握し, 分析の正しい目的を設定する. 問題の範囲は, 意思決定のレベルにより, 階層的に整理する, すなわち, 全体システムの目的から問題の目的(部分目的)へと展開し, 問題の全体構造を把握する. この場合, 「目的を誤るということは, 誤った問題を解決しようとしたという意味で致命的である[10]訳書, p.40)」という警句は, 肝に銘ずべきである. さらに, 将来の望ましい行動方針等を選択するための望ましさを計る[[評価基準]](criterion) を探す. 評価基準は, 選択する案のもたらす費用であったり, 効果や便益等が考えられる. 評価基準の設定で注意すべきことの第1は, 目的に合った評価基準を設定する, 第2に, 対象範囲外の条件は固定して最適化を図ることである. すなわち, 意思決定の問題のレベルを限定し, 上のレベルの決定および同一レベルの他の部門の決定を所与とみなし分析を行う. これを[[部分最適化]]と呼ぶ. この場合, 問題に関する目的(部分目的)はシステム全体の望ましい方向と首尾一貫していることが肝心であり, その評価基準も全体が目指す方向(全体目的)に一致するように設定するのが重要である.

　次は, 調査(研究)の段階である. 問題に関連するデータ, 各要素間の関係式の整理, および将来の望ましい行動方針を示すであろう各種代替案(alternatives)を作成する. 評価(分析)の段階においては, 関連データと各要素間の関係式を基にして, 対象とする問題状況を表現するモデルを作成する. これらのモデルを操作することにより, 各々の代替案の結果を産出し, [[費用対効果分析|費用対効果(便益)分析(cost-effectiveness(benefit) analysis)]]とか,[[トレードオフ分析|トレードオフ分析(trade-off analyses)]]を実施して, 各種代替案の比較を行う. さらに, この場合, 問題状況等の不確定性に関する分析も併せ実施することは, 重要である. よく用いられる方法としては, 決定を引き延ばす(時間を買う, buy time)とか, 両掛け (hedge)と時間を買う戦略の組み合わせにより, 選択に柔軟性を持たせる ([10]訳書, pp.95-96)とか, [[感度分析 (システム分析における)|感度分析(sensitivity analysis)]], [[状況変異分析|状況変異分析(contingency analysis)]], [[追証分析|追証分析(a fortiori analysis)]] がある ([2]訳書, p.14).

　最後の解釈(判断)の段階においては, モデルから産出された予測結果のみならず, その他の関連情報(特に, 計量化できなかった要素, 省略された要素)を考慮しつつ, 結果の解釈を実施し, 望ましい行動方針を導き出す, さらに, 可能な場合, 検証を実施する. このようなプロセスは, 最終的に導かれた評価結果が依頼主の満足のいくものかどうか, また, 各段階での前提条件等の設定の妥当性があるのか等を常に検討しながら進めてゆくことから, 段階的というよりは反復的かつ循環的な過程である.

[費用対効果(便益)分析の考え方]

　費用対効果(便益)分析とは, 選択しようとしているシステムが, その費用に値する効果ないしは便益を生み出すものなのか否かを評価するアプローチである. したがって, この分析で扱うシステムの費用とは, システムの購入費用だけでなく, 研究開発段階, 初度のシステム導入に伴う経費からそのシステムの運用開始から退役までの運用経費の総計, すなわちトータルライフサイクル費用(total life cycle cost) である([8], p.432). また, フィッシャーは, 「別の案, 放棄した機会, といった中にこそ, いつも"費用(代替費用: alternative cost ; 機会費用: opportunity costなども吟味する)" のほんとうの意味を見つけださなければならない([2]訳書, p.27)と強調した.

　効果とは, 例えば, 軍事システムでは, システムの"1攻撃あたりの撃墜確率" とか"1会戦での撃墜総数"など([10]訳書, p.60)を, また, 地域消防システムでは, "現場への到達時間" や"ある地域での平均到達時間" など([7], p.81) の評価基準で表す. 便益とは, 水資源プロジェクトの場合, 農民によって生産された小麦の価値の増分やこのプロジェクトから生じるその他の生産者(例えば, ドライクリーニング業者等)の得た所得の増加で表される([6]訳書, pp.179-183).

　以上まとめると, 費用対効果(便益)分析の考え方は, 一つには目的を達成するのに必要な効果(便益)の水準に対して, 最小の費用で得られる代替案を選択する, もう一つのやり方は目的を達成するのに必要な費用の水準に対して, 最大の効果(便益)が得られる代替案を選択することである([2]訳書, pp.11-12).

[システム分析の方法論上の特徴]

　システム分析の方法論に関して, クエイド, ブッチャーは次のように述べている. 「制御された実験がほとんど不可能な分野にハード・サイエンスのアプローチや方法－そして理想としては, その水準－を拡張しようとする意識的な試みの一つである([10]訳書, p.34), ... まだ, 精密科学あるいは工学の一形態というよりも, むしろ芸(art)の段階である([10]訳書, p.31)」.

　ハード・サイエンスのアプローチとは, 数学, 物理学および経済学等から導入された効率性尺度とか, 対象とする世界に関するフィールドデータの統計解析等から導出した特性値などを基盤として, モデルを作成し, これらにより問題状況を把握するということである. また, マイザー(Miser), クエイドは, システム分析における「経済学者の役割は, ... 重要さを増してきた. 経済学者グループは, この分野の発展に二つ基本的な分野で貢献した. 一つは, 初期のORの段階の応用の中で使われた不十分な概念(評価基準の選定の問題とか, 時間の扱い等)に関して鋭い吟味を与えた. 二つ目は, ORの最も適切なパラダイムとして決定理論及びミクロ経済学の考え方から導出した知的な検討の枠組みを提案したことである.([7], p.42)」と総括した.

[システム分析からの発展]

　チェクランド(Checkland)は, システム分析のパラダイムを「要求, 達成すべき目標, 要求を満たすべきシステム, 求められる使命などの諸点を明確にする必要性が常に主張されてきた. ... 望ましい目標を達成するための効率の良い手段の選択を手助けするという[[ハードシステム思考]]([1]訳書, p.155)」が共通したものであると主張した. このような考え方から, チェクランドは人間活動システムを中心に据えるソフトシステムズ・アプローチ(Soft Systems Approach;SSM)を唱道し, 一方, 「経済合理性と政治的合理性の相対立する論理を調和させようとして, 1960年代の後期から政策分析(Policy Analysis)([7], p.44)」が登場し, これらは, 政策科学(Policy Science)に統括され進展することとなった ([5], [9]).

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'''参考文献'''

[1] P. B. Checkland, ''Systems Thinking, Systems Practice'', John Wiley & Sons, 1981. 高原康彦, 中野文平監訳, 『新しいシステムアプローチ』, オーム社, 1985.

[2] G. H. Fisher, ''Cost Considerations in Systems Analysis'', American Elsevier, 1971. 日本OR学会PPBS部会訳, 『システム分析における費用の扱い』, 東洋経済新報社, 1974.

[3] C. J. Hitch and R. N. McKean, ''The Economics of Defense in the Nuclear Age'', Harvard University Press, 1960. 前田寿夫訳, 『核時代の国防経済学』, 東洋政治経済研究所, 1967.

[4] C. J. Hitch, ''Decision-Making for Defense'', University of California Press, 1965. 福島康人訳, 『戦略計画と意思決定 - PPBS とシステムズ・アナリシス - 』, 日本経営出版会, 1971.

[5] 今村和男編, 『システム分析』, 日科技連, 1977.

[6] R. N. Mckean, ''Efficiency in Government Through Systems Analysis - With Emphasis on Water Resources Development'', John Wiley & Sons, 1958. 建設省PPBS研究会訳, 『システムズ・アナリシスの基礎理論-PPPSの応用-』, 東洋経済新報社, 1969.

[7] H. J. Miser and E. S. Quade (ed.), ''Handbook of Systems Analysis Overview of Uses, Procedures, Applications, and Practice'', John Wiley & Sons, 1985.

[8] 宮川公男編著, 『PPBSの原理と分析 - 計画と管理の予算システム -』, 有斐閣, 1969.

[9] 宮川公男, 『政策科学入門』, 東洋経済新報社, 1995.

[10] E. S. Quade and W. I. Boucher(ed.), ''Systems Analysis and Policy Planning - Applications in Defense -,'' American Elsevier Publishing Company, 1968. 香山健一・公文俊平監訳, 『システム分析1, システム分析2』, 竹内書店, 1972.

《地域間相互作用モデル》

2007-07-19T05:37:42Z

122.17.2.240:

'''【ちいきかんそうごさようもでる (inter-region interaction model)】'''

　いくつかの地域あるいは地点の集合が与えられたとき, それらの中の任意の2地域あるいは2地点間の"もの", たとえば物資, 人, 情報, 財の移動あるいは流れといったものを2地域間の相互作用としてモデルを用いて分析する方法が古くから数多く提起されている. これらのモデルは, 空間的に位置する2地域間の相互作用を分析するということから, 地域間相互作用モデルあるいは[[空間相互作用モデル]]と総称される. これらのなかで代表的なのが[[グラビティーモデル]]([[重力モデル]]とも呼ばれる)あるいは[[エントロピーモデル]]である. グラビティーモデルはニュートンの万有引力の法則, エントロピーモデルはエントロピー最大化法則というように, いずれも重要な物理法則に基づき, それらを理論的背景としている. このことは社会現象を説明するのに, 物理現象を説明する物理法則が適用できることを意味する.

　ニュートンの万有引力の法則がグラビティーモデルとして社会現象の分析に最初に応用されたのは1940年代である. 2つの都市の人口を<math>p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, そしてそれらの都市間の距離を<math>d_{12}\, </math>とするとき, これらの都市間の道路, 鉄道あるいは航空機等による人口の流動量<math>d_{12}\, </math>が, <math>K\, </math>を比例定数として, 次式で与えられることが実証的に示された.

<center><math>f = K \frac{p_{1}p_{2}}{d_{12}^{2}} \, </math>　　　　<math>K : \, </math> 比例定数　　　　　<math>(1) \,</math></center>

このような動きがその後の数学モデルによる社会事象のモデル分析あるいは意思決定といった分野における理論的, そして実証的な分析の発展にも大きな影響を及ぼしてきたということができる.

　<math>n\, </math>個の地域の集合を<math>N=\{1,2,..., n\}\, </math>とするとき, グラビティーモデルの一般形は以下のように書くことができる. 地域<math>i\, </math>から地域<math>j\, </math>への移動量を<math>f_{ij}\, </math>, 地域iを出発地とする移動総量を<math>p_{i}\, </math>, 地域jを到着地とする移動総量を<math>q_{j}\, </math>, <math>i\, </math>, <math>j\, </math>両地域間の距離を<math>d_{ij}\, </math>とするとき, <math>i\, </math>から<math>j\, </math>への移動量<math>f_{ij}\, </math>と移動総量<math>p_{i}\, </math>, <math>q_{j}\, </math>の間に次の関係が成り立つと仮定する.

<center><math>f_{ij} = K \frac{p_{i}^{a}q_{j}^{b}}{d_{ij}^{c}}\, </math>　　　　<math>i \in N, j \in N \,</math>　　　　　<math>(2) \,</math></center>

式(2)のパラメタ <math>K, a, b, c\, </math> の推定は, 式の両辺の自然対数をとり

<center><math>f_{ij} = \log K + a \log p_{i} + b \log q_{j} - c \log d_{ij} + e_{ij}, \; \; \; e_{ij}\, </math> : 誤差項　<math>(3) \,</math></center>

に基いてデータ<math>\{ f_{ij}, p_{i}, q_{j}, d_{ij} \}\, </math>を用いて回帰分析を行なうのが一般的である.

　エントロピーの概念は, 熱力学の分野においてあいまいさあるいは無秩序さを表すものとして用いられ, 熱力学第2法則としてすべての熱力学系においてはエントロピーは増加するものであって, しかもその平衡状態においてはエントロピー極大の状態が達成されるということを前提とする. いま<math>n\, </math>個の相互に排反な事象<math>A_{1}\, </math>, <math>A_{2}\, </math>,..., <math>A_{n}\, </math>があり, これらの事象がそれぞれ確率<math>p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, <math>\ldots\, </math>, <math>p_{n}\, </math>の割合で実現するものとしよう. このとき確率分布<math>\{\, </math> <math>p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, ..., <math>p_{n}\, </math><math>\}\, </math>のエントロピー<math>H\, </math>は, <math>N=\{1, ..., n\}\, </math>として

<center><math>H = - \sum_{i \in N}p_{i} \log p_{i}\, </math>　　　　　<math>(4) \,</math> </center>

のように与えられる. したがって一般に確率分布<math>\{\, </math> <math>p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, ..., <math>p_{n}\, </math> <math>\}\, </math>が未知のとき, 式(4)で与えられるエントロピー<math>H(p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, ..., <math>p_{n})\, </math>を最大にする<math>p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, ..., <math>p_{n}\, </math>は <math>p_{1} = p_{2} = ... = p_{n} = 1/n\, </math> となり, すべての事象の実現確率<math>p_{i}\, </math> が等しいときにエントロピーは最大となり, <math>H = \log n\, </math>となる. 一般の事象の実現に関しては常に何らかの情報があると考えられることから, 事象の実現確率はもはや等しくならないので, あいまいさを表すエントロピーは<math>H =\log n\, </math>と比較して減少することになる. たとえばコストという1つの因子を考える. すなわち互いに素な整数の比<math>t_{1}\, </math>, <math>t_{2}\, </math>, ..., <math>t_{n}\, </math>に対して

<center><math>T = \sum_{i \in N}t_{i}p_{i}\, </math>　　　　　<math>(5) \,</math></center>

をできるだけ小さく, そして(4)で与えられるエントロピー<math>H(p_{1}\, </math>, <math>p_{2}\, </math>, ..., <math>p_{n})\, </math>をできるだけ大きくする<math>\{p_{i} \mid i \in N\}\, </math>を求めると, 最適解は方程式

<center><math>\sum_{i \in N}x^{-t_{i}} = 1\, </math>　　　　　<math>(6) \,</math></center>

の正根を<math>x_{0}\, </math>とするとき, 次式のように与えられる.

<center><math>p_{i} = x_{0}^{-t_{i}}, i \in N \; \;\, </math>　　　　　<math>(7) \,</math></center>

　このような問題は1因子情報エントロピーモデルと呼ばれる. より一般的な, いくつかの制約条件の下でエントロピーを最大にするような分布を求めるモデルは多因子情報エントロピーモデルと呼ばれ, 解法として[[反復尺度法]]がある.

　計量地理学の分野において, 流動現象を説明するモデルとして1950年代以降注目されたのがグラビティーモデルである. グラビティーモデルは, [[人口移動モデル]], [[物資流動モデル]], [[情報流動モデル]], [[購買行動モデル]], [[職住通勤モデル]], [[銘柄選択モデル]], 等の基本となった. グラビティーモデルに基づく研究は永年にわたって蓄積されたが, それによりグラビティーモデルの問題点もまた数多く指摘されるようになった．問題点の一つは, グラビティーモデルでは推定された流動量行列の行と列の合計値が実測値の行と列の合計値に等しくならないという点である. このためグラビティーモデルはシミュレーションなど予測に関しては十分な威力を発揮できないといわれる. 計量地理学におけるエントロピー最大化モデルは, グラビティーモデルのこの欠点を補うために, それぞれの地域の発生量, 到着量のいずれかまたはその両方に制約を設け, その制約条件の下でエントロピーを最大にすることにより得られたモデルであり, グラビティーモデルの一種の発展型といえる. [[ポアソンモデル (地域モデルとしての)|ポアソンモデル]]もグラビティーモデルの一種の改良型である.

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'''参考文献'''

[1] 石川義孝, 『空間的相互作用モデル　-その系譜と体系-』, 他人書房, 1988.

[2] 国沢清典, 『エントロピーモデル』, ＯＲライブラリー14, 日科技連出版, 1975.

《議員定数配分問題》

2007-07-19T05:36:00Z

122.17.2.240:

'''【ぎいんていすうはいぶんもんだい (apportionment problem】'''

　各選挙区の人口(あるいは有権者数)とそれらのすべての選挙区に割り当てられる総議席数すなわち総議員定数が与えられているとき, 総議員定数を各選挙区にそれらの人口分布に基いて``できるだけ公平"に配分する方法を求めるのが議員定数配分問題である. 議員定数配分問題は社会的にも非常に重要な問題であるが, 欧米においてかなり古くから数学者をはじめとする多くの研究者によって詳細な検討を加えられている(Balinski-Young['82],Lucas['83]など参照). 議員定数配分問題は数学的, 数理的な厳密な意味では未だ未解決の非常に難しい問題であるが, 現在においても学問的に, そして実際に各選挙区に議員定数を配分するという政治の場においても活発な議論がなされている. 議員定数配分問題を数理的に考察するとき, 上述のような"公平性"の基準をどのように定めればよいかという問題, そしてその基準を達成する定数配分方法はどのようなものかという2つの問題が中心課題となる.

　対象とする選挙区の集合<math>N=\{1,2, \ldots,n \}\, </math>に対して, 各選挙区<math>i \in N\, </math>の人口が<math>p_{i}\, </math>(人), そして総議員定数が<math>K\, </math>(人)と与えられている. このとき選挙区<math>i\, </math>に割り当てられる議員定数<math>q_{i}\, </math>は, 理論的かつ理想的には

<center><math>q_{i} = \frac{p_{i}K}{ \sum_{i \in N }p_{i}}\, </math>　　　　　<math>(1) \,</math></center>

となる. <math>q_{i}\, </math>を選挙区<math>i\, </math>の理想議員定数と呼ぶ. 各選挙区<math>i\, </math>の現実の議員定数<math>d_{i}\, </math>はすべてそれ自身正整数(0もあり得る)であって, かつ総議員定数が<math>K\, </math>(正整数)でなければならない. すなわち<math>d_{i}\, </math>は以下の条件を満たす.

<center><math>\sum_{i \in N }d_{i} = K\, </math>　　　　　<math>(2) \,</math></center>

<center><math>d_{i} > 0, \, </math>整数, <math>i \in N=\{1,2, \ldots,n \}\, </math>　　　　　<math>(3) \,</math></center>

　理想議員定数<math>q_{i}\, </math>がすべて整数ならば, <math>d_{i} = q_{i}\, </math>とすることによって議員定数配分問題は解決するが, 一般には<math>q_{i}\, </math>は整数とはならず, <math>d_{i}\, </math>を<math>q_{i}\, </math>に一致させることはできない. われわれの議員定数配分問題は, 制約条件(2),(3)を満たすような<math>d_{i}\, </math>の中でそれぞれの選挙区<math>i \in N\, </math>の議員定数<math>d_{i}\, </math>が"理想議員定数<math>q_{i}\, </math>にできるだけ近くなるようなもの"を求めることになる. したがって決定すべき議員定数<math>d_{i}\, </math>が"理想議員定数<math>q_{i}\, </math>にできるだけ近く", すなわち"公平"の基準を明確にすることが必要とされる. しかしながら, 議員定数配分問題は"公平"の基準が明確にされたとしても容易に解決される問題ではない. "公平"の基準は非常に数多く存在し, しかもそれらが異なる議員定数配分を与え, いずれの方法がより望ましいかを結論づけられないのが現状である.

　議員定数配分方法は, 剰余数に基づくものと除数に基づくものとの大きく2種類に分けることができる. 前者については, 剰余数の大きい選挙区から順に理想議員定数の切り上げを行うという最大剰余数法が代表的である. 除数に基づくものは一般に除数法と呼ばれ, 議員1人が何人の人口を"代表"すべきかを設定し, それに基いて各選挙区の議員定数を決定するというのが基本的な考え方である.

　除数法の一般的な計算手順では除数関数<math>v(d), d \leq v(d) \leq d+1\, </math>, を与え, 人口pを除数関数<math>v(d)\, </math>で除して得られる階数関数<math>r(p,d)\, </math>を次のように定める.

<center><math>r(p,d) = \frac{p}{v(d)}\, </math>　　　　　<math>(4) \,</math></center>

総議員定数が<math>k\, </math>のときの選挙区<math>i\, </math>の配分議員定数を<math>d(k,i)\, </math>と表すと, 階数関数<math>r(p,d)\, </math>の値が最も大きい選挙区に次々に定数を配分するという操作を繰り返す. したがって除数法では, 除数関数<math>v(d)\, </math>の与え方によっていろいろな配分方法を作ることができる. <math>v(d)=d, d+1/2, d+1\, </math>はそれぞれ最小除数法, 過半小数法(ウェブスター法とも呼ばれる), そして最大除数法(ドント法とも呼ばれる)に対応する.

　議員定数配分問題は数学的にも興味ある問題であるが, 現在に至るまで過去200年以上もの間実際の米国各州の下院議員定数を定める問題として多くの研究者, 法律家, 議員等によって詳細な検討が加えられ, 種々の提案がなされている. ある時期に採択されていた配分方法が, 後に何らかの"欠点"が発見され改訂が行われるということがこれまで数多く繰り返されている. たとえば[[最大剰余数法]]は[[アラバマパラドックス]]という欠陥が発見されて採用されなくなり, また[[不偏性]]あるいは[[整合性 (議員定数配分方法の)|整合性]]といった[[公平性基準]], すなわち議員定数配分方法の有すべき特性側面からの評価も重要となる. 最近ではすべての"望ましい"性質を持つような議員定数配分方法の存在を疑う声も出ている(完全に証明されているわけではない). このように議員定数配分問題は根本的な意味で数学的な難しさを内包する問題であるが, 将来とも多くの研究者の興味ある研究対象として存在し続けると思われる.

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'''参考文献'''

[1] M. L. Balinski and H. P. Young, ''Fair Representation : Meeting the Ideal of One Man, One Vote,'' Yale Univ. Press, 1982.

[2] W. F. Lucas, "The apportionment problem," ''Modules in Applied Mathematics,'' Chapter 14, Lucas, W. F.(ed.), Vol.2, Springer-Verlag, 1983, 358-396.

《議員定数配分問題》

2007-07-19T05:35:17Z

122.17.2.240:

'''【ぎいんていすうはいぶんもんだい (apportionment problem】'''

　各選挙区の人口(あるいは有権者数)とそれらのすべての選挙区に割り当てられる総議席数すなわち総議員定数が与えられているとき, 総議員定数を各選挙区にそれらの人口分布に基いて``できるだけ公平"に配分する方法を求めるのが議員定数配分問題である. 議員定数配分問題は社会的にも非常に重要な問題であるが, 欧米においてかなり古くから数学者をはじめとする多くの研究者によって詳細な検討を加えられている(Balinski-Young['82],Lucas['83]など参照). 議員定数配分問題は数学的, 数理的な厳密な意味では未だ未解決の非常に難しい問題であるが, 現在においても学問的に, そして実際に各選挙区に議員定数を配分するという政治の場においても活発な議論がなされている. 議員定数配分問題を数理的に考察するとき, 上述のような"公平性"の基準をどのように定めればよいかという問題, そしてその基準を達成する定数配分方法はどのようなものかという2つの問題が中心課題となる.

　対象とする選挙区の集合<math>N=\{1,2, \ldots,n \}\, </math>に対して, 各選挙区<math>i \in N\, </math>の人口が<math>p_{i}\, </math>(人), そして総議員定数が<math>K\, </math>(人)と与えられている. このとき選挙区<math>i\, </math>に割り当てられる議員定数<math>q_{i}\, </math>は, 理論的かつ理想的には

<center><math>q_{i} = \frac{p_{i}K}{ \sum_{i \in N }p_{i}}\, </math>　　　　　<math>(1) \,</math></center>

となる. <math>q_{i}\, </math>を選挙区<math>i\, </math>の理想議員定数と呼ぶ. 各選挙区<math>i\, </math>の現実の議員定数<math>d_{i}\, </math>はすべてそれ自身正整数(0もあり得る)であって, かつ総議員定数が<math>K\, </math>(正整数)でなければならない. すなわち<math>d_{i}\, </math>は以下の条件を満たす.

<center><math>\sum_{i \in N }d_{i} = K\, </math>　　　　　<math>(2) \,</math></center>

<center><math>d_{i} > 0, \, </math>整数, <math>i \in N=\{1,2, \ldots,n \}\, </math>　　　　　<math>(3) \,</math></center>

　理想議員定数<math>q_{i}\, </math>がすべて整数ならば, <math>d_{i} = q_{i}\, </math>とすることによって議員定数配分問題は解決するが, 一般には<math>q_{i}\, </math>は整数とはならず, <math>d_{i}\, </math>を<math>q_{i}\, </math>に一致させることはできない. われわれの議員定数配分問題は, 制約条件(2),(3)を満たすような<math>d_{i}\, </math>の中でそれぞれの選挙区<math>i \in N\, </math>の議員定数<math>d_{i}\, </math>が"理想議員定数<math>q_{i}\, </math>にできるだけ近くなるようなもの"を求めることになる. したがって決定すべき議員定数<math>d_{i}\, </math>が"理想議員定数<math>q_{i}\, </math>にできるだけ近く", すなわち"公平"の基準を明確にすることが必要とされる. しかしながら, 議員定数配分問題は"公平"の基準が明確にされたとしても容易に解決される問題ではない. "公平"の基準は非常に数多く存在し, しかもそれらが異なる議員定数配分を与え, いずれの方法がより望ましいかを結論づけられないのが現状である.

　議員定数配分方法は, 剰余数に基づくものと除数に基づくものとの大きく2種類に分けることができる. 前者については, 剰余数の大きい選挙区から順に理想議員定数の切り上げを行うという最大剰余数法が代表的である. 除数に基づくものは一般に除数法と呼ばれ, 議員1人が何人の人口を"代表"すべきかを設定し, それに基いて各選挙区の議員定数を決定するというのが基本的な考え方である.

　除数法の一般的な計算手順では除数関数<math>v(d), d \leq v(d) \leq d+1\, </math>, を与え, 人口pを除数関数<math>v(d)\, </math>で除して得られる階数関数<math>r(p,d)\, </math>を次のように定める.

<center><math>r(p,d) = \frac{p}{v(d)}\, </math>　　　　　<math>(4) \,</math></center>

総議員定数が<math>k\, </math>のときの選挙区<math>i\, </math>の配分議員定数を<math>d(k,i)\, </math>と表すと, 階数関数<math>r(p,d)\, </math>の値が最も大きい選挙区に次々に定数を配分するという操作を繰り返す. したがって除数法では, 除数関数<math>v(d)\, </math>の与え方によっていろいろな配分方法を作ることができる. <math>v(d)=d, d+1/2, d+1\, </math>はそれぞれ最小除数法, 過半小数法(ウェブスター法とも呼ばれる), そして最大除数法(ドント法とも呼ばれる)に対応する.

　議員定数配分問題は数学的にも興味ある問題であるが, 現在に至るまで過去200年以上もの間実際の米国各州の下院議員定数を定める問題として多くの研究者, 法律家, 議員等によって詳細な検討が加えられ, 種々の提案がなされている. ある時期に採択されていた配分方法が, 後に何らかの"欠点"が発見され改訂が行われるということがこれまで数多く繰り返されている. たとえば[[最大剰余数法]]は[[アラバマパラドックス]]という欠陥が発見されて採用されなくなり, また[[不偏性]]あるいは[[整合性（議員定数配分方法の）|整合性]]といった[[公平性基準]], すなわち議員定数配分方法の有すべき特性側面からの評価も重要となる. 最近ではすべての"望ましい"性質を持つような議員定数配分方法の存在を疑う声も出ている(完全に証明されているわけではない). このように議員定数配分問題は根本的な意味で数学的な難しさを内包する問題であるが, 将来とも多くの研究者の興味ある研究対象として存在し続けると思われる.

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'''参考文献'''

[1] M. L. Balinski and H. P. Young, ''Fair Representation : Meeting the Ideal of One Man, One Vote,'' Yale Univ. Press, 1982.

[2] W. F. Lucas, "The apportionment problem," ''Modules in Applied Mathematics,'' Chapter 14, Lucas, W. F.(ed.), Vol.2, Springer-Verlag, 1983, 358-396.

《金融派生証券(デリバティブ)(概論)》

2007-07-19T05:34:13Z

122.17.2.240:

'''【きんゆうはせいしょうけん (でりばてぃぶ)(がいろん)(derivatives(overview))】'''

　デリバティブ(derivatives)すなわち[[派生資産]]とは, その他の特定の証券や資産などの所定の特性ないし変数を条件として新たに作成された証券や契約のことである. デリバティブに対してそれを規定する特性ないし変数のことを原資産(underlying assets)と呼ぶ. 原資産には株式や債券など既存の資産のほか, 金利や為替レートなどの変数が使われ, これらの変数も慣習的に原資産と呼ばれている.デリバティブは狭義には[[先渡し|先物と先渡し]](futures contracs and forward contracts), [[オプション]](options), [[スワップ]](swaps)など, いわゆるオフバランス取引を指すことが多いが, 広義には, そのキャッシュフローや価値が株式や債券価格に依存する新株引受権証書, ワラント債, 転換社債などを含んでいうこともある.

　デリバティブがわが国の金融市場に登場したのは比較的最近である. 先物取引については, 1985年に東京証券取引所に長期国債先物が上場されたのが始まりである. 1988年には日経平均先物が大阪証券取引所に, TOPIX先物が東京証券取引所に上場されて, 株価指数先物取引が開始された. さらに1989年には日本円短期金利先物が東京金融先物取引所に上場されている. オプション取引については, 1989年に店頭で債券の選択権付売買が認められたのが始まりである. この年には株価指数オプション取引が大阪(日経平均), 東京(TOPIX)の各証券取引所に上場された. 次いで1990年には長期国債先物オプションが東京証券取引所に, また1991年には日本円短期金利先物オプションが東京金融先物取引所に上場された. 1997年からは大阪証券取引所と東京証券取引所でそれぞれ20銘柄ずつ, 個別株オプション取引が開始されている. スワップについてはすべて店頭取引であるため, わが国でいつから始まったかは必ずしもはっきりしないが, 1980年の外為法改正後にユーロドル債の発行に絡めて通貨スワップが組成されたのが最初だといわれている. 1990年頃からは円の固定金利と変動金利を交換する金利スワップが急速に拡大している.

　デリバティブは, このように比較的新しい存在ではあるが, その取引高は既存金融資産の取引高を圧倒的に上回っている. 株式については1990年以降株価指数先物とオプションの取引高がともに株式のそれを上回っている. 債券についても1988年以降, 先物の方が現物より取引高が多い. スワップでも想定元本での残高は, 大手銀行では総資産額の何倍にもなっている. しかし, こうした取引高は表面的なものであって実際に動く現金はそのほんの一部にすぎない. 取引を始める際には, 先物では何パーセントかの証拠金を納めるだけであり, オプションではわずかのプレミアム(価格)が授受されるだけである. スワップでは当初はほとんど現金を要しない. すなわちデリバティブは. 既存金融資産と比較して少しの資金で大きな取引ができるレバレッジ(leverage)の大きい取引といえる.

　デリバティブの資本市場における機能を規定する大きな特徴は, 狭義のデリバティブでは, 当該デリバティブの市場全体でのネット収益が必ずゼロになるということである. 例えば先物取引では現物価格が上昇して買い手が儲かればその分だけ売り手が損をするというように, 各デリバティブごとの市場全体の収益の総和はゼロとなる. こうした特徴は株式などの既存資産の収益と比較するとその違いが明らかである. 例えば, 企業収益が改善すれば当該企業の株式保有者はすべて収益を享受でき, かつ発行企業が損をするわけではないので, 当該株式のネットの総収益は正となる. 結局このことは, デリバティブ自体は収益を生み出すわけではなく単に既存資産の収益やその変動リスクを再配分しているに過ぎないということを意味している.

　このことから資本市場におけるデリバティブの機能の一つは既存資産市場における収益のリスクヘッジ(risk hedge)ということになる. しかし, デリバティブ市場への参加者がヘッジを目的とする投資家, すなわちヘッジャー(hedger)のみであれば, 売買取引が成立せず, 実際のところヘッジを行うことはできない. デリバティブ市場においてヘッジ目的の売買取引がスムーズに行われるためには, 自らの思惑に基づいて価格が上昇もしくは下落することに賭ける投機家(speculator)が必要となる. 投機家はヘッジャーの相手方として不可欠であり, ヘッジャーが回避するリスクを引き受ける報酬として既存資産の収益の分け前を受け取ることになる. デリバティブ取引におけるレバレッジの大きさは投機家を市場に引き付ける上でも大きな魅力となっている.また, ヘッジが有効に行われるには, デリバティブの価格が原資産の価格と安定した関係にあることが必要である. 自己の投資資金ゼロ, すなわちコストゼロでリスクを負うこと無く確実に儲けることが可能な取引を裁定取引(arbitrage)というが, デリバティブと原資産との安定した価格の関係は, 裁定取引によって達成される. もし両価格が一定の関係から乖離していたら, それは裁定取引で利益が得られることを意味する. 逆に一定の関係にあれば, 裁定取引によって, もはや利益を得るとこはできない. したがって既存資産市場とデリバティブ市場の間には相互に価格発見機能が働いているといえる.

　以上のデリバティブの機能からして, デリバティブに対するORの主要な役割は, 適正な価格評価方法とそれに基づく価格変動リスクのヘッジないし管理方法の開発であると言える.

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'''参考文献'''

[1] 岩城秀樹, 『デリバティブ-理論と応用』, 朝倉書店, 1998.
[2] 日本証券アナリスト協会編集, 榊原茂樹, 青山護, 浅野幸弘, 『証券投資論(第3版)』, 日本経済新聞社, 1991.

《証券市場モデル》

2007-07-19T05:33:09Z

122.17.2.240:

'''【しょうけんしじょうもでる (securitymarket model)】'''

　金融資本市場では種々の証券が取引されており, それらの価格は需要と供給がバランスした市場均衡状態で定まる. 人々は証券が将来生み出すであろう価値(所得)を期待してそれを保有する. 証券の需要はリスクを伴う将来の所得に対し, 供給は将来の所得と交換に現在の資金を獲得するために発生する. このような証券の需給の基本的な性質を考慮して, 個々の証券価格が資本市場でどのようなメカニズムで形成されるかを説明するモデルを証券市場(または価格評価)モデルと呼ぶ. 伝統的に, 証券の価格はそれを発行した企業の将来価値を現在価値に割り引いた値として評価されてきたが, モダンポートフォリオ理論(modern portfolio theory)を背景として, 収益性(リターン)と危険性(リスク)の両面と均衡の概念を積極的に取り入れた[[市場均衡モデル]](market equilibrium model) が主流を占めるようになった. 証券の均衡価格に関する静学理論はほぼ完成され, 証券の収益率を唯1つの因子で説明する資本資産評価モデル(CAPM)と, 複数のマクロ経済指標などで記述する裁定価格理論(APT)が実証分析の可能性も含めて重視されている. 一方, [[アロー・ドブローモデル|アロードブローモデル]](Arrow=Debreu model)は純粋理論としての価値が高い. 動学理論では異時点間CAPM(ICAPM), デリバティブ評価モデル, 利子率の期間構造(term structure), 投機的価格形成(バブル)なども証券市場モデルと考えられる.

　静学モデルにおいては, 市場参加者の利用可能な情報構造に目を向け, 価格が資金配分のシグナルとして機能する, すなわち, すべての情報に証券価格が瞬時に反映する完全競争市場を仮定し, [[効率的市場]](efficient market) と呼んでいる.

　ポートフォリオ理論によれば, 各投資家は資産を各証券に分散投資することにより, 最も好ましいポートフォリオを実現できた. 分散投資から生じる証券需要に対応して, 市場は各証券の価格を決定する, すなわち, 一定量の各証券が過不足なく市場参加者に保有されるように均衡価格を決定すると考えられる. 市場均衡での各証券の収益率は, 分散投資でもなお残るリスクと消滅するリスクからなり, それぞれ, システマティックリスク, アンシステマティック・リスクと呼ぶ. システマティック・リスクは, 証券全体が産み出す将来価値の一定割合であるから, 証券iの収益率を<math>R_i\, </math>, 市場全体の収益率(市場ポートフォリオの収益率)を<math>R_m\, </math>とすると,

<center><math>R_i=\alpha_i+\beta_i R_m + \epsilon_i\, </math></center>

と表すことができ, この式を市場モデル(market model)と呼ぶ. ここで, <math>\alpha_i\, </math>と<math>\beta_i\, </math>は証券<math>i\, </math>に固有の定数であり, とくに<math>\beta_i\, </math>は市場全体の収益率の変化に対する各証券の収益率の変化率を示す指標, <math>\epsilon_i\, </math>は<math>R_m\, </math>によって説明できない誤差を表す確率変数である. 最小2乗法で係数<math>\beta_i\, </math>を推定すれば, <math>\beta_i=\mbox{Cov}(R_i, R_m)/\mbox{Var}(R_m)\, </math>であり, 上式の期待値を考えることにより, CAPMとの関連性が明白になる. 市場に無リスクな収益率<math>R_f\, </math>の安全資産が存在するとし, 投資家が資産の一定割合をこの安全資産に, 残りを市場ポートフォリオに投資するとする. 安全資産の\betaは0, 市場ポートフォリオのそれは1であるから, このポートフォリオの<math>\beta\, </math>は両者への投資金額に応じた加重平均となり, 資産全体の<math>\beta\, </math>は市場ポートフォリオが資産全体の中で占める割合に等しい. 一方, このポートフォリオの期待収益率は<math>R_f\, </math>と<math>R_m\, </math>への投資比率の加重平均であるから,

<center><math>\mbox{E}(R_p)=(1-\beta_p)R_f +\beta_p \mbox{E}(R_m)\, </math></center>

と表せる. この式は個別証券<math>i\, </math>についても成立するから, 上式の<math>p\, </math>の代わりに<math>i\, </math>と記せば, 資本資産評価モデル(CAPM)が導出される.

　CAPMでは単一因子<math>\beta\, </math>が中心的な役割を演じているが, 他の多くの共通因子(マクロ経済指標など)を導入し, 均衡状態においては裁定機会が存在せず, 裁定機会のない状況では同じリスクをもつ証券の収益率は相等しくなければならないことを用いてCAPMを拡張したモデルに裁定価格理論がある. <math>k\, </math>個の共通因子<math>\lambda\, </math>からなるモデルは

<center><math>\mbox{E}(R_i)=R_f+\lambda_1 b_{i1}+\lambda_2 b_{i2}+\cdots+\lambda_kb_{ik}\, </math></center>

によって証券<math>i\, </math>の期待収益率を記述する. 共通因子は内生的には定まらず, 鉱工業生産指数, インフレ率などのマクロ経済指標と関係があると推測されている

　(経済の)状態なる概念を明示的に導入するとともに, 証券を最適化問題の選択対象集合としてとらえ, 需要と供給の関係から証券価格を定式化したアロードブローモデル(状態選好モデルとも呼ばれる)は最も理論的なモデルであり, その考え方に沿ってモデルの精緻化や同値マルチンゲール測度(equivalent martingale measure)によるデリバティブの価格評価などが明らかにされてきている. 状態を<math>\omega \in \{1, 2, \ldots, Q\}\, </math>と表し, 特定の状態<math>\omega=q\, </math>が実現すれば1の価値を与え, 状態<math>q\, </math>が実現しなければ0になるような証券をアロードブロー証券(または, 純証券, 状態依存請求権)と呼ぶ.この証券<math>q\, </math>の価格を<math>p_q\, </math>とし, <math>N\, </math>種類の純証券が市場で取引されているとする. とくに, <math>N=Q\, </math>の場合, 各投資家が純証券のみで構成されるポートフォリオを所有するなら, そのポートフォリオの市場均衡価値を求めることができる. また, 安全収益率<math>R_f\, </math>を<math>\textstyle R_f =1/(\sum_{q=1}^Q p_q)\, </math>のように純証券で複製でき, 各証券の収益率も純証券のポートフォリオで完全に複製できることがこのモデルから導出される.

　一般に, すべてのポートフォリオを純証券のポートフォリオで複製できるとき, そのような純証券から構成されているモデルは[[完備市場]](complete market)モデルと呼ばれる. このとき, どのような証券や市場を新たに追加しても, それらは冗長になっており, 不確実性をもつモデルが確実性下でのモデルと同等になる. 完備性はさらに一般化して定義され, 種々のデリバティブ評価モデルやヘッジを簡略化するのに役立つ. とくに, 裁定機会のない完備市場ではただ1つの同値マルチンゲール測度が存在することが知られている.

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'''参考文献'''

[1] K. Arrow and G. Debreu, "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy," ''Econometrica,'' '''22''' (1954), 265-290.

[2] D. Duffie, "Dynamic Asset Pricing Theory," Princeton University Press, 1996. 山崎昭, 桑名陽一, 大橋和彦, 本多俊毅訳, 『資産価格の理論』, 創文社, 1998.

[3] M. Harrison and D. Kreps, "Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous
Trading," ''it Stochastic Processes and Their Applications,'' '''11''' (1981), 215-260.

[4] J. E. Ingersoll, Jr., ''Theory of Financial Decision Making,'' Rowman & Littlefield, 1987.

[5] C. F. Huang and R. Litzenberger, ''Foundations for Financial Economics,'' North-Holland, 1988.

《株価変動モデル》

2007-07-19T05:31:55Z

122.17.2.240:

'''【かぶかへんどうもでる (stock price fluctuation model)】'''

'''1. 株価変動の諸特徴''' 株価変動をモデル化する場合, オプション理論に見られるように, 市場の効率性仮説の立場から株価変動を幾何ブラウン運動(対数正規[[ランダムウォーク仮説|ランダムウォークモデル]]とする立場がある. 幾何ブラウン運動は均衡オプション価格を導くために重要な役割を果たすが, このモデルが現実に観察されるデータ特性を正しく反映している保証はない. データ特性に斉合的統計モデルを構築する視点に立つと, 現象をどう見るかで使用するモデルは異なる. 株価変動は, 一時点における複数銘柄間の関連と同一銘柄における異時点間の関連を同時に有すると考えられる. 以下では, 個別銘柄の変動を記述するモデルと, 複数銘柄の同時価格変動を記述するモデルを説明する.

'''2. 一変量モデル''' 個別銘柄の日次収益率は非正規性[[ファットテイル分布|ファットテイル]], 非独立性(収益率自身の自己相関が低くても2乗収益率の自己相関は有意に高い), 非線形性の特徴を持つことがあまねく観察される. また週次・月次収益率では非正規性, 非独立性,非線形性という日次収益率の諸特性が弱まり, 対数正規ランダムウォークに近づく性質がある. このような諸特性と斉合的モデルのなかで, Engle [2]が提案した自己回帰条件付分散変動モデル([[ARCHモデル]])は, 株式市場の実証分析に最もよく使われる. <math>t\, </math>期の株価を<math>P_t\, </math>とすると, 株式の連続複利収益率は<math>x_t = \log P_t - \log P_{t-1}\, </math>と表せる. ARCHモデルは, <math>t-1\, </math>期までの情報 <math>\Psi_{t-1} = \{x_{t-j}: j=1,2,\ldots\}\, </math>を所与とするとき, <math>x_t\, </math>の条件付分布を

<center>
<math>\begin{array}{lll}
x_t & \mid \Psi_{t-1} \sim \mbox{N}(0,h_t) \\
& h_t = \alpha_0 + \displaystyle \sum_{i=1}^{q}
\alpha_i x^2_{t-i},\quad
\alpha_0 > 0,\ \alpha_i\ge 0
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(1) \,</math>
</center>

と表す. ここで <math>\mbox{N}(0, h_t)\, </math>は平均0, 分散<math>h_t\, </math>の正規分布を表す. <math>t\, </math>期の条件付分散は過去の2乗収益率の関数であり, その値は毎期変化する. 収益率プロセスが2次定常となるための必要十分条件は

<center>
<math>
\sum_{i=1}^q \alpha_i < 1
\, </math>　　　　　<math>(2) \,</math>
</center>

である. 2次定常なARCHモデルは無相関プロセスであるが, 条件付分散が過去の収益率に依存するために独立プロセスではない. ARCHモデルでは尤度関数が簡単に求まり, 未知パラメータの最尤推定量を繰り返し計算によって解くことができる. 一定の正則条件のもとで, 最尤推定量の漸近的正規性が証明され, 漸近分散共分散行列を求めることが可能である.さらに条件付分散不均一性に対する仮説検定行うことができる. Bollerslev [1]は条件付分散(1)式を拡張したGARCHモデル

<center>
<math>
h_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ix_{t-i}^2
+ \sum_{j=1}^p \beta_jh_{t-j}^2,
\quad \alpha_0>0,\ \alpha_i\ge 0,\ \beta_j\ge 0
\, </math>　　　　　<math>(3) \,</math>
</center>

を提案した. 条件付分散h_tの定式化に自己回帰項<math>h_{t-j}\, </math>が含まれる. (3)式は条件付分散が自己回帰移動平均(ARMA)型の時系列モデルに従うと解釈できる. ARMAモデルが自己回帰(AR)モデルに対してしばしばパラメータ節約になるのに対応して, GARCHモデルはARCHモデルに比べパラメータ節約となる. ARCHモデルは金融資産価格変動特性である条件付分散変動と2乗収益率プロセスの従属性をモデル化しており, 多くの実証分析で有用な結果を得ている. 以上の他にも,Taylor [7]の確率的ボラティリティーモデル(stochastic volatility model), 双線形モデル(bilinear model), いき値自己回帰モデル(TAR= threshold autoregressive model)等多くの非線形時系列モデルが考案されている.

'''3. 多変量モデル''' 株式には多数の銘柄が存在し, それらの価格変動はお互いに関連している. 従って多数株価の同時変動をモデル化するには, 多変量時系列モデルが必要となる. しかし銘柄数が多くなるとモデルの未知パラメータ数が飛躍的に多くなり, モデルの推定値が不安定となる可能性がある. それゆえ, 例えば株式ポートフォリオ構築のために多変量時系列モデルを作成するには, パラメータ数を節約する工夫が大切である. さらに株価変動には, 先に見た時系列特性が存在する. 株式の銘柄間の関係と異時点間の関係を同時に満足する多変量時系列モデルを作成するのは容易ではない. ここでは, 銘柄間の相互依存関係を明示的に取入れた[[ファクターモデル]]を初めに説明し, 次にファクターモデルに時系列構造を導入したファクター・ARCHモデルを説明する. ファクターモデルは個別銘柄の収益生成プロセスが, 少数の共通要因とその銘柄に固有の特殊要因により決定されると考え

<center>
<math>
x_{it} = \mu_i + \sum_{j=1}^K\beta_{ij} f_{jt}+ \epsilon_{it},
\quad i=1,\ldots,n ;\ t=1,\ldots,T
\, </math>　　　　　<math>(4) \,</math>
</center>

で表す. ただし, <math>\mu_i\, </math>は第<math>i\, </math>銘柄の期待収益率, <math>\beta_{ij}\, </math>は第<math>i\, </math>銘柄の第<math>j\, </math>共通要因に対する感応度, <math>f_{jt}\, </math>は第<math>j\, </math>共通要因の<math>t\, </math>期の値, <math>\epsilon_{it}\, </math>は第<math>i\, </math>銘柄の特殊要因の<math>t\, </math>期の値である. 行列を用いれば

<center>
<math>
\begin{array}{cccccccc}
x_t& = & \mu& + & B & f_t& + &\epsilon_t, \\
n\times 1 & & n\times 1 & & n\times K & K\times 1 & & n\times 1
\end{array}
\, </math>　　　　　<math>(5) \,</math>
</center>

と簡潔に表現される. ただし

<center>
<math>
\begin{array}{l}
\mbox{E}(f_t) = 0,\ \mbox{V}(f_t) = I_K,\ \mbox{E}(\epsilon_t) = 0,\\
\mbox{V}(\epsilon_t) = \Psi,\ \mbox{E}(f_t \cdot \epsilon_s) = 0,
\end{array}
\, </math>　　　　　<math>(6) \,</math>
</center>

を仮定する. ここで, <math>\mbox{E}(\cdot)\, </math>, <math>\mbox{V}(\cdot)\, </math>は期待値と分散を表す記号である. この時<math>x_t\, </math>の期待値と分散共分散行列は

<center><math>\mbox{E}(x_t) = \mu,\ \mbox{V}(x_t)=BB^{\top} + \Psi \, </math>　　　　　<math>(7) \,</math></center>

である. 各銘柄の分散は共通要因による部分と特殊要因による部分の和となる. このモデルは[[CAPM]]と[[APT]]の実証分析やポートフォリオ構築のためにしばしば利用される. ファクターモデルは銘柄間の関連を考慮するが, 時系列構造に関しては独立同一分布を前提にしている.

ファクター・ARCHモデルは(5)式に(1)または(2)式のARCHモデルを結合して, 株価変動の諸特性と斉合的な非線形多変量時系列モデルを提供する. (5)式のモデルでは<math>f_{jt}\, </math>は独立同一分布を仮定するが, この仮定をはずして各<math>f_{jt}\, </math>が(1)式のARCHモデルに従うものとすれば, <math>x_t\, </math>の条件付き分散共分散行列は

<center>
<math>
\mbox{V}(x_t) = BH_tB^{\top} + \Psi
\, </math>　　　　　<math>(8) \,</math>
</center>

となる. <math>H_t\, </math>は対角行列であり, 第<math>j\, </math>要素は共通要因<math>f_{jt}\, </math>の条件付分散を示している. ARCHモデルを多変量化する試みはこの他にも数多く存在する. 多変量ARCHモデルの開発は近年急速に進んでおり, 今後ファイナンスの実証分析でますます重要な役割を果たすことになるだろう.

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'''参考文献'''

[1] T. Bollerslev, "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity," ''Journal of Econometrics,'' '''31''' (1986), 307-327.

[2] R. F. Engle, "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimate of the Variance of United Kingdom Inflation," ''Econometrica,'' '''50''' (1982), 987-1007.

[3] R. F. Engle and K. F. Kroner, "Multivariate Simultaneous Generalized
ARCH," ''Econometric Theory,'' '''11''' (1995), 122-150.

[4] E. F. Fama, "The Behavior of Stock-Market Prices," ''The Journal of Business,'' '''38''' (1965), 34-105.

[5] B. Mandelbrot, "The Variation of Certain Speculative Prices," ''The Journal of Business,'' '''36''' (1963), 394-419.

[6] D. B. Nelson, "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach," ''Econometrica,'' '''59''' (1991), 347-370.

[7] S. Taylor, ''Modelling Financial Time Series,'' John Wiley, 1986.

[8] 刈屋武昭, 佃良彦, 丸淳子編著, 『日本の株価変動』, 東洋経済新報社, 1989.

《資産運用モデル》

2007-07-19T05:30:59Z

122.17.2.240:

'''【しさんうんようもでる (portfolio management model)】'''

　資産運用とは, 設定した計画期間において, 運用方針や各種の規制などから生じる制約のもとで, 何らかの基準で評価された目的にたいして資金を最適に配分すること, あるいはその資金配分を制御することである. 資産運用モデルとは, 最適資金配分/最適投資戦略を決定するような数理計画問題と位置づけることができる. 極めて多岐にわたる運用モデルを一般的な枠組で説明するのは難しいが, 本稿では, もっとも広範に普及している平均分散モデルを中心に解説を行う.

　従来の資産の収益のみに着目していた方法に対して, Markowitz[4]は収益に加えてリスクを考慮して資産選択を行う方法を提唱した. これは, 収益の指標としてポートフォリオの期待収益率, リスクの指標として収益率の分散(標準偏差)を用いることから, [[平均分散モデル]]と呼ばれる. このモデルは, リスク回避的な投資家は期待収益率が大きく, 分散の小さいモデルを選好するため, 以下のような2次計画問題として定式化される.

<center>
<math>
\begin{array}{|ll}
\mbox{maximize } & \mu^{\top}x - \lambda x^{\top}Qx \\
\mbox{subject to } & x \in X
\end{array}\, </math>
</center>

ただし, <math>x\in{\mathbf R}^n\, </math>は<math>n\, </math>種の資産への配分比率を, <math>\mu\in{\mathbf R}^n\, </math>は<math>n\, </math>種の資産の期待収益率を表すベクトルであり, <math>Q\, </math>は<math>n\, </math>種の資産間の分散共分散行列である. <math>X\, </math>は投資制約を, <math>\lambda>0\, </math>はリスク回避度を表す.

　平均分散モデルは現代投資理論の基礎として位置付けられ, さまざまなモデルがそこから生み出されてきた. 特に, [[リスク指標]]に対しては, 投資家の多様なリスク観を反映して, いくつかの改良モデルが存在する.

:*モーメント型　絶対偏差[3], 下半モーメント, 線形-2次型 [2], などポートフォリオの収益率分布のモーメントに基づいたリスク指標である. 分散のみではとらえられないリスクの非対称性, 極値への感度などをモデルに取り込もうとするものであり, 凸計画問題へ定式化される.

:*目標設定型　期末の収益に目標値を設定し, それからの乖離をリスクとみなす. 目標値としてインデックスやベンチマークポートフォリオが用いられると,目標追跡型の資産運用モデルとなる. さらに, 乖離の度合を測る関数によっていくつかの種類にわかれる([1], [7]など).

:*確率評価型　期末の収益の目標値を下回る確率をリスク指標として用いる([6]). [[VaR]](value at risk)は,この型のリスク指標である. この場合は, 前2者と異なり, 資産の分布として多次元正規分布を仮定しない限り, 凸計画問題として定式化することは困難である.

　リスク指標を定めた上で, 収益指標とのトレードオフを考慮して最適な資産配分を行う手法を, 2つのパラメータを用いることから2パラメータアプローチと総称される. これに対して, 期待効用を目的関数とする手法がある. (たとえば[5]). 期待効用最大化原理と整合的である, 収益/リスク間のトレードオフを考慮する必要がない, などの利点がある半面, 効用関数を明示的に求めなければならない. 投資信託など複数の資金の拠出者がいる場合, 全員に妥当するような効用関数を設定するのは事実上不可能である.

　平均分散モデルは計画期間中取引を1度だけ行う1期間モデルとして提案された. しかし, 資産価値の変動に応じて動的にポートフォリオの組換えを行うためには, 多期間の枠組が必要となる. [[ALM]](asset liabilitymodel)のように, 資産と負債を総合的に管理するようなモデルは典型的な多期間モデルの適用例である. 多期間モデルを一般的に表すと,

<center>
<math>
\begin{array}{|ll}
\mbox{maximize } & \sum_{t=1}^T f_t(x_t) \\
\mbox{subject to } & (x_1,\ldots,x_T)\in X
\end{array}\, </math>
</center>

となる. ただし, <math>T\, </math>は計画期間数, <math>x_t\in{\mathbf R}^n\, </math>は<math>t\, </math>期の<math>n\, </math>種の資産への配分比率, <math>f_t\, </math>は<math>t\, </math>期の評価関数を表す. 多期間モデルは, 取引前後の資金の均衡制約を含むこと, <math>t\, </math>期の<math>x_t\, </math>の選択が, <math>x_0,\ldots,x_{t-1}\, </math>に依存すること, <math>x_t\, </math>の決定に利用できる情報があくまでも<math>t-1\, </math>期までの情報であること, などによって特徴づけられる. また, 取引が連続的にできると仮定すると, 連続型モデルとなる. 多期間モデルは, 1期間モデルと比較してより精密な資産管理が可能になるものの, 資産価値の変動のモデル化, そのパラメータの安定性, 最適解の効率的な導出方法, など1期間モデルに較べて解決すべき課題は多い. 特に, 動的にポートフォリオの組換えを行う場合, 取引費用をモデル中に取り込まなければ, 正確な収益の評価を行うことはできない. 取引費用は, 取引量に応じた非凸な関数であるが, モデル上で厳密に表現した場合, 非凸計画問題となってしまうため, 近似的に取引量に比例するものとして定式化する場合が多い.

　対象とする資産によって資産運用モデルの性格も変化する. 例えば, 債券を対象とする場合は, 金利の期間構造を考慮することが必要となり, [[国際分散投資]]を行うならば, 為替リスクを適切にヘッジする必要があるだろう. このような資産クラス内の個別資産への資金配分に対して, 資産クラスそれ自身への配分を決定することを[[アセットアロケーション]]という.

　資産運用モデルは, 従来の経験的な資産運用に対して, 定量的に操作可能なモデルを用いることによって, 有効なリスク管理の手段を与えてきたことは否定できない. しかしながら, 一連のリスク管理の技術が投機的な手段として機能することも事実である. [[ヘッジファンド]]に代表されるような機動的な投資家集団が, リスク管理技術と[[レバレッジ|レバレッジ効果]]の組合せによって, 高い収益をあげているが, 一方で1990年代以降の金融市場の混乱の引金となったとの指摘もある. 今後の資産運用モデルの研究課題の一つとして, 市場全体の安定性を維持するような方策を開発することが挙げられるだろう.

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'''参考文献'''

[1] V. S. Bawa and E. B. Lindenberg, "Capital Market Equilibrium in a Mean Lower Partial Moment Framework," ''Journal of Financial Economics,'' '''5''' (1977), 189-200.

[2] A. J. King,
"Asymmetric Risk Measures and Tracking Models for Portfolio Optimization under Uncertainty," ''Annals of Operations Research,'' '''45''' (1993), 165-178.

[3] H. Konno, "Piecewise Linear Risk Functions and Portfolio Optimization," ''Journal of the Operations Research Society of Japan,'' '''33''' (1950), 139-156.

[4] H. M. Markowitz, ''Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments.'' John Wiley and Sons, Inc, 1959.

[5] R. Merton, "Optimum Consumption and Portfolio Rules in Continuoustime Model," ''Journal of Economic Theory,'' '''3''' (1971), 373-413.

[6] A. D. Roy, "Safety-first and the Holding Assets," ''Econometrica,'' '''20''' (1952), 431-449.

[7] M. Schweizer, "Mean-variance Hedging for General Claims," ''Annals of Applied Probability,'' '''2''' (1992), 171-179.

[8] S. A. Zenios(editor), ''Financial Optimization,'' Cambridge University Press, 1993.

《企業財務》

2007-07-19T05:29:25Z

122.17.2.240:

'''【きぎょうざいむ (corporate finance)】'''

　企業財務とは, 営利企業, とりわけ株式会社財務に関する諸理論をさす. 特に1960年代にF. モジリアーニとM. ミラーによって示された[[MM理論]]以降, 企業財務はそれまでの会計学や経営学に基づく財務から, ミクロ経済学に基礎をおく[[企業財務]]論(コーポレートファイナンス理論)として再構築された.

　個別の財務政策が何を基準にして行うかを示すために, まず企業の目標が何であるかを明示的に示す必要がある. 言い換えれば, 企業が誰のものであるか(コーポレートガバナンス)を明らかにする必要がある. 現代企業財務理論では, 現代資本主義を支える株式会社制度において, 企業の持ち主(支配権)は最終的に株主のものであり, その結果企業の目的は, 株主の富の極大化(Stockholder's Wealth), 具体的には株価を最大にすることであるとされる. したがって企業財務の目的も, 株価を最大にすることを仮定している.

　企業財務論では, 株価の決定(評価論)は次の二つのいずれかの考え方を踏襲している. 第一は, 企業資産の価値(企業価値)は, 企業が獲得するフリーキャッシュフローを[[資本コスト]]で割り引くことにより得られるとする. ここでフリーキャッシュフローとは, 株主と債務者に最終的に帰属するキャッシュフローを示す. 　株式価値は, この企業価値から負債価値を差し引くことによって得られる. これに対し, 株式価値(株価)を直接求める方法として, 配当還元モデルがある. これは, 株式を保有することから得られる将来配当を, 株式(自己)資本コストにより現在価値に割り引くこと, つまり, 配当を株価に「還元」することによって得られる.

　企業財務理論では, おもに, こうして決定される株式価値および企業価値と, 1)[[資本予算]]の決定, 2)資本構成の決定, 3)[[配当政策]]の決定, 4)流動性の維持, の四つの個別財務政策との間の関係を議論する.

　第一の資本予算(設備投資政策)の決定は, 企業価値を決定するにあたってきわめて重要である. 完全資本市場のもとでは, 企業価値の増加は正味現在価値が正の投資プロジェクトを実行することによってのみ得られる. 最近では, 正味現在価値法に加え, 実物[[オプション|オプション理論]](Real Option)を適用し, 投資プロジェクトの中止, 順延, 規模の拡大と縮小などの可能性を考慮に入れた資本予算を考えることが盛んになりつつある.

　第二の資本構成政策の決定は, 上の資本予算がすでに決定され, 完全資本市場と税金のない世界では, 配当政策と同様企業価値に影響をもたらさない. しかし, 負債による資金調達に対する金利の支払いが法人税控除の対象になる場合, 自己資本による調達より, 負債による資金調達のほうが, 将来キャッシュフローの増加をもたらす. したがって, 企業は全額負債で資金を調達したほうが企業価値を増加させることになる. 他方, もし[[倒産]]の可能性があり, 企業が倒産した結果資産の売却が, 倒産がないときの市場価格以下で行われるような場合には, 倒産を引き起こす可能性のある負債をなるべく少なくするような資本構成政策が望ましい. これら倒産リスクと負債利子の税控除の二点を同時に考慮すると, 企業価値を最大にする資本構成政策がありうることになる.

　第三の[[配当政策]]は, 正味利益を配当と内部留保にいかに配分するかの決定をさす. 完全資本市場の仮定のもとでは, この配分をいかようにしても企業価値には影響を与えないが, 法人税と個人所得税が存在する世界では, この点は企業価値に影響を与えうる.

　第四の流動性政策は, 短期における企業の財務的な健全性を確保するためのいろいろな手法を検討する. 伝統的な, 買い掛け・売掛債権の管理に加え, 最近では不確実性のもとにおける[[数理計画]]を利用した運転資本や現金管理の方法の研究と実務への適用が盛んである. また近年の金融の自由化によるさまざまな新しい金融商品がこの面で役立っている.

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'''参考文献'''

[1] 井出正介, 高橋文郎, 『企業財務入門』, 日本経済新聞社, 1999.

[2] 古川浩一, 蜂谷豊彦, 中里宗敬, 今井潤一, 『基礎からのコーポレート・ファイナンス』, 中央経済社, 1999.

[3] 新井富雄, 渡辺茂, 太田智之, 資本市場とコーポレート・ファイナンス』, 中央経済社, 1999.

[4] S. M. Benninga and O. Sarig, ''Corporate Finance: A Valuation Approach,'' McGraw-Hill, 1997.

[5] R. A. Brealey and A. C. Myers, ''Principle of Corporate Finance,'' 4th Ed., McGraw-hill, 1991.

[6] M. C. Jensen and W. H. Meckling, "heory of the Firms: Managerial Behavior, Agency Costs and Ownership Structure," ''Journal of Financial Economics,'' '''3''' (1976), 305-360.

[7] M. H. Miller and F. Modigliani, "Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares," ''Journal of Business,'' '''34''' (1961), 411-433.

[8] F. Modigliani and M. H. Miller, "The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment," ''American Economic Review,'' '''48''' (1958), 261-297.

[9] S. A. Ross., R. W. Westerfield and B. D. Jordan, ''Fundamentals of Corporate Finance,'' Irwin, 1991.

《資産評価理論》

2007-07-19T05:28:18Z

122.17.2.240:

'''【しさんひょうかりろん (asset pricing theory)】'''

　各資産の期待収益とリスクとの間に存在する関係を分析する理論的枠組みを資産評価理論(Asset Pricing Theory)と呼ぶ. 資産の期待収益とリスクの理論的関係を明示的に与えることができれば, 投資家がある水準の期待収益を望むことはそれに対応したリスクを受け入れることになる. すなわち, リスクに見合う期待収益はどれ程であるかを明らかにしてくれるという意味で, 各資産の価格付けとしての評価を与える理論である. モダンポートフォリオ理論の中で紹介されたCAPMは, そのような資産評価モデルの1つである.

　CAPM とは異なる資産評価モデルとして, [[APT]] (裁定評価理論, Arbitrage Pricing Theory)がある. APT は観察可能な複数の因子(ファクター)の線形関数によって資産の収益率は説明可能と仮定し, CAPM と同様に期待収益率が満たすべき式を導出している. APT ではすべての資産の収益率は, すべての資産に共通の<math>k\, </math> 個の因子と<math>1\, </math> 個のその資産固有のリスク因子との和で次のように記述されると仮定する.

<center>
<math>
R_{i} = a_{i} + \sum_{k=1}^{K}b_{ik}\tilde{I}_{k} + \tilde{\epsilon_{i}}, ~~
i = 1,2, \ldots ,n
\, </math>　　　　　<math>(1) \,</math>
</center>

　ここで <math>E[\tilde{\epsilon}_{i}] = 0, E[\tilde{\epsilon}_{i}^{2}] =\sigma_{i}^{2}, E[\tilde{I}_{k}] = \bar{I}_{k}\, </math> とし, <math>E[\tilde{\epsilon_{i}} \tilde{\epsilon_{j}}] = 0, i \neq j,E[\tilde{\epsilon_{i}} (\tilde{I_{k}} - \bar{I_{k}})] = 0\, </math> である. <math>E[R_{i}] = \mu_{i}\, </math> とすれば, (1) 式より

<center><math>\mu_{i} = a_{i} + \sum_{k=1}^{K}b_{ik}\bar{I_{k}}\, </math></center>

となる. 均衡においてAPT による資産の期待収益率が満足すべき十分条件は, 市場には十分にたくさんの種類の資産が存在し, 次の条件を満足するようなポートフォリオ<math>x\, </math> が存在することである.

<table align="center">
<tr>
<td><math>\sum_{i=1}^{n} x_{i} =0</math></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td><math>\sum_{i=1}^{n}x_{i}b_{ik} = 0,~~k = 1,2, \ldots ,K</math></td>
<td align="right" width="100"><math>(2) \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>\sum_{i=1}^{n} x_{i}\epsilon_{i} =0 \,</math></td>
<td></td>
</tr>
</table>

　この条件によって任意のポートフォリオ収益の分散は近似的に0となり, 裁定機会の無存在性よりポートフォリオ<math>x\, </math>の期待収益も(近似的に)<math>0\, </math> とならねばならない. すなわち <math>\textstyle \sum_{i=1}^{n}x_{i}\mu_{i} = 0\, </math> となって, ポートフォリオと危険資産の期待収益率がつくるベクトルとは直交する. 従って, 危険資産の期待収益率は

<center>
<math>
\mu_{i} = \lambda_{0} + \sum_{k=1}^{K}\lambda_{k}b_{ik}
\, </math>　　　　　<math>(3) \,</math>
</center>

と表現できる. 因子がすべて<math>0\, </math> であるときは危険資産は無危険に退化するので, このとき <math>\lambda_{0} = \gamma_{0}\, </math> とおいて無危険資産の収益率と見なす. 任意のひとつの<math>k\, </math> について<math>b_{ik} =1\, </math> とおき, その他のすべての<math>b_{ik}\, </math> を<math>0\, </math> とすれば, <math>\lambda_{k} = \mu_{k} - \gamma_{0}\, </math> を得る. 従って, (3) 式は

<center>
<math>
\mu_{i} - \gamma_{0} = \sum_{k=1}^{K}b_{ik}(\mu_{k} - \gamma_{0})
\, </math>　　　　　<math>(4) \,</math>
</center>

となり, 危険資産<math>i\, </math> の平均超過収益率が満足すべき式が与えられたことになる. (4) 式をAPT による資産評価式と呼ぶ.

　平均分散モデルは期首と期末のみからなる<math>1\, </math> 期(one shot) モデルであった. 危険資産<math>i\, </math> の時刻<math>t\, </math> での価格を<math>P_{i}(t)\, </math> とし, 時間<math>t_0\, </math> は半区間<math>[0, T]\, </math> の要素とする. 資産<math>i\, </math> の収益率が確率微分方程式

<center>
<math>
\frac{{\rm d}P_{i}(t)}{P_{i}(t)} = \mu_{i}{\rm d}t + \sigma_{i}{\rm d}Z_{i}
\, </math>　　　　　<math>(5) \,</math>
</center>

に従って変動すると仮定する. 時刻<math>t\, </math> でのポートフォリオを<math>x(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots , x_{n}(t))\, </math> とすれば, 計画期間<math>[0,T]\, </math>でのポートフォリオの取引戦略を考える問題を連続時間の下でのポートフォリオ選択問題と呼ぶ. この連続時間の下での資本資産評価モデル(ICAPM, IntertemporalCapital Asset Pricing Model) がMerton [5,6] によって提唱された. また, (5) 式で与えられる資産の上で書かれた様々な条件付請求権(オプションもその1 例) の評価理論もオプション評価モデルとして良く知られている. そのような条件付請求権の価格<math>f\, </math> は時刻<math>t\, </math>と<math>t\, </math>での資産価格<math>P_{i}(t)\, </math> の関数となるので, <math>f = f(P_{i}(t),t)\, </math> とおく. このような資産(証券)を元の資産価格から派生したという意味で派生資産(デリバティブ, derivatives)という. 確率過程<math>P_{i}(t)\, </math>の関数<math>f = f(P_{i}(t),t)\, </math> に様々な境界条件を課すことによって, 種々の新しい金融商品の評価理論が研究されている. (文献[1]を参照)

　最後に, 資産価格の確率分布(または確率過程)について何ら具体的に特定化しない場合でもポートフォリオの間で優先順位を与えることを可能にする[[効用関数と確率優越|確率優越]](Stochastic Dominance)について簡単に解説する. 相異なる2 つのポートフォリオ収益をそれぞれ<math>X\, </math> と<math>Y\, </math> で表し, その分布関数をそれぞれ<math>F(x) = P\{ X \leq x \}, G(x) = P\{ Y \leq x \}\, </math>とする. すべての<math>x\, </math> について<math>F(x) \leq G(x)\, </math> のとき <math>X\, </math> は<math>Y\, </math> を第一級の確率優越すると呼び, <math>X\succ_{(1)}Y\, </math> と表記する. 実数値関数<math>u(x)\, </math> をポートフォリオ収益の上で定義された[[効用関数]]とし, <math>U_{1}\, </math> を単調な増加関数のクラスとすれば次の関係が成立する.

'''定理1'''　次の2つの命題は同値である.

::<math>\begin{array}{rl}
\mbox{(i)} & X \succ_{(1)} Y\\
\mbox{(ii)} & E[u(X)] \geq E[u(Y)] ,u \in U_{1}
\end{array}\, </math>

'''系'''　<math>X \succ_{(1)}Y\, </math> で <math>F(x) \not= G(x)\, </math> ならば, <math>E[X] > E[Y]\, </math> である.

　すべての<math>x\, </math> について<math>\textstyle \int_{-\infty}^{x}F(y){\rm d}y \leq \int_{-\infty}^{x}G(y){\rm d}y\, </math>のとき<math>X\, </math> は<math>Y\, </math> を第二級の確率優越すると呼び, <math>X \succ_{(2)} Y\, </math> と表記する. <math>U_{2}\, </math> を単調増加かつ凹(上に凸)な関数のクラスとすれば, 次の性質が成立する.

'''定理2'''　次の2つの命題は同値である.

::<math>\begin{array}{rl}
\mbox{(i)} & X \succ_{(2)} Y\\
\mbox{(ii)} & E[u(X)] \geq E[u(Y)] , u \in U_{2}
\end{array}\, </math>

'''系'''　<math>X \succ_{(2)} Y\, </math> でかつ <math>E[X]=E[Y]\, </math> ならば, <math>{\rm var}(X) \leq {\rm var}(Y)\, </math>が成立する.

　すべての<math>x\, </math> について <math>\textstyle \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}F(z){\rm d}z{\rm d}y \leq\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}G(z){\rm d}z{\rm d}y\, </math> でかつ <math>E[X] \geq E[Y]\, </math>のとき, X は<math>Y\, </math> を第三級の確率優越すると呼び, <math>X \succ_{(3)} Y\, </math> と表記する. <math>u > 0\, </math> で単調増加かつ凹である効用関数のクラスを<math>U_{3}\, </math> とすれば, 次の関係が成立する.

'''定理3'''　次の2つの命題は同値である.

::<math>\begin{array}{l}
X \succ_{(3)} Y\\
E[u(X)] \geq E[u(Y)] ,u \in U_{3}
\end{array}\, </math>

　分布関数のクラスに限定しているので, 平均や分散が存在しない(例えば, コーシー分布の)場合でも効用関数のクラスを特定化できれば, 確率優越の手法によって複数のポートフォリオ収益の優劣を比較することができる.

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参考文献

[1] 澤木勝茂,『ファイナンスの数理』, 朝倉書店, 1994.

[2] D. T. Breeden, "An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Comsumption and Investment Opportunities," ''Journal of Financial Economics,'' '''7'''(1979), 265-296.

[3] J. Cox, J. Ingersoll and S. Ross, "An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices," ''Econometrica,'' '''53''' (1985), 363-384.

[4] J. E. Ingersoll, Jr., ''Theory of Financial Decision Making,'' Totowa, NJ: Rowman and Littlefield, 1987.

[5] R. C. Merton, ''Continuous-Time Finance,'' Rev. ed., Blackwall Pub., Massachusetts, 1992.

[6] R. D. Merton, "An Intertemporal Capital Asset Pricing Model," ''Econometrica,'' '''41''' (1973), 867-870.

《QC手法》

2007-07-19T05:26:54Z

122.17.2.240:

'''【きゅーしーしゅほう (QC tools) 】'''

　QC手法がどのようなものかについての明確な定義はなく, [[品質管理]]に活用されるさまざまな手法をQC手法と総称している. 品質管理においては, 経験や勘だけに頼るのではなく, 科学的分析に基づいて問題解決を図る「事実に基づく管理」が強調されている. 中でも, 主に数値データを解析するために用いられる統計的方法が重要である. 近代的な品質管理が, 別名[[SQC]](Statistical Quality Control)と呼ばれるのは, 統計的方法の活用を重視してきたからである.

　品質不良の一般的原因はばらつきである. 不良品が多く発生している場合も, 不良品だけが製造されている製造工程は希である. 大概, 良品と不良品が混ざって出てくる. 良品と不良品での製造条件がばらついているから, 良品と不良品という違ったものが出てくるのである. したがって, 品質管理の基礎はこのばらつきを把握することにある. ばらつきを把握するための最良の道具は統計的方法であり, これが品質管理で統計的方法が重視される理由である.

　品質管理における問題解決において, 最も基礎的で多用される手法が[[QC七つ道具]]である. これには以下の手法が含まれる.

:* [[チェックシート]]: データを容易に収集する.

:* [[パレート図]]: 重点指向すべき問題を絞り込む.

:* [[管理図]]／[[グラフ (QC七つ道具の)|グラフ]]:主にデータの時間的推移を把握する. さまざまなデータを視覚化する.

:* [[ヒストグラム]]: データのばらつき方を把握する.

:* [[特性要因図]]: 特性と要因の関係を整理する.

:* [[散布図]]: 2変量間の関係を把握する.

:* [[層別]]: データの共通点や特徴に着目していくつかのグループに分ける.

いずれの手法も何らかの形でデータを図示するものであり, 視覚化によってデータからの情報の抽出を容易にしてくれる.

　この中で, 層別の考え方は特に重要である. 先にも述べたように, 不良の原因はばらつきである. したがって, いろいろな視点から層別することにより違いを発見することが, 問題解決の本質である. 不良個数を機械AとBに層別して差が出れば, 「不良が多い」という問題が「機械によって不良率に差がある」という問題にブレークダウンされ, より問題が明確になる.

　QC七つ道具は, 統計的方法の最も基礎的なものである. これ以外にも種々の統計的方法が品質管理において用いられる. 検定・推定, 分散分析, 実験計画法, 回帰分析, 多変量解析法, 計数値の解析法, 信頼性データ解析法などがある.

　これらの解析手法を適用するためには, 適切にデータがとられる必要がある. 母集団から試料をサンプリングし, 正しいデータを得るために研究されてきたのが統計理論に基づくサンプリング理論である. 試料の採取法, データの扱い方, 分散成分の推定法などについて理論が確立されており, 多くのものはJIS規格に定められている.

　同じく統計理論に基づくQC手法の1つに[[抜取検査]]がある. 米国から品質管理が導入された直後は, 品質管理の中心は検査であり, 1950年代から1960年代にかけて盛んに研究された. その理論体系はほぼ確立されており, さまざまな抜取検査法がJIS規格に制定されている. 品質管理が検査から源流管理に発展するにつれ, 検査に関する研究は主流ではなくなっている.

　これまでに述べた手法は, 主に統計理論に基づき数値データを扱うものである. 品質管理においては, 顧客の要求, クレーム, 対策についてのアイデアなど, 言語データを分析する場合も多い. 主として言語データを取り扱う一連の基礎的な手法の総称が[[新QC七つ道具]]である [1]. これには以下の手法が含まれる.

:* [[親和図法]]: 似た言語データをグルーピングする.

:* [[連関図法]]: 原因－結果, 目的－手段などの関係を整理する.

:* [[系統図法]]: ゴールに対する手段, 方策などを系統的に展開する.

:* [[マトリックス図法]]: 言語データを二元表の形に整理する.

:* [[アローダイヤグラム|アローダイヤグラム法]]: 作業の関連をネットワークで表現する.

:* [[PDPC|PDPC法]]: 事前に考えられる結果を予測し, 方策を列挙する.

:* [[マトリックスデータ解析法]] (主成分分析法): 相関関係を利用してデータを縮約する.

この中でマトリックスデータ解析法だけは数値データに対する解析法であり, 異質である.

　この他に, 戦略立案の段階, 製品企画の段階で役立つ手法をまとめたものとして, 戦略立案七つ道具と[[商品企画七つ道具]]が最近提案されている [2] [3]. 戦略立案七つ道具は, 環境分析, 製品分析, 市場分析, 製品・市場分析, プロダクト・ポートフォリオ分析, 戦略要因分析, 資源配分分析からなる. また, 商品企画七つ道具は, グループインタビュー, アンケート調査, ポジショニング分析, 発想チェックリスト, 表現式発想法, コンジョイント分析, 品質表である. これらは, 新たに開発されたものではなく, 既存の手法を戦略立案や製品企画の段階で役立つものとして整理したものである.

　品質管理においては, 「改善」を重視する. そこで用いられる問題解決法もQC手法の1つと見るべきであろう. 品質管理においては, [[QCストーリー]]と呼ばれる問題解決のステップがよく用いられる. これはテーマの選定から今後の課題をまとめるまでの8ステップで構成されている. QCストーリーは, 不良発生などのように既に起きてしまった問題に対して特に有効である. しかし, 新商品を開発するなどの, 今存在しないものを作り上げるような問題にはややそぐわない面がある. そこで近年では, これに対し課題達成型QCストーリーという設計型の問題解決・課題達成手法が提案されている [4]. 課題達成型QCストーリーの登場にともない, これまでのQCストーリーを問題解決型QCストーリーと呼ぶことがある.

　以上がQC手法の主だったものであるが, 特にQC手法がこれであるという境界は明確ではない. 他の分野で発展してきたFMEA, FTA, OR, IE, VE/VAなどの手法も品質管理でよく用いられている.

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'''参考文献'''

[1] 新QC七つ道具研究会編, 『やさしい新QC七つ道具』, 日科技連出版社, 1984.

[2] 長田洋編著, 『TQM時代の戦略的方針管理』, 日科技連出版社, 1996.

[3] 神田範明編著, 『商品企画七つ道具－新商品開発のためのツール集－』, 日科技連出版社, 1995.

[4] 狩野紀昭編著, 『現状打破・創造への道』, 日科技連出版社, 1997.

《総合的品質管理》

2007-07-19T05:25:45Z

122.17.2.240:

'''【そうごうてきひんしつかんり (Total Quality Management, Total Quality Control) 】'''

　[[品質管理]]とは, 買手の要求に合った品質の品物またはサービスを経済的に作り出すための手段の体系である [1]. 品質管理を効果的に実施するためには, 市場の調査, 研究・開発, 製品の企画, 設計, 生産準備, 購買・外注, 製造, 検査, 販売およびアフターサービスならびに財務, 人事, 教育など企業活動の全段階にわたり, 経営者を始め管理者, 監督者, 作業者など企業の全員の参加と協力が必要である. このようにして実施される品質管理を[[TQM|総合的品質管理]] (Total Quality Management) または全社的品質管理 (Company-wide Quality Management) という.

　従来, 日本で行ってきた総合的品質管理は[[TQC]] (Total Quality Control) と称してきたが, 英語のcontrolはもともと基準と対照するという意味であり, 基準, 計画を設定する行為は含まれていない. TQCでは経営活動全般を扱うので, 日本でいう品質管理の意味を正しく伝えるにはQuality Managementと呼ぶべきであることが明らかになってきた. 既に欧米では, 日本での総合的品質管理をTQMと呼ぶのが一般的となった. また, 日本でTQCを推進する母体である(財)日本科学技術連盟が, 1996年にTQCからTQMへと呼称変更を宣言した. したがって, 最近では総合的品質管理をTQM(Total Quality Management)と呼ぶのが一般的である. 通常はTQCとTQMは同義語ととらえてよいが, TQMへの呼称変更にともない活動の枠組みを拡大する動きもある.

　経営科学・管理技術の方法論としてのTQMは, おおよそフィロソフィー, コア・マネジメントシステム, QC手法, 運用技術の4つから構成される.

　フィロソフィーとは, 品質管理を進める上での根底にある考え方で, 品質の意味の浸透, 全員参加, 改善, 後工程はお客様, 管理のサイクル (PDCAサイクル), プロセス管理, 事実に基づく管理, 人間性尊重などである. 品質という言葉は, 製品品質だけを指すのではなく, 仕事の質, 経営の質をも意味することが浸透しており, そのためにあらゆる業務の改善に品質管理が貢献するとの理解が得られてきた. また, 経験や勘だけに頼るのではなく, 科学的分析に基づいて問題解決を図ること, すなわち事実に基づく管理が強調されている. そのために, [[QC七つ道具]], 実験計画法, 回帰分析, 多変量解析などの統計的方法や[[抜取検査]], [[サンプリング]]など統計理論に基づいた様々な技法が多用される. このことを強調するために, 戦後発展した品質管理を[[SQC|統計的品質管理]] (Statistical Quality Control) と呼ぶことがある.

　コア・マネジメントシステムは, 品質を重視した経営を行い, 先のフィロソフィーを具現化するために活用される経営管理の仕組みである. 特に, [[日常管理]], [[方針管理]], [[機能別管理]]は, その根幹をなす3本柱である. また, 品質を達成するための中核の仕組みとして[[品質保証]]システムがある. これには, 品質を保証するための体系, 組織とともに, 品質改善活動, 重要品質問題管理システム, 品質情報の活用などの具体的な活動が含まれる. さらに, 狭義の品質(製品・サービスの品質)のみならず, 原価, 量, 納期, 安全など製品・サービスに関わる広範な特性も管理の対象とし, 原価管理, 量・納期管理などの経営要素管理もTQMにおけるコア・マネジメントシステムの要素である.

　QC手法は, 問題解決, 課題達成において用いられる様々な技法である. 先に述べた統計手法はもちろん, 問題解決の方法論である[[QCストーリー]], 言語データを扱うための[[新QC七つ道具]], 商品企画のための[[商品企画七つ道具]], 戦略立案のための戦略立案七つ道具, 品質展開と品質表, FMEA, FTAを含む信頼性技法などが含まれる. この他にもOR, IE, VE/VAなどの技法もQC手法の仲間として活用することが多い.

　運用技術は, TQMを推進する上での様々な工夫である. TQM推進室のような組織の構築とともに, 提案制度, [[QCサークル]], トップ診断, TQM診断, QCチームなど運動論として展開するための種々の制度がある. 中でもQCサークルは, 日本的TQMの発展のために多大な貢献があった. 品質管理の考え方の教育, 全員参加への意識づけに大きく寄与してきた. QCサークルは, ボランタリな活動が基本である. しかし, 近年は価値観の変化や労働条件の変化にともないボランタリで行うことが難しくなっており, TQMにおける位置づけも転機にきている.

　日本的TQMが発展してきたことには様々な理由があるが, 中でも[[デミング賞]]の果たした役割は大きかった. デミング賞は, 日本に対して品質管理の指導を行ったW.E.Deming博士の業績と友情を長く記念し, 日本の品質管理の一層の発展を図るために制定された賞である [2]. この賞に挑戦する企業が, TQMに取り組む過程を通じて, これまで述べたさまざまな経営管理システムや技法を生み出してきた. それが結果として日本の品質管理の水準を押し上げることになっている.

　1980年代にはデミング賞に挑戦する企業が非常に増えたが, バブル崩壊後, 1990年頃になって日本の企業の品質に対する意識が若干弱くなった感があった. これに対し, 再び品質に対する意識を呼び起こしたのが[[ISO9000シリーズ]]による[[品質システム審査登録制度]]である. ISO9000シリーズは, 1987年に制定された品質管理および品質保証のためのシステムに関する一連の国際規格の総称である.

　ISO9000シリーズは, 作成当初は審査登録制度に使用することは意図されていなかった. 1980年代前半からEU(EC)の経済統合が議論されるようになり, 統一の一環としてCEマーク(Certificate of Europe)というEC域内での統一的な製品認証制度が整備されることになった. その制度の一部にISO9001, 9002, 9003に基づく第三者機関による品質システム審査登録制度が含まれていた. CEマークは, ヨーロッパで製品を販売するための強制力を持つ制度であったので, 品質システムの審査登録という新しい制度の整備がイギリスを中心に欧州各国で拡大し, 定着することとなった. そして, 次第に全世界へと広まっていったのである.

　日本での審査登録制度は, 1993年に開始された. 民間の審査登録機関が, 申請企業の審査および登録を行い, この審査登録機関の適格性を民間の認定機関が認定する. 日本では(財)日本適合性認定協会(略称JAB)が唯一の認定機関である. この制度は, 現在50カ国以上で制度化されており, 審査結果をお互いに認め合う各国認定機関同士の相互認証も進められつつある.

　ISO9000シリーズで規定されている品質システムの要求事項は, TQMのレベルよりはかなり低いminimum requirementである. しかし, 欧米的な品質保証の考え方を導入したという点で日本の企業に与えたインパクトは大きい. 日本的TQMとISO9000シリーズとの融合をどのように図っていくかが今後の課題になっている.

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'''参考文献'''

[1] 日本工業規格JIS Z 8101-1981, 『品質管理用語』, 日本規格協会, 1981.

[2] 三浦新他編集, 『TQC用語辞典』, 日本規格協会, 1985.

《製品企画開発》

2007-07-19T05:23:28Z

122.17.2.240:

'''【せいひんきかくかいはつ (planning and development of new products)】'''

　(1) 総説

　[[製品企画開発]]の主対象は新製品であるが類似製品も含まれる. また, その規模の大きさによって大型プロジェクト(国家プロジェクト等)から日常品の開発プロジェクト(電気機器製品等)まで含まれる. これらの広範囲にわたる製品企画開発は, 考え方はほぼ同じであるが, その進め方にはかなり大きな差異がある. 従来より[[プロジェクト管理]]の領域では, 化学プラントなどのプロジェクトを対象とした研究がなされてきた. これは, プロジェクトに投入する人的・物的資源を最も有効に活用して初期の目標を達成させるための研究であり, その主要なテーマは, プロジェクトの計画とコントロール, プロジェクトの組織づくりと組織運用, プロジェクト管理の技法等である.

　他方, われわれの身近な製品, たとえば自動車や機械, 電気機器などの企画開発については, 開発管理や設計管理の領域, また近年では[[原価企画]]の領域で研究されている. ここではこれらの製品を対象とした製品企画開発について述べることにする.

　(2)製品コンセプト・エンジニアリング

　自動車や機械, 電気機器等の企画開発は, 受注生産品ならば発注者の設計要求事項を徹底的に聴き出して体系的に整理しなければならないし, 見込生産品ならば顧客のニーズやウォンツを把握することから始めなければならない.

　後者の場合は, 市場調査を行い, これに基づくニーズ分析を行うことがこれにあたる. この調査により, 企画開発する新製品のターゲット(販売対象者)とベネフィット(製品の機能・品質)を明確にし, これを基に製品コンセプト(製品の個性づけや特徴づけ)案をつくり上げるのである. このように, 顧客指向の下に製品企画開発を進めなければならない. 従来は, ややもすればメーカー指向のものが多くあり, 製品そのものはよいが顧客の心をとらえられないものが少くなかった. この反省から今日では, 顧客に満足して購入・使用してもらうための研究が進み, [[顧客満足|顧客満足度]]を定量的に測定するようになった. このような製品コンセプトをつくる一連のプロセスをコンセプト・メーキング(concept making)という.

　コンセプト・メーキングを効果的に行うためにいくつかのツールが開発されており, これを活用することが多い. その代表的なものとして[[品質機能展開]](quality function deployment:QFD)やコンジョイント分析(conjoint analysis),ゼロルックVE(0 Look VE)などがあるが, とりわけ品質機能展開は多用されている.

　新製品のコンセプト案は上述のようにして作成できても, それを製品にしたとき, 当該企業に利益をもたらすか否かは不明である. そこで, この案で目標利益が確保できるかどうかの採算性分析を十分に行う必要がある. このうち最も重要なものは売価設定である. 見込生産品の場合は, 標準的売価(たとえばメーカー希望価格, リストプライス)の合理的な設定である(受注生産品の場合もこれに準ずればよい).

　競合製品が多くある場合, その標準的売価は, 基本的にはその製品群の主要な機能のレベルによる予測売価(主要な機能のレベルを説明変数として競合製品の標準的売価を被説明変数とする売価予測式によって算出したもの)に, 戦略的要素を加味して決定されるといえる. このような売価設定に関する分析が[[機能価格分析]]である.

　標準的売価に基づき販売量を予測し, 当該製品のライフサイクルにわたる売上高を算出する. 他方, この販売量を基に原価見積を行い, これらを比較検討し, 当該製品のライフサイクルにわたる期別採算性分析を行う. この結果, 採算上有利であると判断されれば具体的な開発設計活動に入るのである.

　(3)開発諸目標の設定とその達成管理

　製品コンセプト案は, 採算性分析の結果, よしと判断されれば製品コンセプトとして決定される. ここまでの一連の活動, すなわち, コンセプト・メーキングと採算性分析の結果, 採用できる製品コンセプトをつくり上げる全プロセスが製品コンセプト・エンジニアリングである.

　製品コンセプトが決定すると開発設計チーム編成を行い, それぞれの分担を決めるなどチームづくりを行う. これと併行して開発設計の諸目標を決定する. その主なものは, 主要な機能・性能・信頼性等の技術目標, 開発日程目標, 原価目標である.

　技術目標は製品コンセプトを具現化するためのものであり, 類似競合製品との差別化に重要なものである. それだけに, 新技術の採用や新付加機能の追加, さらにはランニングコスト削減案などが採り込まれる. しかし, ここで注意すべきことは, これらを新しく採り込むに当っては十分なテストと証明をすることである. 中途半端な状態や希望的観測の下にこれらを採用してはならない. 技術上の[[開発リスク]]を避けるためにも留意すべきことである.

　技術目標と同等に重要なことは, 原価目標を達成させることである. 原価目標は挑戦的・野心的レベルの目標であるから, 決して容易なものではない. しかし, この目標が達成できなければ当初の目標利益は達成できない. そこでこの原価目標を達成させるために, 製品を構成している機能分野や構造ブロックに細分化し, それぞれがこの目標を達成しているか否かを原価見積によって評価する方法がとられる.

　この評価によって原価目標が達成されていなければ原価低減を図らねばならない. 原価低減は, 固有技術的アプローチによるものもあるが, 時間的な制約があるので, 多くの場合管理工学的アプローチ, とりわけ[[価値工学]](value engineering:VE)が採用される. VEは元来, 原価低減のための技法ではなく, 機能と原価を比較検討してより価値の高い製品やサービスをつくり出すための技法である. しかしながら, この技法を原価低減による価値向上の技法としてとらえることが多く, 開発設計の各段階で広く活用されている.

　また, 開発設計は開発日程目標の範囲内で行われなければならない. すなわち, タイミングが重要であり, これを失すると新製品の価値を失うことになる. そのため, 日程管理のためにPRET手法やバーチャートなどによって常にその進捗を管理しなければならない. したがって, 開発設計のチームリーダーはチーム・メンバーの士気高揚を図りながら, これらの諸目標を同時に達成させなければならない.

　このような努力をしてもこれらの目標が達成できそうにないこともある. この場合は速やかに対策を講じなければならない. たとえば, 開発設計者の追加, トレードオフ(性能－原価の間の調整・妥協, 日程－性能の間の調整・妥協, 原価－日程の間の調整・妥協など)の実施や大規模なVE検討などである. いずれにしてもこれらの目標は, すべてが必達目標であり, 目標が達成されて始めて開発設計が完了するのである.

《経済発注量モデル(EOQモデル)》

2007-07-19T05:21:55Z

122.17.2.240:

'''【けいざいはっちゅうりょうもでる (economic order quantity model)】'''

　一般に, まとめて大量の数の生産や発注を行うと, 発注費用や段取り費用, 輸送単価が安くなるという「大量効果」が期待できる. 一度にまとめて発注する量のことを「ロットサイズ」と呼び, これに起因する在庫をロットサイズ在庫と呼ぶ. しかしその一方で, ロットサイズを大きくすると平均在庫量が大きくなり, 在庫保管費用の増大をもたらす. このように, 発注費用(段取り費用)と在庫保管費用の間には, ロットサイズを介したトレードオフの関係がある. このトレードオフを最適化する, すなわち発注費用と在庫保管費用の和を最小にするようなロットサイズの決定方法として, [[経済発注量モデル|経済発注量モデル (EOQモデル)]](EOQ model; economicorder quantity model) [1] [2] がある.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0169-C-C-05+EOQ.png|center|図1：発注量と需要による在庫量の推移]]</td></tr>
<td align=center><br>図1：発注量と需要による在庫量の推移</td></table></center>

　ここで, 単位時間あたりの需要が一定で, 在庫量が0になったら毎回同じ量の発注を行うような状況を考える. すなわち, 単位時間あたりの需要量を <math>D\, </math> , 発注間隔を <math>T\, </math> , 毎回の発注量を <math>Q\, </math> とし, 在庫は <math>D\, </math> の割合で連続的に減少するものとする (図1). また, 発注毎にかかる発注費用を <math>K\, </math> , 単位時間毎の製品1個あたりの在庫保管費用を <math>h\, </math> とし, 製品は発注と同時に到着する, すなわちリードタイムが0であるとする.

　初期在庫量が0でかつ無限期間を考える. 発注を行ってから在庫が0になるまでの総費用は, 平均在庫量が <math>Q/2\, </math> であることから,

<center>
<math>
K + \frac{hTQ}{2}
\, </math>
</center>

となる. 単位時間における費用 <math>f(Q)\, </math> は, これを <math>T\, </math> で除することによって

<center>
<math>
f(Q) = \frac{K}{T} + \frac{hQ}{2}
\, </math>
</center>

となるが, <math>Q=TD \, </math> なので,

<center>
<math>
f(Q) = \frac{KD}{Q} + \frac{hQ}{2}
\, </math>
</center>

となる. この <math>f(Q)\, </math> を <math>Q\, </math> で微分すれば,

<center>
<math>
f'(Q) = -\frac{KD}{Q^{2}} + \frac{h}{2}
\, </math>
</center>

となり, <math>f'(Q)=0\, </math> となる <math>Q\, </math> は,

<center>
<math>
Q^{*} = \sqrt{\frac{2KD}{h}}
\, </math>
</center>

で与えられ, <math>f(Q)\, </math> が凸関数なので, これが発注費用と在庫保管費用の総和 <math>f(Q)\, </math> を最小にする発注量である. また, そのときの費用総和は <math>f(Q^{*}) =\sqrt{2KDh} \, </math>, 最適発注間隔は <math>\displaystyle T^{*}=\sqrt{\frac{2K}{hD}} \, </math>となる.

　このEOQモデルは基本的なモデルであるが, 実務的な観点から見れば,

:*需要の大きさが常に一定とは限らない

:*理論的に最適な発注間隔が分かっても, 実際にはそれを実行できるかどうか分からない

という問題点がある.

　前者に関しては, 有限期間で需要が変化するモデルとして扱う動的ロットサイズ決定問題がある. 後者に関しては, 例えば最適発注間隔が <math>\sqrt{5}\, </math> 日であることが分かったとしても, 通常の業務が週単位で行われていたりする現状を考えると, 実際に実行することは難しい. すなわち, 発注間隔 <math>T\, </math> が簡単に実現できるような値をとるような場合に限定して考えるのが自然である.

これに対して, 最小の発注間隔 <math>T_{L}\, </math> が存在し発注間隔 <math>T\, </math> は <math>T_{L}\, </math> の2のべき乗でなければならない, すなわち,

<center>
<math>
T=2^{k} T_{L},\ \ \ k\in \{0,1,2,3\ldots \}
\, </math>
</center>

と仮定する, [[2のべき乗方策]] [4] と呼ばれる方策がある.

　ここで, 最初に述べたEOQモデルにおいて, 発注間隔 <math>T\, </math> の場合の単位時間あたりの平均費用を <math>\varphi(T)\, </math> , <math>g = \displaystyle{\frac{hD}{2}} \, </math> とすると,

<center>
<math>
\varphi(T) = \frac{KD}{Q} + \frac{hQ}{2} = \frac{K}{T} + gT
\, </math>
</center>

となり,

<center>
<math>
\varphi(2^{k+1} \cdot T_{L}) \geq \varphi(2^{k} \cdot T_{L})
\, </math>
</center>

なる最小の非負の整数 <math>k\, </math> を見つけることに帰着し,

<center>
<math>
\frac{1}{\sqrt{2}}T^{*} \leq 2^k \cdot T_{L} \leq \sqrt{2} T^{*}
\, </math>
</center>

となることがわかる. すなわち, 上記の不等式を満足するように <math>k\, </math> を選ぶことによって, そのとき

<center>
<math>
\frac{\varphi(T)}{\varphi(T^{*})} \leq \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \approx 1.06
\, </math>
</center>

となり, 最適な発注間隔の場合よりも最大約 6％の過剰コストで済む.

----
'''参考文献'''

[1] F. Harris, ''Operations and Costs,'' A. W. Shaw Co., 1915.

[2] R. H. Wilson, "A Scientific Routine for Stock Control," ''Harvard Business Review'', '''13'''(1934), 116-128

[3] J. Bramel and D. Simchi-Levi, ''The Logic of Logistics'', Springer, 1997.

[4] J. A. Muckstadt and R. O. Roundy. "Analysis of Multistage Production Systems," in'' Logistics of Production and Inventory'', S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., North-Holland, 1993.

《在庫管理》

2007-07-19T05:20:49Z

122.17.2.240:

'''【ざいこかんり (inventory control)】'''

　在庫とは, 倉庫や生産ライン中に存在する原材料, 部品, 製品などを指し, 特に生産ライン中にあるものを「中間在庫」と呼び, 経済的価値が蓄積されていることを意味する. この「在庫」を, 適正な量に維持することを「在庫管理」と呼ぶ. 古典的な在庫管理手法としては「統計的在庫管理方式」があり, これは不確定な需要の平均や分散をもとに, 発注間隔や発注量を決定するものである.

'''在庫の種類'''

　一般に, 在庫には以下のような種類のものがある.

;'''ロットサイズ在庫 (lot size inventories) ''':　生産をまとめて行うと段取りが一回で済んだり, まとめて輸送を行えば製品1個あたりの運送費用が安くなるなど, コストにおけるメリットが生まれる. その反面, 在庫を多く持たざるをえない. このように, まとめて生産や輸送, 購買などを行うことに起因する在庫のこと.

;'''安全在庫 (safety stock)''':　需要変動に対応するための在庫.

;'''見越し在庫 (anticipation stock)''':　需要変動が予測され, 生産能力がそれに追い付かない場合に対処するための在庫. 予測される需要に先行して, 生産を平準化する. 「季節在庫」とも呼ばれる.

'''在庫量に関連する概念'''

　「在庫量」を議論する上で, 以下のよう概念が用いられる.

;'''手持ち在庫 (stock on hand)'''　:実際に手元に存在する在庫のことであり, 需要に即応できる.

;'''発注残 (stock on order)'''　:発注済みだが未入荷の量で, 後に入荷することが分かっている.

;'''受注残・バックオーダー (backorder)'''　:受注済だが未納の量.

;'''有効在庫量 (available stock)'''　:手持ち在庫量 <math>+\, </math> 発注残 <math>-\, </math> 受注残

;'''調達期間・リードタイム(lead time)'''　:発注してから納入されるまでの時間.

'''在庫管理モデルの分類'''

　在庫管理のモデルは, 以下のような切口から分類することが可能である [2] [6].

;'''需要'''　:需要の大きさが既知である確定的モデルと, 不確定な需要を考慮する確率的モデルに分類できる. 確定的モデルには, 需要量が一定の静的モデルと, 需要量が既知だが一定とは限らない動的モデルがあり, 静的モデルの例としては[[経済発注量モデル]]が, 動的モデルの例としては[[動的ロットサイズ決定問題]]が有名である. [[(s,S)方策]] (<math>(s, S)</math>, 方策) は確率モデルに対する発注方策の一つである.

;'''計画期間'''　:有限期間モデルと無限期間モデルがあり, 前者はさらに1期間モデルと多期間モデルに分類できる. ほとんどのモデルは多期間モデルもしくは無限期間モデルであるが, [[新聞売り子問題]]のように1期のみを考慮するモデルもある.

;'''費用'''　:平均的な費用で議論する場合と, 価値の割引を考慮する場合がある.

;'''品切れ'''　:許さない場合と許す場合に分けられる. 品切れを許す場合, 品切れになった際に, <math>{i)}\, </math>その需要が失われる, すなわちロストセールス (lost-sales) と, <math>{ii)}\, </math>バックオーダー (backorder) になる場合に分けられる.

;'''リードタイム'''　:即納を想定して考慮しない場合と考慮する場合があり, 考慮する場合は, リードタイムが既知で一定とするのが一般的であるが, リードタイムを確率変数とする場合もある.

;'''在庫品の変化'''　:一般に貯えられている在庫品の変化は考慮しないことが多いが, 陳腐化(コンピュータ)や品質の劣化・低下(血液), 腐敗(生鮮食料品)などのように寿命を考慮する必要がある場合もある.

;'''在庫の調査間隔'''　:在庫の調査間隔の観点からは, 在庫量を常時観測する連続在庫調査(continuous review)と, 一定の間隔で観測する定期的在庫調査(periodic review)に分類できる.

;'''発注間隔と発注量'''　:一般に, 在庫問題では, 発注間隔あるいは発注量を決めれば在庫管理の政策が決定する. しかし, 両者を同時に制御対象とすると問題が複雑になるので, 片方を一定量として問題を単純化する. その際に, どちらを一定量として扱うかによって, 発注間隔を一定にする[[定期発注方策|定期発注方式]]と, 発注量を一定にする定量発注方式に分類できる.

'''在庫モデルの分析方法'''

　在庫モデルを分析する方法としては, 以下のようなアプローチがある.

;'''解析的方法'''　:各種要素の関係を数式によって表現し, 解析的に最適な解を求める. 経済発注量モデルに対する最適発注量(最適発注間隔)の求め方は, 解析的方法の典型である.

;'''数理計画・最適化'''　:最適化問題として定式化し, 数理計画の技法を用いる. 動的ロットサイズ決定問題に対する動的計画法によるアプローチはこの例.

;'''待ち行列'''　:分析対象のシステムを待ち行列モデルとしてとらえ, 待ち行列モデルに対する解析手法を用いて分析する. かんばん方式は, 待ち行列システムとして表現可能である.

;'''数値的方法'''　:計算機上の数値計算によって在庫量の分布を求める.

;'''シミュレーション'''　:シミュレーションによって分析する.

'''生産管理方式と在庫管理'''

　[[MRP]]は, 需要の従属性, すなわち製造活動の下流側で必要とする製品を生産するのに要する部品の量や時間に着目し, 部品の補充計画を立案するものである. 具体的には, 生産指示から製品が完成するまではリードタイムだけの時間が必要であるが, 将来の需要を予測しリードタイムを考慮した上で各工程に対する生産指示を行う. 各工程で必要な部品は, この生産指示にしたがって必要なときに供給されるので, 需要の予測に誤差がなく生産指示に変更がない限り, 在庫量を極力低くすることができる. そして, 各工程は上流工程からのものの流れにちょうど間に合うように部品供給がされるため, 遅滞無く加工を行い下流工程にものを流すことができ, 上流側から下流側へものを押し流して行くため, [[押し出し型システム]]に分類することができる. 部品の供給量の決定には, 動的ロットサイズ決定問題に対する方法が用いられる.

　[[JIT]]の代表例であるかんばん方式は, 「平準化」という枠組を前提に在庫の削減を実現している. また, 需要に直接的に喚起された生産指示をものの流れと逆に伝え, 需要をあらかじめ予測することなく生産指示を下流側から上流側へ伝えていくため, 引っ張り型システムとみなすことができる. かんばん方式を想定した多段の生産在庫モデルで, 各段におけるかんばん枚数やコンテナサイズの影響の分析, 品切れ確率を分析するために, 待ち行列モデルを用いることが多い.

----
'''参考文献'''

[1] W. J. Hopp and M. L. Spearman, ''Factory Physics: Foundations of Manufacturing Management'', Irwin, 1996.

[2] H. L. Lee and S. Nahmias, "Single-Product, Single-Location Models," in ''Logistics of Production and Inventory'', S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., North-Holland, 1993.

[3] E. A. Silver, D. F. Pyke and R. Peterson, ''Inventory Management and Production Planning and Scheduling'', Third Edition, John Wiley & Sons, 1998.

[4] 圓川隆夫, 伊藤謙治,『生産マネジメントの手法』, 朝倉書店, 1996.

[5] 黒田充, 田部勉, 圓川隆夫, 中根甚一郎, 『生産管理』, 朝倉書店, 1989.

[6] 児玉正憲, 『生産・在庫管理システムの基礎』, 九州大学出版会, 1996.

[7] 玉木欽也, 『戦略的生産システム』, 白桃書房, 1996.

[8] 水野幸男, 『在庫管理入門』, 日科技連出版, 1974.

[9] 日本生産管理学会編,『生産管理ハンドブック』, 日刊工業新聞社, 1999.

《在庫管理》

2007-07-19T05:18:46Z

122.17.2.240:

'''【ざいこかんり (inventory control)】'''

　在庫とは, 倉庫や生産ライン中に存在する原材料, 部品, 製品などを指し, 特に生産ライン中にあるものを「中間在庫」と呼び, 経済的価値が蓄積されていることを意味する. この「在庫」を, 適正な量に維持することを「在庫管理」と呼ぶ. 古典的な在庫管理手法としては「統計的在庫管理方式」があり, これは不確定な需要の平均や分散をもとに, 発注間隔や発注量を決定するものである.

'''在庫の種類'''

　一般に, 在庫には以下のような種類のものがある.

;'''ロットサイズ在庫 (lot size inventories) ''':　生産をまとめて行うと段取りが一回で済んだり, まとめて輸送を行えば製品1個あたりの運送費用が安くなるなど, コストにおけるメリットが生まれる. その反面, 在庫を多く持たざるをえない. このように, まとめて生産や輸送, 購買などを行うことに起因する在庫のこと.

;'''安全在庫 (safety stock)''':　需要変動に対応するための在庫.

;'''見越し在庫 (anticipation stock)''':　需要変動が予測され, 生産能力がそれに追い付かない場合に対処するための在庫. 予測される需要に先行して, 生産を平準化する. 「季節在庫」とも呼ばれる.

'''在庫量に関連する概念'''

　「在庫量」を議論する上で, 以下のよう概念が用いられる.

;'''手持ち在庫 (stock on hand)'''　:実際に手元に存在する在庫のことであり, 需要に即応できる.

;'''発注残 (stock on order)'''　:発注済みだが未入荷の量で, 後に入荷することが分かっている.

;'''受注残・バックオーダー (backorder)'''　:受注済だが未納の量.

;'''有効在庫量 (available stock)'''　:手持ち在庫量 <math>+\, </math> 発注残 <math>-\, </math> 受注残

;'''調達期間・リードタイム(lead time)'''　:発注してから納入されるまでの時間.

'''在庫管理モデルの分類'''

　在庫管理のモデルは, 以下のような切口から分類することが可能である [2] [6].

;'''需要'''　:需要の大きさが既知である確定的モデルと, 不確定な需要を考慮する確率的モデルに分類できる. 確定的モデルには, 需要量が一定の静的モデルと, 需要量が既知だが一定とは限らない動的モデルがあり, 静的モデルの例としては[[経済発注量モデル]]が, 動的モデルの例としては[[動的ロットサイズ決定問題]]が有名である. [[(s,S)方策|<math>(s, S)\, </math>方策]] は確率モデルに対する発注方策の一つである.

;'''計画期間'''　:有限期間モデルと無限期間モデルがあり, 前者はさらに1期間モデルと多期間モデルに分類できる. ほとんどのモデルは多期間モデルもしくは無限期間モデルであるが, [[新聞売り子問題]]のように1期のみを考慮するモデルもある.

;'''費用'''　:平均的な費用で議論する場合と, 価値の割引を考慮する場合がある.

;'''品切れ'''　:許さない場合と許す場合に分けられる. 品切れを許す場合, 品切れになった際に, <math>{i)}\, </math>その需要が失われる, すなわちロストセールス (lost-sales) と, <math>{ii)}\, </math>バックオーダー (backorder) になる場合に分けられる.

;'''リードタイム'''　:即納を想定して考慮しない場合と考慮する場合があり, 考慮する場合は, リードタイムが既知で一定とするのが一般的であるが, リードタイムを確率変数とする場合もある.

;'''在庫品の変化'''　:一般に貯えられている在庫品の変化は考慮しないことが多いが, 陳腐化(コンピュータ)や品質の劣化・低下(血液), 腐敗(生鮮食料品)などのように寿命を考慮する必要がある場合もある.

;'''在庫の調査間隔'''　:在庫の調査間隔の観点からは, 在庫量を常時観測する連続在庫調査(continuous review)と, 一定の間隔で観測する定期的在庫調査(periodic review)に分類できる.

;'''発注間隔と発注量'''　:一般に, 在庫問題では, 発注間隔あるいは発注量を決めれば在庫管理の政策が決定する. しかし, 両者を同時に制御対象とすると問題が複雑になるので, 片方を一定量として問題を単純化する. その際に, どちらを一定量として扱うかによって, 発注間隔を一定にする[[定期発注方策|定期発注方式]]と, 発注量を一定にする定量発注方式に分類できる.

'''在庫モデルの分析方法'''

　在庫モデルを分析する方法としては, 以下のようなアプローチがある.

;'''解析的方法'''　:各種要素の関係を数式によって表現し, 解析的に最適な解を求める. 経済発注量モデルに対する最適発注量(最適発注間隔)の求め方は, 解析的方法の典型である.

;'''数理計画・最適化'''　:最適化問題として定式化し, 数理計画の技法を用いる. 動的ロットサイズ決定問題に対する動的計画法によるアプローチはこの例.

;'''待ち行列'''　:分析対象のシステムを待ち行列モデルとしてとらえ, 待ち行列モデルに対する解析手法を用いて分析する. かんばん方式は, 待ち行列システムとして表現可能である.

;'''数値的方法'''　:計算機上の数値計算によって在庫量の分布を求める.

;'''シミュレーション'''　:シミュレーションによって分析する.

'''生産管理方式と在庫管理'''

　[[MRP]]は, 需要の従属性, すなわち製造活動の下流側で必要とする製品を生産するのに要する部品の量や時間に着目し, 部品の補充計画を立案するものである. 具体的には, 生産指示から製品が完成するまではリードタイムだけの時間が必要であるが, 将来の需要を予測しリードタイムを考慮した上で各工程に対する生産指示を行う. 各工程で必要な部品は, この生産指示にしたがって必要なときに供給されるので, 需要の予測に誤差がなく生産指示に変更がない限り, 在庫量を極力低くすることができる. そして, 各工程は上流工程からのものの流れにちょうど間に合うように部品供給がされるため, 遅滞無く加工を行い下流工程にものを流すことができ, 上流側から下流側へものを押し流して行くため, [[押し出し型システム]]に分類することができる. 部品の供給量の決定には, 動的ロットサイズ決定問題に対する方法が用いられる.

　[[JIT]]の代表例であるかんばん方式は, 「平準化」という枠組を前提に在庫の削減を実現している. また, 需要に直接的に喚起された生産指示をものの流れと逆に伝え, 需要をあらかじめ予測することなく生産指示を下流側から上流側へ伝えていくため, 引っ張り型システムとみなすことができる. かんばん方式を想定した多段の生産在庫モデルで, 各段におけるかんばん枚数やコンテナサイズの影響の分析, 品切れ確率を分析するために, 待ち行列モデルを用いることが多い.

----
'''参考文献'''

[1] W. J. Hopp and M. L. Spearman, ''Factory Physics: Foundations of Manufacturing Management'', Irwin, 1996.

[2] H. L. Lee and S. Nahmias, "Single-Product, Single-Location Models," in ''Logistics of Production and Inventory'', S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., North-Holland, 1993.

[3] E. A. Silver, D. F. Pyke and R. Peterson, ''Inventory Management and Production Planning and Scheduling'', Third Edition, John Wiley & Sons, 1998.

[4] 圓川隆夫, 伊藤謙治,『生産マネジメントの手法』, 朝倉書店, 1996.

[5] 黒田充, 田部勉, 圓川隆夫, 中根甚一郎, 『生産管理』, 朝倉書店, 1989.

[6] 児玉正憲, 『生産・在庫管理システムの基礎』, 九州大学出版会, 1996.

[7] 玉木欽也, 『戦略的生産システム』, 白桃書房, 1996.

[8] 水野幸男, 『在庫管理入門』, 日科技連出版, 1974.

[9] 日本生産管理学会編,『生産管理ハンドブック』, 日刊工業新聞社, 1999.

《在庫管理》

2007-07-19T05:16:17Z

122.17.2.240:

'''【ざいこかんり (inventory control)】'''

　在庫とは, 倉庫や生産ライン中に存在する原材料, 部品, 製品などを指し, 特に生産ライン中にあるものを「中間在庫」と呼び, 経済的価値が蓄積されていることを意味する. この「在庫」を, 適正な量に維持することを「在庫管理」と呼ぶ. 古典的な在庫管理手法としては「統計的在庫管理方式」があり, これは不確定な需要の平均や分散をもとに, 発注間隔や発注量を決定するものである.

'''在庫の種類'''

　一般に, 在庫には以下のような種類のものがある.

;'''ロットサイズ在庫 (lot size inventories) ''':　生産をまとめて行うと段取りが一回で済んだり, まとめて輸送を行えば製品1個あたりの運送費用が安くなるなど, コストにおけるメリットが生まれる. その反面, 在庫を多く持たざるをえない. このように, まとめて生産や輸送, 購買などを行うことに起因する在庫のこと.

;'''安全在庫 (safety stock)''':　需要変動に対応するための在庫.

;'''見越し在庫 (anticipation stock)''':　需要変動が予測され, 生産能力がそれに追い付かない場合に対処するための在庫. 予測される需要に先行して, 生産を平準化する. 「季節在庫」とも呼ばれる.

'''在庫量に関連する概念'''

　「在庫量」を議論する上で, 以下のよう概念が用いられる.

;'''手持ち在庫 (stock on hand)'''　:実際に手元に存在する在庫のことであり, 需要に即応できる.

;'''発注残 (stock on order)'''　:発注済みだが未入荷の量で, 後に入荷することが分かっている.

;'''受注残・バックオーダー (backorder)'''　:受注済だが未納の量.

;'''有効在庫量 (available stock)'''　:手持ち在庫量 <math>+\, </math> 発注残 <math>-\, </math> 受注残

;'''調達期間・リードタイム(lead time)'''　:発注してから納入されるまでの時間.

'''在庫管理モデルの分類'''

　在庫管理のモデルは, 以下のような切口から分類することが可能である [2] [6].

;'''需要'''　:需要の大きさが既知である確定的モデルと, 不確定な需要を考慮する確率的モデルに分類できる. 確定的モデルには, 需要量が一定の静的モデルと, 需要量が既知だが一定とは限らない動的モデルがあり, 静的モデルの例としては[[経済発注量モデル]]が, 動的モデルの例としては[[動的ロットサイズ決定問題]]が有名である. [[sS方策|(s, S)方策]] (<math>(s, S)\, </math>方策) は確率モデルに対する発注方策の一つである.

;'''計画期間'''　:有限期間モデルと無限期間モデルがあり, 前者はさらに1期間モデルと多期間モデルに分類できる. ほとんどのモデルは多期間モデルもしくは無限期間モデルであるが, [[新聞売り子問題]]のように1期のみを考慮するモデルもある.

;'''費用'''　:平均的な費用で議論する場合と, 価値の割引を考慮する場合がある.

;'''品切れ'''　:許さない場合と許す場合に分けられる. 品切れを許す場合, 品切れになった際に, <math>{i)}\, </math>その需要が失われる, すなわちロストセールス (lost-sales) と, <math>{ii)}\, </math>バックオーダー (backorder) になる場合に分けられる.

;'''リードタイム'''　:即納を想定して考慮しない場合と考慮する場合があり, 考慮する場合は, リードタイムが既知で一定とするのが一般的であるが, リードタイムを確率変数とする場合もある.

;'''在庫品の変化'''　:一般に貯えられている在庫品の変化は考慮しないことが多いが, 陳腐化(コンピュータ)や品質の劣化・低下(血液), 腐敗(生鮮食料品)などのように寿命を考慮する必要がある場合もある.

;'''在庫の調査間隔'''　:在庫の調査間隔の観点からは, 在庫量を常時観測する連続在庫調査(continuous review)と, 一定の間隔で観測する定期的在庫調査(periodic review)に分類できる.

;'''発注間隔と発注量'''　:一般に, 在庫問題では, 発注間隔あるいは発注量を決めれば在庫管理の政策が決定する. しかし, 両者を同時に制御対象とすると問題が複雑になるので, 片方を一定量として問題を単純化する. その際に, どちらを一定量として扱うかによって, 発注間隔を一定にする[[定期発注方策|定期発注方式]]と, 発注量を一定にする定量発注方式に分類できる.

'''在庫モデルの分析方法'''

　在庫モデルを分析する方法としては, 以下のようなアプローチがある.

;'''解析的方法'''　:各種要素の関係を数式によって表現し, 解析的に最適な解を求める. 経済発注量モデルに対する最適発注量(最適発注間隔)の求め方は, 解析的方法の典型である.

;'''数理計画・最適化'''　:最適化問題として定式化し, 数理計画の技法を用いる. 動的ロットサイズ決定問題に対する動的計画法によるアプローチはこの例.

;'''待ち行列'''　:分析対象のシステムを待ち行列モデルとしてとらえ, 待ち行列モデルに対する解析手法を用いて分析する. かんばん方式は, 待ち行列システムとして表現可能である.

;'''数値的方法'''　:計算機上の数値計算によって在庫量の分布を求める.

;'''シミュレーション'''　:シミュレーションによって分析する.

'''生産管理方式と在庫管理'''

　[[MRP]]は, 需要の従属性, すなわち製造活動の下流側で必要とする製品を生産するのに要する部品の量や時間に着目し, 部品の補充計画を立案するものである. 具体的には, 生産指示から製品が完成するまではリードタイムだけの時間が必要であるが, 将来の需要を予測しリードタイムを考慮した上で各工程に対する生産指示を行う. 各工程で必要な部品は, この生産指示にしたがって必要なときに供給されるので, 需要の予測に誤差がなく生産指示に変更がない限り, 在庫量を極力低くすることができる. そして, 各工程は上流工程からのものの流れにちょうど間に合うように部品供給がされるため, 遅滞無く加工を行い下流工程にものを流すことができ, 上流側から下流側へものを押し流して行くため, [[押し出し型システム]]に分類することができる. 部品の供給量の決定には, 動的ロットサイズ決定問題に対する方法が用いられる.

　[[JIT]]の代表例であるかんばん方式は, 「平準化」という枠組を前提に在庫の削減を実現している. また, 需要に直接的に喚起された生産指示をものの流れと逆に伝え, 需要をあらかじめ予測することなく生産指示を下流側から上流側へ伝えていくため, 引っ張り型システムとみなすことができる. かんばん方式を想定した多段の生産在庫モデルで, 各段におけるかんばん枚数やコンテナサイズの影響の分析, 品切れ確率を分析するために, 待ち行列モデルを用いることが多い.

----
'''参考文献'''

[1] W. J. Hopp and M. L. Spearman, ''Factory Physics: Foundations of Manufacturing Management'', Irwin, 1996.

[2] H. L. Lee and S. Nahmias, "Single-Product, Single-Location Models," in ''Logistics of Production and Inventory'', S. C. Graves, A. H. G. Rinnooy Kan and P. H. Zipkin, eds., North-Holland, 1993.

[3] E. A. Silver, D. F. Pyke and R. Peterson, ''Inventory Management and Production Planning and Scheduling'', Third Edition, John Wiley & Sons, 1998.

[4] 圓川隆夫, 伊藤謙治,『生産マネジメントの手法』, 朝倉書店, 1996.

[5] 黒田充, 田部勉, 圓川隆夫, 中根甚一郎, 『生産管理』, 朝倉書店, 1989.

[6] 児玉正憲, 『生産・在庫管理システムの基礎』, 九州大学出版会, 1996.

[7] 玉木欽也, 『戦略的生産システム』, 白桃書房, 1996.

[8] 水野幸男, 『在庫管理入門』, 日科技連出版, 1974.

[9] 日本生産管理学会編,『生産管理ハンドブック』, 日刊工業新聞社, 1999.

《ラインバランシング》

2007-07-19T05:14:32Z

122.17.2.240:

'''【らいんばらんしんぐ (line balancing) 】'''

1. 概観

　ラインバランスは本来生産ラインのワークステーション間での能力あるいは負荷の均等化を意味しており, 機械加工ラインと組立ラインの双方に望まれる特性として考えられてきた. しかし, その方法は両者の間で隔たりがあり, 機械加工の場合は機械の加工速度の差が問題になることが多く, 操業時間の調整や工程間在庫の保有によって, 組立作業の場合は作業の分割, 組合せ, 改善などによって均衡をはかっていた.

　1950年代に入ってORが生産の様々な問題に適用され始めると, 組立作業を対象としたラインバランスの問題に組合せ最適化の観点から関心が示されるようになり, "[[組立ラインのバランシング]] (assembly line balancing)"と呼ばれ, 数理的な解析が試みられた. やがて多品種少量生産時代の訪れとともに, [[混合品種組立ライン]]や[[品種切替組立ライン]]が一般化し, それらを対象とした問題である"混合品種組立ラインのバランシング"や"品種切替組立ラインのバランシング"が取り上げられて研究されるようになった. 同時に混合品種組立ラインに流す品種の順序づけ問題である"[[混合品種の順序付け|混合品種の順序づけ]]"が注目され, 特に自動車産業においては実務上の必要からその解法が各企業で考案され, 利用されるようになった.

　また, 組立ての自動化につれて, 組立用ロボットを多用した組立ラインのための最適設計を意図した[[ラインバランシング]]のモデルが研究されたり, プリント基板組立ラインのインサートマシンへの作業配分や順序づけを行うシステムが開発されている. 近年には, 半導体のウェファ製造職場を対象としたライン設計と運用の方式である[[セルラインシステム]]がラインバランシングの考え方に基づいて開発されつつある.

2. ラインバランシングのモデル

　ラインバランシングの最初の精密なモデルは単一品種組立ラインを対象として構築された. これは1個の製品の組立てに必要な作業を合理性を失わない程度に分割して求めた <math>m\, </math> 個の作業要素を定義することが基本になっている. 次に潜在的な組立順序を示す作業要素間の先行関係を与える (図1参照).

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0167-C-B-01-kiso-zu.png|center|図1：先行順位図]]</td></tr>
<td align=center><br>図1：先行順位図</td></table></center>

　この二つの手続きを経て, ラインバランシング問題は以下に述べる制約の下で <math>m\, </math> 個の作業要素を <math>n\, </math> 個のワークステーションに配分する問題として定式化できる. ただし, ワークステーション数 <math>n\, </math> は配分の結果として求められるものであり, <math>n\, </math> が最小になる配分を望ましいと考える.

'''制約(1)'''　作業要素の先行関係と作業要素が割り付けられるワークステーションの前後関係が矛盾しない.

'''制約(2)'''　それぞれのワークステーションに割り付けられた作業要素の実施に要する標準時間である要素時間の合計が, 指定された時間であるサイクル時間 <math>c\, </math> を超過しない.

'''制約(3)'''　ある作業要素を特定のワークステーションに割り付ける "固定設備の制約", 2つ以上の作業要素を同一のワークステーションに割り付ける"グループ化の制約" など生産ライン特有の様々な付加的制約を満たす.

　いま, 作業要素 <math>i\, </math> の要素時間を <math>e_i\, </math>, ワークステーション <math>k\, </math> に割り付けられた作業要素の集合を <math>S(k)\, </math>, サイクル時間を <math>c\, </math> で表すと, 制約(2)は次式によって示すことができる.

<center>
<math>
\sum_{i \in S(k)}{e_i} \le {c}, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

(1)式の左辺を作業時間と呼び, <math>t_k\, </math> で表す. また, サイクル時間と作業時間の差を遊び時間と呼び, <math>d_k\, </math> で表すと, それらの関係は次式によって示される.

<center>
<math>
d_k = c - t_k, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

ラインバランシングにおいては, 通常, 作業時間の加法性が仮定され, 1個の製品の組立に要する総作業時間 <math>T_w\, </math> は次式で与えられると考える.

<center>
<math>
T_w = \sum_{i = 1}^m e_i
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

目的関数はワークステーション数の最小化に等しく, これは組立ラインで生じる遊び時間の最小化として表すことができ, 次の評価尺度が用いられる.

<center>
<math>
BD = \frac{\sum_{k = 1}^n {(c - t_k)}}{nc} \times 100 = \frac{nc -
T_w}{nc} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

これはバランスロスと呼ばれ, 次に示す編成効率 <math>E\, </math> の最大化に等しい.

<center>
<math>
E = \frac{T_w}{nc} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

3. 混合品種組立てへの拡張

　前述のラインバランシングの方法を混合品種組立ラインに適用する効率の良い方法は, 対象にするすべての品種を同時に考慮するもので, そのためには統合先行順位図を用いる必要がある. これは, 品種別の先行順位図に含まれる品種間で共通の作業要素を各先行順位図が共有するように描いて作られる.

　さらに, 混合品種組立の場合は各品種の生産量を考慮する必要があるので, ラインバランシングを計画期間における各ワークステーションの作業負荷を均等化する問題に置き換える. いま, <math>N\, </math> 品種の製品をある計画期間中に <math>f_j(j=1,2,\ldots ,N)\, </math> 個生産するものとする. <math>N\, </math> 品種の組立に必要な作業要素の総数を <math>m\, </math>, それぞれの要素時間を <math>e_i\, </math> で表す. 作業要素 <math>i\, </math> と品種 <math>j\, </math> の関係をクロネッカーのデルタで示し, 作業要素 <math>i\, </math> が品種 <math>j\, </math> の組立に必要な場合は1, 不要な場合は0をとるように定めておく.

　作業要素 <math>i\, </math> が割り付けられたとき, そのワークステーションには計画期間 <math>T\, </math> 中に次式で与えられる作業負荷がかかる.

<center>
<math>
L_i = \sum_{j=1}^{N}f_j\delta_{ij}e_i, \ \ \ i = 1, 2, \ldots , m
\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math>
</center>

したがって, 混合品種組立ての場合, (1)式に替えて次式により作業負荷の均衡をはかる.

<center>
<math>
\sum_{i \in S(k)}L_i \le T, \ \ \ k = 1, 2, \ldots , n
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

また, <math>T = c \sum_j f_j \, </math> であるから編成効率は次式によって表わせる.

<center>
<math>
E = \frac{\sum_i L_i}{nc \sum_j f_j} \times 100 = \frac{\sum_i
L_i}{nT} \times 100
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

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'''参考文献'''

[1] 黒田充, 『ラインバランシングとその応用』, 日刊工業新聞社, 1984.

[2] T.O. Prenting and N.C. Thomopoulos, ''Humanism and Technology in Assembly Line Systems'', Spartan Books, 1974.

《企業価値評価》

2007-07-19T05:12:55Z

122.17.2.240:

'''【きぎょうかちひょうか (valuation) 】'''

　企業や市場では, さまざまな金融資産や実物資産が取引されており, その取引に関して取引をするかしないか, 取引を行うとすればどういう条件で, どういうタイミングでするか, また既に取引を行っているとすれば取引を継続するかしないか, 条件を変更するかなどの意思決定が行われる. それらの取引において優れた意思決定を行う前提条件となるのが, 資産価値およびその決定要因を知ることである. 特に株式や債券の取引, 企業自体あるいは企業資産の取引などでは, 企業価値およびその決定要因に焦点があてられる.

　一般に, [[企業価値評価]]のためのアプローチは3つのタイプに大別できる.

　第1のアプローチは, 企業あるいは企業が所有する資産が生み出す将来の[[フリーキャッシュフロー]]を, そのリスクを反映する割引率で現在価値に割り引くことによって, 企業価値あるいは企業資産の価値を推計する方法である. この割引キャッシュフロー法には2通りの方法がある. 1つは, 株主資本に対する期待キャッシュフロー(営業費用, 税金, 利息および元本を支払った後の残余キャッシュフロー)を推計し, それを株主資本コスト(株主の要求する最低限のリターン)で割り引くことにより, 株主資本の価値を推計する方法である. 配当割引モデルはこの方法の1つと見なすことができる. もう1つは, 株主に加え債権者などの財務請求権者を含む企業全体の期待フリーキャッシュフローに基づいて企業価値を推計する方法である. この方法は, 負債の利用などによって生じる価値の推計方法の違いから2通りに分けられる. 1つは[[加重平均資本コスト]](WACC)法で, 企業全体の期待フリーキャッシュフローを, [[資本構成]]を考慮した加重平均資本コストで割り引くことによって, 企業価値を推計する方法である. この方法では, 負債の利用などによって生じる価値は分母の資本コストで調整される. もう1つが, 全額株主資本である場合に生み出される価値と負債の利用などによって生じる価値を分離して推計し, それらを加えることによって企業価値を求める[[APV法|修正現在価値(APV)法]]である. APV法の場合には, 前者が株主資本コストで割り引かれ, 後者が無危険利子率で割り引かれることに注意しなければならない.

　第2のアプローチは, 利益, フリーキャッシュフロー, 純資産簿価および収益などの変数と資産価値との関係を表す乗数を用いて, 資産価値を相対的に評価する乗数法である. このアプローチの代表的な例として, 株価収益率(PER), 株価フリーキャッシュフロー比率(PCFR), 純資産倍率(PBR)などの乗数の産業平均を用いて企業価値を推計する方法が挙げられる. この場合には, 評価対象になっている企業とその産業に属する他の企業とが比較可能であり, 市場がこれらの企業を平均的に適切に評価していることが前提になっている. こうした前提条件が満たされている限り, このアプローチを用いると比較的簡単に企業および資産価値を推計することができる. 逆に, 比較可能性が確保されていないときや, 市場が類似の属性を持つ企業を過大評価あるいは過小評価しているときには, 誤った推計をしてしまう.

　第3のアプローチは, オプションとしての特性を持つ資産に対して, オプション評価モデルを用いてその価値を推計するアプローチである. オプションとしての特性を持つ資産は, 金融オプションやワラントなどの証券だけではない. たとえば株式は, 負債の額面価額を行使価格とし, 負債の返済期限を満期とする, 企業価値に対するコールオプションと見なすことができる. また特許権は製品に対するコールオプションとして分析することができる. このほか, 投資プロジェクトの評価においては, プロジェクトの延期, 規模の拡張や縮小, 一時停止や再開, 中止などの柔軟性をアメリカン・オプションとみなし, その実行をオプションの行使と捉えて, その価値を評価するアプローチが提案されている. オプションは, 原資産の現在価値およびその分散, 行使価格, 満期および無危険利子率という変数の関数として評価される. そのため, これらの変数の値がわかれば, 二項モデルやBlack \& Scholesの公式を利用して, 資産価値を推計できる. しかし, 市場で取り引きされていない資産に対するオプションに, このアプローチを適用することには限界があり, 推計しても誤差が大きくなると考えられる.

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'''参考文献'''

[1] A. Damodaran, ''Applied Corporate Finance'', John Wiley & Sons, 1999.

[2] T. Copeland, T. Koller and J. Murin, ''Valuation'', John Wiley & Sons,1996.伊藤邦雄訳『企業評価と戦略経営』, 日本経済新聞社, 1993.

[3] D. R. Emery and J. D. Finnerty, ''Corporate Financial Management'', Prentice-Hall, 1997.

[4] L. Trigerorgis, ''Real Options'', The MIT Press, 1996.

[5] 古川浩一, 蜂谷豊彦, 中里宗敬, 今井潤一, 『基礎からのコーポレートファイナンス』, 中央経済社, 1999.

[6] 古川浩一, 『財務管理』, 放送大学教育振興会, 1996.

[7] 諸井勝之助, 『経営財務講義(第2版)』, 東京大学出版会, 1989.

[8] 津村英文, 若杉敬明, 榊原茂樹, 青山護, 『証券投資論』, 日本経済新聞社, 1991.

《間接費管理》

2007-07-19T05:10:53Z

122.17.2.240:

'''【かんせつひかんり (overhead costs management) 】'''

　コスト(costs)は, 「あるもの」のために発生する. 例えば, 組織やそれを構成する人間あるいは組織が提供するサービスのために発生する. さらに工場で生産する製品や, 製品を生産するアクティビティ(activities)のためにも発生する. この「あるもの」をコスト計算対象(cost objectives)と言い, コストを計算する. コスト計算対象を工場が作り出す製品と仮定すると, 製品のコストは表1のように分類され, 計算される.

<center>表１：製品のコスト・利益・価格<br>
<table><tr><td align=center>[[画像:sk-0157-c-j-07-1.png]]</td></tr>
<td align=center><br>[[スタイル検討#間接費管理 (0157-c-j-07-1)|スタイル検討]]</td></table></center>



　ここで, 直接費(direct costs)は, コスト計算対象のために消費した資源を正確に把握することができ, したがって, コスト計算対象に直接跡づけることができるコストである. これに対し, [[間接費]](overhead costs)は, 個々のコスト計算対象のために消費した資源を正確に把握できず, 換言すると, コスト計算対象にコストを直接的に認識・集計できない, あるいは認識・集計することに意味を持たないコストである.

　間接費は, コスト計算対象にもよるが, 組織の階層に沿って分類すると, 例えば, 本社費, 事業部共通費, 工場の製造間接費, 販売費, 管理費, 一般管理費, 物流コスト, 研究開発費および連結原価などをあげることができる.

　こうした[[間接費管理|間接費の管理]](overhead costs management)が重要視されるようになったのは, 1885年頃からである. それ以前は, 製造コストは, 素価(直接材料費と直接労務費)のみから構成されており, それ以外の製造コストは, 利益の中に含まれていたのである. しかし, 1885年以降, 製造間接費が製造コストの一部となると, コスト計算のうちで, 製造間接費が最も重要なコスト項目となり, このコストの配分と管理が益々重要視されるようになった.

　20世紀に入ると, 公平かつ公正な製造間接費の配賦基準として直接作業時間, 生産量, 材料消費量, 床面積, 設備の価値, 作業員の人数などを用い, 間接費の配賦と管理をするようになった. さらに, 標準原価計算も導入されるようになり, 予算差異や能率差異から成る変動製造間接費差異, さらに予算差異と能率差異と操業度差異から成る固定製造間接費差異を駆使し, 製造間接費の管理をするようになった. 1960年代に入ると, 行列等を用い計量的に洗練したモデル構築を試み, 間接費を管理しようとする研究もなされた.

　ところが1980年代にはいるとFAやCIMなどに代表されるように, 生産現場の環境が一変し, 製造コストに占める間接費の割合が急激に増加した. その結果, 伝統的な間接費管理の手法では, 製品やサービスなどのアウトプットについて正しいコストを計算し, 原価管理や経営意思決定などの経営管理を支援することが出来なくなった.

　そこで最近注目されているのが[[活動基準原価計算]](activity-based costing)である. 活動基準原価計算は, 伝統的コスト計算における製造間接費の配賦に関する恣意性を排除する目的で, 1980年代の後半に開発されたコスト計算システムである. 具体的には, 製品やサービスの生産ないし提供に用いるアクティビティを認識し, [[資源作用因]](resource drivers)を利用して各アクティビティ別に製造間接費を計算し, コストプールに集計する. さらに集計したコスト・プールの製造間接費を, アクティビティの量を計量的に表す[[原価作用因]](cost drivers:コスト・ドライバー)ないし[[活動作用因]](activity drivers:アクティビティ・ドライバー)に基づき各製品やサービスに配分し, コストを計算するシステムである. 現在の活動基準原価計算は, 正確な製品コストの計算のみならず, 原価管理, 業績評価, 顧客の利益性分析, 予算管理, 意思決定, [[活動分析]](activity analysis)など, 様々な経営問題を解決する手法に発展している.

《経営戦略》

2007-07-19T05:09:37Z

122.17.2.240:

'''【けいえいせんりゃく (management strategy) 】'''

　経営戦略の概念は事業レベルの競争を論じる「[[事業戦略]]」と事業のポートフォリオをマネージする「[[企業戦略]]」とに分かれる. 現代の経営戦略理論では, 超過利益を生み出す源泉としての競争優位性は, 究極的には2種類あると考えられている. すなわち, 「産業構造と自らの事業の産業内ポジションに起因するマーケットパワーによる優位性」と, 「自社の持つユニークな資源(天然資源や特殊な能力等)による優位性」であり, 現実の競争優位性(経済学の「比較優位性」概念とは異なる)はこの2種類のミックスによって実現されている.

[産業構造にもとづく超過利益]

　産業構造を分析するツールの基本は, ポーターの[[5フォースモデル|5フォース・モデル]]であるが, これによると, 超過利益を上げるために企業が取るべき戦略の基本は, 「望ましい産業」に参入するか, 自らの産業構造を操作して「望ましい産業」に変化させておいて, その中で「優位なポジション」を取ることである.

(1) 支配的市場シェア: 実証分析により, 集中度が高いほど産業全体の収益性が高く, また市場シェアが高いほど収益性が高いことが示されているので, 一般論としては支配的市場シェアを実現すれば, 高い収益性を享受できる. 例えば, GEが業界で1位ないし2位の事業のみに集中しているのはまさにこの原則に従っているのであり, また, Yahoo!のように全く新しい産業を生み出せば, しばらくの間は独占状態を実現でき, 高い収益性 (創業者利益) を享受できる.

(2) クリティカルマス: 技術等の理由で「規模の経済」が働く産業においては, 当該事業で損失を被らないための最小規模が存在し, クリティカルマスと呼ばれる. この最小経済規模が市場規模の半分以上である場合には, 当該市場に一つの企業しか存在し得ず, 「自然独占」と呼ばれる. 例えば1990年代初めにはイギリスの衛星テレビ市場にBSBとSkyとの二つの企業が存在したが, 当時の市場規模と技術からは二社とも利益を出せる可能性はなく, 1992年に両事業を合併してBSkyBとなった. ただし, 技術の変化により, クリティカルマスは大きくなったり小さくなったりする. 例えば, 鉄鋼ではミニミルの出現によりクリティカルマスは小さくなったが, 他方, メモリーチップ・乗用車・旅客機等のクリティカルマスは大きくなりつつある.

(3) ネットワーク効果: 財やサービスの種類によっては, 供給者のネットワークの大きさが需要者の利便性に大きな影響を与える場合がある. 例えば, エアラインでは世界の主要都市をスムーズにカバーできるネットワークが競争優位性を与えるため, ワンワールドやスターアライアンス等のアライアンスが成立した. また, ある財またはサービスを使用するときに補完的な財・サービスが存在するときにも, より大きな設置基盤を持った企業が有利となるネットワーク効果が働くことがある. 例えば, ビデオデッキにおいてレンタルビデオが補完サービスとなり, レンタルビデオの開拓に力を入れたVHS規格がベータ規格を事実上席巻してしまった.

(4) バリューチェインマネジメント: 自社の産業の最終顧客に至るまでのバリューチェインの詳細な分析により, 川上や川下への垂直統合やアウトソースの可能性を考察できる. たとえば, ナイキは製品企画・設計・流通・マーケティングのみを行い, 生産はアウトソースしている. また, 自社の顧客の顧客にソリューションを提供することにより, コモディティー製品も差別化することが可能である. たとえば, 業務用タオル製造業のミリケンは, 顧客であるタオルレンタル会社のために業務サービスも提供し, タオルレンタル企業のコスト競争力を高めることによって差別化に成功している.

(5) 弱小者の戦略: 産業構造に依存する戦略の議論では, 一般的にサイズが参入障壁の重要な部分を占めているため, 弱小者にとっては余り競争の余地はないような印象を与えがちであるが, 産業内分析により, 既存の競合によって埋められていないセグメントを狙ったり, 新しいKFS (key factors for success) を作り出すことにより, 弱小者にも戦う余地があるのが普通である. 例えば, 乾式コピー機においては, キャノンはゼロックスによって供給されていなかった中企業市場をターゲットとして参入し, その後はさらに安価な小企業・SOHO・家庭をターゲットとしたモデルで, 世界最大のシェアを獲得した. また, 日用品のように「顧客回転率」の高い財・サービスにおいては, 弱小者も短期間の内にポジションを築く例がしばしば見られる.

[ユニークな資源に基づく超過利益]

　今ひとつの競争優位性の源泉はユニークな資源であるが, 天然資源は使用とともに減少するが, 組織能力の場合にも時間とともに優位性は減価する. すなわち, 競合によってコピーされたり, 新しい技術の出現や社会の嗜好・価値観の変化により, 利益の源泉としての優位性が相対的に減少する. したがって, 特に特殊な能力による優位性から長期にわたる収益性を享受するためには, 長期的な目標に向けての絶え間のない能力の向上が不可欠となる. 一方, 弱小の地位にある企業も「[[戦略意志]]」を持って能力を蓄積することにより, ポジションを築くことができる. 特殊な能力に基づく優位性のダイナミックスは短期的には観測しにくいだけに, 長期的には競争関係に重要なインパクトを与え得る. また, 特殊な能力は多くの場合「[[組織学習]]」に依存しているため, 優位にある競争者が, 絶え間ない能力向上を続けている限り, 劣位にある企業がこれに追いつくのは容易ではない.

(1) 低コスト: 多くの財において, 単位時間当たりの概念である「規模の経済」とは別に, 累積生産量に応じて生産コストの低下することが観察されている. この現象は「学習曲線」または「経験曲線」として知られており, 経験を通じた学習の蓄積が, 生産性や品質の向上・コスト低下に貢献すると考えられている. また, ファーストムーバーアドバンテイジには創業者利益(上記)に当たる部分もあるが, 先行した学習の蓄積による優位性も少なくない. トヨタのコスト・品質優位性の源泉は, 絶え間のない実験と豊富な経験量にある.

(2) 高度の管理: 宇宙航空産業のような大規模プロジェクトの管理において, 米国企業は圧倒的な優位性を持っているが, このような管理能力は要素に分解して修得するのが容易でないため, 追随が難しい. また, 日本の品実管理を参考にしたといわれるモトローラのシックスシグマも高品質と低コストの実現を通じて, 競争優位性に寄与している.

(3) 差別化: 差別化は意図的に市場に非効率性を導入する手法であるが, 従来は, 研究開発(品機能の差別化)と広告宣伝(顧客のもつイメージの差別化)との二つの方法があると考えられていて, 差別化の成功は企業の能力に依存するところが大きい. 最近は総合的なブランドマネジメント能力が問われるようになってきた. 1990年代までのコカコーラは, ブランドマネジメントが世界一巧みな企業とされていた. さらに, 差別化の一形態である「定評」は, トライアルコストが大きい財・サービス(例えば, 住宅や整形手術等においては, 劣った財やサービス購入による失敗のコストが非常に大きい)においては特に重要な競争優位性となる.

(4) 特殊なビジネスプロセス: 幾つかの企業は, 特殊なビジネスプロセスに優れた能力を持って業績を上げている. 例えば, ハンソンはローテク成熟産業に属する効率的に経営されていない古い企業を買収し, 自社から経営陣を送り込んで企業価値を増加させることを得意としてきた(これは1980年代以降に流行している, 買収した多事業企業を分割売却して利益を上げる手法とは全く異なる). また, カルフールは, 予めハイパーマーケット立地予定地の周辺も買収し, 自身のハイパーマーケットの開店により周辺のトラフィックを増加させておいて, 周辺不動産を売却または賃貸するという, 大規模小売店とディベロップメントを組み合わせたオペレーションを得意としている.

(5) 多国籍企業のマネジメント: 事業を多国籍に展開して成功するためには, グローバルなオペレーションの効率, 地域市場の特殊性への適応性, ある地域で生まれた業務知識・ノウハウ等の他地域への素早い伝搬の3つの相反する要求を同時に満たさねばならない. このような経営能力を持つ企業は「トランスナショナル企業」と呼ばれ, ABBがその代表例とされた.

(6) 多事業企業のマネジメント: 多角化して多事業をもつ企業のマネジメントは, 事業戦略とは別の企業戦略を必要とする. 1960年代までは, 多事業を持つ企業はリスク分散と事業間のシナジーを実現できると考えられていて, 市場成長率の変化と市場シェアによって決定されるキャッシュフローをキーに事業ポートフォリオを管理しようとするPPMが生まれた. ところが, 70年代以降の実証研究の結果, 多事業企業が好業績をあげるのは事業展開の仕方に一定の制約がある場合に限られることが示され, さらに90年代になって, ある企業がもつ経営能力は限られているので, 企業はコア事業にのみ特化することが好業績を生むという考え方が主流となってきた. したがって, 余剰資金を配当せずにコア事業以外の事業に投資する場合には, 株主との利害関係の衝突の可能性がある. また, 複数事業間の資金移動によるクロス補助は, 独占禁止法(プリデーション)に抵触する可能性がある.

----

'''参考文献'''

[1] R. M. Grant, ''Contemporary Strategy Analysis'' (2nd ed), Blackwell, 1995.

[2] D. Besanko, D. Dranove and M. Stanley, ''Economics of Strategy'', John Wiley & Sons, 1996.

《センサーの探知論》

2007-07-19T05:08:38Z

122.17.2.240:

'''【せんさーのたんちろん(detection theory of sensor)】'''

　探索者は[[センサー]]によって目標物の存在を検出するが, [[探索理論]]が扱う[[探知探索]]では, 目標物の位置情報(方位及び/又は距離)を与えるセンサーが用いられる. センサーには見逃し(第1種の過誤)と[[虚探知]](false contact)(第2種の過誤)が避けられないが, [[センサーの探知論]]では主に前者を問題にする.

　目標物,環境,センサーの条件に対してセンサーの探知能力が定まるが, センサーから同一距離にある目標物でも, 信号の短周期の変動や人間の見逃しのために探知は確率現象となる. ゆえにセンサーの瞬間的な探知能力は[[距離対探知確率曲線]] (detection probability versus range curve) <math>b(r)\, </math> で表わされる. 通常,目標物の近傍では目標信号が強いので探知確率は高く, 遠方では低下する. またセンサーによる目標空間の走査は, 時間的に連続的な場合と離散的な場合があり, それによって探知確率 <math>b(r)\, </math> の表現が異なる. 即ち連続的な場合は探知確率密度(瞬間探知率), 離散的な場合は1回のべっ見の探知確率(べっ見探知確率) で表わされる. センサーの距離対探知確率はこれらの総称である. また距離対探知確率関数を[[発見法則]](detection law)と呼ぶことがある. [[定距離発見法則]](definite range law) [1] は, 探知レンジ <math>R\, </math> 以内では確率 <math>p_0\, </math> で探知し (<math>p_0 = 1\, </math>(完全定距離法則), <math>p_0<1\, </math> (不完全定距離法則)), <math>R\, </math> 外では探知しない場合, また瞬間探知率の一般的な[[逆n乗発見法則]](inverse <math>n\, </math>th power detection law) [2] は, <math>b(r)\Delta t=(k/r)^n \Delta t\, </math> で与えられる. 目視探索ではこの式の <math>n = 3\, </math> の場合(逆3乗法則)が用いられ, また <math>n \to \infty\, </math> の場合, 完全定距離法則になる. ただし発見法則という術語は, マクロな探索努力配分問題では目標空間上のある点(又は地域)に目標物がいるとき, この点の探索努力密度と目標探知確率の関係:条件付き探知関数を指し(例えば指数型発見法則), この場合は距離の概念を含まない. またセンサーの探知レンジの尺度である[[有効探知距離]](effective detection range)は, 上述の距離対探知確率曲線下の面積(図形の尺度係数)である. ただし長レンジのセンサーでは, 目標空間の期待探索面積と等しい面積をもつ定距離センサーの探知レンジ <math>R\, </math> で有効探知距離を定義する場合がある.

　上述した距離対探知確率及び有効探知距離は, センサーと目標物の距離が <math>r\, </math> のときの瞬間的な探知能力であるが, 通常の探索では目標物や探索者は動き廻り相対距離は時々刻々変化する. 2次元空間で探索者から見た時点 <math>t\, </math> の目標位置を <math>(x(t),y(t))\, </math>, センサーの発見法則を <math>b(r), r:\, </math> 相対距離, とすれば, 相対径路 <math>C = {(x(t),y(t)),t_1 \leq t \leq t_n}\, </math> 上を動く目標物の探知確率 <math>P(C)\, </math> は, 各時点の探知の独立性を仮定すれば次式で表される.

<center>
<table><tr><td><math>
P(C) \, </math></td>
<td><math>= 1 - \exp \left( \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b
\left( \sqrt{ x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right) \right\} \right),
\, </math>離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= 1 - \exp \left(- \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{ x(t)^2+y(t)^2} \right)
{\mbox{d}}t \right),
\, </math>連続時間探索</td></table>
</center>

上式の指数のべきを[[探知ポテンシャル]](sighting potential) <math>F(C)\, </math> という.

<center>
<table><tr><td><math>
F(C) \, </math></td>
<td><math>= - \sum_{i=1}^n \log \left\{ 1-b \left( \sqrt{x(t_i)^2+y(t_i)^2} \right)
\right\},
\, </math>　離散時点探索</td></tr>
<td></td>
<td><math>
= \int_{t_1}^{t_n} b \left( \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} \right) {\mbox{d}}t,
\, </math>　連続時間探索</td></table>
</center>

従って走査の連続性に関係なく, <math>P(C) =1- \exp (- F(C))\, </math> と書くことができる. また相対径路 <math>C\, </math> が <math>C_1,C_2\, </math> からなる場合, 上式から <math>F(C)=F(C_1)+F(C_2)\, </math> となり, 探知ポテンシャルは加法性が成り立つ. これを用いて多数の折線からなる径路上の探知や,複数の探索者による総合的な目標探知確率が求められる.

　通常, センサーの探知可能距離は探索径路長に比して小さく, また目標物と探索者の変針変速は頻繁ではない. ゆえに1回の遭遇の有効(探知可能)な相対径路を直線と見なし, 横距離(最近接点距離) <math>x\, </math> を通る(無限)直線径路上を相対速度 <math>w\, </math> で通過する目標物を考え, その目標物に対する探知確率 <math>PL(x)\, </math> を[[横距離探知確率曲線|横距離探知確率又は横距離曲線]](lateral range curve)と呼ぶ. また横距離曲線下の面積(図形の尺度係数)を[[有効探索幅]](effective sweep width)という.

　長レンジのセンサーでは1回の有効な遭遇径路が長いので, 目標物や探索者の変針変速やセンサーの寿命切れ, 探索条件の時間変化等のために横距離曲線は適用できない. その場合は目標物の1回の暴露状態(目標条件やその継続時間,針路,速度等)を定義し, 相対距離 <math>r\, </math> の点で暴露状態をとる目標物に対する[[暴露目標探知確率]](exposure detection probability) <math>P(r)\, </math> を考える. またこのときの有効探索幅は <math>P(r)\, </math> に対する完全定距離法則換算の有効探知距離で表す. 前述の距離対探知確率や有効探知距離が瞬間的な探知能力を表すのに対して, 横距離探知確率や有効探索幅, 暴露目標探知確率は,1回の遭遇のセンサー探知能力を示す.

　上述のセンサー探知能力は, 探索の場では必ずしも探索者の探索能力を表さない. 同一センサーを搭載した高速と低速のビークルでは, 高速のビークルの方が探索能力が大きいからである. このように探索者の運動力を考慮した探索システムの能力を示す尺度として, [[有効探索率]](effective sweep rate)が用いられる. この量は探索者が単位時間に目標空間を走査する期待面積で定義される.

　これまではセンサー及び探索システムの能力の定量的表現を述べたが, 探索の濃密さを表す尺度として, [[カバレッジファクター]](coverage factor)が用いられる. この量は探索期間中の目標空間内の延べ探索面積の期待値を, 目標存在領域の面積で除した値で定義される. 即ち目標存在領域を重複なくしらみつぶしに探したとすれば, 何回探したことになるかを表す値である. ここでは探索径路, 目標物の行動等の要因を無視しているので, 特殊な場合を除き探索オペレーションの評価尺度の目標探知確率等と直接結びつけることはできないが, カバレッジ・ファクターが増加すれば目標探知確率は増加する.

　センサーはシステム・ノイズ等のために虚探知が避けられない. この特性は虚探知率で表されるが, これは探知認識の段階で探索者が単位時間(又は1回のべっ見)当りに虚探知を起す確率を示す. センサー工学の分野では信号検知レベルの誤りの確率を誤警報率という. 虚探知のある探索では広域探索によって目標情報(コンタクトという)を得た後, コンタクトの真偽確認のために精査(目標識別という)を行う2段階探索が行われる.

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'''参考文献'''

[1] B. O. Koopman, ''Search and Screening'', OEG Report No.56, 1946.

[2] K. Iida, "Inverse Nth Power Detection Law for Washburn's Lateral Range Curve," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''36''' (1993), 90-101.

《システムの信頼性》

2007-07-19T05:07:08Z

122.17.2.240:

'''【しすてむのしんらいせい (systems reliability) 】'''

　多くの要素(部品, 機器など)から構成されるシステムの場合, システムの信頼度は要素の信頼度により評価される. <math>n\, </math> 個の要素から構成されるシステムにおいて, 要素一個の故障確率を <math>q\, </math> とし要素が一つでも故障するとシステムが故障するとすれば, システムの故障確率 <math>Q\, </math> は <math>Q=1-(1-q)^{n} \simeq qn\, </math> となる. 信頼性の高い部品の開発によって部品一個あたりの故障確率 <math>q\, </math> は小さくなっているが, 一方においてシステムを構成する部品数 <math>n\, </math> がそれ以上に大きくなっているため, システムの故障確率 <math>Q\, </math> は大きくなっているのが現状である. 従って, システムの大規模化に伴い[[システムの信頼性設計]]の必要性が益々増大しているといえる.

　信頼性の観点から[[システム構成 (信頼性の)|システム構成]]を考える場合, システムの状態(正常, 故障)とその構成要素の状態(正常, 故障)との間の論理的関係からシステムが分類される. 要素が一つでも故障するとシステムが故障するとき, そのシステムは直列シテムであるという. 直列システムの場合, 部品 <math>i\,(i=1, 2,\ldots ,n)\, </math> の信頼度を <math>R_{i}(t)\, </math> とすると, システムの信頼度 <math>R_{S}(t)\, </math> は

<center>
<math>
R_{S}(t)= \prod_{i=1}^{n} R_{i}(t) \leq \min_{i} R_{i}(t)
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

となり, システム信頼度は要素信頼度の最小値で抑えられてしまう. これは, 信頼度の低い部品を改善しないとシステムの信頼度は向上しないことを意味し, 底上げがシステム信頼度改善の基本であること示している.

　一方, 要素が全て故障したときのみシステムが故障するとき, そのシステムは並列システムであるという. 並列システムの場合, システムの信頼度は

<center>
<math>
R_{S}(t)= 1- \prod_{i=1}^{n} (1-R_{i}(t)) \geq \max_{i} R_{i}(t)
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

となり, システムの信頼度は要素信頼度の最大値よりも大きくなる. 並列冗長システムは, 同じ機能を持つ部品や機器を2つ以上同時に使用し, そのうち少なくとも一つが故障していなければ機能は維持される並列システムである. <math>n\, </math> 個の機器を並列冗長で使用すると信頼度は必ず改善されるが, 平均寿命は <math>n\, </math> 倍にはならない. これに対し, 待機冗長システムは, 使用機器は一台だけで残りは待機させて, 使用機器が故障すれば待機している機器に切り替えるシステムである. 待機冗長システムの信頼度は, 切替えの信頼度が1ならば並列冗長システムより高くなり, 待機中は故障しないものとすればシステムの平均寿命は <math>n\, </math> 倍となる.

　要素が直列と並列に組合わさって構成されたシステムを直並列システムと言い, 直列構成の部分には (1) 式による信頼度計算を, 並列構成の部分には (2) 式による計算を順次積み上げることによりシステムの信頼度を評価できる. 直並列で表現できないシステムは非直並列システムと言い, システムの信頼度計算は複雑になる.

　一般に, <math>n\, </math> 個の要素から構成されるシステムにおいて, システムの機能(正常, 故障)と構成要素の機能(正常, 故障)の間の関係は構造関数によって表される. <math>C= \{ c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n} \}\, </math> を要素の集合とし, 要素 <math>c_{i}\,(i=1, 2, \ldots ,n)\, </math> とシステムに対し, 次の2値変数を導入する.

<center>
<table>
<tr><td rowspan="2"><math>x_{i}= \left \{
\begin{array}{ll}
1\\
0 \end{array} \right. \, </math></td>
<td>要素<math>c_{i}\, </math>が正常状態にあるとき, </td>
</tr>
<td>要素<math>c_{i}\, </math>が故障状態にあるとき, </td>
</table>

<table><tr><td rowspan="2"><math>z= \left \{
\begin{array}{ll}
1\\
0 \end{array} \right.\, </math></td><td>システムが正常状態にあるとき, </td>
</tr>
<td>システムが故障状態にあるとき. </td></table>
</center>

このとき, <math>z\, </math> は <math>X=(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})\, </math> の2値関数

<center><math>z= \phi(X)\, </math></center>

として表され, システムの構造関数とよばれる. システムの構造関数 <math>\phi(X)\, </math> が次の条件を満たすとき, システムは[[コヒーレントシステム]]であるという.

(1) <math>X \geq Y\, </math> である2つのベクトル <math>X,Y\, </math> に対し, 常に <math>\phi(X) \geq
\phi(Y)\, </math> が成り立つ. 即ち, 関数 <math>\phi(X)\, </math> が単調性を満たす.

(2) <math>\phi(0, 0, \ldots , 0)=0\, </math> および <math>\phi(1, 1, \ldots , 1)=1\, </math> が成り立つ.

　条件 (1) は各要素が正常状態から故障状態に移るとき, システムが逆に故障状態から正常状態に移ることはないことを意味する. 通常のシステムは条件 (1) と (2) を満たしており, コヒーレントシステムの信頼度解析が重要となる.

　コヒーレントシステムにおいて, <math>\phi(X)=1\, </math> を満足するベクトル <math>X\, </math> に対し, <math>Y < X\, </math> である全てのベクトルについて <math>\phi(X)=0\, </math> ならば, ベクトル <math>X\, </math> を極小パスベクトルと言い, <math>X\, </math> の中で <math>x_{i}=1\, </math> である要素 <math>c_{i}\, </math> の集合を極小パスセットという. 極小パスセットはシステムが正常に動作するために, 必要最小限に動作していなければならない要素の集合を意味する.

　システムの極小パスセットを <math>P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{m}\, </math> とし, <math>P_{j}\,(j=1, 2, \ldots , m)\, </math> の要素の2値変数の積を <math>Q_{j}\, </math> とすると, システムの構造関数は

<center>
<math>
\phi(X)= 1-(1-Q_{1})(1-Q_{2}) \cdots (1-Q_{n})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

で与えられる.

　直列システムの極小パスセットは <math>\{c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{n} \}\, </math> で, その構造関数は,

<center>
<math>
\phi(X)=x_{1}x_{2} \cdots x_{n},
\, </math>
</center>

並列システムの極小パスセットは <math>\{c_{1}\}, \{c_{2}\}, \ldots , \{c_{n}\}\, </math> で, その構造関数は,

<center>
<math>
\phi(X)= 1-(1-x_{1})(1-x_{2}) \cdots (1-x_{n})
\, </math>
</center>

となる. 直並列システムの構造関数は, その構造に対応して直列と並列の構造関数を組み合せて求めることもできる. その場合, 各2値変数が重複して現れない関数表現になっているのが特徴である.

　要素 <math>c_{i}\, </math> の信頼度を <math>R_{i}\,(i=1, 2, \ldots ,n)\, </math>, システムの信頼度を <math>R_{S}\, </math> とすると, <math>R_{S}\, </math>は<math>R_{1}, R_{2}, \ldots , R_{n}\, </math> の関数

<center>
<math>
R_{S}=h(R_{1}, R_{2}, \ldots , R_{n})
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

として表すことができる. 構造関数 <math>\phi(X)\, </math> から信頼度関数 <math>h(R_{1}, R_{2}, \ldots , R_{n})\, </math> を求めるには次のような方法がある.

:(1) 極小パスセットを使い, 包除定理, 排反項生成法, Esary-Proschan bound 法などによって, 信頼度の厳密式, 近似式, 上下限式等を求める.

:(2) <math>\phi(X)\, </math> の中で, 重複変数(式中に2度以上現れる変数)に順次ベイズ定理による分解-縮約と, 独立な中間項への分割を繰り返すことによって, 重複変数を含まない関数の確率計算に帰着する.

:(3) <math>\phi(X)\, </math> を一旦積和形に展開し, 0-1変数のべき等則 <math>x_{i}^{r} \rightarrow x_{i} (r \geq 2)\, </math> による簡単化を行う.

:(4) モンテカルロ法を使用して近似値を求める.

　いずれの方法も, 要素の数が増えると関数の長さが指数的に長くなるため, それを減らす努力が中心となる. また, [[ネットワーク信頼性]]を評価する場合は, ネットワークのトポロジカルな情報を使って効率的に計算式を求める方法も与えられている.

　システムの信頼性設計においては, コストや重量など他の制約も考慮して, システムの信頼度を最大にするように, 構成要素の信頼度や冗長度を決定する[[信頼度配分|信頼度分配]]問題を解く必要がある. 複数の制約条件のもとでシステム信頼度を最大化するために, 構成要素の信頼度を決定する問題は非線形実数計画問題, 構成要素の冗長数を決定する問題は非線形整数計画問題, 構成要素の信頼度と冗長数の両方を決定する問題は非線形混合整数計画問題となり, いずれの問題についても厳密解法や近似解法が与えられている.

----

'''参考文献'''

[1] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Mathematical Theory of Reliability'', SIAM, Philadelphia, PA, 1996.

[2] R. E. Barlow and F. Proschan, ''Statistical Theory of Reliability and Life Testing'', To Begin With, c/o Gordon Pledger, 1142 Hornell Drive, Sliver Spring, MD 20904, 1981.

[3] F. A. Tillman, C. H. Hwang and W. Kuo, ''Optimization of Systems Reliability'', Marcel Dekker, 1980.

《故障データ解析》

2007-07-19T05:05:47Z

122.17.2.240:

'''【こしょうでーたかいせき (failure data analysis) 】'''

　システム・製品などの機能が失われた状態を故障という. このときの情報を用いその原因究明を行い再発防止, さらにはより信頼性を高めるために[[故障データ解析]] (failure data analysis) が重要となる. 故障データは大きく[[寿命試験]] (lifetime test) に基づくデータと使用状況下でのデータとに分類される. 前者はさらに目的による分類 (例：[[寿命推定]] (lifetime estimation) に対応する信頼性決定試験, [[寿命検定]] (statistical testing for lifetime) に対応する信頼性適合試験), 試験法による分類 (例：常温寿命試験, 限界試験, 加速寿命試験, 非破壊試験), 開発ステップ別の分類 (例：開発段階・試作段階・生産段階・出荷段階) 等がなされる. 後者は航空機などの巨大システムから耐久消費財まで, 対象物により入手されうる情報が異なるがその機能喪失による影響を十分に考慮し, 信頼性設計・保全性設計および安全性の作り込みに留意する事が大切である.

　故障データの解析にあたり, 要求される機能・使用目的・使われ方・環境条件・保全の方法・要求される稼働時間等の情報が不可欠であり, これらに基づき, その原因究明により再発防止を目的に行う故障解析 (質的解析) と信頼性特性値の把握とその予測 (量的解析) の両者を行うことが重要となる.

　故障データの質的解析においては, ストレス -- 故障メカニズム -- 故障モードの3者の究明が鍵を握る. ストレスに関しては環境条件 (温度・湿度・電界・応力・塩水・標高等), 使用条件 (運転時負荷・運転サイクル・限界負荷等), 使用目的, 流通経路の把握を要する. 代表的な故障メカニズムは腐食・疲労・拡散・マイレーション等がある. 故障モードとは故障状態をその現象から分類したものをいう (例:断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化). これらのデータベース化とその十分な活用が重要である.

　故障データの量的解析にあたっては, 得られる情報が亀裂長や発振周波数のような劣化量・特性値の場合と故障するまで時間 (寿命データ) の場合とに大きく分類される. 一般には劣化量がある閾値に達した時点が寿命データに対応する. 故障のメカニズムに基づき劣化量を解析することが原因究明と寿命予測上, 好ましい. 寿命データに関しては今日まで種々の研究がなされてきた [3] に詳しい).

　寿命データは, 使用開始から故障に至るまでの時間が観測された打ち切りの無い故障データと, 使用開始からまだ故障に至らずに中途で打ち切られたデータ (打切データ) とに大別される. 打ち切りのない故障データのみからなるデータセットを完全データ, 打切データを含むデータセットを不完全データと呼ぶ. 不完全データは, さらに定時打切データ (type I censored data：あらかじめ信頼性試験または観測を終了する時点を定め試験・観測を実施することによりえられるデータで, それまでの故障数および動作時間が確率変数となる)・定数打切データ (type II censored data：総試験片数のうちあらかじめ定められた試験片数が故障する時点で信頼性試験を終了することによりえられるデータで, それまでの各試験片の動作時間が確率変数となる)・多重打切データ (定時打切データにおいて, 異なる打切時点が複数定められている場合に生じるデータ, 例えば試験開始時点が異なるが同時に試験を終了する場合など)・ランダム打切データ(打切時点を確率変数として扱う場合. 複数の故障モードが存在し, それらのうち初めに生じたものにより故障が生ずる場合, 競合リスクモデル, そのデータを競合リスクデータと呼ぶ) とに分類される. また, 半導体などの恒温槽での試験では評価時点までに故障したか否かのみの情報が得られ, その時点までに故障が生じた場合を左側打切データ (left censored data), その時点までは正常である場合を右側打切データ (right censored data) という. これらの種々の打切データの存在が寿命データ解析を難しくし, 今日まで多くの研究がなされてきた.

　寿命分布の推定・検定においては寿命分布型を仮定しないノンパラメトリックな方法, 分布型を仮定するパラメトリックな方法に大きく分類される. また, どのような因子が寿命に影響を与えているかを検討する要因解析を目的とする種々の回帰モデル (比例ハザードモデル・ワイブル回帰モデル等) も提案されている [1]. 信頼性の分野では医学統計と異なり, 一般に指数分布・ワイブル分布・対数正規分布・極値分布などのパラメトリックな扱いが可能である. これにより推定・検定に必要なサンプル数の低減と打ち切りされた後の寿命の予測(外挿)が可能となる. ただし, 対象データを層別すべきか否か, 分布型のあてはめ等の事前解析においてはノンパラメトリックな方法および確率プロット法が有用である. 確率プロット法はデータの視覚化の点で有用である. データの[[確率打点法|打点法]]に際しては, メジアンランク法・平均ランク法などが提案されている [4]. 寿命予測・外挿に関しては, これまでの故障メカニズムが打切時点以降も続くか否かの検討が鍵を握る. この検討なしの予測・外挿には危険を伴う. ノンパラメトリックな方法としては Kaplan & Meier による product limit 推定法, Efron による Self-consistent 法, これらをさらに一般化した Turnbull の方法, および Nelson/阿部の累積ハザード法が有用である [4]. パラメトリックな方法としては先の分布型に基づく最尤法・モーメント法・線形推定法等種々の方法が提案されている [2]. 正規分布論と異なる点は平均や分散などの母数の推定・検定よりは信頼度やパーセント点が重要となる. 検定は尤度比検定が主流であるが, 寿命分布型に応じ種々の方法が提案されている. これらは一般に計算機による数値計算が必要となり, SAS, S-Plus, BMDP など解析ソフトが有用である(例:

http://www.wiley.com/products/subjects/mathematics [3],

http://member.nifty.ne.jp/care/caredown.htm) .

　車などの耐久消費財の場合, 市場からの寿命データは故障データのみが入手され未故障である打ちきりデータは観測されない [5]. また, 故障モードが未知な場合など不完全データの解析が困難な場合が多いが, これらは warranty data としてメーカのdatabase に蓄えられている. この結果系の database と開発・製造における種々の要因系の情報にもとづく解析が有用である.

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'''参考文献'''

[1] D. R. Cox and D. Oakes, ''Analysis of Survival Data'', Chapman and Hall, 1984.

[2] J. F. Lawless, ''Statistical Models and Methods for Lifetime Data'', Wiley, 1982.

[3] Q. M. Meeker and L. A. Escober, ''Statistical Methods for Reliability Data'', Wiley, 1998.

[4] 市田嵩, 鈴木和幸, 『信頼性分布と統計』, 日科技連, 1984.

[5] 真壁肇, 宮村鐵夫, 鈴木和幸, 『信頼性モデルの統計解析』, 共立出版, 1989.

《故障データ解析》

2007-07-19T05:02:15Z

122.17.2.240:

'''【こしょうでーたかいせき (failure data analysis) 】'''

　システム・製品などの機能が失われた状態を故障という. このときの情報を用いその原因究明を行い再発防止, さらにはより信頼性を高めるために[[故障データ解析]] (failure data analysis) が重要となる. 故障データは大きく[[寿命試験]] (lifetime test) に基づくデータと使用状況下でのデータとに分類される. 前者はさらに目的による分類 (例：[[寿命推定]] (lifetime estimation) に対応する信頼性決定試験, [[寿命検定]] (statistical testing for lifetime) に対応する信頼性適合試験), 試験法による分類 (例：常温寿命試験, 限界試験, 加速寿命試験, 非破壊試験), 開発ステップ別の分類 (例：開発段階・試作段階・生産段階・出荷段階) 等がなされる. 後者は航空機などの巨大システムから耐久消費財まで, 対象物により入手されうる情報が異なるがその機能喪失による影響を十分に考慮し, 信頼性設計・保全性設計および安全性の作り込みに留意する事が大切である.

　故障データの解析にあたり, 要求される機能・使用目的・使われ方・環境条件・保全の方法・要求される稼働時間等の情報が不可欠であり, これらに基づき, その原因究明により再発防止を目的に行う故障解析 (質的解析) と信頼性特性値の把握とその予測 (量的解析) の両者を行うことが重要となる.

　故障データの質的解析においては, ストレス -- 故障メカニズム -- 故障モードの3者の究明が鍵を握る. ストレスに関しては環境条件 (温度・湿度・電界・応力・塩水・標高等), 使用条件 (運転時負荷・運転サイクル・限界負荷等), 使用目的, 流通経路の把握を要する. 代表的な故障メカニズムは腐食・疲労・拡散・マイレーション等がある. 故障モードとは故障状態をその現象から分類したものをいう (例:断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化). これらのデータベース化とその十分な活用が重要である.

　故障データの量的解析にあたっては, 得られる情報が亀裂長や発振周波数のような劣化量・特性値の場合と故障するまで時間 (寿命データ) の場合とに大きく分類される. 一般には劣化量がある閾値に達した時点が寿命データに対応する. 故障のメカニズムに基づき劣化量を解析することが原因究明と寿命予測上, 好ましい. 寿命データに関しては今日まで種々の研究がなされてきた [3] に詳しい).

　寿命データは, 使用開始から故障に至るまでの時間が観測された打ち切りの無い故障データと, 使用開始からまだ故障に至らずに中途で打ち切られたデータ (打切データ) とに大別される. 打ち切りのない故障データのみからなるデータセットを完全データ, 打切データを含むデータセットを不完全データと呼ぶ. 不完全データは, さらに定時打切データ (type I censored data：あらかじめ信頼性試験または観測を終了する時点を定め試験・観測を実施することによりえられるデータで, それまでの故障数および動作時間が確率変数となる)・定数打切データ (type II censored data：総試験片数のうちあらかじめ定められた試験片数が故障する時点で信頼性試験を終了することによりえられるデータで, それまでの各試験片の動作時間が確率変数となる)・多重打切データ (定時打切データにおいて, 異なる打切時点が複数定められている場合に生じるデータ, 例えば試験開始時点が異なるが同時に試験を終了する場合など)・ランダム打切データ(打切時点を確率変数として扱う場合. 複数の故障モードが存在し, それらのうち初めに生じたものにより故障が生ずる場合, 競合リスクモデル, そのデータを競合リスクデータと呼ぶ) とに分類される. また, 半導体などの恒温槽での試験では評価時点までに故障したか否かのみの情報が得られ, その時点までに故障が生じた場合を左側打切データ (left censored data), その時点までは正常である場合を右側打切データ (right censored data) という. これらの種々の打切データの存在が寿命データ解析を難しくし, 今日まで多くの研究がなされてきた.

　寿命分布の推定・検定においては寿命分布型を仮定しないノンパラメトリックな方法, 分布型を仮定するパラメトリックな方法に大きく分類される. また, どのような因子が寿命に影響を与えているかを検討する要因解析を目的とする種々の回帰モデル (比例ハザードモデル・ワイブル回帰モデル等) も提案されている [1]. 信頼性の分野では医学統計と異なり, 一般に指数分布・ワイブル分布・対数正規分布・極値分布などのパラメトリックな扱いが可能である. これにより推定・検定に必要なサンプル数の低減と打ち切りされた後の寿命の予測(外挿)が可能となる. ただし, 対象データを層別すべきか否か, 分布型のあてはめ等の事前解析においてはノンパラメトリックな方法および確率プロット法が有用である. 確率プロット法はデータの視覚化の点で有用である. データの[[確率打点法|打点法]]に際しては, メジアンランク法・平均ランク法などが提案されている [4]. 寿命予測・外挿に関しては, これまでの故障メカニズムが打切時点以降も続くか否かの検討が鍵を握る. この検討なしの予測・外挿には危険を伴う. ノンパラメトリックな方法としては Kaplan & Meier による product limit 推定法, Efron による Self-consistent 法, これらをさらに一般化した Turnbull の方法, および Nelson/阿部の累積ハザード法が有用である [4]. パラメトリックな方法としては先の分布型に基づく最尤法・モーメント法・線形推定法等種々の方法が提案されている [2]. 正規分布論と異なる点は平均や分散などの母数の推定・検定よりは信頼度やパーセント点が重要となる. 検定は尤度比検定が主流であるが, 寿命分布型に応じ種々の方法が提案されている. これらは一般に計算機による数値計算が必要となり, SAS, S-Plus, BMDP など解析ソフトが有用である(例:

http://www.wiley.com/products/subjects/mathematics~ [3],

http://member.nifty.ne.jp/care/caredown.htm) .

　車などの耐久消費財の場合, 市場からの寿命データは故障データのみが入手され未故障である打ちきりデータは観測されない [5]. また, 故障モードが未知な場合など不完全データの解析が困難な場合が多いが, これらは warranty data としてメーカのdatabase に蓄えられている. この結果系の database と開発・製造における種々の要因系の情報にもとづく解析が有用である.

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'''参考文献'''

[1] D. R. Cox and D. Oakes, ''Analysis of Survival Data'', Chapman and Hall, 1984.

[2] J. F. Lawless, ''Statistical Models and Methods for Lifetime Data'', Wiley, 1982.

[3] Q. M. Meeker and L. A. Escober, ''Statistical Methods for Reliability Data'', Wiley, 1998.

[4] 市田嵩, 鈴木和幸, 『信頼性分布と統計』, 日科技連, 1984.

[5] 真壁肇, 宮村鐵夫, 鈴木和幸, 『信頼性モデルの統計解析』, 共立出版, 1989.

《故障データ解析》

2007-07-19T05:01:21Z

122.17.2.240:

'''【こしょうでーたかいせき (failure data analysis) 】'''

　システム・製品などの機能が失われた状態を故障という. このときの情報を用いその原因究明を行い再発防止, さらにはより信頼性を高めるために[[故障データ解析]] (failure data analysis) が重要となる. 故障データは大きく[[寿命試験]] (lifetime test) に基づくデータと使用状況下でのデータとに分類される. 前者はさらに目的による分類 (例：[[寿命推定]] (lifetime estimation) に対応する信頼性決定試験, [[寿命検定]] (statistical testing for lifetime) に対応する信頼性適合試験), 試験法による分類 (例：常温寿命試験, 限界試験, 加速寿命試験, 非破壊試験), 開発ステップ別の分類 (例：開発段階・試作段階・生産段階・出荷段階) 等がなされる. 後者は航空機などの巨大システムから耐久消費財まで, 対象物により入手されうる情報が異なるがその機能喪失による影響を十分に考慮し, 信頼性設計・保全性設計および安全性の作り込みに留意する事が大切である.

　故障データの解析にあたり, 要求される機能・使用目的・使われ方・環境条件・保全の方法・要求される稼働時間等の情報が不可欠であり, これらに基づき, その原因究明により再発防止を目的に行う故障解析 (質的解析) と信頼性特性値の把握とその予測 (量的解析) の両者を行うことが重要となる.

　故障データの質的解析においては, ストレス -- 故障メカニズム -- 故障モードの3者の究明が鍵を握る. ストレスに関しては環境条件 (温度・湿度・電界・応力・塩水・標高等), 使用条件 (運転時負荷・運転サイクル・限界負荷等), 使用目的, 流通経路の把握を要する. 代表的な故障メカニズムは腐食・疲労・拡散・マイレーション等がある. 故障モードとは故障状態をその現象から分類したものをいう (例:断線, 短絡, 折損, 摩耗, 特性の劣化). これらのデータベース化とその十分な活用が重要である.

　故障データの量的解析にあたっては, 得られる情報が亀裂長や発振周波数のような劣化量・特性値の場合と故障するまで時間 (寿命データ) の場合とに大きく分類される. 一般には劣化量がある閾値に達した時点が寿命データに対応する. 故障のメカニズムに基づき劣化量を解析することが原因究明と寿命予測上, 好ましい. 寿命データに関しては今日まで種々の研究がなされてきた [3] に詳しい).

　寿命データは, 使用開始から故障に至るまでの時間が観測された打ち切りの無い故障データと, 使用開始からまだ故障に至らずに中途で打ち切られたデータ (打切データ) とに大別される. 打ち切りのない故障データのみからなるデータセットを完全データ, 打切データを含むデータセットを不完全データと呼ぶ. 不完全データは, さらに定時打切データ (type I censored data：あらかじめ信頼性試験または観測を終了する時点を定め試験・観測を実施することによりえられるデータで, それまでの故障数および動作時間が確率変数となる)・定数打切データ (type II censored data：総試験片数のうちあらかじめ定められた試験片数が故障する時点で信頼性試験を終了することによりえられるデータで, それまでの各試験片の動作時間が確率変数となる)・多重打切データ (定時打切データにおいて, 異なる打切時点が複数定められている場合に生じるデータ, 例えば試験開始時点が異なるが同時に試験を終了する場合など)・ランダム打切データ(打切時点を確率変数として扱う場合. 複数の故障モードが存在し, それらのうち初めに生じたものにより故障が生ずる場合, 競合リスクモデル, そのデータを競合リスクデータと呼ぶ) とに分類される. また, 半導体などの恒温槽での試験では評価時点までに故障したか否かのみの情報が得られ, その時点までに故障が生じた場合を左側打切データ (left censored data), その時点までは正常である場合を右側打切データ (right censored data) という. これらの種々の打切データの存在が寿命データ解析を難しくし, 今日まで多くの研究がなされてきた.

　寿命分布の推定・検定においては寿命分布型を仮定しないノンパラメトリックな方法, 分布型を仮定するパラメトリックな方法に大きく分類される. また, どのような因子が寿命に影響を与えているかを検討する要因解析を目的とする種々の回帰モデル (比例ハザードモデル・ワイブル回帰モデル等) も提案されている [1]. 信頼性の分野では医学統計と異なり, 一般に指数分布・ワイブル分布・対数正規分布・極値分布などのパラメトリックな扱いが可能である. これにより推定・検定に必要なサンプル数の低減と打ち切りされた後の寿命の予測(外挿)が可能となる. ただし, 対象データを層別すべきか否か, 分布型のあてはめ等の事前解析においてはノンパラメトリックな方法および確率プロット法が有用である. 確率プロット法はデータの視覚化の点で有用である. データの[[確率打点法|打点法]]に際しては, メジアンランク法・平均ランク法などが提案されている [4]. 寿命予測・外挿に関しては, これまでの故障メカニズムが打切時点以降も続くか否かの検討が鍵を握る. この検討なしの予測・外挿には危険を伴う. ノンパラメトリックな方法としては Kaplan & Meier による product limit 推定法, Efron による Self-consistent 法, これらをさらに一般化した Turnbull の方法, および Nelson/阿部の累積ハザード法が有用である [4]. パラメトリックな方法としては先の分布型に基づく最尤法・モーメント法・線形推定法等種々の方法が提案されている [2]. 正規分布論と異なる点は平均や分散などの母数の推定・検定よりは信頼度やパーセント点が重要となる. 検定は尤度比検定が主流であるが, 寿命分布型に応じ種々の方法が提案されている. これらは一般に計算機による数値計算が必要となり, SAS, S-Plus, BMDP など解析ソフトが有用である(例:

http://www.wiley.com/products/subjects/mathematics~\cite [3],

http://member.nifty.ne.jp/care/caredown.htm) .

　車などの耐久消費財の場合, 市場からの寿命データは故障データのみが入手され未故障である打ちきりデータは観測されない [5]. また, 故障モードが未知な場合など不完全データの解析が困難な場合が多いが, これらは warranty data としてメーカのdatabase に蓄えられている. この結果系の database と開発・製造における種々の要因系の情報にもとづく解析が有用である.

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'''参考文献'''

[1] D. R. Cox and D. Oakes, ''Analysis of Survival Data'', Chapman and Hall, 1984.

[2] J. F. Lawless, ''Statistical Models and Methods for Lifetime Data'', Wiley, 1982.

[3] Q. M. Meeker and L. A. Escober, ''Statistical Methods for Reliability Data'', Wiley, 1998.

[4] 市田嵩, 鈴木和幸, 『信頼性分布と統計』, 日科技連, 1984.

[5] 真壁肇, 宮村鐵夫, 鈴木和幸, 『信頼性モデルの統計解析』, 共立出版, 1989.

《待ち行列の生産システムへの応用》

2007-07-19T04:59:39Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつのせいさんしすてむへのおうよう (applications of queueing theory to production systems) 】'''

'''一定加工時間モデル'''　生産システムは, 原材料や部品をより付加価値の高い半製品, 製品へと加工, 組立てを行なうシステムであり, ネットワーク状につながった生産工程から構成される. まず基本的なものとして, 図1に示される<math>N\, </math>工程が直列につながった生産ラインを考える. 製品の需要(原材料と生産指示)は任意の確率過程に従って到着し, 原材料をもとに工程1から<math>N\, </math>へと到着順に加工をうけ, 製品となる. 各工程<math>n\, </math> <math>(=1, \ldots, N)\, </math>は1台の機械からなり, その加工時間は一定時間<math>s_n\, </math> <math>(\geq 0)\, </math> である. 工程1の前には無限の容量を持つバッファがあり, 工程<math>n\, </math> <math>(\geq 2)\, </math> の前には有限(0でもよい)容量のバッファがあるものとする. 需要が到着してから製品として完成するまでの時間を生産リードタイム, 単位時間あたりに生産可能な最大数を[[スループット]](throughput) あるいは生産率と呼んでいる. [[待ち行列の生産システムへの応用]]

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0131-b-c-03-1.png]]</td></tr>
<td align=center>図１：直列生産ライン<br><br>[[スタイル検討#待ち行列の生産システムへの応用 (0131-b-c-03-1)|スタイル検討]]</td></table></center>



　このとき, 需要の任意の到着過程に対して, 生産リードタイムおよびスループットは, 工程の順序にもバッファ容量にも依存しないことが示される. そして, 最大の加工時間を持つ最上流の工程を<math>L\, </math>とすれば, スループットは<math>1/s_L\, </math>で与えられる. また, 遅れの分布は客がその到着過程に従い, 一定時間<math>s_L\, </math>のサービス時間をもつ窓口1つの待ち行列モデルの待ち時間分布で与えられる. したがって, 需要が到着率<math>\lambda\, </math>のポアソン過程に従って到着する場合, 待ち行列モデル M/D/1 の結果から, 図1の生産ラインの平均生産リードタイム<math>PL\, </math>は,

<center>
<math>
PL = \sum_{n=1}^{N} s_{n} + \frac{\rho_{L}^{2}}{2\lambda(1-\rho_{L})}
\, </math>
</center>

となる. ここで<math>\rho _L =\lambda s_L <1\, </math>である. これらの結果は, 各工程が複数の機械をもつ場合にも一般化されている [1].

'''確率的に変動する加工時間モデル'''　機械には故障も起これば, 工具の折損, 摩耗も発生し, 必ずしも加工時間は一定ではない. また, 生産ラインも多品種を混流生産することが多く, 加工時間も生産される製品毎に異なってくる. したがって, 加工時間は確率的に変動し, 何らかの確率分布をもつものと考えられる. これらの確率分布が指数分布であるときの直列生産ラインに対する結果や文献等が [2] に紹介されている. さらに, FMS (Flexible Manufacturing System) やネットワークを含む広範な生産システムに対する包括的な結果が[2] - [4]に論じられている.

'''かんばん方式, JIT'''　[[JIT]] (Just in Time) 生産システムは, 1973年のオイル・ショック時にトヨタ生産方式として登場して以来, この4半世紀の間に JIT production system あるいは[[かんばん方式|kanban system]]として全世界に定着した. 特に1980年代以後, 製造業の復権をめざす米国を中心に待ち行列理論を駆使した理論的研究が精力的に行われてきた.

　Mitra and Mitrani [5, 6] は, 生産指示かんばんによって生産が制御され, 引き取りは生産指示かんばんポストにかんばんがある限り直ちに行われるものとした, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルを考察している. 生産指示かんばんは, 直列生産ラインにおけるバッファに比べてより柔軟であり, 生産リードタイムを短縮し, スループットを向上させることが示されている. さらに, 需要がポアソン過程に従って到着し, 各加工時間が指数分布に従うときの近似解法を導き, シミュレーションと比較してその精度を検証している.

　Tayur [7] は, <math>N\, </math>工程からなる生産指示かんばんモデルにおいて, より一般的に各工程が充分なバッファをとって直列に配置された複数の機械からなる生産ラインを考え, 種々の構造的特性を導いている. また, スループットが最大になるように, 与えられた枚数のかんばんを各工程に配分する問題を考え, スループットの代わりに, 加工時間分布が指数分布に従う場合のマルコフ待ち行列の状態数を最大化することを提案し, そのアルゴリズムを与えて, 大多数の数値例で実際にスループットを最大化することを示している. さらに, [8] では工程1への原材料の確率的な到着, 工程<math>N\, </math>からの需要の確率的な引き取りおよび各工程での機械故障, 部品の再加工, 部品の廃棄がある場合を論じ, ほぼ同様な結果が成り立つことを示している.

　Buzacott and Shanthikumar [3] 第4章は, 原材料倉庫をもち, 需要の確率的な引き取りがある単一工程生産指示かんばんモデルを考え, 通常の待ち行列モデルと等価であることを示している. さらに, <math>N\, </math>工程直列生産システムに対して, 調達タグ (tag), 発注タグ, 加工タグ, 生産指示かんばんを用いる PAC (Production Authorization Cards) システムを提案し, [[MRP]], かんばん方式, OPT等を含むことやその性質を示し, 近似的な性能評価を与えている [3] . また, Glasserman and Yao [9] 第5章も生産指示かんばん方式の一般化である<math>(a, b, k)\, </math>モデルを提案し, 一般化セミマルコフ過程を用いて様々な構造的性質を導いており, Altiok [4] 第7章も生産指示かんばん方式を論じている.

　JIT生産システムを特徴づける1つが[[多能工]]と[[U字型生産ライン]]である. 多能工数を調整することで, 需要変動に柔軟に対応でき, 現今の需要の多様化と製品寿命の短命化に適合した数少ない生産ラインである. U字型生産ラインを含めたJIT生産システムに対する結果や文献等が [10] - [11] に紹介されている.

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'''参考文献'''

[1] B. Avi-Itzhak and H. Levy, "A Sequence of Servers with Arbitrary Input and Regular Service Times Revisited," ''Management Science,'' '''41''' (1965), 1039-1047.

[2] 大野勝久, 「生産システムをめぐって」, 『Basic数学』, '''25''' (1992), 61-67.

[3] J. A. Buzacott and J. G. Shanthikumar, ''Stochastic Models of Manufacturing Systems'', Prentice Hall, 1993.

[4] T. Altiok, ''Performance Analysis of Manufacturing Systems'', Springer-Verlag, 1997.

[5] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. I," ''Management Science'', '''36''' (1990), 1548-1566.

[6] D. Mitra and I. Mitrani, "Analysis of a Kanban Discipline for Cell Coordination in Production Lines. II," ''Operations Research,'' '''39''' (1991), 807-823.

[7] S. R. Tayur, "Structural Properties and a Heuristic for Kanban-Controlled Serial Lines," ''Management Science'', '''39''' (1993), 1347-1368.

[8] J. A. Muckstadt and S. R. Tayur, "A Comparison of Alternative Kanban Control Mechanisms. I," '''IIE Transactions''', '''27''' (1995), 140-150.

[9] P. Glasserman and D. D. Yao, ''Monotone Structure in Discrete-Event Systems'', John Wiley & Sons, 1994.

[10] 大野勝久, 「JIT生産システム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 272-278.

[11] K. Nakade and K. Ohno, "An Optimal Worker Allocation Problem for a U-shaped Production Line," ''International Journal of Production Economics'', '''60-61''' (1999), 353-358.

《待ち行列のコンピュータへの応用》

2007-07-19T04:57:58Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつのこんぴゅーたへのおうよう (applications of queueing theory to computers) 】'''

'''セントラルサーバモデル'''　大規模なコンピュータシステムでは, 多数の利用者から性質の異なる様々な処理が非同期に要求されるため, その内部では CPU を始めとする種々のシステム資源の競合が発生する. すなわち, コンピュータの内部は混雑しているのである. この混雑現象を解析し, その結果をシステムの設計開発の利用するため, 待ち行列理論, とりわけ待ち行列ネットワークモデルがよく利用される. 閉鎖型[[ジャクソンネットワーク]]を利用した[[セントラルサーバモデル]]とその計算アルゴリズム [7]が最も簡単な待ち行列ネットワークモデルとして知られている. [[待ち行列のコンピュータへの応用]]

'''BCMPネットワーク'''　[[BCMPネットワーク]]は, 複数の異なる網内移動経路 ([[経路選択確率]]行列) をもつ客が混在することが許されるため, それぞれの網内移動経路を性格の異なるサブシステムに対応付けることにより, 複雑で大規模なコンピュータシステムの性能評価モデルを柔軟に構成することができる. 待ち行列ネットワークを実用化するに際しては, 正規化定数の効率的な計算方法の開発, 積形式解をもたないようなモデルに関する近似解法の開発, 利用者に分かりやすく使いやすいインターフェィスをもつソフトウエアパッケージの開発等が欠かせないが, 1975年は BCMP ネットワークに関する積形式解 [1] が発表されるとともに, その正規化定数の計算法の提案 [9], ならびにそのアルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージの開発が行われた. それを契機に, BCMP ネットワークに関する研究と応用は大きな進展をみせた. とりわけ, 開放型ネットワークと閉鎖型ネットワークが混在する[[混合型待ち行列ネットワーク]]は現在広く実用に供されている.

'''待ち行列ネットワークの計算法'''　積形式解をもつ待ち行列ネットワークを利用する際には, ネットワーク状態分布の[[ネットワーク状態分布の正規化定数|正規化定数]]といわれる定数を計算することが必要になる. この正規化定数は, 確率条件から定められるものであるが, ネットワークを構成するノード数, 網内移動経路数 (部分連鎖数) , 閉鎖型連鎖にしたがう客数等が大きくなるにしたがい, その計算量は組み合わせ的な速さで増大する. そのため, 待ち行列ネットワークに関する効率的な計算法の開発は実用化のためには欠かせない. この計算法は, 大きく分けると, [[たたみ込み法]]の系統に属するものと, [[MVA]] (Mean Value Analysis) 法 [10]の系統に属するものに分けることができる. たたみ込み法では, 正規化定数をたたみ込み演算を利用して直接求める. MVA 法では, ネットワークの積形式解から連鎖と客数をパラメータとする漸化式をつくり, これを手がかりにして計算を行う. たたみ込み法では, 指数部のあふれ, MVA 法では仮数部の桁落ち, という数値計算上の不安定要因をもっているため, それを避ける計算法についての研究も多数なされている. 実際に待ち行列ネットワークを利用する際には, これらの計算アルゴリズムを実装したソフトウエアパッケージが必要になる. コンピュータシステムへの応用を目的とした開発も QM-X [7] をはじめ多数行われている.

'''性能測定技術'''　待ち行列ネットワークを利用してコンピュータシステムの性能評価を行う際には, 評価の基礎となるデータをどのようにして得るのか, という問題が重要となる. 質の良いデータを効率的に測定するための技術も色々と開発されている. また, 待ち行列ネットワークを効果的に利用するための方法論と測定法の提案もなされている. これらについては, 解説 [5, 6] に示される. また, 待ち行列ネットワークとそのコンピュータシステムの性能評価への応用については, [3, 8, 4] に詳しい.

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'''参考文献'''

[1] F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz and F. G. Palacios, "Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers," ''Journal of Association of Computing Machinery'', '''22''' (1975), 248-260.

[2] J. P. Buzen, "Computatonal Algorithm for Closed Queueing Networks with Exponential Servers," ''Communication of Association for Computing Machinery'', '''16''' (1973), 527-531.

[3] 亀田壽夫, 紀一誠, 李頡, 『性能評価の基礎と応用』, 共立出版, 1998.

[4] K. Kant, ''Introduction to Computer Performance Evaluation'', McGraw-Hill, Inc., 1992.

[5] 紀一誠, 「情報処理システムの性能評価(1)(2)(3)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 315-320, 370--375, 431-436.

[6] 紀一誠, 「コンピュータシステム」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 562-567.

[7] 紀一誠, 納富研造, 「待ち行列網モデルによる計算機システムの性能評価用ソフトウエアパッケージ QM-X」, 『情報処理学会論文誌』, '''25''' (1984), 570-578.

[8] S. S. Lavenvarg (Ed. ), ''Computer Performance Handbook'', Academic Press, 1983.

[9] M. Reiser and H. Kobasyashi, "Queueing Networks with Multiple Closed Chains: Theory and Computational Algorithms," ''IBM Research and Development'', '''19''' (1975), 283-249.

[10] M. Reiser and S. S. Lavenverg, "Mean Value Analysis of Closed Multichain Queueing Networks," ''Journal of Association for Computing Machinery'', '''22''' (1980), 313-333.

《待ち行列の通信への応用》

2007-07-19T04:57:09Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつのつうしんへのおうよう (applications of queueing theory to communication) 】'''

'''はじめに'''　約120年前(1878年)の電話機の発明に伴って, 電話交換の設備数に関して通信トラヒック面からの検討が始められた. その後, デンマークの電話会社の技師　アーラン(A. K. Erlang)により体系的に研究された. これが待ち行列理論の始まりといわれる. このように待ち行列理論は情報通信ネットワークの進展・革新とともに発展してきた [1]. 通信網において接続される単位, すなわち電話網における通話やパケット網におけるパケット等は[[トラヒック]]とよばれる. トラヒックの発生や継続時間は確率的に変動しており, 通信網においてそれを運ぶための回線, 交換機あるいはコンピュータなどの設備を, 大多数の利用者が満足できる[[サービス品質]]のもとでシステム設計するための理論を通信トラヒック理論という. 待ち行列理論の通信への応用とはすなわち通信トラヒック理論そのものである [2] [3]. [[待ち行列の通信への応用]]

'''電話交換, 電話網, ディジタル網への応用'''　1965年頃から交換機の制御系が蓄積プログラム制御となり, 処理能力評価あるいは処理能力を向上させる方式の考案が大きな課題であった. リアルタイム性の要求される交換機に特有の周期処理スケジュール方式に関して, 優先クラスごとの平均遅延時間の近似式が求められた [4]. ISDN (サービス総合ディジタル網) では, 性質の異なるトラヒックが同一の設備に加わる. このトラヒックを[[多元トラヒック]]とよび, マルチメディア通信網においてはさらに各所に出現する. 多元トラヒックの処理方法には即時式/待時式, [[優先権]]待ち行列 ([[回線留保]]を含む) 等がある. パケット網や計算機は随所にバッファを設置しており, 待時式処理が基本となる. これらを評価・分析するモデルとして[[待ち行列ネットワーク]]が有効である.

'''パケット網, データ網への応用'''　パケット網については, 1970年頃に, 米国でインターネットのルーツであるARPA網が活発に研究・開発された. ルーチング方式やウィンドウ制御, ACKの返送方式に関して, 遅延時間や処理量の観点から多くの研究がなされた. データ通信やLANに関するトラヒック研究も活発に展開された [5].

　CSMA/CD方式に対する平衡状態を仮定した理論解析, [[ポーリングモデル|ポーリング]]方式に関するモデル解析およびLANの性能評価への応用, ALOHAシステムの解析等がなされた.

'''ATM方式への応用'''　マルチメディア通信に対する通信方式として, 1980年代初め, ATM (AsynchronousTransfer Mode)方式が考案された. ATM方式では, 情報がセルという固定長の情報単位に分割されて, 網内を流れる. セルが待ち行列理論の客そのものであり, ATM方式の検討には待ち行列理論が必須である [6]. 当初, セルのヘッダによるハードウェアルーチングが注目され, バッファの設置形式を含めて通話路網が多数研究された. ビデオ情報のセルストリームはバースト的であるということで, トラヒックの入力モデルが活発に研究された. さらに, LANの長時間のトラヒックストリームが統計的に分析され, 長時間依存性, 自己相似性が指摘されている [7]. ATM方式のサービスカテゴリーとして, CBR (Constant Bit Rate), VBR (VariableBit Rate)等が提案されその標準化がなされた. 並行して, セルの統計的多重効果に関する実に多くの研究がなされ, トラヒック制御として, コネクション受付制御や使用量パラメータ制御が活発に研究された [8].

'''移動通信網への応用'''　1980年代初頭に自動車電話サービスが開始され, 1993年にディジタル方式が提供され始め, 1990年代後半急速に普及している. 移動通信方式では, 有限の無線周波数をいかに有効活用するかが最も重要であり, トラヒック理論が非常に有効な分野である. 電波強度の関係と周波数を繰り返して使用するため, 地域を比較的小さなゾーンに分けている. そこで無線チャネルの割り当て法の研究が必要となる. また, ユーザの移動のため, 位置登録信号, 通話中チャネル切り替え, 一斉呼び出し等の信号が使用される. これら運ぶ制御チャネルの動作分析に関してもトラヒック理論が使える [9].

'''インターネットへの応用'''　爆発的に成長しているインターネットは待時式処理が基本であり, その評価・分析には待ち行列理論が利用できる. たとえば, WWWで画像データを取込むと大きなデータが動く. これはテキスト情報の情報量と比較すると数桁以上も大きい. WWWの発生間隔や情報量の統計的分析をベースに, 待ち行列理論を利用して応答時間等が評価できる.

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'''参考文献'''

[1] 高橋幸雄, 「待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-502.

[2] 秋丸春夫, 川島幸之助, 『情報通信トラヒック』, 電気通信協会, 1990.

[3] 村田正幸, 宮原秀夫, 「通信トラヒック理論とその応用[I]～[VII]」, 『電子情報通信学会誌』, '''77''' (1994), 968-975, 1043-1051, 1249-1255, '''78''' (1995). 85-90, 195-202, 264-270, 482-488.

[4] 藤木正也, 「トラヒック理論の応用　5. 交換機制御系への応用」, 『電子通信学会誌』, '''64''' (1981), 50-58.

[5] 秋山稔, 川島幸之助, 木村丈治, 『LANのシステム設計』, オーム社, 1989.

[6] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会, 1995.

[7] 小沢利久, 「いろいろな入力過程モデル」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 680-686.

[8] 滝根哲哉, 村田正幸, 「通信網における待ち行列　－理論の応用と課題－」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 264-271.

[9] Davide Grillo, Ronald A. Skoog, Stanley Chia and Kin K. Leung, "Teletraffic Engineering for Mobile Personal Communications in ITU-T Work: The Need to Match Practice and Theory," ''IEEE Personal Communications Magazine'', '''5''' (1998), 38-58.

《待ち行列ネットワークの安定性》

2007-07-19T04:55:26Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーくのあんていせい (stability of queueing network) 】'''

　[[待ち行列]]や[[待ち行列ネットワーク]]が長時間に渡って稼働するとき, システム内の客数が発散することがない場合に待ち行列の[[待ち行列の安定性|安定]]であるという. 安定でなければ, サービスを受けられない客が正の確率で増大する. 安定性はシステムを安全に稼働するための最低限の条件といえる. 待ち行列システムをマルコフ過程などの確率過程でモデル化すると, 安定性は状態の確率分布が全ての時間にわたって確率過程の[[確率過程のタイト性|タイト]] (tight)であることに等しい.

　一般に確率過程が定常分布を持つならば, 安定である. しかし, 逆は周期性などのため必ずしもいえない. このように正確には安定性は定常分布の存在とは少し異なるが, 待ち行列システムの状態推移が, 特定の時刻に依存して変化しない時には, 安定性は定常分布の存在と同じであると考えてよい. 本稿では客の到着過程が時間的に定常であり, サービス規律なども特定の時刻に依存しない待ち行列システムの安定性について説明する. したがって, 安定性は定常分布の存在と同じ意味を持つ.

　待ち行列ネットワークの安定性を論ずるために, 初めにネットワークを構成するノードの安定性を調べる. システムは窓口が1つで, 定常な入力過程を持つとする. このシステムでは, サービスを受けることができない客は待ち行列を作って待つ. サービス規律としては, 客がいれば必ずサービスを行い, サービス要求量に変化がない[[仕事量保存型サービス]] (work conserving service)を仮定する. このシステムでは, 直感的にも分かるように,

<center>
<math>\ (\, </math>単位時間当たりの到着仕事量の平均 <math> \ ) < 1
\, </math>
</center>

ならば, 待ち行列は安定である. 単位時間当たりの到着仕事量の平均は, システムに対する負荷を表す基本的な量で, [[入力密度]]という. 待ち行列ではこれを<math>\rho\, </math>で表すことが多い. 例えば, 単位時間当たりの平均到着人数を<math>\lambda\, </math>, 1人当たりの平均サービス時間を<math>\overline{S}\, </math>とすると, <math>\rho = \lambda \overline{S}\, </math>である. <math>\rho > 1\, </math>のときは, 待ち行列は確率1で無限に大きくなり安定ではない. <math>\rho=1\, </math>の場合も, 一般には安定でないが, 特殊な場合には安定となることがある.

　これらの安定性の数学的な証明は, 定常な入力を表す確率過程が必要であり, 通常[[マーク付き点過程]]が用いられる. 基本的には, 大数の法則を適用して, <math>\rho<1\, </math>ならば, 確率1で系内総仕事量がいつか<math>0\, </math>となることを示す. ただし, 系内総仕事量の標本関数の変化を単純に追っていくと複雑で難しい. そこで, 定常な系内仕事量過程をうまく構成し, この定常過程が元の仕事量過程とある時間以後一致することを証明する [5]. このように, 2つ確率過程がある時間以後一致することを[[カップリング]] (coupling) と呼ぶ. カップリングは吸収 [6] ともいい安定性を証明する有力な方法の1つである. 待ち行列システムがマルコフ過程でモデル化できる場合には, マルコフ過程が定常分布を持つための条件を使って安定性を論じることができる. このとき, 一般に状態空間はベクトル値であり扱いにくいので, 状態空間から実数の集合への関数を使って安定性を調べることもよく行われる. この関数をリヤプノフ関数と呼ぶ.

　定常な入力を持つ単一システムの安定性は, 複数の客のクラスがあったり, 優先権付きのようにクラスによってサービス順序が異なる場合でも, 仕事量保存型サービスである限り, システム全体としての安定性の条件は変わらない. ただし, 入力密度<math>\rho\, </math>は客の種類ごとの入力密度の和となる.

　単一ノード待ち行列では, 窓口数(サーバの数)が複数の場合でも, 客が待っている限り窓口に空きがなければ基本的に単一窓口の場合と同じである. 例えば, 窓口数を<math>c\, </math>個とすると, 入力密度<math>\rho\, </math>に対して <math>\rho < c\, </math> ならばシステムは安定である. 単一ノード待ち行列であっても, サーバが休止したり, 客が途中で退去する場合には, 安定性の条件は複雑になる. ただし, サーバが休止する[[バケーション]]モデルでは, サーバの休止する条件が, システムが空になったり, 系内人数が与えられた一定の数より小さくなる場合のときには, 安定性の条件はサーバの休止がない場合と同じである.

　待ち行列ネットワークの安定性は, 単一ノードの安定性とは様相が異なる. 1つには, 一部のノードは安定であるが, 残りのノードは安定でない場合が起こりうる. これを待ち行列ネットワークの[[待ち行列ネットワークの部分安定性|部分的安定性]]と呼ぶ. 定常分布の言葉でいえば, ネットワーク状態の定常分布は存在しないが, 周辺分布に関する定常分布は存在することに等しい. 別の問題点は, 次のようなネットワーク特有の問題が生じることである.

(i)　各ノードへの到着過程が前もってわからない. サーバが移動するモデルでは, サーバが窓口にいる時間が前もってわからない.

(ii)　ノード間の干渉により, 各ノードを個別に見たときには平均的には安定に見える場合でも安定とならない場合がある.

(i)の例に1人のサーバが各ノードに移動してサービスを行う[[ポーリングモデル|巡回型]]のモデルがある. 巡回型ではサーバの移動時間があることと, サーバの到着したノードに客がいないときには待たずに次のノードに移動するために, 各ノードの窓口稼働時間がわからない. Borovkov [2] は1回のサービスを1人に制限したモデルで, 各ノードへの到着がポアソン過程に従い, サーバが推移確率<math>p_{ij}\, </math>でノード<math>i\, </math>から<math>j\, </math>へ移動する場合について, 以下の安定性条件を得ている. <math>\{\pi_j\}\, </math>を<math>P=\left( p_{ij} \right)\, </math>の定常分布とする. ノード数<math>M\, </math>は有限と仮定するので, 必ず<math>\pi_i\, </math>が存在する. <math>\lambda_i\, </math>をノード<math>i\, </math>への客の到着率とするとき, <math>\rho_i = \lambda_i/\pi_i\, </math>が小さいものから大きいものへとノードのラベルを<math>1, 2, \ldots, M\, </math>と付け替える. ネットワーク全体での平均歩行時間を<math>\overline{U}\, </math>, ノード<math>i\, </math>での平均サービス時間を<math>\overline{S}_i\, </math>とし,

<center>
<math>
u_k = \overline{U} + \sum_{i=k+1}^M \overline{S}_i \pi_i, \qquad
\nu_k = 1 - \sum_{i=1}^k \lambda_i \overline{S}_i, \qquad k=1, 2, \ldots, M,
\, </math>
</center>

とすれば, <math>\rho_k < \nu_k / u_k\, </math> <math>(k=1, \ldots, M)\, </math>が安定であるための必要十分条件である.

　[[ジャクソンネットワーク]]}や[[BCMPネットワーク]]では, [[トラヒック方程式]]を解いて各ノードへの到着率を計算すれば, ネットワーク全体の安定性を調べることができる. ただし, 部分的安定性を調べるためには, 安定でないノードの退去率はサービス率に等しくしてトラヒック方程式をたて直す必要がある. 客にクラスがない場合には, 同様な結果が[[一般化ジャクソンネットワーク]] (generalized Jackson network, ジャクソンネットワークにおいて, 各ノードでのサービスは先着順とし, 到着過程の時間間隔やサービス時間を一般分布に拡張したもの)に対しても成り立つ [1].

　複数の客のクラスがある場合には, 対称型のサービス規律以外では(ii)が起る場合がある. 例えば, 各ノードは単一窓口で, 先着順サービスまたはクラス別に優先権を付けたサービスを行うとする. この場合に, 2つのノード間で退去した客が戻ってくる経路があるとき, 各ノードの総入力密度が1より小さくても, 安定とならない場合がある. これは, 2つのノードが交互にサービスができないような状況が生じているためである [3].

　一般に複数の客のクラスがある場合に安定性を調べることは難しい. そこで直接調べるのではなく, [[流体近似]]過程を使って安定性を調べる研究が進められている. 例えば, 複数のクラスを持つ一般化ジャクソンネットワークにおいては, どのような初期条件に対してもこの流体近似過程がネットワークが空になる状態に到達するときにのみ安定性が成り立つ [4].

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'''参考文献'''

[1] F. Baccelli and S. Foss, "Stability of Jackson-type Queueing Networks, I", ''Queueing Systems'', '''17''' (1994), 5-72,

[2] A. A. Borovkov, ''Ergodicity and Stability of Stochastic Processes'', translated by V. Yurinsky, John Wiley & Sons, 1998.

[3] M. Bramson, "Instability of FIFO Queueing Networks" ''Annals of Applied Probability'', '''4''' (1994), 414-427.

[4] H. Chen, "Fluid Approximations and Stability of Multiclass Queueing Networks: Work-conserving Disciplines" ''Annals of Applied Probability'', '''4''' (1995), 637-665.

[5] R. M. Loynes, "The Stability of a Queue with Non-independent Inter-arrival and Service Times", ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', '''58''' (1962), 497-520.

[6] T. Nakatsuka, "Absorbing Process in Recursive Stochastic Equations", ''Journal of Applied Probability'', '''35''' (1998), 418-426.

《待ち行列ネットワークの近似解析》

2007-07-19T04:52:27Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーくのきんじかいせき (approximate analysis of queueing network) 】'''

　[[積形式解]]を持たないような[[待ち行列ネットワーク]]については, 現在のところ構造を特定したいくつかの例に関して解析結果があるものの, 網羅的な性能評価手法は確立されていない. また, 数値解やシミュレーションにより厳密な特性値を得ようとする場合, 単一の待ち行列に比べてモデルが非常に大きくなるため, 計算コストは膨大なものとなってしまう.

　一方, 応用面では必ずしも厳密な解を必要としない事例も多く, また厳密解が得られない場合の次善の策としても, 特性値の近似解を与える簡便かつ高速な手法が求められている. 簡単な方法としては, 定常分布などの特性が既に知られているモデルを当てはめることも考えられるが, 得られた近似解の誤差評価が困難であるという問題がある. 待ち行列ネットワークに対する近似解析手法はまだ未開拓の部分も多い.

'''積形式解を持つ閉鎖型ネットワークにおける近似'''　積形式解を持つ待ち行列ネットワークでは, 理論上は厳密解が得られることがわかっているが, ネットワークに閉路を含む場合には[[平均値解析法]]による反復計算を行う必要があり, 系内客数や客のクラスが多い場合, 反復の回数が多くなって計算コストが増大する. これを回避するため, 反復によって求めるべき値を近似式によって与えてしまうという方法が提案されている. 具体例として, 複数クラスの客がいる[[BCMPネットワーク|BCMP閉鎖型ネットワーク]]での平均待ち行列長の計算を挙げよう. 今, クラスは<math>C\, </math>種類, ノードは <math>M\, </math> 個あるとする. クラス <math>c \ (1 \leq c \leq C)\, </math> の客は系内に <math>n_c\, </math> 人いると仮定し, <math>\boldsymbol{n} = (n_1, \ldots, n_C)\, </math> とおく. このときのノード <math>j\, </math> におけるクラス <math>c\, </math>の平均客数を <math>L_{(c, j)}(\boldsymbol{n})\, </math> と書くとき, この値を平均値解析法で得るにはクラス <math>c\, </math> の客が一人少ないときの平均 <math>L_{(d, j)}(\boldsymbol{n} - \boldsymbol{\delta}_c)\, </math> の値が必要だが, [4]では

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
L_{(d, j)}(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{\delta}_c) & = & L_{(d, j)}(\boldsymbol{n})
\ \ \ \ (d \neq c) \\
L_{(c, j)}(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{\delta}_c) & = &
\frac{(n_c - 1)}{n_c}L_{(c, j)}(\boldsymbol{n})
\end{array}
\, </math>
</center>

と近似して<math>L_{(d, j)}(\boldsymbol{n})\, </math>に関する方程式をたて反復を避ける方法が提案されている. この近似法は各ノードが単一窓口のとき (一部に無限窓口を含んでよい) にのみ適用可能だが, 実装は簡単で計算量を確実に減らすことができる. またこのアイデアを基に, 複数窓口ノードに適用可能な近似法も提案されている [3].

'''分解近似法'''　積形式解を持たない待ち行列ネットワークに対して比較的古くから適用される近似の考え方に, 一つの大きな待ち行列ネットワークを, 比較的依存関係の強いと考えられるいくつかの部分ネットワークに分解して計算する方法がある. これが[[分解近似法]] (decomposition methods)と総称される考え方である. 分解近似法は, 積形式解を持つ待ち行列ネットワークに対する[[ノートンの定理]]が, 積形式解を持たない場合にも成り立つという仮定に基づいている.

　最も単純な分解の仕方は全てのノードの独立性を仮定するもので, 1ノード分解と呼ぶ. 計算機ネットワークの性能評価ツールなどに使われている. 1ノード分解では, 近似の精度は分解したノードへの客の到着過程の近似度合いに大きく依存する. 例えば単純に積形式分解を仮定すると, 到着過程はポアソン過程となり, 平均到着率によって全てが決まる. この点を改善した近似法として, 到着過程を再生過程で近似する方法などが提案されている. 例えば[[QNA]]と名付けられた性能評価ツールでは, 退去過程の特性を使って到着過程を再生過程で近似する. このとき, 各ノードはGI/G-型の待ち行列となるので, 更に[[拡散近似]]により近似する方法が採られている.

　ノード間に多少の依存関係を取り入れる場合には, 2ノードあるいはそれ以上を一つの部分ネットワークとして分解する. 1ノード分解に比べ近似精度は通常大幅に向上するが, 分解の方法と近似精度との関連など, まだ未知の部分が多い. この種の分解近似法の具体例には, Kühn [2] の分解法, 高橋 [5] によるクロス縮約法 (cross aggregation method) などがある.

'''最大エントロピー法'''　定常分布の近似値を求める問題は, 「与えられた条件を満たす最適な確率分布 <math>\{p(i)\}\, </math> を求める問題」であると言える. この最適という尺度を, 情報理論におけるエントロピーの概念で捉えるのが最大エントロピー法の考え方である. 最大エントロピー法は, 以下のように最適化問題として定式化される.

<center>
<math>
\begin{array}{lll}
\mbox{max. } & \displaystyle H(p)=- \sum_{i\in S} p(i) \log p(i) \\
\mbox{s. t. } & \displaystyle \sum_{i\in S} p(i)\, f_j(i) = C_j,
\ \ \
j=1, \ldots , J \\
& \displaystyle \sum_{i\in S} p(i) = 1.
\end{array}
\, </math>
</center>

ここで <math>S\, </math> は状態空間, <math>H(p)\, </math> はシャノンのエントロピー関数, <math>C_j\, </math> は制約条件を与えるために適当に選ばれた関数 <math>f_j(i)\, </math> の期待値である.

　最大エントロピー法は前述の分解近似法と組み合わせて用いられることが多い. 例えば, 各ノードが1本の待ち行列を持つときには, 近似的な平均待ち行列長や利用率などを<math>C_j\, </math>として与える [1].

'''流体近似と拡散近似'''　待ち行列ネットワーク過程は通常ベクトル値をとり, 状態空間は多次元ユークリッド空間の部分集合である. 多くの場合, 自然な状態空間をとり[[確率的経路選択]]を仮定すると, 境界付近を除く状態空間の内部の点で状態推移は一様になる. そこで, 各ノードで待ち行列が長くなるという仮定の下に, 時間軸と状態空間を縮小して極限過程を求め, それを使って元の待ち行列過程を近似的に解析する方法が考えられている. これらの方法は基本的に重負荷の場合に近似がよいが, 負荷が軽い場合にも使われる.

　縮小のスケールの取り方によって2つの極限過程が得られる. 時間軸を<math>\textstyle \frac 1n\, </math>に縮小するとき, 状態空間も<math>\textstyle \frac 1n\, </math>に縮小すると, 大数の法則により, <math>n \to \infty\, </math>の極限過程は確定的な関数となる. これを[[流体近似]]と呼ぶ. 時間軸の縮小はしないが, 同様に標本関数を平均で決まる確定的な関数で近似する方法もあり, やはり流体近似と呼ばれている. これは, ラッシュアワーなどのように, 時間に依存した現象を表すのに適している. 一方, 時間軸は同じ縮小で, 状態から平均値を引いた値を<math>\textstyle \frac 1{\sqrt{n}}\, </math>に縮小すると, 中心極限定理により<math>n \to \infty\, </math>の極限過程は[[拡散過程]]となる. この種の拡散過程は, ノードが複数窓口の場合や客に複数のクラスがある場合も含め広く研究されている. ただし, これらは多次元の拡散過程であり, 一般に定常分布などを求めることができない. したがって近似解析として使うためには, 更にシミュレーションやマルコフ連鎖の[[マルコフ連鎖の数値解法|数値解法]]を援用する必要がある.

'''軽負荷近似'''　流体近似や拡散近似とは逆に, 非常に負荷が軽い場合には, ネットワーク内の客が少ない. 特に数名の客ならば全ての客の状態推移を追っていくことが可能である. したがって, 時間軸を到着に関してのみ拡大すれば, 状態確率を漸近的に求めることが可能である. これを[[軽負荷近似]]と呼ぶ. ネットワークモデルでは, 軽負荷近似の精度を上げようとすると, 計算が指数的に複雑化するという欠点がある.

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'''参考文献'''

[1] D. D. Kouvatsos and N. P. Xenios, "MEM for Arbitrary Queueing Networks with Multiple General Servers and Repetitive-Service blocking", ''Performance Evaluations'', '''10''' (1989), 169-195.

[2] P. Kühn, "Approximate Analysis of General Queuing Networks by Decomposition", ''IEEE Transactions on Communication'', '''27''' (1979), 113-126.

[3] D. Neuse and K. Chandy, "SCAT: A Heuristic Algorithm for Queueing Network Models of Computing Systems", ''ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review'', '''10''' (1981), 59-79.

[4] P. Schweitzer, "Approximate Analysis of Multiclass Closed Networks of Queues", ''International Conference on Stochastic Control and Optimization'', Amsterdam, 25-29, 1979.

[5] Y. Takahashi, "Aggregate Approximation for Acyclic Queueing Networks with Communication Blocking", in ''Queueing Networks with Blocking'', H. G. Perros and T. Altiok, eds., Elsevier Science Publishers B. V., 1989.

《積形式解ネットワークとなるための条件》

2007-07-19T04:49:46Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーくのせきけいしきかいとまるこふかてい (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''

　[[待ち行列ネットワーク]]の特性を調べる上で, 定常分布を求めることは重要であるが一般には難しい. しかし, [[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように定常分布が解析的に得られる場合がある. 特に, これらのネットワークは[[積形式解|積形式]]の定常分布を持つ. このようなネットワークを一般に[[積形式ネットワーク]] (product form network) と呼ぶ. この他, [[集団移動型ネットワーク]] (batch movement network) などで, 特殊なサービス規律を適用すると定常分布が解析的に得られる場合がある. なぜこれらのネットワークでは定常分布が解析的に得られるのであろうか？一般的なモデルを対象にその理由を説明する.

'''マルコフ過程による記述'''　ネットワークをマルコフ過程によりモデル化する. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.

1. 各ノードの客数を主な状態とし, サービス中の客のサービス経過時間などを補助変数とするマルコフ過程で, 代表的なものに[[一般化セミマルコフ過程]] (generalized semi-Markov process, GSMPと略称化される) がある.

2. サービス時間と到着間隔の分布を指数分布と仮定したり, 1の補助変数の部分を相型分布などを使って離散化することにより, 離散的状態を持つマルコフ過程, すなわち, マルコフ連鎖としてモデル化する.

　1のモデルは2のモデルで十分に近似することができるので, 以下では2のモデルを使う. 一般に待ち行列ネットワークをマルコフ連鎖で表すには, その[[推移速度行列|推移率関数]]を次の要素に分けると見通しがよい.

:*[[内部推移|内部推移率]]：ノードの内部的な変化 (サービスの進行など) を表す部分

:*退去推移率：退去とそのときの状態変化を表す部分

:*[[経路選択確率]]：退去から次のノードへの到着を表す部分

:*到着推移確率：到着による状態変化を条件付き確率で表す部分

　例えば, <math>M\, </math>個のノードを持つ[[開放型待ち行列ネットワーク|開放型ネットワーク]]で, 複数のクラスの客があり, 各客はサービス完了後のクラスとノードにのみに依存した確率で次のノードとクラスを選択するとする. なお, 各ノードには, <math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり, <math>n\, </math>人の客がいるときには, <math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める. ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とすれば, ネットワークの状態は <math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_M)\, </math> と表すことができる. このネットワークはジャクソンや BCMPネットワークを一般化したモデルである.

　このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math> から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,

<center>
<math>
q_{ju}^{\rm{D}}
(\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j')
\, r_{ju, kv} \, p_{kv}^{\rm{A}}
(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_k')
\, </math>
</center>

である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. ネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>は, このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和である([6]参照).

'''局所平衡'''　BCMPや[[ケリーネットワーク|ケリー]]ネットワークの特徴は, この推移率<math>q\, </math>の定常分布<math>\pi\, </math>が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある [4]. サービスを受ける位置に番号をつけ, 位置<math>\ell\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客を<math>(\ell, u)\, </math>とするとき,

<center>
<math>
\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> (\ell, u) \, </math>の客がノード <math> j \, </math> でサービスを完了する率 <math> \ )
\, </math>

::<math>
\qquad = \sum_{\boldsymbol{x}'} \pi(\boldsymbol{x}') ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math>でサービスの完了または到着があり,

::::<math> \ \ \ (\ell, u) \, </math> の客がノード <math> j \, </math>に到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ ) \, </math>
</center>

逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.

　局所平衡方程式は, 複数のノードで同時に退去や到着が起こる集団移動型のモデルの解析においても役立つ. このネットワークの状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>は各ノードの客数を要素とするベクトルであり, 集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_M)\, </math>で表すとき, <math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる. この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>とする. このモデルで, 局所平衡方程式

<center>
<math>
\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> \boldsymbol{u} \, </math> が退去する率 <math> \ )
\, </math>

::<math>
\quad = \sum_{\boldsymbol{x}', \boldsymbol{v}} \pi(\boldsymbol{x}')
( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math> で <math> \boldsymbol{v} \, </math> が退去し, <math>
\boldsymbol{u} \, </math> が到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ )
\, </math>
</center>

が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 例えば, 推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>}が定常分布<math>\nu\, </math>を持ち, 任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して, 状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が

<center>
<math>
\frac {\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{u})}{\Phi(\boldsymbol{x})} \nu(\boldsymbol{u})
\, </math>
</center>

であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率<math>\pi(\boldsymbol{x})\, </math>は<math>\Phi(\boldsymbol{x})\, </math>に比例する [3]. このネットワークはWalrand [5] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む. この種のネットワークは, 転送確率<math>r_\boldsymbol{uv} \, </math>がネットワークの状態に依存する場合にも拡張されている [1].

'''逆時間過程'''　局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない. 例えば, 到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) [2] や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない [1]. この種のネットワークの解析には, 時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である. 一般に定常なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから, 逆過程の推移率を推測できれば, 定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([6] 参照).

'''準可逆性'''　多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを[[準可逆性]] (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノード<math>j\, </math>の準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布を<math>\pi_j\, </math>とすれば, 各クラス<math>u\, </math>に対して,

<center>
<math>
\ (
\, </math>クラス <math> u \, </math> の退去が起こり状態が <math> \boldsymbol{x}_j \, </math> となる率 <math> \ )
= \beta_{ju}\ \pi_j(\boldsymbol{x}_j)
\, </math>
</center>

となる定数<math>\beta_{ju}\, </math>が存在することに等しい. 逆に準可逆性を持つノードをネットワーク状態に独立な確率的経路選択で結合すると積形式ネットワークとなる. 準可逆性を使った積形式ネットワークの構成は負の客のあるネットワークに対しても有効である. しかし, 準可逆性は積形式を持つための必要十分条件ではない(客のみを持つネットワークでは必要十分条件となる [1]). なお, 準可逆性を持つネットワークを定常分布が得られるように退去率や到着確率をネットワーク全体の状態に依存する形に拡張する方法も工夫されている[1]

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'''参考文献'''

[1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks, Customers, Signals and Product form'', John Wiley & Sons, 1999.

[2] E. Gelenbe, "Product-form Queueing Networks with Negative and Positive Customers" ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 656-663.

[3] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.

[4] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.

[5] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.

[6] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 442-448.

《積形式解ネットワークとなるための条件》

2007-07-19T04:48:51Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーくのせきけいしきかいとまるこふかてい (product form solution of queueing network and Markov process) 】'''

　[[待ち行列ネットワーク]]の特性を調べる上で, 定常分布を求めることは重要であるが一般には難しい. しかし, [[ジャクソンネットワーク|ジャクソン]]や[[BCMPネットワーク|BCMP]]ネットワークのように定常分布が解析的に得られる場合がある. 特に, これらのネットワークは[[積形式解|積形式]]の定常分布を持つ. このようなネットワークを一般に[[積形式ネットワーク]] (product form network) と呼ぶ. この他, [[集団移動型ネットワーク]] (batch movement network) などで, 特殊なサービス規律を適用すると定常分布が解析的に得られる場合がある. なぜこれらのネットワークでは定常分布が解析的に得られるのであろうか？一般的なモデルを対象にその理由を説明する.

'''マルコフ過程による記述'''　ネットワークをマルコフ過程によりモデル化する. このマルコフ過程には次の2つのタイプがある.

1. 各ノードの客数を主な状態とし, サービス中の客のサービス経過時間などを補助変数とするマルコフ過程で, 代表的なものに[[一般化セミマルコフ過程]] (generalized semi-Markov process, GSMPと略称化される) がある.

2. サービス時間と到着間隔の分布を指数分布と仮定したり, 1の補助変数の部分を相型分布などを使って離散化することにより, 離散的状態を持つマルコフ過程, すなわち, マルコフ連鎖としてモデル化する.

　1のモデルは2のモデルで十分に近似することができるので, 以下では2のモデルを使う. 一般に待ち行列ネットワークをマルコフ連鎖で表すには, その[[推移速度行列|推移率関数]]を次の要素に分けると見通しがよい.

:*[[内部推移率]]：ノードの内部的な変化 (サービスの進行など) を表す部分

:*退去推移率：退去とそのときの状態変化を表す部分

:*[[経路選択確率]]：退去から次のノードへの到着を表す部分

:*到着推移確率：到着による状態変化を条件付き確率で表す部分

　例えば, <math>M\, </math>個のノードを持つ[[開放型待ち行列ネットワーク|開放型ネットワーク]]で, 複数のクラスの客があり, 各客はサービス完了後のクラスとノードにのみに依存した確率で次のノードとクラスを選択するとする. なお, 各ノードには, <math>1, 2, \ldots\, </math>と番号のついたサービス位置があり, <math>n\, </math>人の客がいるときには, <math>1, 2, \ldots, n\, </math>のサービス位置を占める. ノード<math>j\, </math>での各サービス位置の客のクラスとサービスの経過状態からなるベクトルを<math>\boldsymbol{x}_j\, </math>とすれば, ネットワークの状態は <math>\boldsymbol{x} = (\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_M)\, </math> と表すことができる. このネットワークはジャクソンや BCMPネットワークを一般化したモデルである.

　このネットワークで, ノード<math>j\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客の退去推移率を <math>q_{ju}^{\rm{D}}\, </math>, その客が退去後ノード<math>k\, </math>へクラス<math>v\, </math>の客として到着する経路選択確率を <math>r_{ju, kv}\, </math>, ノード<math>k\, </math>での到着推移確率を <math>p_{kv}^{\rm{A}}\, </math> とする. この場合のサービス完了から到着までを表す推移は, ノード<math>j, k\, </math>の状態が<math>\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_k\, </math> から <math>\boldsymbol{x}_j', \boldsymbol{x}_k'\, </math> へ変わったとすると,

<center>
<math>
q_{ju}^{\rm{D}}
(\boldsymbol{x}_j, \boldsymbol{x}_j')
\, r_{ju, kv} \, p_{kv}^{\rm{A}}
(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_k')
\, </math>
</center>

である. なお, 開放型の場合は, 外部をノード<math>0\, </math>とみなし, ネットワーク状態に取り入れる. ただし, 外部からの到着がポアソン過程に従うならば, ノード<math>0\, </math>からの退去率<math>q_{0u}^{\rm{D}}
(\boldsymbol{x}_0, \boldsymbol{x}_0')\, </math>は各<math>u\, </math>に対して定数であり, ノード<math>0\, </math>の状態をネットワーク状態に取り入れる必要はない. ネットワーク全体の推移率<math>q\, </math>は, このような退去・到着による推移率と内部推移率の総和である([6]参照).

'''局所平衡'''　BCMPや[[ケリーネットワーク|ケリー]]ネットワークの特徴は, この推移率<math>q\, </math>の定常分布<math>\pi\, </math>が次の[[局所平衡方程式]] (local balance equation)を満たすことにある [4]. サービスを受ける位置に番号をつけ, 位置<math>\ell\, </math>にいるクラス<math>u\, </math>の客を<math>(\ell, u)\, </math>とするとき,

<center>
<math>
\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> (\ell, u) \, </math>の客がノード <math> j \, </math> でサービスを完了する率 <math> \ )
\, </math>

::<math>
\qquad = \sum_{\boldsymbol{x}'} \pi(\boldsymbol{x}') ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math>でサービスの完了または到着があり,

::::<math> \ \ \ (\ell, u) \, </math> の客がノード <math> j \, </math>に到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ ) \, </math>
</center>

逆に, サービス時間分布が一般の場合にこの方程式が成り立つならば, サービス規律は[[対称型サービス規律|対称型]] である [1]. さらに, 内部推移についても同様な局所平衡方程式が成り立ち, すべての局所平衡方程式を加えると[[大域平衡方程式]] (global balance equation)が得られる. これより, <math>\pi\, </math>が局所平衡方程式を満たせば, 定常分布であることが確認できる. この局所平衡方程式は, 客の残りサービス時間や経過サービス時間が客の配置と独立であることと同値である. 積形式に加えこの独立性が成り立つとき[[2重積形式]] (double product form)を持つという.

　局所平衡方程式は, 複数のノードで同時に退去や到着が起こる集団移動型のモデルの解析においても役立つ. このネットワークの状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>は各ノードの客数を要素とするベクトルであり, 集団をベクトル<math>\boldsymbol{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_M)\, </math>で表すとき, <math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去がネットワーク状態に依存した率で起こる. この集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>が集団<math>\boldsymbol{v}\, </math>となって到着する確率を<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>とする. このモデルで, 局所平衡方程式

<center>
<math>
\pi(\boldsymbol{x}) ( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x} \, </math> で <math> \boldsymbol{u} \, </math> が退去する率 <math> \ )
\, </math>

::<math>
\quad = \sum_{\boldsymbol{x}', \boldsymbol{v}} \pi(\boldsymbol{x}')
( \, </math> 状態 <math> \boldsymbol{x}' \, </math> で <math> \boldsymbol{v} \, </math> が退去し, <math>
\boldsymbol{u} \, </math> が到着し状態が <math> \boldsymbol{x} \, </math> となる率 <math> \ )
\, </math>
</center>

が, 任意の状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>とすべて集団<math>\boldsymbol{u}\, </math>について成り立つならば. 定常分布<math>\pi\, </math>を求めることができる [1]. 例えば, 推移行列{<math>r_\boldsymbol{uv}\, </math>}が定常分布<math>\nu\, </math>を持ち, 任意に与えた正値関数<math>\Phi\, </math>と非負値関数<math>\Psi\, </math>に対して, 状態<math>\boldsymbol{x}\, </math>での<math>\boldsymbol{u}\, </math>の退去率が

<center>
<math>
\frac {\Psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{u})}{\Phi(\boldsymbol{x})} \nu(\boldsymbol{u})
\, </math>
</center>

であるならば, 局所平衡方程式が成り立ち, 定常確率<math>\pi(\boldsymbol{x})\, </math>は<math>\Phi(\boldsymbol{x})\, </math>に比例する [3]. このネットワークはWalrand [5] の離散時間同期型ネットワークや[[回線交換網]]などを特別な場合として含む. この種のネットワークは, 転送確率<math>r_\boldsymbol{uv} \, </math>がネットワークの状態に依存する場合にも拡張されている [1].

'''逆時間過程'''　局所平衡方程式は一般の積形式ネットワークでは必ずしも成立しない. 例えば, 到着により客が減る[[負の客]] (negative customer) [2] や負の客が瞬間的に複数のノードを通過するネットワークも積形式解を持つが局所平衡は成立しない [1]. この種のネットワークの解析には, 時間を逆転した確率過程すなわち[[逆過程]] (reversed process)が有効である. 一般に定常なマルコフ連鎖の逆過程もまた定常なマルコフ連鎖となることから, 逆過程の推移率を推測できれば, 定常分布<math>\pi\, </math>が求められる([6] 参照).

'''準可逆性'''　多くの積形式ネットワークでは, 各ノードを切り離し客をポアソン到着させると退去もまたポアソン過程となる. これを[[準可逆性]] (quasi-reversibility)と呼ぶ. ノード<math>j\, </math>の準可逆性は, 切り離してポアソン入力した場合の定常分布を<math>\pi_j\, </math>とすれば, 各クラス<math>u\, </math>に対して,

<center>
<math>
\ (
\, </math>クラス <math> u \, </math> の退去が起こり状態が <math> \boldsymbol{x}_j \, </math> となる率 <math> \ )
= \beta_{ju}\ \pi_j(\boldsymbol{x}_j)
\, </math>
</center>

となる定数<math>\beta_{ju}\, </math>が存在することに等しい. 逆に準可逆性を持つノードをネットワーク状態に独立な確率的経路選択で結合すると積形式ネットワークとなる. 準可逆性を使った積形式ネットワークの構成は負の客のあるネットワークに対しても有効である. しかし, 準可逆性は積形式を持つための必要十分条件ではない(客のみを持つネットワークでは必要十分条件となる [1]). なお, 準可逆性を持つネットワークを定常分布が得られるように退去率や到着確率をネットワーク全体の状態に依存する形に拡張する方法も工夫されている[1]

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'''参考文献'''

[1] X. Chao, M. Miyazawa and M. Pinedo, ''Queueing Networks, Customers, Signals and Product form'', John Wiley & Sons, 1999.

[2] E. Gelenbe, "Product-form Queueing Networks with Negative and Positive Customers" ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 656-663.

[3] W. Henderson and P. G. Taylor, "Product Form in Networks of Queues with Batch Arrivals and Batch Services," ''Queueing Systems'', '''6''' (1990), 71-88.

[4] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.

[5] J. Walrand, "A Discrete-time Queueing Network," ''Journal of Applied Probability'', '''20''' (1983), 903-909.

[6] 宮沢政清, 「待ち行列ネットワークと積形式解」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 442-448.

《待ち行列ネットワーク(BCMP型とその応用)》

2007-07-19T04:45:07Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーく (びーしーえむぴーがた) (BCMP network) 】'''

　[[待ち行列ネットワーク]] (queueing network) において, ネットワーク全体の定常分布が各ノードの状態の周辺分布の積として表されるとき, このようなネットワークは一般に[[積形式解]] (product form solution) を持つといわれる. 最初に研究された一連の積形式ネットワークは, [[ジャクソンネットワーク]] (Jackson network) と呼ばれている. ジャクソンネットワークは, 定常分布の表現が簡単であるので広く応用されてきたが, 経路をあらかじめ選択できない, 指数サービスに限定される, などモデルの制約が強い. これに対して, ジャクソンネットワークを拡張して, 客に客の[[客のクラス|クラス]]を設け, かつより一般的なサービス機構にしても積形式解をもつことが, Baskettら [1] やKelly [2] の研究によって明らかにされた. ここでは, 前者を[[BCMPネットワーク]] (BCMP network) [3], 後者を[[ケリーネットワーク]] (Kelly network) と呼ぶ.

'''BCMPネットワーク''' BCMPネットワークは, 次のように定義される.

:*ネットワークは<math>M\, </math>個のノードから成り, 客は<math>C\, </math>個のクラスのいずれかに属する. この他に外部を表すノード<math>0\, </math>があるとする.

:*外部から到着した客は, 確率<math>r_{0, (i, c)}\, </math>でノード<math>i\, </math>に行き, クラス<math>c\, </math>の客となる. ノード<math>i\, </math>のクラス<math>c\, </math>の客は, サービス終了後確率<math>r_{(i, c), (j, d)}\, </math>でノード<math>j\, </math>のクラス<math>d\, </math>の客となり, 確率<math>r_{(i, c), 0}\, </math>でネットワークから退去する.

:*客は外部から率<math>\lambda\, </math>のポアソン過程に従って到着する. (到着率は, ネットワーク内の人数, または経路選択行列で構成されるマルコフ連鎖の部分連鎖の人数に依存してもよい. )

:*各ノードのサービス規律は先着順, プロセッサ・シェアリング, 無限サーバ, 後着順割込継続型のいずれかにしたがう. 各クラスの客のサービス要求量の分布は, 先着順の場合はクラス共通の指数分布のみであるが, その他の場合はクラスに依存してもよく, 任意の分布が許される.

　<math>r_{0, (i, c)}\, </math>, <math>r_{(i, c), (j, d)}\, </math>, <math>r_{(i, c), 0}\, </math>などで表される確率による経路選択はネットワークの状態とは独立であると仮定されるので, このような経路選択をマルコフ的経路選択ともいう. マルコフ的経路選択では, すべてのノード, クラスのペア <math>(i, c)\, </math> に対して正の経路選択確率をたどって外部から到達でき, また正の経路選択確率をたどって外部に出られるならば[[開放型待ち行列ネットワーク|開放型]] (open network), すべてのノード, クラスのペアに対して<math>r_{0, (i, c)}=0\, </math>, <math>r_{(i, c), 0}=0\, </math>であれば[[閉鎖型待ち行列ネットワーク|閉鎖型]] (closed network) である.

'''積形式定常状態確率'''　いま, ノード<math>i\, </math>への客の到着を[[トラヒック方程式]] (traffic equation)

<center>
<math>
\lambda_{(i, c)} = \lambda r_{0, (i, c)} +
\sum_{j=1}^M \sum_{d=1}^C \lambda_{(j, d)} r_{(j, d), (i, c)}
\, </math>
</center>

の解<math>\lambda_{(i, c)}\, </math>に等しい率のポアソン到着としてノードの状態の周辺分布を求めると, BCPM型ネットワークの定常分布はこの周辺分布の積で表現できる.

'''対称型サービス規律'''　BCMPネットワークとケリーネットワークの2つの研究は, ほぼ同時期に独立に行われたが, 本質的には同種類のモデルである. しかしKellyの研究は, 積形式解をもつネットワークの範囲がBCMP型のプロセッサ・シェアリング, 無限サーバ, 後着順割込継続型を含む, より一般的な[[対称型サービス規律]] (symmetric service discipline) に拡張されている点と, 客のクラスを経路情報を含めた形で設定すれば客の経路を決定論的に定めることができることを明示した点で重要である. 以下, 対称型サービス規律について説明する.

　対称型サービス規律ではノード内の客の位置を区別し, ノード<math>i\, </math>に客が<math>m\, </math>人いるときのノード<math>i\, </math>の状態 <math>\boldsymbol {x_i} \, </math> を, 位置<math>k\, </math>の客のクラス<math>c_k\, </math>とその客の残余サービス要求量 (サービス要求量の分布が相型分布の場合は客のいる相番号)<math>\phi_k\, </math>を用いて, <math>\boldsymbol{x_i} = (c_1, \phi_1, c_2, \phi_2, \cdots, c_m, \phi_m)\, </math> と表現する. ノード<math>i\, </math>の状態が <math>\boldsymbol{x_i}\, </math> であるときこのノードに客が到着すると, 客は確率 <math>\gamma(m+1, k)\, </math> で位置<math>k\, </math>を選択し, このとき位置 <math>l>k\, </math> にいた客は位置<math>l+1\, </math>に移る. また, 状態 <math>\boldsymbol{x_i}\, </math>において位置<math>k\, </math>の客が退去すると, 位置 <math>l>k\, </math> にいた客は位置 <math>l-1 \, </math> に移る. さらに, ノード<math>i\, </math>の状態が <math>\boldsymbol{x_i}\, </math> であるとき, このノードの総サービス率は <math>\varphi(m)\, </math> で与えられ, 総サービス率は位置kの客に <math>\gamma(m, k)\, </math> の割合で配分される. すなわち, 位置<math>k\, </math>の客のサービス率は <math>\varphi(m) \gamma(m, k)\, </math> となる. 対称型という言葉は, 到着した客が各位置へ割り付けられる確率とその位置で客が受けるサービスの割合が比例する点に由来する. また, 対称型サービスでは, 客がノードに到着してから退去するまでの平均応答時間が, その客のサービス要求量に比例することが知られている.

　BCMPやケリーネットワークの特徴は, [[局所平衡方程式|局所平衡]] (local balance) 方程式を満たすことにある. これによって, 積形式解が直接導かれ, また積形式解が[[大域平衡方程式|大域平衡]] (global balance) 方程式を満足すること (定常分布であること)も容易に証明できる. また, サービス時間分布が一般の場合は, 対称型サービス規律はサービス位置を区別した最も詳細な局所平衡方程式が成り立つための必要十分条件となる. 対称型サービス規律はこの局所平衡方式から自然に導かれたと考えられる.

　対称型サービス規律では, 各ノードの状態確率がサービス時間分布の形とは無関係に, その平均値のみによって定まる. この性質は[[不感性]] (insensitivity)と呼ばれている. また, 局所平衡が成り立つネットワークは不感性をもつこともわかる. 不感性をもつ代表的なシステムの例としては, 呼がポアソン過程に従って発生する[[回線交換網]] (circuit switching network) が挙げられ, 呼損率は保留時間の分布形に関係なく平均値によってのみ定まる.

　ネットワークが積形式解をもつ証明の別法として, 元の確率過程の時間を逆転した[[逆過程]] (reversed process) を用いる方法が提案されている [2], [4]. 関連した方法に[[準可逆性]](quasi-reversibility) という性質を使う証明がある. この場合には, 各ノードが準可逆性を持つことを示し, 準可逆性を持つノードをマルコフ的経路選択で結合すると積形式ネットワークとなることを利用する. この方法は, 積形式を持つネットワークを構成するためにも有効な方法である.

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'''参考文献'''

[1] F. Baskett, K. M. Chandy, R. R. Muntz and F. G. Palacios, "Open, Closed, and Mixed Networks of Queues with Different Classes of Customers," ''Journal of Association for Computing Machinery'', '''22''' (1975), 248-260.

[2] F. P. Kelly, ''Reversibility and Stochastic Networks'', John Wiley & Sons, 1979.

[3] 橋田温, 「最近のネットワーク手法」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''26''' (1981), 205-212.

[4] J. Walrand, ''An Introduction to Queueing Networks'', Prentice-Hall, 1988.

《待ち行列ネットワーク(ジャクソン型とその応用)》

2007-07-19T04:41:35Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーく (じゃくそんがた) (Jackson network) 】'''

　ジャクソン型待ち行列ネットワークは, J. R. Jackson [3] によって導入された最も基本的な[[待ち行列ネットワーク|待ち行列ネットワークモデル]]である. このモデルではシステムの状態変化がマルコフ連鎖で記述され, 定常状態確率が[[積形式解|積形式]]で陽に表現される. 計算機システムの性能評価をはじめ実際問題の解析にも頻繁に応用されている.

'''ジャクソンネットワーク'''　ジャクソン型待ち行列ネットワークでは, 各ノードは[[指数サービス]]を行う1つもしくは複数の窓口と1つの容量無限の待ち合室 (バッファ) からなり, あるノードでサービスを終えた客は[[経路選択確率]]と呼ばれる一定の確率で次のノードを選ぶ. ネットワークのノード数を <math>M\, </math> とし, 各ノードをノード <math>1, 2, \ldots, M\, </math> で表す. ノード <math>i\, </math> におけるサービス率はそのノードにいる客数 <math>n\, </math> の関数として <math>C_i(n)\, </math> で与えられる. 例えばノード <math>i\, </math> の窓口数が <math>c\, </math>, 各窓口のサービス率が <math>\mu\, </math> ならば, <math>C_i(n)=\min(n, c)\mu\, </math> である. ノード <math>i\, </math> でサービスを終えた客は経路選択確率 <math>p_{ij}\, </math> でノード <math>j\, </math> に移動する.

　ジャクソンネットワークは, 外部からの客の到着を仮定する[[開放型待ち行列ネットワーク|開放型]]と, 外部からの到着はなく, 常に一定数 <math>N\, </math> の客がネットワーク内を移動する[[閉鎖型待ち行列ネットワーク|閉鎖型]]に大別される. 開放型の場合, 客は外部から到着率 <math>\lambda\, </math> のポアソン過程にしたがって到着する. 外部から到着した客は確率 <math>p_{0i}\, </math> でノード <math>i\, </math> に進み, ノード <math>i\, </math> のサービスが終了した客は確率 <math>p_{i0}\, </math> で網から退去する. <math>0\, </math> を含むすべての <math>i\, </math> について <math>\textstyle \sum_{j=0}^M p_{ij} =1\, </math> である. ただし <math>p_{00}\, </math> は <math>0\, </math> とする. 閉鎖型の場合は, すべての <math>i\, </math> について <math>\textstyle \sum_{j=1}^Mp_{ij} =1\, </math> である. 経路選択確率 <math>p_{ij}\, </math> からなる正方行列を <math>P\, </math> とする. 開放型の場合 <math>P\, </math> は <math>M+1\, </math>次であり, 閉鎖型の場合<math>M\, </math>次である. 小さなモデルに分割されるケースを除外するため, <math>P\, </math> をマルコフ連鎖の推移確率行列とみたとき, 既約であると仮定する.

'''定常状態確率'''　この待ち行列網の状態を <math>(n_1, n_2, \ldots, n_M)\, </math> で表す. ここで <math>n_i\, </math> はノード <math>i\, </math> にいる客の数である. 定常状態確率を <math>p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}\, </math> とすれば, これは次のような積形式になる.

<center>
<math>
p_{(n_1, n_2, \ldots, n_M)}=G^{-1} \prod_{i=1}^M
\prod_{n=1}^{n_i} \frac{\alpha_i}{C_i(n)}
\, </math>
</center>

ここで <math>n_i=0\, </math> のときは上記の積は1とみなす. <math>G\, </math> は正規化定数であり, <math>\alpha_i\, </math> <math>(i=1, 2, \ldots, M)\, </math> は[[トラヒック方程式]]と呼ばれるつぎの方程式の解である.

<center>
<math>
\alpha_i = p_{0i}\lambda + \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji},
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad
\, </math>　開放型
</center>

<center>
<math>
\alpha_i = \sum_{i=1}^M \alpha_j p_{ji},
\quad i=1, 2, \ldots, M, \qquad
\, </math>　閉鎖型
</center>

これらの式は, 各ノード毎に <math>\alpha_i\, </math> を到着率とみなし, これが退去率に等しいとして得られる1次の連立方程式と解釈できる. 開放型の場合, <math>\alpha_i\, </math> は一人の客がネットワークに到着してから退去するまでにノード <math>i\, </math> を訪問する平均回数に<math>\lambda\, </math>を乗じたものとなっている. 閉鎖型の場合, トラヒック方程式は <math>P\, </math> の定常状態確率を求める方程式と同一であり, さらに例えば <math>\alpha_1=1\, </math> という条件をおけば, <math>\alpha_i\, </math> はノード1に到着してからまた再びノード1に戻ってくるまでにノード <math>i\, </math> を訪問する平均回数という意味をもつ.

'''いろいろな性質'''　定常分布が積形式となることから, ジャクソンネットワークではいろいろ好ましい性質が成り立つことが証明されている. まず開放型の場合, 任意時点での各ノードの客の数は互いに独立になる. ただし, 閉鎖型の場合は可能な状態が <math>\textstyle \sum_{i=1}^M n_i =N\, </math> を満たすものに限られるので, 客の数は独立とはならない. また, 閉鎖型も含め, 各ノードからの退去過程はポアソン過程になる. したがって, どんな部分ネットワークに対しても, 部分ネットワーク全体を1つのノードで置き換えて, 他の部分の定常分布が変わらないようにすることができる. すなわち[[ノートンの定理]]が任意の部分ネットワークに対して成り立つ [8]. さらに, 1つのノードへの到着時点で, 到着した客が見るネットワークの状態の分布は任意時点の状態分布と一致する. これを[[到着定理]]という. ただし, ネットワークが閉鎖型の場合には, 任意時点の分布として (到着した客を除いたことに対応する) システム内客数が <math>N-1\, </math> のネットワークにおける定常分布を使う. さらに客の退去時点での分布も同様であり [4], この分布のもとで, ノード <math>i\, </math> に到着してから次にそこに戻るまでの平均周期は, ノードごとの平均訪問回数と平均待ち時間の積の総和で与えられる.

　正規化定数, スループット, 各ノードの平均客数などを求めることは, 開放型ネットワークの場合は容易である. 各ノードの客数が互いに独立になるためである. しかし, 閉鎖型の場合には, 可能な状態が <math>\textstyle \sum_{i=1}^M n_i =N\, </math> を満たすものに限られるという制約のため, 工夫が必要である. 例えば, 正規化定数を計算する方法として, [[たたみ込み法]]や[[平均値解析法]]が知られている[2]. たたみ込み法では, ノード <math>i\, </math> に対し, <math>N+1\, </math> 次元のベクトルを

<center>
<math>
X_i=(X_i(0), X_i(1), \ldots, X_i(N)),
\quad X_i(0)=1, \quad X_i(n)=\prod_{j=1}^n \alpha_i/C_i(j),
\ n>0
\, </math>
</center>

とし, これらのベクトルを客数の和が <math>N\, </math> 以下の範囲でたたみこみ演算して <math>G\, </math> を求める. 平均値解析法は到着定理と[[リトルの公式]]を応用し, 各ノードの平均客数, 1回あたりの平均滞在時間, スループットなどを, システム内客数 <math>N\, </math> について <math>0\, </math> から繰り返し計算する方法である. 各ノードでの規律は, 平均待ち時間が到着時点での平均客数と平均サービス時間から求まるもの, 例えば先着順であること, が本質的である.

　待ち時間の分布については, 特殊なネットワークについてのみ考察されている. 開放型で, サーバー数が1のノード (規律は先着順) が直列に並んでいるネットワークもJackson型の一つであるが, このネットワークで一人の客の各ノードでの滞在時間は互いに独立であることが[[バークの定理]]として知られている [1],[6]. これを閉鎖型にした場合, すなわち最後のノードを退去した客は必ず最初のノードに戻る循環型のネットワークでも, 一周する間の一人の客の各ノードでの滞在時間の同時分布も一種の積の形となる [7]. これはどの客も他の客に追い越されることがない (overtake free) という性質が本質的であり, バークの定理はこの影響がない最初と最後のノードでのサーバー数が複数の場合でも成り立つ. 特に最後のノードのサービス時間分布は任意でよい. その他, セントラルサーバモデルで規律がプロセッサーシェアリングである場合の研究もある [5].

　履歴により経路選択確率が変化する場合も含め, 客のクラスが複数の場合の[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型]]については, 発展型である[[BCMPネットワーク|BCMP型]], [[ケリーネットワーク|ケリー型]]などのネットワークで扱われる. また, 外部からの到着があるが, 系内に入ることができる客数に制限がある[[有限呼源待ち行列|有限呼源]] (もしくは損失型) の場合, 外部を一つのノードとみなすことにより, 閉鎖型に帰着できる [3].

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'''参考文献'''

[1] P. J. Burke, "The Output Process of a Stationary M/M/s Queuing System, ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''39''' (1968), 1144-1152.

[2] K. M. Chandy and C. H. Sauer, "Computational Algorithms for Product Form Queueing Networks," ''Communications of the Association for Computing Machinery'', '''23''' (1980), 573-583.

[3] J. R. Jackson, "Jobshop-like Queueing Systems," ''Management Science'', '''10''' (1963), 131-142.

[4] T. Kawashima, "A Property of Two Palm Measures in Queueing Networks and Its Applications," ''Journal of the Operations Research Society of Japan'', '''25''' (1982), 16-28.

[5] J. A. Morrison and D. Mittra, "Heavy-usage Asymptotic Expansions for the Waiting Time in Closed Processor-sharing Systems with Multiple Casese," ''Advances in Applied Probability'', '''17''' (1985), 163-185.

[6] E. Reich "Note on Queues in Tandem," ''The Annals of Mathematical Statistics'', '''34''' (1963), 338-341.

[7] R. Schassberger and H. Daduna. "Sojourn Times in Queueing Networks with Multiserver Nodes," ''Journal of Applied Probability'', '''24''' (1987), 511-521.

[8] J. Walrand, ''An Introduction to Queueing Networks'', Prentice Hall, 1988.

《待ち行列ネットワーク》

2007-07-19T04:38:02Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつねっとわーく (queueing network) 】'''

　複数の待ち行列システム(以下ノードと表記)が, 図1のようにネットワーク上に結合された数学モデルを[[待ち行列ネットワーク]] (queueing network あるいは network of queues) と呼ぶ.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Network.png|center|図１：待ち行列ネットワーク]]</td></tr>
<td align=center>図１：待ち行列ネットワーク</td></table></center>

　各ノード間の移動は通常確率的に選択される. 例えばノード <math>i</math> から <math>j</math> は確率 <math>r_{ij}</math> で移動する. [[経路選択確率]] (routing probability) あるいは分岐確率 (branching probability) と呼ぶ. このモデルの確率的な振る舞いを解析し, 待ち時間・待ち行列長・スループットなどに関する性能評価量を算出することが目的である.

　これらのモデルにおいては, あるノードからの退去過程は他のノードへの到着過程になることから, ノード間の従属性が生じる. さらにはネットワークにフィードバック・ループがある場合には, 退去した客が再度到着する可能性もあり, 到着客間にも従属性が生じる. これらのことから個別のノードを取り出し, 解析するのは不可能であり, ネットワーク全体を捉えた解析が必要である. これまでに解析的にはマルコフ性を保持しながら, [[積形式解]]が得られる範囲内で, 現実のシステムにより近いモデルが次々と発表されて来た. 待ち行列ネットワークは, 外部との関わり方で[[開放型待ち行列ネットワーク|開放型ネットワーク]] (open network) と[[閉鎖型待ち行列ネットワーク|閉鎖型ネットワーク]] (closed network) に分類が可能である.

'''開放型ネットワーク'''　開放型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着があり, またネットワーク外への退去もある. 従ってネットワーク内の総客数は可変であり, 一定ではない. 例えば蓄積交換型のパケット交換網では, パケット送信要求の発生が客のネットワークへの流入に相当し, 各交換機およびそれに付随するバッファが各ノードに対応する. 従って目的局に受信されることが, ネットワークからの退去に当たる.

　図2のように直列に繋がったモデルを[[直列型待ち行列]] (tandem queue あるいは series queue) と呼ぶが, これは代表的な開放型ネットワークである. 直列型待ち行列は生産ラインの性能評価などに多用される.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-1.png]]</td></tr>
<td align=center>図２：直列型待ち行列<br><br>[[スタイル検討#待ち行列ネットワーク (0123-b-b-01-1)|スタイル検討]]</td></table></center>



'''閉鎖型ネットワーク'''　一方閉鎖型ネットワークにおいてはネットワーク外からの客の到着, 外への退去はない. 従って総客数が常に一定に保たれる. これは例えば一定台数の機械から構成されるシステムにおいて, 機械の故障・修理を考慮した性能評価を行なう際に用いられる. あるいはマルチプログラミング環境下で動作する計算機システムのように, 内部にCPU, I/O機器などのサーバおよびそれに付随した待ち行列があり, 総客数は一定に保たれている場合に相当する. 計算が完了したジョブ/トランザクションはネットワークから消滅するが, それと同時にネットワーク外のバッファに貯えられていたジョブ/トランザクションが投入され, 結果として総数が変わらないような場合にも適用が可能であり, 計算機アーキテクチュアなどの評価に用いられている.

　閉鎖型ネットワークで, 機械修理問題に見られるように, 稼動状態, 修理待ち状態, 検査待ち状態のそれぞれに対応するノードを順番に訪問し, 客の流れが同一方向で, 訪問する待ち行列の順番が一定な直列型待ち行列を, 特に循環型待ち行列 (図3参照) と呼ぶ.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:0123-Cyclic.png|center|図３：循環型待ち行列]]</td></tr>
<td align=center><br>図３：循環型待ち行列</td></table></center>

　また図4に示すように, 計算機システムをモデル化した閉鎖型ネットワークで, 中央に位置するサーバ (CPU に相当) と複数の他のサーバ (入出力機器などの周辺機器に相当) およびそれに付随する待ち行列からなり, 客がこれらの間を交互に行き来するモデルを[[セントラルサーバモデル]]と呼ぶ.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0123-b-b-01-2.png]]</td></tr>
<td align=center>図４：セントラルサーバモデル<br><br>[[スタイル検討#待ち行列ネットワーク (0123-b-b-01-2)|スタイル検討]]</td></table></center>



　また単一待ち行列モデルで客の母集団が有限である場合も, 閉鎖型ネットワークの一例と見ることも可能である.

'''混合型ネットワーク'''　さらに客が優先権, 待ち行列ネットワーク内の移動経路などの属性により複数クラスに分類され, 一部のクラスに属する客に関しては開放型で, 他のクラスの客に関しては閉鎖型のネットワークを[[混合型待ち行列ネットワーク|混合型ネットワーク]]と呼ぶ.

'''ブロッキング'''　待ち行列ネットワークの別の分類として, 各ノードで許容される待ち行列長に関する制限の有無に依るものがある. 制限が無い場合には適当なモデル化の仮定を設ければ積形式解を用いた実用的な計算が可能であるが, 制限がある場合には, ブロッキングが発生し, ノード間のより一層複雑な従属性が生じ, 有効な解析法は存在しない. このような場合には近似的なアプローチを取らざるを得ない. ブロッキングとは, 次に訪問するノードの待合室が一杯のときに移動が妨げられることを言う. この結果, 元のサーバが次の客へのサービスを行なえない, 客がいるにも拘わらずサービスが開始されない, というようなことが起こる. 例えば多段工程からなる生産ラインでは, 各工程における仕掛品置き場が十分でないと, ブロッキングによってラインの流れが滞る. また, 通信網では, ブロッキングによって, 客であるパケット/メッセージなどが消滅したり, もう一度はじめから送信し直さなければならなくなったりする.

'''待ち行列ネットワークの応用'''　待ち行列ネットワークは, 従来単一待ち行列システムでモデル化されていた生産・通信・コンピュータ・輸送・交通システムのネットワーク化に伴い, その重要性が増しており, 積形式解を持つモデルの数値計算を支援するソフトウェア・パッケージなども提供されている.

《待ち行列における近似》

2007-07-19T04:33:52Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつにおけるきんじ (approximations for queues) 】'''

　待ち行列における近似は, 近似対象を比較的狭い範囲に固定した簡易式としての位置付けの近似式と, 汎用モデルとしての位置付けの近似解法に大きく2分される. いずれも, 解析が非常に難しい, あるいは解析は可能だが特性量の計算に非常に長い時間を要する待ち行列に対して必要かつ有用である.

　標準型待ち行列GI/G/<math>s\, </math>は, そのモデルの一般性から, これまで数多くの近似式が提案されている. 特に, 客の到着がポアソン過程にしたがうM/G/<math>s\, </math>待ち行列とその変形[[集団待ち行列|集団到着]], [[有限待合室モデル|有限待合室]], [[優先権]]等)に対しては, モデルの重要性と厳密な解析の困難さのために, 待ち行列理論の歴史の中でもかなり早い段階から研究が進められてきた.

　簡易式としての位置付けから, 平均待ち時間<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>にはとりわけ多くの近似式が提案されている. <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>に対する近似式が最低限満たすべき性質は以下の3つである.

1. <math>s=1\, </math>のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1} )\, </math>に対する[[ポラチェック・ヒンチンの公式]]と整合すること.

2. 指数サービス時間分布のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})\, </math>と整合すること.

3. 重負荷(heavy traffic)時における漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 1}\, (1-\rho) \, \mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})=\frac{1+c_s^2}{2s\mu}
\, </math>
</center>

と整合すること. ただし, <math>\rho=\lambda/s\mu\, </math> はトラフィック密度, <math>\lambda\, </math> は到着率, <math>\mu\, </math> はサービス率, <math>c_s\, </math> はサービス時間分布の変動係数を表す.

これらをすべて満たす近似式として, [[リー・ロントンの近似式]](Lee-Longton approximation) [5] が知られている. リー・ロントンの近似式は, <math>0\leq c_s<1\, </math>のとき過小評価, <math>c_s>1\, </math>のとき過大評価する傾向がある. さらに正確な近似式を得るためには, 性質 1-3に加えて

4. 一定サービス時間分布のとき, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/D}/s} )\, </math>と整合すること.

5. <math>s\to\infty\, </math>のときの漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{s\to\infty}\frac{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}=1
\, </math>
</center>

:と整合すること.

6. 軽負荷(light traffic)時における漸近的性質

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 0}\frac{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}= s\mu\int_0^{\infty}\{1-G_e(t)\}^s dt
\, </math>
</center>

と整合すること. ここで, <math>G_e(\cdot)\, </math>はサービス時間分布の平衡分布を表す.

を満たすことが要求される. 性質 1-5を満たす近似式の中で, 木村の近似式(Kimura's approximation) [1]

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s})\approx\frac{1+c_s^2}{\displaystyle\frac{2c_s^2}
{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/M}/s})}+\frac{1-c_s^2}{\mbox{E}(W_q^{{\rm M/D}/s})}}
\, </math>
</center>

は, <math>c_s\, </math> の値に依らず比較的安定した精度をもつことが知られている.

　性質1-5まではサービス時間の2次までのモーメント(平均, 分散)のみを用いて表されるため, これらの性質を用いて得られる近似式を2モーメント近似(two-moment approximation)と呼ぶ. これに対し, 性質 6はサービス時間の分布情報を必要とするため, 性質1-6をすべて満たす近似式は2モーメント近似よりも簡易式としての利便性をやや欠くことになる. さらに, 中程度以上の負荷がかかる状況では近似精度で2モーメント近似との間で大きな差を生じないため, 実用上は性質 1-5を満たす2モーメント近似で十分である. 性質6はそれ自身[[軽負荷近似]] (light traffic approximation)として用いられることもある.

　M/G/<math>s\, </math>待ち行列の平均待ち時間以外の重要な特性量としては, 到着客の待ち確率(delay probability) <math>\Pi^{{\rm M/G}/s}\, </math>が挙げられる. 理論的および数値的検証によって

<center>
<math>
\Pi^{{\rm M/G}/s} \approx \Pi^{{\rm M/M}/s}
\, </math>
</center>

が非常に良い近似となることが確かめられており, アーランの待ち確率近似(Erlang delay probability approximation)と呼ばれている. この他, 待ち時間分布や系内客数分布に対する近似式 [7], 有限待合室の場合の呼損率に対する近似式 [3] 等が研究されている.

　一般到着分布をもつGI/G/<math>s\, </math>待ち行列に対する近似式は, M/G/<math>s\, </math>待ち行列ほど成功しているとは言い難い. その第1の原因は, 特性量が満たすべき性質の理論的解明が進んでいない点にある. 例えば<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s} )\, </math>に対する近似式が満たすべき性質としては, <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm M/G}/s} )\, </math>に対する性質に加えて

7. <math>\mbox{E}(W_q^{{\rm D/M}/s} )\, </math>あるいは<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/M}/s} )\, </math>と整合すること.

が課せられる程度でしかない. ここで, 重負荷時における性質3は, 到着時間間隔分布の変動係数を<math>c_a\, </math>とすると

<center>
<math>
\lim_{\rho\to 1}(1-\rho)\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s})
=\frac{c_a^2+c_s^2}{2s\mu}
\, </math>
</center>

で置き換えられることに注意しよう. また第2の原因としては, 到着過程の3次以上のモーメントが特性量に強く影響するために, 簡易な2モーメント近似が本質的に得にくい点が挙げられる. 性質1-5および7を満たす<math>\mbox{E}(W_q^{{\rm GI/G}/s} )\, </math>に対する近似式としては[[ページの近似式]] (Page's approximation) [6] が知られているが, <math>c_a>1\, </math>または<math>c_s>1\, </math>のとき過大評価する傾向がある. この他の近似式については [2]を参照のこと.

　汎用モデルとして位置付けられる近似解法は極めて限られる. [[流体近似]] (fluid approximation)と[[拡散近似]] (diffusion approximation) [4] は, 待ち行列における代表的な汎用モデルである. 両者は, 系内客数過程のような離散値確率過程を連続値を取る過程でモデル化するという点で共通している. この意味で, これら2つの近似解法を待ち行列の連続モデルと捉えることもできる. 系内客数過程<math>\{N(t);\, t\geq 0\}\, </math>を例に取ると, 拡散近似は, 適当な境界条件の下で線形確率微分方程式

<center>
<math>
\mbox{d}X(t)=(\lambda-\mu)\mbox{d}t+(\lambda c_a^2+\mu c_s^2)\mbox{d}B(t),
\qquad t\geq 0
\, </math>
</center>

で記述される[[ブラウン運動]] (Brownian motion)<math>\{X(t);\, t\geq 0\}\, </math>を<math>\{N(t);\, t\geq 0\}\, </math>の連続モデルとして用いる. ここで, <math>\{B(t);\, t\geq 0\}\, </math>は標準ブラウン運動を表す. 流体近似は, 確率変動を表すこの方程式の右辺第2項を無視した場合に相当する.

　連続モデルの一般的短所として, 過程の離散的性質を無視できない軽負荷時において, 離散モデルの厳密解との間に大きな乖離を生ずることが挙げられる. 特に, 流体近似においては <math>\rho<1\, </math> のとき行列が生じないため, その定常解析は意味をなさない. しかし, 解析的には連続モデルの方が離散モデルよりもむしろ容易であり, 過渡解析のモデルとしては離散モデルよりも優っている.

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'''参考文献'''

[1] T. Kimura, "A Two-Moment Approximation for the Mean Waiting Time in the GI/G/s Queue," ''Management Science'', '''32''' (1986), 751-763.

[2] T. Kimura, "Approximations for Multi-Server Queues: System Interpolations," ''Queueing Systems'', '''17''' (1994), 347-382.

[3] T. Kimura, "A Transform-Free Approximation for the Finite Capacity M/G/s Queue," ''Operations Research'', '''44''' (1996), 984-988.

[4] 木村俊一, 「拡散近似: 離散と連続のはざまで」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''42''' (1997), 540-546.

[5] A. M. Lee and P. A. Longton, "Queueing Process Associated with Airline Passenger Check-In," ''Operational Research Quarterly'', '''10''' (1957), 56-71.

[6] E. Page, ''Queueing Theory in OR'', Butterworth, 1972.

[7] H. C. Tijms, ''Stochastic Models: An Algorithmic Approach'', Wiley, 1994.

《待ち行列のバケーションサーバモデル》

2007-07-19T04:32:12Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつのばけーしょんさーばもでる (queueing model with a vacationing server) 】'''

　基本的な待ち行列の数多くの変形モデルのうちの1つとして, 客がいるといないとに拘らず, サービスが行なわれない期間 (これをサーバの[[バケーション]] (vacation) という) のあるモデルがある. サーバのバケーションがあるモデルは, 伝統的 (1960年代) には, サーバの始動毎に発生する費用と客の待ち時間に対する費用の釣合いを取る最適制御問題として研究された. 近年 (1970年頃以降) では, 確率分解定理と呼ばれる興味深い理論的性質と, 通信や生産システムの性能評価のための基礎的理論モデルとしての応用性が注目されている. 特に, M/G/1待ち行列のバケーションモデルと, 複数のM/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするポーリングモデルが活発に研究されている [1].

'''サーバのバケーション'''　サーバのバケーションによって表されるものは, 現実のシステムでは, 設備の故障と修理や予防保守の時間の他に, サーバの稼働準備と稼働後処理の時間, 十分な数(あるいは十分な仕事量)が待ち行列に溜るまで稼働開始を遅らせる時間等である. また, 通信方式の性能評価への応用において, 複数のユーザが1つの通信チャネル(サーバ)を時間分割で共有するシステム(例えば, 時分割多元接続やトークンリングLAN) では, 各ユーザにとって, 他のユーザのサービス時間やユーザの切替えに要する時間は, バケーションとみなされる. バケーションのない通常のシステムでも, 待ち行列が空である期間を, 客の到着により直ちに終了するバケーションとみなすことができる.

　[[待ち行列のバケーションサーバモデル|サーバのバケーションがある待ち行列]]では, サーバの状態は, 客のサービスを続けて行なう稼働期間と, 上記のような理由によるバケーションの期間が交互に繰り返して現れる. 従って, バケーションモデルは, サーバの稼働期間を終了する規則と, バケーション期間を終了する規則とにより, 分類することができる.

'''稼働期間を終了する規則'''　稼働期間を終了する規則には, 稼働開始後に続いてサービスされる客数に対する制限によって, (1)待ち行列が空になるまでサービスを続ける全処理式, (2)稼働開始時点で待ち行列にいた客だけをサービスし, その間に到着する客は, バケーション後の次の稼働期間でサービスするゲート式, 及び(3)一定数(例えば, 1人)の客をサービスするか, または待ち行列が空になるまでサービスを続ける制限式, という3つの基本方式がある.

'''バケーション期間を終了する規則'''　バケーション期間を終了する規則には, (1)サーバが1回のバケーションから帰ってきたときに待っている客がいなければ直ちにもう一度バケーションを取るという動作を, バケーション終了時に少なくとも1人の客が待っているようになるまで繰り返す多重バケーションモデル, (2)バケーションは1回だけで, その終了時に待っている客がいなければ, サーバは客が到着すればいつでもサービスを始められる状態で待つ単一バケーションモデル, (3)サーバの始動に要する時間を節約するために, <math>n \; ( > 1 )\, </math> 人の客が溜るまでサービスを始めない<math>n\, </math>-方策, 等がある.

'''確率的分解定理'''　[[待ち行列モデル M/G/1|M/G/1待ち行列]] のバケーションモデルにおける興味深い理論的性質として, [[確率的分解定理]] (stochastic decomposition theorem)について述べる. これは, 適当な条件の下で, バケーションモデルの[[平衡状態]] (equilibrium state)における客数 <math>N\, </math> の確率分布が, 対応するバケーションのないモデルの平衡状態における客数 <math>N _0\, </math> の確率分布と, バケーション期間のみに依存する客数<math> N _1\, </math> の確率分布の畳み込みに分割できるという定理である. 例えば, 多重バケーションモデルの平衡状態における任意時刻の客数について, 分解定理が成り立ち, このとき <math>N _1\, </math> はバケーション開始時の客数とバケーション中の任意時刻までに到着する客数の和である. ある場合においては, G/G/1待ち行列のバケーションモデルにおいても分解定理が成り立つ.

　さらに, サービスが[[先着順サービス|先着順]]に行なわれ, バケーションが将来の到着過程に依存しない場合には, 客の待ち時間の分布関数の[[ラプラス変換|ラプラス・スチルチェス変換]]に対する同様の分解定理も成り立つ. 例えば, M/G/1待ち行列の全処理式多重バケーションモデルにおいて, 客の平均待ち時間は, [[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula) として知られるバケーションのない場合の平均待ち時間と, 1回のバケーション時間<math> V\, </math> の平均前方再生時間 <math>\mbox{E} [ V ^2 ] / ( 2 \mbox{E}[V] )\, </math> の和で与えられる. 従って, <math>V\, </math> の分散が大きいシステムでは, <math>V\, </math> を一定長だけ延ばすと平均待ち時間が減少するというパラドクスが生じる [2].

'''ポーリングモデル'''　最後に, [[ポーリングモデル]] (polling model) について述べる. ポーリングモデルとは, 複数の待ち行列を1つのサーバが巡回的にサービスするシステムのことである. サーバが1つの待ち行列から次の待ち行列に移るための移動時間を仮定してもよい. 各待ち行列にとって, 他の待ち行列のサービス時間と移動時間は, サーバのバケーションとみなされる. M/G/ <math>\cdot\, </math> 待ち行列のポーリングモデルについても, 確率的分解定理が成り立つ. これを利用して, すべての待ち行列が同等な場合に, 平均待ち時間の公式が得られる. 各待ち行列のパラメタが異なる一般の場合に, 平均待ち時間を表す公式は得られていない(数値的には計算できる)が, それらにトラヒック強度の重みを付けて加えた量に対する疑似保存則 (quasi-conservation law) が導かれている [3, 4].

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'''参考文献'''

[1] H. Takagi, ''Queueing Analisis: A Foundation of Performance Evaluation'', Vols. 1-3, Elsevier, 1991, 1993, 1993.

[2] R. B. Cooper, S. -C. Niu and M. M. Srinivasan, "Some Reflections on the Renewal-Theory Paradox in Queueing Theory," ''Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis'', '''11''' (1998), 355-368.

[3] H. Takagi, ''Analysis of Polling Systems'', MIT Press, 1986.

[4]高木英明, 「ポーリングモデル：巡回サービス多重待ち行列」, 『オペレーションズ・リサーチ』, ''41'' (1996), 108-118.

《待ち行列モデル M/G/1》

2007-07-19T04:27:34Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつもでる M/G/1 (queueing model M/G/1) 】'''

　[[待ち行列モデル M/G/1]] (queueing model M/G/1) は, 客の到着が到着率 <math>\lambda\, </math> の[[ポアソン過程]]に従い, サービス時間が一般分布 <math>H(t)\, </math> に従う, 窓口1個 (扱い者1人) の無限長の待ち行列を許す最も基本的なモデルである.

　客の到着間隔 <math>A_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> およびサービス時間<math>B_r, r=1, 2, \cdots,\, </math> は互いに独立で, <math>A_r\, </math> は平均 <math>1/\lambda\, </math> の指数分布, <math>B_r\, </math> はサービス時間分布 <math>H(t)\, </math> に従う. したがって任意の時間帯 <math>(\tau, \tau+t ]\, </math> における到着客数 <math>N_{\tau}(t)\, </math>は, 平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う確率変数となる. 客の[[サービス規律]]として, 通常, [[先着順サービス|先着順]] (FCFS) を仮定するが, [[後着順サービス|後着順]] (LCFS), [[ランダム順サービス|ランダム順]] (ROS) などのサービス規律を考えることもある.

　先着順サービスの M/G/1 モデルでは, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 利用率 <math>\rho=\lambda/\mu < 1\, </math> のときにシステムは安定となり, 時間の経過とともに[[平衡状態]]へ近づく. 平衡状態における客の待ち時間分布 <math>W_q(t)\, </math> は[[ポラチェック・ヒンチンの公式]] (Pollaczek-Khintchine formula)

<center>
<math>
W_q^*(s) = (1-\rho)/ \{1-\lambda[1-H^*(s)]/s\}
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

によって与えられる. ここで <math>W_q^*(s), H^*(s)\, </math> はそれぞれ <math>W_q(t), H(t)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換である.

'''平均待ち時間'''　式 (1) から, 平衡状態における[[平均待ち時間]] <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> は, <math>c^2= \mbox{Var}(B_r)/\{\mbox{E}(B_r)\}^2\, </math> をサービス時間分布の変動係数として,

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q) = \frac{\rho (1+c^2)}{2 \mu (1-\rho)}
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられることが分かる. この式から平均行列長, 平均系内人数, 平均系内滞在時間などは[[リトルの公式]]を用いて容易に導くことができる.

　式 (2) は, 同じ <math>\lambda\, </math> と<math>\mu\, </math> をもった M/M/1 モデルの平均待ち時間を <math>\mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1} )\, </math> とすれば

<center>
<math>
\mbox{E}(W_q^{\rm M/G/1}) = \frac{1}{2} (1+c^2) \mbox{E}(W_q^{\rm M/M/1})
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

と書ける. これは M/G/1 モデルではサービス時間分布のばらつきが大きいほど長く待たされることを示しており, 最も平均待ち時間が短いのはサービス時間が一定のときで, M/M/1 の 1/2 であることが確かめられる.

'''M/G/1型待ち行列モデルの解析'''　以下, M/G/1 モデルとその類似モデルの解析について, いくつかコメントしておこう.

　M/G/1 モデルから派生する種々の待ち行列モデルを, M/G/1 型待ち行列モデルと呼ぶ. 例えば, 有限待合室モデル (M/G/1/<math>m\, </math>), 有限呼源モデル (M<math>({\it n}) \, </math>/G/1), 集団到着個別処理モデル (M<math>^{[X]}\, </math>/G/1), 休暇時間 (準備時間) を伴う待ち行列([[バケーション|バケーションモデル]]) などはM/G/1 型待ち行列モデルである. また複数個の待ち行列をもつモデル, たとえば多重待ち行列([[ポーリングモデル]]), 優先権のある待ち行列, 移動扱い者によって処理される直列型(網型)の待ち行列などもM/G/1 型待ち行列モデルと考えることができる. M/G/1 モデルの双対的な待ち行列モデルとして, GI/M/1 モデルを考えることもある.

　M/G/1 モデルやM/G/1 型モデルの常套的な解析法として, 客のサービス終了直後における系内人数に着目する[[隠れマルコフ連鎖法]]や, 系内人数の他に残りサービス時間 (あるいはサービス経過時間)を状態変数として取り入れる[[補助変数法]]が知られている. また, [[PASTA]]が成立するのも特徴の一つである.

　待ち行列モデル M/G/1 において, 非割り込みのサービス規律 (先着順, ランダム順など) の下で, 客の退去時点 (サービス終了時点) 直後における系内客数の定常分布 <math>\{\pi_j\}\, </math> の母関数 <math>\Pi(z)\, </math> は

<center>
<math>
\Pi(z) = \frac{\pi_0 (1-z)}{1-z/H^*(\lambda(1-z))}, \ \ \ \pi_0 = 1
-\rho
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

で与えられる. 先着順サービスの下では, ある客 C の系内滞在時間 <math>\Theta\, </math>内に到着する客数と C の退去時点の系内客数は等しく, かつ C の系内時間<math>\Theta\, </math> と C の到着以降の到着過程 <math>\{ N_{\tau}(t)\}\, </math> は独立であるから, <math>\Theta\, </math> の定常分布 <math>\Theta(x)\, </math> のラプラス・スチルチェス変換を <math>\Theta^*(s)\, </math> と表せば,

<center>
<math>
\Pi(z) = \Theta^*(\lambda(1-z))
= W^*(\lambda(1-z)) H^*(\lambda(1-z))
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

の関係が成立し, 式 (4), (5) より, ポラチェック・ヒンチンの公式 (1) が得られる [1], [3].

　<math>W^*(s)\, </math> の構造に確率的解釈を与え, 上記のように <math>\Pi(z)\, </math> を介さないで直接的に求める手法として, 全稼働期間解析法 (busy period analysis) がある. これは優先権のある待ち行列の解析に有効であり, 各種の全稼働期間中に到着する客の条件付き待ち時間分布のラプラス・スチルチェス変換<math>W^*(s| \mbox{busy period})\, </math> を基本として <math>W^*(s)\, </math> を構成するものである. これによれば

<center>
<table>
<tr><td rowspan="2"><math>W^*(s) \,\, </math></td>
<td><math>= (1-\rho) W^*(s | \mbox{idle period}\, </math> に到着
<math>\ ) + \rho W^*(s | \mbox{busy period}\, </math>に到着<math>\ ) \, </math></td></tr>
<tr><td><math>= (1-\rho) \cdot 1 + \rho \cdot R^*(s)
\cdot s(1-\rho)/ \left[ s-\lambda+\lambda H^*(s)
\right]\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math></td></tr></table>
</center>

となる [1], [3]. ただし <math>R^*(s)\, </math> は, 残余サービス時間分布

<center>
<math>
R(t) = \frac{1}{\mathrm{E}(B_r)}
\int_{0}^{t} \left[ 1-H(x) \right] \mathrm{d} x
\ \ \ \ t \geq 0
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

のラプラス・スチルチェス変換で, R^*(s) = \mu \left[ 1-H^*(s) \right]/ s で与えられる.

　時刻 <math>t\, </math> に仮に客が到着したとすればその客が待たなければならない時間 <math>v(t)\, </math> は, 仮り待ち時間 (virtual waiting time) と呼ばれる. 時刻<math>t\, </math> における仮り待ち時間の分布関数 <math>V(t, x)\, </math>, <math>x, t \geq 0\, </math> に関して, 次のタカッチの積分-微分方程式 (Tak\'{a}cs' integro-differential equation) が成立する [1].

<center>
<math>
\frac{\partial V(t, x)}{\partial t}
= \frac{\partial V(t, x)}{\partial x}
-\lambda \left[
V(t, x) -\int_{0-}^{x} H(x-y) \mathrm{d}_y V(t, y)
\right]
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

平衡状態 (<math>t \rightarrow \infty\, </math>) における仮り待ち時間の分布関数<math>V(x)\, </math>のラプラス・スチルチェス変換 <math>V^*(s)\, </math> は, 式(8)の左辺を零としてこれを解いて求められる. M/G/1 モデルでは PASTA が成立するので <math>W^*(s) = V^*(s)\, </math> であり, このようにしても式(1) の<math>W^*(s)\, </math> が求められる. さらに, 客の到着が一般分布 <math>F(t)\, </math> に従う GI/G/1モデルにおける[[リンドレーの方程式|リンドレーの積分方程式]] (Lindley's equation)

<center>
<math>
W(t) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\int^{\infty}_{0-} C(t-x) \mathrm{d} W(x) & (t \geq 0) \\
0 & (t < 0)
\end{array}
\right.
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

<center>
<math>
C(t)=\int^{\infty}_{x=0} H(t+x) \mathrm{d} F(x)
\ \ \ -\infty < t < +\infty
\, </math>　　　　　<math>(10)\, </math>
</center>

やタカッチの公式 (Takács' formula)

<center>
<math>\begin{array}{lll}
V^*(s) & = &(1-\rho) V^*(s | \mbox{idle period} )
+ \rho V^*(s | \mbox{busy period} ) \\
& = & 1-\rho + \rho R^*(s) W^*(s)
\end{array}\, </math>　　　　　<math>(11)\, </math>
</center>

を利用しても <math>W^*(s)\, </math> が直接的に求められる [1], [2]. 式 (11) は, M/G/1 における式 (6) の GI/G/1 への一般化であり, さらに一般的な到着過程として定常性のみを仮定した G/G/1 においても成立することが示されている. 本式と <math>W^*(s) = V^*(s)\, </math> より直ちにポラチェック・ヒンチンの公式を得る.

　なお, 式 (1) の<math>W^*(s)\, </math> の逆変換形 <math>W(t)\, </math> の一つとして次式が知られている.

<center>
<math>
W(t) = (1-\rho) \sum_{k=0}^{\infty} \rho^k R_k(t) \ \ \ \ t \geq 0
\, </math>　　　　　<math>(12)\, </math>
</center>

ただし <math>R_0(t) = 1\, </math> で, <math>R_k(t)\, </math> は式 (7) の残余サービス時間分布 <math>R(t)\, </math> 自身の<math>k(\geq1)\, </math> 回のたたみこみを表す[1], [4].

----

'''参考文献'''

[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1: Theory,'' John Wiley & Sons, 1975.

[2] L. akács, "The Limiting Distribution of the Virtual Waiting Time and the Queue Size for a Single-Server Queue with Recurrent Input and General Service Times," ''Sankhya'', Series '''A25''' (1963), 91-100.

[3] H. Takagi, ''Queueing Analysis :A Foundation of Performance Evaluation Vol. 1, Vacation and Priority Systems, Part I,'' Elsevier Science Publisher B. V., North-Holland, 1991.

[4] N. U. Prabhu, ''Foundation of Queueing Theory,'' Kluwer Academic Publishers, 1997.

《待ち行列における関係式》

2007-07-19T04:20:55Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつにおけるかんけいしき (qualitative relations in queuing theory)】'''

'''リトルの公式'''　待ち行列における関係式の中で, 最も基本的なものひとつに, [[リトルの公式]] (Little's formula) がある [5] この公式は, 任意の待ち行列システムに対して, 平衡状態における平均系内人数 <math>\mbox{E}(L)\, </math> と平衡状態における平均系内滞在時間 <math>\mbox{E}(W)\, </math> とを関係づけるものである. <math>\lambda\, </math> をシステムへの到着率とすると, <math>\mbox{E}(W\, </math>) か <math>\mbox{E}(L)\, </math> のどちらか一方が存在するならば, 他方も存在し,

<center>
<math>
\mbox{E}(L) = \lambda \mbox{E}(W) \,
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

となる.

　この公式はシステムが平衡状態にあることを除けば, 客の到着, サービス時間, サーバ数, サービス規律等に特に何の仮定もおいていない. システムが単一ノードである必要もない. たとえばシステムとして単一窓口待ち行列の窓口部分だけを考えれば, <math>\mbox{P}\, </math>(窓口が塞がっている確率)<math>=\lambda \mbox{E}(S)=\rho\, </math> が得られる. ここで <math>\mbox{E}(S)\, </math> は平均サービス時間である. また, システムとして窓口を除いた待ち行列の部分を考えれば, (1) は, 平均待ち人数 <math>\mbox{E}(L_q)\, </math> と平均待ち時間 <math>\mbox{E}(W_q)\, </math> に対して

<center>
<math>
\mbox{E}(L_q) = \lambda \mbox{E}(W_q) \,
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

となる. 通常, <math>\mbox{E}(W)=\mbox{E}(W_q)+\mbox{E}(S)\, </math>であり, システムへの到着率<math>\lambda\, </math>は既知であるので, (1) と (2) から, <math>\mbox{E}(L)\, </math>, <math>\mbox{E}(L_q)\, </math>, <math>\mbox{E}(W)\, </math>, E<math>(W_q)\, </math>の4つの特性量のうちひとつがわかれば, 他のものはこれらの関係式から求められる. これは待ち行列モデルを解析するときに大変便利である.

　リトルの公式は待ち行列解析のいろいろな場面で頻繁に出現し, たとえば[[ジャクソンネットワーク|閉ジャクソンネットワーク]]を解析するときに用いられる[[平均値解析法]]は, このリトルの公式を様々な形で利用することによって導かれる.

'''PASTA'''　リトルの公式と並んで, 待ち行列の解析に重要な役割を果たす関係に[[PASTA]] (パスタ) がある [8]. PASTAは Poisson Arrivals See Time Averagesの略で, ポアソン到着を仮定した待ち行列システムにおいて, 到着時点でシステムがある状態にいる割合は長い時間の中で過程がその状態にいる割合と等しい, という関係である. すなわち, ポアソン到着ならば, 到着時点分布と任意時点分布が等しいことを意味している. PASTAを用いれば, 例えば客の呼損率を求める場合, 客の到着時点のシステムの状態を求めなくても, 任意時点の状態から計算することができ, 非常に有効である.

'''クラインロックの保存則'''　任意の複数クラス, 単一サーバ待ち行列G/GI/1システムを考える. クラスの数を<math>C\, </math>とし, クラス<math>c\, </math> の到着率が <math>\lambda_c\, </math>, サービス時間<math>S_c\, </math>は独立で同一分布に従うならば, 平均残余仕事量(<math>\mbox{E}V\, </math>) (時間平均) は次式で与えられる.

<center>
<math>
\mbox{E}(V) = \sum_{c = 1}^C \left[ \mbox{E}(L_{qc}) \mbox{E}(S_c) +
\rho_c \, \mbox{E}(S_c^2) / 2 \mbox{E}(S_c)\right]
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

ここで, クラス<math>c\, </math>に対しE<math>(L_{qc})\, </math>は平均待ち行列長 (時間平均), E<math>(S_c)\, </math>, E<math>(S_c^2)\, </math> はサービス時間の1, 2次積率, <math>\rho_c \ (= \lambda_c \mbox{E} (S_c))\, </math> はトラヒック密度である. この関係式は[[クラインロックの保存則]] (Kleinrock's conservation law) と呼ばれる [3].

　(3) にリトルの公式 (2) を適用すると
　

<center>
<math>
\sum_{c = 1}^C \rho_c\, \mbox{E}(W_{qc}) =
\, </math>一定　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

という関係式が得られる. ここで <math>\mbox{E}(W_{qc})\, </math> はクラスc の客の平均待ち時間, <math>\rho_c = \lambda_c \, \mbox{E}(S_c)\, </math> はクラス <math>c\, </math> の客の利用率である. この (4) は, 優先権などを用いてあるクラスの客の平均待ち時間を小さくしようとすると, かならず他のいずれかのクラスの客の平均待ち時間が長くなってしまうことを示している.

'''その他の関係式'''　リトルの公式やPASTAのように待ち行列システムの性能尺度や関連する確率過程の関係を表す式には, 他にも[[バークの定理]], フィンチの定理等がある.

　このような関係式は特性量の間の関係を議論しているだけであり, 具体的に特性量の値そのものを導出するのには力不足, と見られたこともあったが, [[点過程|点過程論]] (point process theory) を用いると, 非マルコフシステムや複雑なシステムの解析において, 特性量の近似値を求めたりすることもできる. 例えば, 通常の GI/GI/1 待ち行列システムに対して, ブルメルの公式 (残余仕事量と待ち時間の関係式) と[[拡散近似]]を適用すると, 平均待ち時間の近似式が得られるが, これはポアソン入力 (M/GI/1 システム) の場合には厳密解に一致する. また, 多重待ち行列システムに対して擬保存則(歩行時間のあるサーバ巡回型システムに対する保存則)を用いると, 精度の良い平均待ち時間近似式が得られる.

　これらの関係式の研究は, 従来, 個別に行われていたが, 宮沢の[[率保存則]] (rate conservation law) の発見以降, それらは統一的に扱うことが可能になってきた. 従来の率保存則は, たとえばKönigら [4] のように複雑な積分表現になっており, 扱いにくかった. 宮沢 [6] はKönigらの結果と等価な微分型の率保存則を見出した. 宮沢の率保存則により前述の関係式を初めとする待ち行列理論における殆ど全ての諸関係式が容易に求められることが分かって来た [2]. 率保存則の証明自体も最近では工夫されている. 当初はパルムの逆変換公式を用いた幾分難解なものだったが, その後, 宮沢 [7], Bré [1]により簡単化され, その理解には必ずしも実関数論を必要としないことが明らかにされている.

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'''参考文献'''

[1] P. Brémaud, "An Elemantary Proof of Sengupta's Invariance Relation and a Remark on Miyazawa's Rate Conservation Principle," ''Journal of Applied Probability'', '''28''' (1991), 950-954.

[2] 川島幸之助, 町原文明, 高橋敬隆, 斎藤洋, 『通信トラヒック理論の基礎とマルチメディア通信網』, 電子情報通信学会編, 1995.

[3] L. Kleinrock, ''Queueing Systems, Vol. II'', John Wiley & Sons, 1976.

[4] D. König, T. Rolski, V. Schmidt and D. Stoyan, "Stochastic Processes with Imbedded Marked Point Processes (PMP) and Their Application in Queueing," ''Mathematische Operationsforschung und Statistik, Ser. Optimization'', '''9''' (1978), 125-141.

[5] J. D. C. Little, "A Proof of the Queueing Formula L= \lambda W," ''Operations Research'', '''9''' (1961), 383-387.

[6] M. Miyazawa, "The Derivation of Invariance Relations in Complex Queueing System with Stationary Input," ''Advanced Applied Probability'', '''15''' (1983), 874-855.

[7] M. Miyazawa, "The Intensity Conservation Law for Queues with Randomly Changed Service Rate," ''Journal Applied Probability'', '''22''' (1985), 408-418.

[8] R. W. Wolff, "Poisson Arrivals See Time Averages,"''Operations Research'', '''30''' (1982), 223-231.

《待ち行列モデルM/M/c》

2007-07-19T04:18:18Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつもでるえむえむしー (queueing model M/M/<math>c\, </math>) 】'''

　[[待ち行列モデル M/M/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>)は, 客の到着がパラメータ <math>\lambda\, </math> のポアソン過程に従い, サービス時間が平均 <math>1/\mu\, </math> の指数分布に従う, 窓口 <math>c\, </math> 個の最も基本的な待ち行列モデルである. 待ち行列理論が[[アーラン, アグナー・K|A. K. Erlang]]によって20世紀初頭に誕生したときに, 真っ先に研究の対象となったのがこのタイプのモデルであった. それ以来, モデルの簡潔さ, 公式のわかりやすさから, 代表的な待ち行列モデルとして, 常に待ち行列理論のよりどころとなり, また多方面で実際問題の解決に応用されてきている. 近年研究が進められている[[待ち行列ネットワーク]]でも, その中心となっているのはこの M/M/<math>c\, </math> モデルをネットワーク状につないだ[[ジャクソンネットワーク|ジャクソン型ネットワーク]]とそれを拡張した[[BCMPネットワーク|BCMP型ネットワーク]]であることからも, その重要性が理解できよう.

'''ポアソン到着と指数サービス'''　M/M/<math>c\, </math> モデルに関連して, いくつかの用語が慣用的に用いられている. 客の到着が[[ポアソン過程]]にしたがうとき, つまり客の到着間隔が独立で同一の指数分布に従うとき, その到着の仕方を[[ポアソン到着]] (Poisson arrival) という. この場合, 到着過程のパラメータを <math>\lambda\, </math> とすると, 長さ <math>t\, </math> の時間に到着する人数は平均 <math>\lambda t\, </math> のポアソン分布に従う. この <math>\lambda\, </math> のことを[[到着率]] (arrival rate) と呼ぶ. また, サービス時間の分布が指数分布に従うとき, サービスの仕方は[[指数サービス]] (exponential service) であるという. このとき平均サービス時間の逆数 <math>\mu\, </math> のことを[[サービス率]] (service rate) と呼ぶ.

'''マルコフ性'''　M/M/<math>c\, </math> モデルが容易に解析できるのは, 指数分布がつぎの"無記憶性"をもつことによる. 確率変数 <math>X\, </math> がパラメータ <math>\lambda\, </math> の指数分布に従っているものとしよう. すると, 任意の <math>s, t>0\, </math> に対して

<center>
<math>
\mbox{P}\{ X>s+t\mid X>s \} = \mathrm{e}^{-\lambda t} = \mbox{P}\{ X>t \}\,
\, </math>
</center>

が成り立つ. これは, 現在の状況 (<math>X>s\, </math> ということ) がわかると, 今後の確率的挙動は過去の履歴とは無関係, ということであり, この性質を[[無記憶性 (指数分布の)|無記憶性]] (memoryless property) または[[マルコフ性]] (Markov property) と呼ぶ. M/M/<math>c\, </math> などの[[ケンドールの記号]]において, ポアソン到着と指数サービスを M で表現するのは, このマルコフ性に由来する.

　M/M/<math>c\, </math> モデルでは, ポアソン到着と指数サービスの仮定から, 系内人数を状態とする[[マルコフ連鎖]]を導くことができる. このマルコフ連鎖は[[出生死滅過程]]と呼ばれる特殊な型をしており, その解析は容易である. マルコフ連鎖の一般論から, 適当な条件の下でこの出生死滅過程は時間の経過とともに[[平衡状態]]に近づく. そのため M/M/<math>c\, </math> モデルでは, 平衡状態における状態確率 (これを[[定常状態確率]] (stationary state probability) とか極限状態確率と呼ぶ) を解析的に求め, それらから[[待ち確率]], [[平均待ち時間]], [[待ち時間分布]]}, 平均[[系内人数]], 系内人数分布などの混雑の尺度を計算して, 実際のシステムの性能評価に役立てている.

'''M/M/1 モデル'''　[[待ち行列モデル M/M/1]] (queueing model M/M/1) は, <math>c=1\, </math> の場合で, ポアソン到着, 指数サービス, 単一窓口をもつ待ち行列として定義される. 定常状態確率が存在するための必要十分条件は, <math>\rho = \lambda/\mu<1\, </math> を満たすことである. そのときシステム内に<math>k\, </math>人の客がいる定常状態確率は

<center>
<math>
p_k=(1-\rho)\rho^k, \qquad k=0, 1, 2, \cdots \,
\, </math>　　　　　<math>(1)\, </math>
</center>

で与えられ, 幾何分布に従う. 窓口がサービス中である確率は <math>1-p_0=\rho\, </math> であるので, <math>\rho\, </math> を[[利用率]]と呼ぶ. これは到着した客が待たされる確率, すなわち[[待ち確率]], でもある ([[PASTA]]参照). (1) 式より, 平均系内人数は <math>L=\rho/(1-\rho)\, </math> であり, 平均待ち行列長は <math>L_q=\rho^2/(1-\rho)\, </math> である.

　待ち時間分布は <math>t=0\, </math> に <math>1-\rho\, </math> のマスをもち, <math>t>0\, </math> では指数分布型の密度をもつ

<center>
<math>
F(t)=\mbox{P}\{ \boldsymbol{W} \leq t \}
=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & t<0 \\
1-\rho \mathrm{e}^{-(\mu-\lambda)t}, \qquad & t \geq 0
\end{array} \right.
\, </math>　　　　　<math>(2)\, </math>
</center>

で与えられる. この分布関数から, または[[リトルの公式]]から, 平均待ち時間は <math>W_q=L_q/\lambda=\rho/\mu(1-\rho)\, </math>, 平均系内滞在時間は <math>W=L/\lambda=1/\mu (1-\rho)\, </math> であることがわかる.

'''M/M/<math>\boldsymbol {c}\, </math> モデル'''　[[待ち行列モデル M/M/c]] は, ポアソン到着で <math>c\, </math>個 (通常は複数) の指数サービス窓口をもつモデルである. これも[[出生死滅過程]]を用いて解析できる. 客の到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 平衡状態が存在するための条件は <math>\rho=\lambda/c \mu < 1\, </math> である. 系内に <math>c\, </math> 人以上の客がいるときはすべての窓口がサービス中なので, 短い時間 <math>dt\, </math> の間にいずれかのサービスが終了する確率は <math>c \mu \, dt\, </math> であり, 系内にいる客の数が <math>k\, </math> 人 (<math>k<c\, </math>) のときは, <math>k\, </math> 個の窓口でサービスを行っているだけなので, この確率は <math>k\mu \, dt\, </math> である. そこで

<center>
<math>
\mu_k=\left\{
\begin{array}{ll}
k\mu, & \qquad k=0, 1, \cdots, c-1 \\
c\mu, & \qquad k=c, c+1, \cdots
\end{array} \right.
\, </math>　　　　　<math>(3)\, </math>
</center>

とおけば, <math>dt\, </math> の間に一人の客が到着する確率が <math>\lambda \, dt\, </math> であることから, 平衡状態において <math>k\, </math> 人の客がいる確率は

<center>
<math>
p_k=p_0 \prod_{i=1}^k \frac{\lambda}{\mu_k}, \qquad k=1, 2, \cdots
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

で与えられる. ここで <math>p_0\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が 1 となるよう

<center>
<math>
p_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{c^k \rho^k}{k!}
+\frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)}\right]^{-1}
\, </math>　　　　　<math>(5)\, </math>
</center>

で与えられる. 安定性の条件 <math>\rho<1\, </math> は, (4) の <math>p_k\, </math> の和が有限の値に収束するための条件となっていることに注意しよう. この <math>\rho\, </math> は各窓口がサービス中の時間の割合になっており, やはり利用率と呼ばれる. すべての窓口がふさがっている確率は,

<center>
<math>
\Pi=\sum_{k=c}^\infty p_k = \frac{c^c \rho^c}{c! \, (1-\rho)} p_0
\, </math>　　　　　<math>(6)\, </math>
</center>

であり, PASTA よりこれが待ち確率でもある. 待ち時間分布は

<center>
<math>
\mbox{P}\{ \boldsymbol{W} \leq t\} = \left\{ \begin{array}{ll}
0 , & t <0 \\
1 - \Pi \, \mathrm{e}^{-c \mu(1-\rho)t}, \quad & t \geq 0
\end{array} \right.
\, </math>　　　　　<math>(7)\, </math>
</center>

で与えられ, 平均待ち時間は <math>W_q= \Pi / c \mu (1 - \rho)\, </math> である.

'''M/M/<math>\boldsymbol {c/c}\, </math>モデル'''　[[待ち行列モデル M/M/c/c]] (queueing model M/M/<math>c\, </math>/<math>c\, </math>) は, ポアソン到着で, <math>c\, </math>個の指数サービス窓口があるが, 待合室が無く, 客が待つことができない待ち行列である. 客が到着したときに, 空いた窓口がある場合には直ちにサービスを受けるが, すべての窓口が塞がっている場合にはサービスを受けることなく立ち去る. このようにサービスを受けずに立ち去る客がある待ち行列モデルは損失系と呼ばれ, 電話回線などのトラフィック理論でしばしば利用される. このときサービスを受けずに立ち去る客の割合を[[呼損率]] (loss probability) という.

　到着率を <math>\lambda\, </math>, 平均サービス時間を <math>1/\mu\, </math> とすると, 定常状態確率は (3) を用いて (4) で与えられる. ただし, 今度の場合, とりうる状態は <math>k=0, 1, 2, \ldots , c\, </math> だけであるので, <math>p_0\, </math> は

<center>
<math>
p_0 = \left[\, \sum_{k=0}^{c}
\frac{1}{k!}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k \right]^{-1}
\, </math>　　　　　<math>(8)\, </math>
</center>

で与えられ, たとえ <math>\rho=\lambda/c \mu<1\, </math> でなくてもシステムは安定的である. PASTA の性質により, 呼損率は系内にちょうど <math>c\, </math> 人の客がいる確率

<center>
<math>
p_c=\frac{1}{c!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c p_0
\, </math>　　　　　<math>(9)\, </math>
</center>

と等しい. この式は[[アーランの損失式]] (Erlang's loss formula) と呼ばれ, 損失系の性能評価で最も重要な特性量のひとつである. なお, この式は M/G/<math>c\, </math>/<math>c\, </math> モデル, すなわち一般サービスのときでも成り立つことが知られている.

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'''参考文献'''

[1] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Vol. 1 Theory,'' Wiley, New York, 1975.

[2] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連, 1975.

[3] 尾崎俊治, 『確率モデル入門』, 朝倉書店, 1996.

[4] S. M. Ross, ''Stocastic Processes,'' Wiley, New York, 1980.

《待ち行列の各種モデル》

2007-07-19T03:11:35Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつのかくしゅもでる (extended queueing models) 】'''

　[[待ち行列モデル]] (queueing model)は, 標準型モデルの到着過程, サービス規律, 行列への並び方, 系に入れない場合の客の行動, などを変えることによって各種の拡張モデルが考えられる.

'''系内客数に依存する到着過程'''　到着過程としては, [[ポアソン到着]](Poisson arrivals) のような系の状態に独立な[[到着過程]] (arrival process) に対して, 系内客数に依存するものが考えられ, [[有限呼源待ち行列]] (finite source queues) がその代表例である. このモデルは, [[ケンドールの記号]] (Kendall's notation) を拡張して, 呼源数が<math>m\, </math>のとき<math>\mbox{A}(m)/\mbox{B}/c\, </math>と記述される. 各呼源は, 要求を発生するまでの空き状態, 系内における待ち合わせ状態, およびサービス中の状態を順番に繰り返す. これは現実の電話交換や機械修理によく見られるモデルである. 電話交換では, 交換機に接続された入回線数が比較的少ないとき, 交換機に加わる接続要求は空いている各入回線から指数分布間隔で発生すると近似される. 出回線数<math>c\, </math>が入回線数<math>m\, </math>より少ない場合に交換接続は損失系<math>\mbox{M}(m)/\mbox{M}/c/c\, </math>モデルとなる. [[機械修理工モデル]] (machine repairman's model) は, 有限呼源待ち行列の一種であり, 機械の稼働中が’空き’に, 故障中で修理待ちが’待ち合わせ’に, また修理中が’サービス中’に相当する. 機械の数が<math>m\, </math>個, 修理工が<math>c\, </math>人で, 機械の稼働時間分布および修理時間分布が指数分布のとき, <math>\mbox{M}(m)/\mbox{M}/c\, </math>モデルとなる. この場合の評価尺度は機械の稼働率や修理工の稼働率である. また, このモデルの平均系内時間は, 会話型計算機システムでの平均応答時間に相当する.

'''集団到着・集団サービス'''　到着過程の変形として, 客が団体として到着し個別にサービスされる集団到着 (batch aarival) がある. この場合は, 集団の到着過程と集団サイズの分布が問題となる. 待ち時間を考える場合は, 同一集団内でのサービス順も問題となるが, 通常[[ランダム順サービス]] (random order service) が用いられる. 計算機システムや交換機処理系では, 1つのジョブが複数個のタスクに分解されて独立に処理され, 同一集団の全タスクが処理されてから初めてジョブの処理が終了するような処理が行われる. すなわち, 集団到着・個別処理であるが, 同一集団の全ての客の処理終了に同期して系を去るようなモデルであり, このような処理系は[[フォークジョイン待ち行列]] (fork-join queue) モデルとなる.

　サービス規律としては, 複数の客をまとめて集団でサービスする集団サービス(bulk service)がある. 一回のサービスで処理できる最大客数やサービス開始する最小客数が重要なパラメタとなる. 集団到着あるいは集団サービスのある待ち行列をまとめて[[集団待ち行列]] (bulk queue) という. 集団待ち行列は, [[ケンドールの記号]]を拡張して, <math>\mbox{A}^{[X]}/\mbox{B}^{[Y]}/c\, </math>で表わされる.

'''優先権'''　[[優先権]] (priority) によりサービスの順番を定める[[優先権待ち行列]] (priority queues) [4] では, 高い優先権の客が低い優先権の客のサービスに割り込む割込優先権 (preemptive priority) と割り込まない非割込優先権(nonpreemptive priority)がある. 割込優先権の場合, 割り込まれた客のサービスに関し, 損失とする損失形 (lost), 中断点からサービスを再開する継続形 (resume), 中断点に関係なく最初からサービスをやり直す反復形 (repeat) などがある. 一般に, 計算機システムでのジョブの処理では割込優先権が用いられ, メッセージ伝送では非割込優先権が用いられる. 客のクラスの優先権が定まっていない場合, 各クラスに優先権を割り当てる問題がある. クラス<math>i\, </math>の客の平均サービス時間を<math>1/\mu_i\, </math>, 系内時間当たりのコストを<math>c_i\, </math>とするとき, 系内時間による総合期待コストを最小にする割当て方法として, ある条件の待ち行列モデルでは, 「<math>c_i\mu_i\, </math>が大きい順に高い優先権を与えればよい」という<math>c\mu\, </math>ルールが成立する.

　系内の状態により定まる内部優先権としては, 他の客のクラスとの相互関係により定まるものや, 待ち時間や経過サービス時間等の客の系内での状態により定まるものが考えられる. 後者の例としては, サービス時間が最短の客からサービスする[[最短サービス時間順規律|最短サービス時間順待ち行列]] (shortest-service-time-first queue) がある. 最短サービス時間順サービス規律は, 最初, 機械修理問題で修理時間が短い故障の修理を優先するモデルとして解析され, その後計算機システムのOSでのジョブ・スケジューリングにおいて, 処理時間が最短のジョブから処理する最短処理時間順 (SPT, shortest-processing-time-first) 規律として研究された.

'''並列待ち行列'''　各サーバの前にそれぞれ待ち行列が出来る[[並列待ち行列]] (parallel queues) では, 到着した客を行列へ割り付ける方法が問題となる. 通常は, 新たに到着する客は最短の行列に加わり, このような割り付けを最短待ち行列 (shortest queues) 割り付けという. このモデルは古くから研究が行われてきたが, 途中で行列を変わる鞍替えがない場合でも解析が複雑である. 最短待ち行列は, 各待ち行列が<math>\mbox{M}/\mbox{M}/1\, </math>モデルの場合, 総合系内客数の期待値を最小にするという意味で最適な方法である. この他, 客を並列待ち行列へ割り付ける方法としてラウドロビン(round-robin)割り付けがある. これは, 到着する客を順番に並列待ち行列に割り付けていく方法であり, 待ち行列長の観測が不可能な場合には, 総合系内客数の期待値を最小にするという意味で最適な方法である.

'''再試行モデル'''　到着した客が系内に入れないときの客の振る舞いは, 去ったまま戻ってこない損失モデルとある時間をおいて再びサービスを受けに来る再試行 (retrial) モデルに分かれる. 電話交換における用語に基づき, 再び到着する客を再呼 (repeated call) といい, 再呼のある待ち行列モデルは[[再呼モデル]] (repeated call model) と呼ばれる [2]. 再呼の到着過程は, 系を去って再び到着するまでの状態にある客数を呼源とする有限呼源となる. このモデルは, 損失系で全サーバがサービス中のとき系内に入れない損失モデルと, [[有限待合室モデル]] (finite-buffer model) で待合室が満杯のとき系内に入れない待ち合わせモデルに分かれる. 損失モデルは, 新しい呼の到着がポアソン到着で, サービス時間分布が指数分布, 再呼間隔が指数分布の場合は, <math>\mbox{M}/\mbox{M}/c/c\, </math>モデルに有限呼源の再呼が加わるモデルとなる. このモデルは, 電話交換において話中に遭遇した呼の再呼を考慮した[[呼損率]] (loss probability) などのサービス品質を評価するのに用いられてきた.

'''タクシー乗り場モデル'''　これまでは, 客がサービスをする場所に到着し, サービスを受けてその場所を去る系のみを考えてきた. 問題によってはサーバが異動する場合も考えられ, その例として[[タクシー乗り場モデル]] (taxi stand model)がある. タクシー乗り場には, 乗客の行列とタクシーの行列ができるが, どちらがサーバでどちらが客であるかは評価尺度を考えることにより相対的に定まる. 通常はいずれか一方の行列のみができるか, または両方とも空であるが, 乗車時間がかかる場合は両方に行列ができる.

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'''参考文献'''

[1] R. B. Cooper, ''Introduction to Queueing Theory, Second Edition'', North-Holland, 1981.

[2] G. I. Falin and J. G. C. Templeton, ''Retrial Queues'', Chapman & Hall, 1997.

[3] 藤木正也, 願部頴一, 『通信トラヒック理論』, 丸善, 1980.

[4] N. K. aiswal, ''Priority Queues'', Academic Press, 1968.

[5] L. Kleinrock, ''Queueing Systems Volume II: Computer Applications'', John Wiley & Sons, 1976.

[6] T. L. Saaty, ''Elements of Queueing Theory with Applications'', Dover, 1961.

ケンドールの記号

2007-07-19T03:08:07Z

122.17.2.240:

'''【けんどーるのきごう (Kendall's notation) 】'''

待ち行列モデルを簡便に表現するための記法で, 通常, A/B/<math>c</math>/<math>N</math> という形をもつ. ここでAは到着間隔分布, Bはサービス時間分布, <math>c</math> は窓口の数, <math>N</math> は窓口と待合室の容量の和を表す. A, Bとしては, 指数分布M, 一定分布D, アーラン分布 <math>\mbox{E}_k</math> , 相型分布PHなどが用いられる.

《待ち行列》

2007-07-19T02:59:55Z

122.17.2.240:

'''【まちぎょうれつ (queues) 】'''

'''混雑現象'''　われわれの身の回りには, [[混雑現象]]が主因となっている問題がたくさん存在する. たとえば, 通勤電車, 繁華街, 行楽地, イベント会場などにおける混雑, 高速道路や幹線道路の渋滞, スーパーのレジや銀行の ATM における行列, 病院での待ち, 携帯電話の不接続, などなど. また, 人間が待たされるわけではないが, 商品の在庫, 仕事の滞貨, 注文残, 考えようによっては洪水などというのもある. コンピュータの中では複数のジョブが CPU や I/O (Disk など) で待ち行列を作って処理されているし, 情報通信ネットワークでも, 情報があちこちのノードで少しずつ待たされながら目的地に運ばれる.

　このような混雑現象は, 需要つまりサービス要求量が一時的にサービス能力を超えることから生じており, 次のようにいろいろな方法で処理されている.

a.　サービス処理能力を需要にあわせて変動させる (電力会社は, 火力発電や水力発電で発電量を細かく調整している).

b.　サービス品質を落として処理能力を一時的に上げる (通勤電車では客が多くなると尻押しをしてでも詰め込む).

c.　バッファで一時的な超過分を吸収する (行列で待たせる).

d.　サービスを拒否する (携帯電話では当然のように行われる).

'''混雑現象のためのモデル'''　 a. の追随型とb. の品質低下型は, 混雑に対する対応がリアルタイムであるため, 需要の変動パターンがわかれば, 混雑の程度の解析は比較的容易である. これに対してc. のバッファ型とd. の拒絶型, とくにc.　は, システムの挙動がサービスの仕方とも関連して複雑であり, モデルによる検討が必要になることが多い. そのモデルも, 需要の変動パターンによって使い分けが必要である.

　i)　サービス要求量の増大が一定時間続くラッシュアワー型の場合

　ii)　偶然変動による比較的短時間の増大が繰り返し生じる確率型の場合

である. むろんそれらが複合していることもある.

'''流体近似モデル'''　i) のラッシュアワー型の解析は, [[流体近似]] (fluid approximation) を使ってなされることが多い. これは水道の水のように, サービス要求がある率でバッファに入ってきて, ある率で流れ出ていく, と考えるものである (図1). このとき, 時刻 <math>t\, </math> における入力率を <math>\lambda_t\, </math>, 出力率 (バッファに貯まっているときに出力する率) を <math>\mu_t\, </math> とすると, 時刻 <math>t\, </math> におけるバッファの内容量 <math>Q_t\, </math> は, 微分方程式

<center>
<table>
<tr>
<td><table>
<math> \frac{\mbox{d} Q_t}{\mbox{d} t} = \Biggl\{ \Biggr. \, \, </math>
</table></td>
<td><table>
<tr>
<td><math> \lambda_t - \mu_t \,\, </math></td>
<td>　　</td>
<td><math> \lambda_t > \mu_t \,\, </math>または<math> Q_t>0 \,\, </math>　のとき</td>
</tr>
<tr>
<td><math> 0 \, \, </math></td>
<td></td>
<td align="left">その他</td>
</tr>
</table></td>
</tr>
</table>
</center>

で記述される. ただしこの微分方程式を使わなくても, 時間区間 <math>(0, t]\, </math> における累積入力量<math>\textstyle A_t = \int_0^\infty \lambda_t \, dt\, </math> のグラフから累積出力量 <math>D_t\, </math> のグラフを描くことができ, それらの差 <math>Q_t=A_t - D_t\, </math> から時刻 <math>t\, </math> におけるバッファーの内容量を求めることができる [2].

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-2.png]]</td></tr>
<td align=center>図１：流体近似 : 水道のイメージ<br><br>[[スタイル検討#待ち行列 (0112-b-a-01-2)|スタイル検討]]</td></table></center>



'''待ち行列モデル'''　サービス要求量の変動が ii) の確率型の場合は, [[待ち行列モデル]] (queueing model) や [[在庫モデル]] (inventory model), [[ダムモデル]] (dam model) などを使って解析される [1, 2]. ここでは待ち行列モデルを主に説明しよう.

<center><table><tr><td align=center>[[画像:sk-0112-b-a-01-3.png]]</td></tr>
<td align=center>図２：待ち行列のイメージ図<br><br>[[スタイル検討#待ち行列 (0112-b-a-01-3)|スタイル検討]]</td></table></center>



　待ち行列モデルは, 図2のように, あるサービスステーションに[[客]](customer)が[[到着]]し, そこである種の[[サービス]] (service) をうけ, 系外に立ち去る, という[[サービスシステム]] (servicing system) のモデルである. サービスステーションは, 通常, サービスが行われる[[窓口]] (channel) と, 到着した客がサービスを受けるために待つ[[待ち行列]] (queue) とから成る. この待ち行列が[[バッファ]] (buffer) の役割を果たす. 待つことのできる客の数に制限がある場合, 待合室という概念を導入することもある. このとき待合室の容量が, 待つことのできる客の数の上限となる.

　客, 窓口, 待合室などは, モデルによってさまざまなものに対応する. ある種の生産システムでは, 客は製品や部品であり, 窓口は加工機, 検査機, 組立台など, そして待合室は仮置き台などである. コンピュータの性能評価では, 客はジョブであり, 窓口は CPU や DISK, 待合室は各所のメモリである. また情報通信ネットワークの性能評価では, セルやパケットといった情報の塊が客であり, 各種のスイッチ類やチャネルが窓口, バッファメモリが待合室として扱われる.

'''性能評価指標, 混雑指標'''　図2のような標準的なモデルでは, [[利用率]] (traffic intensity), <math>\rho\, </math> というのが重要なシステムパラメータである. これは

<center>[[画像:sk-0112-b-a-01-1.png]]

[[スタイル検討#待ち行列 (0112-b-a-01-1)|スタイル検討]]</center>



という形で定義される. たとえば客が平均 <math>\lambda^{-1}\, </math> の間隔で到着し, <math>c\, </math> 個の窓口で平均 <math>\mu^{-1}\, </math> のサービスが行われるようなシステムでは, <math>\rho=\lambda/c \mu\, </math> である. 多くの場合, <math>\rho<1\, </math> であれば, システムは[[平衡状態]](stationary) とよばれる安定な状態へ向かい, 確率論的な解析が可能となる.

　一般に, <math>\rho\, </math> が 0に近いときは混雑はほとんどなく, 1に近づくにつれて混雑がひどくなる. このような混雑を評価する指標としては, [[待ち時間]] (waiting time) (客が待ち行列で待たされる時間), [[滞在時間]] (sojourn time) (客が到着してからサービスが終了するまでの時間), [[待ち行列長]] (queue length) (待ち行列で待っている客の数), [[系内人数]] (number of customers in the system) (待ち行列と窓口にいる客の数) などの平均や分散, または分布などが用いられる.

　[[待合室の容量]] (capacity of waiting room) が有限で, システムに入れる客の数に制限がある場合, [[呼損率]] (loss probability) も重要な指標である. これは到着した客のうち待合室が一杯でサービスを受けられずに退去する客の割合である. ここで "呼 (こ, よび)" という耳慣れない言葉が使われているが, これは電話をかけるときの接続要求のことで, 待ち行列理論がデンマークの電話技術者アーランアグナー・K}{アーラン} (A. K. Erlang) によって20世紀の初頭に始められ以来, 電話の交換機の適正数を評価するのに[[有限待合室モデル|有限待合室のモデル]] (finite-buffer model) がずっと使われてきたという経緯からきている [4].

　近年, 待ち行列理論の分野では, 情報通信技術の発達などと歩調を合わせて, より複雑でより一般的な状況の下でのモデル解析が進められている. これらについては他の項目ならびに文献 [2, 4] を参照されたい. また関連書籍は [3] にサーベイが載っている. 応用分野も多岐にわたっている. 次の各項目を参照してほしい. 待ち行列の[[待ち行列の通信への応用|通信への応用]], 待ち行列の[[待ち行列のコンピュータへの応用|コンピュータへの応用]], 待ち行列の[[待ち行列の生産システムへの応用|生産システムへの応用]].

----
'''参考文献'''

[1] 森村英典, 大前義次, 『応用待ち行列理論』, 日科技連出版社, 1975.

[2] 高橋幸雄, 「入門講座, やさしい待ち行列(1)～(4)」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''40''' (1995), 649-654, 716-721, '''41''' (1996), 35-40, 100-105.

[3] 高橋敬隆, 高橋幸雄, 牧本直樹, 「入門講座, やさしい待ち行列 (補遺) ― 待ち行列の本」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''41''' (1996), 106-107.

[4] 高橋幸雄, 「講座, 待ち行列研究の新しい潮流 (1)― 待ち行列研究の変遷」, 『オペレーションズ・リサーチ』, '''43''' (1998), 495-499.

《一様乱数》

2007-07-19T02:55:58Z

122.17.2.240:

'''【いちようらんすう (uniform random numbers) 】'''

　確率変数の実現値と見なしうる数の列のことを[[乱数]] (または乱数列)(random numbersまたはrandom number sequence)という. 確率変数の従う分布として一様分布を想定する場合には, 対応する乱数のことを[[一様乱数]] (uniform random numbers)という. 例えば, サイコロを振って出る目(数)の系列は, 典型的な一様乱数である. この系列には次の2つの性質がある. 1) 系列が長ければ各数の相対出現頻度がほぼ等しい. 2) 次に出る数を確実に予測することは不可能である.

　大量の乱数を使用する実験では, サイコロを振って乱数を作るのは現実的でないので, 簡単なアルゴリズムで生成される乱数もどきの数(擬似乱数)で代用するのがふつうである. そして, これを単に乱数と呼ぶことが多い. この意味での乱数は, 上記の2) の性質は持たないが, 1) の性質は近似的に満たしているものと考えられている. このような乱数の生成法は数多く提案されているが, 現在比較的よく使われているものを以下にあげる.

［[[線形合同法]]］

　1948年頃にレーマー(Lehmer)によって提案され, その後多数の人々によって研究された方法であり, 線形漸化式

<center>
<math>
X_n=aX_{n-1}+c \ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ m) \,
</math>
</center>

を使って非負整数列<math>\{X_n\} \,</math>を生成する. ここで, <math>a \,</math>および<math>m \,</math>は正整数であり, <math>c \,</math>は非負整数である. 特に<math>c=0 \,</math>の場合には, [[乗算合同法]]と呼ぶ. パラメタの選び方に関しては多くの研究結果があるが, 現在比較的良いとされているものをいくつか表1に示す.

<center>
<table border="1">
<caption> 表１：線形合同法で使われるパラメタの例 </caption>
<tr>
<td><math>a \,</math> </td>
<td><math>c \,</math> </td>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>X_0 \,</math> </td>
<td><math>\mu_2 \,</math> </td>
<td><math>\mu_3 \,</math> </td>
<td><math>\mu_4 \,</math> </td>
<td><math>\mu_5 \,</math> </td>
<td><math>\mu_6 \,</math> </td>
<td> 周期 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,664\,525 \,</math></td>
<td><math>* \,</math></td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
<td>任意 </td>
<td>16.1 </td>
<td>10.6 </td>
<td>8.0 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,566\,083\,941 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.5 </td>
<td>5.6 </td>
<td>4.2 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>48\,828\,125 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>8.8 </td>
<td>7.4 </td>
<td>5.7 </td>
<td>4.9 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2\,100\,005\,341 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.4 </td>
<td>10.2 </td>
<td>7.7 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>397\,204\,094 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.4 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>314\,159\,369 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.2 </td>
<td>9.9 </td>
<td>7.6 </td>
<td>5.9 </td>
<td>5.1 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
</table>
<math>c \,</math>の列の <math>* \,</math>印は, 任意の奇数を使用してよいことを表す.
</center>

　線形合同法によって生成される乱数の欠点として, 多次元疎結晶構造と言われているものがある. これは, <math>k \,</math>次元超立方体内にランダムに点を配置する目的で, 点の座標を<math>(x_n, x_{n+1},\cdots, x_{n+k-1}), n=1,2,\cdots, \,</math>で定めたとすると, これらの点はすべて比較的少数の等間隔に並んだ超平面の上に規則的にのってしまい, ランダムにならないという性質である. <math>m \,</math>と超平面の枚数の上界との関係を表2に示す. また, 表1の<math>\mu_k \,</math>は, <math>k \,</math>次元の点配置を作ったとき, <math>\mu_k \,</math>ビットの精度ではほぼ一様な配置になることを意味している.

<center>
<table border="1">
<caption> 表２：超平面の枚数の上界 </caption>
<tr>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>k=3 \,</math> </td>
<td> 4 </td>
<td> 5 </td>
<td> 6 </td>
<td> 7 </td>
<td> 8 </td>
<td> 9 </td>
<td> 10 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{24} \,</math> </td>
<td>465 </td>
<td>141 </td>
<td>72 </td>
<td>47 </td>
<td>36 </td>
<td>30 </td>
<td>26 </td>
<td>23 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td><math>2\,953 \,</math> </td>
<td>566 </td>
<td>220 </td>
<td>120 </td>
<td>80 </td>
<td>60 </td>
<td>48 </td>
<td>41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{36} \,</math> </td>
<td><math>7442 \,</math> </td>
<td><math>1133 \,</math> </td>
<td>383 </td>
<td>191 </td>
<td>119 </td>
<td>85 </td>
<td>66 </td>
<td>54 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{48} \,</math> </td>
<td><math>119086 \,</math> </td>
<td><math>9065 \,</math> </td>
<td><math>2021 \,</math> </td>
<td>766 </td>
<td>391 </td>
<td>240 </td>
<td>167 </td>
<td>126 </td>
</tr>
</table>
</center>

［[[M系列法]]］

　ガロア体GF(2)上の任意の原始多項式

<center>
<math>
x^p+c_1x^{p-1}+c_2x^{p-2}+\cdots + c_p
</math>
</center>

を選び, その係数を係数とする漸化式

<center>
<math>
a_n = c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots + c_pa_{n-p}
\ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ 2)
</math>
</center>

によって生成される系列<math>\{a_n\} \,</math>を考える. この系列はM系列(M-sequence)あるいはシフトレジスタ系列, 極大多項式系列などと呼ばれ, 硬貨を投げて表が出れ

ば1, 裏が出れば0として得られる系列と類似の性質を持つことが知られている. 表3に実用的な原始多項式の例を示す.

<center>
<table>
<caption> 表３：原始多項式の例 </caption>
<tr><td><hr></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{32}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{273}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{1279}+x^{418}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{455}+x^{437}+x^{350}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{461}+x^{307}+x^{167}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td><hr></td></tr>
</table>
</center>

　これは1ビットの系列なので, 多数ビットの系列<math>\{X_n\} \,</math>を作るためには, 漸化式

<center>
<math>
X_n = c_1X_{n-1} \oplus c_2X_{n-2} \oplus \cdots \oplus c_pX_{n-p}
</math>
</center>

を用いる. ここで, 記号<math>\oplus \,</math>は2進法でのけた上りなしの足し算(ビットごとの排他的論理和)を表す. これによって生成される系列は, トーズワース(Tausworthe)系列あるいはGFSR(Generalized Feedback Shift Register)系列と呼ばれている.

　この漸化式を使う場合の初期値の設定法については, [1] を参照するとよい. これを使って例えば32ビットの整数系列<math>\{X_n\} \,</math>を生成すると, 合同法のような多次元疎結晶構造が生じることはなく, 32ビットの精度で<math>[p/32] \,</math>次元まで一様に分布する. また, この系列の周期は<math>2^p-1 \,</math>であり, 自己相関関数の値は位相差が<math>2^p/32 \,</math>以下ならばほぼ0に等しい.

　M系列を使ったもう少し複雑な乱数生成法として, 最近提案されたメルセンヌ・ツイスター(Mersenne Twister) [3] がある. これは上記のものに比べて, 同じ記憶容量で, はるかに長い周期と高い次元の一様性を達成できるという特徴を有する. 詳細は

http://www.math.keio.ac.jp/

を参照するとよい.

----
'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『乱数』(UP応用数学選書12), 東京大学出版会, 1989.

[2] D. E. Knuth, ''The Art of Computer Programming, Vol.2: Seminumerical Algorithms, 2nd ed.,'' Addison-Wesley, 1981. 渋谷政昭訳, 『準数値算法/乱数』, サイエンス社, 1981.

[3] M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator," ''ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation'', '''8''' (1998), 3-30.

《一様乱数》

2007-07-19T02:51:03Z

122.17.2.240:

'''【いちようらんすう (uniform random numbers) 】'''

　確率変数の実現値と見なしうる数の列のことを[[乱数]] (または乱数列)(random numbersまたはrandom number sequence)という. 確率変数の従う分布として一様分布を想定する場合には, 対応する乱数のことを[[一様乱数]] (uniform random numbers)という. 例えば, サイコロを振って出る目(数)の系列は, 典型的な一様乱数である. この系列には次の2つの性質がある. 1) 系列が長ければ各数の相対出現頻度がほぼ等しい. 2) 次に出る数を確実に予測することは不可能である.

　大量の乱数を使用する実験では, サイコロを振って乱数を作るのは現実的でないので, 簡単なアルゴリズムで生成される乱数もどきの数(擬似乱数)で代用するのがふつうである. そして, これを単に乱数と呼ぶことが多い. この意味での乱数は, 上記の2) の性質は持たないが, 1) の性質は近似的に満たしているものと考えられている. このような乱数の生成法は数多く提案されているが, 現在比較的よく使われているものを以下にあげる.

［[[線形合同法]]］

　1948年頃にレーマー(Lehmer)によって提案され, その後多数の人々によって研究された方法であり, 線形漸化式

<center>
<math>
X_n=aX_{n-1}+c \ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ m) \,
</math>
</center>

を使って非負整数列<math>\{X_n\} \,</math>を生成する. ここで, <math>a \,</math>および<math>m \,</math>は正整数であり, <math>c \,</math>は非負整数である. 特に<math>c=0 \,</math>の場合には, [[乗算合同法]]と呼ぶ. パラメタの選び方に関しては多くの研究結果があるが, 現在比較的良いとされているものをいくつか表1に示す.

<center>
<table border="1">
<caption> 表１：線形合同法で使われるパラメタの例 </caption>
<tr>
<td><math>a \,</math> </td>
<td><math>c \,</math> </td>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>X_0 \,</math> </td>
<td><math>\mu_2 \,</math> </td>
<td><math>\mu_3 \,</math> </td>
<td><math>\mu_4 \,</math> </td>
<td><math>\mu_5 \,</math> </td>
<td><math>\mu_6 \,</math> </td>
<td> 周期 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,664\,525 \,</math></td>
<td><math>* \,</math></td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
<td>任意 </td>
<td>16.1 </td>
<td>10.6 </td>
<td>8.0 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,566\,083\,941 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.5 </td>
<td>5.6 </td>
<td>4.2 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>48\,828\,125 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>8.8 </td>
<td>7.4 </td>
<td>5.7 </td>
<td>4.9 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2\,100\,005\,341 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.4 </td>
<td>10.2 </td>
<td>7.7 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>397\,204\,094 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.4 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>314\,159\,369 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.2 </td>
<td>9.9 </td>
<td>7.6 </td>
<td>5.9 </td>
<td>5.1 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
</table>
<math>c \,</math>の列の <math>* \,</math>印は, 任意の奇数を使用してよいことを表す.
</center>

　線形合同法によって生成される乱数の欠点として, 多次元疎結晶構造と言われているものがある. これは, <math>k \,</math>次元超立方体内にランダムに点を配置する目的で, 点の座標を<math>(x_n, x_{n+1},\cdots, x_{n+k-1}), n=1,2,\cdots, \,</math>で定めたとすると, これらの点はすべて比較的少数の等間隔に並んだ超平面の上に規則的にのってしまい, ランダムにならないという性質である. <math>m \,</math>と超平面の枚数の上界との関係を表2に示す. また, 表1の<math>\mu_k \,</math>は, <math>k \,</math>次元の点配置を作ったとき, <math>\mu_k \,</math>ビットの精度ではほぼ一様な配置になることを意味している.

<center>
<table border="1">
<caption> 表２：超平面の枚数の上界 </caption>
<tr>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>k=3 \,</math> </td>
<td> 4 </td>
<td> 5 </td>
<td> 6 </td>
<td> 7 </td>
<td> 8 </td>
<td> 9 </td>
<td> 10 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{24} \,</math> </td>
<td>465 </td>
<td>141 </td>
<td>72 </td>
<td>47 </td>
<td>36 </td>
<td>30 </td>
<td>26 </td>
<td>23 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td><math>2\,953 \,</math> </td>
<td>566 </td>
<td>220 </td>
<td>120 </td>
<td>80 </td>
<td>60 </td>
<td>48 </td>
<td>41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{36} \,</math> </td>
<td><math>7442 \,</math> </td>
<td><math>1133 \,</math> </td>
<td>383 </td>
<td>191 </td>
<td>119 </td>
<td>85 </td>
<td>66 </td>
<td>54 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{48} \,</math> </td>
<td><math>119086 \,</math> </td>
<td><math>9065 \,</math> </td>
<td><math>2021 \,</math> </td>
<td>766 </td>
<td>391 </td>
<td>240 </td>
<td>167 </td>
<td>126 </td>
</tr>
</table>
</center>

［[[M系列法]]］

　ガロア体GF(2)上の任意の原始多項式

<center>
<math>
x^p+c_1x^{p-1}+c_2x^{p-2}+\cdots + c_p
</math>
</center>

を選び, その係数を係数とする漸化式

<center>
<math>
a_n = c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots + c_pa_{n-p}
\ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ 2)
</math>
</center>

によって生成される系列<math>\{a_n\} \,</math>を考える. この系列はM系列(M-sequence)あるいはシフトレジスタ系列, 極大多項式系列などと呼ばれ, 硬貨を投げて表が出れ

ば1, 裏が出れば0として得られる系列と類似の性質を持つことが知られている. 表3に実用的な原始多項式の例を示す.

<center>
<table>
<caption> 表３：原始多項式の例 </caption>
<tr><td><hr></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{32}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{273}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{1279}+x^{418}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{455}+x^{437}+x^{350}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{461}+x^{307}+x^{167}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td><hr></td></tr>
</table>
</center>

　これは1ビットの系列なので, 多数ビットの系列<math>\{X_n\} \,</math>を作るためには, 漸化式

<center>
<math>
X_n = c_1X_{n-1} \oplus c_2X_{n-2} \oplus \cdots \oplus c_pX_{n-p}
</math>
</center>

を用いる. ここで, 記号<math>\oplus \,</math>は2進法でのけた上りなしの足し算(ビットごとの排他的論理和)を表す. これによって生成される系列は, トーズワース(Tausworthe)系列あるいはGFSR(Generalized Feedback Shift Register)系列と呼ばれている.

　この漸化式を使う場合の初期値の設定法については, [1] を参照するとよい. これを使って例えば32ビットの整数系列<math>\{X_n\} \,</math>を生成すると, 合同法のような多次元疎結晶構造が生じることはなく, 32ビットの精度で<math>[p/32] \,</math>次元まで一様に分布する. また, この系列の周期は<math>2^p-1 \,</math>であり, 自己相関関数の値は位相差が<math>2^p/32 \,</math>以下ならばほぼ0に等しい.

　M系列を使ったもう少し複雑な乱数生成法として, 最近提案されたメルセンヌ・ツイスター(Mersenne Twister) [3] がある. これは上記のものに比べて, 同じ記憶容量で, はるかに長い周期と高い次元の一様性を達成できるという特徴を有する. 詳細は

http://www.math.keio.ac.jp/~matumoto/mt.html

を参照するとよい.

----
'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『乱数』(UP応用数学選書12), 東京大学出版会, 1989.

[2] D. E. Knuth, ''The Art of Computer Programming, Vol.2: Seminumerical Algorithms, 2nd ed.,'' Addison-Wesley, 1981. 渋谷政昭訳, 『準数値算法/乱数』, サイエンス社, 1981.

[3] M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator," ''ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation'', '''8''' (1998), 3-30.

《一様乱数》

2007-07-19T02:50:19Z

122.17.2.240:

'''【いちようらんすう (uniform random numbers) 】'''

　確率変数の実現値と見なしうる数の列のことを[[乱数]] (または乱数列)(random numbersまたはrandom number sequence)という. 確率変数の従う分布として一様分布を想定する場合には, 対応する乱数のことを[[一様乱数]] (uniform random numbers)という. 例えば, サイコロを振って出る目(数)の系列は, 典型的な一様乱数である. この系列には次の2つの性質がある. 1) 系列が長ければ各数の相対出現頻度がほぼ等しい. 2) 次に出る数を確実に予測することは不可能である.

　大量の乱数を使用する実験では, サイコロを振って乱数を作るのは現実的でないので, 簡単なアルゴリズムで生成される乱数もどきの数(擬似乱数)で代用するのがふつうである. そして, これを単に乱数と呼ぶことが多い. この意味での乱数は, 上記の2) の性質は持たないが, 1) の性質は近似的に満たしているものと考えられている. このような乱数の生成法は数多く提案されているが, 現在比較的よく使われているものを以下にあげる.

［[[線形合同法]]］

　1948年頃にレーマー(Lehmer)によって提案され, その後多数の人々によって研究された方法であり, 線形漸化式

<center>
<math>
X_n=aX_{n-1}+c \ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ m) \,
</math>
</center>

を使って非負整数列<math>\{X_n\} \,</math>を生成する. ここで, <math>a \,</math>および<math>m \,</math>は正整数であり, <math>c \,</math>は非負整数である. 特に<math>c=0 \,</math>の場合には, [[乗算合同法]]と呼ぶ. パラメタの選び方に関しては多くの研究結果があるが, 現在比較的良いとされているものをいくつか表1に示す.

<center>
<table border="1">
<caption> 表１：線形合同法で使われるパラメタの例 </caption>
<tr>
<td><math>a \,</math> </td>
<td><math>c \,</math> </td>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>X_0 \,</math> </td>
<td><math>\mu_2 \,</math> </td>
<td><math>\mu_3 \,</math> </td>
<td><math>\mu_4 \,</math> </td>
<td><math>\mu_5 \,</math> </td>
<td><math>\mu_6 \,</math> </td>
<td> 周期 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,664\,525 \,</math></td>
<td><math>* \,</math></td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
<td>任意 </td>
<td>16.1 </td>
<td>10.6 </td>
<td>8.0 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td><math>1\,566\,083\,941 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.5 </td>
<td>5.6 </td>
<td>4.2 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>48\,828\,125 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td>奇数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>8.8 </td>
<td>7.4 </td>
<td>5.7 </td>
<td>4.9 </td>
<td><math>2^{30} \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2\,100\,005\,341 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.4 </td>
<td>10.2 </td>
<td>7.7 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>397\,204\,094 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>14.8 </td>
<td>9.7 </td>
<td>7.4 </td>
<td>6.0 </td>
<td>5.0 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
<tr>
<td><math>314\,159\,369 \,</math> </td>
<td>0 </td>
<td><math>2^{31}-1 \,</math> </td>
<td>正整数 </td>
<td>15.2 </td>
<td>9.9 </td>
<td>7.6 </td>
<td>5.9 </td>
<td>5.1 </td>
<td><math>2^{31}-2 \,</math> </td>
</tr>
</table>
<math>c \,</math>の列の <math>* \,</math>印は, 任意の奇数を使用してよいことを表す.
</center>

　線形合同法によって生成される乱数の欠点として, 多次元疎結晶構造と言われているものがある. これは, <math>k \,</math>次元超立方体内にランダムに点を配置する目的で, 点の座標を<math>(x_n, x_{n+1},\cdots, x_{n+k-1}), n=1,2,\cdots, \,</math>で定めたとすると, これらの点はすべて比較的少数の等間隔に並んだ超平面の上に規則的にのってしまい, ランダムにならないという性質である. <math>m \,</math>と超平面の枚数の上界との関係を表2に示す. また, 表1の<math>\mu_k \,</math>は, <math>k \,</math>次元の点配置を作ったとき, <math>\mu_k \,</math>ビットの精度ではほぼ一様な配置になることを意味している.

<center>
<table border="1">
<caption> 表２：超平面の枚数の上界 </caption>
<tr>
<td><math>m \,</math> </td>
<td><math>k=3 \,</math> </td>
<td> 4 </td>
<td> 5 </td>
<td> 6 </td>
<td> 7 </td>
<td> 8 </td>
<td> 9 </td>
<td> 10 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{24} \,</math> </td>
<td>465 </td>
<td>141 </td>
<td>72 </td>
<td>47 </td>
<td>36 </td>
<td>30 </td>
<td>26 </td>
<td>23 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{32} \,</math> </td>
<td><math>2\,953 \,</math> </td>
<td>566 </td>
<td>220 </td>
<td>120 </td>
<td>80 </td>
<td>60 </td>
<td>48 </td>
<td>41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{36} \,</math> </td>
<td><math>7442 \,</math> </td>
<td><math>1133 \,</math> </td>
<td>383 </td>
<td>191 </td>
<td>119 </td>
<td>85 </td>
<td>66 </td>
<td>54 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>2^{48} \,</math> </td>
<td><math>119086 \,</math> </td>
<td><math>9065 \,</math> </td>
<td><math>2021 \,</math> </td>
<td>766 </td>
<td>391 </td>
<td>240 </td>
<td>167 </td>
<td>126 </td>
</tr>
</table>
</center>

［[[M系列法]]］

　ガロア体GF(2)上の任意の原始多項式

<center>
<math>
x^p+c_1x^{p-1}+c_2x^{p-2}+\cdots + c_p
</math>
</center>

を選び, その係数を係数とする漸化式

<center>
<math>
a_n = c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\cdots + c_pa_{n-p}
\ \ \ \ \ (\mbox{mod}\ \ 2)
</math>
</center>

によって生成される系列<math>\{a_n\} \,</math>を考える. この系列はM系列(M-sequence)あるいはシフトレジスタ系列, 極大多項式系列などと呼ばれ, 硬貨を投げて表が出れ

ば1, 裏が出れば0として得られる系列と類似の性質を持つことが知られている. 表3に実用的な原始多項式の例を示す.

<center>
<table>
<caption> 表３：原始多項式の例 </caption>
<tr><td><hr></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{32}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{273}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{1279}+x^{418}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{521}+x^{455}+x^{437}+x^{350}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td align="left"><math>x^{607}+x^{461}+x^{307}+x^{167}+1 \,</math></td></tr>
<tr><td><hr></td></tr>
</table>
</center>

　これは1ビットの系列なので, 多数ビットの系列<math>\{X_n\} \,</math>を作るためには, 漸化式

<center>
<math>
X_n = c_1X_{n-1} \oplus c_2X_{n-2} \oplus \cdots \oplus c_pX_{n-p}
</math>
</center>

を用いる. ここで, 記号<math>\oplus \,</math>は2進法でのけた上りなしの足し算(ビットごとの排他的論理和)を表す. これによって生成される系列は, トーズワース(Tausworthe)系列あるいはGFSR(Generalized Feedback Shift Register)系列と呼ばれている.

　この漸化式を使う場合の初期値の設定法については, [1] を参照するとよい. これを使って例えば32ビットの整数系列<math>\{X_n\} \,</math>を生成すると, 合同法のような多次元疎結晶構造が生じることはなく, 32ビットの精度で<math>[p/32] \,</math>次元まで一様に分布する. また, この系列の周期は<math>2^p-1 \,</math>であり, 自己相関関数の値は位相差が<math>2^p/32 \,</math>以下ならばほぼ0に等しい.

　M系列を使ったもう少し複雑な乱数生成法として, 最近提案されたメルセンヌ・ツイスター(Mersenne Twister) [3] がある. これは上記のものに比べて, 同じ記憶容量で, はるかに長い周期と高い次元の一様性を達成できるという特徴を有する. 詳細は

http://www.math.keio.ac.jp//~matumoto/mt.html

を参照するとよい.

----
'''参考文献'''

[1] 伏見正則, 『乱数』(UP応用数学選書12), 東京大学出版会, 1989.

[2] D. E. Knuth, ''The Art of Computer Programming, Vol.2: Seminumerical Algorithms, 2nd ed.,'' Addison-Wesley, 1981. 渋谷政昭訳, 『準数値算法/乱数』, サイエンス社, 1981.

[3] M. Matsumoto and T. Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudo-Random Number Generator," ''ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation'', '''8''' (1998), 3-30.

《バス(Bass)モデル》

2007-07-19T02:47:44Z

122.17.2.240:

'''【ばすもでる (Bass model) 】'''

　F. M. Bassによって提案された新製品, 特に耐久消費財の拡散過程を模擬するモデルを[[バスモデル|Bassモデル]]と呼ぶ. F. M. Bassは, 「時点<math>{\it t}\, </math>までの未購入者が耐久消費財を期間 <math>(t, \; t+\Delta t)\, </math> に購入する確率<math>h(t)\Delta t\, </math>は他人にまどわされない購入意欲(innovation効果)と既購入者数<math>x_t\, </math>がふえてくると乗り遅れまいとする気持ち(imitation効果) との和で表現される」と考え, 以下のようなモデルを提案した [1].

　<math>{\it m}\, </math>を総需要とする. 時点<math>{\it t}\, </math>までに購入している人の割合を
　

<center>
<math>
F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau) \mathrm{d} \tau =x_{t}/m
\, </math>
</center>

とし, <math>{\it t}\, </math> まで未購入の条件付確率密度関数を

<center>
<math>\begin{array}{cl}
h(t)=f(t)/ \{ 1-F(t) \} = a+{\frac{b}{m}}x_{t} & (1)\\
\\
\lim_{t \rightarrow \infty}x_{t}=m & (2)\\
\\
m \cdot f(t)=\frac{{\mbox{d}}x_{t}}{{\mbox{d}}t} & (3)\\
\end{array}\, </math>
</center>

とモデル化して, <math>{\it a}\, </math>は innovation効果, <math>(b\cdot x_t/m)\, </math>

はimitation効果を表わすものとしている. 式(1)は式(2), (3)を使うと

<center>
<math>
\frac{\mathrm{d}x_{t}/\mathrm{d}t}{m-x_t}=
a+{\frac{b}{m}}x_{t}
\, </math>　　　　　<math>(4)\, </math>
</center>

あるいは

<center>
<math>\begin{array}{cl}
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=
(m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t}) & (5)\\
\\
p_{1}=a, q_{1}=b/m
\end{array}\, </math>
</center>

と表現できる. これを解くと

<center>
<math>
x_{t}=m[1-c_{0}\exp \{-(a+b)t\}]/[\frac{b}{a} c_{0}\exp \{-(a+b)t\}+1]
\, </math>
</center>

ただし, <math>x_0\, </math>：時点0での既購入者数

<center>
<math>
c_{0}=(m- x_{0})/(m+{\frac{b}{a}} x_{0})
\, </math>
</center>

である(<math>x_{0}=0\, </math>,すなわち<math>c_{0}=1\, </math>を標準モデルとすることもある). 式 (5)で <math>p_{1}=0\, </math> のとき

<center>
<math>
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=x_{t}(mq_{1}-q_{1} x_{t})
\, </math>
</center>

となり, Bassモデルはロジスティックモデルを包含していると言える.

<math>f(t)\, </math> または <math>{\mbox{d}}x_{t}/{\mbox{d}}t\, </math> は

<center>
<math>
t^{*}=-\frac{1}{a+b}\log \frac{a}{bc_{0}};b>a
\, </math>
</center>

で最大となり, そのときの<math>x_{t^{*}}\, </math>は　

<center>
<math>
x_{t^{*}}=m(b-a)/(2b)
\, </math>
</center>

である.

　本モデルの拡張版として

　1. <math>{\it m}\, </math>が時点とともに変化するモデルあるいは価格の関数となるモデル

　2. 式(4)の右辺が, 時点<math>{\it t}\, </math>や広告費などの商品に対する情報に関連する量の関数となるモデル

　3. 式(5)の右辺に価格<math>{\it P}({\it t})\, </math>のペナルティを課して

<center>
<math>
\mathrm{d}x_{t}/ \mathrm{d}t=(m-x_{t})(p_{1}+q_{1} x_{t})
{\exp \{-k \cdot P(t)\}}
\, </math>
</center>

とするモデル

　4. 企業間の競合を考慮したモデル

などが考えられている. しかし, Bass自身はモデルを複雑化することには批判的 [2]である.

　Bassモデルのパラメタについては, 微分を単位期間当たりの増分としてとらえ, 式(5)の右辺を展開して定数項および<math>x_t\, </math>, <math>x_{t}^{2}\, </math>の係数を最小自乗法により推定する方法が [1] では提案された. これについては係数推定の不安定さがあり, 最尤法なども提案されているが, Bassモデルを適用したい局面はデータ数にあまり期待できない時点であり, 最大需要<math>{\it m}\, </math>を別途推定したり, 類似サービスのパラメタを参考にすることなどが必要である.

----
'''参考文献'''

[1] F. M. Bass, "A New Product Growth Model for Consumer Durables," ''Management Science'', '''15''' (1969), 215-227.

[2] F. M. Bass, "The Adoption of a Marketing Model : Comments and Observations," in ''Innovation Diffusion Models of New Product Acceptance'', V. Mahajan and Y. Wind, eds., Ballinger, 1986.

[3] V. Mahajan, E. Muller and F. M. Bass,in ''Marketing'', J. Eliashberg and G. L. Lilien, eds., Elsevier Science Publishers, 1993. 森村英典, 岡太彬訓, 木島正明, 守口剛監訳, 『マーケティングハンドブック』, 第8章, 朝倉書店, 1997.